خانه / مبلمان/ اعداد طبیعی به ترتیب. اعداد طبیعی - مبانی

اعداد طبیعی به ترتیب اعداد طبیعی - مبانی

اعداد صحیح

تعریف اعداد طبیعی اعداد صحیح مثبت هستند. اعداد طبیعی برای شمارش اجسام و بسیاری از اهداف دیگر استفاده می شوند. این اعداد هستند:

این یک سری طبیعی از اعداد است.
آیا صفر یک عدد طبیعی است؟ نه، صفر یک عدد طبیعی نیست.
چند عدد طبیعی وجود دارد؟ تعداد بی نهایت اعداد طبیعی وجود دارد.
کوچکترین عدد طبیعی چیست؟ یکی کوچکترین عدد طبیعی است.
بزرگترین عدد طبیعی کدام است؟ تعیین آن غیرممکن است، زیرا تعداد نامتناهی اعداد طبیعی وجود دارد.

مجموع اعداد طبیعی یک عدد طبیعی است. بنابراین، جمع اعداد طبیعی a و b:

حاصل ضرب اعداد طبیعی یک عدد طبیعی است. بنابراین، حاصل ضرب اعداد طبیعی a و b:

c همیشه یک عدد طبیعی است.

تفاوت اعداد طبیعی همیشه یک عدد طبیعی وجود ندارد. اگر مینیوند بزرگتر از اعداد فرعی باشد، اختلاف اعداد طبیعی یک عدد طبیعی است وگرنه اینطور نیست.

ضریب اعداد طبیعی همیشه یک عدد طبیعی نیست. اگر برای اعداد طبیعی a و b

در جایی که c یک عدد طبیعی است، به این معنی است که a بر b بخش پذیر است. در این مثال، a سود سهام، b مقسوم علیه، c ضریب است.

مقسوم علیه عدد طبیعی عددی طبیعی است که عدد اول بر یک کل بخش پذیر است.

هر عدد طبیعی بر یک و خودش بخش پذیر است.

اعداد طبیعی اول فقط بر یک و خودشان بخش پذیرند. در اینجا منظور ما به طور کامل تقسیم شده است. به عنوان مثال، اعداد 2; 3; 5 7 فقط بر یک و خودش بخش پذیر است. اینها اعداد طبیعی ساده هستند.

یک عدد اول در نظر گرفته نمی شود.

به اعدادی که بزرگتر از یک هستند و اول نیستند، اعداد مرکب می گویند. نمونه هایی از اعداد مرکب:

یک عدد مرکب در نظر گرفته نمی شود.

مجموعه اعداد طبیعی از یک، اعداد اول و اعداد مرکب تشکیل شده است.

مجموعه اعداد طبیعی با حرف لاتین N نشان داده می شود.

خواص جمع و ضرب اعداد طبیعی:

ویژگی جابجایی جمع

خاصیت تداعی جمع

(a + b) + c = a + (b + c);

خاصیت جابجایی ضرب

خاصیت تداعی ضرب

(ab) c = a (bc);

خاصیت توزیعی ضرب

A (b + c) = ab + ac;

تمام اعداد

اعداد صحیح اعداد طبیعی، صفر و متضاد اعداد طبیعی هستند.

متضاد اعداد طبیعی اعداد صحیح منفی هستند، برای مثال:

1; -2; -3; -4;...

مجموعه اعداد صحیح با حرف لاتین Z نشان داده می شود.

اعداد گویا

اعداد گویا اعداد کامل و کسر هستند.

هر عدد گویا را می توان به عنوان یک کسر تناوبی نشان داد. مثال ها:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

از مثال ها مشخص است که هر عدد صحیح یک کسری تناوبی با دوره صفر است.

هر عدد گویا را می توان به صورت کسری m/n نشان داد که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید عدد 3، (6) از مثال قبلی را به عنوان کسری تصور کنیم.

اعداد صحیح– اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش اجسام استفاده می شوند. مجموعه تمام اعداد طبیعی را گاهی اوقات سری طبیعی می نامند: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18 و غیره. .

برای نوشتن اعداد طبیعی از ده رقم استفاده می شود: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. با استفاده از آنها می توانید هر عدد طبیعی را بنویسید. این نماد اعداد اعشاری نامیده می شود.

سری طبیعی اعداد را می توان به طور نامحدود ادامه داد. چنین عددی وجود ندارد که آخرین باشد، زیرا همیشه می توانید یک عدد را به آخرین عدد اضافه کنید و عددی را دریافت خواهید کرد که از قبل بزرگتر از عدد مورد نظرتان است. در این مورد می گویند که در سریال طبیعی بیشترین عدد وجود ندارد.

مکان اعداد طبیعی

هنگام نوشتن هر عددی با استفاده از ارقام، مکانی که رقم در عدد ظاهر می شود بسیار مهم است. به عنوان مثال، عدد 3 به معنای: 3 واحد است، اگر در آخرین مکان در عدد ظاهر شود. 3 ده، اگر او در مکان ماقبل آخر عدد باشد. 400 اگر از پایان در جایگاه سوم باشد.

رقم آخر به معنای مکان واحدها، رقم ماقبل آخر به معنای مکان ده ها و 3 از انتهای به معنای مکان صدها است.

اعداد تک رقمی و چند رقمی

اگر هر رقمی از یک عدد دارای رقم 0 باشد، به این معنی است که هیچ واحدی در این رقم وجود ندارد.

از عدد 0 برای نشان دادن عدد صفر استفاده می شود. صفر "یک نیست" است.

صفر یک عدد طبیعی نیست. اگرچه برخی از ریاضیدانان متفاوت فکر می کنند.

اگر عددی از یک رقم تشکیل شده باشد، آن را تک رقمی، اگر از دو عدد تشکیل شده باشد، آن را دو رقمی، اگر از سه رقم باشد، آن را سه رقمی و غیره می گویند.

اعدادی که تک رقمی نیستند را چند رقمی نیز می گویند.

کلاس های رقمی برای خواندن اعداد طبیعی بزرگ

برای خواندن اعداد طبیعی بزرگ، عدد به گروه های سه رقمی تقسیم می شود که از لبه سمت راست شروع می شود. به این گروه ها کلاس می گویند.

سه رقم اول در لبه سمت راست کلاس واحدها، سه رقم بعدی کلاس هزاران و سه رقم بعدی کلاس میلیون ها هستند.

میلیون - هزار هزار؛ مخفف میلیون برای ضبط استفاده می شود. 1 میلیون = 1000000.

یک میلیارد = هزار میلیون برای ضبط از مخفف میلیارد استفاده کنید 1 میلیارد = 1,000,000,000.

نمونه ای از نوشتن و خواندن

این عدد دارای 15 واحد در کلاس میلیاردی، 389 واحد در کلاس میلیون، صفر واحد در کلاس هزار و 286 واحد در کلاس واحد است.

این عدد به این صورت است: 15 میلیارد و 389 میلیون و 286.

اعداد را از چپ به راست بخوانید. به نوبت تعداد واحدهای هر کلاس را فراخوانی کنید و سپس نام کلاس را اضافه کنید.

ریاضیات در حدود قرن ششم قبل از میلاد از فلسفه عمومی پدید آمد. e.، و از آن لحظه راهپیمایی پیروزمندانه او در سراسر جهان آغاز شد. هر مرحله از توسعه چیز جدیدی را معرفی کرد - شمارش ابتدایی تکامل یافت، به حساب دیفرانسیل و انتگرال تبدیل شد، قرن ها گذشت، فرمول ها بیشتر و بیشتر گیج کننده شدند و لحظه ای فرا رسید که "پیچیده ترین ریاضیات آغاز شد - همه اعداد از آن ناپدید شدند." اما اساس چه بود؟

آغاز زمان

اعداد طبیعی همراه با اولین عملیات ریاضی ظاهر شدند. یک ستون فقرات، دو خار، سه خار... آنها به لطف دانشمندان هندی که اولین موقعیتی را ایجاد کردند ظاهر شدند.

