نحوه انجام معادلات لگاریتمی معادلات لگاریتمی

معادلات لگاریتمی ما همچنان به بررسی مسائل مربوط به بخش B از آزمون دولتی واحد در ریاضیات می پردازیم. ما قبلاً راه حل های برخی از معادلات را در مقالات """ بررسی کرده ایم. در این مقاله به بررسی معادلات لگاریتمی می پردازیم. من فوراً می گویم که هنگام حل چنین معادلاتی در آزمون یکپارچه دولتی هیچ تغییر پیچیده ای وجود نخواهد داشت. آنها ساده هستند.

کافی است هویت لگاریتمی پایه را بشناسیم و درک کنیم و ویژگی های لگاریتم را بدانیم. لطفاً توجه داشته باشید که پس از حل آن، باید یک بررسی انجام دهید - مقدار حاصل را با معادله اصلی جایگزین کنید و محاسبه کنید، در پایان باید برابری صحیح را بدست آورید.

تعریف:

لگاریتم یک عدد به مبنای b توان است.که برای بدست آوردن a باید b را به آن افزایش داد.

مثلا:

Log 3 9 = 2، از 3 2 = 9

خواص لگاریتم:

موارد خاص لگاریتم:

بیایید مشکلات را حل کنیم. در مثال اول ما یک بررسی انجام می دهیم. در آینده، خودتان آن را بررسی کنید.

ریشه معادله را پیدا کنید: log 3 (4–x) = 4

از آنجایی که log b a = x b x = a، پس

3 4 = 4 - x

x = 4 - 81

x = - 77

معاینه:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 درست است.

جواب: – 77

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 2 (4 – x) = 7

ریشه معادله لاگ 5 را پیدا کنید(4 + x) = 2

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم.

از آنجایی که log a b = x b x = a، پس

5 2 = 4 + x

x = 5 2 - 4

x = 21

معاینه:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 درست است.

جواب: 21

ریشه معادله log 3 (14 – x) = log 3 5 را بیابید.

خاصیت زیر صورت می گیرد، معنی آن به این صورت است: اگر در سمت چپ و راست معادله لگاریتمی با پایه یکسان داشته باشیم، می توانیم عبارات زیر علائم لگاریتم را برابر کنیم.

14 - x = 5

x=9

چک کنید

پاسخ: 9

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله log 5 (5 – x) = log 5 3 را بیابید.

ریشه معادله را پیدا کنید: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

اگر log c a = log c b، آنگاه a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

چک کنید

پاسخ: 6

ریشه معادله لاگ 1/8 (13 – x) = – 2 را بیابید.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 = 13 - x

x = 13 - 64

x = - 51

چک کنید

یک اضافه کوچک - ملک در اینجا استفاده می شود

درجه ().

پاسخ: - 51

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 1/7 (7 – x) = – 2

ریشه معادله log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 را بیابید.

بیایید سمت راست را تغییر دهیم. بیایید از ملک استفاده کنیم:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

اگر log c a = log c b، آنگاه a = b

4 - x = 5 2

4 - x = 25

x = – 21

چک کنید

پاسخ: - 21

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

معادله log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) را حل کنید

اگر log c a = log c b، آنگاه a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

چک کنید

جواب: 2.75

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) را بیابید.

معادله log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 را حل کنید.

برای به دست آوردن یک عبارت در سمت راست معادله لازم است:

لاگ 2 (......)

ما 1 را به عنوان لگاریتم پایه 2 نشان می دهیم:

1 = لاگ 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

ما گرفتیم:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

اگر log c a = log c b ، a = b ، پس

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0.4

چک کنید

پاسخ: 0.4

خودتان تصمیم بگیرید: بعد باید معادله درجه دوم را حل کنید. راستی،

ریشه ها 6 و - 4 هستند.

