أسئلة وواجبات نظرية في الجبر الخطي. التفاضل الخطي

منظر عام للنظام

, ط = 1، 2، ...، م; ي = 1، 2، ...، ن- معاملات النظام؛ - أعضاء أحرار؛ - المتغيرات؛

إذا كان الكل = 0، يسمى النظام متجانسًا.

الحل العام لنظام المعادلات الخطية

التعريف 1. نظام متجانس مالمعادلات الجبرية الخطية نالمجهول يسمى نظام المعادلات

النوع (1) أو على شكل مصفوفة (2)

حيث A هي مصفوفة معينة من معاملات الحجم mxn،

عمود المجهول n هو العمود الصفري للارتفاع m.

يكون النظام المتجانس دائمًا متسقًا (تتزامن المصفوفة الموسعة مع A) وله حلول واضحة: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

هذا الحل يسمى صفر أو تافه. يتم استدعاء أي حل آخر، إذا كان هناك حل غير تافهة.

النظرية 1. إذا كانت رتبة المصفوفة A تساوي عدد المجهولات، فإن النظام (1) لديه حل فريد (تافه).

في الواقع، وفقًا لنظرية كرامر، فإن r=n والحل فريد من نوعه.

النظرية 2. لكي يكون للنظام المتجانس حل غير الصفر، من الضروري والكافي أن تكون رتبة مصفوفة النظام أقل من عدد المجهولات ( يتبع من نظرية عدد الحلول).

Þ إذا كانت هناك حلول غير صفرية، فإن الحل ليس وحيدًا، فإن محدد النظام يساوي صفرًا، إذن r

Ü إذا ر

النظرية 3. نظام متجانس من المعادلات n مع مجهولين يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كانت detA = 0.

Þ إذا كانت هناك حلول غير صفرية، فهناك عدد لا نهائي من الحلول، وفقًا لنظرية عدد الحلول r

Ü إذا كانت detA = 0، فإن r

النظرية 4. لكي يكون للنظام المتجانس حل غير الصفر، من الضروري أن يكون عدد معادلات النظام أقل من عدد المجهولات.

نظرًا لأن رتبة مصفوفة المعاملات لا يمكن أن تكون أكبر من عدد صفوفها (وكذلك عدد الأعمدة)، إذن r

التعريف 2. تسمى متغيرات النظام الموجودة على الأعمدة الأساسية لمصفوفة المعاملات الأصلية المتغيرات الأساسية، ويتم استدعاء المتغيرات المتبقية للنظام حر.

التعريف 4. قرار خاصيُطلق على النظام غير المتجانس AX = B ناقل العمود X الذي تم الحصول عليه بواسطة صفرقيم حرالمتغيرات.

النظرية 6. الحل العام لنظام غير متجانسالمعادلات الخطية AX = B لها الشكل حيث يوجد حل معين لنظام المعادلات AX = B، وهو FSR للنظام المتجانس AX = 0.

نظام المعادلات الخطية غير المتجانس هو نظام من الشكل:

مصفوفتها الموسعة.

نظرية (حول الحل العام للأنظمة غير المتجانسة).
دع (أي النظام (2) يكون متسقا)، ثم:

· إذا كان عدد متغيرات النظام (2) فإن الحل (2) موجود وهو فريد.

· إذا كان الحل العام للنظام (2) له الصورة فأين الحل العام للنظام (1) يسمى حل متجانس عام، هو حل خاص للنظام (2)، يسمى حل خاص غير متجانس.

النظام المتجانس للمعادلات الخطية هو نظام من الشكل:

يسمى الحل الصفري للنظام (1). حل تافه.

الأنظمة المتجانسة متوافقة دائمًا، لأن هناك دائما حل تافه.

إذا كان هناك أي حل غير صفري للنظام، فسيتم استدعاؤه غير تافهة.

حلول النظام المتجانس لها خاصية الخطية:

نظرية (على الحل الخطي للأنظمة المتجانسة).
ودعها تكون حلول النظام المتجانس (1)، ودعها تكون ثوابت اعتباطية. ثم هو أيضا حل للنظام قيد النظر.

نظرية (حول بنية الحل العام).
دع إذن:

· إذا كان عدد متغيرات النظام، فلا يوجد سوى حل تافه؛

· إذا كان هناك حلول مستقلة خطياً للنظام قيد النظر: و قرار مشتركله النموذج: حيث توجد بعض الثوابت.

2. التباديل والبدائل. محدد الترتيب ن. خصائص المحددات.

تعريف المحدد - الترتيب ال.

