بيت / الستائر/ التخصيم. عوامل متعددة افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود مع الحل

التخصيم. عوامل متعددة افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود مع الحل

التعريف 1.إذا اختفى كثير الحدود f(x) عند استبدال الرقم c بالمجهول، فإن c يسمى جذر كثير الحدود f(x) (أو المعادلة f(x)=0).

مثال 1. و(س)=س 5 +2س 3 -3س.

الرقم 1 هو جذر f(x)، والرقم 2 ليس جذر f(x)، حيث أن f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0، وf(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

اتضح أن جذور كثيرة الحدود مرتبطة بمقسوماتها.

الرقم c هو جذر كثير الحدود f(x) إذا وفقط إذا كان f(x) قابلاً للقسمة على x-c.

التعريف 2.إذا كان c هو جذر كثيرة الحدود f(x)، فإن f(x) قابل للقسمة على x-c. ثم هناك عدد طبيعي k بحيث يكون f(x) قابلاً للقسمة على (x-c) k، ولكنه غير قابل للقسمة على (x-c) k+1. هذا الرقم k يسمى تعدد جذر c لكثيرة الحدود f(x)، والجذر c نفسه هو جذر k-fold لهذا كثير الحدود. إذا كان k = 1، فإن الجذر c يسمى بسيطًا.

للعثور على تعدد k لجذر كثير الحدود f(x)، استخدم النظرية:

إذا كان الرقم c هو جذر k-fold لكثيرة الحدود f(x)، فعند k>1 سيكون جذر (k-1)-fold للمشتق الأول من كثير الحدود هذا؛ إذا كان k = 1، فلن يكون c بمثابة جذر لـ f "(x).

عاقبة.لأول مرة، لن يكون جذر k-fold لمتعدد الحدود f(x) بمثابة جذر لمشتق kth.

مثال 2.تأكد من أن الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. تحديد تعددها.

حل.الرقم 2 هو جذر f(x)، حيث أن 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

و "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

و ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

و """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

الرقم 2 ليس جذر f"""(x) للمرة الأولى، وبالتالي فإن الرقم 2 هو جذر ثلاثي للكثيرة الحدود f(x).

دع متعدد الحدود f(x) من الدرجة n≥1 مع المعامل الرئيسي 1 يعطى: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n و α 1 ،... ,α n هي جذوره. ترتبط جذور كثيرة الحدود ومعاملاتها بصيغ تسمى صيغ فييتا:

أ 1 = -(α 1 +...+α n)،

أ 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

أ 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

أ ن =(-1) ن α 1 α 2 ...α n .

تسهل صيغ فييتا كتابة كثيرة الحدود بالنظر إلى جذورها.

مثال 3.ابحث عن كثيرة الحدود ذات جذور بسيطة 2؛ 3 والجذر المزدوج -1.

حل.لنجد معاملات كثيرة الحدود:

و1 =– (2+3–1–1)=-3,

أ 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

أ 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

و4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

كثير الحدود المطلوب هو x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.

التعريف 3.متعدد الحدود f(x)ÌP[x] من الدرجة n قابل للاختزال عبر الحقل P إذا كان من الممكن تحليله إلى منتج عاملين φ(x) و ψ(x) من P[x]، درجاتهما أقل من ن:

و(س)=φ(س)ψ(س). (1)

يُطلق على f(x)ОP[x] اسم غير قابل للاختزال في الحقل P إذا كان أحد العوامل في أي من عوامله من P[x] له درجة 0، والآخر له درجة n.

النظريات التالية تحمل:

يمكن أن تتحلل أي كثيرة حدود بدرجة غير الصفر f(x) من الحلقة P[x] إلى منتج عوامل غير قابلة للاختزال من P[x] بشكل فريد حتى عوامل الدرجة صفر.

يترتب على ذلك بسهولة أنه بالنسبة لأي كثيرة الحدود f(x)ОР[x] من الدرجة n، n≥1، هناك التحلل التالي إلى عوامل غير قابلة للاختزال:

حيث تكون كثيرات الحدود غير قابلة للاختزال في P[x] مع معاملات رائدة تساوي واحدًا. هذا التوسع في كثير الحدود فريد من نوعه.

ولا ينبغي للعوامل غير القابلة للاختزال المتضمنة في مثل هذا التوسع أن تكون مختلفة كلها. إذا حدث كثير الحدود غير القابل للاختزال بالضبط k مرات في التوسع (2)، فإنه يسمى عامل k-fold لكثير الحدود f(x). إذا ظهر العامل P(x) في هذا التوسع مرة واحدة فقط، فإنه يسمى a عامل بسيط لـ f(x) .

