خانه / پرده/ معادلات نمایی با پایه های مختلف. معادله نمایی چیست و چگونه آن را حل کنیم

معادلات نمایی با پایه های مختلف. معادله نمایی چیست و چگونه آن را حل کنیم

حل معادلات نمایی. مثال ها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

چه اتفاقی افتاده است معادله نمایی? این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها در آن قرار دارند شاخص هابرخی درجات و فقط آنجا! مهم است.

شما آنجا هستید نمونه هایی از معادلات نمایی:

3 x 2 x = 8 x + 3

توجه داشته باشید! بر اساس درجه (زیر) - فقط اعداد. که در شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با X. اگر به طور ناگهانی X در معادله در جایی غیر از یک نشانگر ظاهر شود، برای مثال:

این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. در اینجا به آن خواهیم پرداخت حل معادلات نماییدر خالص ترین شکل آن

در واقع، حتی معادلات نمایی خالص نیز همیشه به وضوح حل نمی شوند. اما انواع خاصی از معادلات نمایی وجود دارد که می توانند و باید حل شوند. اینها انواعی هستند که ما در نظر خواهیم گرفت.

حل معادلات نمایی ساده

اول، بیایید یک چیز بسیار اساسی را حل کنیم. مثلا:

حتی بدون هیچ نظریه ای، با انتخاب ساده مشخص می شود که x = 2. دیگه هیچی درسته!؟ هیچ مقدار دیگری از X کار نمی کند. حال بیایید به حل این معادله نمایی پیچیده نگاه کنیم:

ما چه کرده ایم؟ ما، در واقع، به سادگی همان پایه ها (سه گانه) را بیرون انداختیم. کاملا بیرون انداخته شده و خبر خوب این است که میخ را به سرمان زدیم!

در واقع، اگر در یک معادله نمایی چپ و راست وجود داشته باشد هماناعداد در هر توانی، این اعداد را می توان حذف کرد و توان ها را برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد. برای حل یک معادله بسیار ساده تر باقی مانده است. عالیه، درسته؟)

با این حال، بیایید قاطعانه به یاد داشته باشیم: شما می توانید پایه ها را فقط زمانی حذف کنید که اعداد پایه در سمت چپ و راست در انزوا عالی باشند!بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بیایید در معادلات بگوییم:

2 x +2 x+1 = 2 3، یا

دوتا قابل حذف نیست!

خوب، ما به مهمترین چیز مسلط شدیم. چگونه از عبارات نمایی بد به معادلات ساده تر حرکت کنیم.

"آن زمان است!" - تو بگو. "چه کسی چنین درس ابتدایی در آزمون ها و امتحانات می دهد!؟"

من باید موافقت کنم. هیچ کس نخواهد. اما اکنون می‌دانید که هنگام حل مثال‌های پیچیده کجا را هدف بگیرید. باید به فرمی که همان عدد پایه در سمت چپ و راست است آورده شود. سپس همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این یک کلاسیک از ریاضیات است. نمونه اصلی را می گیریم و آن را به نمونه دلخواه تبدیل می کنیم ماذهن البته طبق قوانین ریاضی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که به تلاش بیشتری برای کاهش آنها به ساده ترین نیاز دارند. به آنها زنگ بزنیم معادلات نمایی ساده

حل معادلات نمایی ساده مثال ها.

هنگام حل معادلات نمایی، قوانین اصلی هستند اقدامات با درجهبدون آگاهی از این اقدامات هیچ چیز کار نخواهد کرد.

به اعمال دارای درجه، باید مشاهده شخصی و نبوغ را اضافه کرد. آیا به اعداد پایه یکسانی نیاز داریم؟ بنابراین ما آنها را در مثال به صورت صریح یا رمزگذاری شده جستجو می کنیم.

بیایید ببینیم چگونه این کار در عمل انجام می شود؟

اجازه دهید مثالی برای ما آورده شود:

2 2x - 8 x+1 = 0

اولین نگاه دقیق به زمینه.آنها... با هم فرق دارند! دو و هشت. اما برای ناامید شدن خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

دو و هشت از نظر درجه نسبی هستند.) کاملاً ممکن است بنویسیم:

8 x+1 = (2 3) x+1

اگر فرمول را از عملیات با درجه به یاد بیاوریم:

(a n) m = a nm

این عالی عمل می کند:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

مثال اصلی به این شکل شروع شد:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

انتقال می دهیم 2 3 (x+1)در سمت راست (هیچ کس عملیات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرده است!)، دریافت می کنیم:

2 2x = 2 3 (x+1)

این عملاً تمام است. برداشتن پایه ها:

ما این هیولا را حل می کنیم و می گیریم

این جواب درست است.

در این مثال، دانستن قدرت های دو به ما کمک کرد. ما شناخته شده استدر هشت، دو رمزگذاری شده وجود دارد. این تکنیک (رمزگذاری پایه های مشترک تحت اعداد مختلف) یک تکنیک بسیار محبوب در معادلات نمایی است! بله، و در لگاریتم نیز. شما باید بتوانید قدرت اعداد دیگر را در اعداد تشخیص دهید. این برای حل معادلات نمایی بسیار مهم است.

واقعیت این است که افزایش هر عددی به هر توانی مشکلی ندارد. ضرب کنید، حتی روی کاغذ، و تمام. به عنوان مثال، هر کسی می تواند 3 را به توان پنجم برساند. اگر جدول ضرب را بدانید 243 درست می شود.) اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات نیازی به بالا بردن به توان نیست، بلکه برعکس... پیدا کنید چه عددی به چه درجه ایپشت عدد 243 یا مثلاً 343 پنهان شده است... اینجا هیچ ماشین حسابی به شما کمک نمی کند.

شما باید قدرت برخی از اعداد را با دید بدانید، درست است... بیایید تمرین کنیم؟

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

پاسخ ها (البته در آشفتگی!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

اگر با دقت نگاه کنید می توانید یک واقعیت عجیب را ببینید. پاسخ ها به طور قابل توجهی بیشتر از وظایف هستند! خوب، اتفاق می افتد... مثلاً 2 6، 4 3، 8 2 - این همه 64 است.

فرض کنید شما اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) همچنین یادآور می شوم که برای حل معادلات نمایی از ما استفاده می کنیم. همهذخیره دانش ریاضی از جمله کسانی که از طبقات متوسطه و متوسطه هستند. شما مستقیماً به دبیرستان نرفتید، درست است؟)

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نمایی، قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب کمک می کند (سلام به کلاس هفتم!). بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

3 2x+4 -11 9 x = 210

و باز هم اولین نگاه به پایه هاست! پایه درجات متفاوت است... سه و نه. اما ما می خواهیم آنها یکسان باشند. خب، در این صورت خواسته کاملا برآورده می شود!) زیرا:

9 x = (3 2) x = 3 2x

استفاده از قوانین مشابه برای برخورد با مدرک:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

عالی است، می توانید آن را یادداشت کنید:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

به همین دلایل مثال زدیم. خب بعدش چیه!؟ شما نمی توانید سه نفر را بیرون بیندازید... بن بست؟

اصلا. جهانی ترین و قدرتمندترین قانون تصمیم گیری را به خاطر بسپارید هر کستکالیف ریاضی:

اگر نمی دانید به چه چیزی نیاز دارید، آنچه می توانید انجام دهید!

ببین، همه چیز درست میشه).

آنچه در این معادله نمایی وجود دارد می توانانجام دادن؟ بله، در سمت چپ فقط التماس می کند که از پرانتز خارج شود! ضریب کلی 3 2x به وضوح به این اشاره دارد. بیایید امتحان کنیم، سپس خواهیم دید:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

مثال همیشه بهتر و بهتر می شود!

ما به یاد داریم که برای حذف زمینه ها نیاز به مدرک تحصیلی خالص و بدون ضریب داریم. عدد 70 ما را اذیت می کند. بنابراین هر دو طرف معادله را بر 70 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

اوه! همه چیز بهتر شد!

این پاسخ نهایی است.

با این حال اتفاق می افتد که تاکسی بر همین اساس محقق می شود، اما حذف آنها ممکن نیست. این در انواع دیگر معادلات نمایی اتفاق می افتد. بیایید به این نوع تسلط پیدا کنیم.

جایگزینی متغیر در حل معادلات نمایی. مثال ها.

بیایید معادله را حل کنیم:

4 x - 3 2 x +2 = 0

اول - طبق معمول. بیایید به یک پایه برویم. به یک دونه.

