Θεωρητικές ερωτήσεις και εργασίες στη γραμμική άλγεβρα. Γραμμικό διαφορικό

Γενική άποψη του συστήματος

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - συντελεστές συστήματος. - δωρεάν μέλη - μεταβλητές

Αν όλα = 0, το σύστημα ονομάζεται ομοιογενές.

Γενική λύση συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Ορισμός 1. Ομογενές σύστημα Μγραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις για nάγνωστοι ονομάζεται σύστημα εξισώσεων

τύπου (1) ή σε μορφή μήτρας (2)

όπου Α είναι ένας δεδομένος πίνακας συντελεστών μεγέθους mxn,

Η στήλη n των αγνώστων είναι η μηδενική στήλη ύψους m.

Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές (ο εκτεταμένος πίνακας συμπίπτει με το Α) και έχει προφανείς λύσεις: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Αυτή η λύση ονομάζεται μηδέν ή ασήμαντος. Οποιαδήποτε άλλη λύση, αν υπάρχει, καλείται μη τετριμμένο.

Θεώρημα 1. Εάν η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με τον αριθμό των αγνώστων, τότε το σύστημα (1) έχει μια μοναδική (τετριμμένη) λύση.

Πράγματι, σύμφωνα με το θεώρημα του Cramer, το r=n και η λύση είναι μοναδική.

Θεώρημα 2. Προκειμένου ένα ομοιογενές σύστημα να έχει μια μη μηδενική λύση, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα του συστήματος να είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων ( προκύπτει από το θεώρημα για τον αριθμό των λύσεων).

Þ αν υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις, τότε η λύση δεν είναι μοναδική, τότε η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, τότε r

Ü αν r

Θεώρημα 3. Ένα ομοιογενές σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους έχει μη μηδενική λύση εάν και μόνο εάν detA = 0.

Þ αν υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις, τότε υπάρχουν άπειρες λύσεις, τότε σύμφωνα με το θεώρημα για τον αριθμό των λύσεων r

Ü αν detA = 0, τότε r

Θεώρημα 4. Για να έχει ένα ομοιογενές σύστημα μη μηδενική λύση, είναι απαραίτητο ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος να είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων.

Δεδομένου ότι η κατάταξη ενός πίνακα συντελεστών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό των σειρών του (καθώς και από τον αριθμό των στηλών), τότε το r

Ορισμός 2. Οι μεταβλητές συστήματος που βρίσκονται στις βασικές στήλες του αρχικού πίνακα συντελεστών καλούνται βασικές μεταβλητές, και καλούνται οι υπόλοιπες μεταβλητές του συστήματος Ελεύθερος.

Ορισμός 4. Ιδιωτική απόφασηανομοιογενές σύστημα AX = B ονομάζεται το διάνυσμα στήλης X που προκύπτει από μηδέναξίες Ελεύθεροςμεταβλητές.

Θεώρημα 6. Γενική λύση ανομοιογενούς συστήματοςΟι γραμμικές εξισώσεις AX = B έχουν τη μορφή , όπου είναι μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα των εξισώσεων AX = B, και είναι το FSR του ομογενούς συστήματος AX = 0.

Ένα μη ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα της μορφής:

Η εκτεταμένη μήτρα του.

Θεώρημα (για τη γενική λύση ανομοιογενών συστημάτων).
Έστω (δηλαδή το σύστημα (2) είναι συνεπές), τότε:

· Αν , πού είναι ο αριθμός των μεταβλητών του συστήματος (2), τότε η λύση (2) υπάρχει και είναι μοναδική.

· αν , τότε η γενική λύση του συστήματος (2) έχει τη μορφή , όπου είναι η γενική λύση του συστήματος (1), που ονομάζεται γενικό ομοιογενές διάλυμα, είναι μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος (2), που ονομάζεται ιδιωτική ανομοιογενής λύση.

Ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα της μορφής:

Η μηδενική λύση του συστήματος (1) ονομάζεται ασήμαντη λύση.

Τα ομοιογενή συστήματα είναι πάντα συμβατά, γιατί υπάρχει πάντα μια ασήμαντη λύση.

Εάν υπάρχει κάποια μη μηδενική λύση στο σύστημα, τότε καλείται μη τετριμμένο.

Οι λύσεις ενός ομοιογενούς συστήματος έχουν την ιδιότητα της γραμμικότητας:

Θεώρημα (για τη γραμμική λύση ομογενών συστημάτων).
Έστω οι λύσεις του ομογενούς συστήματος (1) και έστω αυθαίρετες σταθερές. Στη συνέχεια, υπάρχει επίσης μια λύση στο υπό εξέταση σύστημα.

Θεώρημα (σχετικά με τη δομή της γενικής λύσης).
Αφήστε τότε:

· Αν , πού είναι ο αριθμός των μεταβλητών του συστήματος, τότε υπάρχει μόνο μια ασήμαντη λύση.

· εάν , τότε υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις για το υπό εξέταση σύστημα: , και του κοινή απόφασηέχει τη μορφή: , όπου υπάρχουν κάποιες σταθερές.

2. Μεταθέσεις και αντικαταστάσεις. Ορίζουσα νης τάξης. Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντων.

Ορισμός της ορίζουσας - ης τάξης.

Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας πρώτης τάξης:

Ορισμός. Το γινόμενο των στοιχείων του πίνακα Α, που λαμβάνεται ένα από κάθε γραμμή και κάθε στήλη, ονομάζεται μέλος της ορίζουσας του πίνακα Α.3 Εάν οποιεσδήποτε δύο σειρές ή δύο στήλες εναλλάσσονται στην ορίζουσα, τότε η ορίζουσα αλλάζει το πρόσημο σε το αντίθετο. 4 Εάν ένας πίνακας περιέχει μια μηδενική γραμμή (στήλη), τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με μηδέν.5 Εάν δύο σειρές (στήλες) ενός πίνακα είναι ίσες μεταξύ τους, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση στο μηδέν.6 Εάν δύο σειρές (στήλες) ενός πίνακα είναι ανάλογες μεταξύ τους, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με μηδέν.7 Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων στο την κύρια διαγώνιο.8 Αν όλα τα στοιχεία κη σειρά (στήλη) της ορίζουσας παρουσιάζονται ως αθροίσματα a k j + b k j, τότε η ορίζουσα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα των αντίστοιχων οριζόντων.9 Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (ή της αντίστοιχης στήλης) προστεθούν στα στοιχεία οποιασδήποτε από τις σειρές της (ή της αντίστοιχης στήλης) , πολλαπλασιαζόμενο με τον ίδιο αριθμό.10. Αφήνω ΕΝΑΚαι σιείναι τετράγωνοι πίνακες ίδιας τάξης. Τότε η ορίζουσα του γινομένου των πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζουσών:

1 | | | | | | | | | | |

Όπου τα C 1 και C 2 είναι άγνωστα.

Όλοι οι y είναι γνωστοί αριθμοί, που υπολογίζονται στο x = x 0. Για να έχει το σύστημα λύση για οποιαδήποτε δεξιά πλευρά, είναι απαραίτητο και αρκετό η κύρια ορίζουσα να είναι διαφορετική από το 0.

Καθοριστική του Βρόνσκι. Εάν η ορίζουσα είναι 0, τότε το σύστημα έχει λύση μόνο εάν υπάρχει μια αναλογία των αρχικών συνθηκών. Επομένως, από αυτό προκύπτει ότι η επιλογή των αρχικών συνθηκών υπόκειται στο νόμο, έτσι ώστε να μην μπορούν να ληφθούν υπόψη τυχόν αρχικές προϋποθέσεις, και αυτό αποτελεί παραβίαση των συνθηκών του προβλήματος Cauchy.

Αν , τότε η ορίζουσα Wronski δεν είναι ίση με 0, για οποιεσδήποτε τιμές x 0.

Απόδειξη. Έστω η ορίζουσα ίση με 0, αλλά ας επιλέξουμε τις αρχικές μη μηδενικές συνθήκες y=0, y’=0. Τότε έχουμε το εξής σύστημα:

Αυτό το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων όταν η ορίζουσα είναι 0. Οι C 11 και C 12 είναι λύσεις στο σύστημα.

Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την πρώτη περίπτωση, που σημαίνει ότι η ορίζουσα Wronski δεν είναι ίση με 0 για οποιοδήποτε x 0 εάν . Είναι πάντα δυνατό να επιλέξετε μια συγκεκριμένη λύση από τη γενική λύση για .

Εισιτήριο Νο. 33

Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης με απόδειξη.

Θεώρημα για τη γενική λύση διαφορικής εξίσωσης:

λύσεις αυτής της εξίσωσης και στη συνέχεια η συνάρτηση επίσης μια λύση. Με βάση αυτό το θεώρημα, μπορούμε να συμπεράνουμε για τη δομή της γενικής λύσης μιας ομοιογενούς εξίσωσης: εάν το 1 και το 2 έχουν λύσεις στη διαφορική εξίσωση έτσι ώστε οι λόγοι τους να μην είναι ίσοι με μια σταθερά, τότε ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων είναι ο γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Μια ασήμαντη λύση (ή μια μηδενική) δεν μπορεί να χρησιμεύσει ως λύση σε αυτήν την εξίσωση.

Απόδειξη:

Εισιτήριο Νο. 34

Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης με απόδειξη.

Έστω μια εξίσωση με τη δεξιά πλευρά: . Εξίσωση χωρίς δεξιά πλευρά

αν βάλουμε 0 αντί για συνάρτηση, τη λέμε χαρακτηριστική.

Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης μιας εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά.

Τ.1 Η γενική λύση της εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά μπορεί να συντεθεί ως το άθροισμα της γενικής λύσης της εξίσωσης χωρίς τη δεξιά πλευρά και κάποια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης.

Απόδειξη.

Ας υποδηλώσουμε με τη γενική λύση και κάποια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης. Ας πάρουμε τη συνάρτηση . Εχουμε

, .

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για y, y', y'' στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, βρίσκουμε: Η παράσταση στην πρώτη αγκύνη είναι ίση με 0. Και η παράσταση στη δεύτερη αγκύλη είναι ίση με τη συνάρτηση f(x ). Επομένως, η συνάρτηση υπάρχει λύση σε αυτή την εξίσωση.

Εισιτήριο Νο. 35

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές, F.S.R. και γενική λύση στην περίπτωση διαφορετικών πραγματικών ριζών, χαρακτηριστικές εξισώσεις με απόδειξη.

Ας πάρουμε μια ομοιογενή γραμμική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές:

,

όπου α είναι οι αριθμοί.

