Preguntas teóricas y trabajos de álgebra lineal. Diferencial lineal

Vista general del sistema.

, yo = 1, 2, ..., metro; j = 1, 2, ..., norte, - coeficientes del sistema; - miembros gratuitos; - variables;

Si todo = 0, el sistema se llama homogéneo.

Solución general de un sistema de ecuaciones lineales.

Definición 1. Sistema homogéneo metro ecuaciones algebraicas lineales para norte incógnitas se llama sistema de ecuaciones

tipo (1) o en forma matricial (2)

donde A es una matriz dada de coeficientes de tamaño mxn,

La columna n de incógnitas es la columna cero de altura m.

Un sistema homogéneo es siempre consistente (la matriz extendida coincide con A) y tiene soluciones obvias: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Esta solución se llama cero o trivial. Cualquier otra solución, si la hay, se llama no trivial.

Teorema 1. Si el rango de la matriz A es igual al número de incógnitas, entonces el sistema (1) tiene una solución única (trivial).

De hecho, según el teorema de Cramer, r=n y la solución es única.

Teorema 2. Para que un sistema homogéneo tenga una solución distinta de cero, es necesario y suficiente que el rango de la matriz del sistema sea menor que el número de incógnitas ( se desprende del teorema sobre el número de soluciones).

Þ si hay soluciones distintas de cero, entonces la solución no es única, entonces el determinante del sistema es igual a cero, entonces r

Ü si r

Teorema 3. Un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas tiene una solución distinta de cero si y sólo si detA = 0.

Þ si hay soluciones distintas de cero, entonces hay infinitas soluciones, entonces, según el teorema sobre el número de soluciones r

Ü si detA = 0, entonces r

Teorema 4. Para que un sistema homogéneo tenga una solución distinta de cero, es necesario que el número de ecuaciones del sistema sea menor que el número de incógnitas.

Dado que el rango de una matriz de coeficientes no puede ser mayor que el número de sus filas (así como el número de columnas), entonces r

Definición 2. Las variables del sistema ubicadas en las columnas base de la matriz de coeficientes original se denominan variables básicas, y las variables restantes del sistema se llaman gratis.

Definición 4. decisión privada sistema no homogéneo AX = B se llama vector columna X obtenido por cero valores gratis variables.

Teorema 6. Solución general de un sistema no homogéneo. las ecuaciones lineales AX = B tiene la forma , donde es una solución particular del sistema de ecuaciones AX = B, y es el FSR del sistema homogéneo AX = 0.

Un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales es un sistema de la forma:

Su matriz extendida.

Teorema (sobre la solución general de sistemas no homogéneos).
Sea (es decir, que el sistema (2) sea consistente), entonces:

· si , donde es el número de variables del sistema (2), entonces la solución (2) existe y es única;

· si , entonces la solución general del sistema (2) tiene la forma , donde está la solución general del sistema (1), llamada solución homogénea general, es una solución particular del sistema (2), llamada solución privada no homogénea.

Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales es un sistema de la forma:

La solución cero del sistema (1) se llama solución trivial.

Los sistemas homogéneos siempre son compatibles, porque Siempre hay una solución trivial.

Si el sistema tiene alguna solución distinta de cero, entonces se llama no trivial.

Las soluciones de un sistema homogéneo tienen la propiedad de linealidad:

Teorema (sobre la solución lineal de sistemas homogéneos).
Sean las soluciones del sistema homogéneo (1) y sean constantes arbitrarias. Entonces también hay una solución para el sistema que se está considerando.

Teorema (sobre la estructura de la solución general).
Vamos entonces:

· si , donde es el número de variables del sistema, entonces sólo existe una solución trivial;

· si , entonces existen soluciones linealmente independientes para el sistema considerado: , y su decisión común tiene la forma: , donde hay algunas constantes.

2. Permutaciones y sustituciones. Determinante de enésimo orden. Propiedades de los determinantes.

Definición del determinante - ésimo orden.

