¿Cuáles son las coordenadas de la proyección vectorial? Proyecciones de vectores sobre ejes de coordenadas.

Sean dos vectores y se dan en el espacio. Pospongamos desde un punto arbitrario. oh vectores y . Ángulo entre vectores se llama el más pequeño de los ángulos. Designada .

Considere el eje yo y trazar un vector unitario sobre él (es decir, un vector cuya longitud sea igual a uno).

En un ángulo entre el vector y el eje. yo entender el ángulo entre los vectores y .

Entonces deja yo es algún eje y es un vector.

Denotemos por un 1 Y B 1 proyecciones sobre el eje yo respectivamente puntos A Y B. pretendamos que un 1 tiene una coordenada x1, A B 1– coordinar x2 en el eje yo.

Entonces proyección vector por eje yo llamada diferencia x1 – x2 entre las coordenadas de las proyecciones del final y el comienzo del vector sobre este eje.

Proyección del vector sobre el eje. yo denotaremos.

Está claro que si el ángulo entre el vector y el eje yo picante entonces x2> x1 y proyección x2 – x1> 0; si este ángulo es obtuso, entonces x2< x1 y proyección x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси yo, Eso x2= x1 Y x2– x1=0.

Por tanto, la proyección del vector sobre el eje. yo es la longitud del segmento A 1 B 1, tomado con cierto signo. Por tanto, la proyección del vector sobre el eje es un número o un escalar.

La proyección de un vector sobre otro se determina de manera similar. En este caso, se encuentran las proyecciones de los extremos de este vector sobre la recta en la que se encuentra el segundo vector.

Veamos algunos básicos propiedades de las proyecciones.

SISTEMAS VECTORIALES LINEALMENTE DEPENDIENTES Y LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Consideremos varios vectores.

Combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma , donde hay algunos números. Los números se llaman coeficientes de combinación lineal. También dicen que en este caso se expresa linealmente a través de estos vectores, es decir se obtiene de ellos mediante acciones lineales.

Por ejemplo, si se dan tres vectores, entonces los siguientes vectores pueden considerarse como su combinación lineal:

Si un vector se representa como una combinación lineal de algunos vectores, entonces se dice que es Dispuesto a lo largo de estos vectores.

Los vectores se llaman linealmente dependiente, si hay números, no todos iguales a cero, tales que . Está claro que los vectores dados serán linealmente dependientes si cualquiera de estos vectores se expresa linealmente en términos de los demás.

De lo contrario, es decir cuando la proporción realizado sólo cuando , estos vectores se llaman independiente linealmente.

Teorema 1. Dos vectores cualesquiera son linealmente dependientes si y sólo si son colineales.

Prueba:

El siguiente teorema se puede demostrar de manera similar.

Teorema 2. Tres vectores son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.

Prueba.

BASE

Base es una colección de vectores linealmente independientes distintos de cero. Denotaremos los elementos de la base por .

En el párrafo anterior vimos que dos vectores no colineales en un plano son linealmente independientes. Por tanto, según el teorema 1 del párrafo anterior, una base en un plano son dos vectores cualesquiera no colineales en este plano.

De manera similar, tres vectores cualesquiera no coplanares son linealmente independientes en el espacio. En consecuencia, llamamos base en el espacio a tres vectores no coplanares.

La siguiente afirmación es cierta.

Teorema. Sea una base dada en el espacio. Entonces cualquier vector se puede representar como una combinación lineal. , Dónde X, y, z- algunos números. Ésta es la única descomposición.

Prueba.

Por lo tanto, la base permite que cada vector esté asociado de forma única con un triple de números: los coeficientes de expansión de este vector en los vectores de la base: . Lo contrario también es cierto, por cada tres números x, y, z usando la base, puedes comparar el vector si haces una combinación lineal .

Si la base y , entonces los números x, y, z son llamados coordenadas vector en una base dada. Las coordenadas vectoriales se indican con .

