تبدیل عبارات مثلثاتی عددی درس "ساده سازی عبارات مثلثاتی"

فیلم آموزشی “ساده سازی عبارات مثلثاتی» برای توسعه مهارت های دانش آموزان در حل مسائل مثلثاتی با استفاده از هویت های مثلثاتی اولیه طراحی شده است. در طول درس تصویری، انواع هویت های مثلثاتی و نمونه هایی از حل مسائل با استفاده از آنها مورد بحث قرار می گیرد. با استفاده از وسایل تصویری، دستیابی به اهداف درس برای معلم آسانتر است. ارائه واضح مطالب باعث تقویت حافظه می شود نکات مهم. استفاده از جلوه های انیمیشن و صداگذاری به شما این امکان را می دهد که در مرحله توضیح مطالب به طور کامل معلم را جایگزین کنید. بنابراین معلم با استفاده از این کمک تصویری در درس ریاضی می تواند اثربخشی تدریس را افزایش دهد.

در ابتدای درس تصویری موضوع آن اعلام می شود. سپس هویت‌های مثلثاتی را که قبلاً مطالعه شده بود، به یاد می‌آوریم. صفحه برابری‌های sin 2 t+cos 2 t=1، tg t=sin t/cos t را نشان می‌دهد، جایی که t≠π/2+πk برای kϵZ، ctg t=cos t/sin t، درست برای t≠πk، که در آن kεZ، tg t· ctg t=1، برای t≠πk/2، که در آن kεZ، هویت های مثلثاتی پایه نامیده می شود. خاطرنشان می شود که این هویت ها اغلب در حل مشکلاتی که برای اثبات برابری یا ساده سازی یک عبارت ضروری است استفاده می شود.

در زیر به نمونه هایی از کاربرد این هویت ها در حل مسائل می پردازیم. ابتدا، پیشنهاد شده است که حل مسائل ساده سازی عبارات را در نظر بگیریم. در مثال 1، لازم است عبارت cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t ساده شود. برای حل مثال ابتدا ضریب مشترک cos 2 t را از پرانتز خارج کنید. در نتیجه این تبدیل داخل پرانتز عبارت 1-cos 2 t به دست می آید که مقدار آن از هویت اصلی مثلثات برابر با sin 2 t است. پس از تبدیل عبارت، بدیهی است که یک عامل رایج دیگر sin 2 t را می توان از پرانتز خارج کرد، پس از آن عبارت به شکل sin 2 t (sin 2 t+cos 2 t) می شود. از همان هویت اصلی، مقدار عبارت داخل پرانتز را برابر با 1 به دست می آوریم. در نتیجه ساده سازی، cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t = sin 2 t به دست می آید.

در مثال 2، عبارت cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) باید ساده شود. از آنجایی که شمارنده های هر دو کسر شامل هزینه عبارت هستند، می توان آن را به عنوان یک عامل مشترک از پرانتز خارج کرد. سپس کسرهای داخل پرانتز با ضرب (1- sint) (1+ sint) به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند. پس از آوردن عبارت های مشابه، صورت 2 و مخرج 1 - sin 2 t باقی می ماند. در سمت راست صفحه، هویت اصلی مثلثاتی sin 2 t+cos 2 t=1 یادآوری می شود. با استفاده از آن، مخرج کسری cos 2 t را پیدا می کنیم. پس از کاهش کسر، شکل ساده شده ای از عبارت cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost به دست می آوریم.

در مرحله بعد، نمونه هایی از اثبات هویت ها را در نظر می گیریم که از دانش به دست آمده در مورد هویت های اصلی مثلثات استفاده می کنند. در مثال 3 اثبات هویت (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t ضروری است. سمت راست صفحه نمایش سه هویت را نشان می دهد که برای اثبات مورد نیاز است - tg t·ctg t=1، ctg t=cos t/sin t و tg t=sin t/cos t با محدودیت. برای اثبات هویت، ابتدا براکت ها باز می شوند، پس از آن محصولی تشکیل می شود که بیان هویت مثلثاتی اصلی tg t·ctg t=1 را منعکس می کند. سپس با توجه به هویت از تعریف کوتانژانت، ctg 2 t تبدیل می شود. در نتیجه تبدیل ها، عبارت 1-cos 2 t به دست می آید. با استفاده از هویت اصلی، معنای عبارت را پیدا می کنیم. بنابراین، ثابت شده است که (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

