تعریف صحیح مفهوم تحقیق در عملیات عبارت است از: موضوع و وظایف تحقیق در عملیات

1. مفاهیم اولیه هوش مصنوعی

و در مورد – مخالفت علمی، درگیر توسعه و کاربرد عملی روش‌هایی برای مؤثرترین مدیریت سیستم‌های مختلف سازمانی است.

IO شامل بخش های زیر است:

1) برنامه ریاضی (توجیه طرح ها، برنامه های فعالیت اقتصادی)؛ این شامل بخش هایی است: برنامه خطی، برنامه غیرخطی، برنامه پویا

2) تئوری صف، بر اساس نظریه فرآیندهای تصادفی.

3) نظریه بازی، که به فرد اجازه می دهد تا تصمیمات اتخاذ شده را در شرایط ناقص اطلاعات توجیه کند.

هنگام حل یک مشکل کنترل خاص، استفاده از روش های هوش مصنوعی شامل موارد زیر است:

ساخت مدل های اقتصادی و ریاضی برای مسائل تصمیم گیری در شرایط پیچیده یا در شرایط عدم قطعیت.

مطالعه روابطی که متعاقباً تصمیم‌گیری را تعیین می‌کند و معیارهای عملکردی را ایجاد می‌کند که امکان ارزیابی مزیت یک دوره عمل خاص را فراهم می‌کند.

مفاهیم و تعاریف اساسی IO.

عمل – هر فعالیت کنترل شده با هدف دستیابی به یک هدف. نتیجه عملیات بستگی به روش اجرای آن، سازماندهی، در غیر این صورت - به انتخاب پارامترهای خاص دارد. یک عملیات همیشه یک رویداد کنترل شده است، یعنی به ما بستگی دارد که چگونه برخی از پارامترها را انتخاب کنیم که سازمان آن را مشخص می کند. "سازمان" در اینجا به معنای گسترده کلمه، از جمله مجموعه ابزارهای فنی مورد استفاده در عملیات درک می شود.

هر انتخاب خاصی از پارامترها نامیده می شود تصمیم گیری . تصمیمات می توانند موفق و ناموفق، معقول و غیر منطقی باشند. بهینه راه حل هایی را در نظر بگیرید که به هر دلیلی بر دیگران ارجحیت دارند. وظیفه اصلی تحقیق در عملیات، توجیه کمی اولیه راه حل های بهینه است.

مدل عملیات – این یک توصیف نسبتا دقیق از عملیات با استفاده از دستگاه ریاضی (انواع مختلف توابع، معادلات، سیستم های معادلات و نابرابری ها، و غیره) است. ترسیم یک مدل از یک عملیات مستلزم درک ماهیت پدیده توصیف شده و دانش دستگاه ریاضی است.

بهره وری عملیات – میزان سازگاری آن با کار به صورت کمی در قالب یک معیار کارایی - تابع هدف بیان می شود. انتخاب معیار اثربخشی ارزش عملی مطالعه را تعیین می کند. (یک معیار نادرست انتخاب شده می تواند مضر باشد، زیرا عملیات سازماندهی شده بر اساس چنین معیار کارایی گاهی منجر به هزینه های غیر قابل توجیه می شود.)

وظایف برنامه ریزی و مدیریت شبکه رابطه بین تاریخ اتمام یک مجموعه بزرگ از عملیات (کارها) و زمان شروع تمام عملیات مجتمع را در نظر بگیرید. این وظایف شامل یافتن حداقل مدت زمان مجموعه ای از عملیات، نسبت بهینه مقادیر هزینه و زمان اجرای آنها است.

مشکلات صف به مطالعه و تجزیه و تحلیل سیستم های خدمات با صف برنامه ها یا نیازمندی ها اختصاص دارد و شامل تعیین شاخص های عملکرد سیستم ها، ویژگی های بهینه آنها، به عنوان مثال، تعیین تعداد کانال های خدمات، زمان سرویس و غیره است.

وظایف مدیریت موجودی شامل یافتن مقادیر بهینه سطح موجودی (نقطه سفارش) و اندازه سفارش است. ویژگی چنین وظایفی این است که با افزایش سطح موجودی ها از یک طرف هزینه های ذخیره سازی آنها افزایش می یابد اما از طرف دیگر ضررهای ناشی از کمبود احتمالی محصول ذخیره شده کاهش می یابد.

مشکلات تخصیص منابع در طول مجموعه خاصی از عملیات (کارها) که باید با منابع محدود در دسترس انجام شود، ایجاد می شود و لازم است توزیع بهینه منابع بین عملیات یا ترکیب عملیات پیدا شود.

وظایف تعمیر و تعویض تجهیزات به دلیل فرسودگی تجهیزات و نیاز به تعویض آن در طول زمان مرتبط هستند. وظایف به تعیین زمان بهینه، تعداد تعمیرات و بازرسی های پیشگیرانه و همچنین زمان تعویض تجهیزات با تجهیزات مدرن خلاصه می شود.

برنامه ریزی (برنامه ریزی) وظایف شامل تعیین توالی بهینه عملیات (به عنوان مثال، پردازش قطعات) در انواع مختلف تجهیزات است.

وظایف برنامه ریزی و قرار دادن نیاشامل تعیین تعداد و مکان بهینه اشیاء جدید با در نظر گرفتن تعامل آنها با اشیاء موجود و با یکدیگر است.

مشکلات انتخاب مسیر یا شبکه مشکلاتی که اغلب در بررسی مشکلات مختلف در سیستم های حمل و نقل و ارتباطات با آن مواجه می شوند و شامل تعیین اقتصادی ترین مسیرها می باشد.

2. مشکل کلی برنامه خطی بهینه سازی راه حل

مدل اقتصادی-ریاضی

LP شاخه‌ای از ریاضیات است که تئوری و روش‌های عددی را برای حل مسائل یافتن حداکثر (حداکثر یا حداقل) یک تابع خطی از بسیاری از متغیرها در حضور محدودیت‌های خطی، یعنی برابری‌ها یا نابرابری‌های مرتبط با این متغیرها، توسعه می‌دهد.

روش‌های LP برای مسائل عملی اعمال می‌شوند که در آنها: 1) انتخاب بهترین راه‌حل (طرح بهینه) از بین راه‌حل‌های ممکن ضروری است. 2) راه حل را می توان به عنوان مجموعه ای از مقادیر برخی از متغیرها بیان کرد. الف) محدودیت های اعمال شده بر راه حل های امکان پذیر توسط شرایط خاص مسئله به شکل معادلات خطی یا نابرابری فرموله می شوند. 4) هدف در قالب یک تابع خطی از متغیرهای اصلی بیان می شود. مقادیر تابع هدف، که امکان مقایسه راه حل های مختلف را فراهم می کند، به عنوان معیاری برای کیفیت راه حل عمل می کند.

برای حل عملی یک مسئله اقتصادی با استفاده از روش های ریاضی، ابتدا باید با استفاده از یک مدل اقتصادی-ریاضی آن را یادداشت کرد. یک مدل اقتصادی-ریاضی توصیفی ریاضی از فرآیند یا شیء اقتصادی مورد مطالعه است. این مدل قوانین فرآیند اقتصادی را به صورت انتزاعی با استفاده از روابط ریاضی بیان می کند.

طرح کلی شکل گیری مدل: I

1) انتخاب تعداد معینی از کمیت های متغیر که تخصیص مقادیر عددی آنها به طور منحصر به فرد یکی از حالت های احتمالی پدیده مورد مطالعه را تعیین می کند.

2) بیان روابط ذاتی در پدیده مورد مطالعه در قالب روابط ریاضی (معادلات، نابرابری ها). این روابط سیستمی از محدودیت ها را برای مسئله تشکیل می دهند.

3) بیان کمی معیار بهینه انتخاب شده در قالب یک تابع هدف. من

4) فرمول بندی ریاضی مسئله به عنوان مسئله یافتن حد فاصل تابع هدف، مشروط به تحقق محدودیت های اعمال شده بر متغیرها.

مسئله برنامه ریزی خطی عمومیدارای فرم:

با توجه به سیستم m معادلات خطی و نامساوی با n متغیر

و تابع خطی

لازم است برای سیستم X=(x1,x2,…,xj,…,xn) راه حلی پیدا کنیم، جایی که تابع خطی F مقدار بهینه (یعنی حداکثر یا حداقل) را می گیرد.

سیستم (1) را سیستم محدودیت و تابع F را تابع خطی، فرم خطی، تابع هدف یا تابع هدف می نامند.

به طور خلاصه، مسئله برنامه ریزی خطی کلی را می توان به صورت زیر نشان داد:

با محدودیت:

راه حل بهینه (یا طرح بهینه)یک مسئله LP یک راه حل X=(x1,x2,…,xj,…,xn)، سیستمی از قیود (1) است که شرط (3) را برآورده می کند، که تحت آن تابع خطی (2) بهینه را می گیرد. (حداکثر یا حداقل) مقدار.

به شرطی که همه متغیرها غیر منفی باشند، سیستم قیود (1) فقط از نابرابری ها تشکیل شده است - چنین مسئله برنامه ریزی خطی استاندارد (متقارن) نامیده می شود. اگر سیستم قیود فقط از معادلات تشکیل شده باشد، مسئله را متعارف می نامند.

یک مورد خاص از یک مسئله متعارف، یک مسئله به شکل پایه است، که مشخصه آن این است که تمام ضرایب بردار محدودیت بغیر منفی هستند و در هر معادله متغیری با ضریب 1 وجود دارد که در هیچ یک از معادلات دیگر لحاظ نمی شود. متغیری که این ویژگی را داشته باشد، پایه نامیده می شود.

مسائل استاندارد و متعارف از موارد خاص عام است. هر یک از آنها در منطقه خاص خود استفاده می شود. علاوه بر این، هر سه فرمول با یکدیگر معادل هستند: هر مسئله برنامه ریزی خطی را می توان با استفاده از تبدیل های ریاضی ساده به یک مسئله متعارف، استاندارد یا کلی تقلیل داد.

4 . عناصر جبر خطی

یک سیستم از m معادلات خطی با n متغیر شکل دارد

یا به صورت کوتاه

هر m متغیر از سیستم m معادلات خطی با n متغیر (m< n) называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Такой определитель часто называют базисным минором матрицы А. Тогда остальные m–n переменных называются неосновными (или свободными).

برای حل سیستم (2.1) تحت شرط m< n сформулируем утверждение.

بیانیه 2.1. اگر برای سیستممترمعادلات خطی باnمتغیرها (متر < n) رتبه ماتریس ضرایب برای متغیرها برابر m است، یعنی. اگر حداقل یک گروه از متغیرهای اساسی وجود داشته باشد، این سیستم نامشخص است و هر مجموعه دلخواه از مقادیر متغیرهای غیر اساسی مربوط به یک راه حل از سیستم است.

راه حل X=(x1,x2,…,xn) سیستم (2.1) در صورتی مجاز نامیده می شود که فقط دارای اجزای غیر منفی باشد، یعنی. xj>=0 برای هر j=1,n. در غیر این صورت، راه حل نامعتبر نامیده می شود.

در بین بی نهایت راه حل های سیستم، به اصطلاح راه حل های اساسی متمایز می شوند.

راه حل اساسییک سیستم از معادلات خطی m با n متغیر راه حلی است که در آن همه n-m متغیرهای فرعی برابر با صفر هستند.

در مسائل برنامه‌ریزی خطی، راه‌حل‌های پایه قابل قبول، یا همان طور که به آن‌ها نیز می‌گویند، طرح‌های مرجع، از اهمیت خاصی برخوردار هستند. راه حل اساسی که حداقل یکی از متغیرهای اصلی آن برابر با صفر باشد، منحط نامیده می شود.

مجموعه نقاط محدب

مشخصه رایجی که یک چند ضلعی محدب را از یک چند ضلعی غیر محدب متمایز می کند این است که اگر هر دو نقطه از آن را بگیرید و آنها را با یک قطعه وصل کنید، کل پاره به آن چند ضلعی تعلق خواهد گرفت. این ویژگی را می توان برای تعریف مجموعه ای از نقاط محدب در نظر گرفت.

مجموعه ای از نقاط را محدب می گویند، در صورتی که همراه با هر دو نقطه از آن، کل بخش متصل کننده این نقاط را شامل شود.

مجموعه های محدب یک مهم دارند ویژگی: محل تلاقی (قسمت مشترک) هر تعداد مجموعه محدب یک مجموعه محدب است.

از میان نقاط یک مجموعه محدب می توان نقاط داخلی، مرزی و گوشه ای را تشخیص داد.

یک نقطه از یک مجموعه درونی نامیده می شود، در صورتی که برخی از همسایگی های آن حاوی نقاطی از این مجموعه باشد.

نقطه ای از مجموعه را نقطه مرزی می گویند، اگر هر یک از همسایگی های آن دارای هر دو نقطه متعلق به مجموعه داده شده و نقاط غیر متعلق به آن باشد.

در مسائل برنامه نویسی خطی، نقاط گوشه مورد توجه خاص قرار دارند. نقطه مجموعه نامیده می شود زاویه ای(یا افراطی)، در صورتی که در هر بخش که کاملاً به مجموعه داده شده تعلق دارد، داخلی نباشد.

در شکل 2.4 نمونه هایی از نقاط مختلف چند ضلعی را نشان می دهد: داخلی (نقطه M)، مرز (نقطه N) و گوشه (نقاط A، B، C، D، E). نقطه A یک نقطه گوشه است، زیرا برای هر قطعه ای که کاملاً به یک چند ضلعی تعلق دارد، به عنوان مثال، بخش AP، داخلی نیست. نقطه A داخل قطعه KL است، اما این بخش به طور کامل به چند ضلعی تعلق ندارد.

برای یک مجموعه محدب، نقاط گوشه همیشه با رئوس چند ضلعی (چند وجهی) منطبق هستند، در حالی که برای یک مجموعه غیر محدب این لازم نیست. مجموعه ای از نقاط بسته نامیده می شود که شامل تمام نقاط مرزی آن باشد. مجموعه نقاط نامیده می شود محدوداگر یک توپ (دایره) با شعاع با طول محدود با یک مرکز در هر نقطه از مجموعه وجود داشته باشد که به طور کامل مجموعه داده شده را شامل شود. در غیر این صورت گفته می شود که مجموعه نامحدود است.

مجموعه‌ای از نقاط بسته محدب در صفحه‌ای که تعداد نقاط گوشه‌ای محدود دارد، اگر محدود باشد، چند ضلعی محدب و اگر نامحدود باشد، ناحیه چند ضلعی محدب نامیده می‌شود.

معنی هندسی راه حل های نابرابری ها، معادلات و سیستم های آنها

اجازه دهید راه حل هایی برای نابرابری ها در نظر بگیریم.

بیانیه 1. مجموعه راه حل های نابرابری با دو متغیر a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1 , включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравен­ства a11x1+a12x2>=b1.

برای تعیین نیم صفحه مورد نظر (بالا یا پایین)، توصیه می شود یک نقطه کنترل دلخواه را تنظیم کنید که روی مرز آن قرار نگیرد - خط مستقیم ساخته شده. اگر یک نابرابری در یک نقطه کنترل وجود داشته باشد، در تمام نقاط نیم صفحه حاوی نقطه کنترل برقرار است و در تمام نقاط نیم صفحه دیگر برقرار نیست. برعکس، اگر یک نابرابری در یک نقطه کنترل ارضا نشود، در تمام نقاط نیم صفحه حاوی نقطه کنترل ارضا نمی شود و در تمام نقاط نیم صفحه دیگر ارضا می شود. راحت است که مبدأ مختصات O (0; 0) را که روی خط ساخته شده قرار ندارد، به عنوان نقطه کنترل در نظر بگیریم.

اجازه دهید مجموعه ای از راه حل ها را برای سیستم های نابرابری در نظر بگیریم.

بیانیه 2. مجموعه راه حل های یک سیستم مشترک از نابرابری های خطی در دو متغیر، یک چند ضلعی محدب (یا یک منطقه چند ضلعی محدب) است.

هر یک از نابرابری ها، مطابق با عبارت 1، یکی از نیم صفحه ها را تعیین می کند که مجموعه ای از نقاط محدب است. مجموعه راه‌حل‌های یک سیستم مشترک از نابرابری‌های خطی، نقاطی هستند که به نیم‌صفحه‌های راه‌حل‌های همه نابرابری‌ها تعلق دارند، یعنی. متعلق به تقاطع آنهاست. با توجه به بیانیه در مورد تقاطع مجموعه های محدب، این مجموعه محدب است و شامل تعداد محدودی از نقاط گوشه، یعنی. یک چند ضلعی محدب است (یک ناحیه چند ضلعی محدب).

مختصات نقاط گوشه - رئوس چند ضلعی - به عنوان مختصات نقاط تقاطع خطوط مربوطه یافت می شود.

هنگام ساختن مناطق حل برای سیستم های نابرابری، موارد دیگری ممکن است رخ دهد: مجموعه راه حل ها یک ناحیه چند ضلعی محدب است (شکل 2.9، a). یک نقطه (شکل 2.9، ب). یک مجموعه خالی زمانی که سیستم نابرابری ها ناسازگار است (شکل 2.9، ج).

5 . روش هندسی برای حل مسائل LP

راه حل بهینه برای مشکل LP

قضیه 1. اگر مسئله LP دارای جواب بهینه باشد، تابع خطی حداکثر مقدار خود را در یکی از نقاط گوشه چندوجهی حل می گیرد. اگر یک تابع خطی در بیش از یک نقطه گوشه حداکثر مقدار را بگیرد، آنگاه آن را در هر نقطه ای که ترکیب خطی محدب این نقاط است می گیرد.

قضیه راه اساسی برای حل مسائل LP را نشان می دهد. در واقع، با توجه به این قضیه، به جای مطالعه مجموعه ای نامتناهی از راه حل های امکان پذیر برای یافتن راه حل بهینه مورد نظر از بین آنها، لازم است فقط تعداد محدودی از نقاط گوشه چند وجهی حل مورد مطالعه قرار گیرد.

قضیه بعدی به روش تحلیلی یافتن نقاط گوشه اختصاص دارد.

قضیه 2. هر راه حل اساسی قابل قبول مسئله LP مربوط به یک نقطه گوشه از چندوجهی راه حل است، و بالعکس، به هر نقطه گوشه چند وجهی راه حل، یک راه حل اساسی قابل قبول مربوط است.

یک نتیجه مهم مستقیماً از قضایای 1 و 2 به دست می آید: اگر یک مسئله LP دارای راه حل بهینه باشد، حداقل با یکی از راه حل های اساسی قابل قبول آن منطبق است.

بنابراین، بهینه تابع خطی مسئله LP را باید در میان تعداد متناهی راه‌حل‌های پایه قابل قبول آن جستجو کرد.

بنابراین، مجموعه راه‌حل‌های امکان‌پذیر (چند وجهی حل) مسئله LP یک چندوجهی محدب (یا ناحیه چند وجهی محدب) است و راه‌حل بهینه برای مسئله حداقل در یکی از گوشه‌های چندوجهی حل قرار دارد.

مسئله را به صورت استاندارد با دو متغیر در نظر بگیرید (پ = 2).

اجازه دهید تصویر هندسی سیستم محدودیت یک چند ضلعی باشد ABCDE(شکل 4.1). لازم است نقطه ای از بین نقاط این چند ضلعی پیدا شود که تابع خطی F=c1x1+c2x2 حداکثر (یا حداقل) مقدار را بگیرد.

بیایید به اصطلاح را در نظر بگیریم خط سطح تابع خطی اف، یعنی خطی که در طول آن این تابع همان مقدار ثابت را می گیرد آ، یعنی اف = آ،یا c1x1+c2x2=a.

در چند ضلعی حل، نقطه ای را که خط سطح تابع از آن عبور می کند، پیدا کنید اف با بالاترین (اگر تابع خطی در حال ماکزیمم شدن باشد) یا کمترین (اگر کمینه شود) سطح.

معادله خط تراز تابع c1x1+c2x2=a معادله خط مستقیم است. در سطوح مختلف آخطوط سطح موازی هستند، زیرا ضرایب زاویه ای آنها فقط با رابطه بین ضرایب c1 و c2 تعیین می شود و بنابراین برابر هستند. بنابراین، خطوط سطح تابع اف – اینها "موازی"های عجیبی هستند که معمولاً در زاویه ای نسبت به محورهای مختصات قرار دارند.

یک ویژگی مهم خط تراز یک تابع خطی این است که وقتی خط به طور موازی در یک جهت جابه‌جا می‌شود، سطح فقط افزایش می‌یابد و وقتی در جهت دیگر جابه‌جا می‌شود، فقط کاهش می‌یابد. بردار c=(c1,c2) ​​که از مبدأ بیرون می آید، جهت سریع ترین افزایش تابع F را نشان می دهد. خط تراز تابع خطی بر بردار c=(c1,c2) ​​عمود است.

روش حل گرافیکی مشکل LP:

1. چند ضلعی از راه حل ها بسازید.

2. یک بردار c=(c1,c2) ​​بسازید و ابتدا یک خط سطح تابع خطی برای آن رسم کنید. افبرای مثال F=0.

3. با حرکت موازی خط مستقیم F=0 در جهت بردار c(-c) نقطه Amax(Bmin) را پیدا کنید که در آن F به حداکثر (حداقل) خود می رسد.

1. با حل مشترک معادلات خطوط متقاطع در نقطه بهینه، مختصات آن را بیابید.

2. Fmax (Fmin) را محاسبه کنید.

اظهار نظر.حداقل نقطه، نقطه "ورود" به چند ضلعی حل و نقطه حداکثر، نقطه "خروج" از چند ضلعی است.

6. ایده کلی روش سیمپلکس. تفسیر هندسی

روش گرافیکی برای یک کلاس بسیار باریک از مسائل برنامه ریزی خطی قابل استفاده است: می تواند به طور موثر مسائلی را که حاوی بیش از دو متغیر نباشد حل کند. قضایای اساسی برنامه ریزی خطی در نظر گرفته شد که از آن نتیجه می شود که اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی دارای راه حل بهینه باشد، حداقل با یک نقطه گوشه از چندوجهی حل مطابقت دارد و با حداقل یکی از راه حل های اساسی قابل قبول مطابقت دارد. سیستم محدودیت ها راهی برای حل هر مسئله برنامه‌ریزی خطی نشان داده شد: شمارش تعداد محدودی از راه‌حل‌های اساسی امکان‌پذیر سیستم محدودیت‌ها و انتخاب یکی از آنها که تابع هدف راه‌حل بهینه را بر اساس آن می‌سازد. از نظر هندسی، این مربوط به برشمردن تمام نقاط گوشه چندوجهی محلول است. چنین جستجوی جامع در نهایت به یک راه حل بهینه منجر می شود (در صورت وجود)، اما اجرای عملی آن با مشکلات بسیار زیادی همراه است، زیرا برای مشکلات واقعی تعداد راه حل های اساسی امکان پذیر، اگرچه محدود است، می تواند بسیار زیاد باشد.

اگر جستجو به صورت تصادفی انجام نشود، اما با در نظر گرفتن تغییرات در تابع خطی، به عنوان مثال، تعداد راه‌حل‌های پایه مجاز مورد جستجو را می‌توان کاهش داد. حصول اطمینان از اینکه هر راه حل بعدی با توجه به مقادیر تابع خطی "بهتر" (یا حداقل "بدتر نیست") از راه حل قبلی است (افزایش آن هنگام یافتن حداکثر، کاهش آن هنگام یافتن حداقل) . این جستجو به شما امکان می دهد هنگام یافتن بهینه تعداد مراحل را کاهش دهید. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال گرافیکی توضیح دهیم.

بگذارید ناحیه راه حل های امکان پذیر با یک چندضلعی نمایش داده شود ABCDE. بیایید فرض کنیم که نقطه گوشه آن است آمطابق با راه حل اصلی امکان پذیر است. یک جستجوی تصادفی مستلزم آزمایش پنج راه‌حل پایه امکان‌پذیر مربوط به پنج نقطه گوشه چند ضلعی است. با این حال، از نقاشی مشخص است که پس از بالا آحرکت به یک راس همسایه سودمند است که در،و سپس به نقطه بهینه با.به جای پنج، ما فقط از سه رأس عبور کردیم و به طور مداوم تابع خطی را بهبود دادیم.

ایده بهبود پی در پی راه حل، اساس یک روش جهانی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی را تشکیل داد - روش سیمپلکس یا روش بهبود متوالی طرح.