Ας προσπαθήσουμε να ικανοποιήσουμε την εξίσωση με μια συνάρτηση της μορφής . Από εδώ έχουμε:

Από αυτό μπορούμε να δούμε ποια θα είναι η λύση αυτής της εξίσωσης εάν r είναι η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική. Για να δημιουργήσετε μια χαρακτηριστική εξίσωση, πρέπει να αντικαταστήσετε το y με ένα και κάθε παράγωγο με το r σε δύναμη της τάξης της παραγώγου.

1) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και διαφορετικές.

Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο ρίζες μπορούν να ληφθούν ως δείκτες της συνάρτησης r. Εδώ μπορείτε να πάρετε αμέσως δύο εξισώσεις. Είναι σαφές ότι η αναλογία τους δεν είναι ίση με σταθερή τιμή.

Η γενική λύση στην περίπτωση πραγματικών και διαφορετικών ριζών δίνεται από τον τύπο:

.

Εισιτήριο Νο. 36

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές, F.S.R. και γενική λύση στην περίπτωση πολλαπλών ριζών, χαρακτηριστικές εξισώσεις με απόδειξη.

Οι ρίζες μιας πραγματικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ίσες.

Δωρεάν αξιολόγηση κυττάρων– (δείτε πιθανή μέθοδο)

Κύκλος -μια τέτοια ακολουθία κελιών στον πίνακα μεταφοράς (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), στον οποίο δύο και μόνο δύο γειτονικά κελιά είναι βρίσκεται σε μία γραμμή ή στήλη, με το πρώτο και το τελευταίο κελί να βρίσκονται επίσης στην ίδια γραμμή ή στήλη.

(?)Μετάθεση κατά μήκος του κύκλου - (μετατόπιση κατά μήκος του κύκλου κατά τιμή t)-μια αύξηση των όγκων σε όλα τα περίεργα κελιά του κύκλου που σημειώνονται με το σύμβολο «+» με t και μια μείωση των όγκων μεταφοράς σε όλα τα ζυγά κελιά που σημειώνονται με το σύμβολο «-» με το t.

1. 
   ^ Προϋπόθεση για τη βελτιστοποίηση του σχεδίου αναφοράς.

Το βέλτιστο σχέδιο θα πρέπει να καθορίζει το ελάχιστο συνολικό κόστος μεταφοράς, χωρίς να υπερβαίνει τον όγκο παραγωγής καθενός από τους προμηθευτές και να καλύπτει πλήρως τις ανάγκες του καθενός από τους καταναλωτές.

Το βέλτιστο σχέδιο μεταφοράς αντιστοιχεί στο ελάχιστο της γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης f(X)= min υπό περιορισμούς κατανάλωσης και προσφοράς

Αρ. 32. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας εξίσωσης διαφοράς τάξης k και τη γενική της λύση. Δώστε τον ορισμό μιας εξίσωσης γραμμικής διαφοράς τάξης k με σταθερούς συντελεστές. Να διατυπώσετε θεωρήματα για τη γενική λύση εξισώσεων ομογενών και ανομοιογενών γραμμικών διαφορών (χωρίς απόδειξη).

Μια εξίσωση της μορφής F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, όπου k είναι ένας σταθερός αριθμός και n είναι ένας αυθαίρετος φυσικός αριθμός, x n; x n +1 ;…; x n + k είναι όροι κάποιας άγνωστης ακολουθίας αριθμών, που ονομάζεται εξίσωση διαφοράς τάξης k.

Η επίλυση μιας εξίσωσης διαφοράς σημαίνει την εύρεση όλων των ακολουθιών (x n) που ικανοποιούν την εξίσωση.

Η γενική λύση μιας kth τάξης εξίσωσης είναι η λύση της x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), ανάλογα με k ανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές C 1 , C 2 , …, C k . Ο αριθμός των k σταθερών είναι ίσος με τη σειρά της εξίσωσης διαφοράς και η ανεξαρτησία σημαίνει ότι καμία από τις σταθερές δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς τις άλλες.

Θεωρήστε μια εξίσωση γραμμικής διαφοράς τάξης k με σταθερούς συντελεστές:

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , όπου a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) και

(f n ) – δεδομένοι αριθμοί και ακολουθία.

^ Θεώρημα για τη γενική λύση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης.

Η γενική λύση x n μιας γραμμικής εξίσωσης ανομοιογενούς διαφοράς είναι το άθροισμα της συγκεκριμένης λύσης x n * αυτής της εξίσωσης και η γενική λύση n της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης.

^ Θεώρημα για τη γενική λύση ομογενούς εξίσωσης.

Έστω x n 1 ,…, x n k ένα σύστημα που αποτελείται από k γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις μιας γραμμικής ομογενούς εξίσωσης διαφοράς. Τότε η γενική λύση αυτής της εξίσωσης δίνεται από τον τύπο: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
Νο. 33. Περιγράψτε έναν αλγόριθμο για την επίλυση ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης διαφοράς με σταθερούς συντελεστές. Να διατυπώσετε ορισμούς των ακόλουθων εννοιών: θεμελιώδες σύνολο λύσεων εξίσωσης γραμμικής διαφοράς, χαρακτηριστική εξίσωση, ορίζουσα Casoratti.

