منحنيات مسطحة خاصة. المعادلة الدائرية البارامترية والمعادلة في صيغة الإحداثيات الديكارتية

لقد ساعدتنا الأمثلة التي تم تحليلها على التعود على المفهومين الجديدين للتطور والالتفاف. الآن نحن مستعدون بما فيه الكفاية لدراسة تطور المنحنيات الدائرية.

أثناء دراسة هذا المنحنى أو ذاك، قمنا في كثير من الأحيان ببناء منحنى مساعد - "رفيق" لهذا المنحنى.

أرز. 89. الدائري وما يصاحبه.

لذلك، قمنا ببناء محاريات خط مستقيم ودائرة، وتطوير الدائرة، الجيوب الأنفية - رفيق الدائري. الآن، بناءً على هذا الشكل الدائري، سنقوم ببناء شكل دائري مساعد مرتبط به بشكل لا ينفصم. اتضح أن الدراسة المشتركة لمثل هذا الزوج من الدائريات هي في بعض النواحي أبسط من دراسة دائرية واحدة فردية. سوف نسمي هذا الشكل الدائري المساعد بالدويري المصاحب.

دعونا نفكر في نصف قوس AMB الدائري (الشكل 89). لا ينبغي لنا أن نشعر بالحرج من أن هذا الشكل الدائري يقع بطريقة غير عادية ("رأسًا على عقب").

لنرسم 4 خطوط مستقيمة موازية للخط الدليلي AK على المسافات a و2a و3a و4a. لنقم ببناء دائرة توليد في الموضع المقابل للنقطة M (في الشكل 89 يُشار إلى مركز هذه الدائرة بالحرف O). دعونا نشير إلى زاوية دوران MON بـ . عندها سيكون الجزء AN متساويًا (يتم التعبير عن الزاوية بالراديان).

نواصل قطر NT لدائرة التوليد بعد النقطة T إلى التقاطع (عند النقطة E) مع الخط المستقيم PP. باستخدام TE كقطر سنقوم ببناء دائرة (مع المركز). دعونا نبني مماسا عند النقطة M إلى cycloid AMB. وللقيام بذلك، يجب كما نعلم أن تكون النقطة M متصلة بالنقطة T (ص23). لنواصل المماس MT إلى ما بعد النقطة T حتى يتقاطع مع الدائرة المساعدة، ونسمي نقطة التقاطع . وهذه هي النقطة التي نريد معالجتها الآن.

لقد أشرنا إلى الزاوية MON بـ لذلك فإن الزاوية MTN ستكون مساوية (الزاوية المحيطية المبنية على نفس القوس). ومن الواضح أن المثلث متساوي الساقين. لذلك، لن تكون الزاوية فقط، بل الزاوية أيضًا، متساوية، وبالتالي، يبقى الراديان بالضبط بالنسبة لكسر الزاوية في المثلث (تذكر أن الزاوية التي قياسها 180 درجة تساوي الراديان). نلاحظ أيضًا أن المقطع NK يساوي بشكل واضح ().

لننظر الآن إلى الدائرة التي مركزها الموضح في الشكل. 89 خط متقطع. يتضح من الرسم نوع هذه الدائرة. إذا قمت بتدويرها دون الانزلاق على طول الخط المستقيم CB، فإن نقطتها B ستصف الشكل الدائري BB. عندما تدور الدائرة المتقطعة عبر الزاوية، سيصل المركز إلى النقطة وسيأخذ نصف القطر الموضع وبالتالي، النقطة التي نحن التي تم بناؤها تبين أنها نقطة من BB الدائري،

يربط البناء الموصوف كل نقطة M من الشكل الدائري AMB بنقطة من الشكل الدائري. 90 تظهر هذه المراسلات بشكل أكثر وضوحا. يسمى الدائري الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة بالمرافقة. في التين. 89 و 90، الدوامات الموضحة بخطوط سميكة متقطعة مصاحبة بالنسبة للدوائر الموضحة بخطوط صلبة سميكة.

من الشكل. 89 يتبين أن الخط المستقيم طبيعي عند نقطة ما للدائري المصاحب له. وبالفعل، فإن هذا الخط المستقيم يمر عبر نقطة الدائري ومن خلال نقطة T مماس دائرة المولدة والخط الموجه (النقطة "السفلى" من دائرة المولدة، كما قلنا ذات مرة؛ والآن تبين أنها النقطة "الأعلى" لأنه تم تدوير الرسم).