دعونا نعطي مصفوفة مربعة من الدرجة الأولى:

تعريف. يُسمى منتج عناصر المصفوفة A، المأخوذة من كل صف وكل عمود، عضوًا في محدد المصفوفة A.3 إذا تم تبادل أي صفين أو عمودين في المحدد، فإن المحدد يغير إشارته إلى المقابل. 4إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف (عمود) صفر فإن محدد هذه المصفوفة يساوي صفر.5 إذا كان صفين (عمودين) من المصفوفة متساويين فإن محدد هذه المصفوفة يساوي إلى صفر.6 إذا كان صفين (عمودين) من المصفوفة متناسبين مع بعضهما البعض، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي صفر.7 محدد المصفوفة المثلثية يساوي حاصل ضرب العناصر الموجودة عليها القطر الرئيسي.8 إذا كانت جميع العناصر كيتم عرض الصف (العمود) للمحدد كمجموعات ك ي + ب ك ي، فيمكن تمثيل المحدد كمجموع للمحددات المقابلة.9 لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة العناصر المقابلة لصف آخر (أو العمود المقابل) إلى عناصر أي من صفوفه (أو العمود المقابل) ، مضروبا في نفس الرقم.10. يترك أو بهي مصفوفات مربعة من نفس الترتيب. ثم محدد منتج المصفوفات يساوي منتج المحددات:

1 | | | | | | | | | | |

حيث C 1 و C 2 غير معروفين.

جميع y أرقام معروفة، محسوبة على x = x 0. لكي يحصل النظام على حل لأي جانب يمين، من الضروري والكافي أن يكون المحدد الرئيسي مختلفًا عن 0.

محدد فرونسكي. إذا كان المحدد 0، فإن النظام لن يكون لديه حل إلا إذا كانت هناك نسبة من الشروط الأولية. ويترتب على ذلك أن اختيار الشروط الأولية يخضع للقانون، فلا يجوز الأخذ بأي شروط أولية، وهذا يعد مخالفة لشروط مشكلة كوشي.

إذا كان محدد Wronski لا يساوي 0 لأي قيم x 0.

دليل. ليكن المحدد يساوي 0، لكن دعونا نختار الشروط الأولية غير الصفرية y=0, y'=0. ثم نحصل على النظام التالي:

يحتوي هذا النظام على عدد لا نهائي من الحلول عندما يكون المحدد 0. C 11 و C 12 هما حلان للنظام.

وهذا يتناقض مع الحالة الأولى، مما يعني أن محدد Wronski لا يساوي 0 لأي x 0 if . من الممكن دائمًا تحديد حل معين من الحل العام لـ .

التذكرة رقم 33

نظرية حول بنية الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع الإثبات.

نظرية الحل العام للمعادلة التفاضلية:

حلول هذه المعادلة، ثم الدالة أيضا حل. بناءً على هذه النظرية، يمكننا أن نستنتج حول بنية الحل العام لمعادلة متجانسة: إذا كان 1 و 2 لهما حلول للمعادلة التفاضلية بحيث لا تساوي نسبهما ثابتًا، فإن المجموعة الخطية لهذه الدوال هي الحل العام للمعادلة التفاضلية. لا يمكن للحل التافه (أو الحل الفارغ) أن يكون بمثابة حل لهذه المعادلة.

دليل:

التذكرة رقم 34

نظرية حول بنية الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية مع الإثبات.

لتعطى معادلة ذات الطرف الأيمن: . المعادلة بدون الجانب الأيمن

إذا وضعنا 0 بدلاً من دالة، فإننا نسميها مميزة.

نظرية حول بنية الحل العام للمعادلة ذات الطرف الأيمن.

T.1 يمكن تكوين الحل العام للمعادلة ذات الطرف الأيمن كمجموع الحل العام للمعادلة بدون الطرف الأيمن وبعض الحلول الخاصة لهذه المعادلة.

دليل.

دعونا نشير إلى الحل العام وبعض الحلول الخاصة لهذه المعادلة. لنأخذ الوظيفة . لدينا

, .

بالتعويض بالتعبيرات y, y', y'' في الجانب الأيسر من المعادلة نجد: التعبير في القوس المربع الأول يساوي 0. والتعبير في القوس الثاني يساوي الدالة f(x) ). وبالتالي فإن الوظيفة هناك حل لهذه المعادلة.

التذكرة رقم 35

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة F.S.R. والحل العام في حالة الجذور الحقيقية المختلفة والمعادلات المميزة مع الإثبات.

لنأخذ معادلة خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة:

,

حيث تكون الأرقام.

