Curvas planas especiales. Ecuación cicloide paramétrica y ecuación en coordenadas cartesianas Fórmula cicloide

Los ejemplos analizados nos ayudaron a acostumbrarnos a los nuevos conceptos de evoluta e involuta. Ahora estamos suficientemente preparados para estudiar el desarrollo de curvas cicloidales.

Mientras estudiábamos tal o cual curva, a menudo construíamos una curva auxiliar, una "compañera" de esta curva.

Arroz. 89. Cicloide y su asistente.

Entonces, construimos concoides de una línea recta y un círculo, un desarrollo de un círculo, una sinusoide, una compañera de una cicloide. Ahora, basándonos en esta cicloide, construiremos una cicloide auxiliar indisolublemente ligada a ella. Resulta que el estudio conjunto de un par de cicloides de este tipo es, en algunos aspectos, más sencillo que el estudio de una cicloide individual. A esta cicloide auxiliar la llamaremos cicloide acompañante.

Consideremos la mitad del arco de la cicloide AMB (Fig. 89). No deberíamos avergonzarnos de que esta cicloide esté situada de forma inusual (“al revés”).

Dibujemos 4 líneas rectas paralelas a la línea guía AK a las distancias a, 2a, 3a y 4a. Construyamos un círculo generador en la posición correspondiente al punto M (en la Fig. 89 el centro de este círculo está indicado con la letra O). Denotaremos el ángulo de rotación de MON por . Entonces el segmento AN será igual (el ángulo se expresa en radianes).

Continuamos el diámetro NT del círculo generador más allá del punto T hasta la intersección (en el punto E) con la recta PP. Usando TE como diámetro construiremos un círculo (con centro ). Construyamos una tangente en el punto M a la cicloide AMB. Para hacer esto, el punto M debe, como sabemos, estar conectado al punto T (p. 23). Continuamos la tangente MT más allá del punto T hasta que se cruza con el círculo auxiliar, y llamamos al punto de intersección . Este es el punto que ahora queremos abordar.

Denotamos el ángulo MON por Por lo tanto, el ángulo MTN será igual a (el ángulo inscrito basado en el mismo arco). Evidentemente el triángulo es isósceles. Por lo tanto, no sólo el ángulo, sino también el ángulo serán iguales, por lo que quedan exactamente radianes para la fracción del ángulo en el triángulo (recuerde que un ángulo de 180° es igual a radianes). También observamos que el segmento NK es obviamente igual a ().

Consideremos ahora el círculo con centro que se muestra en la Fig. 89 línea discontinua. Del dibujo queda claro qué tipo de círculo es este. Si lo hacemos rodar sin deslizarnos a lo largo de la línea recta CB, entonces su punto B describirá la cicloide BB. Cuando el círculo discontinuo gira a lo largo del ángulo , el centro llegará al punto y el radio tomará la posición. Por lo tanto, el punto que construido resulta ser un punto de la cicloide BB,

La construcción descrita asocia cada punto M de la cicloide AMB con un punto de la cicloide en la Fig. 90 esta correspondencia se muestra más claramente. La cicloide así obtenida se llama acompañante. En la Fig. 89 y 90, las cicloides representadas con líneas discontinuas gruesas se acompañan en relación con las cicloides representadas con líneas continuas gruesas.

De la Fig. 89 está claro que la línea recta es normal en un punto a la cicloide que la acompaña. En efecto, esta recta pasa por el punto de la cicloide y por el punto T de tangencia del círculo generador y de la línea directora (el punto “más bajo” del círculo generador, como dijimos una vez; ahora resultó ser el “más alto” porque el dibujo está girado).

Pero esta misma línea recta, por construcción, es tangente a la cicloide "principal" AMB. Por tanto, la cicloide original toca todas las normales de la cicloide que la acompaña. Es la envoltura de las normales de la cicloide que la acompaña, es decir, su evoluta. ¡Y la cicloide “que la acompaña” resulta ser simplemente una involuta (despliegue) de la cicloide original!