لكن هذا الخط المستقيم نفسه، من حيث البناء، يكون مماسًا لـ AMB الدائري "الرئيسي". وهكذا، فإن الشكل الدائري الأصلي يلامس كل ما هو طبيعي من الشكل الدائري المصاحب. وهو الغلاف للأطوار الدائرية المصاحبة، أي المتطور. وتبين أن الشكل الدائري "المصاحب" هو مجرد شكل غير مطوي من الشكل الدائري الأصلي!

أرز. 91 المراسلات بين نقاط الدائرية والنقطة المصاحبة لها.

ومن خلال الانخراط في هذا البناء المرهق والبسيط في الأساس، أثبتنا نظرية رائعة اكتشفها العالم الهولندي هويجنز. إليكم هذه النظرية: إن الشكل الدائري للدويري هو نفسه تمامًا، ولكنه منزاح فقط.

بعد أن قمنا ببناء تطوري ليس لقوس واحد، ولكن للدائري بأكمله (والذي، بالطبع، لا يمكن القيام به إلا عقليًا)، ثم تطوري لهذا التطور، وما إلى ذلك، نحصل على الشكل. 91، تشبه البلاط.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عند إثبات نظرية هيغنز، لم نستخدم تقديرات متناهية الصغر أو غير قابلة للتجزئة أو تقريبية. ولم نستخدم حتى الميكانيكا، بل استخدمنا أحيانًا تعبيرات مستعارة من الميكانيكا. يتوافق هذا الدليل تمامًا مع روح المنطق الذي استخدمه علماء القرن السابع عشر عندما أرادوا إثبات النتائج التي تم الحصول عليها بشكل صارم باستخدام اعتبارات رائدة مختلفة.

هناك نتيجة طبيعية مهمة تتبع مباشرة نظرية هويجنز. خذ بعين الاعتبار الجزء AB في الشكل. 89. من الواضح أن طول هذا الجزء هو 4 أ. لنتخيل الآن أن خيطًا ملفوفًا حول القوس AMB للدويري، مثبتًا عند النقطة A ومجهزًا بقلم رصاص عند النقطة B. إذا "لفنا" الخيط، فإن قلم الرصاص سيتحرك على طول تطور الشكل الدائري AMB ، أي على طول BMB الدائري.

أرز. 91 تطورات متتالية للدويري.

من الواضح أن طول الخيط، الذي يساوي طول نصف القوس الدائري، سيكون مساويًا للقطعة AB، أي، كما رأينا، 4a. وبالتالي، فإن طول القوس الدائري بأكمله سيكون مساويا لـ 8A، ويمكن الآن اعتبار الصيغة مثبتة بشكل صارم.

من الشكل. 89 يمكنك رؤية المزيد: الصيغة ليس فقط لطول قوس الدائري بالكامل، ولكن أيضًا لطول أي من أقواسه. في الواقع، من الواضح أن طول القوس MB يساوي طول القطعة، أي قطعة الظل المزدوجة عند النقطة المقابلة من الشكل الدائري، الموجودة داخل دائرة التوليد.

Cyclomis (من اليونانية khklpeidYut - round) هو منحنى متسامٍ مسطح. يتم تعريف الدائري حركيًا على أنه مسار نقطة ثابتة لدائرة توليد نصف قطرها r، تتدحرج دون انزلاق في خط مستقيم.

المعادلات

دعونا نأخذ محور الإحداثيات الأفقي كخط مستقيم تتدحرج على طوله دائرة التوليد لنصف القطر r.