دعونا نحاول إرضاء المعادلة بدالة من النموذج. ومن هنا لدينا:

من هذا يمكننا أن نرى ماذا سيكون حل هذه المعادلة إذا كان r هو جذر المعادلة التربيعية. وتسمى هذه المعادلة مميزة. لإنشاء معادلة مميزة، عليك استبدال y بواحد، وكل مشتق بـ r إلى قوة من رتبة المشتق.

1) جذور المعادلة المميزة حقيقية ومختلفة.

في هذه الحالة، يمكن اعتبار كلا الجذرين كمؤشرات للدالة r. هنا يمكنك الحصول على معادلتين على الفور. ومن الواضح أن نسبتهم لا تساوي قيمة ثابتة.

يتم إعطاء الحل العام في حالة الجذور الحقيقية والمختلفة بالصيغة:

.

التذكرة رقم 36

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة F.S.R. والحل العام في حالة الجذور المتعددة والمعادلات المميزة مع الإثبات.

جذور المعادلة الحقيقية حقيقية ومتساوية.

تقييم الخلايا مجانا– (انظر الطريقة المحتملة)

دورة -مثل هذا التسلسل من الخلايا في جدول النقل (i 1 ,j 1)، (i 1 ,j 2)، (i 2 ,j 2)،…(i k ,j 1)، حيث توجد خليتين متجاورتين فقط تقع في صف أو عمود واحد، مع وجود الخلايا الأولى والأخيرة أيضًا في نفس الصف أو العمود.

(؟) التقليب على طول الدورة - (التحول على طول الدورة بالقيمة t)-زيادة في الأحجام في جميع الخلايا الفردية للدورة التي تحمل علامة "+" بواسطة t وانخفاض في أحجام النقل في جميع الخلايا الزوجية التي تحمل علامة "-" بواسطة t.

1. 
   ^ شرط الأمثلية للخطة المرجعية.

يجب أن تحدد الخطة المثالية الحد الأدنى من التكلفة الإجمالية للنقل، دون تجاوز حجم الإنتاج لكل من الموردين وتغطية احتياجات كل من المستهلكين بشكل كامل.

تتوافق خطة النقل المثالية مع الحد الأدنى من دالة الهدف الخطية f(X)= min في ظل القيود المفروضة على الاستهلاك والعرض

رقم 32. صياغة تعريف معادلة فرقية من الرتبة k وحلها العام. اذكر تعريف معادلة فرق خطية من الرتبة k ذات معاملات ثابتة. صياغة نظريات حول الحل العام لمعادلات الفرق الخطية المتجانسة وغير المتجانسة (بدون برهان).

معادلة من الشكل F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0، حيث k عدد ثابت و n عدد طبيعي اعتباطي، x n ; س ن +1 ;…; x n + k عبارة عن مصطلحات لبعض التسلسلات الرقمية غير المعروفة، تسمى معادلة فرقية من الرتبة k.

حل معادلة الفرق يعني إيجاد جميع المتتابعات (x n) التي تحقق المعادلة.

الحل العام لمعادلة من الرتبة k هو حلها x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ) ، اعتمادًا على ثوابت تعسفية مستقلة k C 1 , C 2 , …, C k . عدد ثوابت k يساوي ترتيب معادلة الفرق، والاستقلال يعني أنه لا يمكن التعبير عن أي من الثوابت بدلالة الثوابت الأخرى.

خذ بعين الاعتبار معادلة فرق خطية من الرتبة k ذات معاملات ثابتة:

أ k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , حيث a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) و

(f n ) - الأعداد والتسلسلات المحددة.

^ نظرية الحل العام للمعادلة غير المتجانسة.

الحل العام x n لمعادلة فرق خطية غير متجانسة هو مجموع الحل المعين x n * لهذه المعادلة والحل العام n للمعادلة المتجانسة المقابلة.

^ نظرية الحل العام للمعادلة المتجانسة.

دع x n 1 ,…, x n k يكون نظامًا يتكون من حلول k مستقلة خطيًا لمعادلة فرق خطية متجانسة. ثم يتم إعطاء الحل العام لهذه المعادلة بالصيغة: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
رقم 33. وصف خوارزمية لحل معادلة فرق خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة. صياغة تعريفات للمفاهيم التالية: مجموعة الحلول الأساسية لمعادلة الفرق الخطية، المعادلة المميزة، محدد كاسوراتي.

