بيت / تزجيجتعرض وظيفة / تحديد المجموعة مجموعة. يعرض

تعرض وظيفة تحديد المجموعة مجموعة. يعرض

دعونا الآن ندرس بعض القضايا المتعلقة بالعلاقات بين المجموعات.

سنقول أنه بين المجموعات هناك معين سلوك(في علاقة) إذا كانت بعض العناصر (ربما كلها) من تتوافق مع بعض العناصر من. إذا كانت المجموعة في علاقة مع مجموعة، فسنكتب:

إذا كان العنصر مرتبطًا بعنصر في نفس الوقت، فسنشير إلى ذلك

التعريف 1.1.2.تسمى العلاقة بين المجموعات عرض، إذا تم تخصيص عنصر واحد فقط لكل منهم (انظر الشكل 1.1.2 و1.1.3). مع تخصص طبيعة المجموعات، تنشأ أنواع خاصة من التعيينات، والتي تحمل الاسم الخاص "الوظيفة"، " وظيفة المتجه، "المشغل"، "القياس"، "الوظيفية"، وما إلى ذلك. سنواجهها لاحقًا.

للإشارة إلى دالة (تعيين) من v، سوف نستخدم الترميز

الشكل 1.1.2. عرض الشكل 1.1.3: العلاقة ليست كذلك

عرض

التعريف 1.1.3. إذا كان عنصرًا من، فإن العنصر المقابل له يُسمى صورته (عند عرضه)، وتسمى مجموعة كل العناصر التي لها نموذجًا أوليًا ويتم تعيينها (انظر الشكل 1.1.4).

الشكل 1.1.4. النموذج المبدئيب

التعريف 1.1.4.يسمى رسم الخرائط رسم الخرائط واحد لواحد، إذا كان لكل عنصر صورة فريدة ضمن التعيين وكل عنصر له صورة معكوسة فريدة ضمن هذا التعيين.

الشكل 1.1.5. رسم الخرائط واحد لواحد

فيما يلي سننظر في التعيينات فقط، نظرًا لوجود تقنيات تقلل التعيينات متعددة القيم إلى تعيينات ذات قيمة واحدة، والتي نطلق عليها ببساطة التعيينات.

يلعب مفهوم رسم الخرائط دورًا حاسمًا في الرياضيات، ولا سيما في التحليل الرياضي، حيث يحتل هذا المفهوم المكانة المركزية المهام، وهو تعيين مجموعة رقمية إلى أخرى.

1.7. قوة المجموعة

عند دراسة العلاقات بين المجموعات، فإن "حجم" المجموعات، وعدد العناصر فيها، له أهمية كبيرة. لكن الحديث عن عدد العناصر أمر مفهوم ومبرر إذا كان هذا العدد محدودا. سيتم استدعاء المجموعات التي تتكون من عدد محدود من العناصر أخير . ومع ذلك، فإن العديد من المجموعات التي يتم النظر فيها في الرياضيات ليست محدودة، على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الحقيقية، ومجموعة النقاط على المستوى، ومجموعة الدوال المستمرة المحددة على قطعة معينة، وما إلى ذلك. لتوصيف المجموعات اللانهائية (وحتى المحدودة) كميًا، تستخدم نظرية المجموعات هذا المفهوم قوة المجموعة .

سوف نقول أن مجموعات لديها نفس القوة ، إذا كان هناك تعيين واحد لواحد من مجموعة إلى مجموعة (لاحظ أنه في هذه الحالة يوجد أيضًا تعيين واحد لواحد من المجموعة B إلى المجموعة A).

إذا كانت المجموعات لها نفس العلاقة الأساسية، فسنقول أنها كذلك مقابل ، تم تعيين هذا: .

اسمحوا أن تكون مجموعات تعسفية، ثم

أولئك. أي مجموعة تعادل نفسها؛ إذا كانت المجموعة مكافئة لمجموعة، فهي مكافئة؛ إذا، أخيرًا، مجموعة مكافئة لمجموعة مكافئة لمجموعة، فهي مكافئة.

تسمى المجموعة المكافئة لمجموعة فرعية مناسبة خاصة بها بلا نهاية .

إذا كانت المجموعات المحدودة تحتوي على أعداد مختلفة من العناصر، فمن الواضح أن إحداها تحتوي على عناصر أقل من الأخرى. كيف يمكننا مقارنة المجموعات اللانهائية بهذا المعنى؟ سنقول أن عددية المجموعة أقل من عددية المجموعة إذا كانت هناك مجموعة فرعية من المجموعة مكافئة للمجموعة، ولكن المجموعات نفسها ليست متكافئة.

أصل مجموعة محدودة مساوياً لعدد عناصره. بالنسبة للمجموعات اللانهائية، فإن مفهوم "الأصلية" هو تعميم لمفهوم "عدد العناصر".

دعونا نشير إلى بعض فئات المجموعات المفيدة لما يلي.

تسمى المجموعة معدودة ، إذا كان لها نفس عدد العناصر الموجودة في مجموعة فرعية من المجموعة (مجموعة الأعداد الطبيعية). يمكن أن تكون المجموعة المعدودة منتهية أو لا نهائية.