إذا تم جمع العوامل المتطابقة في المفكوك (2)، فيمكن كتابة هذا المفكوك بالشكل التالي:

, (3)

حيث أن العوامل Р 1 (x)،…، Р r (x) كلها مختلفة بالفعل. المؤشرات k 1 ,…,k r هنا تساوي مضاعفات العوامل المقابلة. يمكن كتابة التوسيع (3) على النحو التالي:

حيث F 1 (x) هو حاصل ضرب جميع العوامل البسيطة غير القابلة للاختزال، وهو حاصل ضرب جميع العوامل المزدوجة غير القابلة للاختزال، وما إلى ذلك. في التوسعة (3). إذا لم تكن هناك عوامل m-fold في التمدد (3)، فإن العامل يعتبر مساويًا لواحد.

يمكن العثور على كثيرات الحدود F 1 (x)،...,F s (x) لكثيرة الحدود f(x) على حقول الأرقام باستخدام مفهوم المشتق، الخوارزمية الإقليدية من النظرية التي تمت صياغتها مسبقًا (حول الاتصال بالمشتق) على النحو التالي:

ولذلك نحصل

وبالتالي، بالنسبة لكثيرة الحدود f(x) يمكننا إيجاد العوامل .

إذا كان من الضروري بالنسبة لكثيرة الحدود f(x) العثور على العوامل F 1 (x),...,F s (x) لامتدادها (4)، فإنهم يقولون إنه من الضروري فصل عواملها المتعددة.

مثال 4.افصل بين العوامل المتعددة f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

حل.أوجد gcd f(x) وf "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

د 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

الآن نجد d 2 (x)=(d 1 (x)، d 1 " (x)).

نعبر عن v 1 (x)، v 2 (x)، v 3 (x).

(نقوم بالتقسيم).

ت 1 (س)=س 2 -س-2.

(نقوم بالتقسيم).

وبالتالي نحصل على F 3 (x)=v 3 (x)=x+1،

وهكذا فإن كثيرة الحدود f(x) لها التوسع f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. في مفكوك (3) كثير الحدود f(x) لا توجد عوامل أولية، العامل المزدوج هو x-2 والعامل الثلاثي هو x+1.

ملاحظة 1.هذه الطريقة لا تعطي أي شيء إذا كانت جميع العوامل غير القابلة للاختزال في كثير الحدود f(x) بسيطة (نحصل على الهوية f(x)=F 1 (x)).

ملاحظة 2.تتيح لك هذه الطريقة تحديد مضاعفات جميع جذور كثيرة الحدود التعسفية.

خيارات العمل المختبري

الخيار 1

1. تأكد من أن كثير الحدود 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 له جذر 1+i. أوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

2. افصل بين مضاعفات x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.

3. أوجد كثيرة الحدود لأصغر درجة وجذورها هي: 5, i, i+3.

الخيار 2

1. ما هو تعدد الجذر x 0 = 2 لكثيرة الحدود f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48؟ العثور على بقية جذوره.

2. افصل بين مضاعفات x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.

3. حدد العلاقة بين معاملات المعادلة x 3 +px+q=0 إذا كانت جذورها x 1، x 2، x 3 تحقق العلاقة.

الخيار 3

1. ما هو تعدد الجذر x 0 = 4 لكثير الحدود x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16؟ ابحث عن الجذور المتبقية.

2. افصل بين المضاعفات x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. حدد lect بحيث يكون أحد جذور المعادلة يساوي ضعف الجذر الآخر: x 3 -7x+lect=0.

الخيار 4

1. أظهر أن x=3 هو جذر كثيرة الحدود f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. تحديد تعددها والعثور على الجذور المتبقية.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. مجموع جذرين للمعادلة 2x 3 - x 2 -7x+lect=0 يساوي 1. أوجد lect.

الخيار 5

1. أظهر أن x 0 = -2 هو جذر كثيرة الحدود x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. تحديد تعددها والعثور على الجذور المتبقية.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. أوجد كثيرة الحدود من أصغر درجة بمعلومية الجذور 1، 2، 3، 1+i.

الخيار 6

1. أوجد الشرط الذي يكون فيه كثير الحدود x 5 + ax 4 + b له جذر مزدوج يختلف عن الصفر.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. كثيرة الحدود a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n لها جذور x 1, x 2,…, x n. ما هي جذور كثيرات الحدود: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) أ ن × ن +أ ن-1 × ن-1 +…+أ 0 ؟

الخيار 7

1. أظهر أن x=-2 هو جذر كثيرة الحدود 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. أوجد كثرة الجذر وأوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

3. أوجد مجموع مربعات جذور المعادلة 2x 3 -2x 2 -4x-1.

الخيار 8

1. أثبت أن x=1 هو جذر كثيرة الحدود x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. تحديد تعددها. أوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

3. أحد جذور كثيرة الحدود أكبر بمرتين من الآخر. أوجد جذور كثيرة الحدود f(x)=x 3 -7x 2 +14x+α.