Η γνώση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε μια γενική λύση για την εξίσωση ομογενούς διαφοράς. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας εξίσωσης δεύτερης τάξης: Οι λύσεις που προκύπτουν μπορούν εύκολα να μεταφερθούν στην περίπτωση των εξισώσεων υψηλότερης τάξης.

Ανάλογα με τις τιμές της διάκρισης D=b 2 -4ac της χαρακτηριστικής εξίσωσης, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

Οι C 1 , C 2 είναι αυθαίρετες σταθερές.

Το σύνολο των λύσεων σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση διαφοράς kth τάξης σχηματίζει έναν k-διάστατο γραμμικό χώρο, και κάθε σύνολο k γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων (που ονομάζεται θεμελιώδες σύνολο) είναι η βάση του. Ένα σημάδι γραμμικής ανεξαρτησίας των λύσεων μιας ομοιογενούς εξίσωσης είναι ότι η ορίζουσα Casoratti δεν είναι ίση με μηδέν:

Η εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση μιας ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης.
№ 34. Δίνεται εξίσωση γραμμικής διαφοράς με σταθερούς συντελεστές X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.

^ Σε ποια μορφή πρέπει να αναζητήσει κανείς τη συγκεκριμένη λύση του; Εξηγήστε την απάντηση.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Σε ποια μορφή πρέπει να αναζητήσει κανείς τη συγκεκριμένη λύση του; Η απάντηση πρέπει να εξηγηθεί.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 +3x n =0

X n =C 1 3 n +C 2 1 n

X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n

X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
Νο. 35. Δίνεται εξίσωση γραμμικής διαφοράς με σταθερούς συντελεστές x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Σε ποια μορφή πρέπει να αναζητήσει κανείς τη συγκεκριμένη λύση του;

x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ 1 =3, λ 2 =1

x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2

2) f(n)=2 n, g(n)=3 n, z(n)=n 2

Εφόσον η βάση της εκθετικής ισχύος f(n)=2 n, ίση με 2, δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούμε την αντίστοιχη συγκεκριμένη λύση με τη μορφή Y n =C(2) n . Εφόσον η βάση της εκθετικής συνάρτησης g(n)=3 n, ίση με 3, συμπίπτει με μία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούμε την αντίστοιχη συγκεκριμένη λύση με τη μορφή X n =Bn(3) n. Επειδή το z(n)=n 2 είναι πολυώνυμο, θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή πολυωνύμου: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
Νο. 36. Δίνεται εξίσωση γραμμικής διαφοράς με σταθερούς συντελεστές x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. Σε ποια μορφή πρέπει να αναζητήσει κανείς τη συγκεκριμένη λύση του;

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

Επειδή η βάση της εκθετικής ισχύος f(n)=3 n, ίση με 3, δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούμε την αντίστοιχη συγκεκριμένη λύση με τη μορφή Y n =B(3) n . Επειδή το g(n)=n 2 είναι πολυώνυμο, θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή πολυωνύμου: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
Νο. 37. Δίνεται εξίσωση γραμμικής διαφοράς με σταθερούς συντελεστές x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Σε ποια μορφή πρέπει να αναζητήσει κανείς τη συγκεκριμένη λύση του;

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )

2) f(n)=3 n, g(n)=n 2, z(n)=cos

Επειδή η βάση της εκθετικής ισχύος f(n)=3 n, ίση με 3, δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούμε την αντίστοιχη συγκεκριμένη λύση με τη μορφή Y n =B(3) n . Επειδή το g(n)=n 2 είναι πολυώνυμο, θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή πολυωνύμου: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Περιγράψτε το μοντέλο Samuelson-Hicks. Ποιες οικονομικές παραδοχές αποτελούν τη βάση του; Σε ποια περίπτωση η λύση της εξίσωσης Hicks είναι ακίνητη ακολουθία;

Το μοντέλο επιχειρηματικού κύκλου Samuelson-Hicks υποθέτει την άμεση αναλογικότητα του όγκου των επενδύσεων με την αύξηση του εθνικού εισοδήματος (αρχή της επιτάχυνσης), δηλ.

όπου ο συντελεστής V>0 είναι ο συντελεστής επιτάχυνσης,

I t - το ποσό της επένδυσης στην περίοδο t,

X t -1 , X t -2 - η αξία του εθνικού εισοδήματος στις περιόδους (t-1) και (t-2), αντίστοιχα.

Θεωρείται επίσης ότι η ζήτηση σε αυτό το στάδιο εξαρτάται από το ύψος του εθνικού εισοδήματος στο προηγούμενο στάδιο
γραμμικά
. Η προϋπόθεση για ισότητα προσφοράς και ζήτησης έχει τη μορφή
. Μετά ερχόμαστε στην εξίσωση Hicks

όπου a, b είναι οι συντελεστές της γραμμικής έκφρασης της ζήτησης σε αυτό το στάδιο:

Στατική ακολουθία
είναι μια λύση της εξίσωσης Hicks μόνο για
; παράγοντας
ονομάζεται πολλαπλασιαστής Keynes (ένα μονοδιάστατο ανάλογο του πίνακα συνολικού κόστους).
№ ^ 39. Περιγράψτε το μοντέλο της αγοράς αράχνης. Ποιες οικονομικές παραδοχές αποτελούν τη βάση του; Βρείτε την κατάσταση ισορροπίας του μοντέλου της διαδικτυακής αγοράς.