کلمه "موقعیت" به این معنی است که مکان هر رقم در یک عدد کاملاً مشخص است و با رتبه آن مطابقت دارد. به عنوان مثال، اعداد 784 و 487 یکسان هستند، اما اعداد معادل نیستند، زیرا اولی شامل 7 صدها می شود، در حالی که دومی تنها 4 را شامل می شود. نوآوری هند توسط اعراب انتخاب شد، آنها اعداد را به شکل درآوردند. که اکنون می دانیم

در زمان های قدیم، به اعداد معنایی عرفانی داده می شد؛ فیثاغورث معتقد بود که عدد به همراه عناصر اساسی - آتش، آب، خاک، هوا، زمینه ساز خلقت جهان است. اگر همه چیز را فقط از جنبه ریاضی در نظر بگیریم، پس یک عدد طبیعی چیست؟ میدان اعداد طبیعی با N نشان داده می شود و یک سری نامتناهی از اعداد است که اعداد صحیح و مثبت هستند: 1، 2، 3، … + ∞. صفر مستثنی شده است. در درجه اول برای شمارش اقلام و نشان دادن ترتیب استفاده می شود.

در ریاضیات چیست؟ بدیهیات پیانو

فیلد N پایه ای است که ریاضیات ابتدایی بر آن استوار است. با گذشت زمان، زمینه های اعداد صحیح، منطقی،

کار ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو ساختار بیشتر حساب را ممکن کرد، به رسمیت آن دست یافت و راه را برای نتیجه گیری های بیشتر که فراتر از حوزه N بود، آماده کرد.

اینکه یک عدد طبیعی چیست قبلاً به زبان ساده توضیح داده شد؛ در زیر به تعریف ریاضی بر اساس بدیهیات Peano خواهیم پرداخت.

یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود.
عددی که بعد از یک عدد طبیعی می آید یک عدد طبیعی است.
قبل از یک عدد طبیعی وجود ندارد.
اگر عدد b هم بعد از عدد c و هم از عدد d باشد، c=d.
یک اصل استقرا، که به نوبه خود نشان می‌دهد که یک عدد طبیعی چیست: اگر گزاره‌ای که به یک پارامتر بستگی دارد برای عدد 1 صادق باشد، فرض می‌کنیم که برای عدد n از میدان اعداد طبیعی N نیز کار می‌کند. این عبارت برای n=1 از میدان اعداد طبیعی N نیز صادق است.

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

از آنجایی که فیلد N اولین مورد برای محاسبات ریاضی بود، هر دو حوزه تعریف و محدوده مقادیر تعدادی از عملیات زیر به آن تعلق دارند. آنها بسته هستند و نه. تفاوت اصلی این است که عملیات بسته تضمین شده است که نتیجه را در مجموعه N، صرف نظر از اینکه چه اعدادی درگیر می‌شوند، باقی می‌گذارند. همین که طبیعی باشند کافی است. نتیجه سایر فعل و انفعالات عددی دیگر چندان واضح نیست و مستقیماً بستگی به نوع اعدادی دارد که در عبارت دخیل هستند، زیرا ممکن است با تعریف اصلی در تضاد باشد. بنابراین، عملیات بسته:

جمع - x + y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
ضرب - x * y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
توان - x y، که در آن x، y در فیلد N گنجانده شده است.

عملیات باقی مانده که ممکن است نتیجه آنها در چارچوب تعریف «عدد طبیعی چیست» وجود نداشته باشد، به شرح زیر است:

خواص اعداد متعلق به فیلد N

تمام استدلال‌های ریاضی بعدی بر اساس ویژگی‌های زیر خواهد بود که بی‌اهمیت‌ترین، اما نه کم‌اهمیت‌تر هستند.

خاصیت جابجایی جمع x + y = y + x است که در آن اعداد x، y در فیلد N گنجانده شده اند. یا معروف "مجموع با تغییر مکان عبارت ها تغییر نمی کند."
خاصیت جابجایی ضرب x * y = y * x است که اعداد x و y در فیلد N قرار می گیرند.
ویژگی ترکیبی جمع (x + y) + z = x + (y + z) است که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
خاصیت تطبیق ضرب (x * y) * z = x * (y * z) است که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
ویژگی توزیعی - x (y + z) = x * y + x * z، که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.

جدول فیثاغورثی

یکی از اولین گام ها در دانش دانش آموزان از کل ساختار ریاضیات ابتدایی پس از اینکه خودشان فهمیدند کدام اعداد را اعداد طبیعی می نامند جدول فیثاغورث است. می توان آن را نه تنها از نظر علم، بلکه به عنوان ارزشمندترین بنای علمی دانست.

این جدول ضرب در طول زمان دستخوش تغییراتی شده است: صفر از آن حذف شده است و اعداد از 1 تا 10 بدون در نظر گرفتن ترتیب (صدها، هزاران ...) خود را نشان می دهند. جدولی است که در آن عناوین سطر و ستون اعداد هستند و محتویات خانه هایی که آنها را قطع می کنند برابر است با حاصلضرب آنها.

در عمل تدریس در دهه‌های اخیر، نیاز به حفظ جدول فیثاغورث به ترتیب وجود داشته است، یعنی حفظ مقدم است. ضرب در 1 حذف شد زیرا نتیجه ضریب 1 یا بیشتر بود. در همین حال، در جدول با چشم غیر مسلح می توانید یک الگو را مشاهده کنید: حاصل ضرب اعداد یک پله افزایش می یابد که برابر با عنوان خط است. بنابراین، عامل دوم به ما نشان می دهد که برای به دست آوردن محصول مورد نظر، چند بار باید اولین مورد را مصرف کنیم. این سیستم بسیار راحت‌تر از سیستمی است که در قرون وسطی انجام می‌شد: حتی با درک اینکه یک عدد طبیعی چیست و چقدر بی‌اهمیت است، مردم موفق شدند با استفاده از سیستمی که مبتنی بر قدرت دو بود، شمارش روزمره خود را پیچیده‌تر کنند.

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

در حال حاضر، میدان اعداد طبیعی N تنها به عنوان یکی از زیرمجموعه های اعداد مختلط در نظر گرفته می شود، اما این باعث نمی شود که ارزش آنها در علم کم شود. اعداد طبیعی اولین چیزی است که کودک هنگام مطالعه خود و دنیای اطرافش می آموزد. یک انگشت، دو انگشت... به لطف آن، انسان تفکر منطقی و همچنین توانایی تعیین علت و استنتاج معلول را توسعه می دهد و راه را برای اکتشافات بزرگ هموار می کند.

ساده ترین عدد است عدد طبیعی. آنها در زندگی روزمره برای شمارش استفاده می شوند اشیاء، یعنی برای محاسبه تعداد و ترتیب آنها.

عدد طبیعی چیست: اعداد طبیعیاعدادی که استفاده می شود را نام ببرید شمارش اقلام یا نشان دادن شماره سریال هر مورد از همه همگنموارد.

اعداد صحیح- اینها اعدادی هستند که از یک شروع می شوند. آنها به طور طبیعی هنگام شمارش تشکیل می شوند.به عنوان مثال، 1،2،3،4،5 ... -اولین اعداد طبیعی

کوچکترین عدد طبیعی- یکی بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد. هنگام شمارش عدد از صفر استفاده نمی شود، بنابراین صفر یک عدد طبیعی است.

سری اعداد طبیعیدنباله تمام اعداد طبیعی است. نوشتن اعداد طبیعی:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

در سری طبیعی، هر عدد یک به یک بزرگتر از شماره قبلی است.

در سری طبیعی چند عدد وجود دارد؟ سری طبیعی بی نهایت است؛ بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد.