در مثال 4، باید مقدار عبارت tg 2 t+ctg 2 t را در صورت tg t+ctg t=6 بیابید. برای محاسبه عبارت، ابتدا دو طرف راست و چپ برابری را مربع کنید (tg t+ctg t) 2 =6 2. فرمول ضرب اختصاری در سمت راست صفحه یادآوری می شود. پس از باز کردن پرانتزهای سمت چپ عبارت، مجموع tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t تشکیل می شود که برای تبدیل آن می توانید یکی از هویت های مثلثاتی tg t·ctg t=1 را اعمال کنید. ، که فرم آن در سمت راست صفحه فراخوانی می شود. پس از تبدیل برابری tg 2 t+ctg 2 t=34 به دست می آید. سمت چپ برابری با شرط مسئله منطبق است، بنابراین پاسخ 34 است. مشکل حل شد.

درس ویدیویی "ساده سازی عبارات مثلثاتی" برای استفاده در سنتی توصیه می شود درس مدرسهریاضیات مطالب همچنین برای معلم اجرا کننده مفید خواهد بود آموزش از راه دور. به منظور ایجاد مهارت در حل مسائل مثلثاتی.

رمزگشایی متن:

"ساده سازی عبارات مثلثاتی."

برابری ها

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (سینوس مربع te به اضافه کسینوس مربع te برابر با یک)

2)tgt =، برای t ≠ + πk، kεZ (مماس te برابر است با نسبت سینوس te به کسینوس te با te برابر نیست با pi با دو به علاوه pi ka، ka متعلق به zt است)

3)ctgt =، برای t≠ πk، kϵZ (کتانژانت te برابر است با نسبت کسینوس te به سینوس te با te برابر با pi کا نیست، ka متعلق به zet است).

4) tgt ∙ ctgt = 1 برای t ≠ , kϵZ (محصول مماس te توسط cotangent te برابر است با یک زمانی که te برابر با اوج ka نباشد، تقسیم بر دو، ka متعلق به zet است)

هویت های مثلثاتی پایه نامیده می شوند.

آنها اغلب در ساده سازی و اثبات عبارات مثلثاتی استفاده می شوند.

بیایید به نمونه هایی از استفاده از این فرمول ها برای ساده سازی عبارات مثلثاتی نگاه کنیم.

مثال 1. عبارت cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t را ساده کنید. (بیان یک کسینوس مربع te منهای کسینوس درجه چهارم te به اضافه سینوس درجه چهارم te).

راه حل. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 ت) = گناه 2 ت 1 = گناه 2 تن

(ما ضریب مشترک کسینوس مربع te را خارج می کنیم، در پرانتز تفاوت بین واحد و مجذور کسینوس te را می گیریم، که برابر با مجذور سینوس te با هویت اول است. مجموع سینوس teه توان چهارم را بدست می آوریم. حاصلضرب کسینوس مربع te و سینوس مربع te فاکتور مشترک سینوس مربع te را خارج از پرانتز بیرون می آوریم، در پرانتز مجموع مربع های کسینوس و سینوس را بدست می آوریم که اساساً برابر است با. هویت مثلثاتیبرابر با یک در نتیجه، مربع سینوس ته را به دست می آوریم).

مثال 2. عبارت: + را ساده کنید.

(بیان مجموع دو کسر در صورت کسینوس اول te در مخرج یک منهای سینوس ته، در صورت کسینوس دوم te در مخرج دومی به اضافه سینوس ته باشد).

(بیایید عامل مشترک کسینوس te را از پرانتز خارج کنیم، و در پرانتز آن را به مخرج مشترک می آوریم، که حاصلضرب یک منهای سینوس ته به یک به علاوه سینوس ته است.

در صورتگر می گیریم: یک به علاوه سینوس ته به اضافه یک منهای سینوس ته، مشابه ها را می دهیم، صورت پس از آوردن مشابه ها برابر دو می شود.

در مخرج می توانید فرمول ضرب اختصاری (تفاوت مربعات) را اعمال کنید و تفاوت بین واحد و مربع سینوس ته را بدست آورید که با توجه به هویت مثلثاتی پایه

برابر با مربع کسینوس te. پس از تقلیل با کسینوس te به پاسخ نهایی می رسیم: تقسیم دو بر کسینوس te).