40. Διατυπώστε το πρόβλημα του προσδιορισμού της τρέχουσας αξίας ενός ομολόγου τοκομεριδίου. Ποιο είναι το πρόβλημα Cauchy για μια εξίσωση διαφοράς; Βρείτε μια λύση ισορροπίας στο πρόβλημα Cauchy του προσδιορισμού της τρέχουσας αξίας ενός ομολόγου τοκομεριδίου. Βεβαιωθείτε ότι η αξία που βρέθηκε ταιριάζει με το ποσό που πρέπει να καταβληθεί αυτή τη στιγμή για να λάβετε το ποσό του κουπονιού σε κάθε περίοδο κουπονιού για άπειρο χρονικό διάστημα με ένα δεδομένο επιτόκιο για μία περίοδο κουπονιού.

Αφήνω φά – την ονομαστική αξία ενός ομολόγου τοκομεριδίου (δηλαδή το χρηματικό ποσό που κατέβαλε ο εκδότης τη στιγμή της εξαγοράς που συμπίπτει με το τέλος της τελευταίας περιόδου τοκομεριδίου), κ – αξία κουπονιού (δηλαδή το χρηματικό ποσό που καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου κουπονιού), Χ - τρέχουσα αξία του ομολόγου στο τέλος της νης περιόδου τοκομεριδίων,

Εκείνοι. Π συμπίπτει με το ποσό που πρέπει να καταβληθεί αυτή τη στιγμή για να λάβετε το ποσό του κουπονιού σε κάθε περίοδο κουπονιού για άπειρο χρονικό διάστημα με δεδομένο επιτόκιο για μία περίοδο κουπονιού.

Γραμμικά διαφορικά συστήματα εξισώσεις.

Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων ονομάζεται γραμμικός,αν είναι γραμμικό ως προς τις άγνωστες συναρτήσεις και τις παράγωγές τους. Σύστημα n-οι γραμμικές εξισώσεις 1ης τάξης γράφονται με τη μορφή:

Οι συντελεστές συστήματος είναι const.

Είναι βολικό να γράψετε αυτό το σύστημα σε μορφή μήτρας:

όπου είναι ένα διάνυσμα στήλης άγνωστων συναρτήσεων ανάλογα με ένα όρισμα.

Διάνυσμα στήλης παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.

Διάνυσμα στήλης ελεύθερων μελών.

Πίνακας συντελεστών.

Θεώρημα 1:Αν όλοι οι συντελεστές μήτρας ΕΝΑείναι συνεχείς σε ένα ορισμένο διάστημα και , στη συνέχεια σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του κάθε m. Οι προϋποθέσεις TS&E πληρούνται. Κατά συνέπεια, μια ενιαία ολοκληρωμένη καμπύλη διέρχεται από κάθε τέτοιο σημείο.

Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση, οι δεξιές πλευρές του συστήματος είναι συνεχείς ως προς το σύνολο των ορισμάτων και οι μερικές παράγωγοί τους ως προς (ίσες με τους συντελεστές του πίνακα Α) είναι περιορισμένες, λόγω της συνέχειας σε ένα κλειστό διάστημα.

Μέθοδοι επίλυσης SLD

1. Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων μπορεί να αναχθεί σε μία εξίσωση εξαλείφοντας τα άγνωστα.

Παράδειγμα:Λύστε το σύστημα των εξισώσεων: (1)

Λύση:αποκλείω zαπό αυτές τις εξισώσεις. Από την πρώτη εξίσωση έχουμε . Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση, μετά από απλοποίηση παίρνουμε: .

Αυτό το σύστημα εξισώσεων (1) ανάγεται σε μία εξίσωση δεύτερης τάξης. Αφού βρεθεί από αυτή την εξίσωση y, θα πρέπει να βρεθεί z, χρησιμοποιώντας την ισότητα.

2. Κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους, συνήθως προκύπτει μια εξίσωση υψηλότερης τάξης, επομένως σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο βολικό να λυθεί το σύστημα βρίσκοντας ολοκληρωμένους συνδυασμούς.

Συνέχεια 27β

Παράδειγμα:Λύστε το σύστημα

Λύση:

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler. Ας γράψουμε την ορίζουσα για την εύρεση του χαρακτηριστικού

εξίσωση: , (καθώς το σύστημα είναι ομοιογενές, για να έχει μια μη τετριμμένη λύση, αυτή η ορίζουσα πρέπει να είναι ίση με μηδέν). Παίρνουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση και βρίσκουμε τις ρίζες της:

Η γενική λύση είναι: ;

- ιδιοδιάνυσμα.

Καταγράφουμε τη λύση για: ;

- ιδιοδιάνυσμα.

Καταγράφουμε τη λύση για: ;

Παίρνουμε τη γενική λύση: .

Ας ελέγξουμε:

ας βρούμε : και να το αντικαταστήσουμε στην πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος, δηλ. .

Παίρνουμε:

- αληθινή ισότητα.

Γραμμική διαφορά. εξισώσεις νης τάξης. Θεώρημα για τη γενική λύση μιας ανομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης νης τάξης.

Μια γραμμική διαφορική εξίσωση νης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής: (1)

Αν αυτή η εξίσωση έχει έναν συντελεστή, τότε διαιρώντας με αυτόν, καταλήγουμε στην εξίσωση: (2) .