4 x = (2 2) x = 2 2x

معادله را بدست می آوریم:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

و اینجا جایی است که ما می گذریم. تکنیک های قبلی، مهم نیست که چگونه به آن نگاه کنید، کارساز نخواهد بود. ما باید روش قدرتمند و جهانی دیگری را از زرادخانه خود بیرون بکشیم. نامیده می شود جایگزینی متغیر

ماهیت روش به طرز شگفت آوری ساده است. به جای یک نماد پیچیده (در مورد ما - 2 x) یکی دیگر ساده تر (مثلا - t) را می نویسیم. چنین جایگزینی به ظاهر بی معنی منجر به نتایج شگفت انگیزی می شود!) همه چیز واضح و قابل درک می شود!

بنابراین اجازه دهید

سپس 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

در معادله ما تمام توان ها را با x با t جایگزین می کنیم:

خوب، آیا به شما طلوع می کند؟) آیا هنوز معادلات درجه دوم را فراموش کرده اید؟ با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:

نکته اصلی اینجا این است که متوقف نشویم، همانطور که اتفاق می افتد... این هنوز پاسخی نیست، ما به x نیاز داریم، نه t. بیایید به X ها برگردیم، یعنی. ما یک جایگزین معکوس می کنیم. ابتدا برای t 1:

به این معنا که،

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:

هوم... 2 x سمت چپ، 1 در سمت راست... مشکل؟ اصلا! کافی است به یاد داشته باشید (از عملیات با قدرت ها، بله...) که یک واحد است هرعدد به توان صفر هر هر چه نیاز باشد ما آن را نصب می کنیم. ما به دوتا نیاز داریم به معنای:

الان همین است. ما 2 ریشه گرفتیم:

این پاسخ است.

در حل معادلات نماییدر پایان گاهی اوقات شما با نوعی بیان ناخوشایند مواجه می شوید. نوع:

هفت را نمی توان با یک توان ساده به دو تبدیل کرد. اقوام نیستن... چطوری باشیم؟ ممکن است کسی گیج شود ... اما شخصی که در این سایت موضوع "لگاریتم چیست؟" را خوانده است. ، فقط با احتیاط لبخند می زند و با دستی محکم پاسخ کاملا صحیح را می نویسد:

چنین پاسخی در وظایف "B" در آزمون یکپارچه دولتی وجود ندارد. در آنجا یک شماره خاص مورد نیاز است. اما در وظایف "C" آسان است.

در این درس مثال هایی از حل رایج ترین معادلات نمایی ارائه می شود. بیایید نکات اصلی را برجسته کنیم.

نکات کاربردی:

1. اول از همه، نگاه می کنیم زمینهدرجه. ما در تعجب هستیم که آیا امکان ساخت آنها وجود دارد یا خیر همسان.بیایید سعی کنیم این کار را با استفاده فعال انجام دهیم اقدامات با درجهفراموش نکنید که اعداد بدون x را نیز می توان به توان تبدیل کرد!

2. ما سعی می کنیم معادله نمایی را زمانی که در سمت چپ و راست وجود دارد به شکلی در آوریم هماناعداد در هر قدرتی ما استفاده می کنیم اقدامات با درجهو فاکتورسازیآنچه را می توان با اعداد شمارش کرد، ما می شماریم.

3. اگر نکته دوم کار نکرد، از جایگزینی متغیر استفاده کنید. نتیجه ممکن است معادله ای باشد که به راحتی قابل حل باشد. اغلب - مربع. یا کسری که به مربع نیز تقلیل می یابد.

4. برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید قدرت برخی از اعداد را از روی دید بدانید.

طبق معمول، در پایان درس از شما دعوت می شود تا کمی تصمیم بگیرید.) خودتان. از ساده به پیچیده.

حل معادلات نمایی:

سخت تر:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

محصول ریشه ها را پیدا کنید:

2 3 + 2 x = 9

اتفاق افتاد؟

خب، پس یک مثال بسیار پیچیده (البته در ذهن قابل حل است...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

چه جالب تر؟ پس در اینجا یک مثال بد برای شما وجود دارد. برای افزایش سختی بسیار وسوسه انگیز است. اجازه دهید اشاره کنم که در این مثال، چیزی که شما را نجات می دهد، نبوغ و جهانی ترین قانون برای حل تمام مسائل ریاضی است.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

یک مثال ساده تر، برای آرامش):

9 2 x - 4 3 x = 0

و برای دسر. مجموع ریشه های معادله را پیدا کنید:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

بله بله! این یک معادله از نوع مختلط است! که در این درس به آن توجه نکردیم. چرا آنها را در نظر بگیرید، آنها باید حل شوند!) این درس برای حل معادله کاملاً کافی است. خوب، شما نیاز به نبوغ دارید... و ممکن است کلاس هفتم به شما کمک کند (این یک اشاره است!).

پاسخ ها (به هم ریخته، با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند):

1 2 3; 4 هیچ راه حلی وجود ندارد؛ 2 -2 -5; 4 0.

آیا همه چیز موفق است؟ عالی.

مشکلی وجود دارد؟ مشکلی نیست! بخش ویژه 555 تمام این معادلات نمایی را با توضیحات دقیق حل می کند. چی، چرا و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمند بیشتری در مورد کار با انواع معادلات نمایی وجود دارد. نه فقط اینها.)

آخرین سوال جالبی که باید در نظر گرفت. در این درس با معادلات نمایی کار کردیم. چرا من اینجا یک کلمه در مورد ODZ نگفتم؟در معادلات، اتفاقاً این یک چیز بسیار مهم است ...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در مرحله آماده سازی برای آزمون نهایی، دانش آموزان دبیرستانی باید دانش خود را در مورد "معادلات نمایی" ارتقا دهند. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی برای دانش آموزان مشکلات خاصی ایجاد می کند. بنابراین، دانش آموزان دبیرستانی، صرف نظر از سطح آمادگی خود، نیاز به تسلط کامل بر نظریه، به خاطر سپردن فرمول ها و درک اصل حل چنین معادلاتی دارند. فارغ التحصیلان با آموختن کنار آمدن با این نوع مشکلات می توانند در هنگام قبولی در آزمون دولتی واحد ریاضی روی نمرات بالایی حساب کنند.

برای تست امتحان با Shkolkovo آماده شوید!

بسیاری از دانش آموزان هنگام مرور مطالبی که پوشش داده اند با مشکل یافتن فرمول های مورد نیاز برای حل معادلات مواجه می شوند. کتاب درسی مدرسه همیشه در دسترس نیست و انتخاب اطلاعات لازم در مورد یک موضوع در اینترنت زمان زیادی می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo از دانش آموزان دعوت می کند تا از پایگاه دانش ما استفاده کنند. ما در حال اجرای یک روش کاملاً جدید برای آمادگی برای آزمون نهایی هستیم. با مطالعه در وب سایت ما، می توانید شکاف های دانش را شناسایی کنید و به کارهایی که بیشترین مشکل را ایجاد می کنند توجه کنید.

معلمان Shkolkovo تمام مطالب لازم برای موفقیت در آزمون دولتی واحد را به ساده ترین و در دسترس ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کردند.

تعاریف و فرمول های اساسی در بخش "پیشینه نظری" ارائه شده است.

برای درک بهتر مطالب، توصیه می کنیم تکمیل تکالیف را تمرین کنید. مثال های معادلات نمایی با راه حل های ارائه شده در این صفحه را با دقت مرور کنید تا الگوریتم محاسبه را درک کنید. پس از آن، به انجام وظایف در بخش "دایرکتوری ها" ادامه دهید. می توانید با ساده ترین کارها شروع کنید یا مستقیماً به حل معادلات نمایی پیچیده با چندین مجهول یا . پایگاه داده تمرینات در وب سایت ما به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

نمونه هایی با شاخص هایی که برای شما مشکل ایجاد کرده اند را می توان به "موارد دلخواه" اضافه کرد. به این ترتیب می توانید به سرعت آنها را پیدا کنید و راه حل را با معلم خود در میان بگذارید.

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد، هر روز در پورتال Shkolkovo مطالعه کنید!

سخنرانی: "روش های حل معادلات نمایی".

1 . معادلات نمایی

معادلات حاوی مجهولات در توان را معادلات نمایی می نامند. ساده ترین آنها معادله ax = b است که a > 0، a ≠ 1 است.