معنای هندسی روش سیمپلکس عبارت است از یک انتقال متوالی از یک راس چند وجهی محدودیت (به نام راس اولیه) به همسایه، که در آن تابع خطی بهترین (حداقل نه بدترین) مقدار را در رابطه با هدف مشکل؛ تا زمانی که راه حل بهینه پیدا شود - راس جایی که مقدار بهینه تابع هدف به دست می آید (اگر مسئله دارای یک بهینه نهایی باشد).

روش سیمپلکس اولین بار توسط دانشمند آمریکایی J. Danzig در سال 1949 ارائه شد، اما در سال 1939 ایده های این روش توسط دانشمند روسی L.V. کانتوروویچ.

روش سیمپلکس که امکان حل هر مشکل برنامه ریزی خطی را می دهد، جهانی است. در حال حاضر برای محاسبات کامپیوتری استفاده می شود، اما مثال های ساده با استفاده از روش سیمپلکس را می توان به صورت دستی حل کرد.

برای اجرای روش سیمپلکس - بهبود متوالی راه حل - باید تسلط داشت سه عنصر اصلی:

روشی برای تعیین هر راه حل اساسی امکان پذیر اولیه برای یک مسئله؛

قانون گذار به بهترین (به طور دقیق تر، نه بدتر) راه حل؛

معیاری برای بررسی بهینه بودن راه حل یافت شده

برای استفاده از روش سیمپلکس، مسئله برنامه ریزی خطی باید به شکل متعارف کاهش یابد، یعنی. سیستم محدودیت ها باید در قالب معادلات ارائه شود.

ادبیات با جزئیات کافی شرح می دهد: پیدا کردن طرح پشتیبانی اولیه (راه حل اساسی قابل قبول اولیه)، همچنین با استفاده از روش پایه مصنوعی، پیدا کردن طرح پشتیبانی بهینه، حل مسائل با استفاده از جداول سیمپلکس.

7 . الگوریتم روش سیمپلکس.

اجازه دهید راه حل ZLP را با استفاده از روش سیمپلکس در نظر بگیریم و آن را در رابطه با مسئله بیشینه سازی ارائه کنیم.

1. بر اساس شرایط مسئله، مدل ریاضی آن تدوین شده است.

2. مدل تکمیل شده به فرم متعارف تبدیل می شود. در این صورت می توان مبنایی با طرح مرجع اولیه شناسایی کرد.

3. مدل متعارف مسئله به شکل یک جدول سیمپلکس نوشته شده است به طوری که تمام عبارت های آزاد غیر منفی هستند. اگر طرح مرجع اولیه انتخاب شده است، سپس به مرحله 5 بروید.

جدول Simplex: یک سیستم معادلات محدودیت و یک تابع هدف در قالب عبارات حل شده نسبت به مبنای اولیه وارد می شود. خطی که ضرایب تابع هدف F در آن نوشته می شود، خط F یا خط تابع هدف نامیده می شود.

4. طرح مرجع اولیه با انجام تبدیل‌های سیمپلکس با عناصر تفکیک مثبت مربوط به حداقل روابط سیمپلکس و بدون در نظر گرفتن علائم عناصر ردیف F یافت می‌شود. اگر در طول تبدیل ها با یک ردیف 0 مواجه شد که همه عناصر آن به جز جمله آزاد صفر باشند، سیستم معادلات محدودیت برای مسئله ناسازگار است. اگر با یک ردیف 0 روبرو شویم که در آن به غیر از جمله آزاد، هیچ عنصر مثبت دیگری وجود نداشته باشد، سیستم معادلات محدود کننده جواب غیر منفی ندارد.

ما کاهش سیستم (2.55)، (2.56) را به یک مبنای جدید می خوانیم تبدیل سیمپلکس . اگر تبدیل سیمپلکس به عنوان یک عملیات جبری رسمی در نظر گرفته شود، می توان متوجه شد که در نتیجه این عملیات، نقش ها بین دو متغیر موجود در سیستم معینی از توابع خطی توزیع می شود: یکی از متغیرها از وابسته به مستقل می رود و دیگری. برعکس، از مستقل به وابسته. این عمل در جبر به عنوان شناخته شده است مرحله حذفی اردن

5. طرح حمایت اولیه یافت شده برای بهینه بودن مورد بررسی قرار می گیرد:

الف) اگر هیچ عنصر منفی در ردیف F وجود نداشته باشد (بدون احتساب عبارت آزاد)، طرح بهینه است. اگر صفر وجود نداشته باشد، تنها یک طرح بهینه وجود دارد. اگر حداقل یک صفر وجود داشته باشد، تعداد بی نهایت طرح بهینه وجود دارد.

ب) اگر در ردیف F حداقل یک عنصر منفی وجود داشته باشد که مربوط به ستونی از عناصر غیر مثبت است، آنگاه؛

ج) اگر حداقل یک عنصر منفی در ردیف F وجود داشته باشد، و حداقل یک عنصر مثبت در ستون آن وجود داشته باشد، می توانید به یک طرح مرجع جدید نزدیکتر به طرح بهینه بروید. برای انجام این کار، ستون مشخص شده باید به عنوان یک ستون تفکیک کننده تعیین شود، با استفاده از نسبت سیمپلکس حداقل، ردیف حل را پیدا کنید و تبدیل سیمپلکس را انجام دهید. طرح مرجع حاصل دوباره برای بهینه بودن مورد بررسی قرار می گیرد. فرآیند توصیف شده تا زمانی که یک طرح بهینه به دست آید یا تا زمانی که حل نشدن مشکل ثابت شود، تکرار می شود.

ستون ضرایب برای یک متغیر موجود در مبنا را حل می گویند. بنابراین، با انتخاب یک متغیر وارد شده به پایه (یا انتخاب یک ستون حل) بر اساس عنصر منفی ردیف F، اطمینان حاصل می کنیم که تابع F افزایش می یابد. .

تعیین متغیری که باید از مبنا حذف شود کمی دشوارتر است. برای انجام این کار، نسبت‌های عبارت‌های آزاد را به عناصر مثبت ستون حل‌شونده می‌سازند (اینگونه روابط را سیمپلکس می‌نامند) و کوچک‌ترین را در میان آنها پیدا می‌کنند که سطر (تحلیل) حاوی متغیر حذف شده را تعیین می‌کند. انتخاب یک متغیر حذف شده از مبنا (یا انتخاب خط حل) با توجه به حداقل رابطه سیمپلکس، مثبت بودن مؤلفه های پایه در طرح مرجع جدید را تضمین می کند.

در نقطه 3 الگوریتم فرض شده است که تمام عناصر ستون اصطلاحات آزاد غیر منفی هستند. این نیاز ضروری نیست، اما اگر برآورده شود، تمام تبدیل های سیمپلکس بعدی فقط با عناصر حل مثبت انجام می شود که برای محاسبات راحت است. اگر اعداد منفی در ستون اصطلاحات آزاد وجود داشته باشد، عنصر حل به صورت زیر انتخاب می شود:

1) از طریق ردیف مربوط به یک جمله آزاد منفی، به عنوان مثال، یک ردیف t نگاه کنید، و برخی از عناصر منفی را در آن انتخاب کنید، و ستون مربوطه به عنوان حل کننده در نظر گرفته می شود (فرض می کنیم که محدودیت های مسئله سازگار هستند).

2) روابط عناصر ستون عبارات آزاد را با عناصر متناظر ستون حل کننده که دارای علائم مشابه هستند (روابط ساده) بسازید.

3) کوچکترین روابط سیمپلکس را انتخاب کنید. این رشته فعال کننده را تعیین می کند. بگذارید مثلاً آر-خط؛

4) در تقاطع ستون و ردیف حل، یک عنصر تفکیک کننده یافت می شود. اگر عنصر ردیف y حل شود، پس از تبدیل سیمپلکس، عبارت آزاد این ردیف مثبت خواهد شد. در غیر این صورت، در مرحله بعد دوباره ردیف t قابل دسترسی است. اگر مشکل قابل حل باشد، پس از تعداد معینی از مراحل، هیچ عنصر منفی در ستون عبارت های آزاد باقی نمی ماند.

8. روش ماتریس معکوس

بیایید یک LP از فرم را در نظر بگیریم:

الف – ماتریس محدودیت؛

C=(c1,c2,…,cn)–بردار ردیف;

X=(x1,x2,…,xn) – متغیرها.

بردار سمت راست است.

ما فرض می کنیم که همه معادلات مستقل خطی هستند، یعنی. رتبه (a) = m. در این مورد، اساس یک مینور از ترتیب ماتریس A است. حداقل یک زیرماتریس B به ترتیب m وجود دارد که |B|<>0. تمام مجهولات مربوط به B را پایه می نامند. بقیه همه رایگان هستند.

اجازه دهید B یک پایه باشد. سپس با مرتب کردن مجدد ستون های ماتریس A همیشه می توانیم A را به شکل A=(B|N) کاهش دهیم.

که در آن N یک زیرماتریس متشکل از ستون های ماتریس A است که به پایه تعلق ندارند. به همین ترتیب، می توان بردار x را به بردار متغیرهای اساسی و.

هر راه حلی برای مسئله (1) شرط A*x=b را برآورده می کند و بنابراین، سیستم به شکل زیر است:

زیرا |B|<>0، سپس یک ماتریس معکوس وجود دارد. با ضرب از سمت چپ در معکوس، به دست می آید:

- تصمیم مشترک

راه حل اساسی (نسبت به مبنای B) یک راه حل خاص برای مسئله (2) است که تحت شرط به دست می آید. سپس به صورت منحصر به فرد تعیین می شود.

راه حل اساسی نامیده می شود قابل تحقق، اگر

اساس مربوط به راه حل اساسی اجرا شده است. تماس گرفت مبنای قابل اجرا در صورتی که بردار دارای اجزای صفر باشد، راه حل اصلی را منحط می نامند.

راه حل کلی شامل تمام راه حل های موجود است. بیایید به تابع هدف برگردیم. Cb – ضرایب را در مقابل متغیرهای اصلی، Cn – بقیه را معرفی می‌کنیم.

بنابراین ما دریافت می کنیم. ما از راه حل کلی جایگزین می کنیم:

بیانیه. معیار بهینه برای راه حل اساسی.

بیایید بگوییم. سپس راه حل اساسی بهینه است. اگر، پس راه حل اساسی بهینه نیست.

سند:بگذار باشد. بیایید راه حل اساسی را در نظر بگیریم، .

بنابراین، مقدار تابع هدف برای حل اصلی است.

بگذارید راه حل دیگری وجود داشته باشد: (Xb,Xn).

سپس بیایید نگاه کنیم

بنابراین، راه حل اساسی بیشترین حداقل است. برعکس، محقق نشود، یعنی. وجود دارد.

سپس راه حلی وجود دارد که برای آن مقدار تابع هدف کمتر از مقدار تابع هدف برای جواب اصلی خواهد بود.

بگذارید با یک متغیر آزاد Xi:Xj مطابقت داشته باشد، یک مقدار اختصاص می دهیم و آن را در پایه وارد می کنیم و یک متغیر دیگر استخراج می کنیم و آن را free می نامیم.

چگونه تعیین کنیم؟ همه متغیرهای رایگان به جز همچنان برابر با 0 هستند.

سپس در راه حل کلی، که در آن.

بیایید بیرون بیاوریم: - شرط لازم.

یک راه حل اساسی اگر منظم نامیده می شود. متغیر را از مبنا استخراج می کنیم. با یک راه حل جدید، تابع هدف کاهش می یابد، زیرا

الگوریتم:

1. مشکل LP به شکل استاندارد.

2. معادلات خطی مستقل را ترک می کنیم.

3. ماتریس B را به گونه ای بیابید که |B|<>0 و راه حل اساسی

محاسبه می کنیم:

اگر، پس یک راه حل بهینه وجود دارد - این راه حل اساسی است.

اگر، آنگاه جزء را پیدا می کنیم، آن را اضافه می کنیم و در نتیجه راه حل دیگری پیدا می کنیم. – که در آن یکی از متغیرهای اساسی = 0. این متغیر را از پایه حذف می کنیم و xi را معرفی می کنیم. ما یک پایه جدید B2، مزدوج با پایه B1 به دست آورده ایم. سپس دوباره محاسبه می کنیم.

1. اگر راه حل بهینه وجود داشته باشد، پس از تعداد محدودی از مراحل آن را به دست خواهیم آورد.

از نظر هندسی، این روش به عنوان انتقال از یک نقطه گوشه به یک نقطه گوشه مزدوج در امتداد مرز مجموعه X - مجموعه ای از راه حل های مشکل، تفسیر می شود. زیرا تعداد محدودی از نقاط گوشه وجود دارد و کاهش شدید تابع F(x) دو بار عبور از یک نقطه افراطی را ممنوع می کند، سپس اگر یک راه حل بهینه وجود داشته باشد، پس از تعداد محدودی از مراحل آن را به دست خواهیم آورد.

9. تفسیر اقتصادی از مشکل دوگانه به مشکل استفاده از منابع

وظیفه.برای تولید دو نوع محصول P1 و P2 از چهار نوع منبع S1, S2, S3, S4 استفاده می شود. ذخایر منابع، تعداد واحدهای منابعی که برای تولید یک واحد تولیدی هزینه شده است، آورده شده است. سود دریافتی از واحد تولید P1 و P2 مشخص است. باید برنامه تولیدی تهیه شود که در آن سود حاصل از فروش آن حداکثر باشد.

وظیفهمن(اصل):

F=c1x1+c2x2+…+CnXn->max با محدودیت:

و شرط عدم منفی x1>=0, x2>=0,…,Xn>=0

طرح تولید X=(x1,x2,…,Xn) تهیه کنید که در آن سود (درآمد) حاصل از فروش محصول حداکثر باشد، مشروط بر اینکه مصرف منابع برای هر نوع محصول از ذخایر موجود بیشتر نباشد.

وظیفهII(دوگانه)

Z=b1y1+b2y2+…+BmYm->min

با محدودیت:

و شرط عدم منفی بودن

y1>=0، y2>=0،…،yn>=0.

چنین مجموعه ای از قیمت ها (تخمین) منابع را پیدا کنید Y=(y1,y2,…,yn) که در آن هزینه کل منابع حداقل باشد، مشروط بر اینکه هزینه منابع در تولید هر نوع محصول باشد. کمتر از سود (درآمد) حاصل از فروش این محصولات نیست

در مدل فوق، bi(i=1,2,…,m) ذخیره منبع Si را نشان می دهد. aij – تعداد واحدهای منبع Si مصرف شده در تولید یک واحد تولید Pj(j=1,2,…,n); cj– سود (درآمد) از فروش یک واحد تولیدی Pj (یا قیمت محصول Pj) .

فرض کنید که سازمانی تصمیم به خرید منابع S1, S2,..., Sm از شرکت دارد و لازم است قیمت های بهینه برای این منابع y1, y2,..., ym تعیین شود. بدیهی است که سازمان خریدار علاقه مند است که تمام منابع Z را در مقادیر b1,b2,…,bm هزینه کند. در قیمت‌های y1،y2،…،ym، به ترتیب، حداقل بودند، یعنی. Z=b1,y1+b2y2+…+bmym->min.

از سوی دیگر، شرکتی که منابع را می فروشد، علاقه مند است اطمینان حاصل کند که درآمد دریافتی کمتر از مقداری نیست که شرکت می تواند هنگام پردازش منابع به محصولات نهایی دریافت کند.

برای تولید یک واحد محصول P1، a11 واحد منبع S1، a21 واحد منبع S2، ....، aj1 واحد از منبع Si1،......، am1 واحد منبع Sm به قیمت y1 مصرف می شود. به ترتیب ,y1,...,yi,...,ym. بنابراین، برای برآوردن نیازهای فروشنده، هزینه های منابع مصرف شده در تولید یک واحد محصول P1 نباید کمتر از قیمت آن c1 باشد، یعنی. a11y1+a21y2+…+am1ym>=c1.

به طور مشابه، شما می توانید محدودیت هایی به شکل نابرابری برای هر نوع محصول P1، P2،…Pn ایجاد کنید. مدل اقتصادی-ریاضی و تفسیر معنادار مسئله دوگانه II به دست آمده در سمت راست جدول آورده شده است.

قیمت منابع y1,y1,…,yi,…,ym در ادبیات اقتصادی اسامی مختلفی دریافت کرده اند: حسابداری، ضمنی، سایه . معنای این نام ها این است که هست مشروط , قیمت های "جعلی" برخلاف قیمت‌های «خارجی» c1,c2,…,cn برای محصولات که معمولاً قبل از شروع تولید شناخته می‌شوند، قیمت‌های منابع y1,y2,…,ym هستند درونی؛ داخلی , زیرا آنها از بیرون داده نمی شوند، بلکه مستقیماً در نتیجه حل مشکل تعیین می شوند، به همین دلیل است که آنها اغلب نامیده می شوند. برآوردها منابع

10. مشکلات LP دوگانه متقابل و خواص آنها

اجازه دهید به طور رسمی دو مسئله I و II برنامه ریزی خطی را که در جدول ارائه شده است، با انتزاع از تفسیر معنی دار پارامترهای موجود در مدل های اقتصادی و ریاضی آنها در نظر بگیریم.

هر دو وظیفه موارد زیر را دارند خواص:

1. در یک مسئله، ماکزیمم یک تابع خطی و در دیگری، حداقل جستجو می شود.

2. ضرایب متغیرها در یک تابع خطی از یک مسئله اعضای آزاد سیستم محدودیت ها در دیگری هستند.

3. هر یک از مسائل به صورت استاندارد و در مسئله بیشینه سازی تمام نابرابری های شکل ارائه شده است.<=", а в задаче минимизации – все неравенства вида ">=".

4. ماتریس های ضرایب برای متغیرها در سیستم های محدودیت هر دو مسئله به یکدیگر منتقل می شوند.

5. تعداد نابرابری ها در سیستم قیود یک مسئله با تعداد متغیرهای مسئله دیگر منطبق است.

6. شرایط برای منفی نبودن متغیرها در هر دو مسئله حفظ می شود.

اظهار نظر.اگر یک شرط غیرمنفی بر روی متغیر j-امین مسئله اصلی اعمال شود، محدودیت j-ام مسئله دوگانه یک نابرابری خواهد بود، اما اگر متغیر j-امین بتواند هر دو مقدار مثبت و منفی داشته باشد، آنگاه محدودیت j ام مسئله دوگانه یک معادله خواهد بود. محدودیت های مسئله اصلی و متغیرهای دوگانه به طور مشابهی مرتبط هستند.

دو مسئله برنامه‌ریزی خطی I و II که دارای ویژگی‌های مشخص شده‌اند، مسائل دوگانه متقارن نامیده می‌شوند. در ادامه، برای سادگی، آنها را به سادگی فراخوانی می کنیم وظایف دوگانه

هر مشکل LP را می توان با وظیفه دوگانه خود مرتبط کرد.

11. الگوریتم برای نوشتن یک مسئله دوگانه:

1. همه نابرابری های سیستم محدودیت های مسئله اصلی را به یک معنی کاهش دهید: اگر در مسئله اصلی به دنبال حداکثر یک تابع خطی هستند، تمام نابرابری های سیستم محدودیت ها را به شکل "کاهش دهید"<=", а если минимум – к виду ">=". برای این نابرابری هایی که این شرط در آنها برآورده نمی شود، در -1 ضرب کنید.

2. یک ماتریس توسعه یافته از سیستم A بسازید که شامل ماتریسی از ضرایب برای متغیرها، ستونی از شرایط آزاد سیستم محدودیت ها و ردیفی از ضرایب برای متغیرها در یک تابع خطی است.

3. ماتریس تبدیل شده به ماتریس A را پیدا کنید .

4. بر اساس ماتریس حاصل، یک مسئله دوگانه را فرموله کنید و شرایط برای عدم منفی بودن متغیرها: آنها تابع هدف مسئله دوگانه را تشکیل می دهند و اعضای آزاد سیستم محدودیت های مسئله اصلی را به عنوان ضرایبی برای متغیرها در نظر می گیرند. سیستمی از محدودیت ها برای مسئله دوگانه بسازید، عناصر ماتریس را به عنوان ضرایب برای متغیرها، و ضرایب برای متغیرها در تابع هدف مسئله اصلی به عنوان عبارت آزاد، در نظر بگیرید و نابرابری هایی به معنای مخالف را بنویسید. شرط منفی نبودن متغیرهای مسئله دوگانه را بنویسید.

12. قضیه دوگانگی اول

ارتباط بین راه حل های بهینه مسائل دوگانه با استفاده از قضایای دوگانگی برقرار می شود.

نشانه کافی از بهینه بودن.

اگر X*=(x1*,x2*,…,xn*) و Y*=(y1*,y2*,…,ym*) - راه حل های قابل قبول برای مسائل دوگانه متقابل که برابری برای آنها برقرار است،

سپس راه حل بهینه برای مسئله اصلی I و مسئله دوگانه II است.

علاوه بر نشانه کافی از بهینه بودن مسائل دوگانه متقابل، روابط مهم دیگری نیز بین راه حل های آنها وجود دارد. اول از همه، این سؤال مطرح می شود: آیا همیشه برای هر جفت مسئله دوگانه راه حل های بهینه به طور همزمان وجود دارد؟ آیا ممکن است یکی از مشکلات دوگانه راه حل داشته باشد و دیگری راه حل نداشته باشد؟ پاسخ به این سوالات با قضیه زیر ارائه می شود.

قضیه دوگانگی اول (اصلی). اگر یکی از مسائل دوگانه متقابل راه حل بهینه داشته باشد، دیگری نیز آن را دارد و مقادیر بهینه توابع خطی آنها برابر است:

Fmax = زمین یا F(X*)=Z(Y*) .

اگر تابع خطی یکی از مسائل محدود نباشد، شرایط مسئله دیگر متناقض است (مسئله راه حل ندارد).

اظهار نظر.گزاره مخالف قسمت دوم قضیه دوگانگی اصلی در حالت کلی درست نیست، یعنی. از این واقعیت که شرایط مسئله اصلی متناقض است، نتیجه نمی‌شود که تابع خطی مسئله دوگانه نامحدود است.

معنای اقتصادی قضیه دوگانگی اول.

طرح تولید X*=(x1*,x2*,…,xn*) و مجموعه قیمتها (تخمین) منابع Y*=(y1*,y2*,…,ym*) اگر سود (درآمد) از محصولات موجود در قیمت‌های «خارجی» (از پیش شناخته شده) c1, c2,…, cn برابر با هزینه‌های منابع در «داخلی» باشد (فقط تعیین شده) بهینه است. از حل مسئله) قیمت های y1,y2,…,ym. برای همه طرح های دیگر ایکسو Yدر هر دو مشکل، سود (درآمد) از محصولات همیشه کمتر از (یا برابر) هزینه های منابع است.

معنای اقتصادی قضیه دوگانگی اول را می‌توان اینگونه تفسیر کرد: شرکت نسبت به تولید محصولات مطابق با طرح بهینه X*=(x1*,x2*,…,xn*) و دریافت حداکثر سود (درآمد) Fmax بی تفاوت است. یا منابع را با قیمت بهینه بفروشید Y* =(y1*,y2*,…,ym*) و بازپرداخت از فروش حداقل هزینه منابع Zmin.

13. قضیه دوگانگی دوم

بگذارید دو مشکل دوگانه متقابل داده شود. اگر هر یک از این مسائل با استفاده از روش سیمپلکس حل شود، باید آنها را به شکل متعارف درآورد، که برای آن باید به سیستم محدودیت های مسئله 1 (به طور خلاصه) وارد شود. تیمتغیرهای غیر منفی، و به سیستم محدودیت های مسئله II () – n متغیرهای غیر منفی، که در آن i(j) تعداد نابرابری است که متغیر اضافی در آن وارد شده است.

سیستم های محدودیت برای هر یک از مشکلات دوگانه متقابل به شکل زیر خواهد بود:

اجازه دهید بین متغیرهای اولیه یکی از مسائل دوگانه و متغیرهای اضافی مسئله دیگر (جدول) مطابقت ایجاد کنیم.

قضیه. مولفه های مثبت (غیر صفر) حل بهینه یکی از مسائل دوگانه متقابل با مولفه های صفر حل بهینه مسئله دیگر مطابقت دارد، یعنی. برای هر i=1,2,…,m u j=1,2,…,n: اگر X*j>0 باشد. اگر ، سپس، و به طور مشابه،

اگر پس از آن ; اگر پس از آن.