الخيار 9

1. أوجد الشرط الذي يكون فيه كثير الحدود x 5 +10ax 3 +5bx+c له جذر ثلاثي يختلف عن الصفر.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. حل المعادلة x 3 -6x 2 +qx+2=0 إذا علم أن جذورها تشكل متوالية حسابية.

الخيار 10

1. أظهر أن x=3 هو جذر كثيرة الحدود f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. تحديد تعدد الجذر، والعثور على جذور أخرى لكثيرة الحدود.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. أوجد كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية من أصغر درجة بمعلومية الجذور 1، 2+i، 3.

الخيار 11

1. أظهر أن x=2 هو جذر كثيرة الحدود x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. أوجد تعددها وجذورها الأخرى.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. أنشئ كثيرة الحدود من أصغر درجة إذا كانت جذورها x 1 = 2، x 2 = 1-i، x 3 = 3 معروفة.

الخيار 12

1. أظهر أن x = -1 هو جذر كثيرة الحدود x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. أوجد تعددها والجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. أنشئ كثيرة حدود من أصغر درجة إذا كانت جذورها x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 معروفة.

الخيار 13

1. ما هو تعدد الجذر x 0 = 4 لكثير الحدود x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16؟ أوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. حدد lect بحيث يكون أحد جذور المعادلة x 3 -7x+lect=0 يساوي ضعف الآخر.

معلومات ذات صله.

تم تصميم هذه الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت لتحليل دالة.

على سبيل المثال، قم بتحليل: x 2 /3-3x+12. لنكتبها بالشكل x^2/3-3*x+12. يمكنك أيضًا استخدام هذه الخدمة، حيث يتم حفظ جميع الحسابات بتنسيق Word.

على سبيل المثال، تتحلل إلى المصطلحات. لنكتبها كـ (1-x^2)/(x^3+x) . لرؤية مدى تقدم الحل، انقر فوق إظهار الخطوات. إذا كنت تريد الحصول على النتيجة بتنسيق Word، فاستخدم هذه الخدمة.

ملحوظة: يتم كتابة الرقم "pi" (π) كـ pi؛ الجذر التربيعي مثل sqrt، على سبيل المثال sqrt(3)، يتم كتابة tangent tg tan. لرؤية الإجابة، راجع البديل.

إذا تم إعطاء تعبير بسيط، على سبيل المثال، 8*d+12*c*d، فإن تحليل التعبير يعني تمثيل التعبير في شكل عوامل. للقيام بذلك، تحتاج إلى إيجاد عوامل مشتركة. لنكتب هذا التعبير بالشكل: 4*d*(2+3*c) .
قدم الناتج على شكل حدين: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. تحتاج هنا بالفعل إلى إيجاد عدة عوامل مشتركة: x(x+7z) + 3y(x + 7z). نخرج (x+7z) ونحصل على: (x+7z)(x + 3y) .

انظر أيضًا تقسيم كثيرات الحدود بالزاوية (يتم عرض جميع خطوات التقسيم باستخدام عمود)

ستكون مفيدة عند دراسة قواعد التخصيم صيغ الضرب المختصرة، والتي من خلالها سيكون من الواضح كيفية فتح الأقواس بمربع:

(أ+ب) 2 = (أ+ب)(أ+ب) = أ 2 +2أ+ب 2
(أ-ب) 2 = (أ-ب)(أ-ب) = أ 2 -2أ+ب 2
(أ+ب)(أ-ب) = أ 2 - ب 2
أ 3 + ب 3 = (أ+ب)(أ 2 -أ+ب 2)
أ 3 -ب 3 = (أ-ب)(أ 2 +آب+ب 2)
(أ+ب) 3 = (أ+ب)(أ+ب) 2 = أ 3 +3أ 2 ب + 3أ 2 +ب 3
(أ-ب) 3 = (أ-ب)(أ-ب) 2 = أ 3 -3أ 2 ب + 3أب 2 -ب 3

طرق التخصيم

بعد تعلم بعض التقنيات التخصيميمكن إجراء التصنيف التالي للحلول:

استخدام صيغ الضرب المختصرة.
إيجاد العامل المشترك.

مثال 1. و(س)=س 5 +2س 3 -3س.

الرقم 1 هو جذر f(x)، والرقم 2 ليس جذر f(x)، حيث أن f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0، وf(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

اتضح أن جذور كثيرة الحدود مرتبطة بمقسوماتها.

الرقم c هو جذر كثير الحدود f(x) إذا وفقط إذا كان f(x) قابلاً للقسمة على x-c.