تعتبر المجموعة اللانهائية قابلة للعد إذا وفقط إذا كانت تعادل مجموعة الأعداد الطبيعية.

لاحظ أن أي مجموعة أصلها أقل من عدد أصل مجموعة لا نهائية قابلة للعد تكون منتهية.

مجموعة الأعداد الحقيقية في الفترة من صفر إلى واحد استمرارية السلطة ، وغالبا ما يطلق عليه في حد ذاته الأستمرارية . عددية هذه المجموعة أكبر من عددية مجموعة لا نهائية قابلة للعد. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك مجموعة عددها الأساسي أكبر من عدد عدد لا نهائي من المجموعة المعدودة، ولكن أقل من عدد عدد المتصلين؟ تمت صياغة هذه المشكلة في عام 1900 من قبل أحد أعظم علماء الرياضيات في العالم، ديفيد هيلبرت. اتضح أن هذه المشكلة لديها إجابة غير متوقعة إلى حد ما: يمكننا أن نفترض أن مثل هذه المجموعة موجودة، أو يمكننا أن نفترض أنها غير موجودة. وستكون النظريات الرياضية الناتجة متسقة. تم إثبات هذه الحقيقة من قبل العالم الأمريكي كوهين في عام 1965 في المؤتمر العالمي لعلماء الرياضيات في موسكو. لاحظ أن الموقف مع هذه المشكلة يذكرنا بالوضع مع مسلمة إقليدس الخامسة: من خلال نقطة تقع خارج خط معين، يمكن رسم خط واحد فقط موازٍ للخط المعطى. كما أظهر Lobachevsky، فإن رفض هذه الافتراض لا يؤدي إلى تناقضات. يمكننا إنشاء أشكال هندسية تنطبق عليها هذه الفرضية، وهندسة غير صحيحة بالنسبة لها.

وفي الختام، نعطي عدة أمثلة توضح منهجية إثبات تكافؤ المجموعات.

مثال 1.11.مجموعة الأعداد الصحيحة قابلة للعد.

من الواضح أن المجموعة المعنية لا نهائية (مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعتها الفرعية).

لإثبات قابلية العد لمجموعة من الأعداد الصحيحة، من الضروري إنشاء رسم ترابطي واحد لواحد بين مجموعة الأعداد الطبيعية والمجموعة المعنية. يتم تحديد التعيين المطلوب بواسطة القاعدة: قم بترتيب الأعداد الصحيحة على النحو التالي:

وإعادة ترقيمها بالأعداد الطبيعية، وتخصيص أرقام لها (يشار إليها بجوار الأعداد الصحيحة المعنية). من الواضح أن كل عدد صحيح سيتلقى رقمًا مختلفًا، حيث تتلقى الأرقام المختلفة أرقامًا مختلفة. والعكس صحيح أيضًا: لكل عدد طبيعي (لكل رقم) يوجد أيضًا عدد صحيح واحد يقع تحت هذا الرقم. وبالتالي، يتم إنشاء الخرائط الفردية المطلوبة.

مثال 1.12. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد.

من المعروف أنه يمكن تمثيل أي عدد نسبي على شكل كسر غير قابل للاختزال p/q، وباستخدام هذا التمثيل سنرتب الأعداد النسبية وفقًا للمخطط:

. . . . . .

دعونا نعيد ترقيم هذه الأرقام بنفس الطريقة تقريبًا كما في المثال السابق (يتم الإشارة إلى الأرقام في الأعلى بين قوسين بجوار الأرقام). من السهل التحقق من أن القاعدة المصاغة لترقيم الأعداد النسبية تعطي التعيين المطلوب من مجموعة الأعداد الطبيعية إلى مجموعة الأعداد النسبية.

مثال 1.13. اتحاد مجموعة معدودة من المجموعات المعدودة هو مجموعة معدودة.

والدليل على هذه الحقيقة يشبه إثبات العبارة في المثال السابق.

وفي الختام نقدم بيانا هاما لمزيد من النقاش. لكن لهذا نحتاج إلى عملية أخرى على المجموعات.

المنتج المباشر للمجموعات و( المنتج الديكارتي ) هي مجموعة من جميع الأزواج المرتبة وأين و. تم تعيين هذه المجموعة. هكذا:

دعونا نشير إلى منتج العوامل.

نظرية 1.1. لأي مجموعة لا حصر لها علاوة على ذلك.

على وجه الخصوص، أي. مجموعة النقاط الواقعة على الخط المستقيم لها نفس العلاقة الأساسية لمجموعة النقاط على المستوى. علاوة على ذلك، فإن عدد النقاط في الفضاء يساوي عدد النقاط الموجودة على خط مستقيم.

بهذا نختتم معرفتنا بالمفاهيم الأساسية للمنطق الرياضي ونظرية المجموعات - أسس الرياضيات الحديثة. ولنلاحظ أن جوانب كثيرة من هذه النظريات ظلت للأسف خارج نطاق هذا الفصل، ويمكنك التعرف عليها، على سبيل المثال، من خلال و.