یک نتیجه مهم از این قضیه به دست می آید که مطابقت معرفی شده بین متغیرهای مسائل دوگانه متقابل هنگامی که بهینه به دست آمد (یعنی در آخرین مرحله حل هر مسئله با استفاده از روش سیمپلکس) نشان دهنده مطابقت بین اصلی(به عنوان یک قاعده، برابر با صفر نیست) متغیرهای یکی از مسائل دوگانه و غیر هسته ای(برابر صفر) متغیرهای یک مسئله دیگر زمانی که راه حل های اساسی امکان پذیر را تشکیل می دهند.

قضیه دوگانگی دوم مؤلفه های راه حل بهینه برای مسئله دوگانه برابر با مقادیر مطلق ضرایب متغیرهای متناظر تابع خطی مسئله اصلی است که از طریق متغیرهای غیر اساسی حل بهینه آن بیان می شود.

اظهار نظر.اگر در یکی از مسائل دوگانه متقابل، یکتایی راه حل بهینه نقض شود، آنگاه راه حل بهینه برای مسئله دوگانه منحط است. این امر به این دلیل است که اگر منحصر به فرد بودن راه حل بهینه برای مسئله اصلی نقض شود، حداقل یکی از متغیرهای اصلی در بیان تابع خطی راه حل بهینه آن بر حسب متغیرهای غیر اساسی گم شده است.

14. ارزیابی های تعیین شده عینی و معنای آنها

اجزای راه حل بهینه برای مسئله دوگانه را برآوردهای بهینه (دوگانه) مسئله اصلی می نامند. آکادمیک L.V. Kantorovich آنها را صدا کرد به طور عینی تعیین شده است"برآوردها (در ادبیات به آنها درآمد پنهان نیز می گویند) .

متغیرهای اضافی مسئله اصلی I، نشان دهنده تفاوت بین ذخایر bi از منابع S1، S2، S3، S4 و مصرف آنها را بیان می کند منابع باقی مانده , و متغیرهای اضافی مسئله دوگانه II، که نشان دهنده تفاوت بین هزینه های منابع برای تولید یک واحد خروجی از آنها و قیمت های cj محصولات P1، P2 است. , بیان مازاد بر هزینه ها بر قیمت

بنابراین، ارزیابی‌های تعیین‌شده عینی از منابع، میزان کمبود منابع را تعیین می‌کند: بر اساس برنامه تولید بهینه، منابع کمیاب (یعنی کاملاً استفاده شده) ارزیابی‌های غیر صفر دریافت می‌کنند و منابع غیر کمیاب ارزیابی‌های صفر دریافت می‌کنند. مقدار y*i یک ارزیابی از منبع i است. هر چه مقدار تخمین y*i بیشتر باشد، کمبود منبع بیشتر است. برای یک منبع غیر کمیاب y*i=0.

بنابراین، تنها انواع محصولات سودآور و غیرسودآور را می توان در برنامه تولید بهینه گنجاند (البته، معیار سودآوری در اینجا منحصر به فرد است: قیمت محصول از هزینه های منابع مصرف شده در تولید آن تجاوز نمی کند، بلکه دقیقاً است. برابر آنهاست).

قضیه دوگانگی سوم . اجزای راه حل بهینه برای مسئله دوگانه برابر با مقادیر مشتقات جزئی تابع خطی است. Fmax(ب1, ب2,…, bm)با توجه به استدلال های مربوطه، i.e.

برآوردهای تعیین شده عینی از منابع نشان می دهد که با تغییر موجودی منابع مربوطه به میزان یک واحد، حداکثر سود (درآمد) حاصل از فروش محصول چند واحد پولی تغییر می کند.

ارزیابی دوگانه می تواند به عنوان ابزاری برای تجزیه و تحلیل و تصمیم گیری صحیح در شرایط تغییر مداوم تولید عمل کند. به عنوان مثال، با کمک برآوردهای تعیین شده عینی از منابع، می توان هزینه های مشروط بهینه و نتایج تولید را با هم مقایسه کرد.

برآوردهای تعیین شده عینی از منابع به ما این امکان را می دهد که تأثیر هیچ، بلکه فقط تغییرات نسبتاً کوچک در منابع را قضاوت کنیم. با تغییرات ناگهانی، تخمین ها ممکن است متفاوت شوند، که استفاده از آنها را برای تجزیه و تحلیل کارایی تولید غیرممکن می کند. بر اساس نسبت ارزیابی های تعیین شده عینی، هنجارهای محاسبه شده جایگزینی منابع را می توان تعیین کرد، مشروط به اینکه جایگزینی های انجام شده در محدوده ثبات ارزیابی های دوگانه بر اثربخشی طرح بهینه تأثیر نمی گذارد. نتیجه.برآوردهای دوگانه عبارتند از:

1. شاخص کمبود منابع و محصولات.

2. شاخصی از تأثیر محدودیت ها بر مقدار تابع هدف.

3. شاخص کارایی تولید انواع خاصی از محصولات از منظر معیار بهینه بودن.

4. ابزاری برای مقایسه کل هزینه ها و نتایج مشروط.

15. بیان مشکل حمل و نقل بر اساس معیار هزینه.

TK - مشکل اقتصادی ترین طرح برای حمل یک محصول همگن یا قابل تعویض از نقطه تولید (ایستگاه های خروج) به نقاط مصرف (ایستگاه های مقصد) - مهمترین مشکل خاص LP است که کاربردهای عملی گسترده ای دارد. نه تنها برای مشکلات حمل و نقل.

مشخصات فنی در LP با قطعیت ویژگی های اقتصادی آن، ویژگی های مدل ریاضی و وجود روش های حل خاص متمایز می شود.

ساده ترین فرمول بندی مشخصات فنی با توجه به معیار هزینه به شرح زیر است: در تیدر نقاط مبداء A1,…,Am به ترتیب واحدهای a1,…,am از محموله (منابع) همگن وجود دارد که باید تحویل داده شود nمصرف کنندگان B1،…،Bn در مقادیر b1,…,bn واحد (نیاز). هزینه های حمل و نقل Cij برای حمل یک واحد محموله از نقطه مبداء i به نقطه مصرف j مشخص است.

باید یک برنامه حمل و نقل تهیه شود، یعنی مشخص شود که چند واحد بار باید از نقطه مبداء i به نقطه مصرف j ارسال شود تا نیازها کاملاً برآورده شود و کل حمل و نقل انجام شود. هزینه ها حداقل هستند

برای وضوح، شرایط مشخصات فنی را در قالب جدولی به نام ارائه می کنیم توزیع .

ارائه دهنده	مصرف كننده			انبار بار
نیاز

در اینجا مقدار محموله حمل شده از نقطه مبدأ i به مقصد j برابر با xij است، موجودی بار در نقطه مبداء i با مقدار ai>=0 تعیین می شود و نیاز به محموله در مقصد j bj>=0 است. فرض بر این است که همه xij>=0.

ماتریس نامیده می شود ماتریس تعرفه (هزینه ها یا هزینه های حمل و نقل).

طرح وظیفه حمل و نقل ماتریس نامیده می شود که در آن هر عدد xij تعداد واحدهای محموله ای را نشان می دهد که باید از نقطه مبداء i به مقصد j تحویل داده شود. ماتریس xij نامیده می شود ماتریس حمل و نقل

کل هزینه های مرتبط با اجرای طرح حمل و نقل را می توان با تابع هدف نشان داد

متغیرهای xij باید محدودیت‌های موجودی، مصرف‌کنندگان و شرایط غیرمنفی را برآورده کنند:

- محدودیت در ذخایر (2)؛

- محدودیت برای مصرف کنندگان (2)؛

- شرایط غیر منفی (3).

بنابراین، از نظر ریاضی، مسئله حمل و نقل به صورت زیر فرموله می شود. سیستم محدودیت ها (2) تحت شرط (3) و تابع هدف (1) آورده شده است. در میان مجموعه راه حل های سیستم (2) باید راه حلی غیرمنفی پیدا کرد که عملکرد (1) را به حداقل برساند.

سیستم قیود مسئله (1) – (3) شامل m+n معادلات با تیnمتغیرها فرض بر این است که کل ذخایر برابر با کل نیاز است، یعنی.

16. نشانه حل شدن مشکل حمل و نقل

برای اینکه مشکل حمل و نقل دارای طرح های قابل قبولی باشد، رعایت برابری لازم و کافی است

دو نوع مشکل حمل و نقل وجود دارد: بسته , که در آن حجم کل محموله تامین کنندگان برابر با کل تقاضای مصرف کنندگان است و باز کن , که در آن مجموع ظرفیت تولید تامین کنندگان بیش از تقاضای مصرف کننده است یا تقاضای مصرف کننده بیشتر از ظرفیت کل واقعی تامین کنندگان است، یعنی.

یک مدل باز را می توان به مدل بسته تبدیل کرد. بنابراین، اگر، یک مقصد ساختگی (n+1) به مدل ریاضی مسئله حمل و نقل معرفی شود. برای این منظور، یک ستون اضافی در ماتریس وظیفه ارائه شده است که تقاضا برای آن برابر است با تفاوت بین ظرفیت کل تامین کنندگان و تقاضای واقعی مصرف کنندگان:

کلیه تعرفه های تحویل بار تا این نقطه برابر صفر در نظر گرفته می شود. این مدل باز مسئله را به مدل بسته تبدیل می کند. برای یک مشکل جدید، تابع هدف همیشه یکسان است، زیرا قیمت حمل و نقل اضافی برابر با صفر است. به عبارت دیگر، مصرف کننده ساختگی سازگاری سیستم محدودیت ها را نقض نمی کند.

اگر، آنگاه یک نقطه مبدأ ساختگی (m+1) معرفی می شود که به آن انبار محموله ای برابر با اختصاص داده می شود.

تعرفه تحویل کالا از این تامین کننده ساختگی دوباره صفر شده است. یک ردیف به ماتریس اضافه می شود، این بر تابع هدف تأثیر نمی گذارد و سیستم محدودیت های مسئله مشترک می شود، یعنی یافتن طرح بهینه ممکن می شود.

برای مسئله حمل و نقل، قضیه زیر مهم است.

قضیه. رتبه ماتریس مسئله حمل و نقل یک کمتر از تعداد معادلات است، یعنی. r ( آ )= متر + n -1.

از این قضیه برمی‌آید که هر طرح مرجع باید دارای متغیرهای آزاد (m-1)(n-1) برابر با صفر و m+n-1 باشد.

ما برنامه حمل و نقل وظیفه حمل و نقل را مستقیماً در جدول توزیع جستجو خواهیم کرد. فرض می کنیم که اگر متغیر xij مقداری را بگیرد، این مقدار را در سلول مربوطه (I,j) می نویسیم، اما اگر xij=0 باشد، سلول (I,j) را آزاد می گذاریم. با در نظر گرفتن قضیه رتبه ماتریس در جدول توزیع طرح مرجع باید حاوی m+n-1 سلول های اشغال شده، و بقیه رایگان خواهد بود.

الزامات مشخص شده برای طرح مرجع تنها مواردی نیستند. طرح های مرجع باید یکی دیگر از الزامات مربوط به چرخه ها را برآورده کنند.

مجموعه ای از سلول های یک ماتریس حمل و نقل که در آن دو و تنها دو سلول مجاور در یک ردیف یا در یک ستون قرار دارند و آخرین سلول مجموعه در همان سطر یا ستون اول قرار دارد بسته نامیده می شود. چرخه .

از نظر گرافیکی، چرخه یک خط شکسته بسته است که رئوس آن در خانه های اشغال شده جدول قرار دارد و پیوندها فقط در ردیف یا ستون قرار دارند. علاوه بر این، در هر راس چرخه دقیقاً دو پیوند وجود دارد که یکی در یک ردیف و دیگری در یک ستون قرار دارد. اگر خط شکسته ای که یک چرخه را تشکیل می دهد خود را قطع کند، آنگاه نقاط خود تقاطع راس نیستند.

ویژگی های مهم زیر در طرح های مشکل حمل و نقل با مجموعه ای از سلول های چرخه مرتبط است:

1) یک طرح قابل قبول برای یک مشکل حمل و نقل یک مرجع است اگر و فقط در صورتی که هیچ چرخه ای از سلول های اشغال شده توسط این طرح شکل نگیرد.

2) اگر یک طرح مرجع داشته باشیم، برای هر سلول آزاد فقط یک چرخه می تواند تشکیل شود که شامل این سلول و بخشی از سلول های اشغال شده است.

17. ساخت پلان مرجع اولیه

قانون "گوشه شمال غربی".

برای تهیه برنامه حمل و نقل اولیه، استفاده از قانون "گوشه شمال غربی" راحت است که به شرح زیر است.

ما با شروع از سمت چپ بالا، که به طور معمول "گوشه شمال غربی" نامیده می شود، پر می کنیم، و در طول خط به سمت راست یا پایین ستون حرکت می کنیم. بیایید کوچکتر اعداد a1 و b1 را در سلول (1؛ 1) قرار دهیم، یعنی . اگر ستون اول "بسته" باشد، یعنی تقاضای اولین مصرف کننده کاملا برآورده شود. این بدان معنی است که برای تمام سلول های دیگر ستون اول مقدار محموله برای .

اگر، پس خط اول به طور مشابه "بسته" است، یعنی برای . ما به پر کردن سلول مجاور (2؛ 1) که وارد آن می شویم، ادامه می دهیم.

پس از پر کردن سلول دوم (1؛ 2) یا (2؛ 1) ، سلول سوم بعدی را در امتداد خط دوم یا در ستون دوم پر می کنیم. ما این روند را تا زمانی ادامه خواهیم داد که در مرحله ای منابع موجود و نیازها تمام شود. آخرین سلول پر شده در آخرین ستون n و در آخرین ردیف m ام خواهد بود.

قانون "حداقل عنصر".

طرح مرجع اولیه، ساخته شده بر اساس قانون "گوشه شمال غربی"، معمولاً بسیار دور از بهینه است، زیرا تعیین آن مقادیر هزینه را در نظر نمی گیرد. بنابراین، محاسبات بیشتر برای دستیابی به برنامه بهینه نیاز به تکرارهای زیادی دارد. اگر طرح اولیه طبق قانون "حداقل عنصر" ساخته شود، می توان تعداد تکرارها را کاهش داد. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که در هر مرحله حداکثر "حرکت" محموله به داخل قفس با حداقل تعرفه cj انجام می شود. ما شروع به پر کردن جدول از سلولی می کنیم که مربوط به کوچکترین عنصر cij ماتریس تعرفه است. پایین ترین اعداد ai یا bj در سلولی با کمترین تعرفه قرار می گیرد . سپس ردیف مربوط به تامین کننده ای که موجودی آن به طور کامل مصرف شده است، یا ستون مربوط به مشتری که تقاضای او کاملاً برآورده شده است، از بررسی خارج می شود. در صورتی که موجودی تامین کننده به طور کامل تمام شده باشد و تقاضای مشتری به طور کامل برآورده شود، ممکن است نیاز به حذف یک ردیف و یک ستون به طور همزمان باشد. در مرحله بعد، از سلول های باقیمانده جدول، سلول با کمترین تعرفه مجددا انتخاب می شود و روند توزیع سهام تا توزیع همه آنها و برآورده شدن تقاضا ادامه می یابد.

18. روش پتانسیل ها

اصل کلی تعیین طرح بهینه برای یک مسئله حمل و نقل با استفاده از روش پتانسیل مشابه اصل حل مسئله LP با استفاده از روش سیمپلکس است، یعنی: ابتدا یک طرح مرجع برای مسئله حمل و نقل پیدا می شود و سپس به صورت متوالی مشخص می شود. بهبود می یابد تا زمانی که یک برنامه بهینه به دست آید.

ماهیت روش بالقوه به شرح زیر است. پس از یافتن برنامه حمل و نقل مرجع اولیه، به هر تامین کننده (هر ردیف) عدد مشخصی به نام Ai بالقوه تامین کننده و به هر مصرف کننده (هر ستون) عدد مشخصی به نام پتانسیل مصرف کننده اختصاص داده می شود.

هزینه یک تن بار در یک نقطه برابر است با هزینه یک تن بار قبل از حمل + هزینه حمل آن: .

برای حل مشکل حمل و نقل با استفاده از روش پتانسیل، باید:

1. بر اساس یکی از قوانین ذکر شده یک برنامه حمل و نقل اساسی بسازید. تعداد سلول های پر شده باید m+n-1 باشد.

2. محاسبه پتانسیل ها و بر این اساس تامین کنندگان و مصرف کنندگان (برای سلول های اشغال شده): . تعداد سلول های پر شده m+n-1 و تعداد معادلات m+n است. زیرا تعداد معادلات یک کمتر از تعداد مجهولات است، سپس یکی از مجهولات آزاد می شود و می تواند هر مقدار عددی را بگیرد. مثلا، . پتانسیل های باقی مانده برای یک راه حل مرجع معین به طور منحصر به فرد تعیین می شود.

3. بهینه بودن را بررسی کنید، یعنی برای سلول های آزاد، تخمین ها را محاسبه کنید. اگر، پس حمل و نقل مصلحت است و طرح X بهینه است - نشانه بهینه بودن. اگر حداقل یک تفاوت وجود دارد، سپس به یک طرح مرجع جدید بروید. در معنای اقتصادی آن، ارزش تغییر در کل هزینه‌های حمل‌ونقل را مشخص می‌کند که به دلیل تحویل واحد توسط تامین‌کننده i به مصرف‌کننده j اتفاق می‌افتد. اگر، پس یک تحویل منجر به صرفه جویی در هزینه های حمل و نقل خواهد شد، اما اگر - به افزایش آنها منجر شود. در نتیجه، اگر در میان جهت‌های عرضه رایگان، هیچ جهتی وجود نداشته باشد که در هزینه‌های حمل و نقل صرفه‌جویی کند، طرح حاصل بهینه است.

4. از بین اعداد مثبت، حداکثر انتخاب شده و یک چرخه محاسبه مجدد برای سلول آزاد که مربوط به آن است ساخته می شود. پس از اینکه چرخه برای سلول آزاد انتخاب شده ساخته شد، باید به یک طرح مرجع جدید بروید. برای انجام این کار، لازم است بارهای درون سلول های متصل به یک سلول آزاد معین توسط یک چرخه محاسبه مجدد جابجا شوند.

الف) به هر یک از سلول های متصل شده توسط یک چرخه با یک سلول آزاد مشخص، علامت خاصی اختصاص داده می شود و این سلول آزاد "+" است و به تمام سلول های دیگر (رئوس چرخه) به طور متناوب علائم "-" و "" اختصاص داده می شود. +». ما این سلول ها را منفی و مثبت می نامیم.

ب) در سلول های منفی چرخه، حداقل عرضه را پیدا می کنیم که آن را با نشان می دهیم. کوچکتر از اعداد xij واقع در سلول های منهای به این سلول آزاد منتقل می شود. در همان زمان، این عدد با علامت "+" به اعداد مربوطه در سلول ها اضافه می شود و از اعداد در خانه های منهای کم می شود. سلولی که قبلا آزاد بود اشغال می شود و وارد صفحه پشتیبانی می شود. و سلول منهای که حاوی حداقل اعداد xij بود، آزاد در نظر گرفته شده و از طرح پشتیبانی خارج می شود.

بدین ترتیب طرح مرجع جدیدی تعیین شد. انتقال توضیح داده شده در بالا از یک طرح مرجع به طرح دیگر، تغییر در چرخه محاسبه مجدد نامیده می شود. هنگامی که در طول چرخه محاسبه مجدد جابجا می شود، تعداد سلول های اشغال شده بدون تغییر باقی می ماند، یعنی برابر m+n-1 باقی می ماند. علاوه بر این، اگر دو یا چند عدد یکسان xij در سلول‌های منفی وجود داشته باشد، تنها یکی از این سلول‌ها آزاد می‌شود و بقیه با منابع صفر اشغال می‌شوند.

5. طرح مرجع حاصل از نظر بهینه بودن بررسی می شود، یعنی. تمام مراحل مرحله 2 را تکرار کنید.

19. مفهوم برنامه نویسی پویا.

DP (برنامه ریزی) یک روش ریاضی برای یافتن راه حل های بهینه برای مسائل چند مرحله ای (چند مرحله ای) است. برخی از این مشکلات به طور طبیعی به مراحل (مراحل) جداگانه تقسیم می شوند، اما مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید پارتیشن به صورت مصنوعی معرفی شود تا با روش DP حل شود.

به طور معمول، روش‌های DP عملکرد برخی از سیستم‌های کنترل‌شده را بهینه می‌کنند که اثر آن‌ها ارزیابی می‌شود افزودنی، یا ضربی، تابع هدف. افزودنیتابعی از چندین متغیر f(x1,x2,…,xn) نامیده می شود که مقدار آن به صورت مجموع برخی از توابع fj که فقط به یک متغیر xj بستگی دارند محاسبه می شود: . شرایط تابع هدف افزودنی با تأثیر تصمیمات اتخاذ شده در مراحل جداگانه فرآیند کنترل شده مطابقت دارد.

اصل بهینه سازی آر.بلمن.

منظور از رویکرد پیاده سازی شده در برنامه نویسی پویا، جایگزینی حل مسئله چند بعدی اصلی با دنباله ای از مسائل با ابعاد پایین تر است. الزامات اساسی برای وظایف:

1. موضوع تحقیق باید باشد سیستم کنترل شده (شیء) با معتبر داده شده ایالت ها و قابل قبول بخش ها;

2. وظیفه باید اجازه تفسیر را به عنوان یک فرآیند چند مرحله ای بدهد که هر مرحله از آن شامل پذیرش است راه حل ها Oانتخاب یکی از کنترل های قابل قبول منجر به تغییر حالت سیستم های؛

3. وظیفه نباید به تعداد مراحل بستگی داشته باشد و در هر یک از آنها تعریف شود.

4. وضعیت سیستم در هر مرحله باید با همان مجموعه پارامترها (در ترکیب) توصیف شود.

5. حالت بعدی که سیستم پس از انتخاب راه حل در آن قرار می گیرد k-mمرحله، فقط به تصمیم داده شده و وضعیت اولیه در ابتدا بستگی دارد ک- مرحله ام این ویژگی از دیدگاه ایدئولوژی برنامه نویسی پویا اساسی است و نامیده می شود بدون عواقب .

اجازه دهید مسائل مربوط به کاربرد مدل برنامه نویسی پویا را به صورت تعمیم یافته در نظر بگیریم. بگذارید وظیفه کنترل برخی شی انتزاعی باشد که می تواند در حالت های مختلف باشد. وضعیت فعلی شی با مجموعه ای از پارامترها مشخص می شود که با S نشان داده می شود و نامیده می شود. بردار حالت. فرض بر این است که یک مجموعه S از تمام حالات ممکن داده شده است. مجموعه ای نیز برای شی تعریف شده است کنترل های قابل قبول(اقدامات کنترلی) ایکس،که بدون از دست دادن کلیت، می توان آن را یک مجموعه عددی در نظر گرفت. اقدامات کنترلی را می توان در لحظات مجزا در زمان و مدیریت انجام داد راه حلشامل انتخاب یکی از کنترل ها است. طرحوظایف یا استراتژی مدیریتبردار x=(x1,x2,…,xn-1) نامیده می شود که اجزای آن کنترل هایی هستند که در هر مرحله از فرآیند انتخاب می شوند. با توجه به انتظارات بدون عواقببین هر دو حالت متوالی شی Sk و Sk+1، یک رابطه تابعی شناخته شده وجود دارد که شامل کنترل انتخاب شده نیز می شود: . بنابراین، تنظیم وضعیت اولیه شی و انتخاب یک طرح ایکسبه وضوح تعریف کنید خط سیر رفتارهدف - شی.

کارایی را در هر مرحله کنترل کنید کبستگی به وضعیت فعلی Sk، کنترل انتخاب شده xk دارد و با استفاده از توابع fk(xk،Sk)، که عبارت هستند، کمیت می شود. تابع هدف افزایشی , توصیف کارایی کلی مدیریت تسهیلات (توجه داشته باشید , که تعریف تابع fk(xk,Sk) شامل محدوده مقادیر مجاز می باشد xk , و این منطقه، به عنوان یک قاعده، به وضعیت فعلی Sk بستگی دارد). کنترل بهینه , برای یک حالت اولیه معین S1، به انتخاب چنین طرح بهینه ای ختم می شود * , که در آن به دست می آید بیشترین مقدار مقادیر fk در مسیر مربوطه.

