Να υπολογίσετε τις προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων. Προβολή δύναμης στον άξονα

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………3

1. Τιμή διανύσματος και κλιμακωτή…………………………………….4

2. Ορισμός προβολής, άξονα και συντεταγμένων σημείου…………………….5

3. Προβολή του διανύσματος στον άξονα…………………………………………………………………………………………

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας……………………………..8

5. Υπολογισμός του συντελεστή μέτρησης ενός διανύσματος από τις προβολές του……………………...9

Συμπέρασμα………………………………………………………………………………………11

Λογοτεχνία………………………………………………………………………………………….12

Εισαγωγή:

Η φυσική είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δίνουν στη φυσική τα μέσα και τις τεχνικές για μια γενική και ακριβή έκφραση της σχέσης μεταξύ φυσικών μεγεθών που ανακαλύπτονται ως αποτέλεσμα πειράματος ή θεωρητικής έρευνας Άλλωστε, η κύρια μέθοδος έρευνας στη φυσική είναι η πειραματική. Αυτό σημαίνει ότι ένας επιστήμονας αποκαλύπτει υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μετρήσεις. Δηλώνει τη σχέση μεταξύ διαφόρων φυσικών μεγεθών. Στη συνέχεια, όλα μεταφράζονται στη γλώσσα των μαθηματικών. Σχηματίζεται ένα μαθηματικό μοντέλο. Η φυσική είναι μια επιστήμη που μελετά τους απλούστερους και ταυτόχρονα τους πιο γενικούς νόμους. Το καθήκον της φυσικής είναι να δημιουργήσει στο μυαλό μας μια εικόνα του φυσικού κόσμου που να αντικατοπτρίζει πλήρως τις ιδιότητές του και να διασφαλίζει τέτοιες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του μοντέλου που υπάρχουν μεταξύ των στοιχείων.

Έτσι, η φυσική δημιουργεί ένα μοντέλο του κόσμου γύρω μας και μελετά τις ιδιότητές του. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο είναι περιορισμένο. Κατά τη δημιουργία μοντέλων ενός συγκεκριμένου φαινομένου, λαμβάνονται υπόψη μόνο ιδιότητες και συνδέσεις που είναι απαραίτητες για ένα δεδομένο φάσμα φαινομένων. Αυτή είναι η τέχνη ενός επιστήμονα - να επιλέγει το κύριο πράγμα από όλη την ποικιλομορφία.

Τα φυσικά μοντέλα είναι μαθηματικά, αλλά τα μαθηματικά δεν είναι η βάση τους. Οι ποσοτικές σχέσεις μεταξύ φυσικών μεγεθών καθορίζονται ως αποτέλεσμα μετρήσεων, παρατηρήσεων και πειραματικών μελετών και εκφράζονται μόνο στη γλώσσα των μαθηματικών. Ωστόσο, δεν υπάρχει άλλη γλώσσα για την κατασκευή φυσικών θεωριών.

1. Έννοια του διανύσματος και του βαθμωτού.

Στη φυσική και τα μαθηματικά, ένα διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται από την αριθμητική του τιμή και κατεύθυνση. Στη φυσική, υπάρχουν πολλά σημαντικά μεγέθη που είναι διανύσματα, για παράδειγμα, δύναμη, θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, ροπή, ορμή, ένταση ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Μπορούν να αντιπαραβληθούν με άλλες ποσότητες όπως μάζα, όγκος, πίεση, θερμοκρασία και πυκνότητα, που μπορούν να περιγραφούν με έναν συνηθισμένο αριθμό και ονομάζονται " σκαλοπάτια".

Γράφονται είτε με κανονικά γράμματα γραμματοσειράς είτε με αριθμούς (a, b, t, G, 5, −7....). Οι βαθμωτές ποσότητες μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Ταυτόχρονα, ορισμένα αντικείμενα μελέτης μπορεί να έχουν τέτοιες ιδιότητες, για μια πλήρη περιγραφή των οποίων η γνώση μόνο ενός αριθμητικού μέτρου είναι επίσης απαραίτητο να χαρακτηριστούν αυτές οι ιδιότητες κατά κατεύθυνση στο χώρο. Τέτοιες ιδιότητες χαρακτηρίζονται από διανυσματικές ποσότητες (διανύσματα). Τα διανύσματα, σε αντίθεση με τους βαθμωτούς, σημειώνονται με έντονα γράμματα: a, b, g, F, C....
Συχνά ένα διάνυσμα υποδηλώνεται με ένα γράμμα με κανονική (μη έντονη) γραμματοσειρά, αλλά με ένα βέλος πάνω από αυτό:

Επιπλέον, ένα διάνυσμα συχνά υποδηλώνεται με ένα ζεύγος γραμμάτων (συνήθως με κεφαλαία), με το πρώτο γράμμα να δείχνει την αρχή του διανύσματος και το δεύτερο το τέλος του.