القذف والحقن والقذف

يمكن تمثيل القاعدة التي تحدد التعيين f: X (أو الوظيفة /) بشكل تقليدي بواسطة الأسهم (الشكل 2.1). إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل في المجموعة Y لا يشير إليه أي من الأسهم، فهذا يشير إلى أن نطاق قيم الدالة f لا يملأ المجموعة Y بأكملها، أي. و(X) CY.

إذا كان نطاق القيم / يتزامن مع Y، أي f(X) = Y، فإن مثل هذه الوظيفة تسمى surjective) أو باختصار، surjection، ويُقال أن الدالة / تقوم بتعيين المجموعة X على المجموعة Y (على عكس الحالة العامة لتعيين المجموعة X إلى المجموعة Y وفقًا للتعريف 2.1). لذا، / : X هو surjection إذا كان Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. في هذه الحالة، في الشكل، يؤدي سهم واحد على الأقل إلى كل عنصر من عناصر المجموعة Y (الشكل 2.2). في هذه الحالة، قد تؤدي عدة أسهم إلى بعض العناصر من Y. إذا لم يكن هناك أكثر من سهم واحد يؤدي إلى أي عنصر y€ Y، فإن / تسمى دالة حقنية، أو حقنة. هذه الوظيفة ليست بالضرورة شاملة، أي. لا تؤدي الأسهم إلى جميع عناصر المجموعة Y (الشكل 2.3).

لذا، فإن الدالة /: X -Y Y هي حقنة إذا كان هناك عنصران مختلفان من X كصورهما عند التعيين / عنصرين مختلفين من Y، أو Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. القذف والحقن والقذف. عكس رسم الخرائط. تكوين التعيينات هو نتاج مجموعات. عرض الجدول الزمني. يُطلق على التعيين /: X->Y اسم bijective، أو bi-jection، إذا كان كل عنصر من عناصر y 6 Y هو صورة البعض والعنصر الوحيد من X، أي. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

في الواقع، الدالة / في هذه الحالة تنشئ مراسلات واحد لواحد بين المجموعتين X و Y، ولذلك تسمى غالبًا دالة واحد لواحد. من الواضح أن الدالة / تكون ذاتية إذا وفقط إذا كانت فاعلة وجريئة. في هذه الحالة، تقوم الأسهم (الشكل 2.4) بتوصيل كل عنصر من X مع كل عنصر من Y في أزواج. علاوة على ذلك، لا يمكن ربط عنصرين من X بواسطة سهم بنفس العنصر من Y، نظرًا لأن / هو حقنة، ولا لا يمكن ربط عنصرين من Y بواسطة الأسهم بنفس العنصر من X بسبب متطلبات التفرد للصورة في التعريف 2.1 للتعيين. يشارك كل عنصر من عناصر X في اتصال زوجي، حيث أن X هو مجال الدالة /. وأخيرًا، يشارك كل عنصر من Y أيضًا في أحد الأزواج، لأن / هو لفظي. يبدو أن أدوار X وY في هذه الحالة متطابقة تمامًا، وإذا أعدنا جميع الأسهم إلى الخلف (الشكل 2.5)، فسنحصل على تعيين مختلف أو دالة مختلفة d)، والتي تكون أيضًا حقنية وقاطعة. ستلعب التعيينات (الوظائف) التي تسمح بمثل هذا الانعكاس دورًا مهمًا فيما يلي.

في حالة معينة، قد تتطابق المجموعتان X وY (X = Y). بعد ذلك، ستقوم الدالة الثنائية بتعيين المجموعة X على نفسها. ويسمى أيضًا تحيز المجموعة على نفسها بالتحول. 2.3. رسم الخرائط العكسية دع /: X -؟ Y هو اعتراض معين ودع y € Y. دعنا نشير بواسطة /_1(y) إلى العنصر الوحيد x € X بحيث /(r) = y. وهكذا نحدد بعض الخرائط 9: Y Xу والتي تعد مرة أخرى ازدراء. يطلق عليه التعيين العكسي، أو الاعتراض العكسي على /. غالبًا ما يطلق عليها أيضًا ببساطة الوظيفة العكسية ويشار إليها بـ /"*. في الشكل 2.5، الدالة d هي بالضبط معكوس /، أي d = f"1.

أمثلة على الحلول في المشاكل

التعيينات (الوظائف) / وتكون عكسية بشكل متبادل. ومن الواضح أنه إذا لم تكن الدالة اعتراضا، فإن دالتها العكسية غير موجودة. في الواقع، إذا لم يكن / غير حقني، فإن بعض العناصر y € Y يمكن أن تتوافق مع عدة عناصر x من المجموعة X، وهو ما يتعارض مع تعريف الوظيفة. إذا لم تكن / قاطعة، فهناك عناصر في Y لا توجد لها صور مسبقة في X، أي. لهذه العناصر لم يتم تعريف الدالة العكسية. مثال 2.1. أ. دع X = Y = R - مجموعة من الأعداد الحقيقية. الدالة /، المحددة بالصيغة y = For - 2, i,y € R، هي ازدواجية. الدالة العكسية هي x = (y + 2)/3. ب. الدالة الحقيقية f(x) = x2 للمتغير الحقيقي x ليست قاطعة، لأن الأرقام السالبة من Y = R ليست صورًا لعناصر من X = K كـ /: Γ -> Y. مثال 2.2. دع A" = R، وY = R+ تكون مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. الدالة f(x) = ax، a > 0، af 1، هي ثنائية. ستكون الدالة العكسية Z"1 (Y) = 1°8أ ص