1) در ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) برای b > 0، با استفاده از یکنواختی تابع و قضیه ریشه، معادله یک ریشه منحصر به فرد دارد. برای یافتن آن، b باید به شکل b = aс، аx = bс ó x = c یا x = logab نمایش داده شود.

معادلات نمایی با تبدیل های جبری منجر به معادلات استاندارد می شود که با استفاده از روش های زیر حل می شوند:

1) روش کاهش به یک پایه؛

2) روش ارزیابی؛

3) روش گرافیکی؛

4) روش معرفی متغیرهای جدید.

5) روش فاکتورسازی؛

6) معادلات نمایی – توان.

7) نمایشی با یک پارامتر.

2 . روش کاهش به یک پایه

این روش بر اساس ویژگی درجه های زیر است: اگر دو درجه مساوی و پایه های آنها مساوی باشد، توان آنها برابر است، یعنی باید سعی کرد معادله را به شکل کاهش داد.

مثال ها. معادله را حل کنید:

1 . 3x = 81;

بیایید سمت راست معادله را به شکل 81 = 34 نشان دهیم و معادله را معادل 3 x = 34 اصلی بنویسیم. x = 4. پاسخ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">و اجازه دهید به معادله برای نماهای 3x+1 = 3 – 5x؛ 8x = برویم. 4؛ x = 0.5 پاسخ: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

توجه داشته باشید که اعداد 0.2، 0.04، √5 و 25 قدرت های 5 را نشان می دهند. بیایید از این مزیت استفاده کنیم و معادله اصلی را به صورت زیر تبدیل کنیم:

, از آنجا 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2، که از آن راه حل x = -1 را پیدا می کنیم. پاسخ 1.

5. 3x = 5. با تعریف لگاریتم، x = log35. پاسخ: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

بیایید معادله را به شکل 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 بازنویسی کنیم، یعنی..png" width="181" height="49 src="> بنابراین x – 4 =0، x = 4. پاسخ: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. با استفاده از خواص توان ها، معادله را به شکل 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 سپس 3∙3x = 9، 3x+1 می نویسیم. = 32، یعنی x+1 = 2، x =1. پاسخ 1.

بانک مشکل شماره 1.

معادله را حل کنید:

تست شماره 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3؛ 1 2) -3؛-1 3) 0؛ 2 4) بدون ریشه
	1) 7؛ 1 2) بدون ریشه 3) -7؛ 1 4) -1؛-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

تست شماره 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) بدون ریشه 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 روش ارزشیابی.

قضیه ریشه: اگر تابع f(x) در بازه I افزایش (کاهش) پیدا کند، عدد a هر مقداری است که با f در این بازه گرفته شود، سپس معادله f(x) = a دارای یک ریشه در بازه I است.

هنگام حل معادلات با استفاده از روش تخمین، از این قضیه و ویژگی های یکنواختی تابع استفاده می شود.

مثال ها. حل معادلات: 1. 4x = 5 - x.

راه حل. بیایید معادله را به صورت 4x +x = 5 بازنویسی کنیم.

1. اگر x = 1، 41 + 1 = 5، 5 = 5 درست است، به این معنی که 1 ریشه معادله است.

تابع f(x) = 4x – در R افزایش می یابد، و g(x) = x – در R => h(x)= f(x)+g(x) در R افزایش می یابد، به عنوان مجموع توابع افزایشی، سپس x = 1 تنها ریشه معادله 4x = 5 – x است. پاسخ 1.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم .

1. اگر x = -1، پس 3 = 3 درست است، یعنی x = -1 ریشه معادله است.

2. ثابت کنید که او تنها است.

3. تابع f(x) = - در R کاهش می یابد، و g(x) = - x - کاهش می یابد در R=> h(x) = f(x)+g(x) - در R کاهش می یابد، به عنوان مجموع کاهش توابع . این بدان معناست که طبق قضیه ریشه، x = -1 تنها ریشه معادله است. پاسخ 1.

بانک مشکل شماره 2. معادله را حل کنید

الف) 4x + 1 =6 - x;

ب)

ج) 2x – 2 =1 – x;

4. روش معرفی متغیرهای جدید.

روش در بند 2.1 توضیح داده شده است. معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی) معمولاً پس از تبدیل (ساده سازی) شرایط معادله انجام می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال ها. آرمعادله را حل کنید: 1. .

بیایید معادله را متفاوت بنویسیم: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

راه حل. بیایید معادله را متفاوت بنویسیم:

بیایید https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> را تعیین کنیم - مناسب نیست.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - معادله غیرمنطقی. توجه می کنیم که

جواب معادله x = 2.5 ≤ 4 است، یعنی 2.5 ریشه معادله است. پاسخ: 2.5.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم و هر دو طرف را بر 56x+6 ≠ 0 تقسیم کنیم. معادله را بدست می آوریم

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

ریشه های معادله درجه دوم t1 = 1 و t2 است<0, т. е..png" width="200" height="24">.

راه حل . بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم

و توجه داشته باشید که یک معادله همگن درجه دوم است.

معادله را بر 42 برابر تقسیم می کنیم، به دست می آید

بیایید https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> را جایگزین کنیم.

پاسخ: 0; 0.5.

بانک مشکل شماره 3. معادله را حل کنید

ب)

ز)

تست شماره 3 با انتخابی از پاسخ ها حداقل سطح.

A1	1) -0.2؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2؛ 1 2) -1؛ 0 3) بدون ریشه 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بدون ریشه 2) 2؛ 4 3) 3 4) -1؛ 2

تست شماره 4 با انتخابی از پاسخ ها سطح عمومی.

A1	1) 2؛ 1 2) ½؛ 0 3) 2؛ 0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) بدون ریشه

5. روش فاکتورسازی.

1. معادله را حل کنید: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69">، از کجا

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

راه حل. بیایید 6 برابر از براکت ها را در سمت چپ معادله و 2 برابر را در سمت راست قرار دهیم. معادله 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x را بدست می آوریم.

از آنجایی که 2x>0 برای همه x، می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2x تقسیم کنیم، بدون ترس از از دست دادن راه‌حل. ما 3x = 1- x = 0 دریافت می کنیم.

راه حل. بیایید معادله را با استفاده از روش فاکتورسازی حل کنیم.

اجازه دهید مربع دو جمله ای را انتخاب کنیم

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ریشه معادله است.

معادله x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

تست شماره 6 سطح عمومی.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1؛ 3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3؛ 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. معادلات نمایی – توان.

در مجاورت معادلات نمایی، معادلات به اصطلاح توان نمایی قرار دارند، یعنی معادلات به شکل (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

اگر معلوم شود که f(x)> 0 و f(x) ≠ 1، آنگاه معادله، مانند نمایی، با معادل سازی توان های g(x) = f(x) حل می شود.

اگر شرط امکان f(x)=0 و f(x)=1 را رد نکند، باید این موارد را هنگام حل یک معادله نمایی در نظر بگیریم.

1..png" width="182" height="116 src=">

راه حل. x2 +2x-8 - برای هر x منطقی است، زیرا یک چند جمله ای است، به این معنی که معادله معادل کل است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ب)

7. معادلات نمایی با پارامترها.

1. معادله 4 (5-3)2 +4p2-3p = 0 (1) برای چه مقادیری از پارامتر p یک راه حل منحصر به فرد دارد؟

راه حل. اجازه دهید جایگزین 2x = t، t > 0 را معرفی کنیم، سپس معادله (1) به شکل t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 خواهد بود. (2)

ممیز معادله (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

اگر معادله (2) یک ریشه مثبت داشته باشد، معادله (1) یک راه حل منحصر به فرد دارد. این امر در موارد زیر امکان پذیر است.

1. اگر D = 0، یعنی p = 1، معادله (2) به شکل t2 – 2t + 1 = 0 خواهد بود، بنابراین t = 1، بنابراین، معادله (1) یک جواب منحصر به فرد x = 0 دارد.

2. اگر p1، 9(p – 1)2 > 0، آنگاه معادله (2) دارای دو ریشه مختلف t1 = p، t2 = 4p – 3 است. شرایط مسئله توسط مجموعه ای از سیستم ها برآورده می شود.

جایگزینی t1 و t2 در سیستم ها، داریم

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

راه حل. اجازه دهید سپس معادله (3) به شکل t2 – 6t – a = 0 خواهد بود. (4)

اجازه دهید مقادیر پارامتر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه از معادله (4) شرط t> 0 را برآورده کند.