إن معرفة جذور المعادلة المميزة تسمح لنا ببناء حل عام لمعادلة الفرق المتجانسة. دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال معادلة من الدرجة الثانية: يمكن نقل الحلول الناتجة بسهولة إلى حالة المعادلات ذات الرتبة الأعلى.

اعتمادًا على قيم المميز D=b 2 -4ac للمعادلة المميزة، تكون الحالات التالية ممكنة:

C 1 , C 2 ثوابت عشوائية.

تشكل مجموعة الحلول لمعادلة فرق خطية متجانسة من الرتبة k مساحة خطية ذات أبعاد k، وأي مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا k (تسمى المجموعة الأساسية) هي أساسها. علامة الاستقلال الخطي لحلول المعادلة المتجانسة هي أن محدد كاسوراتي لا يساوي الصفر:

تسمى المعادلة المعادلة المميزة للمعادلة الخطية المتجانسة.
№ 34. معادلة فرق خطية ذات معاملات ثابتة X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.

^ بأي شكل يجب على المرء أن يبحث عن حل معين؟ اشرح الجواب.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n بأي شكل يجب أن نبحث عن الحل الخاص به؟ يجب توضيح الجواب.

X ن +2 -4x ن +1 +3x ن = ن 2 2 ن +ن 3 3 ن

X ن +2 -4x ن +1 +3x ن =0

X n =C 1 3 n +C 2 1 n

X 1 ن =(أ 1 ن 2 +ب 1 ن+ج 1)2 ن

X 2 ن =(د 2 ن 3 +أ 2 ن 2 +ب 2 ن+ج 2)ن2 ن

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
رقم 35. معادلة فرق خطية ذات معاملات ثابتة x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. بأي شكل يجب على المرء أن يبحث عن حل معين؟

س ن +2 -4x ن +1 +3x ن = ن 2 +2 ن +3 ن

1) س ن +2 -4س ن +1 +3س=0

 1 =3،  2 =1

س ن س = ج 1 (3) ن + ج 2 (1) ن = ج 1 (3) ن + ج 2

2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2

بما أن قاعدة القوة الأسية f(n)=2 n، التي تساوي 2، لا تتطابق مع أي من جذور المعادلة المميزة، فإننا نبحث عن الحل المحدد المقابل في الصيغة Y n =C(2) n . بما أن قاعدة الدالة الأسية g(n)=3 n، التي تساوي 3، تتطابق مع أحد جذور المعادلة المميزة، فإننا نبحث عن الحل المحدد المقابل في الصورة X n =Bn(3) n. بما أن z(n)=n 2 كثيرة الحدود، فسنبحث عن حل معين في صورة كثيرة الحدود: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
رقم 36. يتم إعطاء معادلة فرق خطية ذات معاملات ثابتة x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. بأي شكل يجب على المرء أن يبحث عن حل معين؟

س ن +2 +2x ن +1 +4x ن =كوس +3 ن +ن 2

1) س ن+2 +2س ن+1 +4س ن =0

lect 1 =-1+i، lect 2 =-1-i

بما أن قاعدة القوة الأسية f(n)=3 n، التي تساوي 3، لا تتطابق مع أي من جذور المعادلة المميزة، فإننا نبحث عن الحل المحدد المقابل في الصيغة Y n =B(3) n . بما أن g(n)=n 2 كثيرة الحدود، فسوف نبحث عن حل معين في صورة كثيرة الحدود: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
رقم 37. معادلة فرق خطية ذات معاملات ثابتة x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . بأي شكل يجب على المرء أن يبحث عن حل معين؟

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

lect 1 =-1+i، lect 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )

2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos

بما أن قاعدة القوة الأسية f(n)=3 n، التي تساوي 3، لا تتطابق مع أي من جذور المعادلة المميزة، فإننا نبحث عن الحل المحدد المقابل في الصيغة Y n =B(3) n . بما أن g(n)=n 2 كثيرة الحدود، فسوف نبحث عن حل معين في صورة كثيرة الحدود: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
رقم 38: وصف نموذج سامويلسون-هيكس. ما هي الافتراضات الاقتصادية التي تكمن وراء ذلك؟ في أي حالة يكون حل معادلة هيكس متتابعة ثابتة؟

يفترض نموذج دورة الأعمال سامويلسون-هيكس التناسب المباشر بين حجم الاستثمار والزيادة في الدخل القومي (مبدأ التسارع)، أي.

حيث المعامل V>0 هو عامل التسارع،

I t - مقدار الاستثمار في الفترة t،

X t -1 ,X t -2 - قيمة الدخل القومي في الفترتين (t-1) و (t-2) على التوالي.

