احسب إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات. إسقاط القوة على المحور

مقدمة ………………………………………………………………… 3

1. قيمة المتجه والعددية ……………………………….4

2. تعريف الإسقاط والمحور وإحداثيات النقطة.................5

3. إسقاط المتجه على المحور ..........................................................6

4. الصيغة الأساسية للجبر المتجه…………………………..8

5. حساب معامل المتجه من إسقاطاته ...........................9

الخلاصة ………………………………………………………………………………………………………….11

الأدب ……………………………………………………………………………………………………………………….12

مقدمة:

ترتبط الفيزياء ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات. تمنح الرياضيات الفيزياء الوسائل والتقنيات للتعبير العام والدقيق عن العلاقة بين الكميات الفيزيائية التي يتم اكتشافها نتيجة للتجربة أو البحث النظري، ففي نهاية المطاف، الطريقة الرئيسية للبحث في الفيزياء هي الطريقة التجريبية. وهذا يعني أن العالم يكشف عن الحسابات باستخدام القياسات. يدل على العلاقة بين الكميات الفيزيائية المختلفة. ثم تتم ترجمة كل شيء إلى لغة الرياضيات. يتم تشكيل نموذج رياضي. الفيزياء هو العلم الذي يدرس أبسط القوانين وأكثرها عمومية في نفس الوقت. تتمثل مهمة الفيزياء في خلق صورة في أذهاننا للعالم المادي تعكس خصائصه بشكل كامل وتضمن مثل هذه العلاقات بين عناصر النموذج الموجود بين العناصر.

لذا فإن الفيزياء تخلق نموذجًا للعالم من حولنا وتدرس خصائصه. ولكن أي نموذج محدود. عند إنشاء نماذج لظاهرة معينة، يتم أخذ الخصائص والروابط الضرورية لمجموعة معينة من الظواهر في الاعتبار فقط. هذا هو فن العالم - اختيار الشيء الرئيسي من بين كل التنوع.

النماذج الفيزيائية هي نماذج رياضية، ولكن الرياضيات ليست أساسها. يتم تحديد العلاقات الكمية بين الكميات الفيزيائية نتيجة للقياسات والملاحظات والدراسات التجريبية، ولا يتم التعبير عنها إلا بلغة الرياضيات. ومع ذلك، لا توجد لغة أخرى لبناء النظريات الفيزيائية.

1. معنى المتجه والعددية.

في الفيزياء والرياضيات، المتجه هو الكمية التي تتميز بقيمتها العددية واتجاهها. في الفيزياء هناك العديد من الكميات المهمة التي تعتبر ناقلات، على سبيل المثال القوة، الموضع، السرعة، التسارع، عزم الدوران، الزخم، شدة المجال الكهربائي والمغناطيسي. ويمكن مقارنتها بكميات أخرى مثل الكتلة والحجم والضغط ودرجة الحرارة والكثافة، والتي يمكن وصفها برقم عادي، وتسمى " العددية".

وهي مكتوبة إما بأحرف عادية أو بالأرقام (a، b، t، G، 5، −7....). يمكن أن تكون الكميات العددية موجبة أو سالبة. في الوقت نفسه، قد يكون لدى بعض كائنات الدراسة مثل هذه الخصائص، للحصول على وصف كامل لا يكفي معرفة المقياس العددي فقط؛ تتميز هذه الخصائص بالكميات المتجهة (المتجهات). يتم الإشارة إلى المتجهات، على عكس الكميات القياسية، بأحرف غامقة: a، b، g، F، C....
غالبًا ما تتم الإشارة إلى المتجه بحرف بخط عادي (غير غامق)، ولكن مع وجود سهم فوقه:

بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يُشار إلى المتجه بزوج من الحروف (عادة ما تكون كبيرة)، حيث يشير الحرف الأول إلى بداية المتجه والثاني إلى نهايته.

يُشار إلى معامل المتجه، أي طول القطعة المستقيمة الموجهة، بنفس حروف المتجه نفسه، ولكن بالكتابة العادية (غير الغامقة) وبدون سهم فوقها، أو بنفس الطريقة تمامًا كمتجه (أي بالخط العريض أو العادي، ولكن مع سهم)، ولكن بعد ذلك يتم وضع تعيين المتجه ضمن شرطات رأسية.
المتجه هو كائن معقد يتميز في نفس الوقت بالحجم والاتجاه.