اعشاری چون 10 واحد هر رقمی از 1 واحد بالاترین رقم تشکیل می شود. از لحاظ موقعیتی اینطور است اینکه معنای یک رقم به جای آن در عدد بستگی دارد، یعنی. از دسته ای که در آن نوشته شده است.

طبقات اعداد طبیعی

هر عدد طبیعی را می توان با استفاده از 10 عدد عربی نوشت:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

برای خواندن اعداد طبیعی، آنها را از سمت راست به گروه های 3 رقمی تقسیم می کنند. 3 اول اعداد سمت راست کلاس واحدها هستند، 3 عدد بعدی کلاس هزاران، سپس کلاس های میلیون ها، میلیاردها وو غیره. هر یک از ارقام کلاس آن نامیده می شودتخلیه.

مقایسه اعداد طبیعی

از بین 2 عدد طبیعی، کوچکتر عددی است که در هنگام شمارش زودتر خوانده می شود. مثلا، عدد 7 کمتر 11 (اینطور نوشته شده:7 < 11 ). وقتی یک عدد بزرگتر از عدد دوم باشد به این صورت نوشته می شود:386 > 99 .

جدول ارقام و طبقات اعداد.


واحد درجه 1	رقم 1 واحد ده رقم دوم صدها مقام سوم
درجه 2 هزار	رقم اول واحد هزار رقم دوم ده ها هزار دسته 3 صدها هزار
کلاس 3 میلیونی	رقم اول واحد میلیون دسته 2 ده میلیونی دسته سوم صدها میلیون
کلاس 4 میلیاردی	رقم اول واحد میلیاردها دسته دوم ده ها میلیارد دسته سوم صدها میلیارد

اعداد از کلاس پنجم به بالا اعداد بزرگ در نظر گرفته می شوند. واحدهای کلاس 5 تریلیون هستند، 6 کلاس - کوادریلیون‌ها، کلاس هفتم - کوئینتیلیون‌ها، کلاس هشتم - شش‌تیلیون‌ها، کلاس نهم -اپتیلیون ها

ویژگی های اساسی اعداد طبیعی

جابجایی جمع . a + b = b + a
جابجایی ضرب. ab = ba
تداعی افزودن. (a + b) + c = a + (b + c)
تداعی ضرب.
توزیع ضرب نسبت به جمع:

عملیات روی اعداد طبیعی

4. تقسیم اعداد طبیعی عمل معکوس ضرب است.

اگر b ∙ c = a، آن

فرمول های تقسیم:

a: 1 = a

a: a = 1، a ≠ 0

0: a = 0، a ≠ 0

(آ∙ ب) : c = (a:c) ∙ b

(آ∙ ب) : c = (b:c) ∙ a

عبارات عددی و برابری های عددی.

نمادی که در آن اعداد با علائم عمل به هم متصل می شوند بیان عددی.

به عنوان مثال، 10∙3+4; (60-2∙5):10.

رکوردهایی که در آن 2 عبارت عددی با علامت مساوی ترکیب شده اند برابری های عددی. تساوی دارای سمت چپ و راست است.

ترتیب انجام عملیات حسابی.

جمع و تفریق اعداد عملیات درجه اول و ضرب و تقسیم عملیات درجه دوم هستند.

هنگامی که یک عبارت عددی فقط از اقدامات یک درجه تشکیل شده باشد، آنها به صورت متوالی انجام می شونداز چپ به راست.

وقتی عبارات فقط از اعمال درجه اول و دوم تشکیل شده باشند، ابتدا اقدامات انجام می شود درجه دوم، و سپس - اقدامات درجه اول.

وقتی در یک عبارت پرانتز وجود دارد، ابتدا اقدامات داخل پرانتز انجام می شود.

برای مثال 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

می توان از اعداد طبیعی برای شمارش استفاده کرد (یک سیب، دو سیب و غیره)

اعداد صحیح(از لات طبیعی- طبیعی؛ اعداد طبیعی) - اعدادی که به طور طبیعی هنگام شمارش به وجود می آیند (به عنوان مثال، 1، 2، 3، 4، 5...). دنباله تمام اعداد طبیعی که به ترتیب صعودی مرتب شده اند نامیده می شود طبیعی در کنار.

دو روش برای تعریف اعداد طبیعی وجود دارد:

شمارش (شماره)موارد ( اولین, دومین, سوم, چهارم, پنجم"…)؛
اعداد طبیعی اعدادی هستند که وقتی بوجود می آیند تعیین مقدارموارد ( 0 مورد, 1 مورد, 2 مورد, 3 مورد, 4 مورد, 5 مورد "…).

در مورد اول، سری اعداد طبیعی از یک شروع می شود، در مورد دوم - از صفر. در میان اکثر ریاضیدانان اتفاق نظر وجود ندارد که آیا رویکرد اول یا دوم ارجح است (یعنی صفر باید یک عدد طبیعی در نظر گرفته شود یا خیر). اکثریت قریب به اتفاق منابع روسی به طور سنتی رویکرد اول را اتخاذ می کنند. رویکرد دوم، برای مثال، در آثار نیکلاس بورباکی استفاده می‌شود، جایی که اعداد طبیعی به‌عنوان کاردینالیته‌های مجموعه‌های متناهی تعریف می‌شوند.

اعداد منفی و غیر صحیح (گویا، واقعی، ...) اعداد طبیعی محسوب نمی شوند.

مجموعه تمام اعداد طبیعیمعمولاً نشان دادن نماد N (\displaystyle \mathbb (N)) (از lat. طبیعی- طبیعی). مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است، زیرا برای هر عدد طبیعی n (\displaystyle n) یک عدد طبیعی بزرگتر از n (\displaystyle n) وجود دارد.

وجود صفر فرمول‌بندی و اثبات بسیاری از قضایا را در حساب اعداد طبیعی آسان‌تر می‌کند، بنابراین رویکرد اول مفهوم مفید را معرفی می‌کند. دامنه طبیعی گستردهاز جمله صفر. سری توسعه یافته N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) یا Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) نشان داده می شود.

بدیهیاتی که به ما امکان می دهد مجموعه اعداد طبیعی را تعیین کنیم

بدیهیات پیانو برای اعداد طبیعی

مقاله اصلی: بدیهیات پیانو

اگر یک عنصر ثابت باشد، مجموعه ای از N (\displaystyle \mathbb (N)) را مجموعه ای از اعداد طبیعی می نامیم. 1 (واحد) متعلق به N (\displaystyle \mathbb (N)) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N))) و یک تابع S (\displaystyle S) با دامنه N (\displaystyle \mathbb (N)) و محدوده مقادیر N (\displaystyle \mathbb (N)) (به نام تابع جانشینی؛ S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) به طوری که شرایط زیر برقرار باشد:

یکی یک عدد طبیعی است (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N))).
عدد پس از عدد طبیعی نیز یک عدد طبیعی است (اگر x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) ، سپس S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ؛
یکی از هیچ عدد طبیعی پیروی نمی کند (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))).
اگر یک عدد طبیعی a (\displaystyle a) بلافاصله از یک عدد طبیعی b (\displaystyle b) و یک عدد طبیعی c (\displaystyle c) پیروی کند، آنگاه b = c (\displaystyle b=c) (اگر S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) و S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , سپس b = c (\displaystyle b=c));
(اصل استقرا) اگر یک جمله (گزاره) P (\displaystyle P) برای عدد طبیعی n = 1 (\displaystyle n=1) ثابت شده باشد ( پایه القایی) و اگر از این فرض که برای عدد طبیعی دیگری n (\displaystyle n) درست است، نتیجه می شود که برای عدد طبیعی بعدی (\displaystyle n) صادق است ( فرضیه استقرایی) پس این جمله برای همه اعداد طبیعی صادق است (بگذارید P (n) (\displaystyle P(n)) یک محمول یک‌جای (یوناری) باشد که پارامتر آن عدد طبیعی n باشد (\displaystyle n). P (1 ) (\displaystyle P(1)) و ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) ، سپس ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

بدیهیات ذکر شده منعکس کننده درک شهودی ما از سری طبیعی و خط اعداد است.