Sea una matriz cuadrada de primer orden:

Definición. El producto de los elementos de la matriz A, tomados uno de cada fila y cada columna, se llama miembro del determinante de la matriz A.3 Si dos filas o dos columnas se intercambian en el determinante, entonces el determinante cambia su signo a lo contrario. 4Si una matriz contiene una fila (columna) cero, entonces el determinante de esta matriz es igual a cero. 5 Si dos filas (columnas) de una matriz son iguales entre sí, entonces el determinante de esta matriz es igual a cero.6 Si dos filas (columnas) de una matriz son proporcionales entre sí, entonces el determinante de esta matriz es igual a cero.7 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.8 Si todos los elementos k la fila (columna) del determinante se presentan como sumas a k j + bkj, entonces el determinante se puede representar como una suma de los determinantes correspondientes.9 El determinante no cambiará si los elementos correspondientes de otra fila (o la columna correspondiente) se suman a los elementos de cualquiera de sus filas (o la columna correspondiente) , multiplicado por el mismo número.10. Dejar A Y B son matrices cuadradas del mismo orden. Entonces el determinante del producto de matrices es igual al producto de determinantes:

1 | | | | | | | | | | |

Donde se desconocen C 1 y C 2.

Todos y son números conocidos, calculados en x = x 0. Para que el sistema tenga solución para cualquier lado derecho, es necesario y suficiente que el determinante principal sea diferente de 0.

El determinante de Vronsky. Si el determinante es 0, entonces el sistema tiene solución sólo si existe una proporción de las condiciones iniciales. Por lo tanto, de esto se deduce que la elección de las condiciones iniciales está sujeta a la ley, por lo que no se pueden tomar ninguna condición inicial, y esto es una violación de las condiciones del problema de Cauchy.

Si , entonces el determinante de Wronski no es igual a 0, para cualquier valor de x 0.

Prueba. Sea el determinante igual a 0, pero elijamos las condiciones iniciales distintas de cero y=0, y’=0. Entonces obtenemos el siguiente sistema:

Este sistema tiene un número infinito de soluciones cuando el determinante es 0. C 11 y C 12 son soluciones del sistema.

Esto contradice el primer caso, lo que significa que el determinante de Wronski no es igual a 0 para cualquier x 0 si . Siempre es posible seleccionar una solución particular de la solución general para .

Boleto No. 33

Un teorema sobre la estructura de la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con prueba.

Teorema sobre la solución general de una ecuación diferencial:

soluciones a esta ecuación, entonces la función también una solución. Con base en este teorema, podemos concluir sobre la estructura de la solución general de una ecuación homogénea: si 1 y 2 tienen soluciones a la ecuación diferencial tales que sus razones no son iguales a una constante, entonces la combinación lineal de estas funciones es la solución general a la ecuación diferencial. Una solución trivial (o nula) no puede servir como solución a esta ecuación.

Prueba:

Boleto No. 34

Un teorema sobre la estructura de la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con prueba.

Sea una ecuación con el lado derecho: . Ecuación sin lado derecho

si ponemos 0 en lugar de función, la llamamos característica.

Un teorema sobre la estructura de la solución general de una ecuación con el lado derecho.

T.1 La solución general de la ecuación con el lado derecho se puede componer como la suma de la solución general de la ecuación sin el lado derecho y alguna solución particular de esta ecuación.

Prueba.

Denotemos por la solución general y alguna solución particular de esta ecuación. Tomemos la función . Tenemos

, .

Sustituyendo las expresiones para y, y', y'' en el lado izquierdo de la ecuación, encontramos: La expresión en el primer corchete es igual a 0. Y la expresión en el segundo corchete es igual a la función f(x ). Por lo tanto, la función hay una solución para esta ecuación.

Boleto No. 35

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, F.S.R. y solución general en el caso de raíces reales diferentes, ecuaciones características con demostración.

