EntradaLa función Definir conjunto muestra un conjunto. Pantallas
Estudiemos ahora algunas cuestiones relacionadas con las relaciones entre conjuntos.
Diremos que entre los conjuntos hay dado actitud(están en una relación) si algunos (posiblemente todos) los elementos de corresponden a algunos elementos de. Si un conjunto está en relación con un conjunto, entonces escribiremos:
Si al mismo tiempo un elemento está asociado con un elemento, entonces lo denotaremos
Definición 1.1.2. La relación entre conjuntos se llama mostrar, si a cada uno de ellos se le asigna un y sólo un elemento (ver Fig. 1.1.2. y 1.1.3). Con la especialización de la naturaleza de los conjuntos, surgen tipos especiales de mapeos, que tienen el nombre especial de “función”. " función vectorial", "operador", "medida", "funcional", etc. Los encontraremos más adelante.
Para denotar una función (mapeo) de v, usaremos la notación
Fig.1.1.2. Display Fig. 1.1.3 Relación que no es
mostrar
Definición 1.1.3. Si es un elemento de, entonces la elementiza correspondiente a él se llama imagen (cuando se muestra), y el conjunto de todos aquellos para los cuales se llama prototipo y se designa (ver Fig. 1.1.4).
Fig.1.1.4. Prototipob
Definición 1.1.4. El mapeo se llama mapeo uno a uno, si cada elemento tiene una imagen única bajo el mapeo y cada elemento tiene una imagen inversa única bajo este mapeo.
Fig.1.1.5. Mapeo uno a uno
En lo que sigue consideraremos sólo asignaciones, ya que existen técnicas que reducen asignaciones multivaluadas a asignaciones de un solo valor, a las que simplemente llamamos asignaciones.
El concepto de mapeo juega un papel crucial en matemáticas, en particular en el análisis matemático el lugar central lo ocupa el concepto. funciones, que es el mapeo de un conjunto numérico a otro.
1.7. poder de conjunto
Al estudiar las relaciones entre conjuntos, el "volumen" de los conjuntos, la cantidad de elementos que contienen, es de gran interés. Pero hablar del número de elementos es comprensible y justificado si este número es finito. Los conjuntos formados por un número finito de elementos se denominarán final . Sin embargo, muchos de los conjuntos considerados en matemáticas no son finitos, por ejemplo, el conjunto de los números reales, el conjunto de puntos del plano, el conjunto de funciones continuas definidas sobre un determinado segmento, etc. Para caracterizar cuantitativamente conjuntos infinitos (e incluso finitos), la teoría de conjuntos utiliza el concepto poder del conjunto .
Diremos que los conjuntos tienen mismo poder , si hay un mapeo uno a uno de un conjunto a un conjunto (tenga en cuenta que en este caso también hay un mapeo uno a uno del conjunto B al conjunto A).
Si los conjuntos tienen la misma cardinalidad, entonces diremos que equivalente , esto se designa: .
Sean conjuntos arbitrarios, entonces
aquellos. cualquier conjunto es equivalente a sí mismo; si un conjunto es equivalente a un conjunto, entonces equivalente; si, finalmente, un conjunto es equivalente a un conjunto que es equivalente a un conjunto, entonces equivalente.
Un conjunto equivalente a algún subconjunto propio se llama sin fin .
Si los conjuntos finitos tienen diferente número de elementos, entonces está claro que uno de ellos contiene menos elementos que el otro. ¿Cómo podemos comparar conjuntos infinitos en este sentido? Diremos que la cardinalidad de un conjunto es menor que la cardinalidad de un conjunto si existe un subconjunto del conjunto que es equivalente al conjunto, pero los conjuntos en sí no son equivalentes.
Cardinalidad de un conjunto finito igual al número de sus elementos. Para conjuntos infinitos, el concepto de "cardinalidad" es una generalización del concepto de "número de elementos".