Το μέτρο ενός διανύσματος, δηλαδή το μήκος ενός κατευθυνόμενου ευθύγραμμου τμήματος, συμβολίζεται με τα ίδια γράμματα με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με κανονική (όχι έντονη) γραφή και χωρίς βέλος από πάνω τους ή με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ως διάνυσμα (δηλαδή με έντονη γραφή ή κανονικό, αλλά με βέλος), αλλά στη συνέχεια ο προσδιορισμός του διανύσματος περικλείεται σε κάθετες παύλες.
Ένα διάνυσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο που χαρακτηρίζεται ταυτόχρονα από το μέγεθος και την κατεύθυνση.

Επίσης δεν υπάρχουν θετικά και αρνητικά διανύσματα. Αλλά τα διανύσματα μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει όταν, για παράδειγμα, τα a και b έχουν τις ίδιες μονάδες και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση, ο συμβολισμός είναι αληθής ένα= β. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι το σύμβολο του διανύσματος μπορεί να προηγείται από ένα σύμβολο μείον, για παράδειγμα - c, ωστόσο, αυτό το σύμβολο υποδηλώνει συμβολικά ότι το διάνυσμα -c έχει την ίδια ενότητα με το διάνυσμα c, αλλά κατευθύνεται προς το αντίθετο κατεύθυνση.

Το διάνυσμα -c ονομάζεται αντίθετο (ή αντίστροφο) του διανύσματος c.
Στη φυσική, κάθε διάνυσμα είναι γεμάτο με συγκεκριμένο περιεχόμενο και κατά τη σύγκριση διανυσμάτων του ίδιου τύπου (για παράδειγμα, δυνάμεις), τα σημεία εφαρμογής τους μπορεί επίσης να είναι σημαντικά.

2. Προσδιορισμός της προβολής, του άξονα και της συντεταγμένης του σημείου.

Αξονας- Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που της δίνεται κάποια κατεύθυνση.
Ένας άξονας ορίζεται με κάποιο γράμμα: X, Y, Z, s, t... Συνήθως επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, ορίζεται με το γράμμα Ο. Από αυτό το σημείο μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία που μας ενδιαφέρουν.

Προβολή σημείουσε έναν άξονα είναι η βάση μιας κάθετης που τραβιέται από αυτό το σημείο σε έναν δεδομένο άξονα. Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

Συντεταγμένη σημείουσε έναν δεδομένο άξονα είναι ένας αριθμός του οποίου η απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περιέχεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση.

3. Προβολή του διανύσματος στον άξονα.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, εάν a x είναι η βαθμιδωτή προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ, τότε το x ·i είναι η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε τη διανυσματική προβολή με τον ίδιο τρόπο όπως το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Έτσι, συμβολίζουμε τη διανυσματική προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ ως x (ένα έντονο γράμμα που δηλώνει το διάνυσμα και τον δείκτη του ονόματος του άξονα) ή

(ένα γράμμα με χαμηλά έντονα γράμματα που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη για το όνομα του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά λένε - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο δείκτη (κατά κανόνα) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Υ, η προβολή του θα συμβολίζεται με y.

Για να υπολογίσετε την προβολή διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή

a x = x k − x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n,

αρνητικό εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n

και ίσο με μηδέν αν το x k ισούται με το x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα είναι σαφές ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και, αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι γωνίες που μετρώνται κατά μήκος του άξονα είναι αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το μέτρο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας.

Ας προβάλουμε το διάνυσμα a στους άξονες X και Y του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. Ας βρούμε τις διανυσματικές προβολές του διανύσματος a σε αυτούς τους άξονες:

a x = a x ·i, και y = a y ·j.