بیایید به مثال هایی از استفاده از این فرمول ها هنگام اثبات عبارات مثلثاتی نگاه کنیم.

مثال 3. هویت را ثابت کنید (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (محصول تفاضل مربع های مماس te و سینوس te در مجذور هم مماس te برابر است با مربع sine te).

اثبات

بیایید سمت چپ برابری را تبدیل کنیم:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = گناه 2 تن

(اجازه دهید پرانتزها را باز کنیم؛ از رابطه ای که قبلاً به دست آمده مشخص می شود که حاصل ضرب مجذورهای مماس te توسط کتانژانت te برابر با یک است. به یاد بیاوریم که کتانژانت te برابر است با نسبت کسینوس te به سینوس te که یعنی مجذور کوتانژانت نسبت مجذور کسینوس te به مجذور سینوس ته است.

پس از تقلیل با مربع سینوس te، تفاوت بین واحد و کسینوس مربع te را بدست می آوریم که برابر با سینوس مربع te است). Q.E.D.

مثال 4. مقدار عبارت tg 2 t + ctg 2 t را اگر tgt + ctgt = 6 بیابید.

(مجموع مجذورات مماس ته و کتانژانت ته در صورتی که مجموع مماس و کتانژانت شش باشد).

راه حل. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

بیایید هر دو طرف برابری اصلی را مربع کنیم:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (مربع مجموع مماس te و کوتانژانت te برابر با شش مربع است). بیایید فرمول ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: مجذور مجموع دو کمیت برابر است با مجذور اولی به اضافه دو برابر حاصلضرب اولی در دومی به علاوه مربع دومی. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (مماس مربع te بعلاوه دو برابر حاصل ضرب مماس te توسط هم مماس te به اضافه کتانژانت مربع te برابر است سی و شش) .

از آنجایی که حاصلضرب مماس te و کتانژانت te برابر با یک است، پس tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (مجموع مجذورهای مماس te و کتانژانت te و دو برابر با سی و شش است)

در درخواست شما.

6. عبارت را ساده کنید:

زیرا توابع زوایای مکمل یکدیگر تا 90 درجه برابر است، سپس sin50° را در صورت‌حساب کسر با cos40° جایگزین می‌کنیم و فرمول سینوس آرگومان دوگانه را به صورت‌گر اعمال می‌کنیم. ما 5sin80 درجه در صورت حساب می گیریم. بیایید sin80° را با cos10° جایگزین کنیم که به ما امکان می دهد کسر را کاهش دهیم.

فرمول های اعمال شده: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. که در پیشرفت حسابیکه اختلاف آنها 12 و جمله هشتم 54 است، تعداد جمله های منفی را بیابید.

طرح راه حل. بیایید یک فرمول برای عبارت کلی این پیشرفت ایجاد کنیم و دریابیم که در چه مقادیری از n عبارت منفی به دست می آید. برای انجام این کار، ما باید اولین ترم پیشرفت را پیدا کنیم.

ما d=12، a 8 =54 داریم. با استفاده از فرمول a n =a 1 +(n-1)∙d می نویسیم:

a 8 =a 1 +7d. بیایید داده های موجود را جایگزین کنیم. 54=a 1 +7∙12;

a 1 =-30. این مقدار را با فرمول a n =a 1 +(n-1)∙d جایگزین کنید

a n =-30+(n-1)∙12 یا n =-30+12n-12. بیایید ساده کنیم: a n = 12n-42.

ما به دنبال تعداد عبارت های منفی هستیم، بنابراین باید نابرابری را حل کنیم:

a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. محدوده مقادیر تابع زیر را پیدا کنید: y=x-|x|.

بیایید براکت های مدولار را باز کنیم. اگر x≥0، آنگاه y=x-x ⇒ y=0. نمودار، محور Ox در سمت راست مبدا خواهد بود. اگر x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. سطح جانبی یک مخروط دایره ای راست را در صورتی پیدا کنید که ژنراتیکس آن 18 سانتی متر و مساحت قاعده آن 36 سانتی متر مربع باشد.

