نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی. تابع توان، خواص آن و نمودار مطالب نمایشی درس-سخنرانی مفهوم تابع

این مطالب آموزشی فقط برای مرجع است و به طیف وسیعی از موضوعات مرتبط است. این مقاله مروری بر نمودارهای توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد و مهمترین موضوع را در نظر می گیرد - چگونه یک نمودار را به درستی و سریع بسازیم. در دوره تحصیل ریاضیات عالی بدون آگاهی از نمودارهای توابع ابتدایی ابتدایی دشوار خواهد بود، بنابراین بسیار مهم است که به یاد داشته باشید نمودارهای سهمی، هذلولی، سینوس، کسینوس و غیره چگونه هستند و برخی از آنها را به خاطر بسپارید. از معانی توابع همچنین در مورد برخی از ویژگی های توابع اصلی صحبت خواهیم کرد.

من ادعای کامل بودن و دقیق بودن علمی مطالب را ندارم، اول از همه بر روی تمرین تأکید می شود - مواردی که با آنها انسان به معنای واقعی کلمه در هر مرحله، در هر مبحثی از ریاضیات عالی، با آن مواجه می شود. نمودار برای آدمک ها؟ یکی می تواند چنین بگوید.

به دلیل درخواست های متعدد خوانندگان فهرست مطالب قابل کلیک:

علاوه بر این، یک خلاصه فوق العاده کوتاه در مورد این موضوع وجود دارد
- با مطالعه شش صفحه بر 16 نوع نمودار مسلط شوید!

جدی، شش، حتی من تعجب کردم. این خلاصه شامل گرافیک بهبود یافته است و با هزینه اسمی در دسترس است؛ نسخه آزمایشی قابل مشاهده است. چاپ فایل راحت است تا نمودارها همیشه در دسترس باشند. با تشکر برای حمایت از پروژه!

و بیایید بلافاصله شروع کنیم:

چگونه محورهای مختصات را به درستی بسازیم؟

در عمل، آزمون ها تقریباً همیشه توسط دانش آموزان در دفترچه های جداگانه، که در یک مربع ردیف شده اند، تکمیل می شود. چرا به علامت های شطرنجی نیاز دارید؟ پس از همه، کار، در اصل، می تواند بر روی ورق های A4 انجام شود. و قفس فقط برای طراحی با کیفیت و دقیق نقشه ها ضروری است.

هر رسم نمودار تابع با محورهای مختصات شروع می شود.

نقاشی ها می توانند دو بعدی یا سه بعدی باشند.

بیایید ابتدا مورد دو بعدی را در نظر بگیریم سیستم مختصات مستطیلی دکارتی:

1) محورهای مختصات را رسم کنید. محور نامیده می شود محور x ، و محور است محور y . ما همیشه سعی می کنیم آنها را ترسیم کنیم مرتب و کج نیست. همچنین پیکان ها نباید شبیه ریش پاپا کارلو باشند.

2) محورها را با حروف بزرگ "X" و "Y" امضا می کنیم. برچسب زدن محورها را فراموش نکنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید: یک صفر و دو یک را رسم کنید. هنگام ایجاد یک نقاشی، راحت ترین و پرکاربردترین مقیاس این است: 1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ) - در صورت امکان، به آن بچسبید. با این حال، هر از گاهی اتفاق می افتد که نقاشی روی برگه نوت بوک قرار نمی گیرد - سپس مقیاس را کاهش می دهیم: 1 واحد = 1 سلول (نقاشی در سمت راست). نادر است، اما اتفاق می افتد که مقیاس نقاشی باید حتی بیشتر کاهش یابد (یا افزایش یابد)

نیازی به "مسلسله" نیست …-5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، ….زیرا هواپیمای مختصات یادبود دکارت نیست و دانش آموز کبوتر نیست. ما گذاشتیم صفرو دو واحد در امتداد محورها. گاهی بجایواحدها، "علامت گذاری" مقادیر دیگر، به عنوان مثال، "دو" در محور آبسیسا و "سه" در محور مختصات راحت است - و این سیستم (0، 2 و 3) همچنین شبکه مختصات را به طور منحصر به فرد تعریف می کند.

بهتر است قبل از ساخت نقشه، ابعاد تخمین زده شده را تخمین بزنید. بنابراین، برای مثال، اگر کار مستلزم ترسیم مثلث با رئوس، , , باشد، کاملاً واضح است که مقیاس محبوب 1 واحد = 2 سلول کار نخواهد کرد. چرا؟ بیایید به این نکته نگاه کنیم - در اینجا باید پانزده سانتی متر به پایین اندازه گیری کنید، و بدیهی است که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد (یا به سختی جا می شود). بنابراین، بلافاصله یک مقیاس کوچکتر را انتخاب می کنیم: 1 واحد = 1 سلول.

به هر حال، حدود سانتی متر و سلول های نوت بوک. آیا این درست است که 30 سلول نوت بوک حاوی 15 سانتی متر است؟ برای سرگرمی، 15 سانتی متر را در دفترچه یادداشت خود با خط کش اندازه بگیرید. در اتحاد جماهیر شوروی ممکن است این موضوع درست بوده باشد... جالب است بدانید که اگر همین سانتی متر ها را به صورت افقی و عمودی اندازه بگیرید، نتایج (در سلول ها) متفاوت می شود! به بیان دقیق، نوت بوک های مدرن شطرنجی نیستند، بلکه مستطیلی هستند. این ممکن است مزخرف به نظر برسد، اما کشیدن، به عنوان مثال، یک دایره با قطب نما در چنین شرایطی بسیار ناخوشایند است. صادقانه بگویم، در چنین لحظاتی شما شروع به فکر کردن به درستی رفیق استالین می کنید که برای کار هک در تولید به اردوگاه ها فرستاده شده بود، نه به صنعت خودروسازی داخلی، سقوط هواپیماها یا انفجار نیروگاه ها.

صحبت از کیفیت، یا یک توصیه کوتاه در مورد لوازم التحریر. امروزه، بیشتر نوت‌بوک‌هایی که به فروش می‌رسند، دست‌کم، کاملاً مزخرف هستند. به این دلیل که خیس می شوند و نه تنها از قلم های ژل، بلکه از قلم های توپی نیز! روی کاغذ پول پس انداز می کنند. برای تکمیل آزمایشات، توصیه می کنم از نوت بوک های کارخانه خمیر و کاغذ آرخانگلسک (18 ورق مربع) یا "Pyaterochka" استفاده کنید، اگرچه گران تر است. بهتر است یک خودکار ژل انتخاب کنید؛ حتی ارزان‌ترین ژل پرکننده چینی بسیار بهتر از خودکار است که کاغذ را لکه می‌کند یا پاره می‌کند. تنها قلم توپ "رقابتی" که می توانم به خاطر بیاورم اریش کراوز است. او واضح، زیبا و پیوسته می نویسد – چه با هسته کامل و چه با هسته تقریباً خالی.

علاوه بر این: دید یک سیستم مختصات مستطیلی از نگاه هندسه تحلیلی در مقاله پوشش داده شده است. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها، اطلاعات دقیق در مورد یک چهارم مختصات را می توانید در پاراگراف دوم درس بیابید نابرابری های خطی.

کیس سه بعدی

اینجا هم تقریبا همینطوره

1) محورهای مختصات را رسم کنید. استاندارد: محور اعمال می شود - جهت به سمت بالا، محور - جهت به سمت راست، محور - جهت به سمت پایین به سمت چپ موکدادر زاویه 45 درجه

2) محورها را برچسب بزنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید. مقیاس در امتداد محور دو برابر کوچکتر از مقیاس در امتداد محورهای دیگر است. همچنین توجه داشته باشید که در نقاشی سمت راست از یک "بریدگی" غیر استاندارد در امتداد محور استفاده کردم (این امکان قبلاً در بالا ذکر شد). از نظر من، این دقیق تر، سریع تر و از نظر زیبایی شناسی دلپذیرتر است - نیازی به جستجوی وسط سلول در زیر میکروسکوپ نیست و واحدی نزدیک به مبدأ مختصات "مجسمه سازی" است.

هنگام ساخت یک طراحی سه بعدی، مجدداً اولویت را به مقیاس بدهید
1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ).

همه این قوانین برای چیست؟ قوانین برای شکستن ساخته شده است. این کاری است که من اکنون انجام خواهم داد. واقعیت این است که نقشه های بعدی مقاله توسط من در اکسل انجام می شود و محورهای مختصات از نظر طراحی صحیح نادرست به نظر می رسند. من می‌توانم تمام نمودارها را با دست ترسیم کنم، اما ترسیم آنها واقعاً ترسناک است زیرا اکسل تمایلی به ترسیم دقیق‌تر آنها ندارد.

نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی

یک تابع خطی با معادله داده می شود. نمودار توابع خطی است مستقیم. برای ایجاد یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است.

مثال 1

یک نمودار از تابع بسازید. بیایید دو نکته را پیدا کنیم. انتخاب صفر به عنوان یکی از نقاط سودمند است.

اگر پس از آن

نکته دیگری را در نظر بگیریم، مثلاً 1.

اگر پس از آن

هنگام تکمیل وظایف، مختصات نقاط معمولاً در یک جدول خلاصه می شود:

و مقادیر خود به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس، یک ماشین حساب محاسبه می شوند.

دو نکته پیدا شد، بیایید یک نقاشی بکشیم:

هنگام تهیه نقاشی، همیشه گرافیک را امضا می کنیم.

یادآوری موارد خاص یک تابع خطی مفید خواهد بود:

توجه کنید که چگونه امضاها را گذاشتم، هنگام مطالعه نقاشی، امضاها نباید مغایرت داشته باشند. در این مورد، قرار دادن یک امضا در کنار نقطه تلاقی خطوط یا در پایین سمت راست بین نمودارها بسیار نامطلوب بود.

1) تابع خطی شکل () تناسب مستقیم نامیده می شود. مثلا، . یک نمودار تناسب مستقیم همیشه از مبدا عبور می کند. بنابراین، ساخت یک خط مستقیم ساده شده است - کافی است فقط یک نقطه را پیدا کنید.

2) یک معادله شکل، یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع بلافاصله و بدون یافتن هیچ نقطه ای رسم می شود. یعنی ورودی باید به صورت زیر درک شود: "y همیشه برابر با -4 برای هر مقدار x است."

3) یک معادله شکل، یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع نیز بلافاصله رسم می شود. ورودی باید به صورت زیر درک شود: "x همیشه، برای هر مقدار y، برابر با 1 است."

برخی خواهند پرسید چرا کلاس ششم را به یاد می آوریم؟! همین‌طور است، شاید هم همین‌طور باشد، اما در طول سال‌ها تمرین، با ده‌ها دانش‌آموز آشنا شدم که از کار ساختن نموداری مانند یا گیج شده بودند.

ایجاد یک خط مستقیم رایج ترین اقدام در هنگام ساختن نقشه ها است.

خط مستقیم در درس هندسه تحلیلی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد و علاقه مندان می توانند به مقاله مراجعه کنند. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

نمودار یک تابع درجه دوم، مکعب، نمودار یک چند جمله ای

سهمی. نمودار یک تابع درجه دوم () یک سهمی را نشان می دهد. مورد معروف را در نظر بگیرید:

بیایید برخی از ویژگی های تابع را به یاد بیاوریم.

بنابراین، حل معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار دارد. چرایی این چنین است را می توان در مقاله نظری در مورد مشتق و درس در مورد مادون تابع یافت. در ضمن، بیایید مقدار "Y" مربوطه را محاسبه کنیم:

بنابراین، راس در نقطه است

اکنون نقاط دیگری را می یابیم، در حالی که گستاخانه از تقارن سهمی استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که تابع – یکنواخت نیست، اما، با این وجود، هیچ کس تقارن سهمی را لغو نکرد.

فکر می کنم از جدول نهایی مشخص شود که به چه ترتیب امتیازهای باقی مانده را پیدا کنید:

این الگوریتم ساخت‌وساز را می‌توان به‌طور مجازی «شاتل» یا اصل «برق و عقب» با آنفیسا چخوا نامید.

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

از نمودارهای بررسی شده، ویژگی مفید دیگری به ذهن متبادر می شود:

برای تابع درجه دوم () موارد زیر درست است:

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند.

دانش عمیق در مورد منحنی را می توان در درس Hyperbola و Parabola بدست آورد.

سهمی مکعبی با تابع داده می شود. در اینجا یک نقاشی آشنا از مدرسه است:

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع را فهرست کنیم

نمودار یک تابع

نشان دهنده یکی از شاخه های سهمی است. بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ویژگی های اصلی تابع:

در این مورد، محور است مجانب عمودی برای نمودار هذلولی در .

این یک اشتباه فاحش خواهد بود اگر هنگام ترسیم یک نقاشی، بی دقت اجازه دهید نمودار با مجانبی قطع شود.

همچنین محدودیت های یک طرفه به ما می گویند که هذلولی از بالا محدود نیستو از پایین محدود نیست.

بیایید تابع را در بی‌نهایت بررسی کنیم، یعنی اگر در امتداد محور به سمت چپ (یا راست) تا بی‌نهایت حرکت کنیم، «بازی‌ها» در یک مرحله منظم خواهند بود. بی نهایت نزدیکنزدیک به صفر، و بر این اساس، شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیکبه محور نزدیک شوید

پس محور است مجانب افقی برای نمودار یک تابع، اگر "x" به مثبت یا منفی بی نهایت تمایل داشته باشد.

تابع است فرد، و بنابراین، هذلول نسبت به مبدا متقارن است. این واقعیت از نقاشی آشکار است، علاوه بر این، به راحتی به صورت تحلیلی تأیید می شود: .

نمودار تابعی از شکل () دو شاخه از هذلولی را نشان می دهد.

اگر، آنگاه هذلولی در ربع مختصات اول و سوم قرار دارد(تصویر بالا را ببینید).

اگر، هذلولی در ربع مختصات دوم و چهارم قرار دارد.

الگوی نشان‌داده‌شده سکونت هذلولی از دیدگاه تبدیل‌های هندسی نمودارها به راحتی قابل تحلیل است.

مثال 3

شاخه سمت راست هذلولی را بسازید

ما از روش ساخت نقطه‌ای استفاده می‌کنیم و انتخاب مقادیر به گونه‌ای مفید است که آنها بر یک کل تقسیم شوند:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

ساختن شاخه سمت چپ هذلولی دشوار نخواهد بود؛ عجیب بودن تابع در اینجا کمک خواهد کرد. به طور تقریبی در جدول ساخت نقطه ای به صورت ذهنی به هر عدد یک منهای اضافه می کنیم و نقاط مربوطه را قرار می دهیم و شاخه دوم را رسم می کنیم.

اطلاعات هندسی دقیق در مورد خط در نظر گرفته شده را می توان در مقاله Hyperbola and Parabola یافت.

نمودار یک تابع نمایی

در این بخش، من فوراً تابع نمایی را در نظر خواهم گرفت، زیرا در مسائل ریاضیات عالی در 95٪ موارد، نمایی است که ظاهر می شود.

به شما یادآوری کنم که این یک عدد غیر منطقی است: ، هنگام ساخت یک نمودار لازم است که در واقع بدون تشریفات آن را می سازم. سه نکته احتمالا کافی است:

بیایید فعلاً نمودار تابع را به حال خود رها کنیم و بعداً در مورد آن بیشتر توضیح خواهیم داد.

ویژگی های اصلی تابع:

نمودارهای تابع و غیره اساساً یکسان به نظر می رسند.

باید بگویم که مورد دوم در عمل کمتر اتفاق می افتد، اما اتفاق می افتد، بنابراین لازم دانستم آن را در این مقاله قرار دهم.

نمودار تابع لگاریتمی

تابعی را با لگاریتم طبیعی در نظر بگیرید.
بیایید یک نقاشی نقطه به نقطه انجام دهیم:

اگر فراموش کرده اید لگاریتم چیست، لطفاً به کتاب های درسی مدرسه خود مراجعه کنید.

ویژگی های اصلی تابع:

دامنه:

محدوده مقادیر: .

عملکرد از بالا محدود نمی شود: ، هرچند به کندی، اما شاخه لگاریتم تا بی نهایت بالا می رود.
اجازه دهید رفتار تابع نزدیک به صفر در سمت راست را بررسی کنیم: . پس محور است مجانب عمودی زیرا نمودار یک تابع به عنوان "x" از سمت راست به صفر میل می کند.

دانستن و به خاطر سپردن مقدار معمولی لگاریتم ضروری است: .

در اصل، نمودار لگاریتم به پایه یکسان است: , , (لگاریتم اعشاری به پایه 10) و غیره. علاوه بر این، هرچه پایه بزرگتر باشد، نمودار صاف تر خواهد بود.

ما این مورد را در نظر نخواهیم گرفت؛ آخرین باری که نموداری با چنین مبنایی ساختم را به خاطر نمی‌آورم. و لگاریتم به نظر می رسد مهمان بسیار نادری در مسائل ریاضیات عالی باشد.

در پایان این پاراگراف یک واقعیت دیگر را می گویم: تابع نمایی و تابع لگاریتمی- این دو تابع معکوس متقابل هستند. اگر به نمودار لگاریتم دقت کنید، می بینید که این همان توان است، فقط کمی متفاوت است.

نمودارهای توابع مثلثاتی

عذاب مثلثاتی در مدرسه از کجا شروع می شود؟ درست. از سینوس

بیایید تابع را رسم کنیم

این خط نامیده می شود سینوسی.

به شما یادآوری می کنم که "پی" یک عدد غیر منطقی است: و در مثلثات چشمان شما را خیره می کند.

ویژگی های اصلی تابع:

این تابع است تناوبیبا دوره . چه مفهومی داره؟ بیایید به بخش نگاه کنیم. در سمت چپ و راست آن، دقیقاً همان قطعه نمودار بی انتها تکرار می شود.

دامنه: یعنی برای هر مقدار "x" یک مقدار سینوسی وجود دارد.

محدوده مقادیر: . تابع است محدود: یعنی همه «بازی‌ها» به شدت در بخش قرار می‌گیرند.
این اتفاق نمی افتد: یا به عبارت دقیق تر، اتفاق می افتد، اما این معادلات راه حلی ندارند.

درس و ارائه با موضوع: "توابع قدرت. ویژگی ها. نمودارها"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 9-11 "مثلثات"
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس 10-11 "لگاریتم"

توابع قدرت، حوزه تعریف.

بچه ها، در درس آخر یاد گرفتیم که چگونه با اعداد با توان گویا کار کنیم. در این درس به توابع توان نگاه می کنیم و خود را به حالتی محدود می کنیم که توان گویا باشد.
ما توابعی از فرم را در نظر خواهیم گرفت: $y=x^(\frac(m)(n))$.
اجازه دهید ابتدا توابعی را در نظر بگیریم که توان آنها $\frac(m)(n)>1$ است.
اجازه دهید یک تابع خاص $y=x^2*5$ به ما داده شود.
طبق تعریفی که در درس آخر دادیم: اگر $x≥0$ باشد، دامنه تعریف تابع ما پرتو $(x)$ است. بیایید نمودار خود را از تابع به صورت شماتیک به تصویر بکشیم.

ویژگی های تابع $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. نه زوج است و نه فرد.
3. $$ افزایش می یابد،
ب) (2،10) دلار،
ج) روی اشعه $$.
راه حل.
بچه ها، یادتان هست چگونه در کلاس دهم بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را در یک بخش پیدا کردیم؟
درست است، ما از مشتق استفاده کردیم. بیایید مثال خود را حل کنیم و الگوریتم را برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقدار تکرار کنیم.
1. مشتق تابع داده شده را بیابید:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. مشتق در کل دامنه تعریف تابع اصلی وجود دارد، پس هیچ نقطه بحرانی وجود ندارد. بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ و $x_2=\sqrt(64)=4$.
یک بخش داده شده فقط حاوی یک راه حل $x_2=4$ است.
بیایید جدولی از مقادیر تابع خود در انتهای بخش و در نقطه منتهی بسازیم:
پاسخ: $y_(name)=-862.65$ در $x=9$; $y_(حداکثر)=38.4$ در $x=4$.

مثال. معادله را حل کنید: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
راه حل. نمودار تابع $y=x^(\frac(4)(3))$ افزایش می یابد و نمودار تابع $y=24-x$ کاهش می یابد. بچه ها، من و شما می دانیم: اگر یک تابع افزایش یابد و دیگری کاهش یابد، آنها فقط در یک نقطه قطع می کنند، یعنی ما فقط یک راه حل داریم.
توجه داشته باشید:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
یعنی با $x=8$ برابری صحیح $16=16$ را بدست آوردیم، این راه حل معادله ما است.
پاسخ: $x=8$.

مثال.
نمودار تابع: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
راه حل.
نمودار تابع ما از نمودار تابع $y=x^(\frac(3)(4))$ به دست می آید و آن را 3 واحد به راست و 2 واحد به بالا منتقل می کنیم.

مثال. معادله ای برای مماس به خط $y=x^(-\frac(4)(5))$ در نقطه $x=1$ بنویسید.
راه حل. معادله مماس با فرمولی که می دانیم تعیین می شود:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
در مورد ما $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
بیایید مشتق را پیدا کنیم:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
بیایید محاسبه کنیم:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
بیایید معادله مماس را پیدا کنیم:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
پاسخ: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید: $y=x^\frac(4)(3)$ در بخش:
الف) $$.
ب) (4.50) دلار.
ج) روی اشعه $$.
3. معادله را حل کنید: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. نموداری از تابع بسازید: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. یک معادله برای مماس بر خط مستقیم $y=x^(-\frac(3)(7))$ در نقطه $x=1$ ایجاد کنید.

خواص و نمودارهای توابع توان برای مقادیر مختلف توان ارائه شده است. فرمول های اساسی، حوزه های تعریف و مجموعه مقادیر، برابری، یکنواختی، افزایش و کاهش، حدت، تحدب، عطف ها، نقاط تقاطع با محورهای مختصات، حدود، مقادیر خاص.

فرمول هایی با توابع قدرت

در دامنه تعریف تابع توان y = x p فرمول های زیر برقرار است:
; ;
;
; ;
; ;
; .

ویژگی های توابع توان و نمودارهای آنها

تابع توان با توان برابر صفر، p = 0

اگر توان تابع توان y = x p برابر با صفر باشد، p = 0، آنگاه تابع توان برای همه x ≠ 0 تعریف می شود و یک ثابت برابر با یک است:
y = x p = x 0 = 1، x ≠ 0.

تابع توان با توان فرد طبیعی، p = n = 1، 3، 5، ...

تابع توانی y = x p = x n را با توان فرد طبیعی n = 1، 3، 5، ... در نظر بگیرید. این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k + 1، که k = 0، 1، 2، 3، ... یک عدد صحیح غیر منفی است. در زیر مشخصات و نمودارهای این توابع آورده شده است.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....

دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: -∞ < y < ∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در -∞< x < 0 выпукла вверх
در 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط عطف: x = 0، y = 0
x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1،
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 1، تابع معکوس آن است: x = y
برای n ≠ 1، تابع معکوس ریشه درجه n است:

تابع توان با توان زوج طبیعی، p = n = 2، 4، 6، ...

تابع توانی y = x p = x n با توان طبیعی زوج n = 2، 4، 6، ... را در نظر بگیرید. این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، ... - طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.

نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....

دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: 0 ≤ y< ∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
برای x ≤ 0 به طور یکنواخت کاهش می یابد
برای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل، x = 0، y = 0
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 2، جذر:
برای n ≠ 2، ریشه درجه n:

تابع توان با توان عدد صحیح منفی، p = n = -1، -2، -3، ...

یک تابع توانی y = x p = x n با توان منفی n = -1، -2، -3، ... را در نظر بگیرید. اگر n = -k را قرار دهیم، جایی که k = 1، 2، 3، ... یک عدد طبیعی است، آنگاه می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

نمودار یک تابع توان y = x n با نما عدد صحیح منفی برای مقادیر مختلف توان n = -1، -2، -3، ... .

توان فرد، n = -1، -3، -5، ...

در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.

دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y ≠ 0
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0 : выпукла вверх
برای x > 0: محدب رو به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
وقتی n = -1،
در n< -2 ,

توان زوج، n = -2، -4، -6، ...

در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.

دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y > 0
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 : монотонно возрастает
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن: y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
در n = -2،
در n< -2 ,

تابع توان با توان گویا (کسری).

تابع توانی y = x p را با توان گویا (کسری) در نظر بگیرید، که در آن n یک عدد صحیح است، m > 1 یک عدد طبیعی است. علاوه بر این، n، m مقسوم علیه مشترک ندارند.

مخرج شاخص کسری فرد است

مخرج ضریب کسری فرد باشد: m = 3, 5, 7, ... . در این حالت تابع توان x p برای مقادیر مثبت و منفی آرگومان x تعریف می شود. اجازه دهید خواص چنین توابع توانی را زمانی در نظر بگیریم که توان p در محدوده خاصی باشد.

مقدار p منفی است، p< 0

توان گویا (با مخرج فرد m = 3، 5، 7، ...) کمتر از صفر باشد: .

نمودارهای توابع توان با یک توان منفی گویا برای مقادیر مختلف توان، که m = 3، 5، 7، ... فرد است.

عدد فرد، n = -1، -3، -5، ...

ما ویژگی های تابع توان y = x p را با یک توان منفی گویا ارائه می کنیم، که در آن n = -1، -3، -5، ... یک عدد صحیح منفی فرد است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد است. عدد صحیح طبیعی عجیب و غریب

دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y ≠ 0
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0 : выпукла вверх
برای x > 0: محدب رو به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = (-1) n = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:

صورت زوج، n = -2، -4، -6، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با یک توان منفی گویا، که در آن n = -2، -4، -6، ... یک عدد صحیح منفی زوج است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد صحیح طبیعی فرد است. .

دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y > 0
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 : монотонно возрастает
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن: y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = (-1) n = 1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:

مقدار p مثبت است، کمتر از یک، 0< p < 1

نمودار تابع توان با توان گویا (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

عدد فرد، n = 1، 3، 5، ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

دامنه: -∞ < x < +∞
معانی متعدد: -∞ < y < +∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0 : выпукла вниз
برای x > 0: محدب به سمت بالا
نقاط عطف: x = 0، y = 0
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
امضا کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = -1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

عدد زوج، n = 2، 4، 6، ...

خواص تابع توان y = x p با توان گویا در 0 ارائه شده است< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

دامنه: -∞ < x < +∞
معانی متعدد: 0 ≤ y< +∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 : монотонно убывает
برای x > 0: یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل در x = 0، y = 0
محدب:محدب به سمت بالا برای x ≠ 0
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
امضا کردن:برای x ≠ 0، y > 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = 1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

شاخص p بزرگتر از یک است، p > 1

نمودار یک تابع توان با یک توان گویا (p> 1) برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... - فرد است.

عدد فرد، n = 5، 7، 9، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: . که در آن n = 5، 7، 9، ... - عجیب طبیعی، m = 3، 5، 7 ... - طبیعی عجیب و غریب.

دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: -∞ < y < ∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در -∞< x < 0 выпукла вверх
در 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط عطف: x = 0، y = 0
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = -1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

عدد زوج، n = 4، 6، 8، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: . که در آن n = 4، 6، 8، ... - زوج طبیعی، m = 3، 5، 7 ... - طبیعی عجیب و غریب.

دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: 0 ≤ y< ∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0 монотонно убывает
برای x > 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل در x = 0، y = 0
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = 1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:

مخرج نشانگر کسری زوج است

مخرج ضریب کسری زوج باشد: m = 2, 4, 6, ... . در این حالت، تابع توان x p برای مقادیر منفی آرگومان تعریف نشده است. ویژگی‌های آن با ویژگی‌های یک تابع توان با توان غیرمنطقی منطبق است (به بخش بعدی مراجعه کنید).

تابع توان با توان غیر منطقی

تابع توانی y = x p را با توان غیر منطقی p در نظر بگیرید. ویژگی های چنین توابعی با مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت متفاوت است زیرا برای مقادیر منفی آرگومان x تعریف نشده اند. برای مقادیر مثبت آرگومان، ویژگی ها فقط به مقدار توان p بستگی دارد و به اینکه p عدد صحیح، منطقی یا غیر منطقی است بستگی ندارد.

y = x p برای مقادیر مختلف توان p.

تابع توان با توان منفی p< 0

دامنه: x > 0
معانی متعدد: y > 0
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
محدودیت ها: ;
معنی خصوصی:برای x = 1، y(1) = 1 p = 1

تابع توان با توان مثبت p > 0

نشانگر کمتر از یک 0< p < 1

دامنه: x ≥ 0
معانی متعدد: y ≥ 0
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
محدب:محدب به سمت بالا
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.
برای x = 1، y(1) = 1 p = 1

نشانگر بزرگتر از یک p > 1 است

دامنه: x ≥ 0
معانی متعدد: y ≥ 0
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.
برای x = 1، y(1) = 1 p = 1

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

دانشگاه ملی تحقیقات

گروه زمین شناسی کاربردی

چکیده در مورد ریاضیات عالی

با موضوع: "توابع ابتدایی اساسی،

خواص و نمودارهای آنها"

تکمیل شد:

بررسی شد:

معلم

تعریف. تابعی که با فرمول y=a x (که در آن a>0، a≠1) داده می شود، تابع نمایی با پایه a نامیده می شود.

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع نمایی را فرموله کنیم:

1. دامنه تعریف مجموعه (R) همه اعداد حقیقی است.

2. محدوده - مجموعه (R+) همه اعداد حقیقی مثبت.

3. برای یک > 1، تابع در طول کل خط اعداد افزایش می یابد. در 0<а<1 функция убывает.

4. تابع شکل کلی است.

، در بازه xO [-3;3]
، در بازه xO [-3;3]

تابعی به شکل y(x)=xn که n عدد ОR است، تابع توان نامیده می شود. عدد n می تواند مقادیر مختلفی داشته باشد: هم عدد صحیح و هم کسری، هم زوج و هم فرد. بسته به این، تابع قدرت شکل متفاوتی خواهد داشت. بیایید موارد خاصی را که توابع توان هستند در نظر بگیریم و خصوصیات اساسی این نوع منحنی را به ترتیب زیر منعکس کنیم: تابع توان y=x² (تابع با توان زوج - سهمی)، تابع توان y=x³ (تابع با توان فرد). - سهمی مکعبی) و تابع y=√x (x به توان ½) (تابع با توان کسری)، تابع با توان عدد صحیح منفی (هذلولی).

تابع توان y=x²

1. D(x)=R - تابع بر روی کل محور عددی تعریف شده است.

2. E(y)= و در بازه افزایش می یابد

تابع توان y=x³

1. نمودار تابع y=x³ سهمی مکعبی نامیده می شود. تابع توان y=x³ دارای ویژگی های زیر است:

2. D(x)=R - تابع بر روی کل محور عددی تعریف شده است.

3. E(y)=(-∞;∞) - تابع تمام مقادیر را در دامنه تعریف خود می گیرد.

4. وقتی x=0 y=0 – تابع از مبدا مختصات O(0;0) عبور می کند.

5. تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

6. تابع فرد است (متقارن نسبت به مبدا).

، در بازه xO [-3;3]

بسته به ضریب عددی مقابل x³، تابع می تواند شیب دار/مسطح و افزایش/کاهش باشد.

تابع توان با توان عدد صحیح منفی:

اگر توان n فرد باشد، نمودار چنین تابع توانی هذلولی نامیده می شود. یک تابع توان با یک توان منفی عدد صحیح دارای ویژگی های زیر است:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) برای هر n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞)، اگر n عدد فرد باشد. E(y)=(0;∞)، اگر n عدد زوج باشد.

3. اگر n یک عدد فرد باشد، تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد. اگر n عدد زوج باشد، تابع در بازه (-∞;0) افزایش می یابد و در بازه (0;∞) کاهش می یابد.

4. اگر n یک عدد فرد باشد، تابع فرد است (متقارن در مورد مبدا). یک تابع حتی اگر n یک عدد زوج باشد.

5. اگر n عدد فرد باشد، تابع از نقاط (1;1) و (-1;-1) و اگر n عدد زوج باشد از نقاط (1;1) و (1;1) عبور می کند.

، در بازه xO [-3;3]

تابع توان با توان کسری

یک تابع توان با توان کسری (تصویر) دارای نمودار تابع نشان داده شده در شکل است. یک تابع توان با یک توان کسری دارای ویژگی های زیر است: (تصویر)

1. D(x) ОR، اگر n عدد فرد باشد و D(x)=
، در بازه xО
، در بازه xO [-3;3]

تابع لگاریتمی y = log a x دارای ویژگی های زیر است:

1. دامنه تعریف D(x)О (0؛ + ∞).

2. محدوده مقادیر E(y) О (- ∞؛ + ∞)

3. تابع نه زوج است و نه فرد (به صورت کلی).

4. تابع در بازه (0؛ + ∞) برای یک > 1 افزایش می یابد، در (0؛ + ∞) برای 0 کاهش می یابد.< а < 1.

نمودار تابع y = log a x را می توان از نمودار تابع y = a x با استفاده از تبدیل تقارن در مورد خط مستقیم y = x بدست آورد. شکل 9 نموداری از تابع لگاریتمی را برای یک > 1 و شکل 10 را برای 0 نشان می دهد.< a < 1.

; در بازه xO
; در بازه xO

توابع y = sin x، y = cos x، y = tan x، y = ctg x توابع مثلثاتی نامیده می شوند.

توابع y = sin x، y = tan x، y = ctg x فرد هستند و تابع y = cos x زوج است.

تابع y = sin(x).

1. دامنه تعریف D(x) ОR.

2. محدوده مقادیر E(y) О [ - 1; 1].

3. تابع دوره ای است. دوره اصلی 2π است.

4. تابع فرد است.

5. تابع در فواصل [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] و در فواصل [π/2 + 2πn کاهش می یابد. 3π/2 + 2πn]، n О Z.

نمودار تابع y = sin (x) در شکل 11 نشان داده شده است.