لا توجد أيضًا ناقلات إيجابية وسلبية. لكن المتجهات يمكن أن تكون متساوية مع بعضها البعض. يحدث هذا، على سبيل المثال، عندما يكون لـ a وb نفس الوحدات ويتم توجيههما في نفس الاتجاه. وفي هذه الحالة يكون التدوين صحيحا أ= ب. يجب أيضًا أن يؤخذ في الاعتبار أن رمز المتجه قد يسبقه علامة ناقص، على سبيل المثال - c، ومع ذلك، تشير هذه العلامة رمزيًا إلى أن المتجه -c له نفس الوحدة النمطية مثل المتجه c، ولكنه موجه في الاتجاه المعاكس اتجاه.

يُسمى المتجه -c بالعكس (أو العكس) للمتجه c.
في الفيزياء، يتم ملء كل متجه بمحتوى معين، وعند مقارنة المتجهات من نفس النوع (على سبيل المثال، القوى)، يمكن أن تكون نقاط تطبيقها مهمة أيضًا.

2. تحديد الإسقاط والمحور وإحداثيات النقطة.

محور- هذا خط مستقيم له اتجاه ما.
يُشار إلى المحور بحرف ما: X، Y، Z، s، t... عادةً ما يتم تحديد نقطة (بشكل تعسفي) على المحور، والتي تسمى الأصل، وعادةً ما يتم تحديدها بالحرف O. من هذه النقطة يتم قياس المسافات إلى النقاط الأخرى التي تهمنا.

إسقاط نقطةعلى محور هي قاعدة العمود المرسوم من هذه النقطة على محور معين. أي أن إسقاط النقطة على المحور هو نقطة.

إحداثيات النقطةيوجد على محور معين رقم قيمته المطلقة تساوي طول مقطع المحور (على المقياس المحدد) الموجود بين أصل المحور وإسقاط النقطة على هذا المحور. ويؤخذ هذا الرقم بعلامة زائد إذا كان إسقاط النقطة يقع في اتجاه المحور من أصلها وبعلامة ناقص إذا كان في الاتجاه المعاكس.

3. إسقاط المتجه على المحور.

إسقاط المتجه على المحور هو متجه يتم الحصول عليه عن طريق ضرب الإسقاط العددي للمتجه على هذا المحور ومتجه الوحدة لهذا المحور. على سبيل المثال، إذا كان x هو الإسقاط العددي للمتجه a على المحور X، فإن x ·i هو الإسقاط المتجه على هذا المحور.

دعونا نشير إلى إسقاط المتجه بنفس طريقة المتجه نفسه، ولكن مع مؤشر المحور الذي يتم إسقاط المتجه عليه. وبالتالي، فإننا نشير إلى الإسقاط المتجه للمتجه a على المحور X باعتباره x (حرف غامق يشير إلى المتجه والحرف السفلي لاسم المحور) أو

(حرف غامق منخفض يشير إلى متجه، ولكن مع وجود سهم في الأعلى (!) وحرف منخفض لاسم المحور).

الإسقاط العددييسمى المتجه لكل محور رقم، والتي تساوي قيمتها المطلقة طول مقطع المحور (على المقياس المحدد) المحصور بين إسقاطات نقطة البداية ونقطة النهاية للمتجه. عادة بدلا من التعبير الإسقاط العددييقولون ببساطة - تنبؤ. تتم الإشارة إلى الإسقاط بنفس حرف المتجه المسقط (بالكتابة العادية غير الغامقة)، مع مؤشر أقل (كقاعدة) لاسم المحور الذي يتم إسقاط هذا المتجه عليه. على سبيل المثال، إذا تم إسقاط متجه على المحور X أ،ثم يتم الإشارة إلى إسقاطه بواسطة x. عند إسقاط نفس المتجه على محور آخر، إذا كان المحور Y، فسيتم الإشارة إلى إسقاطه بالحرف y.

لحساب الإسقاط المتجهعلى المحور (على سبيل المثال، المحور X)، من الضروري طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية، أي

أ س = س ك − س ن.

إسقاط المتجه على المحور هو رقم.علاوة على ذلك، يمكن أن يكون الإسقاط موجبًا إذا كانت القيمة x k أكبر من القيمة x n،

سالبة إذا كانت القيمة x k أقل من القيمة x n

ويساوي الصفر إذا كانت x k تساوي x n.