القذف والحقن والقذف. عكس رسم الخرائط. تكوين التعيينات هو نتاج مجموعات. عرض الجدول الزمني. 2.4. تكوين التعيينات إذا كان f:X-*Y وg:Y-*Zy، فإن التعيين (p:X -+Z، المحدد لكل a: 6 A" بواسطة الصيغة =، يسمى تكوين (تراكب) التعيينات (الوظائف) / و d> أو دالة معقدة، ويُشار إليها بـ rho/ (الشكل 2.6).
وبالتالي، فإن الدالة المعقدة قبل f تنفذ القاعدة: i Apply / أولاً، ثم di، أي. في تكوين العمليات "قبل / يجب أن تبدأ بالعملية / الموجودة على اليمين. لاحظ أن التركيبة الشكل. 2.6 التعيينات ترابطية، أي إذا /: X -+Y، d: Y Z و h: Z-*H> ثم (hog)of = = ho(gof)i وهو أسهل في الكتابة بالصيغة ho إلى /. دعونا نتحقق من ذلك على النحو التالي: في أي wK "oaicecmee X، يتم تعريف تعيين 1x -X X، يسمى متطابق، وغالبًا ما يُشار إليه أيضًا بـ idx ويُعطى بواسطة الصيغة Ix(x) = x Vx € A". ويترك كل شيء في أماكنه.

وبالتالي، إذا كان الاتجاه معكوسًا للاتجاه /: X - + Y، ثم /"1o/ = /x، و /o/-1 = /y، حيث و /y عبارة عن خرائط متطابقة للمجموعات X وY، على التوالي. على العكس من ذلك، إذا كانت التعيينات f: X ->Y وp: Y A" هي بحيث gof = Ix وfog = /y، فإن الدالة / هي ازدواج، وy هي ازدواج معكوس. من الواضح، إذا كان / هو ازدواج لـ A" على Y، و $ هو ازدواج لـ Y على Z، فإن gof هو ازدواج لـ X على Z، وسيكون هو الاقتران العكسي فيما يتعلق به. 2.5. منتج المجموعات. الرسم البياني لرسم الخرائط تذكر أن محوري الإحداثيات المتعامدين مع مقياس متماثل لكلا المحورين يحددان نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل على المستوى (الشكل 2.7). تسمى النقطة O من تقاطع محاور الإحداثيات بأصل* الإحداثيات.

يمكن ربط كل نقطة M بزوج (i, y) من الأعداد الحقيقية حيث x هي إحداثي النقطة Mx على محور الإحداثيات Ox، وy هي إحداثي النقطة Mu على محور الإحداثيات Oy. النقطتان Mx وMu هما أساسات الخطوط العمودية المسقطة من النقطة M على محوري Ox وOy، على التوالي. يُطلق على الرقمين x وy إحداثيات النقطة M (في نظام الإحداثيات المحدد)، ويسمى x بإحداثيات النقطة M، وy هو إحداثيات هذه النقطة. من الواضح أن كل زوج (a، b) من الأعداد الحقيقية a، 6 6R يتوافق مع نقطة M على المستوى، والتي تحتوي على هذه الأرقام كإحداثيات لها. وعلى العكس من ذلك، فإن كل نقطة M من المستوى تتوافق مع زوج (أ، 6) من الأعداد الحقيقية أ و 6. في الحالة العامة، تحدد الأزواج (أ، ب) و (6، أ) نقاطًا مختلفة، أي. من المهم أي من الرقمين a و b يأتي أولاً في تسمية الزوج. وبالتالي، نحن نتحدث عن زوج مرتب. وفي هذا الصدد يعتبر الزوجان (أ، 6) و (6، أ) متساويين لبعضهما البعض، ويحددان نفس النقطة على المستوى، إذا كانت أ = 6. القذف والحقن والقذف. عكس رسم الخرائط.