ويفترض أيضا أن الطلب في هذه المرحلة يعتمد على مقدار الدخل القومي في المرحلة السابقة
خطيا
. شرط المساواة بين العرض والطلب له الشكل
. ثم نأتي إلى معادلة هيكس

حيث a، b هي معاملات التعبير الخطي للطلب في هذه المرحلة:

تسلسل ثابت
هو حل لمعادلة هيكس فقط ل
; عامل
يسمى مضاعف كينز (وهو نظير أحادي البعد لمصفوفة التكلفة الإجمالية).
№ ^ 39. وصف نموذج سوق العنكبوت. ما هي الافتراضات الاقتصادية التي تكمن وراء ذلك؟ العثور على حالة التوازن لنموذج سوق الويب.

40. صياغة مشكلة تحديد القيمة الحالية لسند القسيمة. ما هي مشكلة كوشي لمعادلة الفرق؟ أوجد حلاً متوازناً لمسألة كوشي لتحديد القيمة الحالية لسند القسيمة. تأكد من أن القيمة التي تم العثور عليها تطابق المبلغ الذي يجب دفعه في الوقت الحالي للحصول على مبلغ القسيمة في كل فترة قسيمة لفترة طويلة غير محدودة بسعر فائدة معين لفترة قسيمة واحدة.

يترك F - القيمة الاسمية لسند القسيمة (أي المبلغ المالي الذي دفعه المصدر في وقت الاسترداد المتزامن مع نهاية فترة القسيمة الأخيرة)، ك – قيمة القسيمة (أي المبلغ المالي المدفوع في نهاية كل فترة قسيمة)، X - القيمة الحالية للسند في نهاية فترة القسيمة التاسعة،

أولئك. ص يتزامن مع المبلغ الذي يجب دفعه في الوقت الحالي للحصول على مبلغ القسيمة في كل فترة قسيمة لفترة طويلة غير متناهية بسعر فائدة معين لفترة قسيمة واحدة.

الأنظمة التفاضلية الخطية المعادلات.

يسمى نظام المعادلات التفاضلية خطي،إذا كانت خطية بالنسبة إلى الدوال المجهولة ومشتقاتها. نظام ن-المعادلات الخطية من الدرجة الأولى تكتب على الشكل:

معاملات النظام ثابتة.

من الملائم كتابة هذا النظام في شكل مصفوفة: ,

أين يوجد متجه عمود لوظائف غير معروفة اعتمادًا على وسيطة واحدة.

ناقل العمود لمشتقات هذه الوظائف.

ناقل العمود للأعضاء الأحرار.

معامل المصفوفة.

النظرية 1:إذا كانت جميع معاملات المصفوفة أتكون متواصلة على فترة زمنية معينة، ثم في حي معين من كل م. استيفاء شروط TS&E. وبالتالي، يمر منحنى متكامل واحد عبر كل نقطة من هذه النقاط.

في الواقع، في هذه الحالة، تكون الأطراف اليمنى للنظام متصلة بالنسبة لمجموعة الحجج ومشتقاتها الجزئية بالنسبة (تساوي معاملات المصفوفة A) محدودة، بسبب الاتصال على فترة مغلقة.

طرق حل SLDs

1. يمكن اختزال نظام المعادلات التفاضلية إلى معادلة واحدة عن طريق حذف المجهولات.

مثال:حل نظام المعادلات: (1)

حل:استبعاد ضمن هذه المعادلات من المعادلة الأولى لدينا . بالتعويض في المعادلة الثانية ، وبعد التبسيط نحصل على: .

هذا النظام من المعادلات (1) تم تخفيضها إلى معادلة واحدة من الدرجة الثانية. بعد العثور على هذه المعادلة ذ، ينبغي العثور عليها ضباستخدام المساواة.

2. عند حل نظام من المعادلات عن طريق حذف المجهولات، عادة ما يتم الحصول على معادلة ذات ترتيب أعلى، لذلك في كثير من الحالات يكون حل النظام من خلال إيجادها أكثر ملاءمة مجموعات متكاملة.

تابع 27 ب

مثال:حل النظام

حل:

دعونا نحل هذا النظام باستخدام طريقة أويلر. دعونا نكتب المحدد لإيجاد الخاصية

المعادلة: ، (بما أن النظام متجانس، لكي يكون له حل غير تافه، يجب أن يكون هذا المحدد مساوياً للصفر). نحصل على معادلة مميزة ونجد جذورها:

الحل العام هو : ;

- المتجهات الذاتية.

نكتب الحل من أجل: ;

- المتجهات الذاتية.

نكتب الحل من أجل: ;

نحصل على الحل العام: .