Αλλά σύμφωνα με τον κανόνα της διανυσματικής πρόσθεσης

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Έτσι, εκφράσαμε ένα διάνυσμα ως προς τις προβολές του και διανύσματα του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων (ή ως προς τις διανυσματικές προβολές του).

Οι διανυσματικές προβολές a x και a y ονομάζονται συνιστώσες ή συνιστώσες του διανύσματος α. Η πράξη που πραγματοποιήσαμε ονομάζεται αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά μήκος των αξόνων ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αν το διάνυσμα δίνεται στο χώρο, τότε

a = a x i + a y j + a z k.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται βασικός τύπος της διανυσματικής άλγεβρας. Φυσικά, μπορεί να γραφτεί και έτσι.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες

Από το μάθημα της στοιχειώδους φυσικής είναι γνωστό ότι ορισμένα φυσικά μεγέθη, όπως η θερμοκρασία, ο όγκος, η μάζα σώματος, η πυκνότητα κ.λπ., καθορίζονται μόνο από μια αριθμητική τιμή. Τέτοιες ποσότητες λέγονται κλιμακωτές ποσότητες ή βαθμωτές.

Για τον προσδιορισμό κάποιων άλλων μεγεθών, όπως η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση και άλλα παρόμοια, εκτός από τις αριθμητικές τιμές, είναι επίσης απαραίτητο να καθοριστεί η κατεύθυνσή τους στο χώρο. Τα μεγέθη που εκτός από την απόλυτη τιμή τους χαρακτηρίζονται και από κατεύθυνση ονομάζονται διάνυσμα.

ΟρισμόςΈνα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που ορίζεται από δύο σημεία: το πρώτο σημείο ορίζει την αρχή του διανύσματος και το δεύτερο το τέλος του. Γι' αυτό λένε επίσης ότι ένα διάνυσμα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων.

Στο σχήμα, το διάνυσμα απεικονίζεται ως ευθύγραμμο τμήμα, στο οποίο η κατεύθυνση από την αρχή του διανύσματος έως το τέλος του σημειώνεται με ένα βέλος. Για παράδειγμα, το σχ. 2.1.

Αν η αρχή του διανύσματος συμπίπτει με το σημείο , και το τέλος με μια τελεία , τότε συμβολίζεται το διάνυσμα
. Επιπλέον, τα διανύσματα συχνά υποδηλώνονται με ένα μικρό γράμμα με ένα βέλος πάνω από αυτό . Στα βιβλία, μερικές φορές το βέλος παραλείπεται και, στη συνέχεια, χρησιμοποιείται έντονη γραμματοσειρά για να υποδείξει το διάνυσμα.

Οι φορείς περιλαμβάνουν μηδενικό διάνυσμα, του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν. Έχει οριστεί ή απλά .

Η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος ονομάζεται του μήκος ή ενότητα. Η διανυσματική μονάδα υποδεικνύεται από δύο κάθετες ράβδους στα αριστερά:
, ή χωρίς βέλη
ή .

Τα διανύσματα παράλληλα σε μία ευθεία ονομάζονται συγγραμμική.

Τα διανύσματα που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή παράλληλα στο ίδιο επίπεδο ονομάζονται ομοεπίπεδη.

Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα. Το μήκος του είναι 0.

ΟρισμόςΔύο φορείς
Και
ονομάζονται ίσα (Εικ. 2.2) αν:
1)συγγραμμική; 2) συνκατευθυντικό 3) ίσο σε μήκος.

Είναι γραμμένο έτσι:
(2.1)

Από τον ορισμό της ισότητας των διανυσμάτων προκύπτει ότι όταν ένα διάνυσμα μεταφέρεται παράλληλα, προκύπτει ένα διάνυσμα ίσο με το αρχικό, επομένως η αρχή του διανύσματος μπορεί να τοποθετηθεί σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Τέτοια διανύσματα (στη θεωρητική μηχανική, γεωμετρία), η αρχή των οποίων μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, ονομάζονται Ελεύθερος. Και είναι ακριβώς αυτά τα διανύσματα που θα εξετάσουμε.

Ορισμός Διανυσματικό σύστημα
ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν υπάρχουν τέτοιες σταθερές
, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα διαφορετικό από το μηδέν και για το οποίο ισχύει η ισότητα.

ΟρισμόςΜια βάση στο χώρο ονομάζονται αυθαίρετα τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα, τα οποία λαμβάνονται σε μια ορισμένη ακολουθία.