للعثور على تعدد k لجذر كثير الحدود f(x)، استخدم النظرية:

عاقبة.لأول مرة، لن يكون جذر k-fold لمتعدد الحدود f(x) بمثابة جذر لمشتق kth.

مثال 2.تأكد من أن الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. تحديد تعددها.

حل.الرقم 2 هو جذر f(x)، حيث أن 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

و "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

و ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

و """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

الرقم 2 ليس جذر f"""(x) للمرة الأولى، وبالتالي فإن الرقم 2 هو جذر ثلاثي للكثيرة الحدود f(x).

أ 1 = -(α 1 +...+α n)،

أ 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

أ 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

أ ن =(-1) ن α 1 α 2 ...α n .

تسهل صيغ فييتا كتابة كثيرة الحدود بالنظر إلى جذورها.

مثال 3.ابحث عن كثيرة الحدود ذات جذور بسيطة 2؛ 3 والجذر المزدوج -1.

حل.لنجد معاملات كثيرة الحدود:

و1 =– (2+3–1–1)=-3,

أ 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

أ 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

و4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

كثير الحدود المطلوب هو x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.

و(س)=φ(س)ψ(س). (1)

النظريات التالية تحمل:

إذا تم جمع العوامل المتطابقة في المفكوك (2)، فيمكن كتابة هذا المفكوك بالشكل التالي:

, (3)

ولذلك نحصل

وبالتالي، بالنسبة لكثيرة الحدود f(x) يمكننا إيجاد العوامل .

مثال 4.افصل بين العوامل المتعددة f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

حل.أوجد gcd f(x) وf "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

د 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

الآن نجد d 2 (x)=(d 1 (x)، d 1 " (x)).

نعبر عن v 1 (x)، v 2 (x)، v 3 (x).

(نقوم بالتقسيم).

ت 1 (س)=س 2 -س-2.

(نقوم بالتقسيم).

وبالتالي نحصل على F 3 (x)=v 3 (x)=x+1،

ملاحظة 2.تتيح لك هذه الطريقة تحديد مضاعفات جميع جذور كثيرة الحدود التعسفية.

خيارات العمل المختبري

الخيار 1

1. تأكد من أن كثير الحدود 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 له جذر 1+i. أوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

2. افصل بين مضاعفات x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.

3. أوجد كثيرة الحدود لأصغر درجة وجذورها هي: 5, i, i+3.

الخيار 2

1. ما هو تعدد الجذر x 0 = 2 لكثيرة الحدود f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48؟ العثور على بقية جذوره.

2. افصل بين مضاعفات x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.

3. حدد العلاقة بين معاملات المعادلة x 3 +px+q=0 إذا كانت جذورها x 1، x 2، x 3 تحقق العلاقة.

الخيار 3

1. ما هو تعدد الجذر x 0 = 4 لكثير الحدود x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16؟ ابحث عن الجذور المتبقية.

2. افصل بين المضاعفات x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. حدد lect بحيث يكون أحد جذور المعادلة يساوي ضعف الجذر الآخر: x 3 -7x+lect=0.

الخيار 4

1. أظهر أن x=3 هو جذر كثيرة الحدود f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. تحديد تعددها والعثور على الجذور المتبقية.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. مجموع جذرين للمعادلة 2x 3 - x 2 -7x+lect=0 يساوي 1. أوجد lect.

الخيار 5

1. أظهر أن x 0 = -2 هو جذر كثيرة الحدود x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. تحديد تعددها والعثور على الجذور المتبقية.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. أوجد كثيرة الحدود من أصغر درجة بمعلومية الجذور 1، 2، 3، 1+i.

الخيار 6

1. أوجد الشرط الذي يكون فيه كثير الحدود x 5 + ax 4 + b له جذر مزدوج يختلف عن الصفر.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. كثيرة الحدود a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n لها جذور x 1, x 2,…, x n. ما هي جذور كثيرات الحدود: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) أ ن × ن +أ ن-1 × ن-1 +…+أ 0 ؟

الخيار 7

1. أظهر أن x=-2 هو جذر كثيرة الحدود 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. أوجد كثرة الجذر وأوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

3. أوجد مجموع مربعات جذور المعادلة 2x 3 -2x 2 -4x-1.

الخيار 8

1. أثبت أن x=1 هو جذر كثيرة الحدود x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. تحديد تعددها. أوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

3. أحد جذور كثيرة الحدود أكبر بمرتين من الآخر. أوجد جذور كثيرة الحدود f(x)=x 3 -7x 2 +14x+α.

الخيار 9

1. أوجد الشرط الذي يكون فيه كثير الحدود x 5 +10ax 3 +5bx+c له جذر ثلاثي يختلف عن الصفر.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. حل المعادلة x 3 -6x 2 +qx+2=0 إذا علم أن جذورها تشكل متوالية حسابية.