تكوين التعيينات هو نتاج مجموعات. عرض الجدول الزمني. يُشار إلى مجموعة جميع أزواج الأعداد الحقيقية، بالإضافة إلى مجموعة النقاط في المستوى، بالرمز R2. يرتبط هذا التعيين بالمفهوم المهم في نظرية المجموعات للمنتج المباشر (أو dek-artov) للمجموعات (غالبًا ما يتحدثون ببساطة عن منتج المجموعات). التعريف 2.2. حاصل ضرب المجموعتين A وB هو مجموعة Ax B للأزواج المرتبة المحتملة (x، y)، حيث يؤخذ العنصر الأول من A والثاني من B، بحيث تكون المساواة بين الزوجين (x، y) و (&"، y") يتم تحديد الشروط x = x" و y = y7. تعتبر الأزواج (i، y) و (y، x) مختلفة إذا كانت xy. وهذا مهم بشكل خاص ضعه في الاعتبار عندما تكون المجموعتان A و تتزامن B. لذلك، في الحالة العامة A x B f B x A، أي أن حاصل ضرب المجموعات العشوائية ليس تبادليًا، ولكنه توزيعي فيما يتعلق باتحاد المجموعات وتقاطعها واختلافها: حيث يشير إلى إحدى المجموعات الثلاث المذكورة العمليات.يختلف منتج المجموعات بشكل كبير عن العمليات المشار إليها على مجموعتين.نتيجة إجراء هذه العمليات هي مجموعة تنتمي عناصرها (إذا لم تكن فارغة) إلى إحدى المجموعتين الأصليتين أو كلتيهما. تنتمي المجموعات إلى المجموعة الجديدة وتمثل كائنات من نوع مختلف مقارنة بعناصر المجموعات الأصلية.

يمكننا تقديم مفهوم المنتج المكون من أكثر من مجموعتين. يتم تحديد المجموعات (A x B) x C وA*x (B x C) ويشار إليها ببساطة بـ A x B x C، وبالتالي. يعمل آه آه آه آه آه، الخ. يُشار إليه، كقاعدة عامة، بـ A2، A3، وما إلى ذلك. من الواضح أن المستوى R2 يمكن اعتباره منتج R x R لنسختين من مجموعة الأعداد الحقيقية (وبالتالي تعيين مجموعة نقاط المستوى كمنتج لمجموعتين من النقاط على خط الأعداد). مجموعة النقاط في الفضاء الهندسي (ثلاثي الأبعاد) تتوافق مع المنتج R x R x R لثلاث نسخ من مجموعة النقاط على خط الأعداد، المشار إليها بـ R3.

يُشار إلى منتج عدد n من الأعداد الحقيقية بالرمز Rn. تمثل هذه المجموعة جميع المجموعات الممكنة (xj، X2، xn) من الأعداد الحقيقية n X2) xn £ R، وأي نقطة x* من Rn هي مجموعة (xj، x، x*) من الأعداد الحقيقية xn £ K*
منتج n مجموعات عشوائية هو مجموعة من مجموعات مرتبة من عناصر n (غير متجانسة بشكل عام). لمثل هذه المجموعات، يتم استخدام أسماء tuple أو n-ka (تُنطق "enka"). مثال 2.3. Let A = (1, 2) وB = (1, 2). ثم يمكن تحديد المجموعة A x B باستخدام أربع نقاط من المستوي R2 يشار إلى إحداثياتها عند سرد عناصر هذه المجموعة، فإذا كانت C = ( 1,2) و D = (3,4)، فمثال 2.4 دعنا إذن التفسير الهندسي للمجموعات E يتم عرض x F و F x E في الشكل 2.8 # بالنسبة للرسم /: X، يمكننا إنشاء مجموعة من الأزواج المرتبة (r، y)، وهي مجموعة فرعية من المنتج المباشر X x Y.
تسمى هذه المجموعة الرسم البياني للتعيين f (أو الرسم البياني للدالة i*" - مثال 2.5. في حالة XCR وY = K، يحدد كل زوج مرتب إحداثيات نقطة على المستوى R2. إذا X عبارة عن فاصل زمني لخط الأعداد R، ثم يمكن أن يمثل الرسم البياني للدالة بعض الخطوط (الشكل 2.9) مثال 2.6 من الواضح أنه مع XCR2 وY = R يكون الرسم البياني للدالة عبارة عن مجموعة معينة من النقاط في R3 والتي يمكن أن تمثل سطحًا معينًا (الشكل 2.10).

إذا كان X C R وY = R2، فإن الرسم البياني للدالة هو أيضًا مجموعة من النقاط في R3، والتي يمكن أن تمثل خطًا معينًا يتقاطع مع المستوى x = const عند نقطة واحدة فقط M بثلاثة إحداثيات x) yi, y2 ( الشكل 2.11) . # جميع الأمثلة المذكورة للرسوم البيانية الوظيفية هي أهم كائنات التحليل الرياضي، وسيتم مناقشتها بالتفصيل في المستقبل.

يتم استدعاء العرض %%f%% حقنة,

إذا كان لأي عنصر %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%، فإنه يتبع ذلك %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

بمعنى آخر، يكون التعيين %%f%% حقنيًا إذا كانت صور العناصر المختلفة من %%X%% مختلفة أيضًا.

مثال

الدالة %%f(x) = x^2%%، المعرفة في المجموعة %%\mathbb(R)%%، ليست حقنية، لأنه مع %%x_1 = -1، x_2 = 1%% نحصل على نفس قيمة الدالة %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

رسم الخرائط الشاملة

يتم استدعاء العرض %%f%% شمولي، إذا كان لكل عنصر %%y \في Y%% عنصر %%x \in X%% بشرط أن %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

بمعنى آخر، يكون التعيين %%f%% نهائيًا إذا كان كل عنصر %%y \in Y%% هو صورة عنصر واحد على الأقل %%x \in X%%.