واقعیت اساسی این است که این بدیهیات اساساً به طور منحصر به فردی اعداد طبیعی را تعریف می کنند (ماهیت طبقه بندی شده سیستم بدیهیات Peano). یعنی می توان ثابت کرد (همچنین به یک برهان کوتاه مراجعه کنید) که اگر (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) و (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N)))، (\tilde (1))، (\tilde (S)))) دو مدل برای سیستم بدیهی Peano هستند، پس آنها لزوماً هم شکل هستند، یعنی وجود دارد یک نگاشت معکوس است (بیژکشن) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N)))) به طوری که f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) و f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f (x ))) برای همه x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

بنابراین، کافی است هر مدل خاصی از مجموعه اعداد طبیعی را به عنوان N (\displaystyle \mathbb (N)) ثابت کنیم.

تعریف نظری مجموعه اعداد طبیعی (تعریف فرگه-راسل)

طبق نظریه مجموعه ها، تنها شیء برای ساختن هر سیستم ریاضی یک مجموعه است.

بنابراین، اعداد طبیعی نیز بر اساس مفهوم مجموعه، طبق دو قاعده معرفی می شوند:

S (n) = n ∪ (n) (\displaystyle S(n)=n\cup \چپ\(n\راست\)) .

به اعدادی که به این صورت تعریف می شوند، ترتیبی می گویند.

اجازه دهید چند اعداد ترتیبی اول و اعداد طبیعی مربوطه را شرح دهیم:

0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing) ;
1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing,\;\left\(\varnothing \ راست\)(\بزرگ \))) ;
3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )).

صفر به عنوان یک عدد طبیعی

گاه، به ویژه در ادبیات خارجی و ترجمه شده، در بدیهیات اول و سوم پیانو، یک با صفر جایگزین می شود. در این حالت صفر یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود. هنگامی که از طریق کلاس های مجموعه های مساوی تعریف می شود، صفر طبق تعریف یک عدد طبیعی است. رد عمدی آن غیر طبیعی خواهد بود. علاوه بر این، این امر ساخت و کاربرد بیشتر نظریه را به طور قابل توجهی پیچیده می کند، زیرا در اکثر ساختارها صفر، مانند مجموعه خالی، چیزی جدا نیست. مزیت دیگر در نظر گرفتن صفر به عنوان یک عدد طبیعی این است که N (\displaystyle \mathbb (N)) را به یک مونوئید تبدیل می کند.

در ادبیات روسی، صفر معمولاً از تعداد اعداد طبیعی حذف می‌شود (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N))) و مجموعه اعداد طبیعی با صفر با N 0 (\displaystyle \mathbb) نشان داده می‌شود. (N) _(0) ) . اگر صفر در تعریف اعداد طبیعی گنجانده شود، مجموعه اعداد طبیعی به صورت N (\displaystyle \mathbb (N) ) و بدون صفر - به صورت N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) نوشته می شود. ) .

در ادبیات بین المللی ریاضی، با در نظر گرفتن موارد فوق و برای جلوگیری از ابهامات، مجموعه (1، 2، …) (\displaystyle \(1،2،\dots)) را معمولاً مجموعه اعداد صحیح مثبت می نامند و Z نشان می دهند. + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . مجموعه ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) اغلب مجموعه اعداد صحیح غیر منفی نامیده می شود و با Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _( \geqslant 0)) .

موقعیت مجموعه اعداد طبیعی (N (\displaystyle \mathbb (N))) در بین مجموعه‌های اعداد صحیح (Z (\displaystyle \mathbb (Z)))، اعداد گویا (Q (\displaystyle \mathbb (Q)) اعداد حقیقی (R (\displaystyle \mathbb (R))) و اعداد غیرمنطقی (R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q)))

قدر مجموعه اعداد طبیعی

اندازه یک مجموعه نامتناهی با مفهوم "اصلی بودن یک مجموعه" مشخص می شود، که تعمیم تعداد عناصر یک مجموعه محدود به مجموعه های نامتناهی است. در قدر (یعنی کاردینالیته)، مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از هر مجموعه متناهی است، اما از هر بازه ای کوچکتر است، به عنوان مثال، بازه (0، 1) (\displaystyle (0،1)). مجموعه اعداد طبیعی همان کاردینالیتی را با مجموعه اعداد گویا دارد. به مجموعه ای از کاردینالیته یکسان به مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه قابل شمارش گفته می شود. بنابراین، مجموعه اصطلاحات هر دنباله ای قابل شمارش است. در همان زمان، دنباله ای وجود دارد که در آن هر عدد طبیعی بی نهایت بار ظاهر می شود، زیرا مجموعه اعداد طبیعی را می توان به عنوان یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه های قابل شمارش غیرمتناسب نشان داد (به عنوان مثال، N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\راست))).

عملیات روی اعداد طبیعی

عملیات بسته (عملیاتی که از مجموعه اعداد طبیعی نتیجه نمی گیرند) روی اعداد طبیعی شامل عملیات حسابی زیر است:

علاوه بر این: اصطلاح + مدت = جمع;
ضرب: فاکتور × فاکتور = محصول;
توانمندی: a b (\displaystyle a^(b))، که در آن a (\displaystyle a) پایه درجه است، b (\displaystyle b) توان است. اگر a (\displaystyle a) و b (\displaystyle b) اعداد طبیعی باشند، نتیجه یک عدد طبیعی خواهد بود.

علاوه بر این، دو عملیات دیگر نیز در نظر گرفته شده است (از دیدگاه رسمی، آنها عملیات روی اعداد طبیعی نیستند، زیرا برای آنها تعریف نشده اند. هر کسجفت اعداد (گاهی وجود دارند، گاهی اوقات نه)):

منها کردن: minuend - زیره = تفاوت. در این صورت، مینیوند باید بزرگتر از زیرآب (یا مساوی با آن، اگر صفر را یک عدد طبیعی در نظر بگیریم) باشد.
تقسیم با باقی مانده: سود / تقسیم کننده = (نسبت، باقیمانده). ضریب p (\displaystyle p) و باقیمانده r (\displaystyle r) از تقسیم a (\displaystyle a) بر b (\displaystyle b) به صورت زیر تعریف می شوند: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p \cdot b+ r) و 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r را می توان به صورت a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) نشان داد، یعنی هر عددی را می توان جزئی در نظر گرفت. و بقیه a (\displaystyle a) .

لازم به ذکر است که عملیات جمع و ضرب بنیادی هستند. به طور خاص، حلقه اعداد صحیح دقیقاً از طریق عملیات باینری جمع و ضرب تعریف می شود.

خواص اساسی

جابجایی جمع:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

جابجایی ضرب:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

انجمن الحاقی:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

تداعی ضرب:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

توزیع ضرب نسبت به جمع:

a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(موارد))).

ساختار جبری

جمع مجموعه اعداد طبیعی را به یک نیمه گروه با واحد تبدیل می کند که نقش واحد را ایفا می کند 0 . ضرب همچنین مجموعه اعداد طبیعی را به یک نیمه گروه با هویت تبدیل می کند که عنصر هویت است 1 . با استفاده از بسته شدن تحت عملیات جمع- تفریق و ضرب- تقسیم، گروه هایی از اعداد صحیح Z (\displaystyle \mathbb (Z)) و اعداد مثبت گویا Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(به دست می آوریم. *)) به ترتیب.

تعاریف نظری مجموعه ها

اجازه دهید از تعریف اعداد طبیعی به عنوان کلاس های هم ارزی مجموعه های محدود استفاده کنیم. اگر کلاس هم ارزی یک مجموعه را نشان دهیم آ، تولید شده توسط دوجکشن ها، با استفاده از براکت های مربع: [ آ]، عملیات حسابی اساسی به شرح زیر تعریف می شود:

[ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
[ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - اتحاد مجزا از مجموعه ها.
A × B (\displaystyle A\times B) - محصول مستقیم.
A B (\displaystyle A^(B)) - مجموعه ای از نقشه برداری از ب V آ.