Arroz. 91 Correspondencia entre los puntos de la cicloide y su acompañante.

Al emprender esta construcción engorrosa, pero esencialmente simple, demostramos un teorema notable descubierto por el científico holandés Huygens. Aquí está este teorema: la evolución de una cicloide es exactamente la misma cicloide, sólo que desplazada.

Habiendo construido una evoluta no para un arco, sino para toda la cicloide (lo que, por supuesto, sólo se puede hacer mentalmente), luego una evoluta para esta evoluta, etc., obtenemos la Fig. 91, parecidos a azulejos.

Prestemos atención al hecho de que al demostrar el teorema de Huygens no utilizamos estimaciones infinitesimales, indivisibles o aproximadas. Ni siquiera usábamos la mecánica; a veces usábamos expresiones tomadas de la mecánica. Esta prueba está completamente en el espíritu del razonamiento utilizado por los científicos del siglo XVII, cuando querían fundamentar estrictamente los resultados obtenidos utilizando diversas consideraciones importantes.

Del teorema de Huygens se desprende inmediatamente un corolario importante. Considere el segmento AB en la Fig. 89. La longitud de este segmento es obviamente 4a. Imaginemos ahora que se enrolla un hilo alrededor del arco AMB de la cicloide, fijado en el punto A y equipado con un lápiz en el punto B. Si “enrollamos” el hilo, el lápiz se moverá a lo largo del desarrollo de la cicloide AMB. , es decir, a lo largo de la cicloide BMB.

Arroz. 91 Evoluciones sucesivas de la cicloide.

La longitud del hilo, igual a la longitud del semiarco de la cicloide, será obviamente igual al segmento AB, es decir, como hemos visto, 4a. En consecuencia, la longitud de todo el arco de la cicloide será igual a 8a, y la fórmula ahora puede considerarse estrictamente probada.

De la Fig. 89 puedes ver más: la fórmula no solo para la longitud de todo el arco de la cicloide, sino también para la longitud de cualquiera de sus arcos. De hecho, es obvio que la longitud del arco MB es igual a la longitud del segmento, es decir, el segmento doble tangente en el punto correspondiente de la cicloide, contenido dentro del círculo generador.

Cyclomis (del griego khklpeidYut - redondo) es una curva trascendental plana. Una cicloide se define cinemáticamente como la trayectoria de un punto fijo de un círculo generador de radio r, que rueda sin deslizarse en línea recta.

Ecuaciones

Tomemos el eje de coordenadas horizontal como la línea recta a lo largo de la cual rueda el círculo generador de radio r.

· La cicloide se describe mediante ecuaciones paramétricas.

Ecuación en coordenadas cartesianas:

· La cicloide se puede obtener como solución de la ecuación diferencial:

Propiedades

• · cicloide - función periódica a lo largo del eje x, con un período de 2рr. Es conveniente tomar puntos singulares (puntos de retorno) de la forma t = 2рk, donde k es un número entero arbitrario, como límites del período.
• · Para trazar una tangente a una cicloide en un punto arbitrario A, basta con conectar este punto con el punto superior del círculo generador. Al conectar A con el punto inferior del círculo generador, obtenemos la normal.
• · La longitud del arco cicloide es 8r. Esta propiedad fue descubierta por Christopher Wren (1658).
• · El área bajo cada arco de la cicloide es tres veces mayor que el área del círculo generador. Torricelli afirma que este hecho fue descubierto por Galileo.
• ·El radio de curvatura del primer arco de la cicloide es igual.

• · La cicloide “invertida” es una curva de descenso más pronunciado (braquistócrona). Además, también tiene la propiedad de la tautocronía: un cuerpo pesado colocado en cualquier punto del arco cicloide alcanza la horizontal al mismo tiempo.
• · El período de oscilación de un punto material que se desliza a lo largo de una cicloide invertida no depende de la amplitud; este hecho fue utilizado por Huygens para crear relojes mecánicos de precisión.
• · La evoluta de una cicloide es una cicloide congruente con la original, es decir, paralelamente desplazada de modo que los vértices se convierten en “puntos”.
• · Las piezas de máquinas que realizan simultáneamente movimientos de rotación y traslación uniformes describen curvas cicloidales (cicloide, epicicloide, hipocicloide, trocoide, astroide) (cf. construcción de la lemniscata de Bernoulli).