Ορισμός Αν
- βάση και διάνυσμα και μετά οι αριθμοί
ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένες σε αυτή τη βάση.

Θα γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε σγουρές αγκύλες μετά τον προσδιορισμό του διανύσματος. Για παράδειγμα,
σημαίνει ότι το διάνυσμα σε κάποια επιλεγμένη βάση έχει την επέκταση:
.

Από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό και της πρόσθεσης διανυσμάτων, ακολουθεί μια δήλωση σχετικά με τις γραμμικές ενέργειες σε διανύσματα που καθορίζονται με συντεταγμένες.

Για να βρεθούν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τη συντεταγμένη της αρχής από την αντίστοιχη συντεταγμένη του τέλους του.

Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα

Οι γραμμικές πράξεις στα διανύσματα είναι οι πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης) διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό. Ας τους δούμε.

Ορισμός Προϊόν ενός φορέα ανά αριθμό
ονομάζεται διάνυσμα που συμπίπτει σε διεύθυνση με το διάνυσμα , Αν
, έχοντας την αντίθετη κατεύθυνση, αν
αρνητικός. Το μήκος αυτού του διανύσματος είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος ανά συντελεστή αριθμού
.

Π παράδειγμα . Κατασκευάστε διάνυσμα
, Αν
Και
(Εικ. 2.3).

Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται με αυτόν τον αριθμό.

Πράγματι, αν , τότε

Προϊόν ενός φορέα επί
ονομάζεται διάνυσμα
;
- αντίθετα σκηνοθετημένα .

Σημειώστε ότι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1 ονομάζεται μονόκλινο(ή Ortom).

Χρησιμοποιώντας την πράξη του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω ενός μοναδιαίου διανύσματος της ίδιας κατεύθυνσης. Πράγματι, διαίρεση του διανύσματος στο μήκος του (δηλαδή πολλαπλασιασμός επί ), λαμβάνουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα στην ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα . Θα το υποδηλώσουμε
. Από αυτό προκύπτει ότι
.

Ορισμός Το άθροισμα δύο διανυσμάτων Και ονομάζεται διάνυσμα , που προέρχεται από την κοινή τους προέλευση και είναι η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου του οποίου οι πλευρές είναι διανύσματα Και (Εικ. 2.4).

.

Εξ ορισμού ίσων διανυσμάτων
Να γιατί
-κανόνας τριγώνου. Ο κανόνας του τριγώνου μπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διανυσμάτων και έτσι να ληφθεί ο κανόνας του πολυγώνου:
είναι ένα διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του τελευταίου διανύσματος (Εικ. 2.5).

Έτσι, για να κατασκευάσετε ένα διάνυσμα αθροίσματος, πρέπει να επισυνάψετε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος, να συνδέσετε την αρχή του τρίτου στο τέλος του δεύτερου και ούτω καθεξής. Τότε το διάνυσμα του αθροίσματος θα είναι το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου από τα διανύσματα με το τέλος του τελευταίου.

Κατά την προσθήκη διανυσμάτων, προστίθενται και οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους

Πράγματι, αν
,

Αν οι φορείς
Και δεν είναι ομοεπίπεδα, τότε το άθροισμά τους είναι διαγώνιος
παραλληλεπίπεδο που βασίζεται σε αυτά τα διανύσματα (Εικ. 2.6)

,

Οπου

Ιδιότητες:

- Ανταλλαγή

- συνειρμικότητα·

- κατανομή σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό με έναν αριθμό

.

Εκείνοι. ένα διανυσματικό άθροισμα μπορεί να μετασχηματιστεί σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες με ένα αλγεβρικό άθροισμα.

ΟρισμόςΗ διαφορά δύο διανυσμάτων Και ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται , το οποίο όταν προστεθεί στο διάνυσμα δίνει ένα διάνυσμα . Εκείνοι.
Αν
. Γεωμετρικά αντιπροσωπεύει τη δεύτερη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα Και με κοινή αρχή και κατευθυνόμενη από το τέλος του διανύσματος μέχρι το τέλος του διανύσματος (Εικ. 2.7).