· يتم وصف الدائري بواسطة المعادلات البارامترية

المعادلة بالإحداثيات الديكارتية:

· يمكن الحصول على الشكل الدائري كحل للمعادلة التفاضلية:

ملكيات

• · دائرية --دالة دورية على طول المحور السيني، بفترة 2ppr. من الملائم أخذ النقاط المفردة (نقاط الإرجاع) من النموذج t = 2Рk، حيث k عدد صحيح اعتباطي، كحدود الفترة.
• · لرسم مماس لمستدير عند نقطة اختيارية A يكفي توصيل هذه النقطة بالنقطة العليا لدائرة التوليد. ومن خلال توصيل A بالنقطة السفلية لدائرة التوليد، نحصل على الوضع الطبيعي.
• · طول القوس الدائري هو 8r. اكتشف كريستوفر رين هذه الخاصية (1658).
• · المساحة تحت كل قوس من الدائرية أكبر بثلاث مرات من مساحة دائرة التوليد. يدعي توريتشيلي أن غاليليو اكتشف هذه الحقيقة.
• · نصف قطر انحناء القوس الأول للدويري متساوي.

• · الشكل الدائري "المقلوب" هو منحنى شديد الانحدار (زمن قصير). علاوة على ذلك، فهو يتمتع أيضًا بخاصية التوقيت المتزامن: حيث يصل الجسم الثقيل الموجود في أي نقطة على القوس الدائري إلى الوضع الأفقي في نفس الوقت.
• · لا تعتمد فترة اهتزاز نقطة مادية تنزلق على طول شكل دائري مقلوب على السعة؛ وقد استخدم هيغنز هذه الحقيقة لإنشاء ساعات ميكانيكية دقيقة.
• · الشكل الدائري للشكل الدائري هو شكل دائري مطابق للشكل الأصلي، أي منزاح على التوازي بحيث تتحول القمم إلى "نقاط".
• · أجزاء الآلة التي تؤدي في نفس الوقت حركة دورانية وانتقالية موحدة تصف المنحنيات الدائرية (دوائرية، فلكي دائرية، تحت دائرية، تروكويد، نجمي) (راجع بناء بيرنولي lemniscate).

تم حساب طول قوس الشكل الدائري لأول مرة من قبل المهندس المعماري الإنجليزي وعالم الرياضيات رين في عام 1658. انطلق رين من اعتبارات ميكانيكية تذكرنا بالأعمال الأولى لتوريسيلي وروبرفال. لقد اعتبر دوران دائرة متدحرجة بزاوية صغيرة جدًا بالقرب من النقطة "السفلى" لدائرة التوليد. لإعطاء اعتبارات رين الإيحائية قوة توضيحية، سيكون من الضروري النظر في سلسلة كاملة من النظريات المساعدة، وبالتالي سيكون من الضروري بذل الكثير من العمل.

إنه أكثر ملاءمة لاستخدام مسار أطول ولكن لطيف. للقيام بذلك، عليك أن تأخذ بعين الاعتبار المنحنى الخاص الذي يمتلكه كل منحنى مسطح - تطوره.

خذ بعين الاعتبار قوسًا محدبًا AB لخط منحني (الشكل 4.1). لنتخيل أن خيطًا مرنًا غير قابل للتمدد بنفس طول القوس AB نفسه متصل بالقوس AB عند النقطة A، وهذا الخيط "ملفوف" على المنحنى ويتناسب بإحكام معه، بحيث تتزامن نهايته مع النقطة ب. سوف "نفتح" - نقوم بتسوية الخيط، مع إبقائه مشدودًا، بحيث يتم دائمًا توجيه الجزء الحر من خيط CM بشكل عرضي إلى القوس AB. في ظل هذه الظروف، سوف تصف نهاية الخيط منحنى معين. يُسمى هذا المنحنى بالتطور، أو باللاتينية، مطويالمنحنى الأصلي.

إذا كان قوس المنحنى غير محدب في كل مكان في اتجاه واحد، إذا كان مثل المنحنى AB في الشكل. 4.2، لديه نقطة C التي يمر عندها مماس المنحنى من جانب إلى آخر (تسمى هذه النقطة نقطة انعطاف)، ثم في هذه الحالة يمكننا التحدث عن تطور المنحنى، لكن المنطق سيكون له لتكون أكثر تعقيدا قليلا.

لنتخيل أن الخيط مثبت تمامًا عند نقطة الانعطاف C (الشكل 4.2). سوف يصف الخيط، الذي يتم فكه من القوس قبل الميلاد، منحنى BMR - المسح.