La longitud del arco de una cicloide fue calculada por primera vez por el arquitecto y matemático inglés Wren en 1658. Wren partió de consideraciones mecánicas que recuerdan a los primeros trabajos de Torricelli y Roberval. Consideró la rotación de un círculo rodante en un ángulo muy pequeño cerca del punto "inferior" del círculo generador. Para dar fuerza demostrativa a las sugerentes consideraciones de Wren, sería necesario considerar toda una serie de teoremas auxiliares y, en consecuencia, sería necesario gastar demasiado trabajo.

Es mucho más conveniente utilizar un camino más largo pero suave. Para hacer esto, es necesario considerar la curva especial que tiene cada curva plana: su desarrollo.

Considere un arco convexo AB de una línea curva (figura 4.1). Imaginemos que un hilo flexible e inextensible de la misma longitud que el propio arco AB está unido al arco AB en el punto A, y este hilo se "envuelve" en la curva y se ajusta firmemente a ella, de modo que su extremo coincida con el punto B. “Desdoblaremos”: enderezaremos el hilo, manteniéndolo tenso, de modo que la parte libre del hilo CM siempre quede dirigida tangencialmente al arco AB. En estas condiciones, el final del hilo describirá una determinada curva. Esta curva se llama desarrollo o, en latín, evolvente curva original.

Si el arco de la curva no es convexo en todas partes en una dirección, si es como la curva AB de la figura. 4.2, tiene un punto C en el que la tangente a la curva pasa de un lado al otro (dicho punto se llama punto de inflexión), entonces en este caso podemos hablar del desarrollo de la curva, pero el razonamiento tendrá ser un poco más complicado.

Imaginemos que el hilo está fijado exactamente en el punto de inflexión C (Fig. 4.2). El hilo que se desenrolla del arco BC describirá la curva BMR: el escaneo.

Ahora imaginemos un hilo enrollado alrededor del arco AC de la curva original, pero este hilo ya está alargado: en el punto C se le ata un trozo de hilo CP. Al enrollar el hilo ACP alargado con la curva CA, obtenemos un arco de ARN que, junto con el arco BMP, forma una única curva continua, continua, pero no uniforme en todas partes: el punto de desviación C de la curva original corresponderá al Punta (punto de retorno) de la curva BMRNA: la curva BMRNA será la involuta (barrido) de la curva BCA.

Estos ejemplos nos ayudaron a acostumbrarnos a los nuevos conceptos de evoluta e involuta. Ahora estudiemos el desarrollo de las curvas cicloidales.

Al estudiar tal o cual curva, a menudo construimos una curva auxiliar, una "compañera" de esta curva. Entonces, valemos una sinusoide, la compañera de una cicloide. Ahora, basándonos en esta cicloide, construiremos una cicloide auxiliar indisolublemente ligada a ella. Resulta que el estudio conjunto de un par de cicloides de este tipo es, en algunos aspectos, más sencillo que el estudio de una cicloide individual. A esta cicloide auxiliar la llamaremos cicloide acompañante.

Consideremos la mitad del arco de la cicloide AMB (Fig. 4.3). No deberíamos avergonzarnos de que esta cicloide esté situada de forma inusual (“al revés”). Dibujemos 4 líneas rectas paralelas a la línea recta guía AK a distancias a, 2a, 3a y 4 a. Construyamos un círculo generador en la posición correspondiente al punto M (en la Fig. 4.3 el centro de este círculo está indicado con la letra O). Denotaremos el ángulo de rotación MON por c. Entonces el segmento AN será igual a bc (el ángulo c se expresa en radianes).