دعونا تحقق:

فلنجد : ونعوضه في المعادلة الأولى لهذا النظام، أي: .

نحن نحصل:

- المساواة الحقيقية.

الفرق الخطي معادلات من الدرجة ن. نظرية الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة من الرتبة ن.

المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل: (1)

إذا كان لهذه المعادلة معامل، فبالقسمة عليه نصل إلى المعادلة: (2) .

عادة المعادلات من النوع (2). لنفترض أنه في اور ط (2) كل الاحتمالات، وكذلك و (خ)مستمرة على فترة ما (أ، ب).ثم، وفقا لTS&E، المعادلة (2) لديه حل فريد يلبي الشروط الأولية: , , ..., لـ . هنا - أي نقطة من الفاصل الزمني (أ، ب)،وجميع - أي أرقام معينة. المعادلة (2) يرضي TC&E , وبالتالي لا يملك حلول خاصة.

تعريف: خاصالنقاط هي تلك التي عندها =0.

خصائص المعادلة الخطية:

1. تبقى المعادلة الخطية كذلك لأي تغيير في المتغير المستقل.
2. تظل المعادلة الخطية كذلك بالنسبة لأي تغيير خطي للدالة المطلوبة.

مواطن:إذا في المعادلة (2) يضع و(س)=0، فنحصل على معادلة من الشكل: (3) ، من اتصل معادلة متجانسةنسبة إلى المعادلة غير المتجانسة (2).

دعونا نقدم العامل التفاضلي الخطي: (4). باستخدام هذا العامل، يمكنك إعادة كتابة المعادلة بشكل مختصر (2) و (3): L(y)=f(x), L(y)=0.المشغل أو العامل (4) لديه الخصائص البسيطة التالية:

ومن هاتين الخاصيتين يمكن استنتاج نتيجة طبيعية: .

وظيفة ص = ص (س)هو حل للمعادلة غير المتجانسة (2), لو ل(ص(س))=و(س)، ثم و (خ)يسمى حل المعادلة إذن حل المعادلة (3) تسمى الوظيفة ص (خ)، لو ل(ص(س))=0على الفترات المدروسة.

يعتبر معادلة خطية غير متجانسة: , ل (ص) = و (خ).

لنفترض أننا وجدنا حلاً معينًا بطريقة ما.

دعونا نقدم وظيفة جديدة غير معروفة ضحسب الصيغة: أين يوجد حل معين.

لنعوض بها في المعادلة: ، افتح القوسين واحصل على: .

يمكن إعادة كتابة المعادلة الناتجة على النحو التالي:

بما أنه حل خاص للمعادلة الأصلية، إذن.

وهكذا حصلنا على معادلة متجانسة فيما يتعلق ض. الحل العام لهذه المعادلة المتجانسة هو مزيج خطي: ​​حيث تشكل الوظائف - النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة. أستعاض ضفي صيغة الاستبدال نحصل على: (*) للوظيفة ذ- دالة غير معروفة للمعادلة الأصلية. سيتم تضمين جميع حلول المعادلة الأصلية في (*).

وبالتالي الحل العام للخط غير المتجانس. يتم تمثيل المعادلة كمجموع حل عام لمعادلة خطية متجانسة وبعض الحلول الخاصة لمعادلة غير متجانسة.

(يتبع على الجانب الآخر)

30. نظرية الوجود والتفرد لحل التفاضل. المعادلات

نظرية:إذا كان الطرف الأيمن من المعادلة مستمرا في المستطيل ومحدود، ويحقق أيضًا شرط Lipschitz: , N=const، إذًا هناك حل فريد يحقق الشروط الأولية ويتم تحديده على المقطع ، أين .

دليل:

النظر في الفضاء المتري الكامل مع،نقاطها هي جميع الدوال المستمرة الممكنة y(x) المحددة في الفاصل الزمني ، والتي تقع رسومها البيانية داخل المستطيل، ويتم تحديد المسافة بالمساواة: . غالبًا ما تستخدم هذه المساحة في التحليل الرياضي وتسمى مساحة التقارب المنتظملأن التقارب في متري هذا الفضاء موحد.

دعونا نستبدل التفاضل. معادلة ذات شروط أولية معينة لمعادلة تكاملية مكافئة: والنظر في المشغل أ(ص)، يساوي الجانب الأيمن من هذه المعادلة: . يعين هذا المشغل لكل وظيفة مستمرة

باستخدام متباينة ليبشيتز، يمكننا كتابة المسافة. الآن دعونا نختار واحدًا ينطبق عليه المتباينة التالية: .