ریشه "-4" راه حل نیست، زیرا پایه لگاریتم باید بزرگتر از صفر باشد و با "– 4" برابر است با " – 5" راه حل ریشه 6 است.چک کنید

پاسخ: 6.

آر خودتان بخورید:

معادله را حل کنید x –5 49 = 2. اگر معادله بیش از یک ریشه دارد، با ریشه کوچکتر پاسخ دهید.

همانطور که دیدید، هیچ تبدیل پیچیده ای با معادلات لگاریتمی وجود نداردخیر کافی است خواص لگاریتم را بدانید و بتوانید آنها را اعمال کنید. در مسائل USE مربوط به تبدیل عبارات لگاریتمی، تبدیل های جدی تری انجام می شود و مهارت های عمیق تری در حل مورد نیاز است. ما به چنین نمونه هایی نگاه خواهیم کرد، آنها را از دست ندهید!آرزو می کنم موفق شوی!!!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

خواص اصلی.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.

3.

4. جایی که .

مثال 2. x if را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا بتوانید کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به درک مطالب، من فقط چند مثال رایج از برنامه درسی مدارس و دانشگاه ها را بیان می کنم.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.

این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

جبر یازدهم

موضوع: روش های حل معادلات لگاریتمی

اهداف درس:

آموزشی: شکل گیری دانش در مورد روش های مختلف حل معادلات لگاریتمی، توانایی به کارگیری آنها در هر موقعیت خاص و انتخاب هر روشی برای حل.

توسعه: توسعه مهارت های مشاهده، مقایسه، به کارگیری دانش در موقعیت جدید، شناسایی الگوها، تعمیم. توسعه مهارت های کنترل متقابل و خودکنترلی؛

آموزشی: پرورش نگرش مسئولانه نسبت به کار آموزشی، درک دقیق مطالب در درس و یادداشت برداری دقیق.

نوع درس: درس معرفی مطالب جدید.

اختراع لگاریتم، در عین حال که کار منجم را کاهش داد، عمر او را افزایش داد.
ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی P.S. لاپلاس

در طول کلاس ها

I. تعیین هدف درس

تعریف مورد مطالعه لگاریتم، خواص لگاریتم و تابع لگاریتمی به ما امکان حل معادلات لگاریتمی را می دهد. تمام معادلات لگاریتمی، مهم نیست که چقدر پیچیده باشند، با استفاده از الگوریتم های یکنواخت حل می شوند. در درس امروز به بررسی این الگوریتم ها خواهیم پرداخت. تعداد آنها زیاد نیست. اگر به آنها تسلط داشته باشید، هر معادله ای با لگاریتم برای هر یک از شما امکان پذیر خواهد بود.

موضوع درس را در دفتر خود یادداشت کنید: "روش حل معادلات لگاریتمی". از همه دعوت به همکاری میکنم

II. به روز رسانی دانش مرجع

بیایید برای مطالعه موضوع درس آماده شویم. شما هر کار را حل می کنید و پاسخ را یادداشت می کنید؛ لازم نیست شرط را بنویسید. دوتایی کار کنید.

1) تابع برای چه مقادیری از x معنی دارد:

(پاسخ ها برای هر اسلاید بررسی می شوند و خطاها مرتب می شوند)

2) آیا نمودارهای توابع منطبق هستند؟

3) تساوی ها را به صورت تساوی لگاریتمی بازنویسی کنید:

4) اعداد را به صورت لگاریتمی با پایه 2 بنویسید:

5) محاسبه کنید:

6) سعی کنید عناصر گمشده در این برابری ها را بازیابی یا تکمیل کنید.

III. مقدمه ای بر مواد جدید

عبارت زیر روی صفحه نمایش داده می شود:

"معادله کلید طلایی است که تمام کنجدهای ریاضی را باز می کند."
S. Kowal ریاضیدان مدرن لهستانی

سعی کنید تعریف یک معادله لگاریتمی را فرموله کنید. (معادله ای حاوی یک مجهول در زیر علامت لگاریتم).