می توان نشان داد که عملیات به دست آمده روی کلاس ها به درستی معرفی شده اند، یعنی به انتخاب عناصر کلاس بستگی ندارند و با تعاریف استقرایی منطبق هستند.

عدد طبیعی چیست؟ تاریخچه، دامنه، خواص

آغاز زمان

اعداد طبیعی همراه با اولین عملیات ریاضی ظاهر شدند. یک خار، دو خار، سه خار... آنها به لطف دانشمندان هندی که اولین سیستم اعداد موقعیتی را توسعه دادند ظاهر شدند.
کلمه "موقعیت" به این معنی است که مکان هر رقم در یک عدد کاملاً مشخص است و با رتبه آن مطابقت دارد. به عنوان مثال، اعداد 784 و 487 یکسان هستند، اما اعداد معادل نیستند، زیرا اولی شامل 7 صدها می شود، در حالی که دومی تنها 4 را شامل می شود. نوآوری هند توسط اعراب انتخاب شد، آنها اعداد را به شکل درآوردند. که اکنون می دانیم

در زمان های قدیم به اعداد معنایی عرفانی داده می شد؛ بزرگترین ریاضیدان فیثاغورث معتقد بود که اعداد زیربنای آفرینش جهان همراه با عناصر اساسی - آتش، آب، خاک، هوا است. اگر همه چیز را فقط از جنبه ریاضی در نظر بگیریم، پس یک عدد طبیعی چیست؟ میدان اعداد طبیعی با N نشان داده می شود و یک سری نامتناهی از اعداد است که اعداد صحیح و مثبت هستند: 1، 2، 3، … + ∞. صفر مستثنی شده است. در درجه اول برای شمارش اقلام و نشان دادن ترتیب استفاده می شود.

عدد طبیعی در ریاضیات چیست؟ بدیهیات پیانو

فیلد N پایه ای است که ریاضیات ابتدایی بر آن استوار است. با گذشت زمان، زمینه های اعداد صحیح، گویا و مختلط شناسایی شدند.

کار ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو ساختار بیشتر حساب را ممکن کرد، به رسمیت آن دست یافت و راه را برای نتیجه گیری های بیشتر که فراتر از حوزه N بود، آماده کرد. اینکه یک عدد طبیعی چیست قبلاً به زبان ساده توضیح داده شد؛ در زیر به تعریف ریاضی بر اساس بدیهیات Peano خواهیم پرداخت.

یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود.
عددی که بعد از یک عدد طبیعی می آید یک عدد طبیعی است.
قبل از یک عدد طبیعی وجود ندارد.
اگر عدد b هم بعد از عدد c و هم از عدد d باشد، c=d.
یک اصل استقرا، که به نوبه خود نشان می‌دهد که یک عدد طبیعی چیست: اگر گزاره‌ای که به یک پارامتر بستگی دارد برای عدد 1 صادق باشد، فرض می‌کنیم که برای عدد n از میدان اعداد طبیعی N نیز کار می‌کند. این عبارت برای n=1 از میدان اعداد طبیعی N نیز صادق است.

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

جمع - x + y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
ضرب - x * y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
توان - xy، که در آن x، y در فیلد N گنجانده شده است.

عملیات باقی مانده که ممکن است نتیجه آنها در چارچوب تعریف «عدد طبیعی چیست» وجود نداشته باشد، به شرح زیر است:

خواص اعداد متعلق به فیلد N

تمام استدلال‌های ریاضی بعدی بر اساس ویژگی‌های زیر خواهد بود که بی‌اهمیت‌ترین، اما نه کم‌اهمیت‌تر هستند.

خاصیت جابجایی جمع x + y = y + x است که در آن اعداد x، y در فیلد N گنجانده شده اند. یا معروف "مجموع با تغییر مکان عبارت ها تغییر نمی کند."
خاصیت جابجایی ضرب x * y = y * x است که اعداد x و y در فیلد N قرار می گیرند.
ویژگی ترکیبی جمع (x + y) + z = x + (y + z) است که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
خاصیت تطبیق ضرب (x * y) * z = x * (y * z) است که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
ویژگی توزیعی - x (y + z) = x * y + x * z، که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.

جدول فیثاغورثی

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

بحث: عدد طبیعی

جنجال حول صفر

به نوعی نمی توانم صفر را به عنوان یک عدد طبیعی تصور کنم... به نظر می رسد قدیمی ها صفر را اصلا نمی دانستند. و TSB صفر را یک عدد طبیعی در نظر نمی گیرد. بنابراین حداقل این یک بیانیه بحث برانگیز است. آیا می توانیم در مورد صفر چیز خنثی تری بگوییم؟ یا دلایل قانع کننده ای وجود دارد؟ --.:اجول:. 18:18، 9 سپتامبر 2004 (UTC)

آخرین تغییر را به عقب برگرداند. --Maxal 20:24، 9 سپتامبر 2004 (UTC)

آکادمی فرانسه در یک زمان فرمان خاصی صادر کرد که بر اساس آن 0 در مجموعه اعداد طبیعی گنجانده شد. اکنون این یک استاندارد است، به نظر من نیازی به معرفی مفهوم "عدد طبیعی روسیه" نیست، بلکه باید به این استاندارد پایبند بود. طبیعتاً لازم به ذکر است که روزی روزگاری اینطور نبود (نه تنها در روسیه بلکه در همه جا). توشا 23:16، 9 سپتامبر 2004 (UTC)

آکادمی فرانسه برای ما حکمی نیست. همچنین در ادبیات ریاضی انگلیسی زبان هیچ نظر ثابتی در مورد این موضوع وجود ندارد. برای مثال، --Maxal 23:58، 9 سپتامبر 2004 (UTC) را ببینید.

جایی در آنجا می‌گوید: «اگر مقاله‌ای درباره موضوعی بحث‌برانگیز می‌نویسید، سعی کنید همه دیدگاه‌ها را ارائه دهید و پیوندهایی به نظرات مختلف ارائه دهید.» Bes island 23:15، 25 دسامبر 2004 (UTC)

من در اینجا موضوع بحث انگیزی نمی بینم، اما می بینم: 1) بی احترامی به سایر شرکت کنندگان با تغییر/حذف قابل توجه متن آنها (معمول است قبل از ایجاد تغییرات قابل توجه در مورد آنها بحث شود). 2) جایگزینی تعاریف دقیق (که نشان دهنده اصلی بودن مجموعه ها) با تعاریف مبهم است (آیا تفاوت زیادی بین "شماره گذاری" و "نشان دهنده کمیت" وجود دارد؟). بنابراین، من دوباره برمی گردم، اما نظر نهایی را می گذارم. --Maxal 23:38، 25 دسامبر 2004 (UTC)

بی احترامی دقیقاً همان چیزی است که من به رشوه های شما نگاه می کنم. پس بیایید در مورد آن صحبت نکنیم. ویرایش من ماهیت را تغییر نمی دهدمقاله، فقط دو تعریف را به وضوح بیان می کند. نسخه قبلی مقاله تعریف "بدون صفر" را به عنوان اصلی و "با صفر" را به عنوان نوعی مخالفت تنظیم کرد. این مطلقاً الزامات ویکی‌پدیا (به نقل قول بالا را ببینید)، و همچنین سبک نه کاملاً علمی ارائه در نسخه قبلی را برآورده نمی‌کند. عبارت "Cardinality of a مجموعه" را به عنوان توضیحی برای "نشان دادن کمیت" و "Enumeration" را به "Nummering" اضافه کردم. و اگر تفاوتی بین «شماره‌گذاری» و «نشان دادن کمیت‌ها» نمی‌بینید، اجازه دهید بپرسم پس چرا مقاله‌های ریاضی را ویرایش می‌کنید؟ Bes island 23:58، 25 دسامبر 2004 (UTC)