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα. Ιδιότητες Προβολών

Ας θυμηθούμε την έννοια του άξονα αριθμών. Ένας αριθμητικός άξονας είναι μια γραμμή στην οποία ορίζεται:

κατεύθυνση (→);

προέλευση (σημείο O)·

ένα τμήμα που λαμβάνεται ως μονάδα κλίμακας.

Ας υπάρχει ένα διάνυσμα
και άξονα . Από σημεία Και χαμηλώστε τις κάθετες στον άξονα . Ας πάρουμε τους βαθμούς Και - προβολές σημείων Και (Εικ. 2.8 α).

Ορισμός Διάνυσμα προβολής
ανά άξονα ονομάζεται μήκος του τμήματος
αυτόν τον άξονα, ο οποίος βρίσκεται ανάμεσα στις βάσεις των προβολών της αρχής και του τέλους του διανύσματος
ανά άξονα . Λαμβάνεται με πρόσημο συν εάν η κατεύθυνση του τμήματος
συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα προβολής και με αρνητικό πρόσημο εάν αυτές οι κατευθύνσεις είναι αντίθετες. Ονομασία:
.

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ προσδιορισμός Γωνία μεταξύ του διανύσματος
και άξονα ονομάζεται γωνία , στο οποίο είναι απαραίτητο να στρίψετε τον άξονα με τον συντομότερο δυνατό τρόπο ώστε να συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος
.

Θα βρούμε
:

Το σχήμα 2.8α δείχνει:
.

Στο Σχ. 2.8 β): .

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους αυτού του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα των προβολών:
.

Ιδιότητες Προβολών:

Αν
, τότε τα διανύσματα ονομάζονται ορθογώνια

Παράδειγμα . Διανύσματα που δίνονται
,
.Επειτα

.

Παράδειγμα. Αν η αρχή του διανύσματος
βρίσκεται στο σημείο
, και το τέλος είναι στο σημείο
, μετά το διάνυσμα
έχει συντεταγμένες:

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ προσδιορισμός Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων Και ονομάζεται η μικρότερη γωνία
(Εικ. 2.13) μεταξύ αυτών των διανυσμάτων, ανάγεται σε μια κοινή αρχή .

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων Και συμβολικά γραμμένο ως εξής: .

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να ποικίλλει εντός
.

Αν
, τότε τα διανύσματα ονομάζονται ορθογώνια.

.

Ορισμός.Τα συνημίτονα των γωνιών ενός διανύσματος με τους άξονες συντεταγμένων ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος. Αν το διάνυσμα
σχηματίζει γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων

.

Η επίλυση προβλημάτων σχετικά με την ισορροπία των συγκλίνων δυνάμεων με την κατασκευή πολυγώνων κλειστής δύναμης περιλαμβάνει δυσκίνητες κατασκευές. Μια καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι να προχωρήσουμε στον προσδιορισμό των προβολών των δεδομένων δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων και στη λειτουργία με αυτές τις προβολές. Ένας άξονας είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία εκχωρείται μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, το οποίο καθορίζεται από το τμήμα του άξονα που αποκόπτεται από τις κάθετες που πέφτουν πάνω του από την αρχή και το τέλος του διανύσματος.

Μια διανυσματική προβολή θεωρείται θετική εάν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής έως το τέλος της συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Μια διανυσματική προβολή θεωρείται αρνητική εάν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής έως το τέλος της είναι αντίθετη από τη θετική κατεύθυνση του άξονα.

Έτσι, η προβολή της δύναμης στον άξονα συντεταγμένων είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος δύναμης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Ας εξετάσουμε ορισμένες περιπτώσεις εκτόξευσης δυνάμεων σε έναν άξονα:

Διάνυσμα δύναμης φά(Εικ. 15) κάνει οξεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα x.

Για να βρούμε την προβολή, από την αρχή και το τέλος του διανύσματος δύναμης χαμηλώνουμε τις κάθετες στον άξονα ω; παίρνουμε

1. Fx = φά cos α

Η προβολή του διανύσματος σε αυτή την περίπτωση είναι θετική

Δύναμη φά(Εικ. 16) είναι με τη θετική φορά του άξονα Χαμβλεία γωνία α.

Επειτα φά x = φά cos α, αλλά αφού α = 180 0 - φ,

φά x = φά cos α = φά cos180 0 - φ =- φά cos φ.

Προβολή δύναμης φάανά άξονα ωσε αυτή την περίπτωση είναι αρνητικό.