Indiquemos algunas clases de conjuntos que son útiles para lo que sigue.
El conjunto se llama contable. , si tiene la misma cardinalidad que algún subconjunto del conjunto (conjunto de números naturales). Un conjunto contable puede ser finito o infinito.
Un conjunto infinito es contable si y sólo si es equivalente al conjunto de los números naturales.
Tenga en cuenta que cualquier conjunto cuya cardinalidad sea menor que la cardinalidad de un conjunto contable infinito es finito.
El conjunto de los números reales en el intervalo de cero a uno tiene continuo de poder , y a menudo se le llama continuo . La cardinalidad de este conjunto es mayor que la cardinalidad de un conjunto contable infinito. Surge la pregunta: ¿existe un conjunto cuya cardinalidad sea mayor que la cardinalidad de un conjunto contable infinito, pero menor que la cardinalidad del continuo? Este problema fue formulado en 1900 por uno de los matemáticos más importantes del mundo, David Hilbert. Resultó que este problema tiene una respuesta un tanto inesperada: podemos suponer que dicho conjunto existe, o podemos suponer que no existe. Las teorías matemáticas resultantes serán consistentes. La prueba de este hecho fue presentada por el científico estadounidense Cohen en 1965 en el Congreso Mundial de Matemáticos en Moscú. Tenga en cuenta que la situación con este problema recuerda la situación con el quinto postulado de Euclides: a través de un punto que se encuentra fuera de una línea dada, solo se puede trazar una línea paralela a la dada. Como demostró Lobachevsky, el rechazo de este postulado no conduce a contradicciones. Podemos construir geometrías para las que este postulado es válido y geometrías para las que no es cierto.
En conclusión, damos varios ejemplos que demuestran la metodología para demostrar la equivalencia de conjuntos.
Ejemplo 1.11. El conjunto de los números enteros es contable.
Está claro que el conjunto en cuestión es infinito (el conjunto de los números naturales es su subconjunto).
Para demostrar la contabilidad de un conjunto de números enteros, es necesario construir una correspondencia uno a uno entre el conjunto de números naturales y el conjunto en cuestión. El mapeo requerido viene dado por la regla: organice los números enteros de la siguiente manera:
y renumerarlos con números naturales, asignándoles números (se indican junto a los números enteros en cuestión). Obviamente, cada número entero recibirá un número diferente, y diferentes números recibirán números diferentes. Lo contrario también es cierto: para cada número natural (para cada número) también hay un único número entero debajo de este número. De este modo, se construye el mapeo uno a uno requerido.
Ejemplo 1.12. El conjunto de los números racionales es contable.
Se sabe que cualquier número racional se puede representar como una fracción irreducible p/q, utilizando esta representación ordenaremos los números racionales de acuerdo con el esquema:
. . . . . .
Renumeremos estos números aproximadamente de la misma manera que en el ejemplo anterior (los números se indican en la parte superior entre paréntesis al lado de los números). Es fácil verificar que la regla formulada para numerar números racionales proporciona la correspondencia uno a uno requerida del conjunto de números naturales al conjunto de números racionales.
Ejemplo 1.13. La unión de un conjunto contable de conjuntos contables es un conjunto contable.
La prueba de este hecho es similar a la prueba de la afirmación del ejemplo anterior.
En conclusión, presentamos una declaración importante para una mayor discusión. Pero para ello necesitamos una operación más en los conjuntos.
Producto directo de conjuntos. Y( producto cartesiano ) es el conjunto de todos los pares ordenados , donde y. Este conjunto está designado. De este modo:
Denotaremos el producto de factores.
Teorema 1.1. para cualquier conjunto infinito Además.
En particular, es decir el conjunto de puntos de una recta tiene la misma cardinalidad que el conjunto de puntos de un plano. Además, hay tantos puntos en el espacio como en una línea recta.