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Sea un punto dado en el espacio. oh y tres vectores no coplanares.

sistema de coordenadas Cartesianas en el espacio (en el plano) es el conjunto de un punto y una base, es decir un conjunto de un punto y tres vectores no coplanares (2 vectores no colineales) que emanan de este punto.

Punto oh llamado el origen; Las líneas rectas que pasan por el origen de coordenadas en la dirección de los vectores base se denominan ejes de coordenadas: abscisas, ordenadas y ejes aplicados. Los planos que pasan por los ejes de coordenadas se llaman planos de coordenadas.

Considere un punto arbitrario en el sistema de coordenadas seleccionado. METRO. Introduzcamos el concepto de coordenadas puntuales. METRO. Vector que conecta el origen con un punto. METRO. llamado vector de radio puntos METRO.

Un vector en la base seleccionada se puede asociar con un triple de números – sus coordenadas: .

Coordenadas del vector de radio del punto. METRO. son llamados coordenadas del punto M. en el sistema de coordenadas considerado. M(x,y,z). La primera coordenada se llama abscisa, la segunda ordenada y la tercera aplicación.

Las coordenadas cartesianas en el plano se determinan de manera similar. Aquí el punto tiene sólo dos coordenadas: abscisa y ordenada.

Es fácil ver que para un sistema de coordenadas dado, cada punto tiene ciertas coordenadas. Por otro lado, para cada tripleta de números existe un único punto que tiene como coordenadas estos números.

Si los vectores tomados como base en el sistema de coordenadas seleccionado tienen una longitud unitaria y son perpendiculares por pares, entonces el sistema de coordenadas se llama rectangular cartesiano.

Es fácil demostrarlo.

Los cosenos directores de un vector determinan completamente su dirección, pero no dicen nada sobre su longitud.

§ 3. Proyecciones de un vector sobre los ejes de coordenadas.

1. Encontrar proyecciones geométricamente.

Vector
- proyección del vector sobre el eje BUEY
- proyección del vector sobre el eje oy

Definición 1. Proyección vectorial en cualquier eje de coordenadas hay un número tomado con un signo más o menos, correspondiente a la longitud del segmento ubicado entre las bases de las perpendiculares caídas desde el principio y el final del vector hasta el eje de coordenadas.

El signo de proyección se define de la siguiente manera. Si, al moverse a lo largo del eje de coordenadas, hay un movimiento desde el punto de proyección del comienzo del vector hasta el punto de proyección del final del vector en la dirección positiva del eje, entonces la proyección del vector se considera positiva. . Si es opuesto al eje, entonces la proyección se considera negativa.

La figura muestra que si el vector está orientado de alguna manera en dirección opuesta al eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es negativa. Si un vector está orientado de alguna manera en la dirección positiva del eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es positiva.

Si un vector es perpendicular al eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es cero.
Si un vector es codireccional con un eje, entonces su proyección sobre este eje es igual al valor absoluto del vector.
Si un vector se dirige en dirección opuesta al eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es igual en valor absoluto al valor absoluto del vector tomado con un signo menos.

2. La definición más general de proyección.

De un triángulo rectángulo ABD: .

Definición 2. Proyección vectorial en cualquier eje de coordenadas hay un número igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eje de coordenadas.

El signo de la proyección está determinado por el signo del coseno del ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eje.
Si el ángulo es agudo, entonces el coseno tiene signo positivo y las proyecciones son positivas. Para ángulos obtusos, el coseno tiene signo negativo, por lo que en tales casos las proyecciones sobre el eje son negativas.
- por tanto, para vectores perpendiculares al eje, la proyección es cero.

El eje es la dirección. Esto significa que la proyección sobre un eje o sobre una línea dirigida se considera lo mismo. La proyección puede ser algebraica o geométrica. En términos geométricos, la proyección de un vector sobre un eje se entiende como un vector, y en términos algebraicos, como un número. Es decir, se utilizan los conceptos de proyección de un vector sobre un eje y proyección numérica de un vector sobre un eje.