مثال

التعيين %%f(x) = \sin(x)%%، المحدد في المجموعة %%\mathbb R%%، مع المجموعة %%Y = [-2,2]%% ليس نهائيًا، لأن بالنسبة للعنصر %%y = 2 \in Y%% لا يمكن العثور على الصورة العكسية لـ %%x \in X%%.

رسم الخرائط الموضوعية

يتم استدعاء العرض %%f%% موضوعية، إذا كان حاقناً وقاطعاً. ويسمى أيضا رسم الخرائط Bijective واحد لواحدأو تحويل.

عادةً، يتم استبدال عبارات "رسم الخرائط الحقني" و"رسم الخرائط الجراحي" و"رسم الخرائط الموضوعي" بعبارات "الحقن" و"الحقن" و"القذف" على التوالي.

عكس رسم الخرائط

دع %%f: X \to Y%% يكون بعضًا الاعتراضودع %%y \في Y%%. دعنا نشير بواسطة %%f^(-1)(y)%% إلى العنصر الوحيد %%x \في X%% بحيث %%f(x) = y%%. وبالتالي سوف نحدد بعض الجديد عرض%%g: Y \to X%%، وهو ازدراء مرة أخرى. يسمونها رسم الخرائط العكسية.

مثال

اجعل %%X, Y = \mathbb R%% هي مجموعة الأعداد الحقيقية. يتم إعطاء الدالة %%f%% بالصيغة %%y = 3x + 3%%. هل هذه الدالة لها معكوس؟ إذا كان الجواب نعم أي واحد؟

من أجل معرفة ما إذا كانت دالة معينة لها معكوس، تحتاج إلى التحقق مما إذا كان الأمر كذلك الاعتراض. للقيام بذلك، دعونا نتحقق مما إذا كان هذا التعيين حقنةو شمولي.

دعونا نتحقق من الحقن. دع %%x_1 \neq x_2%%. دعونا نتحقق من أن %%f(x_1) \neq f(x_2)%%، أي %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. افترض العكس، %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. ثم يتبين أن %%x_1 = x_2%%. لقد حصلنا على تناقض، لأن %%x_1 \neq x_2%%. ولذلك فإن %%f%% عبارة عن حقنة.
دعونا تحقق surjection. دع %%y \in Y = \mathbb(R)%%. لنجد العنصر %%x \in X = \mathbb(R)%% بشرط %%f(x) = y%%، أي %%3x + 3 = y%%. في هذه المساواة تم تحديد العنصر %%y \in \mathbb(R)%% ونحتاج إلى العثور على العنصر %%x%%. من الواضح أن $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ لذلك، فإن التعيين %%f%% يكون نهائيًا.

بما أن %%f%% عبارة عن حقنة وجراحة، فإن %%f%% عبارة عن حقنة. وبالتالي، فإن التعيين العكسي هو %%x = \frac(y-3)(3)%%.

مجموعات رسم الخرائط §1. التعاريف الأساسية

تعريف. افترض أن A وB مجموعتان. يقولون أنه يتم إعطاء تعيين f للمجموعة A إلى B إذا تم تحديد قانون يتم بموجبه ربط أي عنصر a من A بعنصر واحد b من المجموعة B:

تسمى التعيينات أيضًا بالوظائف.

سوف نستخدم الرموز التالية:

ƒ : A→ B. التعيين f يأخذ المجموعة A إلى B؛

A f B. يتم تعيين المجموعة A إلى B عندما يتم تعيين f.

إذا كان العنصر a، عند تعيين f، ينتقل إلى العنصر b، فاكتب f(a)=b (الإدخال الأيسر) أو af=b (الإدخال الأيمن). يُسمى العنصر b صورة العنصر a ضمن التعيين f؛ العنصر a هو الصورة العكسية للعنصر b

هذا العرض. المجموعة ( f (a ) | a A ) = f (A ) هي صورة المجموعة A ضمن التعيين f. لاحظ أن

و(أ)ب.

أ ب

و و(أ)

أ - اِختِصاصرسم الخرائط و؛ في - يتراوحرسم الخرائط f (في بعض الأحيان – على سبيل المثال، في الرياضيات المدرسية – يعتبر نطاق القيم هو f(A)، لكننا سنعتبره B).

لاحظ أننا نعتبر التعيينات ذات القيمة الفردية فقط.

من بين جميع شاشات العرض، تتميز الأنواع التالية بشكل خاص:

1. Surjection (رسم الخرائط "على")هو تعيين f : A → B بحيث f (A ) = B . تحت التأثير، كل عنصر من المجموعة B لديه صورة معكوسة واحدة على الأقل.

2. الحقن – رسم خرائط يتم فيه تحويل العناصر المختلفة إلى عناصر مختلفة، أي. إذا أ، أ 1 أ و أ ≠ أ 1، ثم و (أ) ≠ و (أ 1).





				و(أ1)

3. الاعتراض، أو رسم الخرائط واحد لواحدهو رسم خريطة عبارة عن حقنة وجراحة.

أمثلة على العروض:.

1. لتكن A أي مجموعة و B تكون مجموعة مكونة من عنصر واحد، أي. ب = (ب).