اصل اساسی برنامه نویسی پویا این است که در هر مرحله نباید برای بهینه سازی مجزا تابع fk(xk,Sk) تلاش کرد، بلکه کنترل بهینه x*k را با این فرض انتخاب کرد که تمام مراحل بعدی بهینه هستند. به طور رسمی، این اصل با یافتن در هر مرحله اجرا می شود ک کنترل های بهینه شرطی ، با فرض اینکه وضعیت فعلی S باشد، بیشترین بازده کل را از این مرحله ارائه می کند.

اجازه دهید Zk(s) حداکثر مقدار مجموع توابع fk را نشان دهد در سراسر مراحل از کقبل از پ(به دست آمده با کنترل بهینه در یک بخش معین از فرآیند)، مشروط بر اینکه شی در ابتدای مرحله کدر حالت S است. سپس توابع Zk(s) باید رابطه عود را برآورده کنند:

این نسبت نامیده می شود رابطه عود اساسی (معادله تابعی پایه)برنامه نویسی پویا این اصل اساسی برنامه نویسی پویا را پیاده سازی می کند که به آن نیز معروف است اصل بهینه سازی بلمن :

استراتژی کنترل بهینه باید شرایط زیر را برآورده کند: وضعیت اولیه هر چه باشد sk در مرحله k و کنترل انتخاب شده در این مرحله xk، مدیریت بعدی (تصمیمات مدیریتی) باید در رابطه با بهینه باشد cocmo یانیا ,ناشی از تصمیم اتخاذ شده در مرحله k .

رابطه اصلی به ما امکان می دهد توابع Zk(s) را پیدا کنیم. فقط Vترکیب شده با شرایط آغازین،که در مورد ما برابری است

اصل بهینه‌سازی فرمول‌بندی‌شده در بالا فقط برای کنترل اشیایی قابل اعمال است که انتخاب کنترل بهینه برای آنها به پس‌زمینه فرآیند کنترل‌شده، یعنی نحوه رسیدن سیستم به وضعیت فعلی‌اش بستگی ندارد. این شرایط است که به ما امکان می دهد مشکل را تجزیه کنیم و راه حل عملی آن را ممکن کنیم.

برای هر کار خاص، معادله تابعی شکل خاص خود را دارد، اما مطمئناً باید ماهیت مکرر ذاتی عبارت (*) را حفظ کند و ایده اصلی اصل بهینگی را تجسم کند.

20. مفهوم مدل های بازی.

مدل ریاضی یک موقعیت تعارض نامیده می شود بازی , طرف های درگیر در مناقشه - بازیکنان، و نتیجه درگیری است پیروزی.

برای هر بازی رسمی، قوانین , آن ها سیستمی از شرایط که تعیین می کند: 1) گزینه هایی برای اقدامات بازیکنان؛ 2) میزان اطلاعاتی که هر بازیکن در مورد رفتار شرکای خود دارد. 3) سودی که هر مجموعه از اقدامات منجر به آن می شود. به طور معمول، برد (یا باخت) را می توان کمی تعیین کرد. برای مثال، می‌توانید باخت را صفر، برد را یک و تساوی را 1/2 ارزیابی کنید. کمی کردن نتایج یک بازی نامیده می شود پرداخت .

بازی نام دارد اتاق بخار , اگر شامل دو بازیکن باشد، و چندگانه , اگر تعداد بازیکنان بیش از دو نفر باشد. ما فقط بازی های دو نفره را در نظر خواهیم گرفت. آنها شامل دو بازیکن هستند آو که در،که منافع آنها مخالف است و منظور ما از بازی مجموعه ای از اقدامات است آو که در.

بازی نام دارد بازی حاصل جمع صفر یا آنتاگونیست آسمان , اگر سود یکی از بازیکنان برابر با ضرر دیگری باشد، یعنی. مجموع بردهای هر دو طرف صفر است. برای تکمیل کار بازی کافی است ارزش یکی از آنها را مشخص کنید . اگر تعیین کنیم آ- بردهای یکی از بازیکنان، ب – بردهای دیگری، سپس برای یک بازی با مجموع صفر b = –آبنابراین کافی است به عنوان مثال در نظر بگیرید آ.

انتخاب و اجرای یکی از اقدامات پیش بینی شده توسط قوانین نامیده می شود پیش رفتن بازیکن. حرکات ممکن است باشد شخصی و تصادفی . حرکت شخصی – این یک انتخاب آگاهانه توسط بازیکن از یکی از اقدامات ممکن است (به عنوان مثال، حرکت در یک بازی شطرنج). مجموعه گزینه های ممکن برای هر حرکت شخصی با قوانین بازی تنظیم می شود و به مجموع حرکات قبلی هر دو طرف بستگی دارد.

حرکت تصادفی – این یک عمل به طور تصادفی انتخاب شده است (به عنوان مثال، انتخاب یک کارت از یک عرشه به هم ریخته). برای اینکه یک بازی به صورت ریاضی تعریف شود، قوانین بازی باید برای هر حرکت تصادفی مشخص شود توزیع احتمال نتایج احتمالی

برخی از بازی‌ها ممکن است فقط از حرکات تصادفی (به اصطلاح قمار خالص) یا فقط از حرکات شخصی (شطرنج، چکرز) تشکیل شوند. اکثر بازی های کارتی متعلق به بازی های ترکیبی هستند، یعنی هم شامل حرکات تصادفی و هم شخصی هستند. در آینده فقط حرکات شخصی بازیکنان را در نظر خواهیم گرفت.

بازی‌ها نه تنها بر اساس ماهیت حرکات (شخصی، تصادفی)، بلکه بر اساس ماهیت و میزان اطلاعات موجود برای هر بازیکن در مورد اعمال دیگری طبقه‌بندی می‌شوند. دسته خاصی از بازی ها به اصطلاح "بازی های با اطلاعات کامل" هستند. یک بازی با اطلاعات کامل بازی ای است که در آن هر بازیکن با هر حرکت شخصی از نتایج تمام حرکات قبلی اعم از شخصی و تصادفی مطلع می شود. نمونه‌هایی از بازی‌های با اطلاعات کامل شامل شطرنج، چکرز و بازی معروف «تیک تاک» است. اکثر بازی های دارای اهمیت عملی به کلاس بازی های دارای اطلاعات کامل تعلق ندارند، زیرا عدم اطمینان در مورد اقدامات دشمن معمولاً یک عنصر ضروری در موقعیت های درگیری است.

یکی از مفاهیم اصلی نظریه بازی ها مفهوم است استراتژی ها .

استراتژی بازیکن مجموعه ای از قوانین است که بسته به موقعیت فعلی، انتخاب عمل او را در هر حرکت شخصی تعیین می کند. معمولا در حین بازی با هر حرکت شخصی بازیکن بسته به موقعیت خاص دست به انتخاب می زند. با این حال، در اصل ممکن است که تمام تصمیمات توسط بازیکن از قبل (در پاسخ به هر موقعیتی) گرفته شود. این بدان معنی است که بازیکن استراتژی خاصی را انتخاب کرده است که می تواند به عنوان یک لیست از قوانین یا یک برنامه مشخص شود. (به این ترتیب می توانید بازی را با استفاده از کامپیوتر انجام دهید.) بازی نام دارد نهایی , اگر هر بازیکن تعداد محدودی استراتژی داشته باشد، و بی پایان .– در غیر این صورت.

به منظور. واسه اینکه. برای اینکه تصميم گرفتن بازی , یا پیدا کنید راه حل بازی , برای هر بازیکن باید استراتژی ای را انتخاب کنیم که شرایط را برآورده کند بهینه بودن , آن ها یکی از بازیکنان باید دریافت کند حداکثر برد، وقتی نفر دوم به استراتژی خود پایبند است، در همان زمان بازیکن دوم باید داشته باشد حداقل ضرر , اگر اولین نفر به استراتژی خود پایبند باشد. چنین استراتژی هایی نامیده می شوند بهینه . استراتژی های بهینه نیز باید شرایط را برآورده کنند پایداری , آن ها کنار گذاشتن استراتژی خود در این بازی برای هر یک از بازیکنان باید مضر باشد.

اگر بازی چند بار تکرار شود، ممکن است بازیکنان علاقه ای به برد و باخت در هر بازی خاص نداشته باشند، اما آ میانگین برد (باخت) در همه دسته ها

هدف تئوری بازی ها تعیین استراتژی بهینه برای هر بازیکن است.

21. ماتریس پرداخت قیمت پایین و بالای بازی

بازی نهایی که در آن بازیکن آاین دارد تیاستراتژی ها و بازیکن V – صاستراتژی ها یک بازی m×n نامیده می شود.

یک بازی m×n از دو بازیکن را در نظر بگیرید آو که در(«ما» و «دشمن»).

اجازه دهید بازیکن آدارد تیاستراتژی های شخصی که به صورت A1,A2,…,Am نشان می دهیم. اجازه دهید بازیکن که دردر دسترس nاستراتژی های شخصی، بیایید آنها را B1، B2،…، Bn مشخص کنیم.

اجازه دهید هر طرف یک استراتژی خاص را انتخاب کند. برای ما Ai خواهد بود، برای دشمن Bj. در نتیجه انتخاب بازیکنان از هر جفت استراتژی Ai و Bj ()، نتیجه بازی به طور منحصر به فردی تعیین می شود، یعنی. برنده های بازیکن aij آ(مثبت یا منفی) و باخت (-aij) بازیکن که در.

فرض کنید مقادیر aij برای هر جفت استراتژی شناخته شده است (Ai,Bj) . ماتریس P=aij , که عناصر آن سودهای مربوط به استراتژی های Ai و Bj هستند، تماس گرفت ماتریس پرداخت یا ماتریس بازی ردیف های این ماتریس با استراتژی های بازیکن مطابقت دارد آ،و ستون ها - استراتژی های بازیکن ب. این استراتژی ها خالص نامیده می شوند.

ماتریس بازی m×n به شکل زیر است:

یک بازی m×n را با ماتریس در نظر بگیرید و بهترین را در بین استراتژی های A1, A2,…,Am تعیین کنید. . انتخاب بازیکن استراتژی هوش مصنوعی آباید انتظار داشت که بازیکن که دربا یکی از استراتژی های Bj که بازیکن برنده می شود به آن پاسخ خواهد داد آحداقل (بازیکن که دربه دنبال "آسیب زدن" به بازیکن است آ).

اجازه دهید ما را با کوچکترین بردهای بازیکن مشخص کنیم آهنگامی که او استراتژی Ai را برای همه استراتژی های بازیکن ممکن انتخاب می کند که در(کوچکترین تعداد در منردیف هفتم ماتریس پرداخت)، یعنی.

از بین همه اعداد () بزرگترین را انتخاب می کنیم: .

بیا تماس بگیریم پایین ترین قیمت بازی یا حداکثر برد (maxmin). این یک برد تضمینی برای بازیکن A برای هر استراتژی بازیکن B است. از این رو،

استراتژی مربوط به ماکسیمین نامیده می شود استراتژی حداکثر . بازیکن که درعلاقه مند به کاهش بردهای بازیکن است آ،هنگام انتخاب استراتژی Bj، او حداکثر بازده ممکن را در نظر می گیرد آ.بیایید نشان دهیم

از بین همه اعداد، کوچکترین را انتخاب کنید

و بیا زنگ بزنیم قیمت بالای بازی یا برد حداقلی(حداقل). ایگو از دست دادن بازیکن B را تضمین کرد. از این رو،

استراتژی مربوط به مینیمکس نامیده می شود استراتژی حداقل

اصلي كه به بازيكنان دستور مي‌دهد تا «محتاطانه‌ترين» استراتژي‌هاي ميني‌مكس و ماكسيمين را انتخاب كنند. اصل حداقل . این اصل از این فرض منطقی ناشی می شود که هر بازیکن برای رسیدن به هدفی مخالف هدف حریف خود تلاش می کند.

قضیه. قیمت پایین تر بازی همیشه از قیمت بالای بازی تجاوز نمی کند .

اگر قیمت های بالا و پایین بازی یکسان باشد، ارزش کل قیمت های بالا و پایین بازی نامیده می شود. قیمت خالص بازی، یا به قیمت بازی استراتژی های Minimax مربوط به قیمت بازی می باشد استراتژی های بهینه , و کلیت آنها است راه حل بهینه یا راه حل بازی در این مورد بازیکن آحداکثر تضمین شده را دریافت می کند (مستقل از رفتار بازیکن) که در)برنده ها v، و بازیکن که درحداقل تضمین شده را به دست می آورد (صرف نظر از رفتار بازیکن آ)از دست دادن v. آنها می گویند که راه حل بازی است ثبات , آن ها اگر یکی از بازیکنان به استراتژی بهینه خود پایبند باشد، آنگاه نمی تواند برای دیگری سودآور باشد که از استراتژی بهینه خود منحرف شود.

اگر یکی از بازیکنان (به عنوان مثال آ)به استراتژی بهینه خود و بازیکن دیگر پایبند است (که در)به هر نحوی از استراتژی بهینه خود منحرف خواهد شد برای بازیکنی که انحراف ایجاد کرده است، هرگز نمی تواند سودآور باشد.چنین انحراف بازیکن که درمی تواند در بهترین حالت برنده ها را بدون تغییر باقی بگذارد. و در بدترین حالت آن را افزایش دهید.

برعکس، اگر که دربه استراتژی بهینه خود پایبند است و آاز خود منحرف می شود، پس این به هیچ وجه نمی تواند برای آن مفید باشد آ.

یک جفت استراتژی ناب و یک راه حل بهینه به بازی می دهد اگر و فقط اگر عنصر مربوطه باشد هم بزرگترین در ستون و هم کوچکترین در ردیفش است. این وضعیت اگر وجود داشته باشد نامیده می شود پاورپوینت. در هندسه به نقطه ای از سطحی که خاصیت داشتن حداقل همزمان در یک مختصات و حداکثر در مختصات دیگر را دارد، می گویند. قدرت نکته، بر اساس قیاس این اصطلاح در نظریه بازی ها استفاده می شود.

بازی که برای آن , تماس گرفت بازی با پاور پوینت عنصری که این ویژگی را دارد نقطه نیروی ماتریس است.

بنابراین، برای هر بازی با یک پاور پوینت، راه حلی وجود دارد که یک جفت استراتژی بهینه را برای هر دو طرف تعیین می کند که در ویژگی های زیر متفاوت است.

1) اگر هر دو طرف به استراتژی های بهینه خود پایبند باشند، میانگین بازده برابر با هزینه خالص بازی است. v، که به طور همزمان قیمت پایین و بالاتر آن است.

2) اگر یکی از طرفین به استراتژی بهینه خود پایبند باشد و دیگری از استراتژی خود منحرف شود، طرف منحرف فقط می تواند ببازد و به هیچ وجه نمی تواند بر بردهای خود بیافزاید.

در تئوری بازی ها ثابت شده است که به طور خاص، هر بازی با اطلاعات کامل دارای یک نقطه قدرت است، و بنابراین، هر بازی دارای یک راه حل است، یعنی یک جفت استراتژی بهینه از هر دو طرف وجود دارد، که یک بازده متوسط ​​را ارائه می دهد. برابر با هزینه بازی اگر یک بازی با اطلاعات کامل فقط از حرکات شخصی تشکیل شده باشد، در آن صورت وقتی هر طرف استراتژی بهینه خود را اعمال می کند، باید همیشه به یک نتیجه کاملاً تعریف شده ختم شود، یعنی بردی دقیقاً برابر با هزینه بازی.

22. راه حل بازی در استراتژی های ترکیبی.

در میان بازی‌های محدود با اهمیت عملی، بازی‌های با نقطه نیرو نسبتاً نادر هستند. یک مورد معمول تر زمانی است که قیمت پایین و بالای بازی متفاوت باشد. با تجزیه و تحلیل ماتریس های چنین بازی هایی، به این نتیجه می رسیم که اگر به هر بازیکن یک استراتژی واحد داده شود، پس با حساب کردن روی یک حریف معقول عمل می کند، این انتخاب باید با اصل حداقلی تعیین شود. با پایبندی به استراتژی حداکثری خود، برای هر رفتاری از دشمن، ما بدیهی است که پیروزی برابر با قیمت پایین‌تر بازی α را برای خود تضمین می‌کنیم. چنین استراتژی‌های ترکیبی، متشکل از استفاده از چندین استراتژی خالص، متناوب بر اساس یک قانون تصادفی با یک نسبت فرکانس معین، در تئوری بازی ها نامیده می شوند استراتژی های ترکیبی

استراتژی مختلط سا بازیکن A کاربرد استراتژی های خالص A1,A1,…,Ai,…,Am با احتمالات p1,p2,…pi,…pm است و مجموع احتمالات برابر با 1: . استراتژی های ترکیبی بازیکن A به صورت ماتریس نوشته شده است

یا به عنوان یک رشته Sa=(p1,p2,…,pi,…,pm).

به طور مشابه، استراتژی های ترکیبی بازیکن B با:

یا Sb=(q1,q2,…,qi,…,qn)

که در آن مجموع احتمالات ظهور استراتژی ها برابر با 1 است: .

بدیهی است که هر استراتژی خالص یک مورد خاص از یک ترکیبی است که در آن همه استراتژی ها به جز یکی با فرکانس های صفر (احتمالات) و این استراتژی با فرکانس (احتمال) 1 استفاده می شود.

معلوم می‌شود که با استفاده از استراتژی‌های غیر خالص، بلکه ترکیبی، می‌توان برای هر بازی متناهی یک راه‌حل به دست آورد، یعنی یک جفت از این استراتژی‌ها (در حالت کلی مختلط) به گونه‌ای که وقتی هر دو بازیکن از آنها استفاده می‌کنند، بازده برابر با قیمت بازی خواهد بود و زمانی که هر انحراف یک طرفه از استراتژی بهینه فقط می تواند بازده را در جهتی نامطلوب برای منحرف تغییر دهد. بنابراین، بر اساس اصل حداقل، تعیین می شود راه حل بهینه (یا راه حل)بازی ها: اینها یک جفت استراتژی بهینه هستند در حالت کلی، مختلط، دارای ویژگی زیر است: اگر یکی از بازیکنان به استراتژی بهینه خود پایبند باشد، آنگاه نمی تواند برای دیگری سودآور باشد که از استراتژی خود منحرف شود. سود مربوط به راه حل بهینه نامیده می شود به قیمت بازی v . قیمت بازی نابرابری را برآورده می کند:

جایی که α و β قیمت های پایین تر و بالاتر بازی هستند.

بیانیه بیان شده محتوای به اصطلاح را تشکیل می دهد قضیه اساسی نظریه بازی هااین قضیه برای اولین بار توسط جان فون نویمان در سال 1928 اثبات شد. بنابراین، ما فقط فرمول آن را ارائه می دهیم.

هر بازی محدود حداقل یک راه حل بهینه دارد، احتمالاً در میان استراتژی های ترکیبی.

از قضیه اصلی چنین بر می آید که هر بازی متناهی قیمتی دارد.

بگذار باشد – یک جفت استراتژی بهینه اگر یک استراتژی خالص در یک استراتژی ترکیبی بهینه با احتمال غیر صفر گنجانده شود، نامیده می شود فعال (مفید) .

نمایشگاه قضیه استراتژی های فعال: اگر یکی از بازیکنان به استراتژی ترکیبی بهینه خود پایبند باشد، اگر بازیکن دوم از محدودیت های استراتژی های فعال خود فراتر نرود، بازده بدون تغییر و برابر با هزینه بازی v باقی می ماند.

بازیکن می تواند از هر یک از استراتژی های فعال خود به شکل خالص استفاده کند و همچنین می تواند آنها را به هر نسبتی با هم ترکیب کند.

این قضیه از اهمیت عملی زیادی برخوردار است - مدل های خاصی را برای یافتن استراتژی های بهینه در غیاب نقطه زینی ارائه می دهد.

در نظر بگیریم بازی سایز 2*2، که ساده ترین حالت یک بازی متناهی است. اگر چنین بازی دارای یک نقطه زینتی باشد، راه حل بهینه یک جفت استراتژی خالص مربوط به این نقطه است.

بازی ای که در آن نقطه زینی وجود ندارد، مطابق با قضیه اساسی نظریه بازی ها راه حل بهینه وجود دارد و توسط یک جفت استراتژی ترکیبی تعیین می شودو.

برای یافتن آنها از قضیه استراتژی های فعال استفاده می کنیم. اگر بازیکن آبه استراتژی بهینه خود پایبند است , سپس میانگین بردهای او برابر با قیمت بازی خواهد بود vمهم نیست که بازیکن از چه استراتژی فعالی استفاده می کند که در.برای یک بازی 2x2، اگر نقطه میانی وجود نداشته باشد، هر استراتژی حریف خالص فعال است. بردهای بازیکن آ(از دست دادن بازیکن که در)- یک متغیر تصادفی که انتظار ریاضی آن (مقدار متوسط) قیمت بازی است. بنابراین، بازده بازیکن متوسط آ(استراتژی بهینه) برابر خواهد بود vبرای هر دو استراتژی دشمن 1 و 2.

اجازه دهید بازی توسط یک ماتریس بازده داده شود.

میانگین برد بازیکن آ،اگر او از یک استراتژی ترکیبی بهینه و بازیکن استفاده کند که در -استراتژی خالص B1 (این مربوط به ستون 1 ماتریس سود است ر)برابر قیمت بازی v: .

بازیکن همان بردهای متوسط ​​را دریافت می کند آ، اگر بازیکن دوم از استراتژی B2 استفاده کند، یعنی. . با توجه به آن، سیستمی از معادلات برای تعیین استراتژی بهینه بدست می آوریم و قیمت بازی v:

با حل این سیستم، استراتژی بهینه را بدست می آوریم

و قیمت بازی

به کار بردن قضیه در مورد استراتژی های فعال هنگام جستجو – استراتژی بهینه بازیکن که در،ما آن را برای هر استراتژی بازیکن خالص می‌یابیم آ (آ1 یا آ2) میانگین باخت بازیکن که دربرابر قیمت بازی v، یعنی

سپس استراتژی بهینه با فرمول های زیر تعیین می شود:

مشکل حل یک بازی، اگر ماتریس آن حاوی نقطه زین نباشد، دشوارتر است، مقادیر بزرگتر متر و n. بنابراین در تئوری بازی‌های ماتریسی، روش‌هایی در نظر گرفته می‌شود که به‌وسیله آن، حل برخی از بازی‌ها به حل ساده‌تر، به‌ویژه با کاهش ابعاد ماتریس، کاهش می‌یابد. بعد ماتریس را می توان با حذف کاهش داد کپی کردن و بدیهی است بی سود استراتژی ها.

تکراری استراتژی هایی نامیده می شوند که با همان مقادیر عناصر در ماتریس پرداخت مطابقت دارند، یعنی. ماتریس شامل ردیف (ستون) یکسان است.

اگر همه عناصر ردیف i ماتریس کمتر از عناصر مربوط به ردیف k باشند، استراتژی i برای بازیکن آبی سود (سود کمتر).

اگر همه عناصر ستون r-ام ماتریس بزرگتر از عناصر مربوط به ستون j-ام باشند، برای بازیکن که دراستراتژی r-ام بی سود است (زیان بیشتر است).

روال حذف استراتژی های تکراری و آشکارا زیان آور همیشه باید مقدم بر حل بازی باشد.

23. تفسیر هندسی بازی 2x2

راه حل بازی 2x2امکان تفسیر هندسی واضح را فراهم می کند.

اجازه دهید بازی با ماتریس پرداخت P=(aij), i, j=1,2 مشخص شود.

روی محور آبسیسا (شکل) رسم می کنیم واحدبخش A1A2؛ نقطه A1 ( ایکس=0) استراتژی A1، نقطه A2 ( ایکس=1) استراتژی A2 را به تصویر می کشد، و تمام نقاط میانی این بخش، استراتژی های مختلط Sa بازیکن اول هستند و فاصله Sa تا انتهای سمت راست بخش، احتمال p1 استراتژی A1 است. , فاصله تا انتهای چپ - احتمال p2 استراتژی A2 .

اجازه دهید از طریق نقاط A1 و A2 دو عمود بر محور آبسیسا رسم کنیم: محور I-I و محور II-II. بر روی محور I-I، بردهای استراتژی A1 را ترسیم خواهیم کرد. در محور II-II - بازده برای استراتژی A2.

اگر بازیکن A از استراتژی A1 استفاده کند، سود او با استراتژی B1 بازیکن B a11 و با استراتژی B2 برابر با a12 است. اعداد a11 و a12 در محور I با نقاط B1 و B2 مطابقت دارند.