یک مخروط با بخش محوری MAV داده شده است. ژنراتور VM=18، S اصلی. =36π. ما مساحت سطح جانبی مخروط را با استفاده از فرمول: سمت S محاسبه می کنیم. =πRl، جایی که l مولد است و طبق شرط برابر با 18 سانتی متر، R شعاع پایه است، آن را با استفاده از فرمول: S cr پیدا می کنیم. = πR 2 . ما S cr داریم. = S اساسی = 36π. از این رو πR 2 = 36π ⇒ R = 6.

سپس سمت S. =π∙6∙18 ⇒ سمت S. = 108π سانتی متر 2.

12. حل معادله لگاریتمی کسری برابر با 1 است اگر صورت آن با مخرج آن برابر باشد، یعنی.

log(x2 +5x+4)=2logx برای logx≠0. ما در سمت راست تساوی خاصیت توان یک عدد را در زیر علامت لگاریتمی اعمال می کنیم: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. این لگاریتم های اعشاری برابر هستند، بنابراین اعداد زیر علائم لگاریتمی برابر هستند. ، از این رو:

x 2 +5x+4=x 2، بنابراین 5x=-4; x=-0.8 می گیریم. با این حال، این مقدار را نمی توان گرفت، زیرا فقط اعداد مثبت می توانند تحت علامت لگاریتم باشند، بنابراین این معادله هیچ راه حلی ندارد. توجه داشته باشید. شما نباید ODZ را در ابتدای تصمیم پیدا کنید (وقت خود را تلف کنید!)، بهتر است (همانطور که اکنون انجام می دهیم) در پایان بررسی کنید.

13. مقدار عبارت (x o – y o) را بیابید، جایی که (x o; y o) جواب سیستم معادلات است:

14. معادله را حل کنید:

اگر تقسیم بر 2 و با صورت و مخرج کسر فرمول مماس زاویه دوتایی را خواهید آموخت. نتیجه یک معادله ساده است: tg4x=1.

15. مشتق تابع را پیدا کنید: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

به ما یک عملکرد پیچیده داده می شود. ما آن را در یک کلمه تعریف می کنیم - این درجه است. بنابراین، با توجه به قاعده تمایز یک تابع مختلط، مشتق درجه را می‌یابیم و آن را مطابق فرمول در مشتق پایه این درجه ضرب می‌کنیم:

(u n)’ = n ∙ u n -1 ∙ تو.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x) = 5 (6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x2 -4x) 4 .

16. برای یافتن f '(1) در صورت تابع مورد نیاز است

17. در یک مثلث متساوی الاضلاع مجموع تمام نیمسازها 33√3 سانتی متر است مساحت مثلث را پیدا کنید.

نیمساز مثلث متساوی الاضلاع هم میانه و هم ارتفاع است. بنابراین طول ارتفاع BD این مثلث برابر است با

بیایید ضلع AB را از Δ ABD مستطیلی پیدا کنیم. از آنجایی که sin60° = BD : AB، سپس AB = BD : sin60 درجه.

18. دایره ای در یک مثلث متساوی الاضلاع حک شده است که ارتفاع آن 12 سانتی متر است، مساحت دایره را پیدا کنید.

دایره (O؛ OD) در Δ ABC متساوی الاضلاع حک شده است. ارتفاع BD نیز نیمساز و میانه است و مرکز دایره، نقطه O، روی BD قرار دارد.

O - نقطه تقاطع ارتفاعات، نیمسازها و میانه ها، BD میانه را به نسبت 2:1 تقسیم می کند، با شمارش از راس. بنابراین، OD=(1/3)BD=12:3=4. شعاع دایره R=OD=4 سانتی متر مساحت دایره S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. لبه های جانبی هرم چهار گوش منتظم 9 سانتی متر است و ضلع قاعده آن 8 سانتی متر است ارتفاع هرم را پیدا کنید.

قاعده هرم چهار گوش منتظم مربع ABCD است و قاعده ارتفاع MO مرکز مربع است.

20. ساده کردن:

در صورت شمار، مربع اختلاف جمع شده است.

مخرج را با استفاده از روش گروه بندی عبارات فاکتور می کنیم.