اجازه دهید تابع f(t) = t2 – 6t – a را معرفی کنیم. موارد زیر ممکن است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

مورد 2. معادله (4) یک راه حل مثبت منحصر به فرد دارد اگر

D = 0، اگر a = – 9 باشد، معادله (4) به شکل (t – 3) 2 = 0، t = 3، x = – 1 خواهد بود.

مورد 3. معادله (4) دارای دو ریشه است، اما یکی از آنها نابرابری t > 0 را برآورده نمی کند. این در صورتی امکان پذیر است که

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

بنابراین، برای a 0، معادله (4) یک ریشه مثبت دارد . سپس معادله (3) یک راه حل منحصر به فرد دارد

وقتی یک< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اگر یک< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
اگر a = – 9، آنگاه x = – 1.

اگر a  0 باشد، آنگاه

اجازه دهید روش های حل معادلات (1) و (3) را با هم مقایسه کنیم. توجه داشته باشید که هنگام حل معادله (1) به یک معادله درجه دوم که ممیز آن یک مربع کامل است کاهش می یابد. بنابراین، ریشه های معادله (2) بلافاصله با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم محاسبه شد و سپس در مورد این ریشه ها نتیجه گیری شد. معادله (3) به یک معادله درجه دوم (4) تقلیل یافته است که ممیز آن یک مربع کامل نیست، بنابراین هنگام حل معادله (3)، توصیه می شود از قضایایی در مورد محل ریشه های یک سه جمله درجه دوم استفاده شود. و یک مدل گرافیکی توجه داشته باشید که معادله (4) را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد.

بیایید معادلات پیچیده تری را حل کنیم.

مسئله 3: معادله را حل کنید

راه حل. ODZ: x1، x2.

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم. فرض کنید 2x = t، t > 0، سپس در نتیجه تبدیل ها، معادله به شکل t2 + 2t - 13 - a = 0 خواهد بود. (*) اجازه دهید مقادیر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه معادله (*) شرط t > 0 را برآورده می کند.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

پاسخ: اگر a > – 13، a  11، a  5، سپس اگر a – 13،

a = 11، a = 5، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. Guzeev مبانی فناوری آموزشی.

2. تکنولوژی Guzeev: از پذیرش تا فلسفه.

م «مدیر مدرسه» شماره 4، 1375

3. Guzeev و اشکال سازمانی آموزش.

4. گوزیف و تمرین فناوری آموزشی یکپارچه.

م. «آموزش عمومی»، 1380

5. Guzeev از فرم های یک درس - سمینار.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1366 ص 9 – 11.

6. فن آوری های آموزشی Seleuko.

م. «آموزش عمومی»، 1377

7. دانش آموزان Episheva برای مطالعه ریاضیات.

م. "روشنگری"، 1990

8. ایوانوا دروس - کارگاه ها را آماده می کند.

ریاضیات در مدرسه شماره 6، 1990 ص. 37-40.

9. مدل اسمیرنوف در تدریس ریاضیات.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1376 ص. 32-36.

10. Tarasenko راه های سازماندهی کار عملی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1993 ص. 27-28.

11. در مورد یکی از انواع کار فردی.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 94، ص 63 – 64.

12. توانایی های خازنکین خلاق دانش آموزان.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1989 ص. 10.

13. اسکانوی. ناشر، 1997

14. و دیگران جبر و آغاز تحلیل. مواد آموزشی برای

15. وظایف Krivonogov در ریاضیات.

M. "اول سپتامبر"، 2002

16. چرکاسوف. کتاب راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و

ورود به دانشگاه ها "A S T - مدرسه مطبوعات"، 2002

17. Zhevnyak برای کسانی که وارد دانشگاه می شوند.

مینسک و فدراسیون روسیه "بررسی"، 1996

18. کتبی د. ما برای امتحان ریاضی آماده می شویم. M. Rolf، 1999

19. و غیره آموزش حل معادلات و نامساوی.

م. «عقل – مرکز»، 1382

20. و غیره. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی برای EGE.

م. "اطلاعات - مرکز"، 1382 و 1383.

21 و دیگران. گزینه های CMM. مرکز تست وزارت دفاع فدراسیون روسیه، 2002، 2003.

22. معادلات گلدبرگ. "کوانتوم" شماره 3، 1971

23. Volovich M. چگونه ریاضیات را با موفقیت تدریس کنیم.

ریاضی، 1376 شماره 3.

24 Okunev برای درس، بچه ها! م. آموزش و پرورش، 1367

25. Yakimanskaya - یادگیری گرا در مدرسه.

26. Liimets در کلاس کار می کنند. م. دانش، 1975

به کانال یوتیوب وب سایت ما بروید تا از تمام دروس ویدیویی جدید مطلع شوید.

ابتدا بیایید فرمول های اصلی توان ها و ویژگی های آنها را به یاد بیاوریم.

محصول یک عدد آ n بار روی خودش اتفاق می افتد، می توانیم این عبارت را به صورت a … a=a n بنویسیم

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

قدرت یا معادلات نمایی– اینها معادلاتی هستند که در آنها متغیرها در توان (یا توان) هستند و مبنا یک عدد است.

نمونه هایی از معادلات نمایی:

در این مثال، عدد 6 پایه است؛ همیشه در پایین و متغیر است ایکسدرجه یا نشانگر

اجازه دهید مثال های بیشتری از معادلات نمایی ارائه دهیم.
2*5=10
16 x - 4 x - 6=0

حال بیایید ببینیم معادلات نمایی چگونه حل می شوند؟

بیایید یک معادله ساده در نظر بگیریم:

2 x = 2 3

این مثال حتی در ذهن شما قابل حل است. مشاهده می شود که x=3. از این گذشته ، برای اینکه سمت چپ و راست برابر باشند ، باید به جای x عدد 3 را قرار دهید.
حال بیایید ببینیم که چگونه این تصمیم را رسمی کنیم:

2 x = 2 3
x = 3

برای حل چنین معادله ای حذف کردیم زمینه های یکسان(یعنی دوتایی) و آنچه باقی مانده را بنویسد، اینها درجات است. جوابی که دنبالش بودیم گرفتیم.

حالا بیایید تصمیم خود را خلاصه کنیم.

الگوریتم حل معادله نمایی:
1. نیاز به بررسی همانآیا معادله دارای پایه در سمت راست و چپ است. اگر دلایل یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. پس از یکسان شدن پایه ها، برابر کردندرجه و معادله جدید حاصل را حل کنید.

حال به چند نمونه نگاه می کنیم:

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم.

پایه های سمت چپ و راست برابر با عدد 2 هستند، یعنی می توانیم پایه را دور بیندازیم و قدرت آنها را برابر کنیم.

x+2=4 ساده ترین معادله به دست می آید.
x=4 – 2
x=2
پاسخ: x=2

در مثال زیر می بینید که پایه ها متفاوت هستند: 3 و 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

ابتدا 9 را به سمت راست حرکت دهید، دریافت می کنیم:

حالا باید همان پایه ها را درست کنید. می دانیم که 9=3 2. بیایید از فرمول توان (a n) m = a nm استفاده کنیم.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 بدست می آوریم

3 3x = 3 2x+16 حالا مشخص است که در سمت چپ و راست پایه ها یکسان و برابر با سه هستند، یعنی می توانیم آنها را دور بیندازیم و درجه ها را برابر کنیم.

3x=2x+16 ساده ترین معادله را بدست می آوریم
3x - 2x=16
x=16
پاسخ: x=16.

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ابتدا به پایه ها، پایه های دو و چهار نگاه می کنیم. و ما نیاز داریم که آنها یکسان باشند. ما چهار را با استفاده از فرمول (a n) m = a nm تبدیل می کنیم.

4 x = (2 2) x = 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m = a n + m استفاده می کنیم:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

به معادله اضافه کنید:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

به همین دلایل مثال زدیم. اما اعداد 10 و 24 دیگر ما را آزار می دهند با آنها چه کنیم؟ اگر به دقت نگاه کنید می توانید ببینید که در سمت چپ 2 2 برابر تکرار شده است، در اینجا پاسخ وجود دارد - می توانیم 2 2 برابر را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 2x (2 4 - 10) = 24

بیایید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

کل معادله را بر 6 تقسیم می کنیم:

بیایید 4=2 2 را تصور کنیم:

2 2x = 2 2 پایه ها یکسان هستند، آنها را دور می اندازیم و درجه ها را برابر می کنیم.
2x = 2 ساده ترین معادله است. آن را بر 2 تقسیم می کنیم و به دست می آید
x = 1
پاسخ: x = 1.