يمكن أيضًا إيجاد إسقاط المتجه على المحور من خلال معرفة معامل المتجه والزاوية التي يصنعها مع هذا المحور.

يتضح من الشكل أن x = a Cos α

أي أن إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب معامل المتجه وجيب تمام الزاوية الواقعة بين اتجاه المحور و اتجاه المتجهات. إذا كانت الزاوية حادة
Cos α > 0 و a x > 0، وإذا كانت منفرجة، فإن جيب تمام الزاوية المنفرجة يكون سالبًا، وسيكون إسقاط المتجه على المحور سالبًا أيضًا.

تعتبر الزوايا المقاسة من المحور عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة، والزوايا المقاسة على طول المحور سالبة. ومع ذلك، نظرًا لأن جيب التمام هو دالة زوجية، أي Cos α = Cos (− α)، عند حساب الإسقاطات، يمكن حساب الزوايا في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة.

للعثور على إسقاط متجه على محور، يجب ضرب معامل هذا المتجه في جيب تمام الزاوية بين اتجاه المحور واتجاه المتجه.

4. الصيغة الأساسية للجبر المتجه.

لنقم بإسقاط المتجه a على المحورين X وY لنظام الإحداثيات المستطيل. لنجد الإسقاطات المتجهة للمتجه a على هذه المحاور:

أ س = أ س ·i، و ص = أ · ي.

ولكن وفقا لقاعدة إضافة المتجهات

أ = أ س + أ ص.

أ = أ س ط + أ ذ ي.

وهكذا، عبرنا عن متجه من حيث إسقاطاته ومتجهات نظام الإحداثيات المستطيل (أو من حيث إسقاطاته المتجهة).

تسمى إسقاطات المتجهات x وy بمكونات أو مكونات المتجه a. تسمى العملية التي قمنا بها بتحليل المتجه على طول محاور نظام الإحداثيات المستطيل.

إذا تم إعطاء المتجه في الفضاء، إذن

أ = أ س ط + أ ذ ي + أ ض ك.

تسمى هذه الصيغة بالصيغة الأساسية للجبر المتجه. وبطبيعة الحال، يمكن كتابتها مثل هذا.

المفاهيم الأساسية للجبر المتجه

الكميات العددية والمتجهة

ومن المعروف من خلال الفيزياء الأولية أن بعض الكميات الفيزيائية، مثل درجة الحرارة والحجم وكتلة الجسم والكثافة وما إلى ذلك، يتم تحديدها فقط بقيمة عددية. تسمى هذه الكميات الكميات العددية، أو الكميات العددية.

ولتحديد بعض الكميات الأخرى، مثل القوة والسرعة والتسارع وما شابه ذلك، بالإضافة إلى القيم العددية، لا بد أيضًا من تحديد اتجاهها في الفضاء. تسمى الكميات التي تتميز بالاتجاه بالإضافة إلى قيمتها المطلقة المتجه.

تعريفالمتجه هو قطعة موجهة يتم تعريفها بنقطتين: النقطة الأولى تحدد بداية المتجه، والثانية تحدد نهايته. ولهذا السبب يقولون أيضًا أن المتجه هو زوج من النقاط مرتبة.

في الشكل، يتم تصوير المتجه كقطعة خط مستقيم، حيث يتم تحديد الاتجاه من بداية المتجه إلى نهايته بسهم. على سبيل المثال، الشكل. 2.1.

إذا كانت بداية المتجه تتزامن مع النقطة ، والنهاية بنقطة ، ثم يتم الإشارة إلى المتجه
. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يُشار إلى المتجهات بحرف واحد صغير يوجد فوقه سهم . في الكتب، يتم حذف السهم أحيانًا، ثم يتم استخدام الخط الغامق للإشارة إلى المتجه.

تشمل المتجهات ناقل صفروالتي تتطابق بدايتها ونهايتها. تم تعيينه أو ببساطة .

تسمى المسافة بين بداية المتجه ونهايته به الطول، أو الوحدة. تتم الإشارة إلى وحدة المتجه بواسطة شريطين عموديين على اليسار:
أو بدون أسهم
أو .

تسمى المتجهات الموازية لخط واحد على استطراد.

تسمى المتجهات الواقعة في نفس المستوى أو الموازية لنفس المستوى متحد المستوى.

يعتبر المتجه الفارغ على خط واحد مع أي متجه. طوله 0.