Continuamos el diámetro NT del círculo generador más allá del punto T hasta la intersección (en el punto E) con la recta PP. Usando TE como diámetro, construiremos un círculo (con centro O 1). Construyamos una tangente en el punto M a la cicloide AMB. Para hacer esto, el punto M debe, como sabemos, estar conectado al punto T. Extendamos la tangente MT más allá del punto T hasta que se cruza con el círculo auxiliar, y llamamos al punto de intersección M 1. Es este punto M 1 el que queremos abordar ahora.

Denotamos el ángulo MON por c. Por tanto, el ángulo MTN será igual a (el ángulo inscrito basado en el mismo arco). El triángulo A 1 M 1 es obviamente isósceles. Por lo tanto, no sólo el ángulo O 1 TM 1, sino también el ángulo TM 1 O 1 serán iguales. Por tanto, la fracción del ángulo A 1 M 1 en el triángulo A 1 M 1 permanece exactamente p - q radianes (recuerde que el ángulo 180? es igual a p radianes). Observemos también que el segmento NK es obviamente igual a b(p - q).

Consideremos ahora un círculo con centro O 2, que se muestra en la figura 4.3 con una línea discontinua. Del dibujo queda claro qué tipo de círculo es este. Si lo haces rodar sin deslizarte a lo largo de una línea recta NE, entonces su punto B describirá la cicloide BB. Cuando el círculo discontinuo gira en el ángulo p - c, el centro O 2 llegará al punto O 1 y el radio O 2 B tomará la posición O 1 M 1. Por tanto, el punto M 1 que construimos resulta ser un punto de la cicloide BB.

La construcción descrita asocia cada punto M de la cicloide AMB con el punto M 1 de la cicloide VM 1 B. En la Fig. 4.4 muestra esta correspondencia más claramente. La cicloide así obtenida se llama acompañante. En la Fig. 4.3 y 4.4, las cicloides representadas con líneas discontinuas gruesas se acompañan en relación con las cicloides representadas con líneas continuas gruesas.

De la Fig. 4.3 está claro que la recta MM 1 es normal en el punto M 1 a la cicloide que la acompaña. De hecho, esta línea recta pasa por el punto M 1 de la cicloide y por el punto T de tangencia del círculo generador y la línea directora (el punto “más bajo” del círculo generador, como dijimos una vez; ahora resultó ser el “más alto” porque el dibujo está girado). Pero esta misma línea recta, por construcción, es tangente a la “base” de la cicloide AMB. Por tanto, la cicloide original toca todas las normales de la cicloide que la acompaña. Es la envoltura de las normales de la cicloide que la acompaña, es decir su evolución. ¡Y la cicloide “que la acompaña” resulta ser simplemente una involuta de la cicloide original!

Al emprender esta construcción engorrosa, pero esencialmente simple, demostramos un teorema notable descubierto por el científico holandés Huygens. Este es el teorema: La evolución de una cicloide es exactamente la misma cicloide, sólo que desplazada.

Habiendo construido una evoluta no para un arco, sino para toda la cicloide (lo que, por supuesto, sólo se puede hacer mentalmente), luego una evoluta para esta evoluta, etc., obtenemos la Fig. 4.5, parecido a los azulejos.

Prestemos atención al hecho de que al demostrar el teorema de Huygens no utilizamos estimaciones infinitesimales, indivisibles o aproximadas. Ni siquiera usábamos mecánicas, aunque a veces usábamos expresiones tomadas de la mecánica. Esta prueba está completamente en el espíritu del razonamiento utilizado por los científicos del siglo XVII, cuando querían fundamentar estrictamente los resultados obtenidos utilizando diversas consideraciones importantes.

Del teorema de Huygens se desprende inmediatamente un corolario importante. Considere el segmento AB en la Fig. 4.4. La longitud de este segmento es obviamente 4 a. Imaginemos ahora que se enrolla un hilo alrededor del arco AMB de la cicloide, fijado en el punto A y equipado con un lápiz en el punto B. Si “enrollamos” el hilo, el lápiz se moverá a lo largo del desarrollo de la cicloide AMB. , es decir. a lo largo de la cicloide BM 1 B. La longitud del hilo, igual a la longitud del semiarco de la cicloide, será obviamente igual al segmento AB, es decir, como hemos visto, 4 a. Por tanto, la longitud L de todo el arco cicloide será igual a 8 a, y la fórmula L=8 a Ahora puede considerarse estrictamente probado.