Tomemos una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes:

,

donde a son números.

Intentemos satisfacer la ecuación con una función de la forma . De aquí tenemos:

De esto podemos ver cuál será la solución de esta ecuación si r es la raíz de la ecuación cuadrática. Esta ecuación se llama característica. Para crear una ecuación característica, debes reemplazar y por uno y cada derivada por r elevado a una potencia del orden de la derivada.

1) Las raíces de la ecuación característica son reales y diferentes.

En este caso, ambas raíces pueden tomarse como indicadores de la función r. Aquí puedes obtener inmediatamente dos ecuaciones. Está claro que su relación no es igual a un valor constante.

La solución general en el caso de raíces reales y diferentes viene dada por la fórmula:

.

Boleto No. 36

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, F.S.R. y solución general en el caso de raíces múltiples, ecuaciones características con demostración.

Las raíces de una ecuación real son reales e iguales.

Evaluación celular gratuita– (ver método potencial)

Ciclo - tal secuencia de celdas en la tabla de transporte (i 1,j 1), (i 1,j 2), (i 2,j 2),…(i k,j 1), en la que dos y solo dos celdas adyacentes son ubicado en una fila o columna, estando la primera y la última celda también en la misma fila o columna.

(?)Permutación a lo largo del ciclo - (desplazamiento a lo largo del ciclo por el valor t)- un aumento en los volúmenes en todas las celdas impares del ciclo marcadas con un signo "+" por t y una disminución en los volúmenes de transporte en todas las celdas pares marcadas con un signo "-" por t.

1. 
   ^ Condición para la optimización del plan de referencia.

El plan óptimo debe determinar el costo total mínimo de transporte, sin exceder el volumen de producción de cada uno de los proveedores y cubriendo totalmente las necesidades de cada uno de los consumidores.

El plan de transporte óptimo corresponde al mínimo de la función objetivo lineal f(X)= min bajo restricciones de consumo y oferta.

No. 32. Formule la definición de una ecuación en diferencias de orden k y su solución general. Indique la definición de una ecuación en diferencias lineal de orden k con coeficientes constantes. Formular teoremas sobre la solución general de ecuaciones en diferencias lineales homogéneas y no homogéneas (sin prueba).

Una ecuación de la forma F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, donde k es un número fijo y n es un número natural arbitrario, x n ; x norte +1 ;…; x n + k son términos de alguna secuencia numérica desconocida, llamada ecuación en diferencias de orden k.

Resolver una ecuación en diferencias significa encontrar todas las secuencias (x n) que satisfagan la ecuación.

La solución general de una ecuación de orden k es su solución x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), dependiendo de k constantes arbitrarias independientes C 1 , C 2 , …, C k . El número de k constantes es igual al orden de la ecuación en diferencias, y la independencia significa que ninguna de las constantes se puede expresar en términos de las demás.

Considere una ecuación en diferencias lineal de orden k con coeficientes constantes:

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , donde a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) y

(f n ) – números y secuencia dados.

^ Teorema sobre la solución general de una ecuación no homogénea.

La solución general x n de una ecuación en diferencias lineal no homogénea es la suma de la solución particular x n * de esta ecuación y la solución general n de la ecuación homogénea correspondiente.

^ Teorema sobre la solución general de una ecuación homogénea.

Sea x n 1 ,…, x n k un sistema que consta de k soluciones linealmente independientes de una ecuación en diferencias lineal homogénea. Entonces la solución general de esta ecuación viene dada por la fórmula: x n = C 1 x n 1 +… + C k x n k.
No. 33. Describe un algoritmo para resolver una ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficientes constantes. Formular definiciones de los siguientes conceptos: conjunto fundamental de soluciones de una ecuación en diferencias lineal, ecuación característica, determinante de Casoratti.

Conocer las raíces de la ecuación característica nos permite construir una solución general a la ecuación en diferencias homogénea. Consideremos esto usando el ejemplo de una ecuación de segundo orden: las soluciones resultantes se pueden transferir fácilmente al caso de ecuaciones de orden superior.

Dependiendo de los valores del discriminante D=b 2 -4ac de la ecuación característica, son posibles los siguientes casos:

C 1 , C 2 son constantes arbitrarias.

El conjunto de soluciones de una ecuación en diferencias lineal homogénea de k-ésimo orden forma un espacio lineal k-dimensional, y cualquier conjunto de k soluciones linealmente independientes (llamado conjunto fundamental) es su base. Un signo de independencia lineal de las soluciones de una ecuación homogénea es que el determinante de Casoratti no es igual a cero:

La ecuación se llama ecuación característica de una ecuación lineal homogénea.
№ 34. Dada una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.

^ ¿De qué forma se debe buscar su solución particular? Explica la respuesta.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n ¿De qué forma se debe buscar su solución particular? Hay que explicar la respuesta.

X norte +2 -4x norte +1 +3x norte =n 2 2 norte +n 3 3 norte

X norte +2 -4x norte +1 +3x norte =0

X norte =C 1 3 norte +C 2 1 norte

X 1 norte =(a 1 norte 2 +b 1 norte+C 1)2 norte

X 2 norte =(d 2 norte 3 +a 2 norte 2 +b 2 norte+C 2)n2 norte

X norte = C 1 3 norte + C 2 1 norte + X 1 norte + X 2 norte
No 35. Dada una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. ¿De qué forma se debe buscar su solución particular?

x norte +2 -4x norte +1 +3 x norte =n 2 +2 norte +3 norte

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ1 =3, λ2 =1

x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2

2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2

Dado que la base de la potencia exponencial f(n)=2 n, igual a 2, no coincide con ninguna de las raíces de la ecuación característica, buscamos la solución particular correspondiente en la forma Y n =C(2) n . Dado que la base de la función exponencial g(n)=3 n, igual a 3, coincide con una de las raíces de la ecuación característica, buscamos la solución particular correspondiente en la forma X n =Bn(3) n. Como z(n)=n 2 es un polinomio, buscaremos una solución particular en forma de polinomio: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
N° 36. Se da una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. ¿De qué forma se debe buscar su solución particular?

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

Dado que la base de la potencia exponencial f(n)=3 n, igual a 3, no coincide con ninguna de las raíces de la ecuación característica, buscamos la solución particular correspondiente en la forma Y n =B(3) n . Como g(n)=n 2 es un polinomio, buscaremos una solución particular en forma de polinomio: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
N° 37. Dada una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . ¿De qué forma se debe buscar su solución particular?

x norte +2 +2x norte +1 +4x norte = cos +3 norte +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X norte 0 =(2) norte (C 1 porque +C 2 pecado )

2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos

Dado que la base de la potencia exponencial f(n)=3 n, igual a 3, no coincide con ninguna de las raíces de la ecuación característica, buscamos la solución particular correspondiente en la forma Y n =B(3) n . Como g(n)=n 2 es un polinomio, buscaremos una solución particular en forma de polinomio: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Describe el modelo de Samuelson-Hicks. ¿Qué supuestos económicos subyacen a ello? ¿En qué caso la solución de la ecuación de Hicks es una secuencia estacionaria?

El modelo del ciclo económico de Samuelson-Hicks supone una proporcionalidad directa de los volúmenes de inversión al aumento del ingreso nacional (principio de aceleración), es decir

donde el coeficiente V>0 es el factor de aceleración,

I t - el monto de la inversión en el período t,

X t -1 ,X t -2 - el valor del ingreso nacional en los períodos (t-1) y (t-2), respectivamente.

También se supone que la demanda en esta etapa depende de la cantidad de ingreso nacional en la etapa anterior
linealmente
. La condición para la igualdad de oferta y demanda tiene la forma
. Luego llegamos a la ecuación de Hicks.

donde a, b son los coeficientes de la expresión lineal de la demanda en esta etapa:

Secuencia estacionaria
es una solución a la ecuación de Hicks sólo para
; factor
se llama multiplicador de Keynes (un análogo unidimensional de la matriz de costo total).
№ ^ 39. Describe el modelo de mercado araña. ¿Qué supuestos económicos subyacen a ello? Encuentre el estado de equilibrio del modelo de mercado web.

40. Formule el problema de determinar el valor actual de un bono con cupón. ¿Cuál es el problema de Cauchy para una ecuación en diferencias? Encuentre una solución de equilibrio al problema de Cauchy de determinar el valor actual de un bono con cupón. Verifique que el valor encontrado coincida con el monto que se debe pagar en ese momento para recibir el monto del cupón en cada período del cupón durante un tiempo infinitamente largo a una tasa de interés determinada durante un período del cupón.

Dejar F – el valor nominal de un bono con cupón (es decir, la cantidad de dinero pagada por el emisor en el momento del reembolso coincidiendo con el final del último período del cupón), k – valor del cupón (es decir, la cantidad de dinero pagada al final de cada período del cupón), X - valor actual del bono al final del enésimo período del cupón,

Aquellos. pag coincide con la cantidad que se debe pagar en este momento para recibir el monto del cupón en cada período del cupón durante un tiempo infinitamente largo a una tasa de interés determinada durante un período del cupón.

Sistemas diferenciales lineales ecuaciones.

El sistema de ecuaciones diferenciales se llama lineal, si es lineal con respecto a funciones desconocidas y sus derivadas. sistema norte-las ecuaciones lineales de primer orden se escriben en la forma:

Los coeficientes del sistema son constantes.

Es conveniente escribir este sistema en forma matricial: ,

donde es un vector de columna de funciones desconocidas que dependen de un argumento.

Vector columna de derivadas de estas funciones.

Vector de columna de términos libres.

Matriz de coeficientes.

Teorema 1: Si todos los coeficientes de la matriz A son continuos en un cierto intervalo y, luego, en una determinada vecindad de cada m. Se cumplen las condiciones TS&E. En consecuencia, una única curva integral pasa por cada uno de esos puntos.

De hecho, en este caso, los lados derechos del sistema son continuos con respecto al conjunto de argumentos y sus derivadas parciales con respecto a (iguales a los coeficientes de la matriz A) son limitadas, debido a la continuidad en un intervalo cerrado.

Métodos para resolver SLD

1. Un sistema de ecuaciones diferenciales se puede reducir a una ecuación eliminando las incógnitas.

Ejemplo: Resuelve el sistema de ecuaciones: (1)

Solución: excluir z de estas ecuaciones. De la primera ecuación tenemos . Sustituyendo en la segunda ecuación, después de la simplificación obtenemos: .

Este sistema de ecuaciones (1) reducido a una única ecuación de segundo orden. Después de encontrar a partir de esta ecuación y, se debe encontrar z, usando la igualdad.

2. Al resolver un sistema de ecuaciones eliminando incógnitas se suele obtener una ecuación de orden superior, por lo que en muchos casos es más conveniente resolver el sistema encontrando combinaciones integradas.

Continuación 27b

Ejemplo: resolver el sistema

Solución:

Resolvamos este sistema usando el método de Euler. Anotemos el determinante para encontrar la característica.

ecuación: , (dado que el sistema es homogéneo, para que tenga una solución no trivial, este determinante debe ser igual a cero). Obtenemos una ecuación característica y encontramos sus raíces:

La solución general es: ;

- vector propio.

Anotamos la solución para: ;

- vector propio.

Anotamos la solución para: ;

Obtenemos la solución general: .

Vamos a revisar:

encontremos : y sustituyámoslo en la primera ecuación de este sistema, es decir .

Obtenemos:

- verdadera igualdad.