يجب عليك أن تختار ذلك , ثم . وهكذا أظهرنا ذلك.

وفقًا لمبدأ التعيينات الانكماشية، هناك نقطة واحدة، أو ما شابه ذلك، دالة واحدة - حل لمعادلة تفاضلية تلبي الشروط الأولية المحددة.

تغيير المتغيرات في التكامل الثلاثي. أمثلة: حالات الإحداثيات الأسطوانية والكروية.

حساب مساحة سطح أملس محدد بارامتريًا وصريحًا. عنصر مساحة السطح

تعريف التكامل المنحني من النوع الأول وخصائصه الأساسية وحسابه.

تعريف التكامل المنحني من النوع الثاني وخصائصه الأساسية وحسابه. اتصال مع تكامل النوع الأول.

صيغة جرين. شروط كون التكامل المنحني في المستوى لا يعتمد على مسار التكامل.

تعريف التكامل السطحي من النوع الأول وخصائصه الأساسية وحسابه.

تعريف التكامل السطحي من النوع الثاني وخصائصه الأساسية وحسابه. اتصال مع تكامل النوع الأول.

نظرية غاوس-أوستروجرادسكي، وتسجيلها في أشكال الإحداثيات والمتجهات (الثابتة).

نظرية ستوكس، وتمثيلها في الأشكال الإحداثية والمتجهة (الثابتة).

شروط كون التكامل المنحني في الفضاء لا يعتمد على مسار التكامل.

المجال العددي. التدرج الميداني العددي وخصائصه. حساب التدرج في الإحداثيات الديكارتية.

تعريف مجال المتجهات. مجال التدرج. المجالات المحتملة، وشروط الإمكانات.

تدفق المجال المتجه من خلال السطح. تعريف اختلاف المجال المتجه وخصائصه. حساب التباعد في الإحداثيات الديكارتية.

حقول ناقلات الملف اللولبي، شروط الملف اللولبي.

تداول المجال المتجه والدوار الميداني المتجه. حساب الدوار في الإحداثيات الديكارتية.

مشغل هاميلتون (نابلا)، العمليات التفاضلية من الدرجة الثانية، التوصيلات بينهما.

المفاهيم الأساسية المتعلقة بالقصيدة من الدرجة الأولى: الحلول العامة والخاصة، التكامل العام، المنحنيات التكاملية. مشكلة كوشي ومعناها الهندسي.

تكامل القصائد الغنائية من الدرجة الأولى مع متغيرات متجانسة وقابلة للفصل.

تكامل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى ومعادلات برنولي.

دمج قصائد الدرجة الأولى في إجمالي الفروق. عامل التكامل.

طريقة إدخال المعلمة. تكامل قصيدة الدرجة الأولى من لاغرانج وكليروت.

أبسط القصائد الغنائية ذات الرتب العليا، قابلة للتكامل في التربيعات وتسمح بتخفيض الترتيب.

الشكل الطبيعي لنظام القصائد الخطية والتدوين العددي والمتجه (المصفوفة). مسألة كوشي لنظام عادي من المواد الخطية، معناها الهندسي.

الأنظمة المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا لوظائف المتجهات. شرط ضروري للاعتماد الخطي. نظرية محدد ورونسكي للحلول لنظام من القصائد الخطية المتجانسة.

نظرية الحل العام (على بنية الحل العام) للنظام العادي للقصائد الخطية غير المتجانسة.

طريقة تغيير الثوابت التعسفية لإيجاد حلول جزئية لنظام عادي من القصائد الخطية غير المتجانسة.

النظام الأساسي للحلول لنظام عادي من المعادلات الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة في حالة الجذور الحقيقية البسيطة للمعادلة المميزة.

أنظمة الوظائف المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا. شرط ضروري للاعتماد الخطي. نظرية محدد Wronski للحلول لرمز خطي متجانس.

نظرية الحل العام (حول بنية الحل العام) للمعادلة الخطية المتجانسة.

نظرية الحل العام (حول بنية الحل العام) للمعادلة الخطية غير المتجانسة.

طريقة تغيير الثوابت التعسفية لإيجاد حلول جزئية لمعادلة خطية غير متجانسة.

نظام أساسي من الحلول لمعادلة خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة في حالة الجذور البسيطة للمعادلة المميزة حقيقية أو معقدة.

نظام أساسي من الحلول لمعادلة خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة في حالة وجود جذور متعددة للمعادلة المميزة.

إيجاد الحلول الجزئية لقصيدة خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة وجانب أيمن خاص.