بیایید معادله را حل کنیم:

9 x – 12*3 x +27= 0

بیایید تبدیل کنیم:
9 x = (3 2) x = 3 2x

معادله را بدست می آوریم:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

پایه های ما یکسان است، برابر با سه، در این مثال می بینید که سه درجه اول دو برابر (2x) نسبت به دومی (فقط x) درجه دارد. در این صورت می توانید حل کنید روش جایگزینی. عدد را با کوچکترین درجه جایگزین می کنیم:

سپس 3 2x = (3 x) 2 = t 2

تمام توان های x در معادله را با t جایگزین می کنیم:

t 2 - 12t+27 = 0
یک معادله درجه دوم بدست می آوریم. با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

بازگشت به متغیر ایکس.

t 1 را بگیرید:
t 1 = 9 = 3 x

به این معنا که،

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
پاسخ: x 1 = 2; x 2 = 1.

در وب سایت شما می توانید هر سوالی که ممکن است در قسمت HELP DECIDE داشته باشید بپرسید، ما قطعا به شما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید

سطح اول

معادلات نمایی راهنمای نهایی (2019)

سلام! امروز با شما بحث خواهیم کرد که چگونه معادلاتی را حل کنیم که می توانند ابتدایی باشند (و امیدوارم پس از خواندن این مقاله تقریباً همه آنها برای شما چنین باشد) و آنهایی که معمولاً "برای پر کردن" داده می شوند. ظاهرا بالاخره خوابش برد. اما من سعی می کنم هر کاری که ممکن است انجام دهم تا در مواجهه با این نوع معادلات دچار مشکل نشوید. من دیگر در اطراف بوته نمی زنم، اما فوراً راز کوچکی را به شما می گویم: امروز ما مطالعه خواهیم کرد معادلات نمایی

قبل از اینکه به تجزیه و تحلیل راه‌های حل آنها بپردازیم، فوراً طیفی از سؤالات (بسیار کوچک) را برای شما شرح خواهم داد که باید قبل از عجله برای حمله به این موضوع تکرار کنید. بنابراین، برای بهترین نتیجه، لطفا تکرار:

خواص و
حل و معادلات

تکرار شد؟ حیرت آور! در این صورت تشخیص اینکه ریشه معادله یک عدد است برای شما دشوار نخواهد بود. میفهمی دقیقا چطوری اینکارو کردم؟ آیا حقیقت دارد؟ سپس ادامه دهیم. حالا به سوال من پاسخ دهید که برابر با توان سوم چیست؟ کاملا حق با شما است: . چه توانی از دو برابر با هشت است؟ درست است - سومی! زیرا. خب حالا بیایید مشکل زیر را حل کنیم: بگذارید عدد را یک بار در خودش ضرب کنم و به نتیجه برسم. سوال این است که من چند بار در خودم ضرب کردم؟ البته می توانید این را مستقیماً بررسی کنید:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( تراز کردن)

سپس می توانید نتیجه بگیرید که من در خودم ضرب کردم. چگونه می توانید این را بررسی کنید؟ به این صورت است: مستقیماً با تعریف مدرک: . اما، باید اعتراف کنید، اگر بپرسم چند برابر دو باید در خودش ضرب شود تا مثلاً به دست آید، به من می‌گویید: تا زمانی که صورتم آبی نشود، خودم را گول نمی‌زنم و به تنهایی ضرب نمی‌کنم. و او کاملاً درست خواهد بود. زیرا چگونه می توانید تمام مراحل را به طور خلاصه بنویسید(و ایجاز خواهر استعداد است)

کجا - اینها همان ها هستند "بار"، وقتی در خودش ضرب می کنید.

من فکر می کنم که شما می دانید (و اگر نمی دانید، فوری، بسیار فوری درجه ها را تکرار کنید!) که مشکل من به این شکل نوشته می شود:

چگونه می توان به طور منطقی نتیجه گرفت که:

بنابراین، بدون توجه، ساده ترین را یادداشت کردم معادله نمایی:

و من حتی او را پیدا کردم ریشه. آیا فکر نمی کنید که همه چیز کاملاً پیش پا افتاده است؟ منم دقیقا همین فکرو میکنم در اینجا یک مثال دیگر برای شما آورده شده است:

اما چه باید کرد؟ از این گذشته ، نمی توان آن را به عنوان توان یک عدد (معقول) نوشت. بیایید ناامید نشویم و توجه داشته باشیم که هر دوی این اعداد کاملاً از طریق توان یک عدد بیان می شوند. کدام یک؟ درست: . سپس معادله اصلی به شکل زیر تبدیل می شود:

جایی که، همانطور که قبلاً فهمیدید، . بیش از این معطل نکنیم و بنویسیم تعریف:

در مورد ما: .

این معادلات با تقلیل آنها به شکل زیر حل می شوند:

به دنبال حل معادله

در واقع، در مثال قبلی دقیقاً این کار را انجام دادیم: موارد زیر را دریافت کردیم: و ما ساده ترین معادله را حل کردیم.

به نظر هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ بیایید ابتدا ساده ترین ها را تمرین کنیم مثال ها:

دوباره می بینیم که سمت راست و چپ معادله باید به عنوان توان های یک عدد نشان داده شوند. درست است، در سمت چپ این کار قبلا انجام شده است، اما در سمت راست یک عدد وجود دارد. اما اشکالی ندارد، زیرا معادله من به طور معجزه آسایی به این تبدیل می شود:

اینجا باید از چی استفاده کنم؟ چه قانونی؟ قانون "درجات تحصیلی در درجات"که میخواند:

چه می شود اگر:

قبل از پاسخ به این سوال، بیایید جدول زیر را پر کنیم:

برای ما آسان است که متوجه شویم هر چه کوچکتر باشد، مقدار آن کوچکتر است، اما با این وجود، همه این مقادیر بزرگتر از صفر هستند. و همیشه همینطور خواهد بود!!! همین ویژگی برای هر مبنایی با هر شاخصی صادق است!! (برای هر و). سپس در مورد معادله چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ در اینجا چیست: آن است ریشه ندارد! درست مثل هر معادله ای که ریشه ندارد. حالا بیایید تمرین کنیم و بیایید مثال های ساده را حل کنیم:

بیایید بررسی کنیم:

1. در اینجا چیزی جز آگاهی از خواص درجات از شما خواسته نخواهد شد (که اتفاقاً از شما خواستم تکرار کنید!) قاعدتاً همه چیز به کوچکترین پایه منتهی می شود: , . سپس معادله اصلی معادل زیر خواهد بود: تنها چیزی که نیاز دارم این است که از خواص توان ها استفاده کنم: هنگام ضرب اعداد با پایه های یکسان، توان ها جمع می شوند و در هنگام تقسیم، آنها کم می شوند.سپس دریافت خواهم کرد: خوب، اکنون با وجدان راحت از معادله نمایی به معادله خطی حرکت می کنم: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\پایان (تراز کردن)

2. در مثال دوم، ما باید بیشتر مراقب باشیم: مشکل اینجاست که در سمت چپ ما نمی‌توانیم همان عدد را به عنوان یک توان نشان دهیم. در این مورد گاهی اوقات مفید است اعداد را به عنوان حاصل ضرب توان ها با پایه های مختلف، اما توان های یکسان نشان می دهد:

سمت چپ معادله به صورت زیر خواهد بود: این چه چیزی به ما داد؟ این چیزی است که: اعداد با پایه های مختلف اما توان های یکسان را می توان ضرب کرد.در این مورد، پایه ها ضرب می شوند، اما نشانگر تغییر نمی کند:

در شرایط من این به شما خواهد داد:

\شروع (تراز کردن)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400،\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400،\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4)، \\
& ((1600)^(x))=1600، \\
&x=1. \\
\پایان (تراز کردن)

بد نیست، درست است؟

3. وقتی بیهوده دو عبارت در یک طرف معادله داشته باشم و هیچ یک در طرف دیگر را دوست ندارم (البته گاهی اوقات این موجه است، اما اکنون چنین نیست). عبارت منهای را به سمت راست منتقل می کنم:

اکنون، مانند قبل، همه چیز را بر حسب قدرت های سه می نویسم:

من درجات سمت چپ را جمع می کنم و معادله ای معادل می گیریم

شما به راحتی می توانید ریشه آن را پیدا کنید:

4. مانند مثال سه، عبارت منهای در سمت راست جایی دارد!