Con esto concluye nuestro conocimiento de los conceptos básicos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos, los fundamentos de las matemáticas modernas. Tengamos en cuenta que, lamentablemente, muchos aspectos de estas teorías quedaron fuera del alcance de este capítulo; puede familiarizarse con ellos, por ejemplo, en y.
Suryección, inyección y biyección.
La regla que define la aplicación f: X (o la función /) se puede representar convencionalmente mediante flechas (Fig. 2.1). Si hay al menos un elemento en el conjunto Y al que ninguna de las flechas apunta, entonces esto indica que el rango de valores de la función f no llena todo el conjunto Y, es decir f(X)CY.
Si el rango de valores / coincide con Y, es decir f(X) = Y, entonces dicha función se llama sobreyectiva) o, en resumen, sobreyección, y se dice que la función / mapea el conjunto X en el conjunto Y (en contraste con el caso general de mapear el conjunto X en el conjunto Y según la Definición 2.1). Entonces, / : X es una sobreyección si Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. En este caso, en la figura, al menos una flecha conduce a cada elemento del conjunto Y (Fig. 2.2). En este caso, varias flechas pueden conducir a algunos elementos de Y. Si no más de una flecha conduce a cualquier elemento y € Y, entonces / se llama función inyectiva o inyección. Esta función no es necesariamente sobreyectiva, es decir las flechas no conducen a todos los elementos del conjunto Y (Fig. 2.3).
- Entonces, la función /: X -Y Y es una inyección si dos elementos diferentes de X tienen como imágenes al mapear / dos elementos diferentes de Y, o Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Suryección, inyección y biyección. Mapeo inverso. La composición de mapeos es producto de conjuntos. Horario de visualización. La aplicación /: X->Y se llama biyectiva o biyección, si cada elemento de y 6 Y es la imagen de algún y único elemento de X, es decir Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.
En un caso particular, los conjuntos X e Y pueden coincidir (X = Y). Entonces la función biyectiva asignará el conjunto X a sí misma. La biyección de un conjunto sobre sí mismo también se denomina transformación. 2.3. Mapeo inverso Sea /: X -? Y es una cierta biyección y sea y € Y. Denotemos por /_1(y) el único elemento x € X tal que /(r) = y. Así definimos una aplicación 9: Y Xу que es nuevamente una biyección. Se llama mapeo inverso o biyección inversa a /. A menudo también se le llama simplemente función inversa y se denota /"*. En la figura 2.5, la función d es precisamente la inversa de /, es decir, d = f"1.
Ejemplos de soluciones en problemas.
Las asignaciones (funciones) / y son mutuamente inversas. Está claro que si una función no es una biyección, entonces su función inversa no existe. De hecho, si / no es inyectivo, entonces algún elemento y € Y puede corresponder a varios elementos x del conjunto X, lo que contradice la definición de función. Si / no es sobreyectiva, entonces hay elementos en Y para los cuales no hay preimágenes en X, es decir, para estos elementos la función inversa no está definida. Ejemplo 2.1. A. Sea X = Y = R - un conjunto de números reales. La función /, definida por la fórmula y = For - 2, i,y € R, es una biyección. La función inversa es x = (y + 2)/3. b. La función real f(x) = x2 de una variable real x no es sobreyectiva, ya que los números negativos de Y = R no son imágenes de elementos de X = K como /: Γ -> Y. Ejemplo 2.2. Sean A" = R, e Y = R+ el conjunto de números reales positivos. La función f(x) = ax, a > 0, af 1, es una biyección. La función inversa será Z"1 (Y) = 1°8a Y
- Suryección, inyección y biyección. Mapeo inverso. La composición de mapeos es producto de conjuntos. Horario de visualización. 2.4. Composición de mapeos Si f:X-*Y y g:Y-*Zy entonces el mapeo (p:X -+Z, definido para cada a: 6 A" por la fórmula =, se llama composición (superposición) de mapeos (funciones) / y d> o una función compleja, y se denomina rho/ (figura 2.6).