Συνήθως εξισώσεις του τύπου (2). Ας υποθέσουμε ότι στο ur-i (2) όλες οι πιθανότητες, καθώς και f(x)συνεχής σε κάποιο διάστημα (α, β).Στη συνέχεια, σύμφωνα με την TS&E, η εξίσωση (2) έχει μια μοναδική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: , , …, για . Εδώ - οποιοδήποτε σημείο από το διάστημα (α, β),και όλα - οποιοιδήποτε δεδομένοι αριθμοί. Η εξίσωση (2) ικανοποιεί την TC&E , επομένως δεν έχει ειδικές λύσεις.

Ορ.: ειδικήτα σημεία είναι εκείνα στα οποία =0.

Ιδιότητες γραμμικής εξίσωσης:

1. Μια γραμμική εξίσωση παραμένει έτσι για οποιαδήποτε αλλαγή στην ανεξάρτητη μεταβλητή.
2. Μια γραμμική εξίσωση παραμένει έτσι για οποιαδήποτε γραμμική αλλαγή της επιθυμητής συνάρτησης.

Def:αν στην εξίσωση (2) βάζω f(x)=0, τότε παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής: (3) , η οποία ονομάζεται ομοιογενής εξίσωσησε σχέση με την ανομοιογενή εξίσωση (2).

Ας παρουσιάσουμε τον τελεστή γραμμικού διαφορικού: (4). Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τελεστή, μπορείτε να ξαναγράψετε σε σύντομη μορφή την εξίσωση (2) Και (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Χειριστής (4) έχει τις εξής απλές ιδιότητες:

Από αυτές τις δύο ιδιότητες προκύπτει ένα συμπέρασμα: .

Λειτουργία y=y(x)είναι λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (2), Αν L(y(x))=f(x), Επειτα f(x)ονομάζεται η λύση της εξίσωσης. Άρα η λύση της εξίσωσης (3) ονομάζεται η συνάρτηση y(x), Αν L(y(x))=0στα εξεταζόμενα διαστήματα.

Σκεφτείτε ανομοιογενής γραμμική εξίσωση: , L(y)=f(x).

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε βρει μια συγκεκριμένη λύση με κάποιο τρόπο, τότε .

Ας εισάγουμε μια νέα άγνωστη συνάρτηση zσύμφωνα με τον τύπο: , όπου είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Ας το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση: , ανοίξουμε τις αγκύλες και πάρουμε: .

Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Δεδομένου ότι είναι μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική εξίσωση, τότε .

Έτσι, έχουμε μια ομοιογενή εξίσωση ως προς το z. Η γενική λύση αυτής της ομογενούς εξίσωσης είναι ένας γραμμικός συνδυασμός: , όπου οι συναρτήσεις - αποτελούν το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της ομογενούς εξίσωσης. Αντικατάσταση zστον τύπο αντικατάστασης, παίρνουμε: (*) για λειτουργία y– άγνωστη συνάρτηση της αρχικής εξίσωσης. Όλες οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης θα περιέχονται στο (*).

Έτσι, η γενική λύση της ανομοιογενούς γραμμής. Η εξίσωση παριστάνεται ως το άθροισμα μιας γενικής λύσης μιας ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης και μιας συγκεκριμένης λύσης μιας ανομοιογενούς εξίσωσης.

(συνέχεια από την άλλη πλευρά)

30. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης στο διαφορικό. εξισώσεις

Θεώρημα:Αν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι συνεχής στο ορθογώνιο και είναι περιορισμένη, και επίσης ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz: , N=const, τότε υπάρχει μια μοναδική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες και ορίζεται στο τμήμα , Οπου .

Απόδειξη:

Εξετάστε τον πλήρη μετρικό χώρο ΜΕ,των οποίων τα σημεία είναι όλες οι πιθανές συνεχείς συναρτήσεις y(x) που ορίζονται στο διάστημα , τα γραφήματα των οποίων βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο και η απόσταση καθορίζεται από την ισότητα: . Αυτός ο χώρος χρησιμοποιείται συχνά στη μαθηματική ανάλυση και ονομάζεται χώρο ομοιόμορφης σύγκλισης, αφού η σύγκλιση στη μετρική αυτού του χώρου είναι ομοιόμορφη.

Ας αντικαταστήσουμε το διαφορικό. εξίσωση με δεδομένες αρχικές συνθήκες σε ισοδύναμη ολοκληρωτική εξίσωση: και λάβετε υπόψη τον χειριστή A(y), ίσο με τη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης: . Αυτός ο τελεστής εκχωρεί σε κάθε συνεχή λειτουργία

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Lipschitz, μπορούμε να γράψουμε ότι η απόσταση . Τώρα ας επιλέξουμε ένα για το οποίο θα ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: .

Θα πρέπει να επιλέξετε έτσι, τότε. Έτσι δείξαμε ότι.

Σύμφωνα με την αρχή των αντιστοιχίσεων συστολής, υπάρχει ένα μόνο σημείο ή, το ίδιο, μια μοναδική συνάρτηση - μια λύση σε μια διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Αλλαγή μεταβλητών σε τριπλό ολοκλήρωμα. Παραδείγματα: περιπτώσεις κυλινδρικών και σφαιρικών συντεταγμένων.