الآن دعونا نتخيل خيطًا ملفوفًا حول قوس AC من المنحنى الأصلي، ولكن هذا الخيط ممدود بالفعل: عند النقطة C، يتم ربط قطعة من الخيط CP به. من خلال لف خيط ACP المطول بمنحنى CA، نحصل على قوس RNA، والذي يشكل، مع قوس BMP، منحنى مستمرًا واحدًا - مستمرًا، ولكن ليس سلسًا في كل مكان: ستتوافق نقطة الانحراف C للمنحنى الأصلي مع طرف (نقطة العودة) لمنحنى BMRNA: سيكون منحنى BMRNA هو المنحنى (الاجتياح) لمنحنى BCA.

ساعدتنا هذه الأمثلة على التعود على المفهومين الجديدين للتطور والالتفاف. الآن دعونا ندرس تطورات المنحنيات الدائرية.

عند دراسة هذا المنحنى أو ذاك، غالبًا ما قمنا ببناء منحنى مساعد - "رفيق" لهذا المنحنى. لذلك، نحن نكلف الجيوب الأنفية - رفيق الدائري. الآن، بناءً على هذا الشكل الدائري، سنقوم ببناء شكل دائري مساعد مرتبط به بشكل لا ينفصم. اتضح أن الدراسة المشتركة لمثل هذا الزوج من الدائريات هي في بعض النواحي أبسط من دراسة دائرية واحدة فردية. سوف نسمي هذا الشكل الدائري المساعد بالدويري المصاحب.

دعونا ننظر في نصف قوس AMB الدائري (الشكل 4.3). لا ينبغي لنا أن نشعر بالحرج من أن هذا الشكل الدائري يقع بطريقة غير عادية ("رأسًا على عقب"). لنرسم 4 خطوط مستقيمة موازية للخط المستقيم الدليلي AK على مسافات أ, 2أ, 3أو 4 أ. لنقم ببناء دائرة توليد في الموضع المقابل للنقطة M (في الشكل 4.3 يُشار إلى مركز هذه الدائرة بالحرف O). دعونا نشير إلى زاوية الدوران MON بـ c. عندها سيكون الجزء AN مساوياً لـ bc (يتم التعبير عن الزاوية c بالراديان).

نواصل قطر NT لدائرة التوليد بعد النقطة T إلى التقاطع (عند النقطة E) مع الخط المستقيم PP. باستخدام TE كقطر، سنقوم ببناء دائرة (مركزها O 1). دعونا نبني مماسا عند النقطة M إلى cycloid AMB. للقيام بذلك، كما نعلم، يجب أن تكون النقطة M متصلة بالنقطة T. دعونا نمد المماس MT إلى ما بعد النقطة T حتى يتقاطع مع الدائرة المساعدة، ونسمي نقطة التقاطع M 1. هذه هي النقطة M 1 التي نريد الآن التعامل معها.

لقد أشرنا إلى الزاوية MON بـ c. وبالتالي فإن الزاوية MTN ستكون مساوية (الزاوية المحيطية المبنية على نفس القوس). من الواضح أن المثلث TO 1 M 1 متساوي الساقين. لذلك، ليس فقط الزاوية O 1 TM 1، ولكن أيضًا الزاوية TM 1 O 1 ستكون متساوية. وبالتالي، فإن جزء الزاوية TO 1 M 1 في المثلث TO 1 M 1 يظل ​​بالضبط p - q راديان (تذكر أن الزاوية 180 درجة تساوي p راديان). دعونا نلاحظ أيضًا أن القطعة NK تساوي بشكل واضح b(p - q).

دعونا الآن نفكر في دائرة مركزها O 2، كما هو موضح في الشكل 4.3 بخط متقطع. يتضح من الرسم نوع هذه الدائرة. إذا قمت بتدويرها دون الانزلاق على طول خط مستقيم شمال شرق، فإن النقطة B الخاصة بها ستصف الشكل الدائري BB. عندما تدور الدائرة المتقطعة عبر الزاوية p - c، سيصل المركز O 2 إلى النقطة O 1، وسيأخذ نصف القطر O 2 B الموضع O 1 M 1. وهكذا، فإن النقطة M 1 التي أنشأناها تبين أنها نقطة من الشكل الدائري BB.

يربط البناء الموصوف كل نقطة M من cycloid AMB مع النقطة M 1 من cycloid VM 1 B. في الشكل. 4.4 يوضح هذه المراسلات بشكل أكثر وضوحًا. يسمى الدائري الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة بالمرافقة. في التين. في الشكلين 4.3 و4.4، تكون الدائريات الموضحة بخطوط متقطعة سميكة مصاحبة بالنسبة للدوائر الموضحة بخطوط صلبة سميكة.

من الشكل. 4.3 من الواضح أن الخط المستقيم MM 1 طبيعي عند النقطة M 1 إلى الشكل الدائري المصاحب. وبالفعل، فإن هذا الخط المستقيم يمر عبر النقطة M 1 من الشكل الدائري وعبر نقطة T مماس دائرة المولدة وخط التوجيه (النقطة "الأدنى" من دائرة المولدة، كما قلنا ذات مرة؛ والآن اتضح أنها "الأعلى" لأنه تم تدوير الرسم). ولكن هذا الخط المستقيم نفسه، من حيث البناء، هو مماس لـ "قاعدة" AMB الدائري. وهكذا، فإن الشكل الدائري الأصلي يلامس كل ما هو طبيعي من الشكل الدائري المصاحب. وهو الغلاف للأعراف الدائرية المصاحبة، أي. تطورها. وتبين أن الشكل الدائري "المصاحب" هو مجرد شكل مطوي من الشكل الدائري الأصلي!

ومن خلال الانخراط في هذا البناء المرهق والبسيط في الأساس، أثبتنا نظرية رائعة اكتشفها العالم الهولندي هويجنز. هذه هي النظرية: إن الشكل الدائري للدويري هو نفسه تمامًا، ولكنه متغير فقط.

بعد أن قمنا ببناء تطوري ليس لقوس واحد، ولكن للدائري بأكمله (والذي، بالطبع، لا يمكن القيام به إلا عقليًا)، ثم تطوري لهذا التطور، وما إلى ذلك، نحصل على الشكل. 4.5، تشبه البلاط.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عند إثبات نظرية هيغنز، لم نستخدم تقديرات متناهية الصغر أو غير قابلة للتجزئة أو تقريبية. لم نستخدم حتى الميكانيكا، على الرغم من أننا استخدمنا أحيانًا تعبيرات مستعارة من الميكانيكا. يتوافق هذا الدليل تمامًا مع روح المنطق الذي استخدمه علماء القرن السابع عشر عندما أرادوا إثبات النتائج التي تم الحصول عليها بشكل صارم باستخدام اعتبارات رائدة مختلفة.

هناك نتيجة طبيعية مهمة تتبع مباشرة نظرية هويجنز. خذ بعين الاعتبار الجزء AB في الشكل. 4.4. من الواضح أن طول هذا الجزء هو 4 أ. لنتخيل الآن أن خيطًا ملفوفًا حول القوس AMB للدويري، مثبتًا عند النقطة A ومجهزًا بقلم رصاص عند النقطة B. إذا "لفنا" الخيط، فإن قلم الرصاص سيتحرك على طول تطور الشكل الدائري AMB ، أي. على طول الدائري BM 1 B. من الواضح أن طول الخيط، الذي يساوي طول نصف القوس الدائري، سيكون مساويًا للقطعة AB، أي كما رأينا، 4 أ. ولذلك، فإن طول L للقوس الدائري بأكمله سيكون مساوياً لـ 8 أوالصيغة L=8 أيمكن الآن اعتبارها مثبتة بشكل صارم.

دعونا نحسب طول القوس باستخدام الهندسة التفاضلية. سيكون الحل الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة أقصر وأسهل بكثير:

أين ر؟

| ص(ر)|===2sin

5. المعادلة الدائرية البارامترية والمعادلة بالإحداثيات الديكارتية

لنفترض أننا حصلنا على شكل دائري يتكون من دائرة نصف قطرها a ومركزها عند النقطة A.

إذا اخترنا كمعلمة تحدد موضع النقطة الزاوية t=∟NDM التي تمكن من خلالها نصف القطر، الذي كان له وضع عمودي AO في بداية التدحرج، من الدوران، فإن إحداثيات x و y للنقطة M سوف يتم التعبير عنها على النحو التالي:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t،

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

وبالتالي فإن المعادلات البارامترية للدويري لها الشكل:

عندما يتغير t من -∞ إلى +∞، سيتم الحصول على منحنى يتكون من عدد لا نهائي من الفروع مثل تلك الموضحة في هذا الشكل.

أيضًا، بالإضافة إلى المعادلة البارامترية للدويري، هناك أيضًا معادلته بالإحداثيات الديكارتية:

حيث r هو نصف قطر الدائرة التي تشكل الشكل الدائري.

6. مشاكل في العثور على أجزاء من الشكل الدائري والأشكال المكونة من الشكل الدائري

المهمة رقم 1. أوجد مساحة الشكل الذي يحده قوس واحد من الشكل الدائري الذي تُعطى معادلته بارامتريًا

ومحور الثور.

حل. ولحل هذه المشكلة سنستخدم الحقائق التي نعرفها من نظرية التكاملات وهي:

مساحة القطاع المنحني.

خذ بعين الاعتبار بعض الوظائف r = r(ϕ) المحددة في [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] تقابل r 0 = r(ϕ 0) وبالتالي النقطة M 0 (ϕ 0 , r 0) حيث ϕ 0,

ص 0 - الإحداثيات القطبية للنقطة. إذا تغيرت ϕ، "تمر عبر" كامل [α, β]، فإن النقطة المتغيرة M ستصف بعض المنحنى AB، نظرًا

المعادلة ص = ص(ϕ).

التعريف 7.4. القطاع المنحني هو شكل يحده شعاعان ϕ = α، ϕ = β ومنحنى AB محدد بالقطبية

الإحداثيات بالمعادلة r = r(ϕ)، α ≥ ϕ ≥ β.

ما يلي صحيح

نظرية. إذا كانت الدالة r(ϕ) > 0 ومستمرة على [α, β]، فإن المساحة

يتم حساب القطاع المنحني بواسطة الصيغة:

وقد تم إثبات هذه النظرية سابقاً في موضوع التكامل المحدد.

بناءً على النظرية المذكورة أعلاه، مشكلتنا هي إيجاد مساحة الشكل المحدود بقوس واحد من الشكل الدائري، والتي يتم إعطاء معادلةها بواسطة المعلمات البارامترية x= a (t – sin t)، y= a (1) – cos t) ومحور الثور يتم اختزاله إلى الحل التالي .

حل. من معادلة المنحنى dx = a(1−cos t) dt. يتوافق القوس الأول من الدائري مع تغيير في المعلمة t من 0 إلى 2π. لذلك،

المهمة رقم 2. أوجد طول قوس واحد من الشكل الدائري

تمت أيضًا دراسة النظرية التالية ونتيجتها الطبيعية في حساب التكامل.

نظرية. إذا تم إعطاء المنحنى AB بالمعادلة y = f(x)، حيث f(x) و f ’ (x) مستمران على ، فإن AB قابل للتصحيح و

عاقبة. دع AB يُعطى بارامتريًا

ل أب = (1)

دع الوظائف x(t)، y(t) تكون قابلة للتمييز بشكل مستمر على [α، β]. ثم

يمكن كتابة الصيغة (1) على النحو التالي

لنقم بتغيير المتغيرات في هذا التكامل x = x(t), ثم y'(x)= ;

dx= x'(t)dt وبالتالي:

الآن دعونا نعود إلى حل مشكلتنا.

حل. لدينا، وبالتالي

المهمة رقم 3. علينا إيجاد مساحة السطح S المتكونة من دوران قوس واحد من الشكل الدائري

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – التكلفة), 0≥ t ≥ 2π)

في حساب التفاضل والتكامل، توجد الصيغة التالية لإيجاد مساحة سطح جسم دوران حول المحور السيني لمنحنى محدد حدوديًا على مقطع: x=φ(t), y=ψ(t) (t) 0 ≥t ≥t 1)

وبتطبيق هذه الصيغة على معادلتنا الدائرية نحصل على:

المهمة رقم 4. أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير القوس الدائري

على طول محور الثور.

في حساب التكامل عند دراسة الحجوم هناك الملاحظة التالية:

إذا تم إعطاء المنحنى المحيط بشبه منحرف منحني الأضلاع بواسطة معادلات بارامترية وكانت الدوال في هذه المعادلات تحقق شروط نظرية تغير المتغير في تكامل معين، فإن حجم جسم دوران شبه المنحرف حول محور الثور سيكون يتم حسابها بواسطة الصيغة

دعونا نستخدم هذه الصيغة للعثور على الحجم الذي نحتاجه.

حلت المشكلة.

خاتمة

لذلك، في سياق هذا العمل، تم توضيح الخصائص الأساسية للدائري. لقد تعلمنا أيضًا كيفية بناء الشكل الدائري واكتشفنا المعنى الهندسي للشكل الدائري. كما اتضح فيما بعد، فإن للدويري تطبيقات عملية هائلة ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضًا في الحسابات التكنولوجية والفيزياء. لكن الدائرية لها مزايا أخرى. تم استخدامه من قبل علماء القرن السابع عشر عند تطوير تقنيات لدراسة الخطوط المنحنية - تلك التقنيات التي أدت في النهاية إلى اختراع حساب التفاضل والتكامل. وكانت أيضًا أحد "المحكات" التي اختبر عليها نيوتن ولايبنتز وباحثوهم الأوائل قوة الأساليب الرياضية الجديدة القوية. وأخيرًا، أدت مشكلة الزمن القصير إلى اختراع حساب التفاضل والتكامل للتغيرات، وهو أمر ضروري جدًا لعلماء الفيزياء اليوم. وهكذا، تبين أن الدائرية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بواحدة من أكثر الفترات إثارة للاهتمام في تاريخ الرياضيات.

الأدب

1. بيرمان ج.ن. دائري. – م، 1980

2. فيروف إس.جي. Brachistochrone، أو سر آخر من cycloid // الكم. – 1975. – رقم 5

3. فيروف إس.جي. أسرار الدائرية // الكم. – 1975. – رقم 8.

4. جافريلوفا آر إم، جوفوروخينا إيه إيه، كارتاشيفا إل في، كوستيتسكايا جي إس، رادتشينكو تي إن. تطبيقات على التكامل المحدد تعليمات منهجية وواجبات فردية لطلبة السنة الأولى بكلية الفيزياء. - روستوف غير متوفر: UPL RSU، 1994.

5. جينديكين إس. العصر النجمي للدويري // الكم. – 1985. – رقم 6.

6. فيختنغولتس ج.م. دورة حساب التفاضل والتكامل. T.1. – م.، 1969

هذا الخط يسمى "المغلف". كل خط منحني هو غلاف مماساته.

إن المادة والحركة، والطريقة التي تشكلان بها، تمكن كل فرد من إدراك إمكاناته في معرفة الحقيقة. إن تطوير منهجية لتطوير شكل جدلي مادي من التفكير وإتقان طريقة مماثلة للمعرفة هو الخطوة الثانية نحو حل مشكلة تطوير وتحقيق القدرات البشرية. فرص الجزء العشرين...

في هذه الحالة، يمكن للناس أن يصابوا بالوهن العصبي - وهو عصاب، أساس الصورة السريرية له هو حالة الوهن. سواء في حالة الوهن العصبي أو في حالة المعاوضة من الاعتلال النفسي الوهن العصبي، ينعكس جوهر الدفاع العقلي (النفسي) في الانسحاب من الصعوبات إلى الضعف العصبي مع الاختلالات الخضرية: إما أن "يقاوم" الشخص الهجوم دون وعي أكثر. ..

أنواع مختلفة من الأنشطة؛ تنمية الخيال المكاني والمفاهيم المكانية والتفكير المجازي والمكاني والمنطقي والتجريدي لأطفال المدارس ؛ تطوير القدرة على تطبيق المعرفة والمهارات الهندسية والرسومية لحل المشاكل التطبيقية المختلفة؛ التعرف على محتوى وتسلسل مراحل أنشطة المشروع في المجال الفني...

أقواس. اللوالب هي أيضًا ملتوية للمنحنيات المغلقة، على سبيل المثال المنحنيات الملتوية للدائرة. يتم إعطاء أسماء بعض اللوالب من خلال تشابه معادلاتها القطبية مع معادلات المنحنيات في الإحداثيات الديكارتية، على سبيل المثال: · الحلزون المكافئ (a – r)2 = bj، · الحلزون القطعي الزائدي: r = a/j. · القضيب: r2 = a/j · si-ci-spiral، المعادلات البارامترية لها الشكل: ، )