- Por lo tanto, una función compleja antes de f implementa la regla: i Aplicar / primero, y luego di, es decir en la composición de operaciones “antes / debes comenzar con la operación / ubicada a la derecha. Tenga en cuenta que la composición Fig. 2.6 las asignaciones son asociativas, es decir, si /: X -+Y, d: Y Z y h: Z-*H> entonces (hog)of = = ho(gof)i, que es más fácil de escribir en la forma ho a /. Comprobemos esto de la siguiente manera: En cualquier wK "oaicecmee X se define una aplicación 1x -X X, llamada idéntica, a menudo también denotada por idx y dada por la fórmula Ix(x) = x Vx € A". Su acción es que deja todo en su lugar.
Cada punto M puede asociarse con un par (i, y) de números reales donde x es la coordenada del punto Mx en el eje de coordenadas Ox, e y es la coordenada del punto Mu en el eje de coordenadas Oy. Los puntos Mx y Mu son las bases de las perpendiculares que caen desde el punto M en los ejes Ox y Oy, respectivamente. Los números xey se denominan coordenadas del punto M (en el sistema de coordenadas seleccionado), x se denomina abscisa del punto M e y es la ordenada de este punto. Es obvio que cada par (a, b) de números reales a, 6 6R corresponde a un punto M del plano, que tiene estos números como coordenadas. Y a la inversa, cada punto M del plano corresponde a un par (a, 6) de números reales a y 6. En el caso general, los pares (a, b) y (6, a) definen puntos diferentes, es decir Es importante cuál de los dos números a y b aparece primero en la designación del par. Por tanto, estamos hablando de un par ordenado. En este sentido, los pares (a, 6) y (6, a) se consideran iguales entre sí y definen el mismo punto en el plano, siempre que a = 6. Suryección, inyección y biyección. Mapeo inverso.
La composición de mapeos es producto de conjuntos. Horario de visualización. El conjunto de todos los pares de números reales, así como el conjunto de puntos del plano, se denota por R2. Esta designación está asociada con el importante concepto en la teoría de conjuntos de producto directo (o dek-artov) de conjuntos (a menudo se habla simplemente de producto de conjuntos). Definición 2.2. El producto de los conjuntos A y B es el conjunto Ax B de posibles pares ordenados (x, y), donde el primer elemento se toma de A y el segundo de B, de modo que la igualdad de dos pares (x, y) y (&", y") está determinada por las condiciones x = x" e y = y7. Los pares (i, y) y (y, x) se consideran diferentes si xy. Es especialmente importante tener esto en cuenta cuando los conjuntos A y B coincide Por lo tanto, en el caso general A x B f B x A, es decir, el producto de conjuntos arbitrarios no es conmutativo, pero sí distributivo con respecto a la unión, intersección y diferencia de conjuntos: donde denota uno de los tres nombrados operaciones. El producto de conjuntos difiere significativamente de las operaciones indicadas en dos conjuntos. El resultado de realizar estas operaciones es un conjunto cuyos elementos (si no está vacío) pertenecen a uno o ambos conjuntos originales. Los elementos del producto de Los conjuntos pertenecen al nuevo conjunto y representan objetos de un tipo diferente en comparación con los elementos de los conjuntos originales. Similar a la Definición 2.2
Podemos introducir el concepto de producto de más de dos conjuntos. Los conjuntos (A x B) x C y A*x (B x C) se identifican y se denotan simplemente A x B x C, entonces. Funciona Ah Au Ah Ah Ah Ah, etc. denotado, por regla general, por A2, A3, etc. Obviamente, el plano R2 puede considerarse como el producto R x R de dos copias del conjunto de números reales (de ahí la designación del conjunto de puntos del plano como producto de dos conjuntos de puntos en la recta numérica). El conjunto de puntos en el espacio geométrico (tridimensional) corresponde al producto R x R x R de tres copias del conjunto de puntos en la recta numérica, denotado R3.