Si tenemos un eje L y un vector A B → distinto de cero, entonces podemos construir un vector A 1 B 1 ⇀, que denota las proyecciones de sus puntos A 1 y B 1.

A 1 B → 1 será la proyección del vector A B → sobre L.

Definición 1

Proyección del vector sobre el eje. es un vector cuyo principio y fin son proyecciones del principio y final de un vector dado. n p L A B → → se acostumbra denotar la proyección A B → sobre L. Para construir una proyección sobre L, se dejan caer perpendiculares sobre L.

Ejemplo 1

Un ejemplo de proyección vectorial sobre un eje.

En el plano de coordenadas O x y, se especifica el punto M 1 (x 1, y 1). Es necesario construir proyecciones sobre O x y O y para obtener una imagen del vector de radio del punto M 1. Obtenemos las coordenadas de los vectores (x 1, 0) y (0, y 1).

Si hablamos de la proyección de a → sobre un b → distinto de cero o de la proyección de a → sobre la dirección b → , entonces nos referimos a la proyección de a → sobre el eje con el que coincide la dirección b →. La proyección de a → sobre la recta definida por b → se designa n p b → a → → . Se sabe que cuando el ángulo entre a → y b → , n p b → a → → y b → puede considerarse codireccional. En el caso de que el ángulo sea obtuso, n p b → a → → y b → están en direcciones opuestas. En una situación de perpendicularidad a → y b →, y a → es cero, la proyección de a → en la dirección b → es el vector cero.

La característica numérica de la proyección de un vector sobre un eje es la proyección numérica de un vector sobre un eje dado.

Definición 2

Proyección numérica del vector sobre el eje. es un número que es igual al producto de la longitud de un vector dado y el coseno del ángulo entre el vector dado y el vector que determina la dirección del eje.

La proyección numérica de A B → sobre L se denota n p L A B → , y a → sobre b → - n p b → a → .

Con base en la fórmula, obtenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , de donde a → es la longitud del vector a → , a ⇀ , b → ^ es el ángulo entre los vectores a → y b → .

Obtenemos la fórmula para calcular la proyección numérica: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Es aplicable para longitudes conocidas a → y b → y el ángulo entre ellas. La fórmula es aplicable para coordenadas conocidas a → y b →, pero existe una forma simplificada.

Ejemplo 2

Encuentra la proyección numérica de a → sobre una línea recta en la dirección b → con una longitud a → igual a 8 y un ángulo entre ellas de 60 grados. Por condición tenemos a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Esto significa que sustituimos los valores numéricos en la fórmula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Respuesta: 4.

Con cos conocido (a →, b → ^) = a ⇀, b → a → · b →, tenemos a →, b → como el producto escalar de a → y b →. Siguiendo la fórmula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , podemos encontrar la proyección numérica a → dirigida a lo largo del vector b → y obtener n p b → a → = a → , b → b → . La fórmula equivale a la definición dada al principio del párrafo.

Definición 3

La proyección numérica del vector a → sobre un eje que coincide en dirección con b → es la relación del producto escalar de los vectores a → y b → por la longitud b → . La fórmula n p b → a → = a → , b → b → es aplicable para encontrar la proyección numérica de a → sobre una línea que coincide en dirección con b → , con coordenadas conocidas a → y b →.

Ejemplo 3

Dado b → = (- 3, 4). Encuentre la proyección numérica a → = (1, 7) sobre L.

Solución

En el plano de coordenadas n p b → a → = a → , b → b → tiene la forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , con a → = (a x , a y ) y segundo → = segundo X , segundo y . Para encontrar la proyección numérica del vector a → sobre el eje L, necesita: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Respuesta: 5.

Ejemplo 4

Encuentra la proyección de a → sobre L, coincidiendo con la dirección b →, donde existen a → = - 2, 3, 1 y b → = (3, - 2, 6). Se especifica el espacio tridimensional.