اگر بازیکن A از استراتژی A2 استفاده کند، سود او با استراتژی B1 بازیکن B a21 و با استراتژی B2 برابر با a22 است. اعداد a21 و a22 مربوط به نقاط B1 و B2 در محور II است.

ما نقاط B1 (I) و B1 (II) را به هم وصل می کنیم. B2 (I) و B2 (II). ما دو خط مستقیم داریم. مستقیم B1B1 – اگر بازیکن آیک استراتژی ترکیبی را اعمال می کند (هر ترکیبی از استراتژی های A1 و A2 با احتمالات p1 و p2) و بازیکن B از استراتژی B1 استفاده می کند. بازیکن برنده می شود آمربوط به نقطه ای است که در این خط قرار دارد. میانگین بازده مربوط به استراتژی ترکیبی با فرمول a11p1+a21p2 تعیین می شود و با نقطه M1 نشان داده می شود. روی B1B1 مستقیم.

به طور مشابه، بخش B2B2 را می سازیم که مربوط به استفاده از استراتژی B2 توسط بازیکن دوم است. در این حالت، میانگین برد با فرمول a12p1+a22p2 تعیین می شود و با نقطه M2 نشان داده می شود. روی B2B2 مستقیم

ما باید استراتژی بهینه S*a را پیدا کنیم، یعنی استراتژی که حداقل بازده برای آن (برای هر رفتاری) باشد که در)به حداکثر می رسد. برای این خواهیم ساخت حد پایین تر از برد برای استراتژی های B1B2 , به عنوان مثال، خط شکسته B1NB2 مشخص شده در شکل. خط پررنگ این کران پایین حداقل برد بازیکن را بیان می کند آبا هر یک از استراتژی های ترکیبی آن؛ نقطهن , که در آن این حداقل سود به حداکثر می رسد و راه حل (استراتژی بهینه) و قیمت بازی را تعیین می کند. نقطه ترتیب نقیمتی برای بازی وجود دارد v. مختصات نقطه نمختصات نقاط تقاطع خطوط B1B1 و B2B2 را می یابیم. در مورد ما، راه حل بازی با نقطه تقاطع استراتژی ها مشخص شد. با این حال، همیشه اینطور نخواهد بود.

از نظر هندسی می توان به عنوان یک بازیکن استراتژی بهینه را تعیین کرد آ،بازیکن هم همینطور که در؛در هر دو مورد از اصل minimax استفاده می شود اما در حالت دوم نه حد پایین، بلکه حد بالایی برنده ها ساخته می شود و نه حداکثر، بلکه حداقل بر روی آن تعیین می شود.

اگر ماتریس پرداخت حاوی اعداد منفی باشد، برای حل مشکل گرافیکی بهتر است به یک ماتریس جدید با عناصر غیر منفی بروید. برای این کار کافی است عدد مثبت مربوطه را به عناصر ماتریس اصلی اضافه کنید. راه حل بازی تغییر نمی کند، اما قیمت بازی تا این تعداد افزایش می یابد. از روش گرافیکی می توان برای حل بازی 2×n,m×2 استفاده کرد.

24. تقلیل یک بازی ماتریسی به یک مسئله برنامه ریزی خطی

در حالت کلی، بازی m×n تفسیر هندسی واضحی ندارد. راه حل آن برای بزرگ ها کاملاً کار فشرده است تیو n, با این حال، هیچ مشکل اساسی ندارد، زیرا می توان آن را به حل یک مسئله برنامه ریزی خطی تقلیل داد. بیایید آن را نشان دهیم.

اجازه دهید بازی m×n توسط ماتریس پرداخت داده شود . بازیکن آدارای استراتژی های A1,A2,..Ai,..Am , بازیکن که در -استراتژی ها ب 1,ب 2,..بمن،.. ب n باید استراتژی های بهینه و کجا مشخص شود احتمال استفاده از استراتژی های خالص مربوطه، Ai،Bj،

استراتژی بهینه نیاز زیر را برآورده می کند. پخش کننده را فراهم می کند آمیانگین برد، نه کمتر از قیمت بازی v، برای هر استراتژی بازیکن که درو برد برابر با قیمت بازی v، با استراتژی بهینه بازیکن که در.بدون از دست دادن کلیت فرض می کنیم v> 0; این را می توان با ساخت تمام عناصر به دست آورد . اگر بازیکن آیک استراتژی ترکیبی را در برابر هر استراتژی خالص بازیکن Bj اعمال می کند که در،سپس او می گیرد میانگین برد , یا انتظارات ریاضی برنده شدن (یعنی عناصر j-جیoستون های ماتریس پرداخت ترم به ترم در احتمالات مربوط به استراتژی های A1، A2،..Ai،..Am ضرب می شوند و نتایج اضافه می شوند).

برای یک استراتژی بهینه، تمام بازده های متوسط ​​کمتر از قیمت بازی نیستند vبنابراین سیستمی از نابرابری ها را بدست می آوریم:

هر یک از نامساوی ها را می توان بر یک عدد تقسیم کرد. بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم: . سپس سیستم فرم می گیرد

گل بازیکن آ -بردهای تضمین شده خود را به حداکثر برسانید، یعنی قیمت بازی v

با تقسیم بر برابری، متوجه می‌شویم که متغیرها شرط: . به حداکثر رساندن قیمت بازی vمعادل به حداقل رساندن مقدار است , بنابراین می توان مسئله را به صورت زیر فرموله کرد: تعیین مقادیر متغیرها , مادربه طوری که محدودیت های خطی را برآورده می کنند(*) و در حالی که تابع خطی (2*) به حداقل ممکن اعمال شود.

این یک مشکل برنامه ریزی خطی است. با حل مسئله (1*)–(2*)، جواب بهینه را بدست می آوریم و استراتژی بهینه .

برای تعیین استراتژی بهینه باید در نظر گرفت که بازیکن که دربه دنبال به حداقل رساندن سود تضمین شده، یعنی. حداکثر را پیدا کنید متغیرها نابرابری ها را ارضا می کنند

که از این واقعیت ناشی می شود که میانگین باخت یک بازیکن که درمهم نیست که بازیکن از چه استراتژی خالص استفاده می کند، از قیمت بازی تجاوز نمی کند آ.

اگر (4*) را نشان دهیم، سیستمی از نابرابری ها به دست می آید:

متغیرها شرط را برآورده می کنند.

بازی به مشکل بعدی رسید.

تعیین مقادیر متغیر ، که سیستم نابرابری ها را برآورده می کند (5*)و حداکثر کردن تابع خطی

راه حل مسئله برنامه ریزی خطی (5*)، (6*) استراتژی بهینه را تعیین می کند. در عین حال قیمت بازی. (7*)

با کامپایل ماتریس های توسعه یافته برای مسائل (1*)، (2*) و (5*)، (6*)، مطمئن می شویم که یک ماتریس از دیگری با جابجایی به دست آمده است:

بنابراین، مسائل برنامه ریزی خطی (1*)، (2*) و (5*)، (6*) متقابلا دوتایی هستند. بدیهی است که هنگام تعیین راهبردهای بهینه در مسائل خاص، باید یکی از مسائل دوگانه متقابل را انتخاب کرد که راه حل آن کمتر پر زحمت است و با استفاده از قضایای دوگانگی راه حلی برای مسئله دیگر یافت.

هنگام حل یک بازی محدود دلخواه با اندازه m×n، توصیه می شود از طرح زیر پیروی کنید:

1. استراتژی هایی را که آشکارا در مقایسه با سایر استراتژی ها بی سود هستند از ماتریس پرداخت حذف کنید. چنین استراتژی هایی برای بازیکن آ

1. موضوع و اهداف تحقیق در عملیات در اقتصاد. مفاهیم اساسی نظریه تحقیق در عملیات.

موضوع تحقیق در عملیات، سیستم‌ها یا سازمان‌های مدیریت سازمانی است که از تعداد زیادی واحد متقابل تشکیل شده‌اند که همیشه با یکدیگر همخوانی ندارند و ممکن است متضاد باشند.

هدف تحقیق در عملیات، اثبات کمی تصمیمات اتخاذ شده برای مدیریت سازمان ها است.

راه حلی که سودمندترین راه حل برای کل سازمان است، بهینه نامیده می شود و راه حلی که برای یک یا چند بخش سودمندتر باشد، غیربهینه خواهد بود.

تحقیق در عملیات علمی است که به توسعه و کاربرد عملی روش‌هایی برای بهینه‌ترین مدیریت سیستم‌های سازمانی می‌پردازد.

عملیات عبارت است از هر رویداد (سیستم اقدامات) که توسط یک طرح واحد متحد شده و هدف آن دستیابی به هدفی است.

هدف تحقیق در عملیات، توجیه کمی اولیه راه حل های بهینه است.

هر انتخاب خاصی از پارامترها که به ما بستگی دارد راه حل نامیده می شود. راه حل های بهینه راه حل هایی هستند که بر اساس ویژگی های خاص نسبت به سایرین ارجحیت دارند.

پارامترهایی که ترکیب آنها یک راه حل را تشکیل می دهد، عناصر راه حل نامیده می شود.

مجموعه راه‌حل‌های امکان‌پذیر شرایطی دارند که ثابت هستند و نمی‌توان آنها را نقض کرد.

شاخص کارایی یک معیار کمی است که به شما امکان می دهد راه حل های مختلف را از نظر کارایی مقایسه کنید.

2. مفهوم برنامه ریزی و مدیریت شبکه. مدل شبکه ای فرآیند و عناصر آن.

روش کار با نمودارهای شبکه – برنامه ریزی شبکه – بر اساس تئوری گراف است. از یونانی ترجمه شده، یک نمودار (گرافو - من می نویسم) نشان دهنده سیستمی از نقاط است، برخی از آنها با خطوط - کمان (یا لبه ها) به هم متصل می شوند. این یک مدل توپولوژیکی (ریاضی) از سیستم های تعاملی است. با استفاده از نمودارها، می توانید نه تنها مشکلات برنامه ریزی شبکه، بلکه مشکلات دیگر را نیز حل کنید. روش برنامه ریزی شبکه هنگام برنامه ریزی مجموعه ای از کارهای مرتبط به هم استفاده می شود. این به شما امکان می دهد توالی سازمانی و فناوری کار را تجسم کنید و رابطه بین آنها را برقرار کنید. علاوه بر این، امکان هماهنگی عملیات با درجات مختلف پیچیدگی و شناسایی عملیاتی که طول مدت کل کار (یعنی رویداد سازمانی) به آن بستگی دارد و همچنین تمرکز بر تکمیل به موقع هر عملیات را فراهم می کند.

اساس برنامه ریزی و مدیریت شبکه، مدل شبکه (NM) است که مجموعه ای از آثار و رویدادهای به هم پیوسته را مدل می کند که فرآیند دستیابی به یک هدف معین را منعکس می کند. می توان آن را در قالب یک نمودار یا جدول ارائه کرد.

مفاهیم اساسی مدل شبکه:

رویداد، کار، مسیر.

رویدادها نتایج یک یا چند شغل هستند. تمدید زمانی ندارند.

مسیر زنجیره ای از کارهایی است که به دنبال یکدیگر قرار می گیرند و رئوس شروع و پایان را به هم متصل می کنند.

مدت سفر با مجموع مدت زمان آثار تشکیل دهنده آن تعیین می شود.

3. ساخت و سازماندهی نمودار شبکه.

یک مدل شبکه به عنوان مدلی استفاده می‌شود که روابط فن‌آوری و سازمانی فرآیند کار ساخت و نصب را در سیستم‌های برنامه‌ریزی و مدیریت شبکه (NPS) منعکس می‌کند.

مدل شبکه یک نمایش گرافیکی از فرآیندها است که اجرای آن منجر به دستیابی به یک یا چند هدف تعیین شده می شود که نشان دهنده روابط ایجاد شده بین این فرآیندها است. نمودار شبکه یک مدل شبکه با پارامترهای زمانی محاسبه شده است.

ساختار نمودار شبکه که وابستگی متقابل فعالیت ها و رویدادها را تعیین می کند، توپولوژی آن نامیده می شود.

کار فرآیند تولیدی است که مستلزم زمان، نیروی کار و منابع مادی است که با تکمیل آن به نتایج خاصی می‌رسد.

یک وابستگی (کار ساختگی) که نیاز به زمان ندارد با یک فلش نقطه‌دار به تصویر کشیده می‌شود. کار ساختگی در نمودار شبکه ای برای نشان دادن روابط بین رویدادها و فعالیت ها استفاده می شود.

نمودار شبکه از زمان، هزینه و سایر ویژگی های کار استفاده می کند.

کار مداوم - مدت زمانی که برای تکمیل این کار در روزهای کاری یا سایر واحدهای زمانی که برای همه کارهای موجود در برنامه شبکه یکسان است، طول می کشد. مدت زمان کار می تواند یک متغیر معین (قطعی) یا یک متغیر تصادفی باشد که توسط قانون توزیع آن مشخص شده است.

هزینه کار بسته به مدت و شرایط این کار هزینه های مستقیم لازم برای تکمیل آن است.

منابع با نیاز به واحدهای فیزیکی مورد نیاز برای تکمیل یک کار مشخص مشخص می شوند.

کیفیت، قابلیت اطمینان و سایر شاخص های کار به عنوان ویژگی های اضافی کار است.

رویداد، واقعیت تکمیل یک یا چند شغل است که برای شروع یک یا چند کار بعدی لازم و کافی است. به هر رویداد شماره ای به نام کد اختصاص داده می شود. هر کار با دو رویداد تعریف می شود: یک کد رویداد شروع که با i نشان داده می شود و یک کد رویداد پایانی که با j نشان داده می شود.

رویدادهایی که کار قبلی ندارند اولیه نامیده می شوند. رویدادهایی که هیچ رویداد بعدی ندارند متناهی هستند.

1 جهت ساخت شبکه می تواند ماهیت متفاوتی داشته باشد. نمودار شبکه را می توان از رویداد اولیه به رویداد نهایی و از نهایی به اولیه و همچنین از هر یک از رویدادها به اولیه یا نهایی ساخت.

2 هنگام ساخت یک شبکه، مشکلات زیر حل می شود:

برای شروع این کار چه کار(هایی) باید تکمیل شود.

چه کاری توصیه می شود به موازات این کار انجام شود.

3 برنامه اولیه شبکه بدون در نظر گرفتن مدت زمان کاری که شبکه را تشکیل می دهد ساخته می شود.

4 شکل نمودار باید ساده و از نظر بصری قابل درک باشد.

5 فقط یک کار می تواند بین دو رویداد رخ دهد. در حین ساخت ساختمان ها و سازه ها می توان کارها را به صورت متوالی، موازی یا همزمان، برخی به صورت متوالی و برخی به موازات انجام داد که در نتیجه وابستگی های مختلفی بین تک تک آثار ایجاد می شود.

شماره گذاری (کدگذاری) رویدادها پس از اتمام ساخت شبکه، از رویداد اولیه تا رویداد نهایی انجام می شود.

4. مسیر بحرانی نمودار شبکه. ذخایر زمانی تاریخ های اولیه و دیرهنگام رویدادها و کار در برنامه شبکه.

در یک نمودار شبکه، مسیرهای متعددی بین رویدادهای شروع و پایان وجود دارد. مسیری که بیشترین مدت زمان را دارد بحرانی نامیده می شود. مسیر بحرانی کل مدت زمان فعالیت را تعیین می کند. تمام مسیرهای دیگر مدت زمان کمتری دارند و بنابراین کار انجام شده در آنها دارای ذخیره زمانی است.

مسیر بحرانی در نمودار شبکه با خطوط ضخیم یا دوتایی (فلش) نشان داده می شود.

هنگام ترسیم نمودار شبکه دو مفهوم از اهمیت ویژه ای برخوردار است:

شروع زودهنگام کار دوره ای است که قبل از آن نمی توان این کار را بدون نقض توالی فنی پذیرفته شده شروع کرد. با طولانی ترین مسیر از رویداد اولیه تا شروع این کار مشخص می شود

دیر اتمام کار آخرین مهلت تکمیل کار است که در آن کل مدت کار افزایش نمی یابد. با کوتاه ترین مسیر از یک رویداد معین تا تکمیل تمام کار تعیین می شود.

اتمام زودهنگام مهلتی است که قبل از آن نمی توان کار را تکمیل کرد. برابر است با شروع زودهنگام به اضافه مدت زمان این کار

شروع دیرهنگام - دوره ای که پس از آن نمی توان کار را بدون افزایش کل مدت زمان ساخت شروع کرد. برابر است با پایان کار منهای مدت زمان این کار.

اگر رویدادی پایان تنها یک کار باشد (یعنی فقط یک فلش به سمت آن باشد)، پایان زودهنگام این کار با شروع اولیه کار بعدی همزمان است.

ذخیره عمومی (کامل) حداکثر زمانی است که می توان بدون افزایش کل مدت کار، تکمیل یک کار معین را به تاخیر انداخت. با تفاوت بین شروع دیرهنگام و زودرس (یا پایان دیرهنگام و زودرس - که همان چیزی است) تعیین می شود.

رزرو خصوصی (رایگان) حداکثر زمانی است که اجرای یک کار معین را می توان بدون تغییر در شروع اولیه کار بعدی به تاخیر انداخت. این ذخیره تنها زمانی امکان پذیر است که رویداد شامل دو یا چند شغل (وابستگی) باشد، یعنی. دو یا چند فلش (جامد یا نقطه‌دار) به سمت آن هدایت می‌شوند. سپس تنها یکی از این کارها دارای پایان زودرس خواهد بود که مصادف با شروع اولیه کار بعدی است، اما برای بقیه اینها مقادیر متفاوتی خواهند بود. این تفاوت برای هر شغل ذخیره خصوصی آن خواهد بود.

5. برنامه نویسی پویا. اصل بهینه بودن و کنترل بلمن.

برنامه نویسی پویا یکی از قوی ترین تکنیک های بهینه سازی است. متخصصان پروفایل های مختلف با مشکلات تصمیم گیری منطقی، انتخاب بهترین گزینه ها و مدیریت بهینه سروکار دارند. در بین روش های بهینه سازی، برنامه نویسی پویا جایگاه ویژه ای را به خود اختصاص می دهد. این روش به دلیل سادگی و وضوح اصل اساسی آن - اصل بهینه بودن - بسیار جذاب است. دامنه کاربرد اصل بهینگی بسیار گسترده است؛ دامنه مسائلی که می توان آن را به کار برد هنوز به طور کامل تشریح نشده است. از همان ابتدا، برنامه نویسی پویا وسیله ای برای حل عملی مسائل بهینه سازی بوده است.

علاوه بر اصل بهینه بودن، روش اصلی تحقیق، نقش بزرگی در دستگاه برنامه نویسی پویا توسط ایده غوطه ور کردن یک مسئله بهینه سازی خاص در خانواده ای از مسائل مشابه ایفا می کند. سومین ویژگی آن که آن را از سایر روش های بهینه سازی متمایز می کند، شکل نتیجه نهایی است. استفاده از اصل بهینه بودن و اصل غوطه وری در فرآیندهای چند مرحله ای و گسسته منجر به معادلات عملکردی مکرر در مورد مقدار بهینه معیار کیفیت می شود. معادلات به دست آمده امکان نوشتن مداوم کنترل های بهینه برای مسئله اصلی را فراهم می کند. مزیت در اینجا این است که مشکل محاسبه کنترل برای کل فرآیند به تعدادی از مسائل ساده تر محاسبه کنترل برای مراحل جداگانه فرآیند تقسیم می شود.

اشکال اصلی روش، به قول بلمن، "نفرین ابعاد" است - پیچیدگی آن با افزایش ابعاد مسئله به طرز فاجعه باری افزایش می یابد.

6. مشکل توزیع وجوه بین بنگاه ها.

می توان گفت که روش ساخت کنترل بهینه با استفاده از روش برنامه نویسی پویا به دو مرحله مقدماتی و نهایی تقسیم می شود. در مرحله مقدماتی، برای هر مرحله، SOE بسته به وضعیت سیستم (به دست آمده در نتیجه مراحل قبلی)، و سود بهینه مشروط در تمام مراحل باقی مانده، از این مرحله، نیز بسته به وضعیت، تعیین می شود. . در مرحله نهایی، کنترل بهینه (بدون قید و شرط) برای هر مرحله تعیین می شود. بهینه سازی مقدماتی (شرطی) گام به گام به ترتیب معکوس انجام می شود: از آخرین مرحله تا مرحله اول. بهینه سازی نهایی (بی قید و شرط) - همچنین در مراحل، اما به ترتیب طبیعی: از مرحله اول تا آخرین. از بین دو مرحله بهینه سازی، مرحله اول به طور غیرقابل مقایسه ای مهم تر و وقت گیرتر است. پس از تکمیل مرحله اول، تکمیل مرحله دوم هیچ مشکلی ایجاد نمی کند: تنها چیزی که باقی می ماند این است که توصیه هایی را که قبلاً در مرحله اول تهیه شده است "خواندن" کنید.

7. بیان مسئله برنامه ریزی خطی.

برنامه ریزی خطی یک ابزار محبوب برای حل مشکلات اقتصادی است که با وجود یک معیار مشخص می شود (مثلاً به حداکثر رساندن درآمد حاصل از تولید از طریق انتخاب بهینه برنامه تولید یا به عنوان مثال به حداقل رساندن هزینه های حمل و نقل و غیره). مشکلات اقتصادی با محدودیت منابع (مادی و/یا مالی) مشخص می شوند. آنها در قالب یک سیستم نابرابری نوشته شده اند، گاهی اوقات به شکل برابری.

از نقطه نظر پیش بینی بازه های قیمت قابل قبول (یا حجم فروش) در چارچوب روش ناپارامتریک تعمیم یافته، استفاده از برنامه ریزی خطی به این معنی است:

ملاک MAX قیمت محصول بعدی از گروه مورد علاقه f است.

متغیرهای کنترل شده قیمت تمام محصولات از گروه f هستند.

محدودیت‌های مسئله پیش‌بینی ما با استفاده از روش ناپارامتریک تعمیم‌یافته عبارتند از:

الف) سیستمی از نابرابری ها (محدودیت های عقلانیت رفتار مصرف کننده) (نگاه کنید به 4.2. پیش بینی در چارچوب روش ناپارامتریک تعمیم یافته).

ب) نیاز به منفی نبودن متغیرهای کنترل شده (در مسئله پیش بینی ما نیاز داریم که قیمت محصولات گروه f در آخرین نقطه زمانی کمتر از 80٪ مقادیر قیمت نباشد).

ج) محدودیت بودجه در قالب برابری - شرط ثابت بودن مقدار هزینه های خرید محصولات از گروه f (مثلاً با در نظر گرفتن تورم 15٪).

8. روش گرافیکی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی.

روش گرافیکی مبتنی بر تفسیر هندسی مسئله برنامه ریزی خطی است و عمدتاً هنگام حل مسائل در فضای دو بعدی و فقط برخی از مسائل در فضای سه بعدی استفاده می شود، زیرا ساختن یک چندوجهی حل که به شکلی شکل می گیرد بسیار دشوار است. نتیجه تلاقی نیم فاصله ها. به طور کلی نمی توان یک مسئله را در فضایی با ابعاد بزرگتر از سه به صورت گرافیکی به تصویر کشید.

اجازه دهید مسئله برنامه ریزی خطی در یک فضای دو بعدی مشخص شود، یعنی محدودیت ها شامل دو متغیر هستند.

حداقل مقدار یک تابع را پیدا کنید

(2.1) Z = С1х1+С2х2

a11x1 + a22x2 b1

(2.2)a21x1 + a22x2 b2

aM1x1 + aM2x2 bM

(2.3) x1 0، x2 0

فرض کنید که سیستم (2.2) در شرایط (2.3) سازگار است و چندضلعی حل آن محدود است. هر یک از نابرابری های (2.2) و (2.3)، همانطور که در بالا ذکر شد، نیم صفحه ای را با خطوط مرزی تعریف می کند: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 = bi، (i = 1، 2، ...، n)، x1=0. ، x2=0. تابع خطی (2.1) برای مقادیر ثابت Z معادله یک خط مستقیم است: C1x1 + C2x2 = const. اجازه دهید یک چند ضلعی از راه حل ها برای سیستم محدودیت ها (2.2) و نموداری از تابع خطی (2.1) در Z = 0 بسازیم (شکل 2.1). سپس مسئله برنامه ریزی خطی مطرح شده را می توان تفسیر زیر ارائه داد. نقطه ای از چندضلعی حل را پیدا کنید که در آن خط پشتیبانی C1x1 + C2x2 = const و تابع Z به حداقل می رسد.