در سمت چپ من تقریباً همه چیز خوب است، به جز چه چیزی؟ بله، "درجه اشتباه" این دو مرا آزار می دهد. اما من به راحتی می توانم این را با نوشتن: . اورکا - در سمت چپ همه پایه ها متفاوت هستند، اما همه درجات یکسان هستند! بیایید فوراً ضرب کنیم!

اینجا دوباره همه چیز مشخص است: (اگر متوجه نشدید که چگونه با جادویی به آخرین برابری رسیدم، یک دقیقه استراحت کنید، یک نفس بکشید و دوباره خصوصیات مدرک را با دقت بخوانید. کی گفته که می توانید یک را رد کنید. درجه با توان منفی؟ حالا می گیرم:

\شروع (تراز کردن)
& ((2)^(4\چپ((x) -9 \راست)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\پایان (تراز کردن)

در اینجا چند مشکل برای شما برای تمرین وجود دارد که من فقط به آنها پاسخ خواهم داد (اما به صورت "مخلوط"). آنها را حل کنید، آنها را بررسی کنید، و من و شما به تحقیقات خود ادامه می دهیم!

آماده؟ پاسخ هامثل اینها:

هر عددی

باشه، باشه، شوخی کردم! در اینجا چند طرح از راه حل ها (بعضی بسیار مختصر!)

آیا فکر نمی کنید تصادفی نیست که یک کسری در سمت چپ، دیگری "معکوس" است؟ سوء استفاده نکردن از این امر گناه است:

این قانون اغلب هنگام حل معادلات نمایی استفاده می شود، آن را خوب به خاطر بسپارید!

سپس معادله اصلی به این صورت می شود:

با حل این معادله درجه دوم، ریشه های زیر بدست می آید:

2. راه حل دیگر: تقسیم هر دو طرف معادله بر عبارت سمت چپ (یا راست). تقسیم بر آنچه در سمت راست است، سپس دریافت می کنم:

کجا (چرا؟!)

3. من حتی نمی خواهم خودم را تکرار کنم، همه چیز قبلاً آنقدر "جویده" شده است.

4. معادل یک معادله درجه دوم، ریشه

5. باید از فرمول داده شده در مسئله اول استفاده کنید، سپس به این نتیجه خواهید رسید:

معادله به هویتی بی اهمیت تبدیل شده است که برای هر کسی صادق است. سپس پاسخ هر عدد واقعی است.

خوب، حالا شما حل کردن را تمرین کرده اید معادلات نمایی سادهاکنون می‌خواهم چند مثال از زندگی را برای شما بیان کنم که به شما کمک می‌کند بفهمید چرا اصولاً به آنها نیاز دارید. در اینجا دو مثال می زنم. یکی از آنها کاملاً روزمره است، اما دیگری به احتمال زیاد به جای علاقه عملی، علمی است.

مثال 1 (تجاری)اجازه دهید روبل داشته باشید، اما می خواهید آن را به روبل تبدیل کنید. بانک به شما پیشنهاد می دهد که این پول را با نرخ سالانه با سرمایه ماهانه سود (اقلام تعهدی ماهانه) از شما دریافت کنید. سوال این است که برای رسیدن به مبلغ نهایی لازم برای چند ماه باید سپرده باز کرد؟ یک کار کاملا پیش پا افتاده، اینطور نیست؟ با این وجود، راه حل آن با ساخت معادله نمایی مربوطه مرتبط است: اجازه دهید - مقدار اولیه، - مقدار نهایی، - نرخ بهره برای دوره، - تعداد دوره ها. سپس:

در مورد ما (اگر نرخ سالانه باشد، در هر ماه محاسبه می شود). چرا تقسیم شده است؟ اگر پاسخ این سوال را نمی دانید، موضوع "" را به خاطر بسپارید! سپس این معادله را بدست می آوریم:

این معادله نمایی در حال حاضر فقط با کمک ماشین حساب قابل حل است (ظاهر آن به این اشاره دارد و این مستلزم دانش لگاریتم است که کمی بعد با آن آشنا خواهیم شد) که من انجام خواهم داد: ... بنابراین ، برای دریافت یک میلیون، باید یک ماه مشارکت داشته باشیم (نه خیلی سریع، درست است؟).

مثال 2 (بیشتر علمی).با وجود "انزوا" خاص او، توصیه می کنم به او توجه کنید: او مرتباً "در آزمون یکپارچه دولتی می لغزد!! (مشکل از نسخه "واقعی" گرفته شده است) در طول واپاشی ایزوتوپ رادیواکتیو، جرم آن طبق قانون کاهش می یابد، جایی که (mg) جرم اولیه ایزوتوپ است، (min.) زمان سپری شده از ایزوتوپ است. لحظه اولیه، (دقیقه) نیمه عمر است. در لحظه اولیه زمان، جرم ایزوتوپ میلی گرم است. نیمه عمر آن حداقل است. جرم ایزوتوپ بعد از چند دقیقه برابر میلی گرم خواهد بود؟ اشکالی ندارد: ما فقط تمام داده ها را می گیریم و در فرمولی که به ما پیشنهاد می شود جایگزین می کنیم:

بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم، "به امید" که در سمت چپ چیزی قابل هضم بدست آوریم:

خب ما خیلی خوش شانسیم! در سمت چپ است، سپس به معادله معادل می رویم:

دقیقه کجاست

همانطور که می بینید، معادلات نمایی در عمل کاربرد بسیار واقعی دارند. اکنون می خواهم یک راه (ساده) دیگر را برای حل معادلات نمایی به شما نشان دهم که بر اساس خارج کردن عامل مشترک از پرانتز و سپس گروه بندی عبارت ها است. از حرف های من نترسید، شما قبلاً در کلاس هفتم وقتی چند جمله ای ها را مطالعه می کردید با این روش برخورد کردید. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به فاکتور کردن عبارت داشتید:

بیایید گروه بندی کنیم: ترم اول و سوم و همچنین دوم و چهارم. واضح است که اول و سوم تفاوت مربع ها هستند:

و دوم و چهارم ضریب مشترک سه دارند:

سپس عبارت اصلی معادل این است:

از کجا به دست آوردن عامل مشترک دیگر دشوار نیست:

از این رو،

این تقریباً همان کاری است که ما هنگام حل معادلات نمایی انجام خواهیم داد: به دنبال "مشترک" در بین عبارت ها باشید و آن را از پرانتز خارج کنید و سپس - هر چه ممکن است، من معتقدم که ما خوش شانس خواهیم بود =)) به عنوان مثال:

سمت راست فاصله زیادی با قدرت هفت دارد (من بررسی کردم!) و در سمت چپ - کمی بهتر است، البته می توانید فاکتور a را از دومین ترم اول "قطع کنید" و سپس معامله کنید. با آنچه به دست آورده اید، اما بیایید با شما محتاط تر باشیم. من نمی‌خواهم با کسری‌هایی که هنگام «انتخاب» به‌طور اجتناب‌ناپذیر تشکیل می‌شوند، برخورد کنم، بنابراین آیا بهتر نیست آن را بیرون بیاورم؟ سپس من هیچ کسری نخواهم داشت: همانطور که می گویند، گرگ ها تغذیه می شوند و گوسفندها در امان هستند:

عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنید. به طور جادویی، جادویی، معلوم می شود که (با کمال تعجب، اگرچه چه چیز دیگری باید انتظار داشته باشیم؟).

سپس دو طرف معادله را با این ضریب کاهش می دهیم. دریافت می کنیم:، از.

در اینجا یک مثال پیچیده تر (واقعاً کمی):

چه مشکلی! ما اینجا یک نقطه مشترک نداریم! اکنون کاملاً مشخص نیست که چه باید کرد. بیایید آنچه را که می توانیم انجام دهیم: ابتدا "چهار" را به یک طرف و "پنج" را به طرف دیگر منتقل کنیم:

حالا بیایید "عمومی" را در سمت چپ و راست بیرون بیاوریم:

حالا که چی؟ سود چنین گروه احمقی چیست؟ در نگاه اول به هیچ وجه قابل مشاهده نیست، اما بیایید عمیق تر نگاه کنیم:

خوب، اکنون مطمئن خواهیم شد که در سمت چپ فقط عبارت c را داریم و در سمت راست - هر چیز دیگری. چطور این کار را انجام دهیم؟ به این صورت است: ابتدا هر دو طرف معادله را تقسیم بر (بنابراین از شار سمت راست خلاص می کنیم) و سپس هر دو طرف را تقسیم بر (بنابراین از شر عامل عددی سمت چپ خلاص می شویم). در نهایت می رسیم:

باور نکردنی! در سمت چپ یک عبارت داریم و در سمت راست یک عبارت ساده داریم. سپس بلافاصله نتیجه می گیریم که

در اینجا مثال دیگری برای تقویت شما آورده شده است:

من راه حل مختصر او را می گویم (بدون اینکه خودم را زیاد با توضیحات اذیت کنم)، سعی کنید خودتان تمام "ظرافت های" راه حل را درک کنید.