در نظر بگیریم ساده ترین معادله لگاریتمی:ورود به سیستمآx = b(که a>0، a ≠ 1). از آنجایی که تابع لگاریتمی بر روی مجموعه اعداد مثبت افزایش (یا کاهش می‌یابد) و تمام مقادیر واقعی را می‌گیرد، پس از قضیه ریشه نتیجه می‌شود که برای هر b این معادله فقط یک جواب و یک مثبت دارد.

تعریف لگاریتم را به خاطر بسپارید. (لگاریتم یک عدد x به پایه a نشانگر توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید پایه a را به آن برد). از تعریف لگاریتم فوراً نتیجه می شود که آVچنین راه حلی است

عنوان را بنویسید: روش های حل معادلات لگاریتمی

1. با تعریف لگاریتم.

به این ترتیب ساده ترین معادلات فرم حل می شود.

در نظر بگیریم شماره 514 (a)): معادله را حل کنید

چگونه پیشنهاد می کنید آن را حل کنید؟ (با تعریف لگاریتم)

راه حل. ، بنابراین 2x - 4 = 4; x = 4.

در این کار، 2x - 4 > 0، زیرا > 0، بنابراین هیچ ریشه اضافی نمی تواند ظاهر شود و نیازی به بررسی نیست. شرط 2x - 4 > 0 نیازی به نوشتن در این کار نیست.

2. توانمندسازی(انتقال از لگاریتم یک عبارت داده شده به خود این عبارت).

در نظر بگیریم شماره 519 (g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

به چه ویژگی توجه کردید؟ (پایه ها یکسان و لگاریتم دو عبارت برابرند.) چه کاری می توان کرد؟ (تقویت کردن).

باید در نظر گرفت که هر راه حلی در بین تمام x ها وجود دارد که عبارات لگاریتمی آن مثبت است.

راه حل: ODZ:

X2+8>0 یک نابرابری غیر ضروری است

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

بیایید معادله اصلی را تقویت کنیم

معادله x2+8= 8x+8 را بدست می آوریم

بیایید آن را حل کنیم: x2-8x=0

پاسخ: 0; 8

به طور کلی انتقال به یک سیستم معادل:

معادله

(سیستم شامل یک شرط اضافی است - یکی از نابرابری ها لازم نیست در نظر گرفته شود).

سوال برای کلاس: کدام یک از این سه راه حل را بیشتر دوست داشتید؟ (بحث روش ها).

شما حق دارید به هر نحوی تصمیم بگیرید.

3. معرفی یک متغیر جدید.

در نظر بگیریم شماره 520 (g). .

چه چیزی را متوجه شدید؟ (این یک معادله درجه دوم با توجه به log3x است) پیشنهادی دارید؟ (یک متغیر جدید معرفی کنید)

راه حل. ODZ: x > 0.

اجازه دهید، سپس معادله به شکل:. ممیز D > 0. ریشه ها طبق قضیه ویتا:.

بیایید به جایگزینی برگردیم: یا.

با حل ساده ترین معادلات لگاریتمی، به دست می آوریم:

پاسخ: 27;

4. دو طرف معادله را لگاریتم کنید.

معادله را حل کنید:.

راه حل: ODZ: x>0، لگاریتم هر دو طرف معادله را در مبنای 10 بگیرید:

بیایید خاصیت لگاریتم یک توان را اعمال کنیم:

(logx + 3) logx = 4

اجازه دهید logx = y، سپس (y + 3)y = 4

، (D > 0) ریشه ها طبق قضیه ویتا: y1 = -4 و y2 = 1.

بیایید به جایگزینی برگردیم، دریافت می کنیم: lgx = -4,; lgx = 1، .

پاسخ: 0.0001; 10.

5. کاهش به یک پایه.

شماره 523 (ج). معادله را حل کنید:

راه حل: ODZ: x>0. بیایید به پایه 3 برویم.