نظرية الوجود لحل (محلي) لمشكلة كوشي في ODE من الدرجة الأولى.

نظرية التفرد لحل مسألة كوشي لقصيدة من الدرجة الأولى.

1. نظرية الحل العام (على بنية الحل العام) للنظام العادي للقصائد الخطية غير المتجانسة.

دعونا نفكر في نظام خطي غير متجانس من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة n

هنا أ

ما يلي صحيح نظرية هيكل الحل العاملهذا النظام الخطي غير المتجانس من ODEs.

إذا مصفوفة أ(x) ووظيفة المتجهات ب (x) مستمرة على [ أ, ب]، اتركه Φ (x) هي المصفوفة الأساسية لحلول النظام الخطي المتجانس، ثم الحل العام للنظام غير المتجانس ص" = أ(خ) ي + ب(x) له الشكل:

أين ج- متجه عمود ثابت عشوائي، x 0 - نقطة ثابتة عشوائية من المقطع.

من السهل الحصول على صيغة لحل مشكلة كوشي لنظام ODE خطي غير متجانس - صيغة كوشي.

حل مشكلة كوشي ي(س 0) = ي 0 هي دالة متجهة

1. طريقة تغيير الثوابت التعسفية لإيجاد حلول جزئية لنظام عادي من القصائد الخطية غير المتجانسة.

تعريف نظام من ODEs الخطية غير المتجانسة. نظام ODUيكتب:

مُسَمًّى خطي غير متجانسة . يترك

النظام (*) على شكل مصفوفة متجهة: .- يكون النظام متجانساً، وإلا فهو غير متجانس.

الطريقة نفسها. يجب أن يكون هناك نظام خطي غير متجانس ، إذن هو نظام خطي متجانس يتوافق مع نظام خطي غير متجانس. اسمحوا أن تكون المصفوفة الأساسية لنظام القرار ، ، حيث C هو متجه ثابت تعسفي، هو الحل العام للنظام. دعونا نبحث عن حل للنظام (1) في النموذج ، حيث C(x) هي دالة متجهة غير معروفة (حتى الآن). نريد أن تكون وظيفة المتجه (3) حلاً للنظام (1). ثم يجب أن تكون الهوية صحيحة:

(يمكن اعتبار المتجه الثابت التعسفي، الذي يتم الحصول عليه نتيجة للتكامل، مساويًا لـ 0). هنا النقاط × 0 موجودة.

لذلك نرى أنه إذا أخذنا في (3) C(t) ثم وظيفة المتجهات سيكون حلا للنظام (1).

يمكن كتابة الحل العام للنظام الخطي غير المتجانس (1) على الصورة . ومن الضروري إيجاد حل للنظام (1) يحقق الشرط الأولي . يعطي الاستبدال (4) للبيانات الأولية (5). . ولذلك يمكن كتابة حل مسألة كوشي (1)-(5) على النحو التالي: . في الحالة الخاصة عندما تأخذ الصيغة الأخيرة الشكل: .

1. النظام الأساسي للحلول لنظام عادي من المعادلات الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة في حالة الجذور الحقيقية البسيطة للمعادلة المميزة.

نظام متجانس خطي عادينترتيب مع معاملات ثابتة - أو معاملات المجموعات الخطية للدوال المطلوبة ثابتة. هذا النظام في شكل مصفوفة – شكل المصفوفة، حيث A هي مصفوفة ثابتة. طريقة المصفوفة: من معادلة مميزة سنجد جذورًا مختلفة ولكل جذر (مع مراعاة تعدده) سنحدد الحل الخاص المقابل. الحل العام هو : . في هذه الحالة 1) إذا - هو الجذر الحقيقي لمضاعف 1، إذن ، حيث يكون المتجه الذاتي للمصفوفة A المطابق للقيمة الذاتية، أي. 2) – جذر التعدد، ثم يتم البحث عن حل النظام المقابل لهذا الجذر في شكل متجه (**)، معاملاتها يتم تحديدها من نظام المعادلات الخطية التي تم الحصول عليها عن طريق مساواة المعاملات في نفس القوىx نتيجة لاستبدال المتجه (**) في النظام الأصلي.

النظام الأساسي لحلول NLOSعبارة عن مجموعة من الحلول التعسفية المستقلة خطيًا

نظام أساسي من الحلول لنظام عادي من المعادلات التفاضلية التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة في الحالة التي تكون فيها جميع جذور المعادلة المميزة بسيطة، ولكن هناك جذور معقدة.

تمت إزالة السؤال.