حال برای تجمیع نهایی مواد تحت پوشش. سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید. من فقط توصیه ها و نکات مختصری برای حل آنها ارائه می کنم:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم: کجا:
بیایید اولین عبارت را به شکل زیر ارائه کنیم: هر دو طرف را تقسیم کنید و آن را بدست آورید
، سپس معادله اصلی به شکل تبدیل می شود: خوب، اکنون یک اشاره - به دنبال جایی باشید که من و شما قبلاً این معادله را حل کرده ایم!
تصور کنید چگونه، چگونه، آه، خوب، سپس هر دو طرف را تقسیم کنید، بنابراین ساده ترین معادله نمایی را به دست می آورید.
آن را از پرانتز بیرون بیاورید.
آن را از پرانتز بیرون بیاورید.

معادلات نمایی. سطح متوسط

من فرض می کنم که پس از خواندن مقاله اول، که در مورد صحبت کرد معادلات نمایی چیست و چگونه آنها را حل کنیم، شما بر حداقل دانش لازم برای حل ساده ترین مثال ها تسلط دارید.

اکنون به روش دیگری برای حل معادلات نمایی نگاه خواهم کرد، این است

"روش معرفی یک متغیر جدید" (یا جایگزینی).او اکثر مسائل "سخت" را در مورد معادلات نمایی (و نه فقط معادلات) حل می کند. این روش یکی از پرکاربردترین روش ها در عمل است. ابتدا توصیه می کنم با موضوع آشنا شوید.

همانطور که قبلاً از نام فهمیدید، ماهیت این روش این است که چنین تغییری از متغیر را معرفی کنید که معادله نمایی شما به طور معجزه آسایی به معادله ای تبدیل شود که بتوانید به راحتی آن را حل کنید. تنها چیزی که پس از حل این "معادله ساده شده" برای شما باقی می ماند این است که یک "جایگزینی معکوس" انجام دهید: یعنی از جایگزین شده به جایگزین شده برگردید. بیایید آنچه را که گفتیم با یک مثال بسیار ساده توضیح دهیم:

مثال 1:

این معادله با استفاده از یک "جایگزینی ساده" حل می شود، همانطور که ریاضیدانان آن را تحقیر آمیز می نامند. در واقع، جایگزینی در اینجا واضح ترین است. فقط باید آن را ببیند

سپس معادله اصلی به این شکل تبدیل می شود:

اگر علاوه بر این تصور کنیم که چگونه، آنگاه کاملاً واضح است که چه چیزی باید جایگزین شود: البته، . پس چه چیزی معادله اصلی می شود؟ این چیزی است که:

به راحتی می توانید ریشه های آن را خودتان پیدا کنید: . حالا باید چه کار کنیم؟ زمان بازگشت به متغیر اصلی فرا رسیده است. چه چیزی را فراموش کردم ذکر کنم؟ یعنی: هنگام جایگزینی یک درجه خاص با یک متغیر جدید (یعنی هنگام جایگزینی یک نوع)، من علاقه مند خواهم شد فقط ریشه های مثبت!شما خودتان به راحتی می توانید پاسخ دهید چرا. بنابراین، من و شما علاقه ای نداریم، اما ریشه دوم برای ما کاملا مناسب است:

بعد از کجا

پاسخ:

همانطور که می بینید، در مثال قبلی، یک جایگزین فقط دست ما را می خواست. بدبختانه، موضوع همیشه اینطور نیست. با این حال، اجازه دهید مستقیماً به چیزهای غم انگیز نرویم، اما بیایید با یک مثال دیگر با یک جایگزین نسبتاً ساده تمرین کنیم.

مثال 2.

واضح است که به احتمال زیاد مجبور به جایگزینی خواهیم بود (این کوچکترین قدرت موجود در معادله ما است)، اما قبل از معرفی یک جایگزین، معادله ما باید برای آن "آماده" شود، یعنی: , . سپس می توانید جایگزین کنید، در نتیجه من عبارت زیر را دریافت می کنم:

اوه وحشت: یک معادله مکعبی با فرمول های کاملاً وحشتناک برای حل آن (خوب، به طور کلی صحبت می کنیم). اما بیایید فوراً ناامید نشویم، بلکه به این فکر کنیم که چه باید بکنیم. من تقلب را پیشنهاد می کنم: ما می دانیم که برای دریافت یک پاسخ "زیبا"، باید آن را به شکل قدرت سه دریافت کنیم (چرا اینطور باشد، نه؟). بیایید سعی کنیم حداقل یک ریشه معادله خود را حدس بزنیم (من حدس زدن را با توان های سه شروع می کنم).

حدس اول ریشه نیست. افسوس و آه...

.
سمت چپ برابر است.
قسمت راست: !
بخور! ریشه اول را حدس زد. حالا همه چیز راحت تر خواهد شد!

آیا از طرح تقسیم "گوشه" اطلاع دارید؟ البته شما این کار را می کنید، زمانی که یک عدد را بر عدد دیگری تقسیم می کنید از آن استفاده می کنید. اما تعداد کمی از مردم می دانند که همین کار را می توان با چند جمله ای انجام داد. یک قضیه شگفت انگیز وجود دارد:

با اعمال وضعیت من، این به من می گوید که بدون باقیمانده بر قابل تقسیم است. تقسیم بندی چگونه انجام می شود؟ که چگونه:

من نگاه می کنم که باید در کدام تک جمله ضرب کنم تا Clearly به دست آید، سپس:

من عبارت به دست آمده را از آن کم می کنم، دریافت می کنم:

حالا برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنم؟ واضح است که در آن زمان من دریافت خواهم کرد:

و دوباره عبارت به دست آمده را از عبارت باقی مانده کم کنید:

خوب، آخرین مرحله این است که در عبارت باقی مانده ضرب و از آن کم کنیم:

هورا، تقسیم به پایان رسید! چه چیزهایی را در خلوت جمع کرده ایم؟ به خودی خود: .

سپس بسط زیر را از چند جمله ای اصلی دریافت کردیم:

بیایید معادله دوم را حل کنیم:

این ریشه دارد:

سپس معادله اصلی:

سه ریشه دارد:

البته از آنجایی که کمتر از صفر است، ریشه آخر را کنار می گذاریم. و دو مورد اول پس از تعویض معکوس دو ریشه به ما می دهد:

پاسخ: ..

با این مثال، اصلاً نمی‌خواستم شما را بترسانم؛ بلکه هدفم این بود که نشان دهم اگرچه جایگزینی نسبتاً ساده داشتیم، اما به معادله نسبتاً پیچیده‌ای منجر شد که حل آن مهارت‌های خاصی را از ما می‌طلبد. خوب، هیچ کس از این مصون نیست. اما جایگزینی در این مورد کاملاً آشکار بود.

در اینجا یک مثال با جایگزینی کمی کمتر واضح آورده شده است:

اصلاً مشخص نیست که باید چه کار کنیم: مشکل این است که در معادله ما دو پایه متفاوت وجود دارد و یک پایه را نمی توان با بالا بردن آن به هیچ قدرتی (معقول، طبیعی) از دیگری به دست آورد. با این حال، چه چیزی می بینیم؟ هر دو پایه فقط از نظر علامت با هم تفاوت دارند و حاصل ضرب آنها اختلاف مربعات برابر با یک است:

تعریف:

بنابراین، اعدادی که در مثال ما پایه هستند مزدوج هستند.

در این صورت، گام هوشمندانه خواهد بود دو طرف معادله را در عدد مزدوج ضرب کنید.

به عنوان مثال، on، سپس سمت چپ معادله برابر و سمت راست می شود. اگر جایگزینی انجام دهیم، معادله اصلی ما به این صورت می شود:

پس ریشه های آن، و با یادآوری آن، متوجه می شویم.

پاسخ: ، .

به عنوان یک قاعده، روش جایگزینی برای حل اکثر معادلات نمایی "مدرسه" کافی است. وظایف زیر از آزمون یکپارچه دولتی C1 (افزایش سطح دشواری) گرفته شده است. شما در حال حاضر به اندازه کافی سواد دارید که می توانید این مثال ها را به تنهایی حل کنید. من فقط جایگزین مورد نیاز را می دهم.

معادله را حل کنید:
ریشه های معادله را پیدا کنید:
معادله را حل کنید: . تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش هستند پیدا کنید:

و اکنون چند توضیح و پاسخ مختصر:

در اینجا کافی است به این نکته توجه کنیم که ... سپس معادله اصلی معادل این خواهد بود: این معادله را می توان با جایگزین کردن محاسبات بعدی حل کرد. در پایان، وظیفه شما به حل مسائل ساده مثلثاتی (بسته به سینوس یا کسینوس) خلاصه می شود. در بخش‌های دیگر به راه‌حل‌هایی برای مثال‌های مشابه خواهیم پرداخت.
در اینجا حتی می‌توانید بدون جایگزینی انجام دهید: فقط زیرترهند را به سمت راست حرکت دهید و هر دو پایه را با قدرت دو نشان دهید و سپس مستقیماً به معادله درجه دوم بروید.
معادله سوم نیز کاملاً استاندارد حل شده است: بیایید تصور کنیم چگونه. سپس، با جایگزینی، یک معادله درجه دوم بدست می آوریم: سپس،
شما قبلاً می دانید لگاریتم چیست، درست است؟ نه؟ بعد فوری تاپیک رو بخون!

ریشه اول مشخصا متعلق به بخش نیست، اما دومی نامشخص است! اما خیلی زود متوجه خواهیم شد! از آنجا که، پس (این یک ویژگی لگاریتم است!) بیایید مقایسه کنیم:

از هر دو طرف تفریق می کنیم، سپس می گیریم:

سمت چپ را می توان به صورت زیر نشان داد:

هر دو طرف را در:

را می توان در آن ضرب کرد

سپس مقایسه کنید:

از آن به بعد:

سپس ریشه دوم به بازه مورد نیاز تعلق دارد

پاسخ:

همانطور که مشاهده می کنید، انتخاب ریشه معادلات نمایی نیازمند دانش نسبتاً عمیقی از خواص لگاریتم استبنابراین من به شما توصیه می کنم در حل معادلات نمایی تا حد امکان مراقب باشید. همانطور که می دانید، در ریاضیات همه چیز به هم مرتبط است! همانطور که معلم ریاضی من گفت: "ریاضی، مانند تاریخ، یک شبه خوانده نمی شود."

به عنوان یک قاعده، همه مشکل در حل مسائل C1 دقیقاً انتخاب ریشه های معادله است.بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم:

واضح است که خود معادله کاملاً ساده حل می شود. با انجام یک جایگزین، معادله اصلی خود را به زیر کاهش می دهیم:

ابتدا بیایید به ریشه اول نگاه کنیم. بیایید مقایسه کنیم و: از آن پس. (خاصیت یک تابع لگاریتمی، در). بعد معلوم می شود که ریشه اول به فاصله ما تعلق ندارد. حالا ریشه دوم: . واضح است که (از آنجایی که تابع at در حال افزایش است). باید مقایسه کرد و...

از آن زمان، در همان زمان. به این ترتیب من می‌توانم «میخ‌زنی» بین و. این میخ یک عدد است. عبارت اول کمتر و دومی بزرگتر است. سپس عبارت دوم بزرگتر از اولی است و ریشه متعلق به فاصله است.

پاسخ: .

در نهایت، بیایید به مثال دیگری از یک معادله نگاه کنیم که در آن جایگزینی کاملاً غیر استاندارد است:

بیایید فوراً با آنچه که می توان انجام داد، و آنچه - در اصل، می توان انجام داد، شروع کنیم، اما بهتر است آن را انجام ندهیم. شما می توانید همه چیز را از طریق قدرت های سه، دو و شش تصور کنید. به کجا منتهی می شود؟ به هیچ چیز منجر نخواهد شد: درهم آمیزی از درجات، که خلاص شدن از برخی از آنها بسیار دشوار خواهد بود. پس چه چیزی لازم است؟ بیایید توجه داشته باشیم که یک و چه چیزی به ما می دهد؟ و اینکه می توانیم جواب این مثال را به حل یک معادله نمایی نسبتاً ساده تقلیل دهیم! ابتدا معادله خود را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

حال بیایید هر دو طرف معادله حاصل را بر دو تقسیم کنیم:

اورکا! اکنون می توانیم جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

خب حالا نوبت شماست که مشکلات تظاهراتی را حل کنید و من فقط نظرات مختصری را به آنها خواهم داد تا به بیراهه نروید! موفق باشید!

1. سخت ترین! دیدن جایگزینی در اینجا بسیار سخت است! اما با این وجود، این مثال را می توان با استفاده از آن به طور کامل حل کرد برجسته کردن یک مربع کامل. برای حل آن، توجه به این نکته کافی است:

سپس جایگزین شما اینجاست:

(لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا در طول تعویض ما نمی توانیم ریشه منفی را کنار بگذاریم!!! به نظر شما چرا؟)

اکنون برای حل مثال فقط باید دو معادله را حل کنید:

هر دوی آنها را می توان با "جایگزینی استاندارد" حل کرد (اما مورد دوم در یک مثال!)

2. به آن توجه کنید و جایگزینی بسازید.

3. عدد را به ضرایب هم اولی تجزیه کنید و عبارت حاصل را ساده کنید.

4. صورت و مخرج کسری را بر (یا در صورت تمایل) تقسیم کنید و یا را جایگزین کنید.

5. توجه کنید که اعداد و مزدوج هستند.

معادلات نمایی. سطح پیشرفته

علاوه بر این، بیایید به راه دیگری نگاه کنیم - حل معادلات نمایی با استفاده از روش لگاریتمی. نمی توانم بگویم که حل معادلات نمایی با استفاده از این روش بسیار رایج است، اما در برخی موارد تنها می تواند ما را به حل صحیح معادله مان برساند. این به ویژه اغلب برای حل به اصطلاح استفاده می شود. معادلات مختلط": یعنی آنهایی که در آنها توابع انواع مختلف رخ می دهد.

به عنوان مثال، معادله ای از شکل:

در حالت کلی، تنها با گرفتن لگاریتم های هر دو طرف (مثلاً به پایه) می توان آن را حل کرد، که در آن معادله اصلی به شکل زیر تبدیل می شود:

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

واضح است که با توجه به ODZ تابع لگاریتمی، ما فقط علاقه مند هستیم. با این حال، این نه تنها از ODZ لگاریتم، بلکه به یک دلیل دیگر نیز ناشی می شود. فکر می کنم حدس زدن کدام یک برای شما دشوار نخواهد بود.

بیایید لگاریتم هر دو طرف معادله خود را به پایه برسانیم:

همانطور که می بینید، گرفتن لگاریتم معادله اصلی ما به سرعت ما را به پاسخ صحیح (و زیبا!) رساند. بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم:

در اینجا هم هیچ اشکالی وجود ندارد: بیایید لگاریتم هر دو طرف معادله را به پایه بگیریم، سپس می‌گیریم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

با این حال، ما چیزی را از دست دادیم! دقت کردی کجا اشتباه کردم؟ پس از همه، پس:

که الزامات را برآورده نمی کند (فکر کنید از کجا آمده است!)

پاسخ:

سعی کنید جواب معادلات نمایی زیر را بنویسید:

حالا تصمیم خود را با این مقایسه کنید:

1. بیایید هر دو طرف پایه را لگاریتم کنیم، با در نظر گرفتن اینکه:

(روت دوم به دلیل جایگزینی برای ما مناسب نیست)

2. لگاریتم به پایه:

اجازه دهید عبارت حاصل را به شکل زیر تبدیل کنیم:

معادلات نمایی. شرح مختصر و فرمول های اساسی

معادله نمایی

معادله فرم:

تماس گرفت ساده ترین معادله نمایی

خواص درجات

رویکردهای راه حل

کاهش به همان مبنا
کاهش به همان توان
جایگزینی متغیر
ساده کردن عبارت و به کار بردن یکی از موارد بالا.