تعريفاثنين من المتجهات
و
تسمى متساوية (الشكل 2.2) إذا كانت:
1)على استطراد; 2) مشتركان في الاتجاه. 3) متساويان في الطول.

هو مكتوب مثل هذا:
(2.1)

ويترتب على تعريف مساواة المتجهات أنه عندما يتم نقل ناقل بالتوازي، يتم الحصول على متجه يساوي المتجه الأولي، وبالتالي يمكن وضع بداية المتجه في أي نقطة في الفضاء. تسمى هذه المتجهات (في الميكانيكا النظرية والهندسة) والتي يمكن تحديد موقع بدايتها في أي نقطة في الفضاء حر. وهذه المتجهات بالتحديد هي التي سننظر فيها.

تعريف نظام المتجهات
يسمى تابعًا خطيًا إذا كانت هناك مثل هذه الثوابت
، ومن بينها واحد على الأقل يختلف عن الصفر، والذي تسري عليه المساواة.

تعريفيسمى الأساس في الفضاء ثلاثة نواقل غير مستوية عشوائية، والتي يتم أخذها في تسلسل معين.

تعريف لو
- الأساس والمتجه، ثم الأرقام
تسمى إحداثيات المتجهات على هذا الأساس.

سنكتب إحداثيات المتجه بين قوسين متعرجين بعد تعيين المتجه. على سبيل المثال،
يعني أن المتجه في بعض الأساس المختار لديه التوسع:
.

من خصائص ضرب المتجه بعدد وإضافة المتجهات، يتبع بيان يتعلق بالإجراءات الخطية على المتجهات المحددة بالإحداثيات.

من أجل العثور على إحداثيات المتجه، إذا كانت إحداثيات بدايته ونهايته معروفة، فمن الضروري طرح إحداثيات البداية من الإحداثيات المقابلة لنهايته.

العمليات الخطية على المتجهات

العمليات الخطية على المتجهات هي عمليات جمع (طرح) المتجهات وضرب المتجه في رقم. دعونا ننظر إليهم.

تعريف منتج من ناقلات لكل رقم
يسمى المتجه المتطابق في الاتجاه مع المتجه ، لو
، مع الاتجاه المعاكس، إذا
سلبي. طول هذا المتجه يساوي حاصل ضرب طول المتجه لكل معامل الرقم
.

ص مثال . بناء ناقلات
، لو
و
(الشكل 2.3).

عندما يتم ضرب متجه برقم، يتم ضرب إحداثياته ​​بهذا الرقم.

في الواقع، إذا، ثم

منتج من ناقلات على
يسمى ناقل
;
- موجه بشكل معاكس .

لاحظ أن المتجه الذي يبلغ طوله 1 يسمى أعزب(أو أورتوم).

باستخدام عملية ضرب المتجه بعدد، يمكن التعبير عن أي متجه من خلال متجه وحدة له نفس الاتجاه. في الواقع، تقسيم المتجهات إلى طوله (أي الضرب على )، نحصل على متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه . سوف نشير إليه
. إنه يتبع هذا
.

تعريف مجموع اثنين من المتجهات و يسمى ناقل ، والذي يأتي من أصلهما المشترك وهو قطري متوازي الأضلاع الذي تكون أضلاعه متجهات و (الشكل 2.4).

.

حسب تعريف المتجهات المتساوية
لهذا
-حكم المثلث. يمكن تمديد قاعدة المثلث إلى أي عدد من المتجهات وبالتالي الحصول على قاعدة المضلع:
هو المتجه الذي يربط بداية المتجه الأول مع نهاية المتجه الأخير (الشكل 2.5).

لذلك، من أجل إنشاء متجه مجموع، تحتاج إلى إرفاق بداية الثاني بنهاية المتجه الأول، وإرفاق بداية الثالث بنهاية الثاني، وهكذا. فيكون متجه المجموع هو المتجه الذي يربط بداية أول المتجهات بنهاية الأخير.

عند إضافة المتجهات، تتم أيضًا إضافة إحداثياتها المقابلة

في الواقع، إذا
,

إذا كانت ناقلات
و ليست متحدة المستوى، فإن مجموعها قطري
متوازي السطوح مبني على هذه المتجهات (الشكل 2.6)

,

أين

ملكيات:

- التبادلية؛

- الترابط.

- التوزيع فيما يتعلق بالضرب في عدد

.

أولئك. يمكن تحويل المجموع المتجه وفقًا لنفس قواعد المجموع الجبري.

تعريفالفرق بين ناقلين و يسمى هذا المتجه ، والتي عند إضافتها إلى المتجه يعطي ناقلات . أولئك.
لو
. هندسيا يمثل القطر الثاني لمتوازي الأضلاع المبني على المتجهات و ذات بداية مشتركة وموجهة من نهاية المتجه إلى نهاية المتجه (الشكل 2.7).

إسقاط المتجه على المحور. خصائص الإسقاطات

دعونا نتذكر مفهوم محور الأعداد. محور الرقم هو الخط الذي يتم تعريفه:

الاتجاه (←)؛

الأصل (النقطة O) ؛

الجزء الذي يتم أخذه كوحدة قياس.

يجب ألا يكون هناك ناقل
والمحور . من النقاط و خفض الخطوط العمودية على المحور . دعونا نحصل على النقاط و - إسقاطات النقاط و (الشكل 2.8 أ).

تعريف الإسقاط المتجه
لكل محور يسمى طول القطعة
هذا المحور الذي يقع بين قاعدتي إسقاطات بداية ونهاية المتجه
لكل محور . ويؤخذ بعلامة زائد إذا كان اتجاه القطعة
يتطابق مع اتجاه محور الإسقاط، ومع علامة الطرح إذا كان هذان الاتجاهان متقابلين. تعيين:
.

عن عزيمة الزاوية بين المتجه
والمحور تسمى زاوية ، والتي من الضروري تحويل المحور إليها بأقصر طريقة ممكنة بحيث يتزامن مع اتجاه المتجه
.

سوف نجد
:

يوضح الشكل 2.8 أ:
.

في التين. 2.8 ب): .

إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب طول هذا المتجه وجيب تمام الزاوية بين المتجه ومحور الإسقاطات:
.

خصائص الإسقاطات:

لو
، ثم تسمى المتجهات متعامدة

مثال . المتجهات المعطاة
,
.ثم

.

مثال. إذا كانت بداية المتجه
هو في هذه النقطة
، والنهاية عند هذه النقطة
، ثم المتجه
له إحداثيات:

عن عزيمة الزاوية بين متجهين و تسمى أصغر زاوية
(الشكل 2.13) بين هذه النواقل، تم اختزالها إلى أصل مشترك .

الزاوية بين المتجهات و مكتوب رمزيا مثل هذا: .

ويترتب على التعريف أن الزاوية بين النواقل يمكن أن تختلف داخل
.

لو
، ثم تسمى المتجهات متعامدة.

.

تعريف.تسمى جيب تمام زوايا المتجه مع محاور الإحداثيات جيب تمام الاتجاه للمتجه. إذا كان ناقلات
يشكل زوايا ذات محاور الإحداثيات

.

إن حل المشكلات المتعلقة بتوازن القوى المتقاربة من خلال إنشاء مضلعات القوة المغلقة ينطوي على إنشاءات مرهقة. الطريقة العالمية لحل مثل هذه المشكلات هي الانتقال إلى تحديد إسقاطات قوى معينة على محاور الإحداثيات والعمل مع هذه الإسقاطات. المحور هو خط مستقيم له اتجاه محدد.

إن إسقاط المتجه على المحور هو كمية عددية، يتم تحديدها بواسطة جزء المحور المقطوع بواسطة الخطوط المتعامدة المسقطة عليه من بداية المتجه ونهايته.

يعتبر الإسقاط المتجه موجبًا إذا كان الاتجاه من بداية الإسقاط إلى نهايته يتوافق مع الاتجاه الموجب للمحور. ويعتبر الإسقاط المتجه سالبا إذا كان الاتجاه من بداية الإسقاط إلى نهايته معاكسا للاتجاه الموجب للمحور.

وبالتالي، فإن إسقاط القوة على محور الإحداثيات يساوي حاصل ضرب معامل القوة وجيب تمام الزاوية بين متجه القوة والاتجاه الموجب للمحور.

دعونا ننظر في عدد من حالات إسقاط القوى على المحور:

ناقل القوة F(الشكل 15) يصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب للمحور x.

للعثور على الإسقاط، من بداية ونهاية متجه القوة نقوم بخفض الخطوط المتعامدة على المحور أوه; نحن نحصل

1. الفوركس = Fكوس α

إسقاط المتجه في هذه الحالة إيجابي

قوة F(الشكل 16) هو مع الاتجاه الموجب للمحور Xزاوية منفرجة α.

ثم Fس = F cos α، ولكن بما أن α = 180 0 - φ،

Fس = Fكوس α = F cos180 0 - φ =- Fكوس φ.

إسقاط القوة Fلكل محور أوهفي هذه الحالة هو سلبي.

قوة F(الشكل 17) عمودي على المحور أوه.

إسقاط القوة F على المحور Xيساوي الصفر

Fس = Fجتا 90 درجة = 0.

القوة الموجودة على متن الطائرة هاو(الشكل 18)، يمكن إسقاطها على محوري إحداثيات أوهو الوحدة التنظيمية.

قوة Fيمكن تقسيمها إلى مكونات: Fس و Fذ. وحدة المتجهات F x يساوي إسقاط المتجه Fلكل محور ثور، ومعامل المتجهات F y يساوي إسقاط المتجه Fلكل محور أوه.

من Δ أواف: Fس = Fكوس ألفا, Fس = Fالخطيئة α.

من Δ منظمة الدول الأمريكية: Fس = Fكوس φ، Fس = Fالخطيئة φ.

يمكن إيجاد مقدار القوة باستخدام نظرية فيثاغورس:

إن إسقاط مجموع المتجهات أو المحصلة على أي محور يساوي المجموع الجبري لإسقاطات مجموع المتجهات على نفس المحور.

النظر في القوى المتقاربة F 1 , F 2 , F 3، و F 4، (الشكل 19، أ). المجموع الهندسي، أو المحصلة، لهذه القوى Fيحدده الجانب الختامي لمضلع القوة

دعونا نسقط من رؤوس مضلع القوة إلى المحور سمتعامدين.

بالنظر إلى توقعات القوى التي تم الحصول عليها مباشرة من البناء المكتمل، لدينا

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

حيث n هو عدد مصطلحات المتجهات. تدخل توقعاتهم في المعادلة أعلاه بالعلامة المقابلة.

في المستوى، يمكن إسقاط المجموع الهندسي للقوى على محورين إحداثيين، وفي الفضاء، على ثلاثة محاور على التوالي.

المحور هو الاتجاه. وهذا يعني أن الإسقاط على محور أو على خط موجه يعتبر نفسه. يمكن أن يكون الإسقاط جبريًا أو هندسيًا. في المصطلحات الهندسية، يُفهم إسقاط المتجه على المحور على أنه متجه، وفي المصطلحات الجبرية هو رقم. وهذا يعني أنه يتم استخدام مفاهيم إسقاط المتجه على المحور والإسقاط العددي للمتجه على المحور.

إذا كان لدينا محور L ومتجه غير صفري A B →، فيمكننا إنشاء متجه A 1 B 1 ⇀، للإشارة إلى إسقاطات نقطتيه A 1 و B 1.

A 1 B → 1 سيكون إسقاط المتجه A B → على L.

التعريف 1

إسقاط المتجه على المحورهو متجه تكون بدايته ونهايته عبارة عن إسقاطات لبداية ونهاية متجه معين. n p L A B → → من المعتاد الإشارة إلى الإسقاط A B → على L. لإنشاء إسقاط على L، يتم إسقاط الخطوط المتعامدة على L.

مثال 1

مثال على إسقاط المتجه على المحور.

على المستوى الإحداثي O x y، يتم تحديد النقطة M 1 (x 1, y 1). من الضروري إنشاء إسقاطات على O x وO y لتصوير متجه نصف القطر للنقطة M 1. نحصل على إحداثيات المتجهات (x 1, 0) و (0, y 1).

إذا كنا نتحدث عن إسقاط a → على غير الصفر b → أو إسقاط a → على الاتجاه b → ، فإننا نعني إسقاط a → على المحور الذي يتزامن معه الاتجاه b →. تم تحديد إسقاط a → على الخط المحدد بواسطة b → n p b → a → → . من المعروف أنه عندما تكون الزاوية بين a → و b → , n p b → a → → و b → يمكن اعتبارها ذات اتجاه مشترك. في الحالة التي تكون فيها الزاوية منفرجة، يكون n p b → a → → وb → في اتجاهين متعاكسين. في حالة التعامد a → و b →، و a → صفر، فإن إسقاط a → في الاتجاه b → هو المتجه الصفري.

الخاصية العددية لإسقاط المتجه على محور هي الإسقاط العددي للمتجه على محور معين.

التعريف 2

الإسقاط العددي للمتجه على المحورهو رقم يساوي حاصل ضرب طول متجه معين وجيب تمام الزاوية بين المتجه المعطى والمتجه الذي يحدد اتجاه المحور.

يُشار إلى الإسقاط العددي لـ A B → على L بـ n p L A B → و a → على b → - n p b → a → .

بناءً على الصيغة، نحصل على n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ ، من حيث a → هو طول المتجه a → ، a ⇀ ، b → ^ هي الزاوية بين المتجهات a → و ب → .

نحصل على صيغة حساب الإسقاط العددي: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . ينطبق هذا على الأطوال المعروفة a → وb → والزاوية بينهما. تنطبق الصيغة على الإحداثيات المعروفة a → وb →، ولكن هناك نموذج مبسط.

مثال 2

اكتشف الإسقاط العددي لـ a → على خط مستقيم في الاتجاه b → بطول a → يساوي 8 وزاوية بينهما 60 درجة. حسب الشرط لدينا ⇀ = 8، أ ⇀، ب → ^ = 60 درجة. هذا يعني أننا نعوض القيم العددية في الصيغة n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

إجابة: 4.

مع cos المعروف (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , لدينا → , b → كمنتج عددي لـ a → و b → . باتباع الصيغة n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ ، يمكننا العثور على الإسقاط العددي a → الموجه على طول المتجه b → والحصول على n p b → a → = a → , b → b → . الصيغة تعادل التعريف الوارد في بداية الفقرة.

التعريف 3

الإسقاط العددي للمتجه a → على محور يتطابق في الاتجاه مع b → هو نسبة المنتج القياسي للمتجهات a → و b → إلى الطول b → . تنطبق الصيغة n p b → a → = a → , b → b → للعثور على الإسقاط العددي لـ a → على خط يتطابق في الاتجاه مع b → ، بإحداثيات a → و b → المعروفة.

مثال 3

نظرا ب → = (- 3 , 4) . أوجد الإسقاط العددي a → = (1, 7) على L.

حل

على المستوى الإحداثي n p b → a → = a → , b → b → له الصيغة n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , مع a → = (a x , a y ) و ب → = ب س , ب ص . للعثور على الإسقاط العددي للمتجه a → على المحور L، تحتاج إلى: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

إجابة: 5.

مثال 4

أوجد إسقاط a → على L، بالتزامن مع الاتجاه b →، حيث يوجد → = - 2، 3، 1 و b → = (3، - 2، 6). تم تحديد مساحة ثلاثية الأبعاد.

حل

بالنظر إلى a → = a x , a y , a z و b → = b x , b y , b z , نحسب المنتج القياسي: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . نجد الطول b → باستخدام الصيغة b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . ويترتب على ذلك أن صيغة تحديد الإسقاط العددي a → ستكون: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

عوّض بالقيم العددية: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

الجواب: - 6 7.

دعونا نلقي نظرة على العلاقة بين → على L وطول الإسقاط a → على L. لنرسم محورًا L، ونضيف a → وb → من نقطة على L، وبعد ذلك نرسم خطًا عموديًا من النهاية a → إلى L ونرسم إسقاطًا على L. هناك 5 أشكال مختلفة للصورة:

أولاًالحالة مع a → = n p b → a → → تعني a → = n p b → a → →، وبالتالي n p b → a → = a → · cos (a، → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = ن ص ب → أ → → .

ثانيةتتضمن الحالة استخدام n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , مما يعني n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

ثالثتوضح الحالة أنه عندما n p b → a → → = 0 → نحصل على n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0، ثم n p b → a → → = 0 و n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

الرابعتظهر الحالة n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) ، يتبع n p b → a → = a → · cos ( أ → ، ب → ^) = - ن ب → أ → → .

الخامستظهر الحالة a → = n p b → a → →، مما يعني a → = n p b → a → →، وبالتالي لدينا n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - أ → = - ن ب → أ → .

التعريف 4

الإسقاط العددي للمتجه a → على المحور L، والذي يتم توجيهه بنفس طريقة b →، له القيمة التالية:

• طول إسقاط المتجه a → على L، بشرط أن تكون الزاوية بين a → و b → أقل من 90 درجة أو تساوي 0: n p b → a → = n p b → a → → مع الشرط 0 ≥ (a → ، ب →) ^< 90 ° ;
• صفر بشرط أن يكون a → و b → متعامدين: n p b → a → = 0، عندما تكون (a → , b → ^) = 90 درجة؛
• طول الإسقاط a → على L، مضروبًا في -1، عندما تكون هناك زاوية منفرجة أو مستقيمة للمتجهات a → و b →: n p b → a → = - n p b → a → → بشرط 90 درجة< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

مثال 5

بالنظر إلى طول الإسقاط a → على L، يساوي 2. أوجد الإسقاط العددي a → بشرط أن تكون الزاوية 5 π 6 راديان.

حل

يتضح من الشرط أن هذه الزاوية منفرجة: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

الجواب :- 2.

مثال 6

بالنظر إلى المستوى O x y z بطول المتجه a → يساوي 6 3, b → (- 2, 1, 2) بزاوية 30 درجة. أوجد إحداثيات الإسقاط a → على المحور L.

حل

أولاً، نحسب الإسقاط العددي للمتجه a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

حسب الحالة، تكون الزاوية حادة، ثم الإسقاط العددي a → = طول إسقاط المتجه a →: n p L a → = n p L a → → = 9. توضح هذه الحالة أن المتجهات n p L a → → و b → موجهة بشكل مشترك، مما يعني أن هناك رقم t الذي تكون المساواة فيه صحيحة: n p L a → → = t · b → . من هنا نرى أن n p L a → → = t · b → ، مما يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة المعلمة t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

ثم n p L a → → = 3 · b → بإحداثيات إسقاط المتجه a → على المحور L يساوي b → = (- 2 , 1 , 2) حيث من الضروري ضرب القيم ب 3. لدينا n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . الجواب : (- 6 ، 3 ، 6) .

من الضروري تكرار المعلومات التي تم تعلمها مسبقًا حول حالة العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

§ 3. إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات

1. إيجاد الإسقاطات هندسيا.

المتجه
- إسقاط المتجه على المحور ثور
- إسقاط المتجه على المحور أوي

التعريف 1. الإسقاط المتجه يوجد على أي محور إحداثي رقم مأخوذ بعلامة زائد أو ناقص، يتوافق مع طول القطعة الواقعة بين قاعدتي المتعامدين المسقطتين من بداية ونهاية المتجه إلى محور الإحداثيات.

يتم تعريف علامة الإسقاط على النحو التالي. إذا كانت هناك حركة عند التحرك على طول المحور الإحداثي من نقطة إسقاط بداية المتجه إلى نقطة إسقاط نهاية المتجه في الاتجاه الموجب للمحور، فإن إسقاط المتجه يعتبر إيجابيًا . أما إذا كان مقابلاً للمحور فإن الإسقاط يعتبر سلبياً.

يوضح الشكل أنه إذا كان المتجه موجهًا بشكل معاكس لمحور الإحداثيات، فإن إسقاطه على هذا المحور يكون سالبًا. إذا تم توجيه المتجه بطريقة ما في الاتجاه الموجب لمحور الإحداثيات، فإن إسقاطه على هذا المحور يكون موجبًا.

إذا كان المتجه عموديًا على المحور الإحداثي، فإن إسقاطه على هذا المحور يساوي صفرًا.
إذا كان المتجه مشترك الاتجاه مع محور، فإن إسقاطه على هذا المحور يساوي القيمة المطلقة للمتجه.
إذا تم توجيه المتجه بشكل معاكس لمحور الإحداثيات، فإن إسقاطه على هذا المحور يساوي القيمة المطلقة للقيمة المطلقة للمتجه المأخوذ بعلامة الطرح.

2. التعريف الأكثر عمومية للإسقاط.

من المثلث الأيمن عبد: .

التعريف 2. الإسقاط المتجه يوجد على أي محور إحداثي رقم يساوي حاصل ضرب معامل المتجه وجيب تمام الزاوية التي يشكلها المتجه مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثيات.

يتم تحديد علامة الإسقاط بواسطة علامة جيب التمام للزاوية التي يشكلها المتجه مع اتجاه المحور الموجب.
إذا كانت الزاوية حادة، فإن جيب التمام له إشارة إيجابية والإسقاطات إيجابية. بالنسبة للزوايا المنفرجة، يكون لجيب التمام إشارة سلبية، لذلك في مثل هذه الحالات تكون الإسقاطات على المحور سلبية.
- لذلك، بالنسبة للمتجهات المتعامدة مع المحور، يكون الإسقاط صفرًا.