21. محاسبه:

برای اینکه بتوان یک جذر حسابی استخراج کرد، عبارت رادیکال باید یک مربع کامل باشد. اجازه دهید عبارت زیر علامت ریشه را به شکل مجذور اختلاف دو عبارت مطابق فرمول نشان دهیم:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2، با فرض اینکه a 2 +b 2 =10.

22. حل نابرابری:

اجازه دهید سمت چپ نابرابری را به عنوان یک محصول نشان دهیم. مجموع سینوس های دو زاویه برابر است با دو برابر حاصل ضرب سینوس نیم حاصل این زوایا و کسینوس نصف تفاضل این زوایا.:

ما گرفتیم:

بیایید این نابرابری را به صورت گرافیکی حل کنیم. نقاطی از نمودار y=cost را که بالای خط مستقیم قرار دارند انتخاب می کنیم و ابسیساهای این نقاط را تعیین می کنیم (نشان داده شده با سایه زدن).

23. همه پاد مشتق ها را برای تابع پیدا کنید: h(x)=cos 2 x.

بیایید این تابع را تبدیل کنیم و درجه آن را با استفاده از فرمول کاهش دهیم:

1+cos2α=2cos 2 α. تابع را دریافت می کنیم:

24. مختصات بردار را بیابید

25. به جای ستاره، علامت های حسابی را وارد کنید تا برابری صحیح را بدست آورید: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

ما استدلال می کنیم: عدد باید 25 باشد (31 - 6 = 25). چگونه می توان این عدد را از دو "سه" و دو "چهار" با استفاده از علائم عمل بدست آورد؟

البته این است: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. پاسخ E).

درس 1

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی)

ساده سازی عبارات مثلثاتی

حل معادلات مثلثاتی ساده (2 ساعت)

اهداف:

• سیستم سازی، تعمیم، گسترش دانش و مهارت های دانش آموزان مربوط به استفاده از فرمول های مثلثات و حل معادلات مثلثاتی ساده.

تجهیزات برای درس:

ساختار درس:

1. لحظه سازمانی
2. تست روی لپ تاپ بحث در مورد نتایج.
3. ساده سازی عبارات مثلثاتی
4. حل معادلات مثلثاتی ساده
5. کار مستقل.
6. خلاصه درس. توضیح تکلیف.

1. لحظه سازمانی. (2 دقیقه.)

معلم به حضار خوشامد می گوید، موضوع درس را اعلام می کند، به آنها یادآوری می کند که قبلاً وظیفه تکرار فرمول های مثلثات را بر عهده داشتند و دانش آموزان را برای آزمایش آماده می کند.

2. آزمایش. (15 دقیقه + 3 دقیقه بحث)

هدف آزمایش دانش فرمول های مثلثاتی و توانایی به کارگیری آنها است. هر دانش آموز روی میز خود یک لپ تاپ با نسخه ای از آزمون دارد.

گزینه های مختلفی می تواند وجود داشته باشد، من یکی از آنها را مثال می زنم:

گزینه I.

ساده سازی عبارات:

الف) هویت های مثلثاتی اساسی

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ب) فرمول های جمع

3. sin5x - sin3x;

ج) تبدیل محصول به جمع

6. 2sin8y cos3y;

د) فرمول های دو زاویه

7. 2sin5x cos5x;

ه) فرمول های نیم زوایای

و) فرمول های زاویه سه گانه

ز) جایگزینی جهانی

ح) کاهش درجه

16. cos 2 (3x/7);

دانش آموزان پاسخ های خود را روی لپ تاپ در کنار هر فرمول می بینند.

کار فوراً توسط رایانه بررسی می شود. نتایج روی یک صفحه نمایش بزرگ نمایش داده می شود تا همه ببینند.

همچنین پس از اتمام کار، پاسخ های صحیح در لپ تاپ دانش آموزان نمایش داده می شود. هر دانش آموز می بیند که اشتباه کجا بوده و چه فرمول هایی را باید تکرار کند.

3. ساده سازی عبارات مثلثاتی. (25 دقیقه)

هدف تکرار، تمرین و تثبیت استفاده از فرمول های مثلثات پایه است. حل مسائل B7 از آزمون دولتی واحد.

در این مرحله، توصیه می‌شود کلاس را به گروه‌های دانش‌آموزان قوی (به طور مستقل با تست‌های بعدی کار کنید) و دانش‌آموزان ضعیفی که با معلم کار می‌کنند، تقسیم کنید.