مقادیر Z = C1x1 + C2x2 در جهت بردار N = (C1, C2) افزایش می یابد، بنابراین خط مستقیم Z = 0 را به موازات خود در جهت بردار X حرکت می دهیم. 2.1 نتیجه می شود که خط مستقیم دو بار به یک خط مرجع در رابطه با چندضلعی حل تبدیل می شود (در نقاط A و C)، و حداقل مقدار را در نقطه A می گیرد. مختصات نقطه A (x1, x2) با حل کردن سیستم معادلات خطوط مستقیم AB و AE.

اگر چند ضلعی حل یک ناحیه چند ضلعی نامحدود باشد، دو حالت ممکن است.

حالت 1. خط C1x1 + C2x2 = const که در جهت بردار N یا مخالف آن حرکت می کند، دائماً چند ضلعی محلول را قطع می کند و در هیچ نقطه ای برای آن تکیه گاه نیست. در این حالت، تابع خطی روی چندضلعی محلول هم در بالا و هم در پایین محدود نمی شود (شکل 2.2).

مورد 2. خط مستقیم، در حال حرکت، با این وجود به یک تکیه گاه نسبت به چند ضلعی راه حل ها تبدیل می شود (شکل 2.2، a - 2.2، c). سپس، بسته به نوع منطقه، تابع خطی را می توان از بالا محدود کرد و از پایین نامحدود (شکل 2.2، a)، از پایین محدود و نامحدود از بالا (شکل 2.2، b)، یا هر دو از پایین و محدود شد. از بالا (شکل 2.2، ج).

9. روش سیمپلکس.

روش سیمپلکس اصلی ترین روش در برنامه ریزی خطی است. حل مسئله با در نظر گرفتن یکی از رئوس چند وجهی شرایط آغاز می شود. اگر راس مورد مطالعه با حداکثر (حداقل) مطابقت نداشته باشد، آنها به سمت همسایه حرکت می کنند و هنگام حل مسئله برای حداکثر مقدار تابع هدف را افزایش می دهند و هنگام حل مسئله برای حداقل آن را کاهش می دهند. بنابراین، حرکت از یک راس به راس دیگر، مقدار تابع هدف را بهبود می بخشد. از آنجایی که تعداد رئوس چند وجهی محدود است، در تعداد محدودی از مراحل تضمین می شود که مقدار بهینه را پیدا کنید یا این واقعیت را ثابت کنید که مسئله غیر قابل حل است.

این روش جهانی است و برای هر مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف قابل استفاده است. سیستم قیود در اینجا سیستمی از معادلات خطی است که در آن تعداد مجهولات از تعداد معادلات بیشتر است. اگر رتبه سیستم r باشد، می توانیم r مجهولات را انتخاب کنیم که آنها را بر حسب مجهولات باقیمانده بیان می کنیم. برای قطعیت، فرض می کنیم که اولین مجهولات متوالی X1، X2، ...، Xr انتخاب شده اند. سپس سیستم معادلات ما را می توان به صورت زیر نوشت

روش سیمپلکس مبتنی بر قضیه ای به نام قضیه بنیادی روش سیمپلکس است. در میان طرح های بهینه یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف، لزوماً یک راه حل مرجع برای سیستم محدودیت های آن وجود دارد. اگر طرح بهینه مسئله منحصر به فرد باشد، با برخی از راه حل های مرجع مطابقت دارد. تعداد محدودی از راه حل های مختلف پشتیبانی برای سیستم محدودیت ها وجود دارد. بنابراین، راه‌حلی برای مسئله به شکل متعارف می‌توان با جستجو در میان راه‌حل‌های مرجع و انتخاب یکی از آنها که مقدار F برای آن بزرگ‌ترین است، جستجو کرد. اما اولاً همه راه حل های مرجع ناشناخته هستند و نیاز به یافتن دارند و ثانیاً در مشکلات واقعی از این راه حل ها زیاد است و جستجوی مستقیم به سختی امکان پذیر است. روش سیمپلکس یک روش معین برای شمارش مستقیم راه حل های پشتیبانی است. بر اساس یک راه حل مرجع مشخص که از قبل با استفاده از الگوریتم خاصی از روش سیمپلکس پیدا شده است، ما یک راه حل مرجع جدید را محاسبه می کنیم که مقدار تابع هدف F کمتر از مقدار قبلی نیست. پس از یک سری مراحل به یک راه حل مرجع می رسیم که همان طرح بهینه است.

10. بیان مشکل حمل و نقل. روش های تعیین طرح های مرجع.

m نقطه عزیمت ("تامین کنندگان") و n نقطه مصرف ("مصرف کنندگان") برخی از محصولات یکسان وجود دارد. برای هر مورد موارد زیر تعریف شده است:

ai - حجم تولید تامین کننده i-ام، i = 1، …، m.

vj - تقاضای jمین مصرف کننده، j= 1,…,n;

сij هزینه انتقال یک واحد محصول از نقطه Ai، تامین‌کننده i، به نقطه Bj، مصرف‌کننده j است.

برای وضوح، ارائه داده ها در قالب یک جدول راحت است که به آن جدول هزینه های حمل و نقل می گویند.

یافتن یک طرح حمل و نقل ضروری است که در آن تقاضای همه مصرف کنندگان به طور کامل برآورده شود، در حالی که منابع کافی از تامین کنندگان وجود داشته باشد و کل هزینه های حمل و نقل حداقل باشد.

برنامه حمل و نقل به حجم حمل و نقل اشاره دارد، یعنی. مقدار کالایی که باید از تامین کننده i به مصرف کننده j حمل شود. برای ساخت یک مدل ریاضی از مسئله، باید m·n متغیر xij, i= 1,..., n, j= 1,..., m را وارد کرد، هر متغیر xij حجم حمل و نقل از نقطه را نشان می دهد. Ai به نقطه Bj. مجموعه متغیرهای X = (xij) طرحی خواهد بود که باید بر اساس فرمول بندی مسئله پیدا شود.

این یک شرط برای حل مشکلات حمل و نقل بسته و باز (CTZ) است.

بدیهی است که برای حل مسئله 1، لازم است که کل تقاضا از حجم تولید از تامین کنندگان تجاوز نکند:

اگر این نابرابری کاملاً برآورده شود، آنگاه مسئله را «باز» یا «نامتوازن» می‌نامند، اما اگر، مشکل حمل‌ونقل «بسته» نامیده می‌شود و شکل (2) خواهد داشت:

وضعیت تعادل

این یک شرط برای حل مشکلات حمل و نقل بسته (CTP) است.

11. الگوریتم حل مسئله حمل و نقل.

استفاده از الگوریتم مستلزم رعایت تعدادی پیش نیاز است:

1. هزینه حمل یک واحد محصول از هر نقطه تولید به هر مقصد باید مشخص باشد.

2. موجودی محصولات در هر نقطه تولید باید مشخص باشد.

3. الزامات محصول در هر نقطه مصرف باید مشخص باشد.

4. عرضه کل باید برابر با کل تقاضا باشد.

الگوریتم حل مسئله حمل و نقل شامل چهار مرحله است:

مرحله اول: داده ها را در قالب یک جدول استاندارد ارائه کنید و هر گونه تخصیص منابع عملی را پیدا کنید. قابل قبول، توزیع منابعی است که به شما امکان می دهد تمام تقاضاها را در مقصد برآورده کنید و کل موجودی محصولات را از نقاط تولید حذف کنید.

مرحله 2. بررسی تخصیص منابع حاصل از بهینه بودن

مرحله 3. اگر تخصیص منابع بهینه نباشد، منابع دوباره توزیع می شوند و هزینه حمل و نقل کاهش می یابد.

مرحله 4. بررسی مجدد بهینه بودن تخصیص منابع حاصل.

این فرآیند تکراری تا زمانی که جواب بهینه به دست آید تکرار می شود.

12. مدل های مدیریت موجودی.

علیرغم این واقعیت که هر مدل مدیریت موجودی برای پاسخ به دو سوال اصلی (چه زمانی و چقدر) طراحی شده است، تعداد قابل توجهی مدل وجود دارد که در ساخت آنها از ابزارهای ریاضی مختلفی استفاده می شود.

این وضعیت با تفاوت در شرایط اولیه توضیح داده می شود. مبنای اصلی طبقه بندی مدل های مدیریت موجودی، ماهیت تقاضا برای محصولات ذخیره شده است (به یاد بیاورید که از نقطه نظر درجه بندی کلی تر، ما اکنون فقط مواردی را با تقاضای مستقل در نظر می گیریم).

بنابراین، بسته به ماهیت تقاضا، مدل های مدیریت موجودی می تواند باشد

قطعی؛

احتمالی

به نوبه خود، تقاضای قطعی می تواند ایستا باشد، زمانی که شدت مصرف در طول زمان تغییر نمی کند، یا پویا، زمانی که تقاضای قابل اعتماد می تواند در طول زمان تغییر کند.

تقاضای احتمالی می تواند ثابت باشد، زمانی که تابع چگالی احتمال تقاضا در طول زمان تغییر نمی کند، و غیر ثابت، که در آن تابع چگالی احتمال بسته به زمان تغییر می کند. طبقه بندی فوق با شکل نشان داده شده است.

ساده ترین مورد، مورد تقاضای ثابت قطعی برای محصولات است. با این حال، این نوع مصرف در عمل بسیار نادر است. پیچیده ترین مدل ها مدل های نوع غیر ثابت هستند.

علاوه بر ماهیت تقاضا برای محصولات، هنگام ساخت مدل های مدیریت موجودی، بسیاری از عوامل دیگر نیز باید در نظر گرفته شوند، به عنوان مثال:

مهلت های انجام سفارش مدت دوره تدارکات می تواند ثابت یا یک متغیر تصادفی باشد.

فرآیند پر کردن موجودی می تواند آنی یا در طول زمان توزیع شود.

وجود محدودیت در سرمایه در گردش، فضای انبار و غیره.

13. سیستم های صف (QS) و شاخص های اثربخشی آنها.

سیستم های صف (QS) سیستم هایی از نوع خاصی هستند که اجرای مکرر وظایف مشابه را اجرا می کنند. چنین سیستم هایی در بسیاری از زمینه های اقتصاد، مالی، تولید و زندگی روزمره نقش مهمی دارند. به عنوان نمونه هایی از QS در مالی و اقتصادی؛ در این حوزه می توان به بانک ها در انواع مختلف (تجاری، سرمایه گذاری، وام مسکن، نوآورانه، پس انداز)، سازمان های بیمه، شرکت های سهامی دولتی، شرکت ها، بنگاه ها، انجمن ها، تعاونی ها، بازرسی های مالیاتی، خدمات حسابرسی، سیستم های ارتباطی مختلف (از جمله) اشاره کرد. صرافی های تلفن)، مجتمع های بارگیری و تخلیه ( بنادر، ایستگاه های باربری)، پمپ بنزین ها، شرکت های مختلف و سازمان های خدماتی (فروشگاه ها، میزهای اطلاعات، آرایشگاه ها، دفاتر فروش بلیط، صرافی ها، تعمیرگاه ها، بیمارستان ها). سامانه‌هایی مانند شبکه‌های رایانه‌ای، سامانه‌های جمع‌آوری، ذخیره و پردازش اطلاعات، سامانه‌های حمل‌ونقل، مناطق تولید خودکار، خطوط تولید، سامانه‌های مختلف نظامی به‌ویژه سامانه‌های دفاع هوایی یا موشکی را نیز می‌توان نوعی QS در نظر گرفت.

هر QS در ساختار خود تعداد معینی دستگاه سرویس دهی را شامل می شود که به آنها کانال های سرویس (دستگاه ها، خطوط) می گویند. نقش کانال ها را می توان توسط دستگاه های مختلف، افرادی که عملیات خاصی را انجام می دهند (صندوق، اپراتور، آرایشگاه، فروشندگان)، خطوط ارتباطی، اتومبیل ها، جرثقیل ها، خدمه تعمیر، خطوط راه آهن، پمپ بنزین ها و غیره بازی کرد.

سیستم های نوبت دهی می توانند تک کاناله یا چند کاناله باشند.

هر QS برای سرویس دهی (برآوردن) جریان خاصی از برنامه ها (نیازمندی ها) طراحی شده است که به ورودی سیستم می رسند، اغلب نه به طور منظم، بلکه در زمان های تصادفی. سرویس برنامه‌ها، در این مورد، همچنین یک زمان ثابت و از پیش معلوم طول نمی‌کشد، بلکه یک زمان تصادفی طول می‌کشد که به دلایل تصادفی زیادی بستگی دارد که گاهی برای ما ناشناخته است. پس از انجام سرویس درخواست، کانال آزاد شده و آماده دریافت درخواست بعدی می باشد. ماهیت تصادفی جریان درخواست‌ها و زمان سرویس دهی آنها منجر به بار نابرابر QS می‌شود: در زمان‌های دیگر، برنامه‌های کاربردی سرویس‌نشده ممکن است در ورودی QS جمع شوند که منجر به اضافه بار QS می‌شود و گاهی اوقات کانال‌های رایگان در ورودی QS وجود دارد، هیچ برنامه‌ای وجود نخواهد داشت، که منجر به کم‌بارگیری QS می‌شود، به عنوان مثال. به بیکاری کانال هایش برنامه هایی که در ورودی QS جمع می شوند یا به صف "پیوستن" می شوند یا به دلیل عدم امکان ماندن بیشتر در صف، QS را بدون سرویس رها می کنند.

شاخص های اثربخشی عملکرد جفت "CMO - مصرف کننده"، که در آن مصرف کننده به عنوان کل مجموعه برنامه ها یا برخی از منابع آنها درک می شود (به عنوان مثال، متوسط ​​درآمد حاصل از CMO در واحد زمان و غیره). ). این گروه از شاخص ها در مواردی مفید است که برخی از درآمدهای دریافتی از برنامه های کاربردی سرویس و هزینه های سرویس در همان واحدها اندازه گیری می شود. این شاخص‌ها معمولاً ماهیت بسیار خاصی دارند و با توجه به ویژگی‌های QS، درخواست‌های ارائه‌شده و رشته خدمات تعیین می‌شوند.

14. معادلات دینامیک برای حالت های احتمالی (معادلات کلموگروف). محدود کردن احتمالات حالت ها

با تمایز رسمی معادله کولموگروف-چپمن با توجه به s در s = 0، معادله مستقیم کولموگروف را به دست می آوریم:

با تفکیک رسمی معادله کولموگروف-چپمن با توجه به t در t = 0، معادله کلموگروف معکوس را به دست می آوریم.

باید تاکید کرد که برای فضاهای بینهایت بعدی عملگر دیگر لزوماً پیوسته نیست و ممکن است در همه جا تعریف نشود، مثلاً عملگر دیفرانسیل در فضای توزیع ها باشد.

اگر تعداد حالت های سیستم S محدود باشد و به نظر می رسد که بتوان از هر حالت (در تعداد مراحل معینی) به حالت دیگری حرکت کرد، در این صورت احتمالات محدود کننده حالت ها وجود دارد و همچنین به حالت اولیه بستگی ندارد. از سیستم

در شکل نموداری از حالات و انتقال‌ها را نشان می‌دهد که شرایط اعلام شده را برآورده می‌کنند: از هر حالتی، سیستم دیر یا زود می‌تواند به هر حالت دیگری منتقل شود. وقتی جهت فلش 4-3 در نمودار شکل تغییر می کند، شرط برآورده نمی شود، بلکه برعکس است.

فرض می کنیم که شرط بیان شده برآورده شده است، و بنابراین، احتمالات محدود کننده وجود دارد:

احتمالات محدود کننده با حروفی مشابه با احتمالات حالت ها مشخص می شوند، در حالی که آنها به معنای اعداد هستند، نه متغیرها (توابع زمان).

واضح است که احتمالات محدود کننده حالت ها باید با وحدت جمع شود: در نتیجه، در سیستم یک رژیم ثابت محدود کننده مشخص برقرار می شود: حتی اگر سیستم به طور تصادفی حالات خود را تغییر دهد، اما احتمال هر یک از این حالت ها نمی تواند باشد. به زمان بستگی دارد و هر یک از آنها با احتمال ثابتی رخ می دهند که میانگین زمان نسبی باقی ماندن سیستم در این حالت است.

15. روند مرگ و تولید مثل.

اجازه دهید فرآیند مارکوف مرگ و بازتولید با زمان پیوسته را فرآیندی بنامیم که فقط می‌تواند مقادیر صحیح غیر منفی به خود بگیرد. تغییرات در این فرآیند می تواند در هر نقطه از زمان t رخ دهد، در حالی که در هر نقطه از زمان می تواند یک افزایش یابد یا بدون تغییر باقی بماند.

جریان های تولید مثل λi(t) جریان های پواسون نامیده می شوند که منجر به افزایش تابع X(t) می شود. بر این اساس، μi(t) جریان های مرگ است که منجر به کاهش تابع X(t) می شود.

بیایید معادله کولموگروف را از نمودار بسازیم:

اگر جریان حالت محدود باشد:

سیستم معادلات کلموگروف برای فرآیند مرگ و تولید مثل با تعداد محدودی از حالت ها به شکل زیر است:

فرآیند تولید مثل خالص، فرآیندی از مرگ و تولیدمثل است که در آن شدت تمام جریان های مرگ برابر با صفر است.

فرآیند مرگ محض، فرآیندی از مرگ و تولیدمثل است که در آن شدت تمام جریان های تولید مثل برابر با صفر است.

16. سیستم های صف با خرابی.

ساده ترین مسائلی که در چارچوب تئوری صف مورد بررسی قرار می گیرد، مدل QS تک کاناله با خرابی یا تلفات است.

لازم به ذکر است که در این مورد تعداد کانال ها 1 () می باشد. این کانال یک جریان پواسون از درخواست ها را دریافت می کند که شدت آن برابر است. زمان بر شدت تأثیر می گذارد:

اگر برنامه ای وارد کانالی شود که در حال حاضر رایگان نیست، رد می شود و دیگر در سیستم لیست نمی شود. سرویس برنامه ها در یک زمان تصادفی انجام می شود که توزیع آن مطابق با قانون نمایی با پارامتر:

17. سیستم های نوبت دهی با انتظار.

درخواست دریافت شده در زمانی که کانال مشغول است در صف قرار می گیرد و در انتظار سرویس است.

سیستم با طول صف محدود. اجازه دهید ابتدا فرض کنیم که تعداد مکان‌های صف با m محدود می‌شود، یعنی اگر برنامه‌ای در زمانی وارد شود که از قبل m برنامه در صف وجود داشته باشد، سیستم را بدون سرویس رها می‌کند. در آینده با هدایت m به بی نهایت، ویژگی های یک QS تک کاناله را بدون محدودیت در طول صف به دست خواهیم آورد.

ما وضعیت های QS را با توجه به تعداد برنامه های موجود در سیستم (هم در حال سرویس و هم در انتظار سرویس) شماره گذاری می کنیم:

- کانال رایگان است

- کانال شلوغ است، هیچ صفی وجود ندارد.

- کانال مشغول است، یک درخواست در صف است.

—کانال مشغول است، k - 1 درخواست در صف است.

- کانال شلوغ است، هزاران برنامه در صف هستند.

18. روش های تصمیم گیری در شرایط تعارض. بازی های ماتریسی بازی های استراتژی خالص و ترکیبی.

یک بازی ماتریسی یک بازی مجموع صفر محدود دو بازیکن است که در آن سود بازیکن 1 به صورت ماتریس مشخص می شود (ردیف ماتریس مربوط به تعداد استراتژی اعمال شده بازیکن 2 است، ستون - تعداد استراتژی اعمال شده بازیکن 2؛ در محل تلاقی سطر و ستون ماتریس، پرداخت بازیکن 1، متناسب با استراتژی های اعمال شده است).

برای بازی های ماتریسی ثابت شده است که هر کدام راه حلی دارند و با تقلیل بازی به مسئله برنامه نویسی خطی به راحتی می توان آن را پیدا کرد.

یک بازی ماتریس مجموع صفر دو نفره را می توان به عنوان بازی انتزاعی دو نفره زیر در نظر گرفت.

بازیکن اول m استراتژی دارد i = 1,2,...,m, بازیکن دوم دارای n استراتژی j = 1,2,...,n. هر جفت استراتژی (i,j) با یک عدد aij همراه است که نشان دهنده سود بازیکن 1 به قیمت بازیکن 2 در صورتی که اولین بازیکن استراتژی i-ام خود را بپذیرد و 2 - استراتژی j-ام خود را بپذیرد.

هر بازیکن یک حرکت انجام می دهد: بازیکن 1 استراتژی i-ام خود را انتخاب می کند (i=)، 2 - استراتژی j-ام خود (j=) ، پس از آن بازیکن 1 پرداخت aij را به قیمت بازیکن 2 دریافت می کند (اگر aij)

هر استراتژی بازیکن i=; j = اغلب یک استراتژی خالص نامیده می شود.

تعریف. استراتژی ترکیبی یک بازیکن مجموعه کاملی از احتمالات استفاده از استراتژی های خالص او است.

بنابراین، اگر بازیکن 1 دارای m استراتژی خالص 1،2،...،m باشد، استراتژی مختلط x او مجموعه ای از اعداد x = (x1،...، xm) است که روابط را برآورده می کند.

xi³ 0 (i= 1,m)، =1.

به طور مشابه، برای بازیکن 2 که n استراتژی خالص دارد، استراتژی مختلط y مجموعه اعداد است.

y = (y1، ...، yn)، yj ³ 0، (j = 1،n)، = 1.

از آنجایی که هر بار یک بازیکن از یک استراتژی خالص استفاده می کند، استفاده از استراتژی دیگر را حذف می کند، استراتژی های خالص رویدادهای ناسازگاری هستند. علاوه بر این، آنها تنها رویدادهای ممکن هستند.

استراتژی خالص یک مورد خاص از استراتژی ترکیبی است. در واقع، اگر در یک استراتژی مختلط هر یکمین استراتژی خالص با احتمال 1 اعمال شود، آنگاه همه استراتژی های خالص دیگر اعمال نمی شوند. و این استراتژی خالص یکم یک مورد خاص از یک استراتژی ترکیبی است. برای حفظ رازداری، هر بازیکن بدون توجه به انتخاب های بازیکن دیگر، استراتژی های خود را اعمال می کند.

19. روش هندسی برای حل بازی ماتریسی.

راه حل بازی های اندازه 2xn یا nx2 امکان تفسیر هندسی واضح را فراهم می کند. چنین بازی هایی را می توان به صورت گرافیکی حل کرد.

در صفحه XY در امتداد محور آبسیسا یک قطعه A1A2 را رسم می کنیم (شکل 5.1). اجازه دهید به هر نقطه از بخش مقداری استراتژی ترکیبی U = (u1, u2) اختصاص دهیم. علاوه بر این، فاصله از یک نقطه میانی U تا انتهای سمت راست این بخش، احتمال u1 انتخاب استراتژی A1 است، فاصله تا انتهای چپ، احتمال u2 انتخاب استراتژی A2 است. نقطه A1 مربوط به استراتژی خالص A1 است، نقطه A2 مربوط به استراتژی خالص A2 است.

در نقاط A1 و A2 عمودها را بازیابی می کنیم و برد بازیکنان را روی آنها قرار می دهیم. در عمود اول (مصادف با محور OY) ما سود بازیکن A را هنگام استفاده از استراتژی A1 نشان می دهیم، در دوم - هنگام استفاده از استراتژی A2. اگر بازیکن A از استراتژی A1 استفاده کند، سود او با استراتژی B1 بازیکن B برابر با 2 و با استراتژی B2 برابر با 5 است. اعداد 2 و 5 در محور OY با نقاط B1 و B2 مطابقت دارند. به همین ترتیب، بر روی عمود دوم نقاط B"1 و B"2 (افزایش 6 و 4) را پیدا می کنیم.

با اتصال نقاط B1 و B"1، B2 و B"2، دو خط مستقیم به دست می‌آوریم که فاصله آن تا محور OX، میانگین سود را برای هر ترکیبی از استراتژی‌های متناظر تعیین می‌کند.

به عنوان مثال، فاصله از هر نقطه در بخش B1B"1 تا محور OX، میانگین بازده بازیکن A را برای هر ترکیبی از استراتژی های A1 و A2 (با احتمالات u1 و u2) و استراتژی B1 بازیکن B تعیین می کند.