Calculemos la longitud del arco usando geometría diferencial. La solución obtenida de esta forma será mucho más corta y sencilla:

Dónde t?

| r(t)|===2pecado

5. Ecuación cicloide paramétrica y ecuación en coordenadas cartesianas

Supongamos que tenemos una cicloide formada por una circunferencia de radio a con centro en el punto A.

Si elegimos como parámetro que determina la posición del punto el ángulo t=∟NDM a través del cual el radio, que tenía una posición vertical AO al inicio del rodamiento, logró girar, entonces las coordenadas x e y del punto M serán expresarse de la siguiente manera:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Entonces las ecuaciones paramétricas de la cicloide tienen la forma:

Cuando t cambia de -∞ a +∞, se obtendrá una curva formada por un número infinito de ramas como las que se muestran en esta figura.

Además de la ecuación paramétrica de la cicloide, también existe su ecuación en coordenadas cartesianas:

Donde r es el radio del círculo que forma la cicloide.

6. Problemas para encontrar partes de una cicloide y figuras formadas por una cicloide.

Tarea número 1. Encuentra el área de una figura acotada por un arco de una cicloide cuya ecuación está dada paramétricamente

y el eje Buey.

Solución. Para resolver este problema, usaremos los hechos que conocemos de la teoría de integrales, a saber:

Área de un sector curvo.

Considere alguna función r = r(ϕ) definida en [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] corresponde a r 0 = r(ϕ 0) y, por tanto, el punto M 0 (ϕ 0 , r 0), donde ϕ 0,

r 0 - coordenadas polares del punto. Si ϕ cambia, “recorriendo” todo [α, β], entonces el punto variable M describirá alguna curva AB, dada

ecuación r = r(ϕ).

Definición 7.4. Un sector curvilíneo es una figura acotada por dos rayos ϕ = α, ϕ = β y una curva AB definida en polar

coordenadas por la ecuación r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Lo siguiente es cierto

Teorema. Si la función r(ϕ) > 0 y es continua en [α, β], entonces el área

El sector curvilíneo se calcula mediante la fórmula:

Este teorema se demostró anteriormente en el tema de la integral definida.

Con base en el teorema anterior, nuestro problema de encontrar el área de una figura limitada por un arco de una cicloide, cuya ecuación está dada por los parámetros paramétricos x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), y el eje Ox, se reduce a la siguiente solución.

Solución. De la ecuación de la curva dx = a(1−cos t) dt. El primer arco de la cicloide corresponde a un cambio en el parámetro t de 0 a 2π. Por eso,

Tarea número 2. Encuentra la longitud de un arco de la cicloide.

El siguiente teorema y su corolario también se estudiaron en cálculo integral.

Teorema. Si la curva AB viene dada por la ecuación y = f(x), donde f(x) y f ’ (x) son continuas en , entonces AB es rectificable y

Consecuencia. Sea AB dado paramétricamente

L AB = (1)

Sean las funciones x(t), y(t) continuamente diferenciables en [α, β]. Entonces

La fórmula (1) se puede escribir de la siguiente manera.

Hagamos un cambio de variables en esta integral x = x(t), entonces y’(x)= ;

dx= x’(t)dt y por tanto:

Ahora volvamos a resolver nuestro problema.

Solución. Tenemos, y por lo tanto

Tarea número 3. Necesitamos encontrar el área de superficie S formada por la rotación de un arco de la cicloide.

L=((x,y): x=a(t – sen t), y=a(1 – costo), 0≤ t ≤ 2π)

En cálculo integral, existe la siguiente fórmula para encontrar el área de superficie de un cuerpo de revolución alrededor del eje x de una curva definida paramétricamente en un segmento: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤ t ≤ t 1)

Aplicando esta fórmula a nuestra ecuación cicloide obtenemos:

Tarea número 4. Encuentra el volumen del cuerpo obtenido al rotar el arco cicloide.