أ . ب

التعيين f (a) = b، a A هو surjection، لأن و(أ)=ب.

2. اجعل المجموعة A عبارة عن قطعة ما على المستوى، والمجموعة B عبارة عن خط. من كل نقطة من القطعة A نخفض عموديًا على الخط المستقيم B ونضع قواعد هذه المتعامدين على توافق مع نقاط القطعة A.

φ(أ) الخامس

دعونا نشير إلى هذا التعيين بواسطة φ. بوضوح،

ϕ (أ) ≠ ϕ (أ 1)، أ، أ 1 أ، أ ≠ أ 1.

ولذلك، فإن التعيين φ عبارة عن حقنة (ولكنها ليست مفاجأة).

3. اجعل المجموعة A هي الوتر في المثلث القائم الزاوية، والمجموعة B هي ساقه. دعونا نربط أي نقطة من الوتر بإسقاطها على الساق. نحصل على تعيين واحد لواحد من A إلى B:

أولئك. f هو الاعتراض.

لاحظ أن هذه هي الطريقة التي تثبت بها الرياضيات أن "عدد" النقاط الموجودة على الوتر والساق متماثلان (بتعبير أدق، هذه المجموعات لها نفس العلاقة الأساسية).

تعليق. ليس من الصعب التوصل إلى خريطة لا تكون اجتياحًا أو حقنًا أو طعنًا.

4. إذا كانت f هي أي دالة لمتغير حقيقي، فإن f عبارة عن تعيين من R إلى R.

§2. ضرب الخريطة

دع A، B، C تكون ثلاث مجموعات ودع خريطتين f : A → B و ϕ : B → C معطى.

التعريف 1. ناتج هذه التعيينات هو التعيين الذي يتم الحصول عليه نتيجة تنفيذها المتسلسل.

ϕf

هناك خياران للتسجيل.

1. الدخول الأيسر.
ƒ (أ)=ب، ϕ (ب)=ج.		تشير إلى ϕ و:
ثم سيكون منتج f و φ	ترجمة من a إلى c، ينبغي أن يكون	تشير إلى ϕ و:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (انظر الشكل أعلاه).
حسب التعريف (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) ,	أولئك. منتج الخرائط –	هذه وظيفة معقدة
تم تعيينه على أ.

2. الدخول الصحيح.

أƒ = ب، ب = ج. ثم أ (f ϕ ) = (af ) ϕ = ب ϕ = ج ,

و ϕ : أ → ج.

سوف نستخدم الترميز الأيسر (لاحظ أن الكتاب يستخدم الترميز الأيمن). أدناه سوف نشير إلى منتج التعيينات بواسطة f ϕ.

ملاحظة 1. من تعريف ضرب التعيينات، يترتب على ذلك أنه لا يمكن مضاعفة أي تعيينات، ولكن فقط تلك التي تكون مجموعاتها "المتوسطة" هي نفسها. على سبيل المثال، إذا كان f : A → B ,ϕ : D → C ، فبالنسبة لـ B=D يمكن ضرب التعيينات f وφ، لكن بالنسبة إلى B≠D فإن ذلك غير ممكن.

خصائص رسم الخرائط الضرب

التعريف 2. تسمى الخرائط f و g متساوية إذا تزامنت مجالات تعريفها ونطاقات القيم، أي. f : A → B , g : A → B ويتم استيفاء الشرط: a A صحيح

المساواة و (أ) = ز (أ).

1. مضاعفة الخرائط غير تبادلية. بمعنى آخر، إذا كان fφ وφf موجودين، فإنهما ليسا متساويين بالضرورة.

لنفترض، على سبيل المثال، المجموعات A=B=C=R، f (x) = sin x،ϕ (x) ضع في اعتبارك المنتجات:

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x،

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

ولذلك، فإن الدالتين fφ وφf مختلفتان.

2. مضاعفة التعيينات هو النقابي.

دع f: A → B، ϕ: B → C، ψ: C → D. دعونا نثبت أن (ψϕ ) f

E x , f : R → R, ϕ : R → R .

و ψ (ϕ f ) موجودان ومتساويان، أي (ψϕ ) f =

ψ (ϕ و) . (1)

من الواضح أن (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .

لإثبات المساواة (1)، بحكم تعريف المساواة في التعيينات، من الضروري التحقق من أن أ : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). استخدام تعريف تعيين الضرب (في الإدخال الأيسر)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

لأن في المتساويات (3) و(4) إذا كان طرفا اليمين متساويين، فإن طرفا اليسار متساويان أيضا، أي. المساواة (2) صحيحة، ومن ثم (1) صحيحة أيضًا.

الملاحظة 2. إن ترابط الضرب يسمح لنا بتحديد منتج ثلاثة بشكل فريد، ثم أي عدد محدود من العوامل.

عدة صور أولية في A، أو لا توجد صور أولية على الإطلاق. ومع ذلك، بالنسبة للخريطة الموضوعية، يمكن تحديد العكس.