در مورد "ماهیت را تغییر نمی دهد" - نسخه قبلی تأکید کرد که تفاوت در تعاریف فقط در انتساب صفر به اعداد طبیعی است. در نسخه شما، تعاریف کاملاً متفاوت ارائه شده است. در مورد تعریف "اساسی"، پس باید چنین باشد، زیرا این مقاله در روسیویکی پدیا، به این معنی که اساساً باید به آنچه گفتید پایبند باشید به طور کلی در مدارس ریاضی روسیه پذیرفته شده است. من حملات را نادیده میگیرم. --Maxal 00:15، 26 دسامبر 2004 (UTC)

در واقع، تنها تفاوت آشکار صفر است. در واقع، این دقیقاً تفاوت اصلی است که ناشی از درک متفاوت از ماهیت اعداد طبیعی است: در یک نسخه - به عنوان کمیت. در دیگری - به عنوان اعداد. این کاملامفاهیم مختلف، مهم نیست که چقدر سعی می کنید این واقعیت را پنهان کنید که این را درک نمی کنید.

با توجه به اینکه در ویکی پدیای روسی لازم است دیدگاه روسی به عنوان دیدگاه غالب ذکر شود. اینجا را با دقت نگاه کنید به مقاله انگلیسی در مورد کریسمس نگاه کنید. نمی گوید که کریسمس باید در 25 دسامبر جشن گرفته شود، زیرا در انگلستان و ایالات متحده اینگونه جشن گرفته می شود. هر دو دیدگاه در آنجا ارائه شده است (و نه بیشتر و نه کمتر از تفاوت بین اعداد طبیعی "با صفر" و "بدون صفر" تفاوت دارند) و حتی یک کلمه در مورد اینکه کدام یک از آنها ظاهراً درست تر است وجود ندارد.

در نسخه من از مقاله، هر دو دیدگاه مستقل و به یک اندازه حق وجود دارند. استاندارد روسی با کلماتی که در بالا به آنها اشاره کردید نشان داده می شود.

شاید از دیدگاه فلسفی، مفاهیم اعداد طبیعی واقعاً باشند کاملامتفاوت است، اما مقاله اساساً تعاریف ریاضی ارائه می‌کند، که در آن همه تفاوت 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N)) یا 0 ∉ N (\displaystyle 0\نه \in \mathbb (N)) است. دیدگاه غالب یا نه، موضوع ظریفی است. من از عبارت قدردانی می کنم در 25 دسامبر در بیشتر دنیای غرب مشاهده شداز یک مقاله انگلیسی در مورد کریسمس به عنوان بیان دیدگاه غالب، علیرغم این واقعیت که تاریخ دیگری در پاراگراف اول ذکر نشده است. به هر حال، در نسخه قبلی مقاله در مورد اعداد طبیعی نیز هیچ دستورالعمل مستقیمی در مورد چگونگی وجود نداشت لازم استبرای تعیین اعداد طبیعی، به سادگی تعریف بدون صفر به عنوان رایج تر (در روسیه) ارائه شد. به هر حال خوب است که سازش پیدا شده است. --Maxal 00:53، 26 دسامبر 2004 (UTC)

عبارت "در ادبیات روسی، صفر معمولاً از تعداد اعداد طبیعی حذف می شود" تا حدودی به طرز ناخوشایندی تعجب آور است؛ آقایان، صفر در سراسر جهان یک عدد طبیعی در نظر گرفته نمی شود، مگر اینکه خلاف آن ذکر شود. همون فرانسه تا جایی که من خوندم مشخصاً درج صفر رو شرط کرده. البته از N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) بیشتر استفاده می‌شود، اما اگر مثلاً از زن‌ها خوشم بیاید، مردها را به زن تبدیل نمی‌کنم. دروید. 23/02/2014

عدم محبوبیت اعداد طبیعی

به نظر من اعداد طبیعی موضوعی نامطلوب در مقالات ریاضی هستند (شاید به دلیل عدم وجود یک تعریف مشترک). در تجربه‌ام، اغلب اصطلاحات را در مقاله‌های ریاضی می‌بینم اعداد صحیح غیر منفیو اعداد صحیح مثبت(که بدون ابهام تفسیر می شوند) به جای اعداد صحیح. از علاقمندان درخواست می شود که (مخالفت) خود را با این مشاهدات اعلام کنند. اگر این مشاهده پشتیبانی پیدا کرد، نشان دادن آن در مقاله منطقی است. --Maxal 01:12، 26 دسامبر 2004 (UTC)

بدون شک در قسمت خلاصه بیانیه حق با شماست. همه اینها دقیقاً به دلیل تفاوت در تعریف است. در برخی موارد، من ترجیح می‌دهم به جای «طبیعی» «اعداد صحیح مثبت» یا «اعداد صحیح غیر منفی» را نشان دهم تا از اختلافات در مورد گنجاندن صفر جلوگیری شود. و در کل با قسمت اجرایی موافقم. Bes island 01:19، 26 دسامبر 2004 (UTC) در مقالات - بله، شاید اینطور باشد. با این حال، در متون طولانی تر، و همچنین در جاهایی که این مفهوم اغلب استفاده می شود، معمولاً استفاده می کنند اعداد صحیحبا این حال، ابتدا توضیح دهید که درباره چه اعداد طبیعی صحبت می کنیم - با یا بدون صفر. LoKi 19:31، 30 ژوئیه، 2005 (UTC)

شماره

آیا ارزش ذکر نام اعداد (یک، دو، سه و ...) در قسمت آخر این مقاله را دارد؟ آیا قرار دادن این موضوع در مقاله شماره منطقی تر نیست؟ با این حال، به نظر من، این مقاله باید ماهیت ریاضی بیشتری داشته باشد. شما چطور فکر می کنید؟ --LoKi 19:32، 30 ژوئیه، 2005 (UTC)

به طور کلی، عجیب است که چگونه می‌توان یک عدد طبیعی معمولی را از مجموعه‌های *خالی* بدست آورد؟ در کل هرچقدر پوچی رو با پوچی ترکیب کنی جز پوچی چیزی بیرون نمیاد! آیا این اصلاً یک تعریف جایگزین نیست؟ ارسال شده در 21:46، 17 ژوئیه، 2009 (مسکو)

طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano

من یک نکته در مورد ماهیت طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano اضافه کردم که به نظر من اساسی است. لطفا پیوند کتاب را به درستی قالب بندی کنید [[شرکت کننده: A_Devyatkov 06:58، 11 ژوئن 2010 (UTC)]]

بدیهیات پیانو

تقریباً در تمام ادبیات خارجی و در ویکی‌پدیا، بدیهیات پیانو با «0 یک عدد طبیعی است» شروع می‌شود. در واقع، در منبع اصلی نوشته شده است "1 یک عدد طبیعی است." با این حال، در سال 1897 Peano تغییری ایجاد می کند و 1 را به 0 تغییر می دهد. این در "Formulaire de mathematiques"، Tome II - شماره 2 نوشته شده است. صفحه 81. این لینک به نسخه الکترونیکی در صفحه مورد نظر است:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (فرانسوی).

توضیحات این تغییرات در «Rivista di matematica» جلد 6-7 1899 صفحه 76 آمده است. همچنین لینک نسخه الکترونیکی در صفحه مورد نظر:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (ایتالیایی).