6. روش کارکردی- گرافیکی.

№ 509 (د).معادله را به صورت گرافیکی حل کنید: = 3 - x.

چگونه پیشنهاد حل می کنید؟ (گراف دو تابع y = log2x و y = 3 - x را با استفاده از نقاط بسازید و به دنبال آبسیسا نقاط تقاطع نمودارها بگردید).

به راه حل خود در اسلاید نگاه کنید.

راهی برای جلوگیری از ایجاد نمودار وجود دارد . به شرح زیر می باشد : اگر یکی از توابع y = f(x) افزایش می یابد و دیگری y = g(x) در بازه X و سپس معادله کاهش می یابد f(x)= g(x) حداکثر یک ریشه در بازه X دارد.

اگر ریشه ای وجود داشته باشد، می توان حدس زد.

در مورد ما، تابع برای x>0 افزایش می یابد و تابع y = 3 - x برای تمام مقادیر x کاهش می یابد، از جمله برای x>0، به این معنی که معادله بیش از یک ریشه ندارد. توجه داشته باشید که در x = 2 معادله به یک برابری واقعی تبدیل می شود، زیرا .

"کاربرد صحیح روش ها را می توان توسط
فقط با به کار بردن آنها در نمونه های مختلف.»
مورخ دانمارکی ریاضیات G. G. Zeiten

منV. تکالیف

ص 39 مثال 3 را در نظر بگیرید، شماره 514 (ب)، شماره 529 (ب)، شماره 520 (ب)، شماره 523 (ب) را حل کنید.

V. جمع بندی درس

چه روش هایی برای حل معادلات لگاریتمی در کلاس بررسی کردیم؟

در درس های بعدی به معادلات پیچیده تر خواهیم پرداخت. برای حل آنها، روش های مورد مطالعه مفید خواهد بود.

آخرین اسلاید نشان داده شده:

«چه چیزی بیش از هر چیزی در جهان است؟
فضا.
عاقلانه ترین کار چیست؟
زمان.
بهترین قسمت چیست؟
به آنچه می خواهید برسید."
تالس

آرزو می کنم همه به آنچه می خواهند برسند. از همکاری و درک متقابل شما متشکریم.

دستورالعمل ها

عبارت لگاریتمی داده شده را بنویسید. اگر عبارت از لگاریتم 10 استفاده کند، نماد آن کوتاه شده و به صورت زیر است: lg b لگاریتم اعشاری است. اگر لگاریتم دارای عدد e به عنوان پایه باشد، عبارت: ln b – لگاریتم طبیعی را بنویسید. قابل درک است که نتیجه هر توانی است که عدد پایه باید به آن افزایش یابد تا عدد b به دست آید.

هنگام یافتن مجموع دو تابع، فقط باید آنها را یکی یکی از هم متمایز کنید و نتایج را اضافه کنید: (u+v)" = u"+v";

هنگام یافتن مشتق حاصل ضرب دو تابع، لازم است مشتق تابع اول را در تابع دوم ضرب کنیم و مشتق تابع دوم را ضرب در تابع اول جمع کنیم: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

برای یافتن مشتق ضریب دو تابع، باید از حاصل ضرب مشتق تقسیم در تابع مقسوم علیه، حاصل ضرب مشتق مقسوم بر تابع سود تقسیمی را کم کرد و تقسیم کرد. همه اینها توسط تابع مقسوم علیه مربع. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

اگر تابع مختلط داده شود، باید مشتق تابع داخلی و مشتق تابع خارجی را ضرب کرد. بگذارید y=u(v(x))، سپس y"(x)=y"(u)*v"(x).