Diferencia lineal. ecuaciones de orden n. Teorema sobre la solución general de una ecuación lineal no homogénea de enésimo orden.

Una ecuación diferencial lineal de enésimo orden es una ecuación de la forma: (1)

Si esta ecuación tiene un coeficiente, entonces dividiéndola por él llegamos a la ecuación: (2) .

Generalmente ecuaciones del tipo (2). Supongamos que en ur-i (2) todas las probabilidades, así como f(x) continuo en algún intervalo (a, b). Entonces, según TS&E, la ecuación (2) tiene una solución única que satisface las condiciones iniciales: , , …, para . Aquí - cualquier punto del intervalo. (a, b), y todo: cualquier número dado. La ecuacion (2) satisface TC&E , por lo tanto no tiene soluciones especiales.

Definición: especial los puntos son aquellos en los que =0.

Propiedades de una ecuación lineal:

1. Una ecuación lineal permanece así para cualquier cambio en la variable independiente.
2. Una ecuación lineal permanece así para cualquier cambio lineal de la función deseada.

Definición: si en la ecuacion (2) poner f(x)=0, entonces obtenemos una ecuación de la forma: (3) , Lo que es llamado ecuación homogénea relativo a la ecuación no homogénea (2).

Introduzcamos el operador diferencial lineal: (4). Usando este operador, puedes reescribir en forma abreviada la ecuación (2) Y (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operador (4) tiene las siguientes propiedades simples:

De estas dos propiedades se puede deducir un corolario: .

Función y=y(x) es una solución a la ecuación no homogénea (2), Si L(y(x))=f(x), Entonces f(x) llamada solución de la ecuación. Entonces la solución de la ecuación (3) llamada la función y(x), Si L(y(x))=0 en los intervalos considerados.

Considerar ecuación lineal no homogénea: , L(y)=f(x).

Supongamos que hemos encontrado una solución particular de alguna manera, entonces.

Introduzcamos una nueva función desconocida. z según la fórmula: , donde es una solución particular.

Sustituyámoslo en la ecuación: , abramos los corchetes y obtenemos: .

La ecuación resultante se puede reescribir como:

Dado que es una solución particular de la ecuación original, entonces .

Así, hemos obtenido una ecuación homogénea con respecto a z. La solución general de esta ecuación homogénea es una combinación lineal: , donde las funciones - constituyen el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea. Sustituyendo z en la fórmula de reemplazo, obtenemos: (*) para función y– función desconocida de la ecuación original. Todas las soluciones de la ecuación original estarán contenidas en (*).

Por tanto, la solución general de la recta no homogénea. La ecuación se representa como la suma de una solución general de una ecuación lineal homogénea y alguna solución particular de una ecuación no homogénea.

(continúa del otro lado)

30. Teorema de existencia y unicidad de la solución al diferencial. ecuaciones

Teorema: Si el lado derecho de la ecuación es continuo en el rectángulo y es limitada, y además satisface la condición de Lipschitz: , N=const, entonces existe una solución única que satisface las condiciones iniciales y está definida en el segmento , Dónde .

Prueba:

Considere el espacio métrico completo CON, cuyos puntos son todas posibles funciones continuas y(x) definidas en el intervalo , cuyas gráficas se encuentran dentro del rectángulo, y la distancia está determinada por la igualdad: . Este espacio se utiliza a menudo en el análisis matemático y se llama espacio de convergencia uniforme, ya que la convergencia en la métrica de este espacio es uniforme.

Reemplacemos el diferencial. ecuación con condiciones iniciales dadas a una ecuación integral equivalente: y considere el operador Sí), igual al lado derecho de esta ecuación: . Este operador asigna a cada función continua

Usando la desigualdad de Lipschitz, podemos escribir que la distancia. Ahora elijamos uno para el cual se cumpla la siguiente desigualdad: .

Deberías elegir así, entonces. Así lo demostramos.