0=0

"بدیهیات صفحات گردان دیجیتال" چیست؟

من می خواهم مقاله را به آخرین نسخه گشتی برگردانم. اولاً، شخصی بدیهیات Peano را به بدیهیات پیانو تغییر نام داد، به همین دلیل پیوند از کار افتاد. ثانیاً، فلان توروگوف اطلاعات بسیار بزرگی را به مقاله اضافه کرده است که به نظر من در این مقاله کاملاً نامناسب است. این به شیوه ای غیر دایره المعارفی نوشته شده است؛ علاوه بر این، نتایج خود توروگوف و پیوندی به کتاب خودش آورده شده است. من اصرار دارم که بخش مربوط به "اصول بدیهیات صفحات گردان دیجیتال" باید از این مقاله حذف شود. P.s. چرا قسمت مربوط به عدد صفر حذف شد؟ mesyarik 14:58، 12 مارس 2014 (UTC)

موضوع پوشش داده نشده است، تعریف واضحی از اعداد طبیعی ضروری است

لطفا بدعت مانند ننویسید اعداد طبیعی (اعداد طبیعی) اعدادی هستند که به طور طبیعی هنگام شمارش به وجود می آیند.هیچ چیز به طور طبیعی در مغز ایجاد نمی شود.

چگونه یک کودک پنج ساله توضیح دهد که کدام عدد یک عدد طبیعی است؟ بالاخره افرادی هستند که انگار پنج ساله هستند باید توضیح داده شوند. یک عدد طبیعی با یک عدد معمولی چه تفاوتی دارد؟ نمونه های مورد نیاز! 1، 2، 3 طبیعی است و 12 طبیعی است و -12؟ و سه چهارم یا مثلا 4.25 طبیعی؟ 95.181.136.132، ۱۵:۰۹، ۶ نوامبر ۲۰۱۴ (UTC)

اعداد طبیعی یک مفهوم اساسی، انتزاع اصلی هستند. نمی توان آنها را تعیین کرد. شما می توانید تا آنجا که دوست دارید به عمق فلسفه بروید، اما در نهایت یا باید یک موضع متافیزیکی سفت و سخت را بپذیرید (پذیرش ایمان؟) یا بپذیرید که هیچ تعریف مطلقی وجود ندارد، اعداد طبیعی بخشی از یک سیستم صوری مصنوعی هستند. الگویی که توسط انسان (یا خدا) اختراع شد. من یک رساله جالب در این موضوع پیدا کردم. این گزینه را چگونه دوست دارید، به عنوان مثال: "هر سیستم Peano خاص یک سری طبیعی نامیده می شود، یعنی مدلی از نظریه بدیهی Peano." احساس بهتری دارید؟ RomanSuzi، ۱۷:۵۲، ۶ نوامبر ۲۰۱۴ (UTC)
- به نظر می رسد که با مدل ها و نظریه های بدیهی خود فقط همه چیز را پیچیده می کنید. در بهترین حالت از هر هزار نفر دو نفر این تعریف را درک خواهند کرد. بنابراین، من معتقدم که در پاراگراف اول جمله "به عبارت ساده: اعداد طبیعی اعداد صحیح مثبتی هستند که از یک شامل شروع می شوند" وجود ندارد. این تعریف برای بیشتر افراد عادی به نظر می رسد. و دلیلی برای شک در تعریف عدد طبیعی نمی دهد. از این گذشته ، پس از خواندن مقاله ، من کاملاً متوجه نشدم که اعداد طبیعی چیست و عدد 807423 طبیعی است یا اعداد طبیعی آنهایی هستند که این عدد را تشکیل می دهند ، یعنی. 8 0 7 4 2 3 . اغلب عوارض فقط همه چیز را خراب می کنند. اطلاعات مربوط به اعداد طبیعی باید در این صفحه باشد نه در پیوندهای متعدد به صفحات دیگر. 95.181.136.132، 10:03، 7 نوامبر 2014 (UTC)
  - در اینجا لازم است بین دو کار تمایز قائل شد: (1) برای خواننده ای که از ریاضیات دور است به وضوح (حتی نه به طور دقیق) توضیح دهید که یک عدد طبیعی چیست، تا او کم و بیش درست بفهمد. (2) چنین تعریف دقیقی از یک عدد طبیعی ارائه دهید، که از آن ویژگی های اساسی آن پیروی می شود. شما به درستی از گزینه اول در مقدمه دفاع می کنید، اما دقیقاً این چیزی است که در مقاله آورده شده است: یک عدد طبیعی یک رسمیت ریاضی برای شمارش است: یک، دو، سه، و غیره. مثال شما (807423) مطمئناً زمانی بدست می آید که شمارش، که به این معنی است که این نیز یک عدد طبیعی است. من متوجه نمی شوم که چرا یک عدد و نحوه نوشتن آن در اعداد را با هم اشتباه می گیرید؛ این یک موضوع جداگانه است و مستقیماً به تعریف عدد مربوط نمی شود. نسخه توضیح شما: اعداد طبیعی اعداد صحیح مثبتی هستند که از یک شامل شروع می شوندخوب نیست، زیرا غیرممکن است که یک مفهوم کمتر کلی (عدد طبیعی) را از طریق یک (عدد) کلی تر که هنوز تعریف نشده است، تعریف کنیم. تصور خواننده ای برای من سخت است که می داند یک عدد صحیح مثبت چیست، اما نمی داند یک عدد طبیعی چیست. LGB 12:06، 7 نوامبر 2014 (UTC)
    - اعداد طبیعی را نمی توان بر اساس اعداد صحیح تعریف کرد. RomanSuzi، ۱۷:۰۱، ۷ نوامبر ۲۰۱۴ (UTC)

"هیچ چیز به طور طبیعی در مغز به وجود نمی آید." مطالعات اخیر نشان می دهد (در حال حاضر نمی توانم پیوندی پیدا کنم) که مغز انسان برای استفاده از زبان آماده است. بنابراین، طبیعتاً، ما از قبل آمادگی تسلط بر زبان را در ژن های خود داریم. خوب، برای اعداد طبیعی این چیزی است که مورد نیاز است. مفهوم "1" را می توان با دست خود نشان داد، و سپس، با القاء، می توانید چوب اضافه کنید، 2، 3، و غیره بگیرید. یا: I، II، III، IIII، ...، IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. اما شاید شما بر اساس منابع معتبر پیشنهادات خاصی برای بهبود مقاله داشته باشید؟ RomanSuzi، ۱۷:۵۷، ۶ نوامبر ۲۰۱۴ (UTC)

عدد طبیعی در ریاضیات چیست؟

ولادیمیر ز

از اعداد طبیعی برای شماره گذاری اشیاء و شمارش کمیت آنها استفاده می شود. برای شماره گذاری از اعداد صحیح مثبت استفاده می شود که از 1 شروع می شود.

و برای شمارش عدد، 0 را نیز درج می کنند که نشان دهنده عدم وجود اشیا است.

اینکه آیا مفهوم اعداد طبیعی شامل عدد 0 است یا نه به بدیهیات بستگی دارد. اگر ارائه هر یک از نظریه های ریاضی مستلزم وجود 0 در مجموعه اعداد طبیعی باشد، این امر در چارچوب این نظریه یک حقیقت تغییرناپذیر (بدیهی) در نظر گرفته می شود. تعریف عدد 0 اعم از مثبت و منفی بسیار به این نزدیک است. اگر تعریف اعداد طبیعی را به عنوان مجموعه تمام اعداد صحیح غیر منفی در نظر بگیریم، این سوال پیش می آید که عدد 0 چیست - مثبت یا منفی؟

در کاربردهای عملی، به عنوان یک قاعده، از اولین تعریف استفاده می شود که شامل عدد 0 نمی شود.

مداد

اعداد طبیعی اعداد صحیح مثبت هستند. اعداد طبیعی برای شمارش (عدد) اشیاء یا نشان دادن تعداد اشیاء یا نشان دادن شماره سریال یک شی در یک لیست استفاده می شوند. برخی از نویسندگان به طور مصنوعی صفر را در مفهوم "اعداد طبیعی" قرار می دهند. برخی دیگر از فرمول "اعداد طبیعی و صفر" استفاده می کنند. این غیر اصولی است. مجموعه اعداد طبیعی نامتناهی است، زیرا با هر عدد طبیعی بزرگ می توانید عمل جمع را با یک عدد طبیعی دیگر انجام دهید و عدد بزرگتری به دست آورید.