با استفاده از نتایج به دست آمده در بالا، می توانید تقریباً هر تابعی را متمایز کنید. پس بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

y=x^4، y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)، y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *ایکس))؛
همچنین مشکلات مربوط به محاسبه مشتق در یک نقطه وجود دارد. اجازه دهید تابع y=e^(x^2+6x+5) داده شود، باید مقدار تابع را در نقطه x=1 پیدا کنید.
1) مشتق تابع را بیابید: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) مقدار تابع را در یک نقطه داده شده محاسبه کنید y"(1)=8*e^0=8

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

جدول مشتقات ابتدایی را یاد بگیرید. این به میزان قابل توجهی در زمان صرفه جویی می کند.

منابع:

• مشتق از یک ثابت

بنابراین، تفاوت بین یک معادله غیرمنطقی و یک معادله عقلانی چیست؟ اگر متغیر مجهول زیر علامت جذر باشد، معادله غیرمنطقی در نظر گرفته می شود.

دستورالعمل ها

روش اصلی برای حل این گونه معادلات، روش ساخت هر دو طرف است معادلاتبه یک مربع با این حال. این طبیعی است، اولین کاری که باید انجام دهید این است که از شر علامت خلاص شوید. این روش از نظر فنی دشوار نیست، اما گاهی اوقات ممکن است منجر به مشکل شود. برای مثال، معادله v(2x-5)=v(4x-7) است. با مجذور کردن دو طرف، 2x-5=4x-7 به دست می آید. حل چنین معادله ای دشوار نیست. x=1. اما عدد 1 داده نخواهد شد معادلات. چرا؟ به جای مقدار x یکی را در معادله جایگزین کنید. و سمت راست و چپ شامل عباراتی هستند که معنی ندارند، یعنی. این مقدار برای یک جذر معتبر نیست. بنابراین، 1 یک ریشه خارجی است و بنابراین این معادله ریشه ندارد.

بنابراین، یک معادله غیر منطقی با استفاده از روش مربع کردن دو طرف آن حل می شود. و پس از حل معادله، باید ریشه های اضافی را قطع کرد. برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را جایگزین معادله اصلی کنید.

یکی دیگر را در نظر بگیرید.
2х+vх-3=0
البته این معادله را می توان با استفاده از معادله قبلی حل کرد. حرکت ترکیبات معادلات، که ریشه مربع ندارند به سمت راست رفته و سپس از روش مربع کردن استفاده کنید. معادله و ریشه های منطقی حاصل را حل کنید. اما همچنین یکی دیگر، ظریف تر. یک متغیر جدید وارد کنید؛ vх=y. بر این اساس معادله ای به شکل 2y2+y-3=0 دریافت خواهید کرد. یعنی یک معادله درجه دوم معمولی. ریشه های آن را پیدا کنید؛ y1=1 و y2=-3/2. بعد، دو را حل کنید معادلات vх=1; vх=-3/2. معادله دوم ریشه ندارد، از معادله اول دریافتیم که x=1 است. فراموش نکنید که ریشه ها را بررسی کنید.

حل هویت بسیار ساده است. برای انجام این کار، لازم است که تا رسیدن به هدف تعیین شده، تحولات یکسانی انجام شود. بدین ترتیب با کمک عملیات حسابی ساده، مشکل مطرح شده حل خواهد شد.

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - خودکار.

دستورالعمل ها

ساده‌ترین این تبدیل‌ها ضرب‌های اختصاری جبری هستند (مانند مجذور مجموع (تفاوت)، اختلاف مربع‌ها، مجموع (تفاوت)، مکعب مجموع (تفاوت)). علاوه بر این، فرمول های مثلثاتی زیادی وجود دارد که در اصل همان هویت ها هستند.