Υπολογισμός του εμβαδού μιας λείας επιφάνειας, που καθορίζεται παραμετρικά και ρητά. Στοιχείο επιφάνειας.

Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους, βασικές ιδιότητες και υπολογισμός του.

Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος δεύτερου είδους, βασικές ιδιότητες και υπολογισμός του. Σύνδεση με το ολοκλήρωμα του πρώτου είδους.

Η φόρμουλα του Γκριν. Προϋποθέσεις για το γεγονός ότι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε ένα επίπεδο δεν εξαρτάται από την πορεία της ολοκλήρωσης.

Ορισμός επιφανειακού ολοκληρώματος πρώτου είδους, βασικές ιδιότητες και υπολογισμός του.

Ορισμός επιφανειακού ολοκληρώματος δεύτερου είδους, βασικές ιδιότητες και υπολογισμός του. Σύνδεση με το ολοκλήρωμα του πρώτου είδους.

Το θεώρημα Gauss-Ostrogradsky, η καταγραφή του σε συντεταγμένες και διανυσματικές (αμετάβλητες) μορφές.

Το θεώρημα του Stokes, η αναπαράστασή του σε συντεταγμένες και διανυσματικές (αμετάβλητες) μορφές.

Προϋποθέσεις για το γεγονός ότι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα στο χώρο δεν εξαρτάται από την πορεία της ολοκλήρωσης.

Κλιμωτό πεδίο. Κλίση βαθμωτών πεδίου και οι ιδιότητές της. Υπολογισμός κλίσης σε καρτεσιανές συντεταγμένες.

Ορισμός διανυσματικού πεδίου. Πεδίο κλίσης. Δυνητικά πεδία, συνθήκες δυναμικότητας.

Διανυσματική ροή πεδίου μέσω μιας επιφάνειας. Ορισμός της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου και των ιδιοτήτων του. Υπολογισμός της απόκλισης στις καρτεσιανές συντεταγμένες.

Σωληνοειδή διανυσματικά πεδία, συνθήκες σωληνοειδούς.

Κυκλοφορία διανυσματικού πεδίου και διανυσματικός ρότορας πεδίου. Υπολογισμός του δρομέα σε καρτεσιανές συντεταγμένες.

Χειριστής Hamilton (nabla), διαφορικές λειτουργίες δεύτερης τάξης, συνδέσεις μεταξύ τους.

Βασικές έννοιες που σχετίζονται με την πρώτη τάξη ωδών: γενικές και ειδικές λύσεις, γενικό ολοκλήρωμα, ολοκληρωτικές καμπύλες. Το πρόβλημα Cauchy, η γεωμετρική του σημασία.

Ενοποίηση ωδών πρώτης τάξης με χωριστές και ομοιογενείς μεταβλητές.

Ολοκλήρωση γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης και εξισώσεων Bernoulli.

Ενσωμάτωση ωδών πρώτης τάξης σε ολικά διαφορικά. Συντελεστής ολοκλήρωσης.

Μέθοδος εισαγωγής παραμέτρων. Ενσωμάτωση της πρώτης τάξης ωδών Lagrange και Clairaut.

Οι απλούστερες ωδές υψηλότερων τάξεων, που μπορούν να ενσωματωθούν σε τετράγωνα και επιτρέπουν τη μείωση της τάξης.

Κανονική μορφή συστήματος γραμμικών ωδών, βαθμωτών και διανυσματικών (μήτρας) σημειογραφίας. Το πρόβλημα Cauchy για ένα κανονικό σύστημα γραμμικών αποδόσεων, η γεωμετρική του σημασία.

Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσματικών συναρτήσεων. Απαραίτητη προϋπόθεση για γραμμική εξάρτηση. Θεώρημα για την ορίζουσα Wronski λύσεων σε σύστημα ομοιογενών γραμμικών ωδών.

Θεώρημα για τη γενική λύση (για τη δομή της γενικής λύσης) ενός κανονικού συστήματος ανομοιογενών γραμμικών ωδών.

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για εύρεση μερικών λύσεων κανονικού συστήματος ανομοιογενών γραμμικών ωδών.

Θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε κανονικό σύστημα ομοιογενών γραμμικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση απλών πραγματικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα συναρτήσεων. Απαραίτητη προϋπόθεση για γραμμική εξάρτηση. Θεώρημα για την ορίζουσα Wronski λύσεων σε ομογενή γραμμικό κώδικα.

Θεώρημα για τη γενική λύση (σχετικά με τη δομή της γενικής λύσης) μιας ομοιογενούς γραμμικής ωδής.

Θεώρημα για τη γενική λύση (σχετικά με τη δομή της γενικής λύσης) μιας ανομοιογενούς γραμμικής ωδής.

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για την εύρεση μερικών λύσεων ανομοιογενούς γραμμικής ωδής.

Ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε μια ομοιογενή γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση απλών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, πραγματικών ή μιγαδικών.

Ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε μια ομοιογενή γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση που υπάρχουν πολλαπλές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Εύρεση μερικών λύσεων σε ανομοιογενή γραμμική ωδή με σταθερούς συντελεστές και ειδική δεξιά πλευρά.

Θεώρημα ύπαρξης για μια (τοπική) λύση στο πρόβλημα Cauchy για ODE πρώτης τάξης.

Ένα θεώρημα μοναδικότητας για τη λύση του προβλήματος Cauchy για oode πρώτης τάξης.