A lo largo del eje Buey.

En cálculo integral, al estudiar volúmenes, cabe la siguiente observación:

Si la curva que delimita un trapezoide curvilíneo está dada por ecuaciones paramétricas y las funciones en estas ecuaciones satisfacen las condiciones del teorema sobre el cambio de variable en una determinada integral, entonces el volumen del cuerpo de revolución del trapezoide alrededor del eje Ox será ser calculado por la fórmula

Usemos esta fórmula para encontrar el volumen que necesitamos.

El problema esta resuelto.

Conclusión

Entonces, en el transcurso de este trabajo, se aclararon las propiedades básicas de la cicloide. También aprendimos cómo construir una cicloide y descubrimos el significado geométrico de una cicloide. Al final resultó que, la cicloide tiene enormes aplicaciones prácticas no sólo en matemáticas, sino también en cálculos tecnológicos y física. Pero la cicloide tiene otros méritos. Fue utilizado por los científicos del siglo XVII al desarrollar técnicas para estudiar líneas curvas, técnicas que finalmente llevaron a la invención del cálculo diferencial e integral. También fue una de las “piedras de toque” sobre las cuales Newton, Leibniz y sus primeros investigadores probaron el poder de nuevos y poderosos métodos matemáticos. Finalmente, el problema de la braquistocrona condujo a la invención del cálculo de variaciones, tan necesario para los físicos de hoy. Así, la cicloide resultó estar indisolublemente ligada a uno de los períodos más interesantes de la historia de las matemáticas.

Literatura

1. Berman G.N. Cicloide. – M., 1980

2. Verov S.G. Braquistocrona, u otro secreto de la cicloide // Cuántica. – 1975. - No. 5

3. Verov S.G. Secretos de la cicloide // Cuántica. – 1975. - N° 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Aplicaciones de una integral definida. Instrucciones metodológicas y trabajos individuales para estudiantes de 1er año de la Facultad de Física. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. La era estelar de la cicloide // Cuántica. – 1985. - N° 6.

6. Fikhtengolts G.M. Curso de cálculo diferencial e integral. T.1. – M., 1969

Esta línea se llama "sobre". Toda línea curva es una envolvente de sus tangentes.

La materia y el movimiento, y el método que constituyen, permiten a todos realizar su potencial en el conocimiento de la verdad. Desarrollar una metodología para el desarrollo de una forma de pensamiento dialéctico-materialista y dominar un método similar de cognición es el segundo paso hacia la solución del problema del desarrollo y la realización de las capacidades humanas. Fragmento XX Oportunidades...

En esta situación, las personas pueden desarrollar neurastenia, una neurosis cuya base del cuadro clínico es un estado asténico. Tanto en el caso de la neurastenia como en el caso de la descompensación de la psicopatía neurasténica, la esencia de la defensa mental (psicológica) se refleja en la retirada de las dificultades hacia la debilidad irritable con disfunciones vegetativas: o la persona, inconscientemente, “rechaza” más el ataque. ..

Diversos tipos de actividades; desarrollo de la imaginación espacial y conceptos espaciales, pensamiento figurativo, espacial, lógico y abstracto de los escolares; desarrollar la capacidad de aplicar conocimientos y habilidades geométricos y gráficos para resolver diversos problemas aplicados; familiarización con el contenido y la secuencia de las etapas de las actividades del proyecto en el campo técnico y...

Arcos. Las espirales también son involutas de curvas cerradas, por ejemplo la involuta de un círculo. Los nombres de algunas espirales vienen dados por la similitud de sus ecuaciones polares con las ecuaciones de curvas en coordenadas cartesianas, por ejemplo: · espiral parabólica (a - r)2 = bj, · espiral hiperbólica: r = a/j. · Varilla: r2 = a/j · si-ci-espiral, cuyas ecuaciones paramétricas tienen la forma: , )