خانه / آستانه پنجره ها، شیب ها و جزر/ خاصیت توزیعی ضرب چیست. خواص ضرب اعداد طبیعی

خاصیت توزیعی ضرب چیست؟ خواص ضرب اعداد طبیعی

بیایید مثالی را در نظر بگیریم که صحت خاصیت جابجایی ضرب دو عدد طبیعی را تایید می کند. با شروع از معنی ضرب دو عدد طبیعی، حاصل ضرب اعداد 2 و 6 و همچنین حاصل ضرب اعداد 6 و 2 را محاسبه کرده و برابری حاصل ضرب را بررسی می کنیم. حاصل ضرب اعداد 6 و 2 برابر است با مجموع 6+6، از جدول جمع 6+6=12 را می یابیم. و حاصل ضرب اعداد 2 و 6 برابر است با مجموع 2+2+2+2+2+2 که برابر با 12 است (در صورت لزوم به مقاله جمع سه عدد یا بیشتر مراجعه کنید). بنابراین 6·2=2·6.

در اینجا تصویری است که خاصیت جابجایی ضرب دو عدد طبیعی را نشان می دهد.

خاصیت ترکیبی ضرب اعداد طبیعی.

بیایید ویژگی ترکیبی ضرب اعداد طبیعی را صدا کنیم: ضرب یک عدد داده شده در حاصلضرب معین از دو عدد، مانند ضرب یک عدد معین در عامل اول و ضرب نتیجه حاصل در عامل دوم است. به این معنا که، a·(b·c)=(a·b)·c، که در آن a، b و c می توانند هر اعداد طبیعی باشند (عباراتی که ابتدا مقادیر آنها محاسبه می شود در داخل پرانتز قرار می گیرند).

اجازه دهید برای تایید خاصیت انجمنی ضرب اعداد طبیعی مثالی بزنیم. بیایید حاصل ضرب 4·(3·2) را محاسبه کنیم. با توجه به معنی ضرب داریم 3·2=3+3=6 سپس 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 داریم. حالا بیایید (4·3)·2 را ضرب کنیم. از آنجایی که 4·3=4+4+4=12، پس (4·3)·2=12·2=12+12=24. بنابراین، برابری 4·(3·2)=(4·3)·2 صحیح است و اعتبار ویژگی مورد نظر را تأیید می کند.

اجازه دهید یک نقاشی نشان دهیم که خاصیت انجمنی ضرب اعداد طبیعی را نشان می دهد.

در پایان این پاراگراف، یادآور می‌شویم که خاصیت تداعی ضرب به ما اجازه می‌دهد تا ضرب سه یا چند عدد طبیعی را به طور منحصربه‌فرد تعیین کنیم.

خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع.

ویژگی زیر جمع و ضرب را به هم وصل می کند. این فرمول به صورت زیر است: ضرب مجموع داده شده از دو عدد در یک عدد معین مانند جمع کردن حاصل ضرب جمله اول و یک عدد معین با حاصل ضرب جمله دوم و یک عدد معین است. این به اصطلاح ویژگی توزیعی ضرب نسبت به جمع است.

با استفاده از حروف، خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع به صورت نوشته می شود (a+b)c=ac+bc(در عبارت a·c+b·c ابتدا ضرب انجام می شود و بعد از آن جمع انجام می شود؛ جزئیات بیشتر در این مورد در مقاله نوشته شده است)، که در آن a، b و c اعداد طبیعی دلخواه هستند. توجه داشته باشید که نیروی خاصیت جابجایی ضرب، خاصیت توزیعی ضرب را می توان به شکل زیر نوشت: a·(b+c)=a·b+a·c.

اجازه دهید مثالی بزنیم که خاصیت توزیعی ضرب اعداد طبیعی را تأیید می کند. بیایید اعتبار برابری (3+4)·2=3·2+4·2 را بررسی کنیم. داریم (3+4) 2=7 2=7+7=14 و 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14، بنابراین برابری ( 3+ 4) 2=3 2+4 2 صحیح است.

اجازه دهید شکلی را نشان دهیم که مربوط به خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع است.

خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق.

اگر به معنی ضرب پایبند باشیم، حاصل ضرب 0·n، که در آن n یک عدد طبیعی دلخواه بزرگتر از یک است، مجموع n جمله است که هر کدام برابر با صفر است. بدین ترتیب، . خواص جمع به ما اجازه می دهد بگوییم که مجموع نهایی صفر است.

بنابراین، برای هر عدد طبیعی n برابری 0·n=0 برقرار است.

برای اینکه خاصیت جابجایی ضرب معتبر بماند، اعتبار برابری n·0=0 را برای هر عدد طبیعی n نیز می پذیریم.

بنابراین، حاصل ضرب صفر و یک عدد طبیعی صفر است، به این معنا که 0 n=0و n·0=0، که در آن n یک عدد طبیعی دلخواه است. آخرین عبارت فرمول خاصیت ضرب یک عدد طبیعی و صفر است.

در خاتمه، چند مثال مربوط به خاصیت ضرب را که در این پاراگراف مورد بحث قرار گرفت، بیان می کنیم. حاصل ضرب اعداد 45 و 0 برابر با صفر است. اگر 0 را در 45970 ضرب کنیم به صفر نیز می رسیم.

اکنون می توانید با خیال راحت شروع به مطالعه قوانینی کنید که توسط آن ضرب اعداد طبیعی انجام می شود.

کتابشناسی - فهرست کتب.

ریاضیات. هر کتاب درسی برای پایه های اول، دوم، سوم، چهارم موسسات آموزش عمومی.
ریاضیات. هر گونه کتاب درسی برای پایه پنجم موسسات آموزش عمومی.

یک مستطیل با اضلاع 5 سانتی متر و 3 سانتی متر روی کاغذ شطرنجی می کشیم آن را به مربع هایی با اضلاع 1 سانتی متر تقسیم می کنیم (شکل 143). بیایید تعداد سلول های مستطیل را بشماریم. این را می توان مثلاً به این صورت انجام داد.

تعداد مربع های با ضلع 1 سانتی متر 5 * 3 است. هر مربع از این چهار خانه تشکیل شده است. بنابراین، تعداد کل سلول ها (5 * 3) * 4 است.

همین مشکل را می توان به طور متفاوت حل کرد. هر یک از پنج ستون مستطیل از سه مربع با ضلع 1 سانتی متر تشکیل شده است بنابراین یک ستون شامل 3 * 4 خانه است. بنابراین، در مجموع 5 * (3 * 4) سلول وجود خواهد داشت.

شمارش سلول ها در شکل 143 به دو صورت نشان داده شده است خاصیت تداعی ضرببرای اعداد 5 و 3 و 4 ما داریم: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

برای ضرب حاصل ضرب دو عدد در عدد سوم می توان عدد اول را در حاصل ضرب عدد دوم و سوم ضرب کرد.

(ab)c = a(bc)

از خواص جابجایی و ترکیبی ضرب چنین استنباط می شود که هنگام ضرب چندین اعداد، عوامل را می توان تعویض کرد و در پرانتز قرار داد و بدین ترتیب ترتیب محاسبات را تعیین کرد.

به عنوان مثال، برابری های زیر درست است:

abc = cba،

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

در شکل 144، قطعه AB مستطیل مورد بحث در بالا را به یک مستطیل و یک مربع تقسیم می کند.

تعداد مربع های با ضلع 1 سانتی متر را به دو صورت بشماریم.

از یک طرف، مربع حاصل شامل 3 * 3 از آنها است و مستطیل شامل 3 * 2 است. در مجموع 3 * 3 + 3 * 2 مربع می گیریم. از طرفی در هر یک از سه خط این مستطیل 3 + 2 مربع وجود دارد. سپس تعداد کل آنها 3 * (3 + 2) است.

برابر با 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 نشان می دهد خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع.

برای ضرب کردن یک عدد در مجموع دو عدد، می توانید این عدد را در هر جمع ضرب کنید و حاصل را جمع کنید.

این ویژگی به صورت تحت اللفظی به صورت زیر نوشته می شود:

a(b + c) = ab + ac

از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع نتیجه می شود که

ab + ac = a (b + c).

این تساوی به فرمول P = 2 a + 2 b اجازه می دهد تا محیط یک مستطیل را که باید به این شکل نوشته شود را پیدا کند:

P = 2 (a + b).

توجه داشته باشید که ویژگی توزیع برای سه دوره یا بیشتر معتبر است. مثلا:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + ق.

خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق نیز صادق است: اگر b > c یا b = c، پس

a(b - c) = ab - ac

مثال 1 . به روشی راحت محاسبه کنید:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) ما از خواص جابجایی و سپس ترکیبی ضرب استفاده می کنیم:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) ما داریم:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

مثال 2 . عبارت را ساده کنید:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 متر - 13 متر.

1) با استفاده از خواص جابجایی و تداعی ضرب، به دست می آوریم:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق، به دست می آوریم:

18 m − 13 m = m (18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

مثال 3 . عبارت 5 (2 m + 7) را طوری بنویسید که حاوی پرانتز نباشد.

با توجه به خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع، داریم:

5 (2 متر + 7) = 5 * 2 متر + 5 * 7 = 10 متر + 35.

این تحول نامیده می شود پرانتز باز.

مثال 4 . مقدار عبارت 125 * 24 * 283 را به روشی مناسب محاسبه کنید.

راه حل. ما داریم:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

مثال 5 . ضرب را انجام دهید: 3 روز 18 ساعت * 6.

راه حل. ما داریم:

3 روز 18 ساعت * 6 = 18 روز 108 ساعت = 22 روز 12 ساعت.

هنگام حل مثال، از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع استفاده شد:

3 روز 18 ساعت * 6 = (3 روز + 18 ساعت) * 6 = 3 روز * 6 + 18 ساعت * 6 = 18 روز + 108 ساعت = 18 روز + 96 ساعت + 12 ساعت = 18 روز + 4 روز + 12 ساعت = 22 روز 12 ساعت.

اهداف درس:

تساوی هایی را بدست آورید که خاصیت توزیعی ضرب را نسبت به جمع و تفریق بیان می کنند.
به دانش آموزان آموزش دهید که این ویژگی را از چپ به راست اعمال کنند.
اهمیت عملی مهم این ویژگی را نشان دهید.
توسعه تفکر منطقی در دانش آموزان تقویت مهارت های کامپیوتری.

تجهیزات:کامپیوتر، پوستر با خواص ضرب، با تصاویر ماشین و سیب، کارت.

در طول کلاس ها

1. سخنرانی مقدماتی توسط معلم.

امروز در درس به ویژگی دیگری از ضرب خواهیم پرداخت که از اهمیت عملی زیادی برخوردار است؛ به ضرب سریع اعداد چند رقمی کمک می کند. اجازه دهید خواص ضرب را که قبلاً مطالعه شده است تکرار کنیم. همانطور که موضوع جدیدی را مطالعه می کنیم، تکالیف خود را بررسی می کنیم.

2. حل تمرین های شفاهی.

من. روی تخته بنویس:

1 - دوشنبه
2 - سه شنبه
3 - چهارشنبه
4 - پنجشنبه
5 - جمعه
6 - شنبه
7 - یکشنبه

ورزش. به روز هفته فکر کنید. تعداد روز برنامه ریزی شده را در 2 ضرب کنید 5 به محصول اضافه کنید مقدار را در 5 ضرب کنید محصول را 10 برابر کنید. نتیجه را نام ببرید. آرزو کردی... یک روز.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. تکلیف از کتاب الکترونیکی «ریاضی 5-11 پایه. فرصت های جدید برای تسلط بر درس ریاضی. کارگاه". "Drofa" LLC 2004، "DOS" LLC 2004، CD - ROM، NFPC." بخش "ریاضیات. اعداد صحیح". وظیفه شماره 8. کنترل سریع سلول های خالی زنجیره را پر کنید. انتخاب 1.

III. روی میز:

a+b
(الف + ب) * ج
m–n
m*c–n*c

2) ساده کردن:

5*x*6*y
3*2*a
a * 8 * 7
3 * الف * ب

3) در چه مقادیری از x برابری درست می شود:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407؟ چرا؟

از چه خواص ضرب استفاده شده است؟

3. مطالعه مطالب جدید.

پوستری با تصاویر ماشین ها روی تابلو وجود دارد.

تصویر 1.

تکلیف برای 1 گروه دانش آموز (پسران).

در گاراژ 2 ردیف کامیون و ماشین وجود دارد. عبارات را بنویسید.

چند کامیون در ردیف 1 وجود دارد؟ چند ماشین؟
چند کامیون در ردیف 2 وجود دارد؟ چند ماشین؟
در مجموع چند ماشین در گاراژ وجود دارد؟
چند کامیون در ردیف 1 وجود دارد؟ چند کامیون در دو ردیف وجود دارد؟
چند ماشین در ردیف 1 وجود دارد؟ چند ماشین در دو ردیف وجود دارد؟
چند ماشین در گاراژ وجود دارد؟

مقادیر عبارات 3 و 6 را بیابید. این مقادیر را با هم مقایسه کنید. عبارات را در دفترچه یادداشت کنید. برابری را بخوانید.

تکلیف برای گروه 2 دانش آموزان (پسران).

در گاراژ 2 ردیف کامیون و ماشین وجود دارد. معنی عبارات چیست:

4 – 3
4 * 2
3 * 2
(4 – 3) * 2
4 * 2 – 3 * 2

مقادیر دو عبارت آخر را پیدا کنید.

این به این معنی است که شما می توانید علامت = را بین این عبارات قرار دهید.

بیایید تساوی را بخوانیم: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

پوستری با تصاویر سیب قرمز و سبز.

شکل 2.

تکلیف برای دانش آموزان گروه 3 (دختران).

عبارات بسازید.

جرم یک سیب قرمز و یک سیب سبز با هم چقدر است؟
جرم همه سیب ها با هم چقدر است؟
جرم همه سیب های قرمز با هم چقدر است؟
جرم همه سیب های سبز با هم چقدر است؟
جرم همه سیب ها چقدر است؟

مقادیر عبارات 2 و 5 را بیابید و آنها را با هم مقایسه کنید. این عبارت را در دفتر خود بنویسید. خواندن.

تکلیف برای دانش آموزان گروه 4 (دختران).

جرم یک سیب قرمز 100 گرم، یک سیب سبز 80 گرم است.

عبارات بسازید.

جرم یک سیب قرمز چند گرم بیشتر از یک سیب سبز است؟
جرم همه سیب های قرمز چقدر است؟
جرم همه سیب های سبز چقدر است؟
جرم همه سیب های قرمز چند گرم بیشتر از جرم سیب سبز است؟

معانی عبارات 2 و 5 را بیابید آنها را با هم مقایسه کنید. برابری را بخوانید. آیا برابری ها فقط برای این اعداد صادق است؟

4. بررسی تکالیف.

ورزش. بر اساس شرح مختصری از شرایط مسئله، سوال اصلی را مطرح کنید، یک عبارت بنویسید و مقدار آن را برای مقادیر داده شده متغیرها بیابید.

1 گروه

مقدار عبارت را زمانی که a = 82، b = 21، c = 2 است، بیابید.

گروه 2

مقدار عبارت a = 82، b = 21، c = 2 را بیابید.

3 گروه

مقدار عبارت a = 60، b = 40، c = 3 را بیابید.

4 گروه

مقدار عبارت a = 60، b =40، c = 3 را بیابید.

در کلاس درس کار کنید.

مقایسه مقادیر عبارت

برای گروه های 1 و 2: (a + b) * c و a * c + b * c

برای گروه های 3 و 4: (a – b) * c و a * c – b * c

(a + b) * c = a * c + b * c
(a – b) * c = a * c – b * c

بنابراین، برای هر اعداد a، b، c، موارد زیر صادق است:

وقتی یک مجموع را در یک عدد ضرب می کنید، می توانید هر جمله را در آن عدد ضرب کنید و حاصل را جمع کنید.
وقتی تفاوت را در یک عدد ضرب می کنید، می توانید minuend و subtrahend را در این عدد ضرب کنید و دومی را از حاصل ضرب اول کم کنید.
هنگام ضرب یک مجموع یا اختلاف در یک عدد، ضرب بر روی هر عدد داخل پرانتز توزیع می شود. بنابراین به این خاصیت ضرب، خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع و تفریق می گویند.

فرمول بندی ملک را از کتاب درسی بخوانیم.

5. تلفیق مواد جدید.

شماره 548 را کامل کنید. خاصیت توزیعی ضرب را اعمال کنید.

(68 + الف) * 2
17 * (14 - x)
(ب - 7) * 5
13 * (2 + سال)

1) تکالیف را برای ارزیابی انتخاب کنید.

وظایف با درجه بندی "5".

مثال 1. بیایید مقدار حاصلضرب 42 * 50 را پیدا کنیم. بیایید عدد 42 را به عنوان مجموع اعداد 40 و 2 تصور کنیم.

دریافت می کنیم: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. اکنون ویژگی توزیع را اعمال می کنیم:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

شماره 546 را به همین ترتیب حل کنید:

الف) 91 * 8
ج) 6 * 52
ه) 202 * 3
ز) 24 * 11
ح) 35 * 12
ط) 4 * 505

اعداد 91.52، 202، 11، 12، 505 را به صورت مجموع ده ها و یک ها نشان دهید و خاصیت توزیعی ضرب را نسبت به جمع اعمال کنید.

مثال 2. بیایید مقدار محصول 39 * 80 را پیدا کنیم.

بیایید عدد 39 را به عنوان تفاوت بین 40 و 1 تصور کنیم.

دریافت می کنیم: 39 * 80 = (40 – 1) = 40 * 80 – 1 * 80 = 3200 – 80 = 3120.

حل از شماره 546:

ب) 7 * 59
ه) 397 * 5
د) 198 * 4
ی) 25 * 399

اعداد 59، 397، 198، 399 را به عنوان تفاوت بین ده ها و یک ها نشان دهید و خاصیت توزیعی ضرب را نسبت به تفریق اعمال کنید.

وظایف با درجه بندی "4".

از شماره 546 (الف، ج، د، گ، ح، من) حل کنید. خاصیت توزیعی ضرب را نسبت به جمع اعمال کنید.

از شماره 546 (ب، د، ف، ج) حل کنید. خاصیت توزیعی ضرب را نسبت به تفریق اعمال کنید.

وظایف با درجه "3".

حل شماره 546 (الف، ج، د، گ، ح، ط). خاصیت توزیعی ضرب را نسبت به جمع اعمال کنید.

حل شماره 546 (ب، د، و، ج).

برای حل مسئله شماره 552 یک عبارت بنویسید و یک نقاشی بکشید.

فاصله این دو روستا 18 کیلومتر است. دو دوچرخه سوار از آنها در جهات مختلف خارج شدند. یکی m کیلومتر در ساعت و دیگری n کیلومتر را طی می کند. بعد از 4 ساعت فاصله بین آنها چقدر خواهد بود؟

(به صورت شفاهی. مثال ها در پشت تابلو نوشته شده است.)

اعداد از دست رفته را جایگزین کنید:

تکلیف از کتاب الکترونیکی «ریاضی 5-11 پایه. فرصت های جدید برای تسلط بر درس ریاضی. کارگاه". "Drofa" LLC 2004، "DOS" LLC 2004، CD - ROM، NFPC." بخش "ریاضیات. اعداد صحیح". وظیفه شماره 7. کنترل سریع اعداد از دست رفته را بازیابی کنید

6. جمع بندی درس.

بنابراین، ما به ویژگی توزیعی ضرب نسبت به جمع و تفریق نگاه کرده‌ایم. بیایید فرمول خاصیت را تکرار کنیم، برابری های بیان کننده مال را بخوانید. کاربرد خاصیت توزیعی ضرب چپ به راست را می توان با شرط "پرانتز باز" بیان کرد، زیرا در سمت چپ برابری عبارت در پرانتز قرار داشت، اما در سمت راست هیچ پرانتزی وجود نداشت. هنگام حل تمرین های شفاهی برای حدس زدن روز هفته، از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع نیز استفاده کردیم.

(شماره * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * شماره + 250، و سپس معادله ای از شکل را حل کرد:
100 * No + 250 = a