تکلیف برای دانش آموزان قوی (از قبل به صورت چاپی آماده شده است). تاکید اصلی بر روی فرمول های کاهش و زاویه مضاعف، طبق آزمون یکپارچه دولتی 2011 است.

عبارات را ساده کنید (برای دانش آموزان قوی):

در همان زمان، معلم با دانش آموزان ضعیف کار می کند و تکالیف را بر روی صفحه با دیکته دانش آموزان حل می کند.

محاسبه:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

ساده کردن:

زمان بحث در مورد نتایج کار گروه قوی فرا رسیده بود.

پاسخ ها روی صفحه نمایش داده می شود و همچنین با استفاده از دوربین فیلمبرداری، کار 5 دانش آموز مختلف (برای هر کدام یک کار) نمایش داده می شود.

گروه ضعیف شرایط و روش حل را می بیند. بحث و تحلیل در حال انجام است. با استفاده از ابزار فنی این به سرعت اتفاق می افتد.

4. حل معادلات مثلثاتی ساده. (30 دقیقه.)

هدف تکرار، نظام‌بندی و تعمیم حل ساده‌ترین معادلات مثلثاتی و نوشتن ریشه‌های آنهاست. حل مسئله B3.

هر معادله مثلثاتی، مهم نیست چگونه آن را حل کنیم، به ساده ترین آنها منجر می شود.

دانش آموزان هنگام انجام تکلیف باید به نوشتن ریشه معادلات موارد خاص و فرم عمومی و انتخاب ریشه در آخرین معادله توجه کنند.

حل معادلات:

کوچکترین ریشه مثبت را به عنوان پاسخ خود بنویسید.

5. کار مستقل (10 دقیقه)

هدف آزمایش مهارت های کسب شده، شناسایی مشکلات، خطاها و راه های رفع آنهاست.

کار چند سطحی به انتخاب دانشجو ارائه می شود.

گزینه "3"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) عبارت 1 - sin 2 3α - cos 2 3α را ساده کنید

3) معادله را حل کنید

گزینه برای "4"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) معادله را حل کنید کوچکترین ریشه مثبت را در پاسخ خود بنویسید.

گزینه برای "5"

1) tanα را پیدا کنید اگر

2) ریشه معادله را بیابید کوچکترین ریشه مثبت را به عنوان پاسخ خود بنویسید.

6. خلاصه درس (5 دقیقه)

معلم این واقعیت را خلاصه می کند که در طول درس فرمول های مثلثاتی و حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را تکرار و تقویت کردند.

تکالیف (از قبل به صورت چاپی آماده شده) با بررسی تصادفی در درس بعدی تعیین می شود.

حل معادلات:

9)

10) در پاسخ خود کوچکترین ریشه مثبت را مشخص کنید.

درس 2

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی)

روش های حل معادلات مثلثاتی. انتخاب ریشه (2 ساعت)

اهداف:

• تعمیم و سیستماتیک کردن دانش در حل معادلات مثلثاتی انواع مختلف.
• برای ارتقای رشد تفکر ریاضی دانش آموزان، توانایی مشاهده، مقایسه، تعمیم و طبقه بندی.
• دانش آموزان را تشویق کنید تا بر مشکلات در فرآیند فعالیت ذهنی غلبه کنند، به خویشتن داری و درون نگری در فعالیت های خود بپردازند.

تجهیزات برای درس: KRMu، لپ تاپ برای هر دانش آموز.

ساختار درس:

1. لحظه سازمانی
2. بحث د/ز و خود. کار از درس گذشته
3. بررسی روش های حل معادلات مثلثاتی.
4. حل معادلات مثلثاتی
5. انتخاب ریشه در معادلات مثلثاتی
6. کار مستقل.
7. خلاصه درس. مشق شب.

1. لحظه سازمانی (2 دقیقه)

معلم به حضار سلام می کند، موضوع درس و برنامه کاری را اعلام می کند.

2. الف) تجزیه و تحلیل تکالیف (5 دقیقه)

هدف بررسی اجراست. یک اثر با استفاده از دوربین فیلمبرداری روی صفحه نمایش داده می شود، بقیه به صورت انتخابی برای بررسی معلم جمع آوری می شوند.