الخيار 10

1. أظهر أن x=3 هو جذر كثيرة الحدود f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. تحديد تعدد الجذر، والعثور على جذور أخرى لكثيرة الحدود.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. أوجد كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية من أصغر درجة بمعلومية الجذور 1، 2+i، 3.

الخيار 11

1. أظهر أن x=2 هو جذر كثيرة الحدود x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. أوجد تعددها وجذورها الأخرى.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. أنشئ كثيرة الحدود من أصغر درجة إذا كانت جذورها x 1 = 2، x 2 = 1-i، x 3 = 3 معروفة.

الخيار 12

1. أظهر أن x = -1 هو جذر كثيرة الحدود x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. أوجد تعددها والجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. أنشئ كثيرة حدود من أصغر درجة إذا كانت جذورها x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 معروفة.

الخيار 13

1. ما هو تعدد الجذر x 0 = 4 لكثير الحدود x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16؟ أوجد الجذور المتبقية لكثيرة الحدود.

2. افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. حدد lect بحيث يكون أحد جذور المعادلة x 3 -7x+lect=0 يساوي ضعف الآخر.

هناك طرق تسمح لك بمعرفة ما إذا كانت كثيرة الحدود معينة لها عوامل متعددة، وإذا كانت الإجابة إيجابية، فإنها تجعل من الممكن تقليص دراسة كثيرات الحدود هذه إلى دراسة كثيرات الحدود التي لم تعد تحتوي على عوامل متعددة.

نظرية. إذا كان عاملًا متعددًا غير قابل للاختزال لكثيرة الحدود، فسيكون عاملًا متعددًا لمشتقة كثيرة الحدود هذه. على وجه الخصوص، العامل الرئيسي لكثيرة الحدود. لا يدخل في توسيع المشتقات.

في الواقع، اسمحوا

ولم يعد يقبل القسمة على. بتفاضل المساواة (5.1) نحصل على:

والثاني من الحدود التي بين القوسين لا يقبل القسمة على. بل إنه لا ينقسم على الشرط، وله درجة أقل، أي: وأيضا لا يقبل القسمة على. من ناحية أخرى، يتم تقسيم الحد الأول من المجموع بين قوسين مربعين على، أي. في الواقع، يلعب المضاعف دورًا مع المضاعف.

من هذه النظرية ومن الطريقة المذكورة أعلاه لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لاثنين من كثيرات الحدود، يترتب على ذلك أنه إذا تم إعطاء تحلل كثير الحدود إلى عوامل غير قابلة للاختزال:

عندها يكون القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود ومشتقتها هو التحلل التالي إلى عوامل غير قابلة للاختزال:

حيث يجب استبدال المضاعف بواحد. على وجه الخصوص، لا تحتوي كثيرة الحدود على عوامل متعددة إذا وفقط إذا كانت أولية لمشتقتها.

عزل المضاعفات

إذا تم إعطاء كثيرة الحدود بمفكوكها (5.2) وإذا أشرنا إلى القاسم المشترك الأكبر ومشتقته، فإن (5.3) سيكون مفكوكًا لـ. بقسمة (5.2) على (5.3) نحصل على:

أولئك. نحصل على كثيرة حدود لا تحتوي على عوامل متعددة، وكل عامل غير قابل للاختزال له، بشكل عام، درجة أقل، وعلى أي حال، يحتوي على عوامل أولية فقط. إذا تم حل هذه المشكلة، فكل ما تبقى هو تحديد تعدد العوامل غير القابلة للاختزال الموجودة فيها، وهو ما يتم تحقيقه باستخدام خوارزمية القسمة.

مما يزيد من تعقيد الطريقة الموضحة الآن، يمكننا أن ننتقل على الفور إلى النظر في العديد من كثيرات الحدود دون عوامل متعددة، وبعد العثور على العوامل غير القابلة للاختزال لهذه كثيرات الحدود، لن نجد جميع العوامل غير القابلة للاختزال فحسب، بل سنعرف أيضًا تعددها.

وليكن (5.2) تحليلا إلى عوامل غير قابلة للاختزال، وأعلى تعدد للعوامل هو، . دعونا نشير إلى حاصل ضرب جميع العوامل الفردية لكثيرة الحدود، بضرب جميع العوامل المزدوجة، ولكن مأخوذ مرة واحدة فقط، وما إلى ذلك، وأخيرًا، بمنتج جميع العوامل المتعددة، مأخوذ أيضًا مرة واحدة فقط؛ إذا لم يكن هناك عوامل متعددة بالنسبة للبعض، فإننا نفترض. ثم سيتم قسمتها على درجة كثيرة الحدود وسيأخذ التوسع (5.2) الشكل

والتوسيع (5.3) سيتم إعادة كتابته في النموذج

نشير من خلال القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود ومشتقتها وبشكل عام من خلال القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود وبهذه الطريقة نحصل على:

……………………………

وهكذا أخيرا

وبالتالي، باستخدام التقنيات التي لا تتطلب معرفة العوامل غير القابلة للاختزال لكثيرة الحدود، أي أخذ المشتق والخوارزمية الإقليدية وخوارزمية القسمة، يمكننا العثور على كثيرات الحدود بدون عوامل متعددة، وكل عامل غير قابل للاختزال لكثيرة الحدود سيكون - متعدد ل.