Solución

Dado a → = a x , a y , a z y b → = b x , b y , b z , calculamos el producto escalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . La longitud b → se encuentra usando la fórmula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . De ello se deduce que la fórmula para determinar la proyección numérica a → será: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Sustituye los valores numéricos: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Respuesta: - 6 7.

Veamos la conexión entre a → en L y la longitud de la proyección a → en L. Dibujemos un eje L, sumando a → y b → desde un punto en L, después de lo cual dibujamos una línea perpendicular desde el extremo a → a L y dibujamos una proyección sobre L. Hay 5 variaciones de la imagen:

Primero el caso con a → = n p b → a → → significa a → = n p b → a → → , por lo tanto n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = norte p segundo → a → → .

Segundo el caso implica el uso de n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , lo que significa n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Tercero el caso explica que cuando n p b → a → → = 0 → obtenemos n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , entonces n p b → a → → = 0 y n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Cuatro el caso muestra n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , sigue n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - norte p b → a → → .

Quinto el caso muestra a → = n p b → a → → , lo que significa a → = n p b → a → → , por lo tanto tenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - una → = - norte p segundo → una → .

Definición 4

La proyección numérica del vector a → sobre el eje L, que se dirige de la misma manera que b →, tiene el siguiente valor:

• la longitud de la proyección del vector a → sobre L, siempre que el ángulo entre a → y b → sea menor que 90 grados o igual a 0: n p b → a → = n p b → a → → con la condición 0 ≤ (a → , segundo →) ^< 90 ° ;
• cero siempre que a → y b → sean perpendiculares: n p b → a → = 0, cuando (a → , b → ^) = 90 °;
• la longitud de la proyección a → sobre L, multiplicada por -1, cuando los vectores a → y b → forman un ángulo obtuso o llano: n p b → a → = - n p b → a → → con la condición de 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Ejemplo 5

Dada la longitud de la proyección a → sobre L, igual a 2. Encuentre la proyección numérica a → siempre que el ángulo sea 5 π 6 radianes.

Solución

De la condición se desprende claramente que este ángulo es obtuso: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Respuesta: - 2.

Ejemplo 6

Dado un plano O x y z con una longitud de vector a → igual a 6 3, b → (- 2, 1, 2) con un ángulo de 30 grados. Encuentre las coordenadas de la proyección a → sobre el eje L.

Solución

Primero, calculamos la proyección numérica del vector a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Por condición, el ángulo es agudo, entonces la proyección numérica a → = la longitud de la proyección del vector a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Este caso muestra que los vectores n p L a → → y b → son codirigidos, lo que significa que hay un número t para el cual la igualdad es verdadera: n p L a → → = t · b → . De aquí vemos que n p L a → → = t · b → , lo que significa que podemos encontrar el valor del parámetro t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Entonces n p L a → → = 3 · b → con las coordenadas de la proyección del vector a → sobre el eje L igual a b → = (- 2 , 1 , 2) , donde es necesario multiplicar los valores por 3. Tenemos n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Respuesta: (- 6, 3, 6).

Es necesario repetir la información previamente aprendida sobre la condición de colinealidad de los vectores.

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Respuesta:

Propiedades de proyección:

Propiedades de proyección vectorial

Propiedad 1.

La proyección de la suma de dos vectores sobre un eje es igual a la suma de las proyecciones de vectores sobre el mismo eje:

Esta propiedad permite sustituir la proyección de una suma de vectores por la suma de sus proyecciones y viceversa.

Propiedad 2. Si un vector se multiplica por el número λ, entonces su proyección sobre el eje también se multiplica por este número:

Propiedad 3.

La proyección del vector sobre el eje l es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo entre el vector y el eje:

Eje orto. Descomposición de un vector en vectores unitarios de coordenadas. Coordenadas vectoriales. Propiedades de coordenadas

Respuesta:

Vectores unitarios de los ejes.