در واقع، مجذور مجموع دو جمله برابر است با مجذور اولی به اضافه دو برابر حاصلضرب اولی در دوم و به اضافه مجذور دومی، یعنی (a+b)^2= (a+ ب)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

هر دو را ساده کنید

اصول کلی راه حل

از کتاب درسی آنالیز ریاضی یا ریاضیات عالی تکرار کنید که انتگرال معین چیست. همانطور که مشخص است راه حل یک انتگرال معین تابعی است که مشتق آن یک انتگرال می دهد. این تابع ضد مشتق نامیده می شود. بر اساس این اصل، انتگرال های اصلی ساخته می شوند.
با نوع انتگرال مشخص کنید که کدام یک از انتگرال های جدول در این مورد مناسب است. همیشه نمی توان فوراً این را تعیین کرد. اغلب، شکل جدولی تنها پس از چندین تغییر برای ساده سازی انتگرال قابل توجه می شود.

روش جایگزینی متغیر

اگر انتگرال یک تابع مثلثاتی است که آرگومان آن چند جمله ای است، از روش تغییر متغیرها استفاده کنید. برای انجام این کار، چند جمله ای را در آرگومان انتگرال با یک متغیر جدید جایگزین کنید. بر اساس رابطه بین متغیرهای جدید و قدیمی، حدود جدید ادغام را تعیین کنید. با متمایز کردن این عبارت، دیفرانسیل جدید را در . بنابراین، شما یک شکل جدید از انتگرال قبلی، نزدیک یا حتی مطابق با یک جدول دریافت خواهید کرد.

حل انتگرال های نوع دوم

اگر انتگرال یک انتگرال از نوع دوم است، یک شکل برداری از انتگرال، پس باید از قوانین انتقال از این انتگرال ها به انتگرال های اسکالر استفاده کنید. یکی از این قوانین رابطه استروگرادسکی-گاوس است. این قانون به ما اجازه می دهد تا از شار روتور یک تابع برداری خاص به انتگرال سه گانه بر روی واگرایی یک میدان برداری معین حرکت کنیم.

جایگزینی محدودیت های یکپارچه سازی

پس از یافتن پاد مشتق، لازم است حدود ادغام جایگزین شود. ابتدا مقدار حد بالایی را با عبارت ضد مشتق جایگزین کنید. تعدادی عدد دریافت خواهید کرد. سپس، عدد دیگری را که از حد پایین به دست می‌آید، از عدد به دست آمده کم کنید تا به پاد مشتق تبدیل شود. اگر یکی از حدود ادغام بی نهایت باشد، هنگام جایگزینی آن با تابع پاد مشتق، باید به سمت حد رفت و پیدا کرد که عبارت به چه چیزی تمایل دارد.
اگر انتگرال دو بعدی یا سه بعدی است، برای درک نحوه ارزیابی انتگرال باید محدودیت های انتگرال را به صورت هندسی نشان دهید. در واقع، مثلاً در مورد یک انتگرال سه بعدی، حدود ادغام می تواند سطوح کاملی باشد که حجم ادغام شده را محدود می کند.