اعداد منفی و غیر صحیح در مجموعه اعداد طبیعی قرار نمی گیرند.

کوه های سایان

اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش استفاده می شوند. آنها فقط می توانند مثبت و کامل باشند. این در مثال به چه معناست؟ از آنجایی که این اعداد برای شمارش استفاده می شوند، بیایید سعی کنیم چیزی را محاسبه کنیم. چه چیزی را می توانید بشمارید؟ مثلا مردم. ما می توانیم افراد را به این صورت بشماریم: 1 نفر، 2 نفر، 3 نفر و غیره. اعداد 1، 2، 3 و سایر اعدادی که برای شمارش استفاده می شوند، اعداد طبیعی خواهند بود. ما هرگز نمی گوییم -1 (منهای یک) نفر یا 1.5 (یک و نیم) نفر (ببخشید جناس:)، بنابراین -1 و 1.5 (مانند همه اعداد منفی و کسری) اعداد طبیعی نیستند.

لورلی

اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش اجسام استفاده می شوند.

کوچکترین عدد طبیعی یک است. اغلب این سوال پیش می آید که آیا صفر یک عدد طبیعی است؟ خیر، در اکثر منابع روسی وجود ندارد، اما در کشورهای دیگر عدد صفر به عنوان یک عدد طبیعی شناخته می شود...

مورلجوبا

اعداد طبیعی در ریاضیات به معنای اعدادی است که برای شمارش متوالی چیزی یا شخصی استفاده می شود. کوچکترین عدد طبیعی یک در نظر گرفته می شود. در بیشتر موارد، صفر یک عدد طبیعی نیست. اعداد منفی نیز در اینجا گنجانده نشده است.

درود بر اسلاوها

اعداد طبیعی که به آنها اعداد طبیعی نیز گفته می شود، اعدادی هستند که به طور معمول هنگام شمارش آنها به وجود می آیند و بزرگتر از صفر هستند. دنباله هر عدد طبیعی که به ترتیب صعودی مرتب شده است، یک سری طبیعی نامیده می شود.

النا نیکیتیوک

اصطلاح عدد طبیعی در ریاضیات استفاده می شود. یک عدد صحیح مثبت را یک عدد طبیعی می گویند. کوچکترین عدد طبیعی "0" در نظر گرفته می شود. برای محاسبه هر چیزی از همین اعداد طبیعی مثلا 1،2،3... و غیره استفاده می شود.

اعداد طبیعی اعدادی هستند که با آنها می شماریم، یعنی یک، دو، سه، چهار، پنج و بقیه اعداد طبیعی هستند.

اینها لزوما اعداد مثبت بزرگتر از صفر هستند.

اعداد کسری نیز به مجموعه اعداد طبیعی تعلق ندارند.

-ارکیده-

برای شمردن چیزی به اعداد طبیعی نیاز است. آنها مجموعه ای از اعداد مثبت هستند که با یک شروع می شوند. مهم است بدانید که این اعداد منحصراً اعداد صحیح هستند. شما می توانید هر چیزی را با اعداد طبیعی محاسبه کنید.

مارلنا

اعداد طبیعی اعداد صحیحی هستند که معمولاً هنگام شمارش اشیا از آنها استفاده می کنیم. صفر به عنوان چنین در قلمرو اعداد طبیعی گنجانده نشده است، زیرا ما معمولاً از آن در محاسبات استفاده نمی کنیم.

Inara-pd

اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش استفاده می کنیم - یک، دو، سه و غیره.

اعداد طبیعی برخاسته از نیازهای عملی انسان است.

اعداد طبیعی با ده رقم نوشته می شوند.

صفر یک عدد طبیعی نیست.

عدد طبیعی چیست؟

نائومنکو

اعداد طبیعی اعداد هستند. هنگام شماره گذاری و شمارش اشیاء طبیعی (گل، درخت، حیوان، پرنده و غیره) استفاده می شود.

اعداد صحیح نامیده می شوند اعداد طبیعی، مخالف و صفر آنها،

توضیح. آنچه طبیعی از طریق اعداد صحیح است نادرست است!! !

اعداد می توانند زوج باشند - بخش پذیر بر 2 بر یک کل و فرد - بر 2 بر یک کل بخش پذیر نباشند.

اعداد اول اعداد هستند. داشتن تنها 2 مقسوم علیه - یکی و خودش...
اولین معادله شما هیچ راه حلی ندارد. برای دومی x=6 6 عدد طبیعی است.

اعداد طبیعی (اعداد طبیعی) اعدادی هستند که به طور طبیعی هنگام شمارش به وجود می آیند (هم به معنای شمارش و هم به معنای حساب).

مجموعه تمام اعداد طبیعی معمولاً با \mathbb(N) نشان داده می شود. مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است، زیرا برای هر عدد طبیعی یک عدد طبیعی بزرگتر وجود دارد.

آنا سمنچنکو

اعدادی که به طور طبیعی هنگام شمارش به وجود می آیند (هم به معنای شمارش و هم به معنای حساب).
دو رویکرد برای تعریف اعداد طبیعی وجود دارد - اعداد مورد استفاده در:
فهرست بندی (شماره گذاری) موارد (اول، دوم، سوم، ...)؛
تعیین تعداد آیتم ها (بدون آیتم، یک مورد، دو مورد، ...). در آثار بورباکی، جایی که اعداد طبیعی به‌عنوان کاردینالیته‌های مجموعه‌های متناهی تعریف می‌شوند، به تصویب رسید.
اعداد منفی و غیر صحیح (گویا، واقعی، ...) اعداد طبیعی نیستند.
مجموعه تمام اعداد طبیعی معمولاً با یک علامت نشان داده می شود. مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است، زیرا برای هر عدد طبیعی یک عدد طبیعی بزرگتر وجود دارد.

اعداد طبیعی به ترتیب اعداد طبیعی - مبانی

اعداد صحیح

تمام اعداد

اعداد گویا

مکان اعداد طبیعی

اعداد تک رقمی و چند رقمی

کلاس های رقمی برای خواندن اعداد طبیعی بزرگ

نمونه ای از نوشتن و خواندن

آغاز زمان

در ریاضیات چیست؟ بدیهیات پیانو

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

خواص اعداد متعلق به فیلد N

جدول فیثاغورثی

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

طبقات اعداد طبیعی

مقایسه اعداد طبیعی

جدول ارقام و طبقات اعداد.

بدیهیاتی که به ما امکان می دهد مجموعه اعداد طبیعی را تعیین کنیم

بدیهیات پیانو برای اعداد طبیعی

تعریف نظری مجموعه اعداد طبیعی (تعریف فرگه-راسل)

صفر به عنوان یک عدد طبیعی

قدر مجموعه اعداد طبیعی

عملیات روی اعداد طبیعی

خواص اساسی

ساختار جبری

تعاریف نظری مجموعه ها

عدد طبیعی چیست؟ تاریخچه، دامنه، خواص

آغاز زمان

عدد طبیعی در ریاضیات چیست؟ بدیهیات پیانو

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

خواص اعداد متعلق به فیلد N

جدول فیثاغورثی

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

بحث: عدد طبیعی

جنجال حول صفر

عدم محبوبیت اعداد طبیعی

شماره

طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano

بدیهیات پیانو

0=0

"بدیهیات صفحات گردان دیجیتال" چیست؟

موضوع پوشش داده نشده است، تعریف واضحی از اعداد طبیعی ضروری است

عدد طبیعی در ریاضیات چیست؟

عدد طبیعی چیست؟

بازیابی رمز عبور