مختصات نقاط متعلق به خط شکسته B1MB"2 حداقل بازده بازیکن A را در هنگام استفاده از استراتژی های ترکیبی تعیین می کند. این حداقل مقدار در نقطه M بزرگترین است، بنابراین، این نقطه با استراتژی بهینه U* = ( ،)، و ترتیب آن برابر با هزینه بازی v است.

مختصات نقطه M را مختصات نقطه تقاطع خطوط B1B"1 و B2B"2 می یابیم.

برای این کار باید معادلات خطوط را بدانید. شما می توانید چنین معادلاتی را با استفاده از فرمول معادله خطی که از دو نقطه عبور می کند ایجاد کنید:

بیایید برای مسئله خود معادلات خط مستقیم ایجاد کنیم.

خط B1B"1: = یا y = 4x + 2.

مستقیم B2B"2: = یا y = -x + 5.

ما سیستم را دریافت می کنیم: y = 4x + 2،

بیایید آن را حل کنیم: 4x + 2 = -x + 5،

x = 3/5، y = -3/5 + 5 = 22/5.

بنابراین، U = (2/5، 3/5)، v = 22/5.

20. بازی های دو ماتریسی.

بازی دوماتریکسی یک بازی محدود از دو بازیکن با مجموع غیر صفر است که در آن سود هر بازیکن توسط ماتریس‌هایی جداگانه برای بازیکن مربوطه مشخص می‌شود (در هر ماتریس، یک ردیف با استراتژی بازیکن ۱، یک ستون مطابقت دارد. مطابق با استراتژی بازیکن 2 است، در تقاطع سطر و ستون در ماتریس اول، بازده بازیکن 1 است، در ماتریس دوم - پرداخت بازیکن 2.)

تئوری رفتار بهینه بازیکن نیز برای بازی‌های دوماتریکسی ایجاد شده است، اما حل چنین بازی‌هایی از بازی‌های ماتریسی معمولی دشوارتر است.

21. بازی های آماری. اصول و معیارهای تصمیم گیری در شرایط عدم قطعیت کامل و جزئی.

در تحقیقات عملیاتی، تشخیص سه نوع عدم قطعیت رایج است:

عدم قطعیت اهداف؛

عدم قطعیت دانش ما در مورد محیط زیست و عوامل موثر در این پدیده (عدم قطعیت طبیعت)؛

عدم اطمینان از اقدامات یک شریک یا دشمن فعال یا منفعل.

در طبقه بندی فوق، نوع عدم قطعیت از دیدگاه یکی از عناصر مدل ریاضی در نظر گرفته شده است. به عنوان مثال، عدم قطعیت اهداف هنگام تعیین یک کار در انتخاب معیارهای فردی یا کل بردار اثر سودمند منعکس می شود.

از سوی دیگر، دو نوع عدم قطعیت دیگر عمدتاً بر فرمول بندی تابع هدف معادلات محدودیت و روش تصمیم گیری تأثیر می گذارند. البته، گزاره فوق کاملاً مشروط است، همانطور که در واقع هر طبقه بندی نیز چنین است. ما آن را تنها با هدف برجسته کردن برخی از ویژگی‌های دیگر عدم قطعیت‌ها ارائه می‌کنیم که باید در فرآیند تصمیم‌گیری در نظر گرفته شوند.

نکته این است که علاوه بر طبقه بندی عدم قطعیت ها که در بالا مورد بحث قرار گرفت، لازم است نوع (یا "جنس") آنها را از نقطه نظر ارتباط آنها با تصادفی در نظر گرفت.

بر این اساس، می توان عدم قطعیت تصادفی (احتمالی) را تشخیص داد، زمانی که عوامل ناشناخته از نظر آماری پایدار هستند و بنابراین اشیاء معمولی نظریه احتمال - متغیرهای تصادفی (یا توابع تصادفی، رویدادها و غیره) را نشان می دهند. در این حالت، تمام مشخصات آماری لازم (قوانین توزیع و پارامترهای آنها) باید هنگام تنظیم مشکل شناخته یا تعیین شود.

نمونه ای از این وظایف می تواند به ویژه سیستم نگهداری و تعمیر هر نوع تجهیزات، سیستم سازماندهی نازک شدن ها و غیره باشد.

مورد شدید دیگر ممکن است عدم قطعیت از نوع غیر تصادفی (به قول E.S. Ventzel - "عدم قطعیت بد")، که در آن هیچ فرضی در مورد ثبات تصادفی وجود ندارد. در نهایت، زمانی که تصمیمی بر اساس برخی فرضیه‌ها در مورد قوانین توزیع متغیرهای تصادفی گرفته می‌شود، می‌توان در مورد نوع میانی عدم قطعیت صحبت کرد. در عین حال، تصمیم گیرنده باید خطر عدم تطابق بین نتایج خود و شرایط واقعی را در نظر داشته باشد. این خطر عدم تطابق با استفاده از ضرایب ریسک رسمیت می یابد.

تصمیم گیری در شرایط ریسک می تواند بر اساس یکی از معیارهای زیر باشد:

معیار ارزش مورد انتظار;

ترکیبی از ارزش مورد انتظار و واریانس؛

سطح حد شناخته شده؛

محتمل ترین رویداد در آینده

عملهر رویداد (سیستم اقدامات) که توسط یک برنامه واحد متحد شده و با هدف دستیابی به یک هدف مشخص باشد نامیده می شود. همیشه یک عملیات وجود دارد کنترل می شودرویداد، یعنی می توان تصمیم گرفت که چگونه پارامترهای خاصی را که سازمان آن را مشخص می کند انتخاب کرد. این پارامترها نامیده می شوند متغیرهای کنترل.

هر انتخاب خاصی از چنین متغیرهایی نامیده می شود تصمیم گیریتصمیمات می توانند موفق و ناموفق، معقول و غیر منطقی باشند. بهینهراه حل هایی را نام ببرید که بر اساس برخی معیارها بر سایرین ارجحیت دارند.

هدف تحقیق در عملیات، توجیه کمی اولیه راه حل های بهینه است که ممکن است بیش از یک مورد وجود داشته باشد. انتخاب نهایی تصمیم فراتر از محدوده تحقیقات عملیاتی است و با استفاده از نظریه تصمیم گیری به اصطلاح انجام می شود.

هر وظیفه تحقیق در عملیات دارای شرایط اولیه "انضباط" است، به عنوان مثال. چنین داده های اولیه ای که از همان ابتدا ثابت هستند و نمی توان آنها را نقض کرد. در مجموع، آنها مجموعه ای از راه حل های ممکن را تشکیل می دهند.

برای مقایسه راه حل های مختلف از نظر اثربخشی، باید یک معیار کمی به نام داشته باشید شاخص عملکرد(یا تابع هدف). این نشانگر برای منعکس کننده جهت گیری هدف عملیات انتخاب شده است.

اغلب این عملیات با عمل عوامل تصادفی همراه است. سپس، به عنوان شاخص کارایی، نه خود مقداری که فرد می‌خواهد بهینه‌سازی کند، بلکه مقدار متوسط ​​آن (یا انتظارات ریاضی) در نظر گرفته می‌شود.

گاهی یک عملیات همراه با عوامل تصادفی چنین هدفی را دنبال می کند آ، که می تواند به طور کامل به دست آید یا اصلاً به دست نیاید (مانند "بله-نه"). سپس احتمال دستیابی به این هدف به عنوان شاخص کارایی انتخاب می شود پ(آ). (اگر پ(آ) = 0 یا 1، سپس به مسئله "جعبه سیاه" می رسیم که در سایبرنتیک شناخته شده است.)

انتخاب شاخص عملکرد اشتباه بسیار خطرناک است. عملیات سازماندهی شده بر اساس یک معیار ناموفق انتخاب شده می تواند منجر به هزینه ها و زیان های غیرقابل توجیه شود. (به عنوان مثال، «شفت» به عنوان معیار اصلی برای ارزیابی فعالیت اقتصادی یک بنگاه اقتصادی است.)

1.3. بیان کلی مسئله تحقیق در عملیات

مسائل تحقیق در عملیات به دو دسته تقسیم می شوند: الف) جلو و ب) عقب.

وظایف مستقیمبه این سوال پاسخ دهید: شاخص کارایی با چه چیزی برابر خواهد بود؟ ز، اگر تحت شرایط معین باشد y  Yتصمیمی گرفته خواهد شد ایکس  ایکس. برای حل چنین مشکلی، یک مدل ریاضی ساخته شده است که به فرد امکان می دهد شاخص کارایی را از طریق شرایط داده شده و یک راه حل بیان کند، یعنی:

جایی که
عوامل مشخص شده (داده های اولیه)،

متغیرهای کنترل (تصمیم)،

ز- نشانگر کارایی (عملکرد هدف)،

اف- وابستگی عملکردی بین متغیرها

این وابستگی در مدل های مختلف به صورت متفاوتی بیان می شود. وابستگی بین و معمولاً در قالب محدودیت هایی بیان می شود

اگر نوع وابستگی افشناخته شده است، سپس نشانگر زبا جایگزینی مستقیم یافت می شود و به این عملکرد

مشکلات معکوسبه این سوال پاسخ دهید: چگونه در این شرایط راه حلی را انتخاب کنید
به طوری که شاخص عملکرد زبه حداکثر (حداقل) تبدیل شده است. این مسئله را مسئله بهینه سازی راه حل می نامند.

بگذارید مشکل مستقیم حل شود، یعنی. مدل عملیات مشخص شده و نوع وابستگی مشخص شده است افمعروف سپس مسئله معکوس (یعنی مسئله بهینه سازی) را می توان به صورت زیر فرموله کرد.

نیاز به پیدا کردنچنین تصمیمی
که در آن شاخص کارایی ز = انتخاب کردن:

این فرمول به این صورت است: زیک مقدار بهینه وجود دارد
تمام راه حل های موجود در مجموعه راه حل های ممکن را در اختیار گرفته است ایکس.

روش برای یافتن حداکثر شاخص کارایی زو راه حل بهینه مرتبط همیشه باید بر اساس ویژگی های تابع انتخاب شود افو نوع محدودیت های اعمال شده بر راه حل. (به عنوان مثال، یک مسئله برنامه ریزی خطی کلاسیک.)

مسئله تحقیق در عملیات

مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………….

1. مفاهیم و تعاریف اساسی تحقیق در عملیات……..……..5

2. بیان کلی مسئله تحقیق در عملیات…………..……………6

نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ادبیات……………………………………………………………………………….14

معرفی

تحقیق در عملیات -یک رشته علمی که با توسعه و کاربرد عملی روش‌ها برای مؤثرترین مدیریت سیستم‌های مختلف سازمانی سروکار دارد.

مدیریت هر سیستمی به عنوان فرآیندی اجرا می شود که از قوانین خاصی تبعیت می کند. دانش آنها به تعیین شرایط لازم و کافی برای اجرای این فرآیند کمک می کند. برای انجام این کار، تمام پارامترهای مشخص کننده فرآیند و شرایط خارجی باید کمی و اندازه گیری شوند. بنابراین هدف تحقیق در عملیات توجیه کمی برای تصمیمات اتخاذ شده در مورد سازمان مدیریت

هنگام حل یک مشکل مدیریتی خاص، استفاده از روش های تحقیق در عملیات شامل موارد زیر است:

ساخت مدل های اقتصادی و ریاضی برای مسائل تصمیم گیری در شرایط پیچیده یا در شرایط عدم قطعیت.

مطالعه روابطی که متعاقباً تصمیم‌گیری را تعیین می‌کند و معیارهای عملکردی را ایجاد می‌کند که امکان ارزیابی مزیت یک دوره عمل خاص را فراهم می‌کند.

نمونه هایی از وظایف تحقیق در عملیات که منعکس کننده ویژگی آن است شامل وظایف زیر است.

وظیفه 1. برای اطمینان از کیفیت بالای محصولات تولیدی، یک سیستم کنترل نمونه برداری در کارخانه سازماندهی شده است. برای اطمینان از کیفیت مورد نیاز با حداقل هزینه، لازم است چنین اشکالی از سازمان خود را انتخاب کنید - به عنوان مثال، تعیین اندازه های کنترل، نشان دادن توالی عملیات کنترل، تعیین قوانین برای رد کردن.

وظیفه 2. برای فروش یک دسته خاص از کالاهای فصلی، شبکه ای از فروشگاه های خرده فروشی موقت ایجاد می شود. لازم است پارامترهای شبکه - تعداد نقاط، مکان آنها، تعداد پرسنل - را انتخاب کنید تا از حداکثر بازده اقتصادی فروش اطمینان حاصل شود.

وظیفه 3. در یک تاریخ معین، لازم است یک معاینه پزشکی جمعی از گروهی از جمعیت به منظور شناسایی بیماری های خاص انجام شود. مواد، تجهیزات و پرسنل برای معاینه اختصاص داده شده است. ایجاد چنین طرح معاینه ای ضروری است - تعیین تعداد پست های پزشکی، محل آنها، نوع و تعداد آزمایش ها، به منظور شناسایی بیشترین درصد ممکن از بیماران.

همچنین لازم است به مشکلاتی در مورد استفاده از منابع، در مورد مخلوط ها، در مورد استفاده از ظرفیت ها، در مورد مواد برش، یک مشکل حمل و نقل و غیره توجه شود که در مواردی باید راه حلی برای آنها یافت. معیار عملکرد(به عنوان مثال، سود، درآمد، هزینه منابع و غیره) یک مقدار حداکثر یا حداقل را می گیرد.

وظایف داده شده به حوزه های مختلف تمرین مربوط می شود، اما ویژگی های مشترکی دارند: در هر مورد ما در مورد برخی صحبت می کنیم رویداد کنترل شده (عملیات)،دنبال کردن یک معین هدف.در کار 1 - این سازماندهی کنترل نمونه به منظور اطمینان از کیفیت محصولات است. در وظیفه 2 - سازماندهی مراکز خرده فروشی موقت به منظور برگزاری فروش فصلی. در کار 3 - معاینه پزشکی انبوه برای تعیین درصد موارد.

هر کار حاوی مقداری است شرایطبرگزاری این رویداد که در چارچوب آن ضروری است راه حل -به گونه ای که این رویداد سودی به همراه دارد. شرایط انجام عملیات در هر کار ابزاری است که در اختیار ما، زمان، تجهیزات، فناوری است و راه حل در کار 1 انتخاب شکل کنترل است - اندازه تعداد کنترل، قوانین رد. در کار 2 - در انتخاب تعداد نقاط قرارگیری و تعداد پرسنل. در کار 3 - در انتخاب تعداد پست های پزشکی، نوع و تعداد آزمایشات.

1. مفاهیم و تعاریف اساسی تحقیق در عملیات

عمل- هر رویداد کنترل شده با هدف دستیابی به یک هدف. نتیجه عملیات بستگی به روش اجرای آن، سازماندهی، در غیر این صورت - به انتخاب پارامترهای خاص دارد.

هر انتخاب خاصی از پارامترها نامیده می شود تصمیم گیری

بهینهراه حل هایی را در نظر بگیرید که به هر دلیلی بر دیگران ارجحیت دارند. از همین رو وظیفه اصلی تحقیق عملیات کمی مقدماتی است توجیه راه حل های بهینه

تبصره 1. باید به بیان مشکل توجه شود: تصمیم گیریفراتر از محدوده تحقیقات عملیاتی است و مسئولیت آن بر عهده شخص مسئول یا گروهی از افراد است که ممکن است ملاحظاتی غیر از مواردی که از نظر ریاضی توجیه می شوند را در نظر بگیرند.

تبصره 2. اگر در برخی از مسائل تحقیق در عملیات راه حل بهینه راه حلی است که در آن معیارهای کارایی اتخاذ شود

حداکثر یا حداقل مقدار، سپس در کارهای دیگر این اصلا ضروری نیست. بنابراین، در کار 2، تعداد بهینه خرده فروشی ها و پرسنل موجود در آنها را می توان به گونه ای در نظر گرفت که میانگین زمان خدمات مشتری به عنوان مثال از 5 دقیقه تجاوز نکند و طول صف به طور متوسط ​​در هر زمانی بیشتر نباشد. از 3 نفر

برای به کارگیری روش های تحقیق کمی، لازم است که ساخت مدل ریاضی عملیاتهنگام ساخت یک مدل، عملیات، به عنوان یک قاعده، ساده، طرحواره می شود، و طرح عملیات با استفاده از یک یا دستگاه ریاضی دیگر توصیف می شود.

مدل عملیات -این یک توصیف نسبتا دقیق از عملیات با استفاده از دستگاه ریاضی (انواع مختلف توابع، معادلات، سیستم های معادلات و نابرابری ها، و غیره) است. ترسیم یک مدل از یک عملیات مستلزم درک ماهیت پدیده توصیف شده و دانش دستگاه ریاضی است.

بهره وری عملیات -میزان سازگاری آن با کار به صورت کمی در قالب یک معیار کارایی - تابع هدف بیان می شود. به عنوان مثال، در مسئله استفاده از منابع، معیار کارایی، سود حاصل از فروش محصولات تولیدی است که باید حداکثر شود؛ در مسئله حمل و نقل، مجموع هزینه‌های حمل کالا از تامین‌کننده به مصرف‌کننده که باید به حداقل برسد. . انتخاب معیار اثربخشی ارزش عملی مطالعه را تعیین می کند. (یک معیار نادرست انتخاب شده می تواند مضر باشد، زیرا عملیات سازماندهی شده بر اساس چنین معیار کارایی گاهی منجر به هزینه های غیر قابل توجیه می شود.)

2. بیان کلی مسئله تحقیق در عملیات

درک متدولوژی ساخت مدل‌های مسائل تحقیق در عملیات مهم است. تمام عوامل موجود در شرح عملیات را می توان به دو گروه تقسیم کرد:

عوامل ثابت(شرایط عملیات)، که ما نمی توانیم بر آن تأثیر بگذاریم. اجازه دهید آنها را با علامت گذاری کنیم α1، α2، ... ;

عوامل وابسته(عناصر محلول) ایکس 1, x2، ...;که در محدوده معینی می توانیم بنا به صلاحدید خود انتخاب کنیم.

به عنوان مثال در مسئله استفاده از منابع عوامل ثابت باید شامل ذخایر منابع هر نوع، ماتریس تولید باشد که عناصر آن میزان مصرف مواد اولیه هر نوع را در واحد خروجی هر نوع تعیین می کند. عناصر راه حل - یک برنامه تولید برای هر نوع محصول.

یک معیار عملکرد بیان شده توسط تابعی به نام هدف،به عوامل هر دو گروه بستگی دارد، بنابراین تابع هدف زرا می توان در قالب نوشت

Z= f (x1، x2، ...، α1، α2، ...)

همه مدل های تحقیق در عملیات را می توان بسته به ماهیت و ویژگی های عملیات، ماهیت مسائل حل شده و ویژگی های روش های ریاضی مورد استفاده طبقه بندی کرد.

لازم به ذکر است، اول از همه، بزرگ است کلاس مدل های بهینه سازیچنین مشکلاتی هنگام تلاش برای بهینه سازی برنامه ریزی و مدیریت سیستم های پیچیده، در درجه اول سیستم های اقتصادی، به وجود می آیند. مسئله بهینه سازی را می توان به صورت کلی فرموله کرد: یافتن متغیرهای x1، x2، ...، x n , ارضای سیستم نابرابری ها (معادلات)

g من (x1, x2, x3,..., ایکس n )<= ب من ، من = 1, 2,..., n (0.1)

و تبدیل تابع هدف به حداکثر (یا حداقل)، یعنی.

Z= f (x1, x2, ..., ایکس n ) - متر آه (م که در ) (0.2)

(شرایط عدم منفی بودن متغیرها، در صورت وجود، در محدودیت (0.1) گنجانده شده است)

بیایید یکی دیگر از مشکلات معمول برای تحقیق در عملیات را در نظر بگیریم - مشکل مصرف کلاسیک،اهمیت زیادی در تحلیل اقتصادی دارد.

بذار باشه پانواع کالاها و خدمات که مقادیر آنها (در واحدهای طبیعی) x1، x2، ... ایکس n، با قیمت های متناسب پ 1, پ 2, ..., پ nبرای یک واحد هزینه کل این کالاها و خدمات می باشد ∑ پ من ایکس من .

سطح مصرف زرا می توان با یک تابع بیان کرد Z= f (x1, x2, ..., ایکس n ) ، تماس گرفت تابع سودمند یافتن چنین مجموعه ای از کالاها و خدمات ضروری است x1، x2، ... ایکس n داده شده مقدار درآمد من،به اطمینان از حداکثر سطح مصرف،آن ها

Z= f (x1, x2, ..., ایکس n ) - متر اوه (0.3)

با توجه به اینکه

∑ پ من ایکس من <= من (0.4)

ایکس من >= 0 ( من = 1, 2,..., n ) (0.5)

راه حل هایی برای این مشکل که به قیمت ها بستگی دارد پ 1, پ 2, ..., پ nو میزان درآمد من، نامیده می شوند توابع تقاضا

بدیهی است که مسئله مصرف در نظر گرفته شده (0.3)-(0.5)، و همچنین بسیاری دیگر، یک مورد خاص از مسئله عمومی (0.1)-(0.2) است که در بالا برای تعیین حداکثر تابع فرموله شده است. پمتغیرها تحت محدودیت های خاص، به عنوان مثال. وظیفه برای مشروط نقاط بحرانی.

در مواردی که توابع fو g من، در مسئله (0.1)-(0.2) حداقل دو بار قابل تمایز هستند، می توانیم استفاده کنیم کلاسیک روش های بهینه سازیبا این حال، استفاده از این روش‌ها در تحقیق در عملیات بسیار محدود است، زیرا کار تعیین حد فاصل یک تابع از متغیرهای i از نظر فنی بسیار دشوار است: این روش تعیین حد فاصل محلی را ممکن می‌سازد و به دلیل چند بعدی بودن این تابع، تعیین حداکثر (یا حداقل) مقدار آن (افراط جهانی) ممکن است بسیار کار بر باشد - به ویژه از آنجایی که این حداکثر در مرز منطقه راه حل ممکن است. اگر مجموعه مقادیر آرگومان معتبر گسسته یا تابع باشد، روش‌های کلاسیک اصلاً کار نمی‌کنند زدر جدول آورده شده است. در این موارد برای حل مسئله از روش های (0.1)-(0.2) استفاده می شود برنامه نویسی ریاضی

اگر معیار عملکرد Z= f (x1, x2, ..., ایکس n ) (0.2) یک تابع خطی و توابع را نشان می دهد g من (x1, x2, x3,..., ایکس n ) در سیستم قیود (0.1) نیز خطی هستند، پس چنین مشکلی یک مشکل است برنامه ریزی خطی.اگر بر اساس محتوا، راه حل های آن باید اعداد صحیح باشد، این مشکل است برنامه ریزی خطی عدد صحیحاگر معیار کارایی و (یا) سیستم محدودیت ها با توابع غیر خطی مشخص شده باشد، مشکل داریم. برنامه نویسی غیر خطیبه طور خاص، اگر توابع نشان داده شده دارای خاصیت تحدب باشند، مشکل حاصل یک مشکل است برنامه نویسی محدب

اگر در یک مسئله برنامه ریزی ریاضی یک متغیر زمانی وجود داشته باشد و معیار کارایی (0.2) به طور صریح به عنوان تابعی از متغیرها بیان نمی شود، بلکه به طور غیرمستقیم - از طریق معادلاتی که جریان عملیات را در زمان توصیف می کند، بیان می شود، چنین مسئله ای یک مشکل است. برنامه نویسی پویا

اگر معیار کارایی (0.2) و سیستم محدودیت ها (0.1) با توابع فرم مشخص شده باشد. با*( ایکس 1^α 1 )*( ایکس 2^α 2 )...( ایکس n ^α n ) ، پس ما مشکل داریم برنامه نویسی هندسیاگر توابع fو/یا g مندر عبارات (0.2) و (0.1) به پارامترها بستگی دارد، سپس مسئله را بدست می آوریم برنامه نویسی پارامتریک،اگر این توابع در طبیعت تصادفی هستند، وظیفه برنامه نویسی تصادفیاگر به دلیل تعداد بسیار زیاد گزینه های راه حل، یافتن بهینه دقیق از نظر الگوریتمی غیرممکن است، به روش ها متوسل شوید. ابتکاری برنامه نويسي،به شما این امکان را می دهد که تعداد گزینه های مورد نظر خود را به میزان قابل توجهی کاهش دهید و اگر بهینه نباشد، راه حل نسبتا خوبی که از نقطه نظر عملی رضایت بخش است را بیابید.