Δύναμη φά(Εικ. 17) κάθετα στον άξονα ω.

Προβολή της δύναμης F στον άξονα Χίσο με μηδέν

φά x = φά cos 90° = 0.

Δύναμη που βρίσκεται στο αεροπλάνο πώς(Εικ. 18), μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων ΩΚαι OU.

Δύναμη φάμπορούν να χωριστούν σε συστατικά: φά x και φά y. Διάνυσμα ενότητα φάΤο x είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα βόδικαι το διανυσματικό μέτρο φάΤο y είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα ω.

Από το Δ OAV: φά x = φά cos α, φά x = φάαμαρτία α.

Από το Δ ΟΑΣ: φά x = φά cos φ, φά x = φάαμαρτία φ.

Το μέγεθος της δύναμης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Η προβολή ενός διανυσματικού αθροίσματος ή ενός προκύπτοντος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών των αθροισμάτων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

Εξετάστε τις συγκλίνουσες δυνάμεις φά 1 , φά 2 , φά 3, και φά 4, (Εικ. 19, α). Το γεωμετρικό άθροισμα ή το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων φάκαθορίζεται από την πλευρά κλεισίματος του πολυγώνου δύναμης

Ας πέσουμε από τις κορυφές του πολυγώνου δύναμης στον άξονα Χκάθετες.

Λαμβάνοντας υπόψη τις λαμβανόμενες προβολές δυνάμεων απευθείας από την ολοκληρωμένη κατασκευή, έχουμε

φά= φά 1x+ φά 2x+ φά 3x+ φά 4x

όπου n είναι ο αριθμός των διανυσματικών όρων. Οι προβολές τους μπαίνουν στην παραπάνω εξίσωση με το αντίστοιχο πρόσημο.

Σε ένα επίπεδο, το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων και στο διάστημα, αντίστοιχα, σε τρεις.

Ο άξονας είναι η κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή σε έναν άξονα ή σε μια κατευθυνόμενη γραμμή θεωρείται η ίδια. Η προβολή μπορεί να είναι αλγεβρική ή γεωμετρική. Σε γεωμετρικούς όρους, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα νοείται ως διάνυσμα και σε αλγεβρικούς όρους, είναι ένας αριθμός. Δηλαδή, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα και της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Αν έχουμε έναν άξονα L και ένα διάνυσμα μη μηδενικό A B →, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα A 1 B 1 ⇀, δηλώνοντας τις προβολές των σημείων του A 1 και B 1.

Το A 1 B → 1 θα είναι η προβολή του διανύσματος A B → στο L.

Ορισμός 1

Προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος είναι προβολές της αρχής και του τέλους ενός δεδομένου διανύσματος. n p L A B → → είναι συνηθισμένο να συμβολίζεται η προβολή A B → στο L. Για να κατασκευαστεί μια προβολή στο L, οι κάθετοι ρίχνονται στο L.

Παράδειγμα 1

Ένα παράδειγμα προβολής διανύσματος σε άξονα.

Στο επίπεδο συντεταγμένων O x y, καθορίζεται το σημείο M 1 (x 1, y 1). Είναι απαραίτητο να κατασκευάσουμε προβολές σε Ox και O y για να απεικονίσουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M 1. Παίρνουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (x 1, 0) και (0, y 1).

Αν μιλάμε για την προβολή του a → σε ένα μη μηδενικό b → ή για την προβολή του a → στην κατεύθυνση b → , τότε εννοούμε την προβολή του a → στον άξονα με τον οποίο συμπίπτει η διεύθυνση b →. Η προβολή του a → πάνω στη γραμμή που ορίζεται από το b → ορίζεται n p b → a → → . Είναι γνωστό ότι όταν η γωνία μεταξύ a → και b → , n p b → a → → και b → μπορεί να θεωρηθεί συμκατευθυντική. Στην περίπτωση που η γωνία είναι αμβλεία, τα n p b → a → → και b → βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Σε μια κατάσταση καθετότητας a → και b →, και το a → είναι μηδέν, η προβολή του a → προς την κατεύθυνση b → είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Το αριθμητικό χαρακτηριστικό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι η αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν δεδομένο άξονα.

Ορισμός 2

Αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένας αριθμός που ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός δεδομένου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του δεδομένου διανύσματος και του διανύσματος που καθορίζει την κατεύθυνση του άξονα.