ب) تجزیه و تحلیل کار مستقل (3 دقیقه)

هدف تجزیه و تحلیل اشتباهات و نشان دادن راه های غلبه بر آنها است.

پاسخ ها و راه حل ها روی صفحه نمایش داده می شود. تجزیه و تحلیل به سرعت پیش می رود.

3. بررسی روشهای حل معادلات مثلثاتی (5 دقیقه)

هدف، یادآوری روش‌هایی برای حل معادلات مثلثاتی است.

از دانش آموزان بپرسید که چه روش هایی برای حل معادلات مثلثاتی می شناسند. تاکید کنید که روش های به اصطلاح اساسی (متداول مورد استفاده) وجود دارد:

• جایگزینی متغیر،
• فاکتورسازی،
• معادلات همگن،

و روش های کاربردی وجود دارد:

• با استفاده از فرمول های تبدیل جمع به حاصل و حاصلضرب به جمع،
• با توجه به فرمول های کاهش مدرک،
• جایگزینی مثلثاتی جهانی
• معرفی یک زاویه کمکی،
• ضرب در یک تابع مثلثاتی

همچنین لازم به ذکر است که یک معادله را می توان به روش های مختلف حل کرد.

4. حل معادلات مثلثاتی (30 دقیقه)

هدف تعمیم و تجمیع دانش و مهارت در مورد این موضوع، برای آماده شدن برای راه حل C1 از آزمون دولتی واحد است.

حل معادلات هر روش را با دانش آموزان توصیه می کنم.

دانش آموز راه حل را دیکته می کند، معلم آن را روی تبلت می نویسد و کل فرآیند روی صفحه نمایش داده می شود. این به شما امکان می دهد مطالبی را که قبلاً پوشش داده شده را به سرعت و به طور مؤثر در حافظه خود به یاد آورید.

حل معادلات:

1) جایگزینی متغیر 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) فاکتورسازی 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) معادلات همگن sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) تبدیل مجموع به یک محصول cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) تبدیل محصول به مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) کاهش درجه sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) جایگزینی مثلثاتی جهانی sinx + 5cosx + 5 = 0.

هنگام حل این معادله، باید توجه داشت که استفاده از این روش منجر به باریک شدن دامنه تعریف می شود، زیرا سینوس و کسینوس با tg(x/2) جایگزین می شوند. بنابراین، قبل از نوشتن پاسخ، باید بررسی کنید که آیا اعداد مجموعه π + 2πn، n Z اسب های این معادله هستند یا خیر.

8) معرفی یک زاویه کمکی √3sinx + cosx - √2 = 0

9) ضرب در یک تابع مثلثاتی cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. انتخاب ریشه معادلات مثلثاتی (20 دقیقه)

از آنجایی که در شرایط رقابت شدید هنگام ورود به دانشگاه ها، حل قسمت اول امتحان به تنهایی کافی نیست، بیشتر دانشجویان باید به وظایف قسمت دوم (C1، C2، C3) توجه کنند.

بنابراین، هدف این مرحله از درس، به خاطر سپردن مطالب قبلاً مطالعه شده و آماده شدن برای حل مسئله C1 از آزمون یکپارچه دولتی 2011 است.

معادلات مثلثاتی وجود دارد که در آنها باید ریشه ها را هنگام نوشتن پاسخ انتخاب کنید. این به دلیل برخی محدودیت ها است، به عنوان مثال: مخرج کسری برابر با صفر نیست، عبارت زیر ریشه زوج غیر منفی است، عبارت زیر علامت لگاریتم مثبت است و غیره.

چنین معادلاتی معادلات با پیچیدگی افزایش یافته در نظر گرفته می شوند و در نسخه Unified State Exam در قسمت دوم یعنی C1 یافت می شوند.

معادله را حل کنید:

کسری برابر با صفر است اگر آن وقت باشد با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 1 را ببینید)

تصویر 1.

x = π + 2πn، n Z را دریافت می کنیم

پاسخ: π + 2πn، n Z

در صفحه، انتخاب ریشه ها روی یک دایره در یک تصویر رنگی نشان داده شده است.

زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است و قوس معنای خود را از دست نمی دهد. سپس

با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 2 را ببینید)