دع f : A → B يكون ازدواجًا، f (a) = b، a A، b B. بعد ذلك، بالنسبة لأي عنصر b B، وفقًا لتعريف الانحراف، هناك صورة معكوسة فريدة تحت التعيين f - هذا هو العنصر a. الآن يمكننا تعريف f − 1 : B → A بوضع f − 1 (b ) = a (b B ) . من السهل أن نرى أن f − 1 عبارة عن اعتراض.

لذلك، كل رسم خرائط ثنائي له معكوس.

§3. تعيين التحولات

يتم استدعاء أي تعيين f : A → A تحول المجموعةأ. على وجه الخصوص، أي

دالة المتغير الحقيقي هي تحويل للمجموعة R.

من أمثلة تحويلات مجموعة من النقاط على المستوى، دوران المستوى، والتماثل حول محور، وما إلى ذلك.

نظرًا لأن التحويلات هي حالة خاصة من التعيينات، فإن كل ما ذكر أعلاه حول التعيينات ينطبق عليها. لكن مضاعفة تحويلات المجموعة A لها أيضًا خصائص محددة:

1. لأي تحويلات f وφ للمجموعة A، يكون الناتج fφ وφf موجودًا؛

2. هناك تحول هوية للمجموعة Aε: ε (أ) = أ، أ.

من السهل أن نرى أنه لأي تحويل f لهذه المجموعة f ε = ε f = f، على سبيل المثال، (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . وهذا يعني أن التحويل ε يلعب دور عنصر الوحدة عند ضرب التحويلات.

من السهل التحقق من المساواة. وبالتالي فإن التحويل العكسي يلعب دور العنصر العكسي عند ضرب التحويلات.

يعرض (وظائف)

تلعب الوظائف دورًا مركزيًا في الرياضيات، حيث يتم استخدامها لوصف أي عملية يتم فيها تحويل عناصر مجموعة واحدة بطريقة أو بأخرى إلى عناصر مجموعة أخرى. تعتبر مثل هذه التحولات للعناصر فكرة أساسية ذات أهمية قصوى لجميع العمليات الحسابية.

تعريف.تسمى العلاقة f على AB عرض (وظيفة)من A إلى B إذا كان لكل xA هناك واحد فقط yB. تعيين معادلة العلاقة الثنائية

و: AB أو y=f(x)

المجموعة A تسمى مجال التعريف.المجموعة ب - مدى من القيم.

إذا كانت y=f(x)، فسيتم استدعاء x دعوى، و - قيمة الوظيفة.

دع f: AB، إذن

مجموعة التعريفسمات:

معاني متعددةسمات:

مجموعة تعريف الدالة هي مجموعة فرعية من مجال التعريف، أي. Dom f A، ومجموعة قيم الوظائف هي مجموعة فرعية من نطاق الوظائف، أي. Im f B. إذا كانت الدالة تسمى دالة كلية، وإذا كانت دالة جزئية. وبالتالي، يعد مخطط Venn بمثابة توضيح مناسب لوظيفة محددة في المجموعة A مع القيم في المجموعة B.

طرق تحديد الوظيفة:

1) لفظي.
2) التحليلية.
3) استخدام الرسم البياني أو الرسم.
4) استخدام الجداول.

تعريف.إذا كان MA، فإن المجموعة f(M)=y f(x)=y لبعض x من M تسمى طريقمجموعات م.

إذا كان KB، فسيتم استدعاء المجموعة f -1 (K)=x f(x)K النموذج المبدئيمجموعات ك.

تعريفتسمى الدالة دالة n-argument، أو دالة n-ary. تقوم هذه الوظيفة بتعيين صف إلى العنصر bB، .

خصائص التعيينات (الوظائف).

1) يتم استدعاء التعيين f: AB حقنة، إذا قام بتعيين عناصر مختلفة من A إلى عناصر مختلفة من B: .

يمكن إظهار هذه الخاصية باستخدام مخططات فين.

2) يتم استدعاء التعيين f: AB شموليأو تعيين للمجموعة B بأكملها، إذا تم تعيين عنصر واحد على الأقل من A لكل عنصر في المجموعة B: .

يمكن أيضًا إظهار هذه الخاصية باستخدام مخططات Venn.

3) يسمى التعيين f: AB، وهو لفظي ولفظي موضوعيةأو تعيين واحد لواحد من المجموعة A إلى المجموعة B.

مثال.دعونا نحصل على تعيين f: RR، والذي تم تعريفه بهذه الطريقة. تعرف على خصائص هذه الخريطة.

حل.الدالة f ليست حقنية، لأن و (2)=و (2)، ولكن 2 2.

الدالة f أيضًا ليست قاطعة، نظرًا لعدم وجود عدد حقيقي x حيث f (x) = 1.

تعريف.دع f يكون تعيينًا ثنائيًا للمجموعة A في المجموعة B. إذا قمنا بربط كل عنصر من B مع عنصر مرتبط من A، فإن مثل هذا المراسلات عبارة عن تعيين من B إلى A. يُشار إلى هذا التعيين ويُسمى التعيين العكسي لـ f.

للرسم العكسي بعض الخصائص التي سنصوغها في النظرية التالية.

النظرية 3.إذا كان f: AB منازعة، إذن