معرفی

لگاریتم ها برای سرعت بخشیدن و ساده کردن محاسبات اختراع شدند. ایده لگاریتم، یعنی ایده بیان اعداد به عنوان توان های یک پایه، متعلق به میخائیل استیفل است. اما در زمان استیفل، ریاضیات چندان توسعه نیافته بود و ایده لگاریتم توسعه نیافته بود. لگاریتم ها بعدها به طور همزمان و مستقل از یکدیگر توسط دانشمند اسکاتلندی جان ناپیر (1550-1617) و سوئیسی جابست بورگی (1552-1632) اختراع شدند.ناپیر اولین کسی بود که این اثر را در سال 1614 منتشر کرد. تحت عنوان "توضیح جدول شگفت انگیز لگاریتم"، نظریه لگاریتم ناپیر در حجم نسبتاً کاملی ارائه شد، روش محاسبه لگاریتم ساده ترین ارائه شد، بنابراین شایستگی های ناپیر در اختراع لگاریتم ها بیشتر از بورگی بود. بورگی همزمان با ناپیر روی میزها کار کرد، اما آنها را برای مدت طولانی مخفی نگه داشت و تنها در سال 1620 آنها را منتشر کرد. ناپیر در حدود سال 1594 بر ایده لگاریتم تسلط یافت. اگرچه این جداول 20 سال بعد منتشر شد. او ابتدا لگاریتم های خود را "اعداد مصنوعی" نامید و تنها پس از آن پیشنهاد کرد که این "اعداد مصنوعی" را در یک کلمه "لگاریتم" نامیده شود، که از یونانی به معنای "اعداد همبسته" است، یکی از یک پیشرفت حسابی و دیگری از یک پیشروی حسابی گرفته شده است. پیشرفت هندسی که مخصوصاً برای آن انتخاب شده است. اولین جداول به زبان روسی در سال 1703 منتشر شد. با مشارکت معلم فوق العاده قرن هجدهم. L. F. Magnitsky. آثار آکادمیک سن پترزبورگ، لئونهارد اویلر، اهمیت زیادی در توسعه نظریه لگاریتم داشتند. او اولین کسی بود که لگاریتم ها را معکوس افزایش به توان در نظر گرفت؛ او اصطلاحات «پایه لگاریتم» و «مانتیسا» را معرفی کرد. بریگز جداول لگاریتم ها را با پایه 10 گردآوری کرد. جداول اعشاری برای استفاده عملی راحت تر هستند، نظریه آنها این است. ساده تر از لگاریتم های ناپیر. بنابراین، لگاریتم های اعشاری را گاهی لگاریتم بریگز می نامند. اصطلاح «شخصیت‌پردازی» توسط بریگز معرفی شد.

در آن زمان های دور، زمانی که حکما برای اولین بار شروع به فکر کردن در مورد برابری های حاوی مقادیر ناشناخته کردند، احتمالاً هیچ سکه یا کیف پولی وجود نداشت. اما انبوهی و همچنین گلدان ها و سبدهایی وجود داشت که برای نقش انبارهای ذخیره سازی که می توانست تعداد نامعلومی از اقلام را در خود جای دهد عالی بود. در مسائل ریاضی باستانی بین النهرین، هند، چین، یونان، مقادیر ناشناخته تعداد طاووس های باغ، تعداد گاوهای نر در گله و مجموع چیزهایی که هنگام تقسیم اموال در نظر گرفته می شد را بیان می کرد. کاتبان، مقامات و کشیشان که به دانش مخفی راه یافته بودند، و در علم حسابداری به خوبی آموزش دیده بودند، با چنین وظایفی کاملاً موفقیت آمیز کنار آمدند.

منابعی که به دست ما رسیده است نشان می دهد که دانشمندان باستان تکنیک های کلی برای حل مسائل با مقادیر ناشناخته داشته اند. با این حال، حتی یک پاپیروس یا لوح گلی حاوی شرحی از این تکنیک ها نیست. نویسندگان فقط گاهی اوقات محاسبات عددی خود را با نظرات کوتاهی مانند: "ببین!"، "این کار را انجام بده!"، "شما مورد مناسب را پیدا کردید" ارائه می کردند. از این نظر، استثنا "حساب" ریاضیدان یونانی دیوفانتوس اسکندریه (قرن III) است - مجموعه ای از مسائل برای ترکیب معادلات با ارائه سیستماتیک راه حل های آنها.

با این حال، اولین کتابچه راهنمای حل مسائل که به طور گسترده شناخته شد، کار دانشمند بغدادی قرن نهم بود. محمد بن موسی خوارزمی. کلمه «الجبر» از نام عربی این رساله - «کتاب الجابر والمکابله» («کتاب اعاده و مخالفت») - به مرور زمان به کلمه معروف «جبر» تبدیل شد و ال کار خوارزمی خود نقطه آغازی در توسعه علم حل معادلات بود.

معادلات لگاریتمی و نامساوی

1. معادلات لگاریتمی

معادله ای که در زیر علامت لگاریتمی یا در پایه آن یک مجهول وجود دارد، معادله لگاریتمی نامیده می شود.