مثال.عامل كثير الحدود إلى مضاعفات.

كثير الحدود لديه توسع في النموذج.

لقد قمت بإنشاء برنامج لتحليل كثيرات الحدود إلى مضاعفات.

Windows، الرسائل، SysUtils، المتغيرات، الفئات، الرسومات، عناصر التحكم، النماذج،

الحوارات، StdCtrls، الشبكات؛

TForm1 = الفئة (TForm)

SGd1: TStringGrid؛

Button1: TButton؛

SGd2: TStringGrid؛

SGd3: TStringGrid؛

SGd4: TStringGrid؛

الإجراء Button1Click(Sender: TObject);

(تصريحات خاصة)

(تصريحات عامة)

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:integer;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:صفيف عدد صحيح;

izub,e,fx:صفيف عدد صحيح;

الإجراء TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

فار i,j,k_1,st3,l:integer;

k2_2,k1_1:صفيف عدد صحيح;

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

لأني:=0 إلى st1 تبدأ

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

لأني:=0 إلى st1 تبدأ

إذا SGd1.Cells<>"" ثم

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else messageDlg("انتبه! لم يتم إدخال قيم المعامل!",mtWarning,,0);

لأني:=st1 نزولاً إلى 0 تبدأ

إذا kof1[i]<>0 ثم ابدأ

إذا (kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

لأني:=st2 نزولاً إلى 0 تبدأ

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

إذا kof2[i]<>0 ثم ابدأ

إذا (kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

لأني:=0 إلى st1 تبدأ

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

لأني:=0 إلى st2 تبدأ

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

بينما kof2<>0 ابدأ

// تحرير 4. النص: = ""؛

إذا ك1<>kof2 ثم تبدأ

إذا (k1 mod kof2)=0 ثم ابدأ

من أجل j:=0 إلى st2 افعل

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

إذا ك2<>1 ثم

من أجل j:=0 إلى st1 افعل

k1[j]:=kof2*k1[j];

إذا ك_1<>1 ثم ابدأ

من أجل j:=0 إلى st2 افعل

k2[j]:=k_1*kof2[j];

لأني:=1 إلى st1 تبدأ

k1:=k1[i]-k2[i];

حتى ش1

إذا ك1<>0 ثم ابدأ // الاختصار

لأني:=1 إلى st1 أفعل

إذا ك1[i]<>0 ثم ابدأ

إذا (k1[i] وزارة الدفاع k1)<>0 ثم sokr:=false;

إذا سكر = صحيح إذن

لأني:=0 إلى st1 أفعل

k1[i]:=k1[i] div k_1;

for i:=0 to st2 do // استبدال كثيرات الحدود

k2_2[i]:=kof2[i];

لأني:=0 إلى st1 أفعل

لأني:=0 إلى 10 تبدأ

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

إيزب:=0;

izubst:=st2;

لأني:=0 إلى st2 تبدأ

SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

إذا ك1[i]<>0 ثم ابدأ

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

إذا (k2_2>0) و(i

لأني:=0 إلى st1 تبدأ

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Edit1.Text);

لأني:=d_st+1 نزولاً إلى 1 تبدأ

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

// العثور على E

بالنسبة لـ n_nod:=1 إلى n_iz، ابدأ

م:=izubst;

لأني:=n+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

لأني:=m+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

ب[i]:=izub;

لأني:=n+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

إذا كان [أنا]<>0 ثم ابدأ

اذا كان<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

لأني:=m+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

إذا ب [أنا]<>0 ثم ابدأ

إذا (ب<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

بالنسبة لـ j:=n+1 وصولاً إلى 1، ابدأ

بالنسبة لـ j:=m+1 وصولاً إلى 1، ابدأ

b2[j]:=buf[i]*b[j];

بالنسبة لـ j:=f وصولاً إلى 1، ابدأ

a2[j]:=a2[j]*b;

بالنسبة لـ j:=f وصولاً إلى 1، ابدأ

a2[j]:=a2[j]-b2;

لأني:=f+1 نزولاً إلى 1 تبدأ

e:=buf[i];