- El producto de n conjuntos de números reales se denota por Rn. Este conjunto representa todas las colecciones posibles (xj, X2, xn) de n números reales X2) xn £ R, y cualquier punto x* de Rn es una colección (xj, x, x*) de números reales xn £ K*
- El producto de n conjuntos arbitrarios es un conjunto de colecciones ordenadas de n elementos (generalmente heterogéneos). Para tales conjuntos, se utilizan los nombres tupla o n-ka (pronunciado “enka”). Ejemplo 2.3. Sean A = (1, 2) y B = (1, 2). Entonces el conjunto A x B puede identificarse con cuatro puntos del plano R2, cuyas coordenadas se indican al enumerar los elementos de este conjunto. Si C = (1,2) y D = (3,4), entonces Ejemplo 2.4 Sea entonces La interpretación geométrica de los conjuntos E x F y F x E se presentan en la Fig. 2.8 # Para el mapeo /: X, podemos crear un conjunto de pares ordenados (r, y), que es un subconjunto del producto directo X x Y.
- Tal conjunto se llama gráfica de la aplicación f (o gráfica de la función i*" - Ejemplo 2.5. En el caso de XCR e Y = K, cada par ordenado especifica las coordenadas de un punto en el plano R2. Si X es un intervalo de la recta numérica R, entonces la gráfica de la función puede representar alguna recta (Fig. 2.9) Ejemplo 2.6 Está claro que con XCR2 e Y = R la gráfica de la función es un cierto conjunto de puntos en R3 , que puede representar una determinada superficie (Fig. 2.10).
La pantalla %%f%% se llama inyectivo,
si para cualquier elemento %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, se deduce que %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$
En otras palabras, el mapeo %%f%% es inyectivo si las imágenes de diferentes elementos de %%X%% también son diferentes.
Ejemplo
La función %%f(x) = x^2%%, definida en el conjunto %%\mathbb(R)%%, no es inyectiva, ya que con %%x_1 = -1, x_2 = 1%% obtenemos el Lo mismo valor de función %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.
Mapeo sobreyectivo
La pantalla %%f%% se llama sobreyectivo, si por cada elemento %%y \in Y%% existe un elemento %%x \in X%% con la condición de que %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$
En otras palabras, el mapeo %%f%% es sobreyectivo si cada elemento %%y \in Y%% es la imagen de al menos un elemento %%x \in X%%.
Ejemplo
El mapeo %%f(x) = \sin(x)%%, definido en el conjunto %%\mathbb R%%, con el conjunto %%Y = [-2,2]%% no es sobreyectivo, porque para el elemento %%y = 2 \in Y%% no se puede encontrar la imagen inversa de %%x \in X%%.
mapeo biyectivo
La pantalla %%f%% se llama biyectivo, si es inyectivo y sobreyectivo. El mapeo biyectivo también se llama cara a cara o transformación.
Normalmente, las frases “mapeo inyectivo”, “mapeo sobreyectivo” y “mapeo biyectivo” se reemplazan por “inyección”, “sobreyección” y “biyección”, respectivamente.
mapeo inverso
Sea %%f: X \to Y%% algo biyección y vamos %%y \in Y%%. Denotemos por %%f^(-1)(y)%% el único elemento %%x \in X%% tal que %%f(x) = y%%. Así definiremos algunas nuevas mostrar%%g: Y \to X%%, que nuevamente es una biyección. la llaman mapeo inverso.
Ejemplo
Sea %%X, Y = \mathbb R%% el conjunto de los números reales. La función %%f%% viene dada por la fórmula %%y = 3x + 3%%. ¿Esta función tiene inversa? ¿Si sí, cual?
Para saber si una función dada tiene su inversa, es necesario verificar si es biyección. Para hacer esto, verifiquemos si este mapeo es inyectivo Y sobreyectivo.