1. Θεώρημα για τη γενική λύση (για τη δομή της γενικής λύσης) ενός κανονικού συστήματος ανομοιογενών γραμμικών ωδών.

Ας εξετάσουμε ένα ανομοιογενές γραμμικό σύστημα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων νης τάξης

Εδώ ΕΝΑ

Το παρακάτω ισχύει γενικό θεώρημα δομής λύσηςαυτού του ανομοιογενούς γραμμικού συστήματος των ΟΔΕ.

Αν μήτρα ΕΝΑ(x) και διανυσματική συνάρτηση σι (x) είναι συνεχείς στις [ ένα, σι], άστο να πάει Φ (x) είναι η θεμελιώδης μήτρα λύσεων ενός ομοιογενούς γραμμικού συστήματος, στη συνέχεια η γενική λύση του ανομοιογενούς συστήματος Υ" = ΕΝΑ(Χ) Υ + σι(x) έχει τη μορφή:

Οπου ντο- ένα αυθαίρετο σταθερό διάνυσμα στήλης, x 0 - ένα αυθαίρετο σταθερό σημείο από το τμήμα.

Από τον παραπάνω τύπο είναι εύκολο να ληφθεί ένας τύπος για την επίλυση του προβλήματος Cauchy για ένα γραμμικό ανομοιογενές σύστημα ODE - ο τύπος Cauchy.

Επίλυση του προβλήματος Cauchy, Υ(x 0) = ΥΤο 0 είναι μια διανυσματική συνάρτηση

1. Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για εύρεση μερικών λύσεων κανονικού συστήματος ανομοιογενών γραμμικών ωδών.

Ορισμός συστήματος ανομοιογενών γραμμικών ΟΔΕ. σύστημα ODUτύπος:

που ονομάζεται γραμμικός ετερογενής . Αφήνω

Σύστημα (*) σε μορφή διανύσματος-μήτρας: .- το σύστημα είναι ομοιογενές, διαφορετικά είναι ανομοιογενές.

Η ίδια η μέθοδος. Ας υπάρχει ένα γραμμικό ανομοιογενές σύστημα , τότε είναι ένα γραμμικό ομοιογενές σύστημα που αντιστοιχεί σε ένα γραμμικό ανομοιογενές. Έστω ο θεμελιώδης πίνακας του συστήματος αποφάσεων, , όπου το C είναι ένα αυθαίρετο σταθερό διάνυσμα, είναι η γενική λύση του συστήματος. Ας αναζητήσουμε μια λύση στο σύστημα (1) στη μορφή , όπου το C(x) είναι μια άγνωστη (ακόμα) διανυσματική συνάρτηση. Θέλουμε η διανυσματική συνάρτηση (3) να είναι λύση στο σύστημα (1). Τότε η ταυτότητα πρέπει να είναι αληθινή:

(ένα αυθαίρετο σταθερό διάνυσμα που προκύπτει ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορεί να θεωρηθεί ίσο με 0). Εδώ τα σημεία x 0 , είναι οποιαδήποτε.

Βλέπουμε, λοιπόν, ότι αν στο (3) πάρουμε ως C(t) , τότε η διανυσματική συνάρτηση θα είναι μια λύση στο σύστημα (1).

Η γενική λύση του γραμμικού ανομοιογενούς συστήματος (1) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή . Ας είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση στο σύστημα (1) που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη . Η αντικατάσταση (4) των αρχικών δεδομένων (5) δίνει . Επομένως, η λύση στο πρόβλημα Cauchy (1)-(5) μπορεί να γραφτεί ως: . Στην ειδική περίπτωση που ο τελευταίος τύπος έχει τη μορφή: .

1. Θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε κανονικό σύστημα ομοιογενών γραμμικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση απλών πραγματικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Κανονικό γραμμικό ομοιογενές σύστημαnτάξη με σταθερούς συντελεστές - ή ,Οι συντελεστές των γραμμικών συνδυασμών των αναζητούμενων συναρτήσεων είναι σταθεροί. Αυτό το σύστημα είναι σε μορφή μήτρας –μορφή μήτρας, όπου το Α είναι σταθερός πίνακας. Μέθοδος μήτρας: Από χαρακτηριστική εξίσωση θα βρούμε διαφορετικές ρίζες και για κάθε ρίζα (λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητά της) θα προσδιορίσουμε την αντίστοιχη συγκεκριμένη λύση. Η γενική λύση είναι: . Στην περίπτωση αυτή 1) εάν - είναι μια πραγματική ρίζα του πολλαπλού 1, λοιπόν , όπου είναι το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, δηλαδή. 2) – ρίζα πολλαπλότητας, τότε η λύση συστήματος που αντιστοιχεί σε αυτή τη ρίζα αναζητείται με τη μορφή διανύσματος (**), των οποίων οι συντελεστές καθορίζονται από ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που λαμβάνονται εξισώνοντας τους συντελεστές στις ίδιες δυνάμειςx ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης του διανύσματος (**) στο αρχικό σύστημα.

Βασικό σύστημα λύσεων NLOSείναι μια συλλογή από αυθαίρετες n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις

Ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε ένα κανονικό σύστημα ομοιογενών γραμμικών ODEs με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση που όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι απλές, αλλά υπάρχουν σύνθετες ρίζες.

Η ερώτηση έχει αφαιρεθεί.