Η αριθμητική προβολή του A B → στο L συμβολίζεται n p L A B → , και a → στο b → - n p b → a → .

Με βάση τον τύπο, λαμβάνουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , από όπου a → είναι το μήκος του διανύσματος a → , a ⇀ , b → ^ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a → και β → .

Λαμβάνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της αριθμητικής προβολής: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ισχύει για γνωστά μήκη a → και b → και τη γωνία μεταξύ τους. Ο τύπος ισχύει για γνωστές συντεταγμένες a → και b →, αλλά υπάρχει μια απλοποιημένη μορφή.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την αριθμητική προβολή του a → σε μια ευθεία προς την κατεύθυνση b → με μήκος a → ίσο με 8 και γωνία μεταξύ τους 60 μοίρες. Με συνθήκη έχουμε a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Αυτό σημαίνει ότι αντικαθιστούμε τις αριθμητικές τιμές στον τύπο n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Απάντηση: 4.

Με γνωστό cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , έχουμε a → , b → ως κλιμακωτό γινόμενο των a → και b → . Ακολουθώντας τον τύπο n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , μπορούμε να βρούμε την αριθμητική προβολή a → κατευθυνόμενη κατά μήκος του διανύσματος b → και να πάρουμε n p b → a → = a → , b → b → . Ο τύπος είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή της παραγράφου.

Ορισμός 3

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → σε άξονα που συμπίπτει κατά διεύθυνση με το b → είναι ο λόγος του κλιμακωτού γινόμενου των διανυσμάτων a → και b → προς το μήκος b → . Ο τύπος n p b → a → = a → , b → b → ισχύει για την εύρεση της αριθμητικής προβολής του a → σε μια ευθεία που συμπίπτει σε κατεύθυνση με το b → , με γνωστές συντεταγμένες a → και b →.

Παράδειγμα 3

Δίνεται b → = (- 3 , 4) . Βρείτε την αριθμητική προβολή a → = (1, 7) στο L.

Λύση

Στο επίπεδο συντεταγμένων n p b → a → = a → , b → b → έχει τη μορφή n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , με a → = (a x , a y ) και b → = b x, b y. Για να βρείτε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, χρειάζεστε: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 4

Βρείτε την προβολή του a → στο L, που συμπίπτει με την κατεύθυνση b →, όπου υπάρχουν a → = - 2, 3, 1 και b → = (3, - 2, 6). Καθορίζεται ο τρισδιάστατος χώρος.

Λύση

Δίνοντας a → = a x , a y , a z και b → = b x , b y , b z , υπολογίζουμε το κλιμακωτό γινόμενο: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Βρίσκουμε το μήκος b → χρησιμοποιώντας τον τύπο b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος για τον προσδιορισμό της αριθμητικής προβολής a → θα είναι: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Αντικαταστήστε τις αριθμητικές τιμές: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Απάντηση: - 6 7.

Ας δούμε τη σύνδεση μεταξύ του a → στο L και του μήκους της προβολής a → στο L. Ας σχεδιάσουμε έναν άξονα L, προσθέτοντας ένα → και b → από ένα σημείο στο L, μετά από τον οποίο σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή από το άκρο a → στο L και σχεδιάζουμε μια προβολή στο L. Υπάρχουν 5 παραλλαγές της εικόνας:

Πρώταη περίπτωση με a → = n p b → a → → σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Δεύτεροςη περίπτωση συνεπάγεται τη χρήση του n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , που σημαίνει n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Τρίτοςη περίπτωση εξηγεί ότι όταν n p b → a → → = 0 → λαμβάνουμε n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , τότε n p b → a → → = 0 και n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Τέταρτοςη περίπτωση δείχνει n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ακολουθεί n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Πέμπτοςη περίπτωση δείχνει a → = n p b → a → →, που σημαίνει a → = n p b → a → →, επομένως έχουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Ορισμός 4

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, που κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το b →, έχει την ακόλουθη τιμή:

• το μήκος της προβολής του διανύσματος a → στο L, με την προϋπόθεση ότι η γωνία μεταξύ a → και b → είναι μικρότερη από 90 μοίρες ή ίση με 0: n p b → a → = n p b → a → → με τη συνθήκη 0 ≤ (a → , β →) ^< 90 ° ;
• μηδέν υπό τον όρο ότι τα a → και b → είναι κάθετα: n p b → a → = 0, όταν (a → , b → ^) = 90 °;
• το μήκος της προβολής a → στο L, πολλαπλασιασμένο με -1, όταν υπάρχει αμβλεία ή ευθεία γωνία των διανυσμάτων a → και b →: n p b → a → = - n p b → a → → με την συνθήκη 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Παράδειγμα 5

Δίνεται το μήκος της προβολής a → στο L, ίσο με 2. Να βρείτε την αριθμητική προβολή a → με την προϋπόθεση ότι η γωνία είναι 5 π 6 ακτίνια.