از میان روش های ذکر شده برنامه ریزی ریاضی، رایج ترین و توسعه یافته ترین آن، برنامه ریزی خطی است. طیف وسیعی از وظایف تحقیق در عملیات را پوشش می دهد.

وظایف برنامه ریزی و مدیریت شبکهرابطه بین تاریخ اتمام یک مجموعه بزرگ از عملیات (کارها) و زمان شروع تمام عملیات مجتمع را در نظر بگیرید. این وظایف شامل یافتن حداقل مدت زمان مجموعه ای از عملیات، نسبت بهینه مقادیر هزینه و زمان اجرای آنها است.

مشکلات صفبه مطالعه و تجزیه و تحلیل سیستم های خدمات با صف برنامه ها یا نیازمندی ها اختصاص دارد و شامل تعیین شاخص های عملکرد سیستم ها، ویژگی های بهینه آنها، به عنوان مثال، تعیین تعداد کانال های خدمات، زمان سرویس و غیره است.

وظایف مدیریت موجودیشامل یافتن مقادیر بهینه سطح موجودی (نقطه سفارش) و اندازه سفارش است. ویژگی چنین وظایفی این است که با افزایش سطح موجودی ها از یک طرف هزینه های ذخیره سازی آنها افزایش می یابد اما از طرف دیگر ضررهای ناشی از کمبود احتمالی محصول ذخیره شده کاهش می یابد.

مشکلات تخصیص منابعدر طول مجموعه خاصی از عملیات (کارها) که باید با منابع محدود در دسترس انجام شود، ایجاد می شود و لازم است توزیع بهینه منابع بین عملیات یا ترکیب عملیات پیدا شود.

وظایف تعمیر و تعویض تجهیزاتبه دلیل فرسودگی تجهیزات و نیاز به تعویض آن در طول زمان مرتبط هستند. وظایف به تعیین زمان بهینه، تعداد تعمیرات و بازرسی های پیشگیرانه و همچنین زمان تعویض تجهیزات با تجهیزات مدرن خلاصه می شود.

برنامه ریزی (برنامه ریزی) وظایفشامل تعیین ترتیب بهینه عملیات (به عنوان مثال، پردازش قطعات) در انواع مختلف تجهیزات است.

وظایف برنامه ریزی و قرار دادنشامل تعیین تعداد و مکان بهینه اشیاء جدید با در نظر گرفتن تعامل آنها با اشیاء موجود و با یکدیگر است.

مشکلات انتخاب مسیریا شبکهمشکلاتی که اغلب در بررسی مشکلات مختلف در سیستم های حمل و نقل و ارتباطات با آن مواجه می شوند و شامل تعیین اقتصادی ترین مسیرها می باشد.

از میان مدل های تحقیق در عملیات، مدل های تصمیم گیری بهینه در موقعیت های تعارض مورد مطالعه قرار گرفته است نظریه بازی.موقعیت‌های درگیری که در آن منافع دو (یا چند) طرف با هم تضاد می‌کنند و اهداف متفاوتی را دنبال می‌کنند، شامل موقعیت‌های متعددی در زمینه‌های اقتصادی، حقوقی، امور نظامی و غیره می‌شود. در مسائل تئوری بازی‌ها، لازم است توصیه‌هایی برای رفتار معقول شرکت کنندگان در تعارض، برای تعیین استراتژی های بهینه آنها.

در عمل، در بیشتر موارد، موفقیت یک عملیات نه با یک، بلکه با چندین معیار به طور همزمان ارزیابی می شود، که یکی از آنها باید حداکثر شود، و بقیه باید به حداقل برسند. دستگاه ریاضی نیز می تواند در موارد مفید باشد مسائل تحقیق عملیات چند معیاره،حداقل کمک کنید تا راه حل های آشکارا ناموفق را کنار بگذارید.

برای انتخاب یک تابع هدف از بین معیارهای مختلف، از جمله معیارهایی که با یکدیگر متناقض هستند (به عنوان مثال، سود و هزینه)، لازم است یک اولویتشاخص. بیایید نشان دهیم f 1 (x)، f 2 (ایکس)، ...، f n (ایکس)(اینجا ایکس -استدلال شرطی). بگذارید آنها به ترتیب اولویت نزولی مرتب شوند. بسته به شرایط خاص، اساسا دو گزینه وجود دارد:

معیار به عنوان تابع هدف انتخاب می شود f 1 (ایکس)،داشتن بالاترین اولویت؛

ترکیبی در حال بررسی است

f ( ایکس ) = ω 1 * f 1 ( ایکس ) + ω 2 * f 2 ( ایکس ) + …+ ω n * f n ( ایکس ) , (0.6)

جایی که ω 1 , ω 2 , … ω n- برخی از ضرایب (وزن).

اندازه f (ایکس)که همه معیارها را تا حد معینی در نظر می گیرد، به عنوان تابع هدف انتخاب می شود.

در شرایط قطعیت ω من- شماره، f من (ایکس)-کارکرد. در شرایط عدم اطمینان f من (ایکس)ممکن است تصادفی باشد و در عوض f من (ایکس)انتظار ریاضی از مجموع (0.6) باید به عنوان تابع هدف در نظر گرفته شود.

تلاش برای کاهش یک مسئله چند معیاره به یک مسئله با یک معیار کارایی (عملکرد هدف) در اکثر موارد نتایج رضایت بخشی به دست نمی دهد. رویکرد دیگر عبارت است از دور انداختن ("حذف") از مجموعه راه حل های قابل قبول، راه حل های آشکارا ناموفقی که از نظر راه حل های پایین تر از دیگران هستند. همه معیارهادر نتیجه این روش، به اصطلاح تاثير گذار(یا " پارتو")راه حل هایی که مجموعه ای از آنها معمولاً به طور قابل توجهی کوچکتر از نمونه اصلی است. و انتخاب نهایی یک راه حل "سازش" (بهینه نیست با توجه به همه معیارها، که، به عنوان یک قاعده، وجود ندارد، اما قابل قبولبا توجه به این معیارها) با شخص - تصمیم گیرنده باقی می ماند.

نتیجه

دانشمندان روسی L.V. سهم بزرگی در ایجاد یک دستگاه ریاضی مدرن و توسعه بسیاری از زمینه های تحقیقات عملیاتی داشتند. کانتوروویچ، N.P. بوسلنکو، E.S. ونتزل، N.N. وروبیوف، N.N. مویزف، دی.بی. یودین و بسیاری دیگر. به ویژه نقش آکادمیک L.V. کانتوروویچ، که در سال 1939، با شروع برنامه ریزی برای بهره برداری از واحدهای کارخانه تخته سه لا، چندین مشکل را حل کرد: در مورد بهترین بارگیری تجهیزات، در مورد برش مواد با حداقل تلفات، در مورد توزیع محموله بین چندین نوع حمل و نقل و غیره. L.V. کانتوروویچ کلاس جدیدی از مسائل فوق العاده مشروط را فرموله کرد و روشی جهانی برای حل آنها پیشنهاد کرد و پایه و اساس یک جهت جدید در ریاضیات کاربردی - برنامه ریزی خطی را ایجاد کرد.

کمک های قابل توجهی در شکل گیری و توسعه تحقیقات عملیات توسط دانشمندان خارجی R. Akof، R. Bellman، G. Danzig، G. Kuhn، J. Neumann، T. Saaty، R. Churchman، A. Kofman و دیگران انجام شد.

روش‌های تحقیق در عملیات، مانند هر روش ریاضی، همیشه مسئله را تا حدی ساده و درشت می‌کنند، گاهی اوقات فرآیندهای غیرخطی را با مدل‌های خطی، سیستم‌های تصادفی با مدل‌های قطعی، فرآیندهای پویا با مدل‌های ایستا و غیره را منعکس می‌کنند. زندگی از هر طرحی غنی تر است. بنابراین، نه باید اهمیت روش های کمی را در تحقیقات عملیاتی اغراق کرد و نه با ذکر مثال هایی از راه حل های ناموفق، آن را به حداقل رساند. مناسب است در این رابطه به تعریف متناقض طنزآمیز تحقیق در عملیات که توسط یکی از خالقان آن، T. Saaty، ارائه شده است، به عنوان «هنر دادن پاسخ های بد به آن دسته از سؤالات عملی که می توان با روش های دیگر حتی بدتر از آن پاسخ داد» استناد کرد.

ادبیات

1. Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. تحقیق در مورد عملیات در اقتصاد: کتاب درسی برای دانشگاه ها - M.: UNITI، 2002.

2. Ventzel E.S. تحقیق در عملیات. اهداف، اصول، روش - M.: Nauka، 1980.

3. گورلیک V.A.، Ushakov I.A. تحقیق در عملیات. - م.: مهندسی مکانیک، 1365.

که در. اسلینکین

کتاب درسی برای دانشجویان دانشگاه های تربیتی

گرایش علوم کامپیوتر

شادرینسک، 2003

اسلینکینا I.N.

تحقیق در عملیات. راهنمای آموزشی و روش شناختی. - شادرینسک: انتشارات مؤسسه آموزشی دولتی شادرینسک، 2002. - 106 ص.

اسلینکینا I.N. – کاندیدای علوم تربیتی

کتاب درسی به ارائه بخش نظری درس تحقیق در عملیات می پردازد. این برای دانشجویان تمام وقت و پاره وقت دانشکده هایی در نظر گرفته شده است که تخصص "انفورماتیک" را دنبال می کنند.

© موسسه آموزشی دولتی شادرینسک

© Slinkina I.N.، 2002

سوالات واحدهای درس تحقیق در عملیات 5

1.1. موضوع و وظایف تحقیق در عملیات 7

1.2. مفاهیم و اصول اولیه تحقیق در عملیات 8

1.3. مدل های ریاضی عملیات 10

1.4. مفهوم برنامه ریزی خطی 12

1.5. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی بهترین استفاده از منابع مسئله 13

1.6. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی مشکل انتخاب فناوری های بهینه 15

1.7. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی مشکل مخلوط 16

1.8. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی مشکل حمل و نقل 17

1.9. انواع اساسی ضبط مسائل برنامه ریزی خطی 19

1.10. 21 روش تبدیل

1.11. انتقال به شکل متعارف 22

1.12. انتقال به شکل متقارن ضبط 25

2.1. تفسیر هندسی مسئله برنامه ریزی خطی 28

2.2. حل مسائل برنامه ریزی خطی به روش گرافیکی 29

2.3. ویژگی های حل مسائل برنامه ریزی خطی 34

2.4. ایده کلی روش سیمپلکس 35

2.5. ساختن پلان مرجع اولیه هنگام حل مسائل برنامه ریزی خطی با استفاده از روش سیمپلکس 36

2.6. نشانه بهینه بودن طرح مرجع. جداول سیمپلکس 40

2.7. انتقال به بدترین طرح مرجع. 44

2.8. تبدیل های ساده 46

2.9. بهینه جایگزین (نشانه بی نهایت بودن مجموعه طرح های مرجع) 51

2.10. علامت نامحدود بودن تابع هدف 52

2.11. مفهوم انحطاط. یکنواختی و محدود بودن روش سیمپلکس. حلقه زدن 53

2.12. مفهوم دوگانگی برای مسائل برنامه ریزی خطی متقارن 54

3.1. مسائل دوگانه نامتقارن 57

3.2. مدل های باز و بسته مسئله حمل و نقل 61

3.3. ساخت پلان مرجع اولیه. قانون 63 گوشه شمال غربی

3.4. ساخت پلان مرجع اولیه. قانون حداقل عنصر 64

3.5. ساخت پلان مرجع اولیه. روش فوگل 64

3.6. روش بالقوه 65

3.7. حل مشکلات حمل و نقل با محدودیت ظرفیت 69

3.8. نمونه هایی از مشکلات برنامه نویسی گسسته مشکل حمل و نقل کانتینری مسئله تکلیف 71

3.9. ماهیت روش های بهینه سازی گسسته 72

3.10. مسئله برنامه نویسی محدب 74

3.11. روش ضریب لاگرانژ 75

3.12. روش های گرادیان 77

4.1. روشهای اعمال جریمه و مانع 78

4.2. برنامه نویسی پویا مفاهیم اساسی. ماهیت روش های حل 79

4.3. برنامه نویسی تصادفی مفاهیم اساسی 81

4.4. بازی های ماتریس حاصل جمع صفر 83

4.5. راهبردهای خالص و ترکیبی و خواص آنها 85

4.6. ویژگی های استراتژی های خالص و ترکیبی 88

4.7. کاهش یک بازی ماتریس به ZLP 92

4.8. مشکلات تئوری صف. طبقه بندی سیستم های نوبت دهی 94

4.9. جریان رویداد 96

4.10. طرح مرگ و تولید مثل 97

4.11. فرمول لیتلز 99

4.12. ساده ترین سیستم های صف 101

سوالات مربوط به بلوک ها در درس "تحقیق در عملیات"

بلوک 1

1. موضوع و اهداف تحقیق در عملیات.

2. مفاهیم و اصول اولیه تحقیق در عملیات.

3. مدل های ریاضی عملیات.

4. مفهوم برنامه ریزی خطی.

5. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی. وظیفه

6. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی. مشکل انتخاب فناوری های بهینه.

7. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی. مشکل در مورد مخلوط ها

8. نمونه هایی از مسائل برنامه ریزی خطی اقتصادی. مشکل حمل و نقل

9. انواع اساسی نوشتن مسائل برنامه ریزی خطی.

10. روش های تبدیل.

11. انتقال به شکل متعارف.

12. انتقال به شکل متقارن ضبط.

بلوک 2

1. تفسیر هندسی مسئله برنامه ریزی خطی.

2. حل مسائل برنامه ریزی خطی با استفاده از روش گرافیکی.

3. خواص راه حل های مسئله برنامه ریزی خطی.

4. ایده کلی از روش سیمپلکس.

5. ساختن پلان مرجع اولیه هنگام حل مسائل برنامه ریزی خطی با استفاده از روش سیمپلکس.

6. نشانه بهینه بودن طرح مرجع. جداول سیمپلکس

7. گذار به غیر بدترین طرح مرجع.

8. تبدیل های ساده.

9. بهینه جایگزین (نشانه ای از بی نهایت بودن مجموعه طرح های مرجع).

10. علامت نامحدود بودن تابع هدف.

11. مفهوم انحطاط. یکنواختی و محدود بودن روش سیمپلکس. حلقه زدن.

12. مفهوم دوگانگی برای مسائل برنامه ریزی خطی متقارن.

بلوک 3

1. مشکلات دوگانه نامتقارن.

2. مدل های باز و بسته مشکل حمل و نقل.

3. ساخت پلان مرجع اولیه. قانون "گوشه شمال غربی".

4. ساخت پلان مرجع اولیه. قانون حداقل عنصر

5. ساخت پلان مرجع اولیه. روش فوگل

6. روش پتانسیل ها.

7. حل مشکلات حمل و نقل با محدودیت ظرفیت.

8. نمونه هایی از مسائل برنامه نویسی گسسته. مشکل حمل و نقل کانتینری مشکل تکلیف

9. ماهیت روش های بهینه سازی گسسته.

10. مشکل برنامه نویسی محدب.

11. روش ضریب لاگرانژ.

12. روش های گرادیان.

بلوک 4

1. روش توابع جریمه و مانع.

2. برنامه نویسی پویا. مفاهیم اساسی. ماهیت روش های حل.

3. برنامه نویسی تصادفی. مفاهیم اساسی.

4. بازی های ماتریس حاصل جمع صفر.

5. استراتژی های ناب و ترکیبی.

6. خواص راهبردهای ناب و مختلط.

7. کاهش یک بازی ماتریسی به PLP

8. مسائل تئوری صف. طبقه بندی سیستم های نوبت دهی

9. جریان رویدادها.

10. طرح مرگ و تولید مثل.

11. فرمول لیتل.

12. ساده ترین سیستم های نوبت دهی.

بلوک 1.

موضوع و وظایف تحقیق در عملیات

وضعیت فعلی علم و فناوری، به ویژه، توسعه ابزارهای محاسبه رایانه ای و اثبات ریاضی نظریه ها، این امکان را فراهم کرده است که راه حل بسیاری از مسائل مطرح شده در شاخه های مختلف علم به طور قابل توجهی ساده شود. بسیاری از مشکلات به حل مسئله بهینه سازی تولید و کنترل بهینه فرآیند برمی گردد.

نیازهای عملی باعث پیدایش روش‌های علمی خاصی شده است که به راحتی تحت عنوان «تحقیق در عملیات» ترکیب می‌شوند.

تعریف:منظور ما از تحقیق در عملیات استفاده از روش های کمی و ریاضی برای توجیه تصمیمات در تمام زمینه های فعالیت هدفمند انسانی است.

اجازه دهید برای رسیدن به یک هدف خاص اقدامی انجام شود. شخص (یا گروهی از افراد) که رویداد را سازماندهی می کند همیشه دارای آزادی انتخاب است: می توان آن را به یک روش سازماندهی کرد. یک تصمیم انتخابی از بین تعدادی از امکاناتی است که در اختیار سازمان دهنده قرار دارد.

نیاز به تصمیم گیری و آزمون فرضیه راه حل پیشنهادی با مثال های زیر به صورت ریاضی تایید می شود:

وظیفه 1.در مورد بهترین استفاده از منابع

این شرکت انواع مختلفی از محصولات را تولید می کند. برخی از منابع برای ساخت آنها استفاده می شود (از جمله انسان، انرژی و غیره). محاسبه نحوه برنامه ریزی کار شرکت به گونه ای ضروری است که هزینه های منابع حداقل و سود حداکثر شود.

وظیفه 2.درباره مخلوط ها

لازم است مخلوطی تهیه شود که خواص خاصی داشته باشد. برای انجام این کار، می توانید از برخی از "محصولات" استفاده کنید (برای محاسبه رژیم های غذایی - محصولات غذایی، برای مخلوط های خوراک - محصولات غذایی برای حیوانات، برای مخلوط های فنی - آلیاژها، مایعات برای اهداف فنی). وظیفه انتخاب تعداد بهینه محصولات (بر اساس قیمت) برای به دست آوردن مقدار بهینه مخلوط است.

وظیفه 3.مشکل حمل و نقل

شبکه ای از شرکت های تولید کننده محصولات مشابه با کیفیت یکسان و شبکه ای از مصرف کنندگان این محصولات وجود دارد. مصرف کنندگان و تامین کنندگان از طریق راه های ارتباطی (جاده ها، خطوط راه آهن، خطوط هوایی) به هم متصل می شوند. نرخ حمل و نقل مشخص شده است. باید برنامه بهینه حمل و نقل محصولات را محاسبه کرد تا هزینه های حمل و نقل به حداقل برسد، نیازهای همه مصرف کنندگان برآورده شود و همه کالاها از عرضه کنندگان حذف شوند.

در هر یک از مثال های ارائه شده، ما در مورد نوعی رویداد صحبت می کنیم که هدف خاصی را دنبال می کند. برخی از شرایط مشخص شده است که وضعیت را مشخص می کند (به ویژه وسایلی که می توان از آنها دور کرد). در این شرایط باید تصمیم گرفت تا رویداد برنامه ریزی شده به نوعی سودآورتر باشد.

مطابق با این ویژگی‌های کلی، روش‌های کلی برای حل مسائل مشابه توسعه می‌یابد که با هم طرح روش‌شناختی و دستگاه تحقیق عملیات را تشکیل می‌دهند.

در حال حاضر، سیستم های کنترل خودکار (ACS) مبتنی بر استفاده از فناوری کامپیوتری در حال گسترش هستند. ایجاد یک سیستم کنترل خودکار بدون بررسی اولیه فرآیند کنترل شده با استفاده از روش های مدل سازی ریاضی غیرممکن است. با افزایش مقیاس و پیچیدگی رویدادها، روش های ریاضی برای اثبات تصمیمات اهمیت فزاینده ای پیدا می کنند.

مفاهیم و اصول اولیه تحقیق در عملیات

تعریف:عملیات عبارت است از هر رویداد (سیستم اقدامات) که توسط یک طرح واحد متحد شده و هدف آن دستیابی به هدفی است.

یک عملیات همیشه یک رویداد کنترل شده است، به عنوان مثال. نحوه انتخاب پارامترهایی که سازمان آن را مشخص می کند به محاسبات بستگی دارد. "سازمان" در اینجا به معنای گسترده کلمه، از جمله مجموعه ابزارهای فنی مورد استفاده در عملیات درک می شود.

تعریف:هر انتخاب خاص بسته به پارامترهای تعیین کننده تصمیم نامیده می شود.

تعریف:راه حل های بهینه راه حل هایی هستند که به هر دلیلی بر دیگران ارجحیت دارند.

هدف تحقیق در عملیات- توجیه کمی اولیه راه حل های بهینه.

گاهی اوقات، در نتیجه مطالعه، می توان یک راه حل منفرد و کاملاً تعریف شده را نشان داد؛ اغلب اوقات، می توان ناحیه ای از راه حل های بهینه تقریباً معادل را که در آن انتخاب نهایی انجام می شود، شناسایی کرد.

تصمیم گیری به خودی خود فراتر از محدوده تحقیقات عملیاتی است و در صلاحیت فرد مسئول قرار می گیرد، اغلب - گروهی از افرادی که حق انتخاب نهایی را دارند و مسئولیت این انتخاب را بر عهده دارند.

تعریف:پارامترهایی که ترکیب آنها یک راه حل را تشکیل می دهد، عناصر راه حل نامیده می شود.

عناصر راه حل ممکن است شامل اعداد مختلف، بردارها، توابع، خصوصیات فیزیکی و غیره باشد. برای سادگی، کل مجموعه عناصر راه حل را با x نشان می دهیم.

علاوه بر عناصر راه حل در هر مسئله تحقیق در عملیات، شرایطی نیز وجود دارد که در شرایط مسئله ثابت است و قابل نقض نیست. به ویژه، چنین شرایطی شامل وسایل (مادی، فنی، انسانی) قابل دفع و سایر محدودیت های اعمال شده بر تصمیم می شود. روی هم رفته، آنها به اصطلاح "مجموعه راه حل های ممکن" را تشکیل می دهند. بیایید این مجموعه را X نشان دهیم و این حقیقت که جواب x متعلق به این مجموعه است، نوشته می شود: xОХ.

برای مقایسه راه حل های مختلف از نظر کارایی، باید یک نوع معیار کمی داشته باشید که اصطلاحاً به آن شاخص کارایی (عملکرد هدف) می گویند. این نشانگر طوری انتخاب می شود که جهت گیری هدف عملیات را منعکس کند. بهترین راه حل، راه حلی در نظر گرفته خواهد شد که بیشترین کمک را در دستیابی به هدف داشته باشد. برای انتخاب شاخص عملکرد Z، ابتدا باید مشخص کنید که راه حل مشکل باید به چه چیزی منجر شود. هنگام انتخاب راه حل، اولویت به راه حلی داده می شود که نشانگر کارایی Z را به حداکثر یا حداقل تبدیل کند. به عنوان مثال، من می خواهم درآمد حاصل از یک عملیات را به حداکثر برسانم. اگر شاخص کارایی هزینه ها باشد، توصیه می شود آنها را به حداقل برسانید.

اغلب، این عملیات با عوامل تصادفی همراه است: "هوس های" طبیعت، نوسانات عرضه و تقاضا، خرابی دستگاه های فنی و غیره. در چنین مواردی، معمولاً این خود ارزش نیست که فرد می‌خواهد آن را به حداکثر برساند (به حداقل برساند)، بلکه مقدار متوسط ​​(انتظار ریاضی) است که به عنوان شاخص کارایی در نظر گرفته می‌شود.

وظیفه انتخاب شاخص عملکرد برای هر مشکل به صورت جداگانه حل می شود.

وظیفه 1.در مورد بهترین استفاده از منابع

هدف از این عملیات تولید حداکثر تعداد کالا است. شاخص کارایی Z – سود حاصل از فروش کالا با حداقل هزینه منابع (حداکثر Z).

وظیفه 2.درباره مخلوط ها

یک شاخص طبیعی کارایی، که با فرمول بندی مشکل پیشنهاد می شود، قیمت محصولات لازم برای مخلوط است، مشروط به نیاز به حفظ خواص مشخص شده مخلوط (min Z).

وظیفه 3.مشکل حمل و نقل

هدف از این عملیات اطمینان از عرضه کالا به مصرف کنندگان با حداقل هزینه حمل و نقل است. شاخص کارایی Z کل هزینه حمل کالا در واحد زمان (min Z) است.