إذا بوف[i]<>0 ثم ابدأ

إذا (بوف<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

لأني:=n وصولاً إلى 0 تبدأ

إذا a2[i]<>0 ثم ابدأ

إذا (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

بالنسبة لـ n_nod:=1 إلى n_iz-1، ابدأ

م:=إست;

لأني:=n+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

أ[i]:=e;

لأني:=m+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

ب[i]:=e;

إذا n_nod=n_iz-1 ثم fx:=b[i];

لأني:=n+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

إذا كان [أنا]<>0 ثم ابدأ إذا (أ<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

لأني:=m+1 وصولاً إلى 1 تبدأ

إذا ب [أنا]<>0 ثم ابدأ إذا (ب<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

بالنسبة لـ j:=n+1 وصولاً إلى 1، ابدأ

لأني:=الخطوة+1 نزولاً إلى 1 تبدأ

بالنسبة لـ j:=m+1 وصولاً إلى 1، ابدأ

b2[j]:=buf[i]*b[j];

بالنسبة لـ j:=f وصولاً إلى 1، ابدأ

a2[j]:=a2[j]*b;

بالنسبة لـ j:=f وصولاً إلى 1، ابدأ

a2[j]:=a2[j]-b2;

لأني:=f+1 نزولاً إلى 1 تبدأ

fx:=buf[i];

إذا بوف[i]<>0 ثم ابدأ إذا (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

لأني:=n وصولاً إلى 0 تبدأ

إذا a2[i]<>0 ثم ابدأ إذا (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

لأني:=1 إلى n_iz تبدأ

بالنسبة لـ j:=fxst[i] حتى 0، ابدأ

إذا الفوركس<>0 ثم ابدأ

إذا (fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Edit6.Text:=Edit6.Text+s;

لأني:=0 إلى 10 تبدأ

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

نظرية 14.1. (النظرية الأساسية حول كثيرات الحدود). يمكن تمثيل أي كثيرة حدود ذات درجة موجبة على المجال F كحاصل ضرب كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال على F، ومثل هذا التمثيل يكون فريدًا حتى ترتيب العوامل والارتباطات.

دليل. 1) الوجود. يترك و(خ) و(خ)و درجة و(س)=ن> 0. نقوم بالبرهان باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي على المعلمة ن.

1. دع ن=1 و (خ)غير قابل للاختزال F => و(س)=و(خ)– التمثيل المطلوب .

2. لنفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي كثيرة الحدود ذات درجة إيجابية< نفوق الميدان F.

3. دعونا نثبت العبارة الخاصة بكثيرة الحدود و (خ). لو و (خ)غير قابل للاختزال F، الذي - التي و(س)=و(س) هو التمثيل المطلوب. يترك و (خ)نعطي أعلاه F و(س)=و 1 (خ) ،أين F 1 (خ)،و 2 (خ) ف[س] و 0 < deg f i < n, i= F 1 (خ) = ص 1 (خ)· ص 2 (خ) · …·ص ص (خ)و F 2 (س)=ف 1 (خ) ·…·ف ق (خ)- التمثيل وفي شكل منتج من كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال و = و 1 F 2 = ص 1 · … · ع ص · ف 1 · … ·س– التمثيل المطلوب .

من 1 إلى 3، باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، تكون العبارة صحيحة لأي شخص ن ن.

2) التفرد. يترك و(س)=ص 1 (س)· … ·ص ص (خ)و f(x)=q 1 (x)· … ·q s (x)– التمثيلات المطلوبة (1). لأن ص ، ق ن ،أيضاً ص ص,أو ص ص.دعونا، على سبيل المثال، ص ص.بما أن الجانب الأيسر من (1) يقبل القسمة على ص 1 , الذي - التي (ف 1 · … · ف ق) ص 1 بواسطة Lemma 13.4، واحد على الأقل من العوامل قابل للقسمة عليه ص 1 . وبما أن العوامل يمكن تبديلها، فسوف نفترض ذلك س 1 ص 1 بواسطة ليما 13.2 س 1 ~س 2 و الملاحظة 3 س 1 =p 1 ·أ 0، حيث أ 0 F# => ص 1 · … ·ع ص =أ 0 · ص 1 · س 2 · … ·س، (2). بما أن الجانب الأيسر من (2) قابل للقسمة على ر 2، كما هو موضح أعلاه، نحصل على ر 2 ~س 2 و ر 2 =س 2 ب 0، حيث ب 0 F#،و(3)، وما إلى ذلك، بعد عدد محدود من الخطوات نحصل على 1 =أ 0 · 0 · … · ف ص + 1 · … ·س(4). لنفترض ذلك ص 1 ف ص + 1 => درجة ف ص + 1 =0 => تناقض => ص = ق.وبالتالي، فإن تمثيل كثير الحدود و (خ)في شكل المنتج المطلوب يتم تحديده بشكل فريد حسب ترتيب العوامل والارتباطات. تم إثبات النظرية.