- Comprobemos la inyección. Sea %%x_1 \neq x_2%%. Comprobemos que %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, es decir, %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Supongamos lo contrario, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Entonces resulta que %%x_1 = x_2%%. Tenemos una contradicción, porque %%x_1 \neq x_2%%. Por lo tanto, %%f%% es una inyección.
- Vamos a revisar sobreyección. Sea %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Encontremos el elemento %%x \in X = \mathbb(R)%% con la condición de que %%f(x) = y%%, es decir, %%3x + 3 = y%%. En esta igualdad se especifica el elemento %%y \in \mathbb(R)%% y necesitamos encontrar el elemento %%x%%. Obviamente, $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Por lo tanto, el mapeo %%f%% es sobreyectivo.
Dado que %%f%% es una inyección y una sobreyección, entonces %%f%% es una biyección. Y, en consecuencia, el mapeo inverso es %%x = \frac(y-3)(3)%%.
CONJUNTOS DE MAPEO §1. Definiciones basicas
Definición. Sean A y B dos conjuntos. Dicen que se da una aplicación f de un conjunto A a B si se especifica una ley según la cual cualquier elemento a de A está asociado con un solo elemento b del conjunto B:
Las asignaciones también se denominan funciones.
Vamos a utilizar la siguiente notación:
ƒ : A→ B. La aplicación f lleva el conjunto A a B;
A f B. El conjunto A se asigna a B cuando se asigna f.
Si el elemento a, cuando se asigna f, va al elemento b, entonces escriba f(a)=b (entrada izquierda) o af=b (entrada derecha). El elemento b se llama imagen del elemento a bajo el mapeo f; el elemento a es la imagen inversa de b para
esta pantalla. El conjunto ( f (a ) | a A ) = f (A ) es la imagen del conjunto A bajo el mapeo f. Tenga en cuenta que
f(A)B.
A B
ff(A)
A - dominio mapeo f; EN - rango mapeo f (a veces, por ejemplo, en matemáticas escolares, el rango de valores se considera f(A), pero lo consideraremos B).
Tenga en cuenta que sólo consideramos asignaciones de un solo valor.
De todas las pantallas, se distinguen especialmente los siguientes tipos:
1. Sobreyección (mapeo "encendido") es una aplicación f : A → B tal que f (A ) = B . Bajo sobreyección, cada elemento del conjunto B tiene al menos una imagen inversa.
2. Inyección: un mapeo en el que diferentes elementos se transforman en otros diferentes, es decir, si a, a 1 A y a ≠ a 1, entonces f (a) ≠ f (a 1).
f(a1) |
|||||
3. Biyección, o mapeo uno a uno Es un mapeo que es a la vez una inyección y una sobreyección.
Ejemplos de pantallas:.
1. Sea A un conjunto cualquiera y B un conjunto que consta de un elemento, es decir B=(b).
A . b
La aplicación f (a) = b, a A es una sobreyección, porque f(A)=B.
2. Sea el conjunto A un segmento del plano y el conjunto B una recta. Desde cada punto del segmento A bajamos una perpendicular a la recta B y ponemos las bases de estas perpendiculares en correspondencia con los puntos del segmento A.
una una
φ(a)V
Denotemos este mapeo por φ. Obviamente,
ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.
Por lo tanto, el mapeo φ es una inyección (pero no una sobreyección).
3. Sea el conjunto A la hipotenusa de un triángulo rectángulo y B su cateto. Asociamos cualquier punto de la hipotenusa con su proyección sobre el cateto. Obtenemos un mapeo uno a uno de A a B:
aquellos. f es una biyección.
Tenga en cuenta que así es como las matemáticas demuestran que el “número” de puntos de la hipotenusa y el cateto son iguales (más precisamente, estos conjuntos tienen la misma cardinalidad).
Comentario. No es difícil encontrar un mapeo que no sea ni sobreyección, ni inyección, ni biyección.