ساده ترین معادله لگاریتمی معادله ای از فرم است

ورود به سیستم آ ایکس = ب . (1)

بیانیه 1. اگر آ > 0, آ≠ 1، معادله (1) برای هر واقعی براه حل منحصر به فردی دارد ایکس = a ب .

مثال 1. معادلات را حل کنید:

الف) لاگ 2 ایکس= 3، ب) لاگ 3 ایکس= -1، ج)

راه حل. با استفاده از بیانیه 1، الف) ایکس= 2 3 یا ایکس= 8; ب) ایکس= 3 -1 یا ایکس= 1/3; ج)

یا ایکس = 1.

اجازه دهید ویژگی های اصلی لگاریتم را ارائه دهیم.

P1. هویت لگاریتمی پایه:

جایی که آ > 0, آ≠ 1 و ب > 0.

P2. لگاریتم حاصل ضرب عوامل مثبت برابر است با مجموع لگاریتم این عوامل:

ورود به سیستم آ ن 1 · ن 2 = ورود به سیستم آ ن 1 + ورود آ ن 2 (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

اظهار نظر. اگر ن 1 · ن 2 > 0، سپس ویژگی P2 شکل می گیرد

ورود به سیستم آ ن 1 · ن 2 = ورود به سیستم آ |ن 1 | + ثبت نام آ |ن 2 | (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 · ن 2 > 0).

P3. لگاریتم ضریب دو عدد مثبت برابر است با اختلاف لگاریتم تقسیم کننده و مقسوم علیه

(آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

اظهار نظر. اگر

، (که معادل است ن 1 ن 2 > 0) سپس ویژگی P3 شکل می گیرد (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 ن 2 > 0).

P4. لگاریتم توان یک عدد مثبت برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم این عدد:

ورود به سیستم آ ن ک = کورود به سیستم آ ن (آ > 0, آ ≠ 1, ن > 0).

اظهار نظر. اگر ک- عدد زوج ( ک = 2س) آن

ورود به سیستم آ ن 2س = 2سورود به سیستم آ |ن | (آ > 0, آ ≠ 1, ن ≠ 0).

P5. فرمول انتقال به پایگاه دیگر:

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1, ن > 0),

به ویژه اگر ن = ب، ما گرفتیم

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1). (2)

با استفاده از خواص P4 و P5 به راحتی می توان خواص زیر را به دست آورد

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (3) (آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (4) (آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (5)

و اگر در (5) ج- عدد زوج ( ج = 2n) رخ می دهد

(ب > 0, آ ≠ 0, |آ | ≠ 1). (6)

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را فهرست کنیم f (ایکس) = ورود آ ایکس :

1. دامنه تعریف تابع لگاریتمی مجموعه اعداد مثبت است.

2. محدوده مقادیر تابع لگاریتمی مجموعه اعداد واقعی است.

3. چه زمانی آ> 1 تابع لگاریتمی به شدت در حال افزایش است (0< ایکس 1 < ایکس 2log آ ایکس 1 < logآ ایکس 2) و در 0< آ < 1, - строго убывает (0 < ایکس 1 < ایکس 2log آ ایکس 1 > ورود آ ایکس 2).

4.log آ 1 = 0 و وارد شوید آ آ = 1 (آ > 0, آ ≠ 1).

5. اگر آ> 1، سپس تابع لگاریتمی زمانی که منفی است ایکس(0;1) و مثبت در ایکس(1;+∞)، و اگر 0 باشد< آ < 1, то логарифмическая функция положительна при ایکس (0;1) و منفی در ایکس (1;+∞).

6. اگر آ> 1، سپس تابع لگاریتمی به سمت بالا محدب است و اگر آ(0;1) - محدب رو به پایین.

عبارات زیر (به عنوان مثال، را ببینید) هنگام حل معادلات لگاریتمی استفاده می شود.