Según el principio de aplicación de contracción, existe un único punto o, lo que es lo mismo, una única función: una solución a una ecuación diferencial que satisface las condiciones iniciales dadas.

Cambio de variables en una integral triple. Ejemplos: casos de coordenadas cilíndricas y esféricas.

Cálculo del área de una superficie lisa, especificada de forma paramétrica y explícita. Elemento de área de superficie.

Definición de una integral curvilínea de primer tipo, sus propiedades básicas y cálculo.

Definición de una integral curvilínea de segunda especie, sus propiedades básicas y cálculo. Conexión con la integral de primer tipo.

La fórmula de Green. Condiciones para el hecho de que una integral curvilínea en un plano no depende del camino de integración.

Definición de una integral de superficie de primer tipo, sus propiedades básicas y cálculo.

Definición de una integral de superficie de segunda clase, sus propiedades básicas y cálculo. Conexión con la integral de primer tipo.

El teorema de Gauss-Ostrogradsky, su registro en formas coordinadas y vectoriales (invariantes).

Teorema de Stokes, su representación en forma coordinada y vectorial (invariante).

Condiciones para el hecho de que una integral curvilínea en el espacio no depende del camino de integración.

Campo escalar. Gradiente de campo escalar y sus propiedades. Cálculo de gradiente en coordenadas cartesianas.

Definición de un campo vectorial. Campo degradado. Campos potenciales, condiciones de potencialidad.

El campo vectorial fluye a través de una superficie. Definición de divergencia de un campo vectorial y sus propiedades. Cálculo de divergencia en coordenadas cartesianas.

Campos vectoriales solenoidales, condiciones de solenoidalidad.

Circulación de campo vectorial y rotor de campo vectorial. Cálculo del rotor en coordenadas cartesianas.

Operador de Hamilton (nabla), operaciones diferenciales de segundo orden, conexiones entre ellas.

Conceptos básicos relacionados con la oda de primer orden: soluciones generales y particulares, integral general, curvas integrales. El problema de Cauchy, su significado geométrico.

Integración de odas de primer orden con variables separables y homogéneas.

Integración de ecuaciones lineales de primer orden y ecuaciones de Bernoulli.

Integración de odas de primer orden en diferenciales totales. Factor integrador.

Método de entrada de parámetros. Integración de la oda de primer orden de Lagrange y Clairaut.

Las odas más simples de órdenes superiores, integrables en cuadraturas y que permiten una reducción en el orden.

Forma normal de un sistema de notación lineal, escalar y vectorial (matriz). El problema de Cauchy para un sistema normal de ods lineales, su significado geométrico.

Sistemas linealmente dependientes y linealmente independientes de funciones vectoriales. Condición necesaria para la dependencia lineal. Teorema sobre el determinante de Wronski de soluciones a un sistema de odas lineales homogéneas.

Teorema sobre la solución general (sobre la estructura de la solución general) de un sistema normal de odas lineales no homogéneas.

Método de variación de constantes arbitrarias para encontrar soluciones parciales de un sistema normal de odas lineales no homogéneas.

Sistema fundamental de soluciones de un sistema normal de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes en el caso de raíces reales simples de la ecuación característica.

Sistemas de funciones linealmente dependientes y linealmente independientes. Condición necesaria para la dependencia lineal. Teorema sobre el determinante de Wronski de soluciones de un código lineal homogéneo.

Teorema sobre la solución general (sobre la estructura de la solución general) de una oda lineal homogénea.

Teorema sobre la solución general (sobre la estructura de la solución general) de una oda lineal no homogénea.

Método de variación de constantes arbitrarias para encontrar soluciones parciales de una oda lineal no homogénea.

Un sistema fundamental de soluciones a una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de raíces simples de la ecuación característica, reales o complejas.

Un sistema fundamental de soluciones a una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de que haya múltiples raíces de la ecuación característica.

Encontrar soluciones parciales a una oda lineal no homogénea con coeficientes constantes y un lado derecho especial.

Teorema de existencia para una solución (local) al problema de Cauchy para EDO de primer orden.

Un teorema de unicidad para la solución del problema de Cauchy para ood de primer orden.

1. Teorema sobre la solución general (sobre la estructura de la solución general) de un sistema normal de odas lineales no homogéneas.

Consideremos un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias de enésimo orden.

Aquí A

Lo siguiente es cierto teorema de estructura de solución general de este sistema lineal no homogéneo de EDO.

si matriz A(x) y función vectorial b (x) son continuas en [ a, b], Déjalo ir Φ (x) es la matriz fundamental de soluciones de un sistema lineal homogéneo, luego la solución general del sistema no homogéneo Y" = A(X) Y + b(x) tiene la forma:

Dónde C- un vector columna constante arbitrario, x 0 - un punto fijo arbitrario del segmento.

De la fórmula anterior es fácil obtener una fórmula para resolver el problema de Cauchy para un sistema EDO lineal no homogéneo: la fórmula de Cauchy.

Resolviendo el problema de Cauchy, Y(x 0) = Y 0 es una función vectorial

1. Método de variación de constantes arbitrarias para encontrar soluciones parciales de un sistema normal de odas lineales no homogéneas.

Definición de un sistema de EDO lineales no homogéneas. sistema ODU tipo:

llamado lineal heterogéneo . Dejar

Sistema (*) en forma vector-matriz: .- el sistema es homogéneo, en caso contrario es no homogéneo.

El método en sí. Sea un sistema lineal no homogéneo. , entonces es un sistema lineal homogéneo correspondiente a uno lineal no homogéneo. Sea la matriz fundamental del sistema de decisión, , donde C es un vector constante arbitrario, es la solución general del sistema. Busquemos una solución al sistema (1) en la forma , donde C(x) es una función vectorial desconocida (aún). Queremos que la función vectorial (3) sea una solución al sistema (1). Entonces la identidad debe ser verdadera:

(un vector constante arbitrario, que se obtiene como resultado de la integración, puede considerarse igual a 0). Aquí los puntos x 0 , son cualquiera.

Vemos, por tanto, que si en (3) tomamos como C(t) , entonces la función vectorial será una solución al sistema (1).

La solución general del sistema lineal no homogéneo (1) se puede escribir en la forma . Sea necesario encontrar una solución al sistema (1) que satisfaga la condición inicial . La sustitución (4) de los datos iniciales (5) da . Por tanto, la solución al problema de Cauchy (1)-(5) se puede escribir como: . En el caso especial en el que la última fórmula adopte la forma: .

1. Sistema fundamental de soluciones de un sistema normal de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes en el caso de raíces reales simples de la ecuación característica.

Sistema homogéneo lineal normal.norteorden con coeficientes constantes - o ,Los coeficientes de combinaciones lineales de las funciones buscadas son constantes. Este sistema está en forma matricial. –forma matricial, donde A es una matriz constante. método matricial: De Ecuación característica encontraremos diferentes raíces y para cada raíz (teniendo en cuenta su multiplicidad) determinaremos la solución particular correspondiente. La solución general es: . En este caso 1) si - es una raíz real de múltiplo de 1, entonces , donde es el vector propio de la matriz A correspondiente al valor propio, es decir. 2) – raíz de multiplicidad, entonces la solución del sistema correspondiente a esta raíz se busca en forma de vector (**), cuyos coeficientes se determinan a partir de un sistema de ecuaciones lineales obtenidos igualando los coeficientes a las mismas potenciasx como resultado de sustituir el vector (**) en el sistema original.

Sistema fundamental de soluciones NLOS. es una colección de n soluciones arbitrarias linealmente independientes

Un sistema fundamental de soluciones a un sistema normal de EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes en el caso de que todas las raíces de la ecuación característica sean simples, pero hay raíces complejas.

La pregunta ha sido eliminada.