Λύση

Από τη συνθήκη είναι σαφές ότι αυτή η γωνία είναι αμβλεία: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Απάντηση: - 2.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα επίπεδο O x y z με μήκος διανύσματος a → ίσο με 6 3, b → (- 2, 1, 2) με γωνία 30 μοιρών. Βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής a → στον άξονα L.

Λύση

Αρχικά, υπολογίζουμε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Κατά συνθήκη, η γωνία είναι οξεία, τότε η αριθμητική προβολή a → = το μήκος της προβολής του διανύσματος a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Αυτή η περίπτωση δείχνει ότι τα διανύσματα n p L a → → και b → είναι συνκατευθυνόμενα, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός t για τον οποίο ισχύει η ισότητα: n p L a → → = t · b → . Από εδώ βλέπουμε ότι n p L a → → = t · b → , που σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε την τιμή της παραμέτρου t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Τότε n p L a → → = 3 · b → με τις συντεταγμένες της προβολής του διανύσματος a → στον άξονα L ίσο με b → = (- 2 , 1 , 2) , όπου είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι τιμές με 3. Έχουμε n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Απάντηση: (- 6 , 3 , 6) .

Είναι απαραίτητο να επαναλάβουμε τις προηγούμενες πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

§ 3. Προβολές διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων

1. Γεωμετρική εύρεση προβολών.

Διάνυσμα
- προβολή του διανύσματος στον άξονα ΒΟΔΙ
- προβολή του διανύσματος στον άξονα OY

Ορισμός 1. Διάνυσμα προβολής σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων είναι ένας αριθμός που λαμβάνεται με πρόσημο συν ή πλην, που αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος που βρίσκεται μεταξύ των βάσεων των καθέτων που έπεσαν από την αρχή και το τέλος του διανύσματος στον άξονα συντεταγμένων.

Το σήμα προβολής ορίζεται ως εξής. Εάν, κατά την κίνηση κατά μήκος του άξονα συντεταγμένων, υπάρχει μια κίνηση από το σημείο προβολής της αρχής του διανύσματος προς το σημείο προβολής του τέλους του διανύσματος στη θετική κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος θεωρείται θετική . Αν είναι απέναντι από τον άξονα, τότε η προβολή θεωρείται αρνητική.

Το σχήμα δείχνει ότι εάν το διάνυσμα προσανατολίζεται κάπως αντίθετα από τον άξονα συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι αρνητική. Εάν ένα διάνυσμα προσανατολίζεται με κάποιο τρόπο στη θετική κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι θετική.

Αν ένα διάνυσμα είναι κάθετο στον άξονα των συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι μηδέν.
Εάν ένα διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό με έναν άξονα, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση με την απόλυτη τιμή του διανύσματος.
Εάν ένα διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από τον άξονα των συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση σε απόλυτη τιμή με την απόλυτη τιμή του διανύσματος που λαμβάνεται με το πρόσημο μείον.

2. Ο γενικότερος ορισμός της προβολής.

Από ορθογώνιο τρίγωνο ABD: .

Ορισμός 2. Διάνυσμα προβολής σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα με τη θετική φορά του άξονα συντεταγμένων.

Το πρόσημο της προβολής καθορίζεται από το πρόσημο του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα με τη θετική κατεύθυνση του άξονα.
Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε το συνημίτονο έχει θετικό πρόσημο και οι προβολές είναι θετικές. Για αμβλείες γωνίες, το συνημίτονο έχει αρνητικό πρόσημο, επομένως σε τέτοιες περιπτώσεις οι προβολές στον άξονα είναι αρνητικές.
- επομένως, για διανύσματα κάθετα στον άξονα, η προβολή είναι μηδέν.