4. Si f es cualquier función de una variable real, entonces f es una aplicación de R a R.
§2. Multiplicación de mapas
Sean A, B, C tres conjuntos y se den dos aplicaciones f : A → B y ϕ : B → C.
Definición 1. El producto de estos mapeos es el mapeo que se obtiene como resultado de su ejecución secuencial.
ϕf
Hay dos opciones de grabación.
1. Entrada izquierda. |
||
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c. |
denota ϕ f: |
|
Entonces el producto de f y φ será |
traduce a a c, debería ser |
|
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (ver figura anterior). |
||
Por definición (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) , |
aquellos. producto de mapeos – |
esta es una función compleja |
establecido en A. |
||
2. Entrada derecha.
aƒ =b, bϕ =c. Entonces a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,
f ϕ : A → C.
Usaremos la notación izquierda (tenga en cuenta que el libro usa la notación derecha). A continuación denotaremos el producto de mapeos por f ϕ.
Nota 1. De la definición de multiplicación de asignaciones se deduce que no se pueden multiplicar todas las asignaciones, sino sólo aquellas cuyos conjuntos "promedio" sean iguales. Por ejemplo, si f : A → B ,ϕ : D → C , entonces para B=D las asignaciones f y φ se pueden multiplicar, pero para B≠D no es posible.
Propiedades de la multiplicación de mapas
Definición 2. Los mapas f y g se denominan iguales si sus dominios de definición y rangos de valores coinciden, es decir f : A → B , g : A → B y se cumple la condición: a A es verdadera
igualdad f (a) = g (a).
1. La multiplicación de mapas no es conmutativa. En otras palabras, si fφ y φf existen, entonces no son necesariamente iguales.
Sean, por ejemplo, los conjuntos A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) Consideremos los productos:
(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sen x) = e sen x,
(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = pecado(e x ).
Por tanto, las funciones fφ y φf son diferentes.
2. La multiplicación de asignaciones es asociativa.
Sea f: A → B, ϕ: B → C, ψ: C → D. Probemos que (ψϕ ) f
E x , f : R → R, ϕ : R → R .
y ψ (ϕ f ) existen y son iguales, es decir (ψϕ ) f =
ψ (ϕf) . (1)
Es obvio que (ψϕ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .
Para demostrar la igualdad (1), en virtud de la definición de igualdad de aplicaciones, es necesario comprobar que a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Usando la definición de multiplicación de mapeo (en la entrada de la izquierda)
((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )), |
(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)
Porque en las igualdades (3) y (4) si los lados derechos son iguales, entonces los lados izquierdos también son iguales, es decir la igualdad (2) es verdadera y entonces (1) también es verdadera.
Observación 2. La asociatividad de la multiplicación nos permite determinar de forma única el producto de tres y luego cualquier número finito de factores.
varias preimágenes en A, o ninguna preimágenes en absoluto. Sin embargo, para un mapa biyectivo f se puede definir lo contrario.
Sea f : A → B una biyección, f (a) = b, a A, b B. Entonces, para cualquier elemento b B, por definición de biyección, existe una imagen inversa única bajo el mapeo f: este es el elemento a. Ahora podemos definir f − 1 : B → A estableciendo f − 1 (b ) = a (b B ) . Es fácil ver que f − 1 es una biyección.
Entonces, cada aplicación biyectiva tiene una inversa.
§3. Establecer transformaciones
Cualquier mapeo f : A → A se llama transformación del conjunto R. En particular, cualquier
una función de una variable real es una transformación del conjunto R.
Ejemplos de transformaciones de un conjunto de puntos en un plano son la rotación del plano, la simetría alrededor de un eje, etc.
Dado que las transformaciones son un caso especial de asignaciones, todo lo dicho anteriormente sobre las asignaciones es válido para ellas. Pero la multiplicación de transformaciones del conjunto A también tiene propiedades específicas:
1. para cualquier transformación f y φ del conjunto A, existen los productos fφ y φf;
2. hay una transformación de identidad del conjunto Aε: ε (a) = a, a A.
Es fácil ver que para cualquier transformación f de este conjunto f ε = ε f = f, ya que, por ejemplo, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Esto significa que la transformación ε juega el papel del elemento unitario al multiplicar transformaciones.
las igualdades son fáciles de comprobar. Por tanto, la transformación inversa desempeña el papel de elemento inverso al multiplicar transformaciones.
Pantallas (funciones)
Las funciones desempeñan un papel central en matemáticas, donde se utilizan para describir cualquier proceso en el que elementos de un conjunto se transforman de alguna manera en elementos de otro. Estas transformaciones de elementos son una idea fundamental de suma importancia para todos los procesos computacionales.
Definición. La relación f sobre AB se llama mostrar (función) de A a B si para cada xA existe uno y sólo un yB. establecer equivalencia de relación binaria
f: AB o y=f(x)
El conjunto A se llama dominio de definición. Conjunto B - rango de valores.
Si y=f(x), entonces x se llama argumento, y y - valor de la función.
Sea f: AB, entonces
conjunto de definiciones Características:
múltiples significados Características:
El conjunto de definición de una función es un subconjunto del dominio de definición, es decir Dom f A, y el conjunto de valores de la función es un subconjunto del rango de la función, es decir Im f B. Si, entonces la función se llama función total, y si es función parcial. Por tanto, un diagrama de Venn sirve como una ilustración conveniente de una función definida en un conjunto A con valores en el conjunto B.
Métodos para especificar una función:
- 1) Verbales.
- 2) Analítico.
- 3) Usando un gráfico o dibujo.
- 4) Uso de tablas.
Definición. Si MA, entonces el conjunto f(M)=y f(x)=y para algún x de M se llama forma establece m.
Si KB, entonces el conjunto f -1 (K)=x f(x)K se llama prototipo establece K.
Definición La función se llama función de n argumentos o función n-aria. Esta función asigna una tupla al elemento bB,.
Propiedades de las asignaciones (funciones).
1) El mapeo f:AB se llama inyectivo, si asigna diferentes elementos de A a diferentes elementos de B: .
Esta propiedad se puede mostrar mediante diagramas de Venn.
2) El mapeo f:AB se llama sobreyectivo o un mapeo al conjunto B completo, si al menos un elemento de A se mapea a cada elemento del conjunto B: .
Esta propiedad también se puede mostrar mediante diagramas de Venn.
3) La aplicación f:AB, que es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se llama biyectivo o un mapeo uno a uno del conjunto A al conjunto B.
Ejemplo. Se nos da una aplicación f:RR, que se define de tal manera que. Descubra qué propiedades tiene este mapeo.
Solución. La función f no es inyectiva, porque f (2)=f (2), pero 2 2.
La función f tampoco es sobreyectiva, ya que no existe un número real x para el cual f (x) = 1.
Definición. Sea f una aplicación biyectiva de un conjunto A en un conjunto B. Si asociamos cada elemento de B con un elemento asociado de A, entonces dicha correspondencia es una aplicación de B en A. Esta aplicación se denota y se llama la aplicación inversa a f.
La aplicación inversa tiene algunas propiedades que formularemos en el siguiente teorema.
Teorema 3. Si f: AB es una biyección, entonces
1) para cualquier y de B;
2) para cualquier x de A.
Prueba. 1) Sea yB y. Entonces f(x)=y. Pero desde
2) De manera similar, se demuestra que para cualquier x de A.
Definición. Composición (superposición, trabajo) Las asignaciones f: AB y g: BC se denominan asignaciones h:, que se escriben h=g f.
Esta forma de escribir una superposición de funciones se explica por el hecho de que la designación de la función generalmente se escribe a la izquierda de la lista de argumentos:
