Ειδικές επίπεδες καμπύλες. Παραμετρική κυκλοειδής εξίσωση και εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες Κυκλοειδής τύπος

Τα παραδείγματα που αναλύθηκαν μας βοήθησαν να συνηθίσουμε στις νέες έννοιες του evolute και του involute. Τώρα είμαστε αρκετά προετοιμασμένοι να μελετήσουμε την ανάπτυξη των κυκλοειδών καμπυλών.

Κατά τη μελέτη αυτής ή εκείνης της καμπύλης, συχνά κατασκευάζαμε μια βοηθητική καμπύλη - έναν «σύντροφο» αυτής της καμπύλης.

Ρύζι. 89. Κυκλοειδής και συνοδός του.

Έτσι, κατασκευάσαμε κονχοειδή μιας ευθείας γραμμής και ενός κύκλου, μια ανάπτυξη ενός κύκλου, ένα ημιτονοειδές - σύντροφος ενός κυκλοειδούς. Τώρα, με βάση αυτό το κυκλοειδές, θα κατασκευάσουμε ένα βοηθητικό κυκλοειδές άρρηκτα συνδεδεμένο με αυτό. Αποδεικνύεται ότι η κοινή μελέτη ενός τέτοιου ζεύγους κυκλοειδών είναι από ορισμένες απόψεις απλούστερη από τη μελέτη ενός μεμονωμένου κυκλοειδούς. Ένα τέτοιο βοηθητικό κυκλοειδές θα το ονομάσουμε συνοδευτικό κυκλοειδές.

Ας θεωρήσουμε το μισό τόξο του κυκλοειδούς ΑΜΒ (Εικ. 89). Δεν πρέπει να ντρεπόμαστε που αυτό το κυκλοειδές βρίσκεται με ασυνήθιστο τρόπο («ανάποδα»).

Ας σχεδιάσουμε 4 ευθείες παράλληλες στην κατευθυντήρια γραμμή ΑΚ σε αποστάσεις a, 2a, 3a και 4a. Ας κατασκευάσουμε έναν κύκλο παραγωγής στη θέση που αντιστοιχεί στο σημείο Μ (στο Σχ. 89 το κέντρο αυτού του κύκλου υποδεικνύεται με το γράμμα Ο). Ας υποδηλώσουμε τη γωνία περιστροφής του MON με . Τότε το τμήμα AN θα είναι ίσο (η γωνία εκφράζεται σε ακτίνια).

Συνεχίζουμε τη διάμετρο ΝΤ του κύκλου παραγωγής πέρα ​​από το σημείο Τ μέχρι τη διασταύρωση (στο σημείο Ε) με την ευθεία PP. Χρησιμοποιώντας το ΤΕ ως διάμετρο θα κατασκευάσουμε έναν κύκλο (με κέντρο ). Ας κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη στο σημείο Μ στο κυκλοειδές ΑΜΒ. Για να γίνει αυτό, το σημείο Μ πρέπει, όπως γνωρίζουμε, να συνδεθεί με το σημείο Τ (σελ. 23). Ας συνεχίσουμε την εφαπτομένη MT πέρα ​​από το σημείο Τ έως ότου τέμνεται με τον βοηθητικό κύκλο και ονομάζουμε σημείο τομής . Αυτό είναι το σημείο που θέλουμε να εξετάσουμε τώρα.

Σημειώσαμε τη γωνία ΜΟΝ με Επομένως, η γωνία ΜΤΝ θα είναι ίση με (την εγγεγραμμένη γωνία με βάση το ίδιο τόξο). Το τρίγωνο είναι προφανώς ισοσκελές. Επομένως, όχι μόνο η γωνία, αλλά και η γωνία θα είναι το καθένα ίσο.Έτσι, παραμένουν ακριβώς ακτίνια για το κλάσμα της γωνίας στο τρίγωνο (θυμηθείτε ότι μια γωνία 180° είναι ίση με ακτίνια). Σημειώνουμε επίσης ότι το τμήμα NK είναι προφανώς ίσο με a ().

Ας εξετάσουμε τώρα τον κύκλο με κέντρο που φαίνεται στο Σχ. 89 διακεκομμένη γραμμή. Από το σχέδιο είναι σαφές τι είδους κύκλος είναι αυτός. Εάν το κυλήσετε χωρίς να γλιστρήσετε κατά μήκος της ευθείας γραμμής CB, τότε το σημείο Β του θα περιγράφει το κυκλοειδές ΒΒ. Όταν ο διακεκομμένος κύκλος περιστρέφεται κατά τη γωνία , το κέντρο θα φτάσει στο σημείο και η ακτίνα θα πάρει τη θέση Έτσι, το σημείο εμείς κατασκευασμένο αποδεικνύεται ότι είναι ένα σημείο του κυκλοειδούς ΒΒ,

Η περιγραφόμενη κατασκευή συσχετίζει κάθε σημείο Μ του κυκλοειδούς ΑΜΒ με ένα σημείο του κυκλοειδούς Στο Σχ. 90 αυτή η αντιστοιχία φαίνεται πιο καθαρά. Το κυκλοειδές που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται συνοδευτικό. Στο Σχ. 89 και 90, τα κυκλοειδή που απεικονίζονται με παχιές διακεκομμένες γραμμές συνοδεύονται σε σχέση με τα κυκλοειδή που απεικονίζονται με παχιές συμπαγείς γραμμές.

Από το Σχ. 89 είναι σαφές ότι η ευθεία είναι κανονική σε ένα σημείο προς το συνοδευτικό κυκλοειδές. Πράγματι, αυτή η ευθεία διέρχεται από το σημείο του κυκλοειδούς και από το σημείο Τ της εφαπτομένης του κύκλου παραγωγής και της κατευθυντήριας γραμμής («το χαμηλότερο» σημείο του κύκλου δημιουργίας, όπως είπαμε κάποτε· τώρα αποδείχθηκε ότι ήταν το "υψηλότερο" επειδή το σχέδιο περιστρέφεται).

Αλλά αυτή η ίδια ευθεία, από κατασκευής, εφάπτεται στο «κύριο» κυκλοειδές ΑΜΒ. Έτσι, το αρχικό κυκλοειδές αγγίζει κάθε κανονικό του συνοδευτικού κυκλοειδούς. Είναι ο φάκελος για τα κανονικά του συνοδευτικού κυκλοειδούς, δηλαδή την εξέλιξή του. Και το «συνοδευτικό» κυκλοειδές αποδεικνύεται ότι είναι απλώς ένα περιέλικτο (ξεδίπλωμα) του αρχικού κυκλοειδούς!

Ρύζι. 91 Αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του κυκλοειδούς και του συνοδευτικού του.

Συμμετέχοντας σε αυτή τη δυσκίνητη, αλλά ουσιαστικά απλή κατασκευή, αποδείξαμε ένα αξιοσημείωτο θεώρημα που ανακάλυψε ο Ολλανδός επιστήμονας Huygens. Εδώ είναι αυτό το θεώρημα: η εξέλιξη ενός κυκλοειδούς είναι ακριβώς το ίδιο κυκλοειδές, μόνο μετατοπισμένο.

Έχοντας κατασκευάσει μια εξέλιξη όχι για ένα τόξο, αλλά για ολόκληρο το κυκλοειδές (το οποίο, φυσικά, μπορεί να γίνει μόνο διανοητικά), τότε μια εξέλιξη για αυτήν την εξέλιξη κ.λπ., παίρνουμε το Σχ. 91, που μοιάζει με πλακάκια.

Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι κατά την απόδειξη του θεωρήματος του Huygens δεν χρησιμοποιήσαμε ούτε απειροελάχιστες, ούτε αδιαίρετες, ούτε κατά προσέγγιση εκτιμήσεις. Δεν χρησιμοποιούσαμε καν τη μηχανική· μερικές φορές χρησιμοποιούσαμε εκφράσεις δανεισμένες από τη μηχανική. Αυτή η απόδειξη είναι απόλυτα στο πνεύμα του συλλογισμού που χρησιμοποιούσαν οι επιστήμονες του 17ου αιώνα όταν ήθελαν να τεκμηριώσουν αυστηρά τα αποτελέσματα που προέκυψαν χρησιμοποιώντας διάφορες βασικές εκτιμήσεις.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει αμέσως από το θεώρημα του Huygens. Θεωρήστε το τμήμα ΑΒ στο Σχ. 89. Το μήκος αυτού του τμήματος είναι προφανώς 4α. Ας φανταστούμε τώρα ότι ένα νήμα τυλίγεται γύρω από το τόξο ΑΜΒ του κυκλοειδούς, στερεωμένο στο σημείο Α και εξοπλισμένο με μολύβι στο σημείο Β. Εάν «τυλίξουμε» το νήμα, το μολύβι θα κινηθεί κατά μήκος της ανάπτυξης του κυκλοειδούς ΑΜΒ , δηλαδή κατά μήκος του κυκλοειδούς ΒΜΒ.

Ρύζι. 91 Διαδοχικές εξελίξεις του κυκλοειδούς.

Το μήκος του νήματος, ίσο με το μήκος του ημι-τόξου του κυκλοειδούς, θα είναι προφανώς ίσο με το τμήμα ΑΒ, δηλαδή, όπως είδαμε, 4α. Κατά συνέπεια, το μήκος ολόκληρου του τόξου του κυκλοειδούς θα είναι ίσο με 8a, και ο τύπος μπορεί πλέον να θεωρηθεί αρκετά αυστηρά αποδεδειγμένος.

Από το Σχ. 89 μπορείτε να δείτε περισσότερα: ο τύπος όχι μόνο για το μήκος ολόκληρου του τόξου του κυκλοειδούς, αλλά και για το μήκος οποιουδήποτε τόξου του. Πράγματι, είναι προφανές ότι το μήκος του τόξου ΜΒ είναι ίσο με το μήκος του τμήματος, δηλαδή το διπλό εφαπτομενικό τμήμα στο αντίστοιχο σημείο του κυκλοειδούς, που περιέχεται μέσα στον κύκλο παραγωγής.

Το Cyclomis (από το ελληνικό khklpeidYut - στρογγυλό) είναι μια επίπεδη υπερβατική καμπύλη. Ένα κυκλοειδές ορίζεται κινηματικά ως η τροχιά ενός σταθερού σημείου ενός κύκλου παραγωγής ακτίνας r, που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ευθεία γραμμή.

Εξισώσεις

Ας πάρουμε τον οριζόντιο άξονα συντεταγμένων ως την ευθεία γραμμή κατά μήκος της οποίας κυλάει ο κύκλος δημιουργίας της ακτίνας r.

· Το κυκλοειδές περιγράφεται με παραμετρικές εξισώσεις

Εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

· Το κυκλοειδές μπορεί να ληφθεί ως λύση στη διαφορική εξίσωση:

Ιδιότητες

• · Κυκλοειδής --περιοδική συνάρτηση κατά μήκος του άξονα x, με περίοδο 2ρr. Είναι βολικό να λαμβάνουμε ενικά σημεία (σημεία επιστροφής) της μορφής t = 2рk, όπου k είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος, ως όρια της περιόδου.
• · Για να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη σε ένα κυκλοειδές σε ένα αυθαίρετο σημείο Α, αρκεί να συνδέσουμε αυτό το σημείο με το πάνω σημείο του κύκλου παραγωγής. Συνδέοντας το Α στο κάτω σημείο του κύκλου παραγωγής, παίρνουμε το κανονικό.
• · Το μήκος του κυκλοειδούς τόξου είναι 8r. Αυτή η ιδιοκτησία ανακαλύφθηκε από τον Christopher Wren (1658).
• · Η περιοχή κάτω από κάθε τόξο του κυκλοειδούς είναι τρεις φορές μεγαλύτερη από την περιοχή του κύκλου παραγωγής. Ο Torricelli ισχυρίζεται ότι αυτό το γεγονός ανακαλύφθηκε από τον Galileo.
• · Η ακτίνα καμπυλότητας του πρώτου τόξου του κυκλοειδούς είναι ίση.

• · Το «ανεστραμμένο» κυκλοειδές είναι μια καμπύλη με την πιο απότομη κάθοδο (βραχιστόχρονο). Επιπλέον, έχει επίσης την ιδιότητα της ταυτόχρονης: ένα βαρύ σώμα τοποθετημένο σε οποιοδήποτε σημείο του κυκλοειδούς τόξου φτάνει ταυτόχρονα στην οριζόντια.
• · Η περίοδος ταλάντωσης ενός υλικού σημείου που ολισθαίνει κατά μήκος ενός ανεστραμμένου κυκλοειδούς δεν εξαρτάται από το πλάτος· αυτό το γεγονός χρησιμοποιήθηκε από τον Huygens για τη δημιουργία ακριβών μηχανικών ρολογιών.
• · Η εξέλιξη ενός κυκλοειδούς είναι ένα κυκλοειδές σύμφωνο με το αρχικό, δηλαδή, παράλληλη μετατόπιση έτσι ώστε οι κορυφές να μετατραπούν σε «σημεία».
• · Τα μέρη της μηχανής που εκτελούν ταυτόχρονα ομοιόμορφη περιστροφική και μεταφορική κίνηση περιγράφουν κυκλοειδείς καμπύλες (κυκλοειδές, επικυκλοειδές, υποκυκλοειδές, τροχοειδές, αστροειδής) (πρβλ. κατασκευή του λημνιστικού του Bernoulli).

Το μήκος τόξου ενός κυκλοειδούς υπολογίστηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο αρχιτέκτονα και μαθηματικό Wren το 1658. Ο Ρεν προχώρησε σε μηχανικές σκέψεις που θύμιζαν τα πρώτα έργα των Torricelli και Roberval. Θεώρησε την περιστροφή ενός κυλιόμενου κύκλου σε πολύ μικρή γωνία κοντά στο «κατώτερο» σημείο του κύκλου παραγωγής. Για να δώσουμε αποδεικτική δύναμη στις υποδηλωτικές εκτιμήσεις του Ρεν, θα ήταν απαραίτητο να εξετάσουμε μια ολόκληρη σειρά βοηθητικών θεωρημάτων, και κατά συνέπεια θα ήταν απαραίτητο να ξοδέψουμε πάρα πολύ δουλειά.

Είναι πολύ πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια μακρύτερη αλλά ήπια διαδρομή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λάβετε υπόψη την ειδική καμπύλη που έχει κάθε επίπεδη καμπύλη - την ανάπτυξή της.

Θεωρήστε ένα κυρτό τόξο ΑΒ μιας καμπύλης γραμμής (Εικ. 4.1). Ας φανταστούμε ότι ένα εύκαμπτο, μη εκτατό νήμα του ίδιου μήκους με το τόξο ΑΒ είναι προσαρτημένο στο τόξο ΑΒ στο σημείο Α, και αυτό το νήμα «τυλίγεται» πάνω στην καμπύλη και εφαρμόζει σφιχτά σε αυτήν, έτσι ώστε το άκρο του να συμπίπτει με το σημείο Β. Θα "ξεδιπλώσουμε" -- ισιώστε το νήμα, διατηρώντας το τεντωμένο, έτσι ώστε το ελεύθερο τμήμα του νήματος CM να κατευθύνεται πάντα εφαπτομενικά στο τόξο ΑΒ. Υπό αυτές τις συνθήκες, το άκρο του νήματος θα περιγράφει μια συγκεκριμένη καμπύλη. Αυτή η καμπύλη ονομάζεται ανάπτυξη ή, στα λατινικά, ενειλιγμένοςαρχική καμπύλη.

Αν το τόξο της καμπύλης δεν είναι παντού κυρτό προς μία κατεύθυνση, αν είναι όπως η καμπύλη ΑΒ στο Σχ. 4.2, έχει ένα σημείο C στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης περνά από τη μια πλευρά στην άλλη (ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο καμπής), τότε σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να μιλήσουμε για την ανάπτυξη της καμπύλης, αλλά ο συλλογισμός θα έχει να είναι λίγο πιο περίπλοκο.

Ας φανταστούμε ότι το νήμα είναι στερεωμένο ακριβώς στο σημείο καμπής C (Εικ. 4.2). Το νήμα, που ξετυλίγεται από το τόξο BC, θα περιγράψει την καμπύλη BMR - τη σάρωση.

Ας φανταστούμε τώρα ένα νήμα τυλιγμένο γύρω από το τόξο AC της αρχικής καμπύλης, αλλά αυτό το νήμα είναι ήδη επιμήκη: στο σημείο C ένα κομμάτι νήματος CP είναι δεμένο πάνω του. Τυλίγοντας το επίμηκες νήμα ACP με την καμπύλη CA, λαμβάνουμε ένα τόξο RNA, το οποίο, μαζί με το τόξο BMP, σχηματίζει μια ενιαία συνεχή καμπύλη - συνεχή, αλλά όχι λεία παντού: το σημείο εκτροπής C της αρχικής καμπύλης αντιστοιχεί στο άκρο (σημείο επιστροφής) της καμπύλης BMRNA: η καμπύλη BMRNA θα είναι η περιέλιξη (sweep) της καμπύλης BCA.

Αυτά τα παραδείγματα μας βοήθησαν να συνηθίσουμε στις νέες έννοιες του evolute και του involute. Ας μελετήσουμε τώρα τις εξελίξεις των κυκλοειδών καμπυλών.

Κατά τη μελέτη αυτής ή εκείνης της καμπύλης, συχνά κατασκευάζαμε μια βοηθητική καμπύλη - έναν «σύντροφο» αυτής της καμπύλης. Έτσι, κοστίζουμε ένα ημιτονοειδές - ένα σύντροφο ενός κυκλοειδούς. Τώρα, με βάση αυτό το κυκλοειδές, θα κατασκευάσουμε ένα βοηθητικό κυκλοειδές άρρηκτα συνδεδεμένο με αυτό. Αποδεικνύεται ότι η κοινή μελέτη ενός τέτοιου ζεύγους κυκλοειδών είναι από ορισμένες απόψεις απλούστερη από τη μελέτη ενός μεμονωμένου κυκλοειδούς. Ένα τέτοιο βοηθητικό κυκλοειδές θα το ονομάσουμε συνοδευτικό κυκλοειδές.

Ας εξετάσουμε το μισό τόξο του κυκλοειδούς ΑΜΒ (Εικ. 4.3). Δεν πρέπει να ντρεπόμαστε που αυτό το κυκλοειδές βρίσκεται με ασυνήθιστο τρόπο («ανάποδα»). Ας τραβήξουμε 4 ευθείες παράλληλες στην ευθεία οδηγό ΑΚ σε αποστάσεις ένα, 2ένα, 3ένακαι 4 ένα. Ας κατασκευάσουμε έναν κύκλο παραγωγής στη θέση που αντιστοιχεί στο σημείο Μ (στο Σχ. 4.3 το κέντρο αυτού του κύκλου υποδεικνύεται με το γράμμα Ο). Ας συμβολίσουμε τη γωνία περιστροφής ΜΟΝ με c. Τότε το τμήμα AN θα είναι ίσο με bc (η γωνία c εκφράζεται σε ακτίνια).

Συνεχίζουμε τη διάμετρο ΝΤ του κύκλου παραγωγής πέρα ​​από το σημείο Τ μέχρι τη διασταύρωση (στο σημείο Ε) με την ευθεία PP. Χρησιμοποιώντας το ΤΕ ως διάμετρο, θα κατασκευάσουμε έναν κύκλο (με κέντρο Ο 1). Ας κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη στο σημείο Μ στο κυκλοειδές ΑΜΒ. Για να γίνει αυτό, το σημείο Μ πρέπει, όπως γνωρίζουμε, να συνδεθεί με το σημείο Τ. Ας επεκτείνουμε την εφαπτομένη ΜΤ μετά το σημείο Τ μέχρι να τέμνεται με τον βοηθητικό κύκλο και ονομάζουμε το σημείο τομής Μ 1. Αυτό είναι το σημείο Μ 1 που θέλουμε τώρα να ασχοληθούμε.

Σημειώσαμε τη γωνία ΜΟΝ με c. Επομένως, η γωνία ΜΤΝ θα είναι ίση με (την εγγεγραμμένη γωνία με βάση το ίδιο τόξο). Το τρίγωνο TO 1 M 1 είναι προφανώς ισοσκελές. Επομένως, όχι μόνο η γωνία O 1 TM 1, αλλά και η γωνία TM 1 O 1 θα είναι η καθεμία ίση. Έτσι, το κλάσμα της γωνίας TO 1 M 1 στο τρίγωνο TO 1 M 1 παραμένει ακριβώς p - q ακτίνια (θυμηθείτε ότι η γωνία 180? είναι ίση με p ακτίνια). Ας σημειώσουμε επίσης ότι το τμήμα NK είναι προφανώς ίσο με b(p - q).

Ας εξετάσουμε τώρα έναν κύκλο με κέντρο O 2, που φαίνεται στο Σχ. 4.3 με μια διακεκομμένη γραμμή. Από το σχέδιο είναι σαφές τι είδους κύκλος είναι αυτός. Εάν το κυλήσετε χωρίς να γλιστρήσετε κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής ΒΑ, τότε το σημείο Β του θα περιγράφει το κυκλοειδές ΒΒ. Όταν ο διακεκομμένος κύκλος περιστρέφεται κατά τη γωνία p - c, το κέντρο O 2 θα φτάσει στο σημείο O 1 και η ακτίνα O 2 B θα πάρει τη θέση O 1 M 1. Έτσι, το σημείο Μ 1 που κατασκευάσαμε αποδεικνύεται ότι είναι ένα σημείο του κυκλοειδούς ΒΒ.

Η περιγραφόμενη κατασκευή συσχετίζει κάθε σημείο Μ του κυκλοειδούς ΑΜΒ με το σημείο Μ 1 του κυκλοειδούς VM 1 Β. Στο Σχ. Το 4.4 δείχνει αυτή την αντιστοιχία πιο καθαρά. Το κυκλοειδές που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται συνοδευτικό. Στο Σχ. 4.3 και 4.4, τα κυκλοειδή που απεικονίζονται με παχιές διακεκομμένες γραμμές συνοδεύονται σε σχέση με τα κυκλοειδή που απεικονίζονται με παχιές συμπαγείς γραμμές.

Από το Σχ. 4.3 είναι σαφές ότι η ευθεία ΜΜ 1 είναι κανονική στο σημείο Μ 1 προς το συνοδευτικό κυκλοειδές. Πράγματι, αυτή η ευθεία διέρχεται από το σημείο Μ 1 του κυκλοειδούς και από το σημείο Τ εφαπτομένης του κύκλου δημιουργίας και της κατευθυντήριας γραμμής (το «χαμηλότερο» σημείο του κύκλου παραγωγής, όπως είπαμε κάποτε, τώρα αποδείχθηκε ότι είναι το "υψηλότερο" επειδή το σχέδιο περιστρέφεται). Αλλά αυτή η ίδια ευθεία, από κατασκευής, εφάπτεται στη «βάση» του κυκλοειδούς ΑΜΒ. Έτσι, το αρχικό κυκλοειδές αγγίζει κάθε κανονικό του συνοδευτικού κυκλοειδούς. Είναι ο φάκελος για τα κανονικά του συνοδευτικού κυκλοειδούς, δηλ. την εξέλιξή του. Και το «συνοδευτικό» κυκλοειδές αποδεικνύεται ότι είναι απλώς ένα συμπλέκτη του αρχικού κυκλοειδούς!

Συμμετέχοντας σε αυτή τη δυσκίνητη, αλλά ουσιαστικά απλή κατασκευή, αποδείξαμε ένα αξιοσημείωτο θεώρημα που ανακάλυψε ο Ολλανδός επιστήμονας Huygens. Αυτό είναι το θεώρημα: Η εξέλιξη ενός κυκλοειδούς είναι ακριβώς το ίδιο κυκλοειδές, μόνο μετατοπισμένο.

Έχοντας κατασκευάσει μια εξέλιξη όχι για ένα τόξο, αλλά για ολόκληρο το κυκλοειδές (το οποίο, φυσικά, μπορεί να γίνει μόνο διανοητικά), τότε μια εξέλιξη για αυτήν την εξέλιξη κ.λπ., λαμβάνουμε το Σχ. 4.5, που μοιάζει με πλακάκια.

Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι κατά την απόδειξη του θεωρήματος του Huygens δεν χρησιμοποιήσαμε ούτε απειροελάχιστες, ούτε αδιαίρετες, ούτε κατά προσέγγιση εκτιμήσεις. Δεν χρησιμοποιούσαμε καν μηχανικούς, αν και μερικές φορές χρησιμοποιούσαμε εκφράσεις δανεισμένες από τη μηχανική. Αυτή η απόδειξη είναι απόλυτα στο πνεύμα του συλλογισμού που χρησιμοποιούσαν οι επιστήμονες του 17ου αιώνα όταν ήθελαν να τεκμηριώσουν αυστηρά τα αποτελέσματα που προέκυψαν χρησιμοποιώντας διάφορες βασικές εκτιμήσεις.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει αμέσως από το θεώρημα του Huygens. Θεωρήστε το τμήμα ΑΒ στο Σχ. 4.4. Το μήκος αυτού του τμήματος είναι προφανώς 4 ένα. Ας φανταστούμε τώρα ότι ένα νήμα τυλίγεται γύρω από το τόξο ΑΜΒ του κυκλοειδούς, στερεωμένο στο σημείο Α και εξοπλισμένο με μολύβι στο σημείο Β. Εάν «τυλίξουμε» το νήμα, το μολύβι θα κινηθεί κατά μήκος της ανάπτυξης του κυκλοειδούς ΑΜΒ , δηλ. κατά μήκος του κυκλοειδούς BM 1 B. Το μήκος του νήματος, ίσο με το μήκος του ημι-καμάρου του κυκλοειδούς, θα είναι προφανώς ίσο με το τμήμα AB, δηλαδή, όπως είδαμε, 4 ένα. Επομένως, το μήκος L ολόκληρου του κυκλοειδούς τόξου θα είναι ίσο με 8 ένα, και ο τύπος L=8 έναμπορεί πλέον να θεωρηθεί αρκετά αυστηρά αποδεδειγμένο.

Ας υπολογίσουμε το μήκος του τόξου χρησιμοποιώντας διαφορική γεωμετρία. Η λύση που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο θα είναι πολύ πιο σύντομη και ευκολότερη:

Οπου t;

| r(t)|===2αμαρτ

5. Παραμετρική κυκλοειδής εξίσωση και εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγμένες

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα κυκλοειδές που σχηματίζεται από κύκλο ακτίνας a με κέντρο στο σημείο Α.

Αν επιλέξουμε ως παράμετρο που καθορίζει τη θέση του σημείου τη γωνία t=∟NDM μέσω της οποίας κατάφερε να περιστραφεί η ακτίνα, που είχε κατακόρυφη θέση AO στην αρχή της κύλισης, τότε οι συντεταγμένες x και y του σημείου M θα εκφράζεται ως εξής:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Άρα οι παραμετρικές εξισώσεις του κυκλοειδούς έχουν τη μορφή:

Όταν το t αλλάξει από -∞ σε +∞, θα ληφθεί μια καμπύλη, αποτελούμενη από άπειρο αριθμό διακλαδώσεων όπως αυτοί που φαίνονται σε αυτό το σχήμα.

Επίσης, εκτός από την παραμετρική εξίσωση του κυκλοειδούς, υπάρχει και η εξίσωσή του σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

Όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου που σχηματίζει το κυκλοειδές.

6. Προβλήματα εύρεσης τμημάτων κυκλοειδούς και μορφών που σχηματίζονται από κυκλοειδές

Εργασία Νο. 1. Να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ένα τόξο ενός κυκλοειδούς του οποίου η εξίσωση δίνεται παραμετρικά

και τον άξονα Ox.

Λύση. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε τα γεγονότα που γνωρίζουμε από τη θεωρία των ολοκληρωμάτων, δηλαδή:

Εμβαδόν καμπύλου τομέα.

Θεωρήστε κάποια συνάρτηση r = r(ϕ) που ορίζεται στα [α, β].

Το ϕ 0 ∈ [α, β] αντιστοιχεί στο r 0 = r(ϕ 0) και, επομένως, στο σημείο M 0 (ϕ 0 , r 0), όπου ϕ 0,

r 0 - πολικές συντεταγμένες του σημείου. Εάν το ϕ αλλάξει, «διατρέχει» ολόκληρο το [α, β], τότε το μεταβλητό σημείο M θα περιγράψει κάποια καμπύλη ΑΒ, δεδομένης

εξίσωση r = r(ϕ).

Ορισμός 7.4. Ένας καμπυλόγραμμος τομέας είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από δύο ακτίνες ϕ = α, ϕ = β και μια καμπύλη AB που ορίζεται σε πολικό

συντεταγμένες από την εξίσωση r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Το παρακάτω ισχύει

Θεώρημα. Αν η συνάρτηση r(ϕ) > 0 και είναι συνεχής στο [α, β], τότε η περιοχή

Ο καμπυλόγραμμος τομέας υπολογίζεται με τον τύπο:

Αυτό το θεώρημα αποδείχθηκε νωρίτερα στο θέμα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Με βάση το παραπάνω θεώρημα, το πρόβλημα μας να βρούμε το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από ένα τόξο ενός κυκλοειδούς, η εξίσωση του οποίου δίνεται από τις παραμετρικές παραμέτρους x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), και ο άξονας Ox, ανάγεται στην ακόλουθη λύση .

Λύση. Από την εξίσωση της καμπύλης dx = a(1−cos t) dt. Το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς αντιστοιχεί σε αλλαγή της παραμέτρου t από 0 σε 2π. Ως εκ τούτου,

Εργασία Νο. 2. Να βρείτε το μήκος ενός τόξου του κυκλοειδούς

Το παρακάτω θεώρημα και το συμπέρασμά του μελετήθηκαν επίσης στον ολοκληρωτικό λογισμό.

Θεώρημα. Αν η καμπύλη ΑΒ δίνεται από την εξίσωση y = f(x), όπου η f(x) και η f ’ (x) είναι συνεχείς στο , τότε το ΑΒ είναι διορθώσιμο και

Συνέπεια. Έστω παραμετρικά το ΑΒ

L AB = (1)

Έστω οι συναρτήσεις x(t), y(t) συνεχώς διαφορίσιμες στο [α, β]. Επειτα

ο τύπος (1) μπορεί να γραφτεί ως εξής

Ας κάνουμε μια αλλαγή των μεταβλητών σε αυτό το ολοκλήρωμα x = x(t), μετά y’(x)= ;

dx= x’(t)dt και επομένως:

Τώρα ας επιστρέψουμε στην επίλυση του προβλήματός μας.

Λύση. Έχουμε, και άρα

Εργασία Νο. 3. Πρέπει να βρούμε την επιφάνεια S που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός τόξου του κυκλοειδούς

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – κόστος), 0≤ t ≤ 2π)

Στον ολοκληρωτικό λογισμό, υπάρχει ο ακόλουθος τύπος για την εύρεση της επιφάνειας ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα x μιας καμπύλης που ορίζεται παραμετρικά σε ένα τμήμα: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο στην κυκλοειδή μας εξίσωση παίρνουμε:

Εργασία Νο. 4. Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας το κυκλοειδές τόξο

Κατά μήκος του άξονα Ox.

Στον ολοκληρωτικό λογισμό, κατά τη μελέτη όγκων, υπάρχει η ακόλουθη παρατήρηση:

Εάν η καμπύλη που οριοθετεί ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις και οι συναρτήσεις σε αυτές τις εξισώσεις ικανοποιούν τις συνθήκες του θεωρήματος για την αλλαγή της μεταβλητής σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, τότε ο όγκος του σώματος περιστροφής του τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα Ox θα να υπολογιστεί με τον τύπο

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να βρούμε τον όγκο που χρειαζόμαστε.

Το πρόβλημα λύθηκε.

συμπέρασμα

Έτσι, στην πορεία αυτής της εργασίας, διευκρινίστηκαν οι βασικές ιδιότητες του κυκλοειδούς. Μάθαμε επίσης πώς να κατασκευάζουμε ένα κυκλοειδές και ανακαλύψαμε τη γεωμετρική σημασία ενός κυκλοειδούς. Όπως αποδείχθηκε, το κυκλοειδές έχει τεράστιες πρακτικές εφαρμογές όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στους τεχνολογικούς υπολογισμούς και τη φυσική. Αλλά το κυκλοειδές έχει άλλα πλεονεκτήματα. Χρησιμοποιήθηκε από επιστήμονες του 17ου αιώνα κατά την ανάπτυξη τεχνικών για τη μελέτη των καμπυλών γραμμών - εκείνες τις τεχνικές που οδήγησαν τελικά στην εφεύρεση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Ήταν επίσης ένας από τους «τον λίθους» πάνω στους οποίους οι Newton, Leibniz και οι πρώτοι ερευνητές τους δοκίμασαν τη δύναμη των ισχυρών νέων μαθηματικών μεθόδων. Τέλος, το πρόβλημα του βραχιστόχρονου οδήγησε στην εφεύρεση του λογισμού των παραλλαγών, που είναι τόσο απαραίτητος για τους σημερινούς φυσικούς. Έτσι, το κυκλοειδές αποδείχθηκε ότι ήταν άρρηκτα συνδεδεμένο με μια από τις πιο ενδιαφέρουσες περιόδους στην ιστορία των μαθηματικών.

Βιβλιογραφία

1. Berman G.N. Κυκλοειδής. – Μ., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, ή άλλο μυστικό του κυκλοειδούς // Quantum. – 1975. - Νο 5

3. Verov S.G. Τα μυστικά του κυκλοειδούς // Quantum. – 1975. - Νο 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος. Μεθοδολογικές οδηγίες και ατομικές εργασίες για φοιτητές του 1ου έτους της Φυσικής. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Η αστρική εποχή του κυκλοειδούς // Κβαντική. – 1985. - Νο 6.

6. Fikhtengolts G.M. Πορεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Τ.1. – Μ., 1969

Αυτή η γραμμή ονομάζεται "φάκελος". Κάθε καμπύλη γραμμή είναι ένα περίβλημα των εφαπτομένων της.

Η ύλη και η κίνηση, και η μέθοδος που αποτελούν, δίνουν τη δυνατότητα σε όλους να συνειδητοποιήσουν τις δυνατότητές τους στη γνώση της αλήθειας. Η ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας για την ανάπτυξη μιας διαλεκτικής-υλιστικής μορφής σκέψης και η κατάκτηση μιας παρόμοιας μεθόδου γνώσης είναι το δεύτερο βήμα προς την επίλυση του προβλήματος της ανάπτυξης και υλοποίησης των Ανθρώπινων ικανοτήτων. Fragment XX Opportunities...

Σε αυτή την κατάσταση, οι άνθρωποι μπορούν να αναπτύξουν νευρασθένεια - μια νεύρωση, η βάση της κλινικής εικόνας της οποίας είναι μια ασθενική κατάσταση. Τόσο στην περίπτωση της νευρασθένειας όσο και στην περίπτωση της αντιστάθμισης της νευρασθενικής ψυχοπάθειας, η ουσία της ψυχικής (ψυχολογικής) άμυνας αντανακλάται στην απόσυρση από τις δυσκολίες σε ευερέθιστη αδυναμία με βλαστική δυσλειτουργία: είτε το άτομο ασυνείδητα «καταπολεμά» περισσότερο την επίθεση. ..

Διάφοροι τύποι δραστηριοτήτων. ανάπτυξη χωρικής φαντασίας και χωρικών εννοιών, εικονιστική, χωρική, λογική, αφηρημένη σκέψη των μαθητών. ανάπτυξη της ικανότητας εφαρμογής γεωμετρικών και γραφικών γνώσεων και δεξιοτήτων για την επίλυση διαφόρων εφαρμοσμένων προβλημάτων. εξοικείωση με το περιεχόμενο και τη σειρά των σταδίων των δραστηριοτήτων του έργου στον τομέα των τεχνικών και...

τόξα. Οι σπείρες είναι επίσης έλικες κλειστών καμπυλών, για παράδειγμα η έλικα ενός κύκλου. Τα ονόματα ορισμένων σπειρών δίνονται από την ομοιότητα των πολικών τους εξισώσεων με τις εξισώσεις των καμπυλών σε καρτεσιανές συντεταγμένες, για παράδειγμα: · παραβολική σπείρα (a - r)2 = bj, · υπερβολική σπείρα: r = a/j. · Ράβδος: r2 = a/j · si-ci-spiral, οι παραμετρικές εξισώσεις της οποίας έχουν τη μορφή: , )