التعريف 14.1. يترك F- مجال. متعدد الحدود و(س)=أ 0 س ن +أ 1 س ن - 1 +…+أ ن - 1 س+أ ن ف[س]يسمى تطبيعأو منح،لو أ 0 = 1.

النتيجة الطبيعية 14.1.1. يمكن تمثيل أي كثيرة حدود f ذات درجة موجبة على حقل F بالشكل: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x)، حيث a 0 F # , p 1 ,…,p r هي كثيرات الحدود المقيسة غير قابل للاختزال على F.

ملاحظة 14.1.يترك و(خ) و[س]، و -مجال، ديجف(خ)>0.ثم بالنتيجة الطبيعية 14.1.1 و(س)=أ 0 · … ·ص 1 (س)· … ·ص ص (خ)(١) حيث أ 0 و #، ص 1 (س)،…،ص ص (خ) -غير قابل للاختزال Fكثيرات الحدود المقيسة. ومن الممكن أن بين كثيرات الحدود ص 1 ،…،ص صهناك متساوون . بضرب العوامل المتساوية في (1) نحصل على مساواة الشكل f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s .

التعريف 14.2.يترك و(خ) و[س]،F-مجال، درجة f(x)>0.تمثيل متعدد الحدود و (خ)مثل و(س)=أ 0 · ص 1 ك 1 · … · ص ك ك (2)، أين أ 0 ف # ، ص 1، …، ص- غير قابلة للاختزال بشكل زوجي متميز على الحقل Fكثيرات الحدود المقيسة, ك أنا ≥1، أنا=،مُسَمًّى التمثيل الكنسيمتعدد الحدود F، رقم ك طمُسَمًّى تعدد العامل p i , i=. لو ك ط = 1، ثم بايويسمى عامل بسيط غير قابل للاختزال من كثير الحدود F.

النتيجة الطبيعية 14.2.دع f(x)، g(x) F[س], F - الحقل, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , حيث a 0 ,b 0 F # , p 1 , …,p s – متعددات الحدود المقيسة المتميزة بشكل زوجي وغير القابلة للاختزال على F, k i 0، ل ط 0، أنا= . ثم (f,g)=p 1 γ 1 ·p 2 γ 2 · … · p s γ s ، حيث γ i =min{ك أنا، ل أنا} ، أنا =،[و، ز]= ص 1 δ 1 ·ص 2 δ 2 · … ·p s δ s، حيث δ i =max(k i,l i), i=.

التعريف 14.3.يترك و(خ) و[س]، F- حلقة ترابطية تبادلية مع الهوية، مع- جذر و (خ).رقم كمُسَمًّى التعددجذر جمتعدد الحدود و (خ)،لو

و (س-ق) ك،لكن و (س-ج) ك + 1 .

في هذه الحالة يكتبون (س-ج) ك ┬ و(خ) -هذا الإدخال يعني ذلك (x-ج) ك- هذه هي أعلى درجة (س-ق)،الذي يقسم و (خ).

ملاحظة 14.2. لو ك = 1، ثم معيسمى الجذر البسيط لكثيرة الحدود و (خ).

يترك و(خ) و[س]،F-مجال. دعونا نحدد لأنفسنا مهمة فصل جميع العوامل المتعددة غير القابلة للاختزال في كثير الحدود و (خ).للقيام بذلك، نثبت النظرية التالية. كثير الحدود f(x) F[س]، حيث F هو حقل، لا يحتوي على عوامل متعددة غير قابلة للاختزال للتعدد k > 1(و،و ")= 1.

النتيجة الطبيعية 14.2.3.عوامل متعددة غير قابلة للاختزال في كثير الحدود f F[س] هي بالضبط العوامل غير القابلة للاختزال في كثير الحدود d(x)=(f,f ").

خاتمة:وبالتالي، فإن مشكلة فصل العوامل المتعددة غير القابلة للاختزال لكثيرة الحدود و (خ)يأتي إلى العثور على د = (و، و ")وتوسيع كثير الحدود دبواسطة المضاعفات. في المقابل، افصل بين العوامل المتعددة غير القابلة للاختزال في كثيرة الحدود د(خ)ممكن من خلال إيجاد د 1 =(د،د")إلخ.

سيبدأ التحميل الآن...
لا تنسى مشاركة المادة
على الشبكات الاجتماعية مع الخاص بك
زملاء

التخصيم. عوامل متعددة افصل بين العوامل المتعددة لكثيرة الحدود مع الحل

طرق التخصيم

عزل المضاعفات

استعادة كلمة السر