Un sistema de coordenadas rectangular (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de vectores unitarios alineados con los ejes de coordenadas. El número de vectores unitarios es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.

En el caso tridimensional, los vectores unitarios suelen denotarse

Y también se pueden utilizar símbolos de flecha.

En este caso, en el caso de un sistema de coordenadas recto, son válidas las siguientes fórmulas con productos vectoriales de vectores unitarios:

Descomposición de un vector en vectores unitarios de coordenadas.

El vector unitario del eje de coordenadas se denota por , ejes por , ejes por (Fig.1)

Para cualquier vector que se encuentre en el plano, se produce la siguiente expansión:

si el vector ubicado en el espacio, entonces la expansión en vectores unitarios de los ejes de coordenadas tiene la forma:

Coordenadas vectoriales:

Para calcular las coordenadas de un vector, conociendo las coordenadas (x1; y1) de su inicio A y las coordenadas (x2; y2) de su final B, es necesario restar las coordenadas del principio de las coordenadas del final: ( x2 – x1; y2 – y1).

Propiedades de las coordenadas.

Considere una línea de coordenadas con origen en el punto O y el vector unitario i. Entonces, para cualquier vector a en esta recta: a = axi.

El número ax se llama coordenada del vector a en el eje de coordenadas.

Propiedad 1. Al sumar vectores sobre un eje, se suman sus coordenadas.

Propiedad 2. Cuando un vector se multiplica por un número, su coordenada se multiplica por ese número.

Producto escalar de vectores. Propiedades.

Respuesta:

El producto escalar de dos vectores distintos de cero es el número

igual al producto de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos.

Propiedades:

1. El producto escalar tiene la propiedad conmutativa: ab=ba

Producto escalar de vectores unitarios de coordenadas. Determinación del producto escalar de vectores especificados por sus coordenadas.

Respuesta:

Producto escalar (×) de vectores unitarios

(X)	I	j	k
I
j
k

Determinación del producto escalar de vectores especificados por sus coordenadas.

El producto escalar de dos vectores y dado por sus coordenadas se puede calcular mediante la fórmula

El producto cruzado de dos vectores. Propiedades de un producto vectorial.

Respuesta:

Tres vectores no coplanares forman una terna diestra si, desde el final del tercero, la rotación del primer vector al segundo se realiza en sentido antihorario. Si es en el sentido de las agujas del reloj, entonces hacia la izquierda. Si no, entonces en la dirección opuesta ( muestra cómo mostró con "asas")

Producto cruzado de un vector A a vector b llamado vector a partir del cual:

1. Perpendicular a los vectores A Y b

2. Tiene una longitud numéricamente igual al área del paralelogramo formado en a Y b vectores

3. Vectores, a, b, Y C formar un triplete de vectores a la derecha

Propiedades:

1.

3.

4.

Producto vectorial de vectores unitarios de coordenadas. Determinación del producto vectorial de vectores especificados por sus coordenadas.

Respuesta:

Producto vectorial de vectores unitarios de coordenadas.

Determinación del producto vectorial de vectores especificados por sus coordenadas.

Sean los vectores a = (x1; y1; z1) y b = (x2; y2; z2) dados por sus coordenadas en el sistema de coordenadas cartesiano rectangular O, i, j, k, y la triple i, j, k es diestro.

Expandamos a y b en vectores base:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Usando las propiedades del producto vectorial, obtenemos

[A; segundo] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Por la definición de producto vectorial encontramos

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = yo,

= j, = - yo. = 0.

Teniendo en cuenta estas igualdades, la fórmula (1) se puede escribir de la siguiente manera:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

La fórmula (2) da una expresión para el producto vectorial de dos vectores especificados por sus coordenadas.

La fórmula resultante es engorrosa, utilizando la notación de determinantes se puede escribir de otra forma que sea más conveniente para la memorización:

Por lo general, la fórmula (3) se escribe aún más breve: