معادله با دو ماژول چگونه حل شود. توسعه روشی "معادلات با ماژول

این ماشین حساب آنلاین ریاضی به شما کمک خواهد کرد معادله یا نابرابری را با ماژول حل کنید. برنامه برای حل معادلات و نابرابری ها با ماژول هانه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیق با توضیحات، یعنی روند به دست آوردن نتیجه را نمایش می دهد.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون یکپارچه دولتی، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش های خود و/یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه کارهایی که باید حل شوند افزایش می یابد.

معادله یا نابرابری را با مدول وارد کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این کار بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در مورد آن در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

معادلات و نابرابری ها با ماژول ها

در درس جبر مدرسه ابتدایی می توانید ساده ترین معادلات و نابرابری ها را با ماژول ها برآورده کنید. برای حل آنها می توانید یک روش هندسی مبتنی بر این واقعیت اعمال کنید که \(|x-a| \) فاصله روی خط عددی بین نقاط x و a است: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). به عنوان مثال، برای حل معادله \(|x-3|=2 \)، باید نقاطی را در خط عددی پیدا کنید که در فاصله 2 از نقطه 3 قرار دارند. دو نقطه از این قبیل وجود دارد: \(x_1=1 \) و \(x_2=5 \) .

حل نابرابری \(|2x+7|

اما راه اصلی برای حل معادلات و نابرابری ها با ماژول ها به اصطلاح "بسط ماژول بر اساس تعریف" مربوط می شود:
اگر \(a \geq 0 \)، سپس \(|a|=a \);
if \(a به عنوان یک قاعده، یک معادله (نابرابری) با ماژول ها به مجموعه ای از معادلات (نابرابری ها) کاهش می یابد که شامل علامت ماژول نیستند.

علاوه بر تعریف فوق، از ادعاهای زیر استفاده می شود:
1) اگر \(c > 0 \)، پس معادله \(|f(x)|=c \) معادل مجموعه معادلات است: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(آرایه)\راست.\)
2) اگر \(c > 0 \)، پس نابرابری \(|f(x)| 3) اگر \(c \geq 0 \)، آنگاه نابرابری \(|f(x)| > c \) برابر است با معادل مجموعه نابرابری ها: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) اگر هر دو قسمت نابرابری \(f(x) مثال 1. معادله \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \) را حل کنید.

اگر \(x-1 \geq 0 \)، آنگاه \(|x-1| = x-1 \) و معادله داده شده تبدیل می شود
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \پیکان راست x^2 +2x -8 = 0 \).
اگر \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \راست فلش x^2 -2x -4 = 0 \).
بنابراین، معادله داده شده باید به طور جداگانه در هر یک از دو مورد نشان داده شده در نظر گرفته شود.
1) اجازه دهید \(x-1 \geq 0 \)، یعنی. \(x \geq 1 \). از معادله \(x^2 +2x -8 = 0 \) \(x_1=2, \; x_2=-4\) را پیدا می کنیم. شرط \(x \geq 1 \) فقط با مقدار \(x_1=2\) ارضا می شود.
2) اجازه دهید \(x-1 پاسخ دهد: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

مثال 2. معادله \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \) را حل کنید.

راه اول(بسط ماژول بر اساس تعریف).
با استدلال مانند مثال 1، نتیجه می گیریم که معادله داده شده باید به طور جداگانه تحت دو شرط در نظر گرفته شود: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) یا \(x^2-6x+7

1) اگر \(x^2-6x+7 \geq 0 \)، آنگاه \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) و معادله داده شده می شود \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). با حل این معادله درجه دوم، به دست می آید: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
بیایید دریابیم که آیا مقدار \(x_1=6 \) شرط \(x^2-6x+7 \geq 0 \) را برآورده می کند یا خیر. برای انجام این کار، مقدار مشخص شده را با نابرابری درجه دوم جایگزین می کنیم. دریافت می کنیم: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \)، یعنی. \(7 \geq 0 \) نابرابری صحیح است. بنابراین، \(x_1=6 \) ریشه معادله داده شده است.
بیایید دریابیم که آیا مقدار \(x_2=\frac(5)(3) \) شرط \(x^2-6x+7 \geq 0 \) را برآورده می کند یا خیر. برای انجام این کار، مقدار مشخص شده را با نابرابری درجه دوم جایگزین می کنیم. دریافت می کنیم: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \)، یعنی. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) یک نابرابری نامعتبر است. بنابراین \(x_2=\frac(5)(3) \) ریشه معادله داده شده نیست.

2) اگر \(x^2-6x+7 مقدار \(x_3=3\) شرط \(x^2-6x+7 را برآورده کند مقدار \(x_4=\frac(4)(3) \) شرط \ را برآورده نمی کند (x^2-6x+7 بنابراین، معادله داده شده دو ریشه دارد: \(x=6, \; x=3 \).

راه دوم.با توجه به یک معادله \(|f(x)| = h(x) \)، سپس برای \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(آرایه)\راست. \)
هر دوی این معادلات در بالا حل شده اند (با روش اول برای حل معادله داده شده)، ریشه آنها به شرح زیر است: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) ) (3) \). شرط \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) از این چهار مقدار فقط با دو عدد: 6 و 3 ارضا می شود. بنابراین، معادله داده شده دارای دو ریشه است: \(x=6، \; x=3 \ ).

راه سوم(گرافیک).
1) بیایید تابع \(y = |x^2-6x+7| \) را رسم کنیم. ابتدا یک سهمی \(y = x^2-6x+7\) می سازیم. ما \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) داریم. نمودار تابع \(y = (x-3)^2-2 \) را می توان از نمودار تابع \(y = x^2 \) با جابجایی 3 واحد مقیاس به سمت راست (در سمت راست) بدست آورد. محور x) و 2 واحد مقیاس پایین (در امتداد محور y). خط راست x=3 محور سهمی است که ما به آن علاقه داریم. به عنوان نقاط کنترل برای ترسیم دقیق تر، گرفتن نقطه (3؛ -2) - بالای سهمی، نقطه (0؛ 7) و نقطه (6؛ 7) متقارن با آن نسبت به محور راحت است. سهمی
اکنون برای ساختن نمودار تابع \(y = |x^2-6x+7| \)، باید آن قسمت هایی از سهمی ساخته شده را که زیر محور x قرار ندارند، بدون تغییر رها کنید و بخشی از آن را منعکس کنید. سهمی که زیر محور x حول محور x قرار دارد.
2) بیایید تابع خطی \(y = \frac(5x-9)(3) را رسم کنیم. گرفتن نقاط (0; -3) و (3; 2) به عنوان نقاط کنترل راحت است.

ضروری است که نقطه x \u003d 1.8 از تقاطع خط مستقیم با محور آبسیسا در سمت راست نقطه تقاطع چپ سهمی با محور آبسیسا قرار گیرد - این نقطه \(x=3-\ است. sqrt(2) \) (از آنجا که \(3-\sqrt(2) 3) با قضاوت در نقاشی، نمودارها در دو نقطه - A (3; 2) و B (6; 7) قطع می شوند. نقاط x \u003d 3 و x \u003d 6 در معادله داده شده، مطمئن می شویم که هر دو مقدار دیگر برابری عددی صحیح را ارائه می دهند. بنابراین، فرضیه ما تأیید شد - معادله دو ریشه دارد: x \u003d 3 و x \u003d 6 پاسخ: 3؛ 6.

اظهار نظر. روش گرافیکی، با همه ظرافت آن، چندان قابل اعتماد نیست. در مثال در نظر گرفته شده، فقط به این دلیل کار می کند که ریشه های معادله اعداد صحیح هستند.

مثال 3. حل معادله \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

راه اول
عبارت 2x–4 در نقطه x = 2 0 و عبارت x + 3 در نقطه x = –3 می شود. این دو نقطه خط اعداد را به سه بازه تقسیم می کنند: \(x

اولین فاصله را در نظر بگیرید: \((-\infty; \; -3) \).
اگر x بازه دوم را در نظر بگیرید: \([-3; \; 2) \).
اگر \(-3 \leq x بازه سوم را در نظر بگیرید: \(. اکنون مدول داخلی را برای x>2.5 گسترش دهید. معادله ای با یک مدول بدست آورید.
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
هنگام گسترش ماژول، معادلات خطی زیر را به دست می آوریم
-2x+6=x+3 یا 2x-6=x+3.
2x+x=6-3 یا 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 یا x=9.
مقدار اول x=1 شرط x>2.5 را برآورده نمی کند. بنابراین در این بازه یک ریشه معادله با مدول x=9 داریم و فقط دو تا از آنها وجود دارد (x=1/3) با جایگزینی می توانید صحت محاسبات انجام شده را بررسی کنید.
پاسخ: x=1/3; x=9.

مثال 4 راه حل های ماژول دوگانه را بیابید ||3x-1|-5|=2x-3.
راه حل: ماژول داخلی معادله را گسترش دهید
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
نقطه x=2.5 محور عددی را به دو بازه و معادله داده شده را به دو حالت تقسیم می کند. شرط حل را بر اساس نوع معادله سمت راست می نویسیم
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
نتیجه این است که ما به مقادیر>=1.5 علاقه مند هستیم. بدین ترتیب معادله مدولاربه دو بازه نگاه کنید
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
ماژول به دست آمده، هنگامی که گسترش می یابد، به 2 معادله تقسیم می شود
-3x-4=2x-3 یا 3x+4=2x-3.
2x+3x=-4+3 یا 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 یا x=-7.
هر دو مقدار در فاصله زمانی قرار نمی گیرند، یعنی راه حلی برای معادله با ماژول ها نیستند. بعد، مدول را برای x>2.5 گسترش دهید. معادله زیر را بدست می آوریم
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
با گسترش ماژول، 2 معادله خطی به دست می آوریم
3x-6=2x-3 یا –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6یا 2x+3x=6+3;
x=3 یا 5x=9; x=9/5=1.8.
مقدار دوم یافت شده شرط x>2.5 را ندارد، ما آن را رد می کنیم.
در نهایت یک ریشه معادله با ماژول های x=3 داریم.
ما یک بررسی انجام می دهیم
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
ریشه معادله با مدول به درستی محاسبه شده است.
پاسخ: x=1/3; x=9.

A طبق قوانین زیر محاسبه می شود:

برای اختصار استفاده کنید |a|. بنابراین، |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| = 100 و غیره

هر اندازه ایکسمربوط به مقدار نسبتا دقیق | ایکس|. و این یعنی هویت در= |ایکس| برقرار می کند درمثل بعضی ها تابع آرگومان ایکس.

برنامهاین کارکرددر زیر ارائه شده است.

برای ایکس > 0 |ایکس| = ایکس، و برای ایکس< 0 |ایکس|= -ایکس; در ارتباط با این خط y = | ایکس| در ایکس> 0 با خط تراز شده است y=x(نصف ساز اولین زاویه مختصات)، و چه زمانی ایکس< 0 - с прямой y = -x(نصف ساز زاویه مختصات دوم).

جداگانه، مجزا معادلاتشامل مجهولات زیر علامت مدول.

نمونه های دلخواه از این گونه معادلات - | ایکس— 1| = 2, |6 — 2ایکس| =3ایکس+ 1 و غیره

حل معادلاتحاوی مجهول در زیر علامت ماژول بر این واقعیت استوار است که اگر قدر مطلق عدد مجهول x برابر با عدد مثبت a باشد، خود این عدد x برابر با a یا -a است.

مثلا: اگر | ایکس| = 10، سپس یا ایکس= 10، یا ایکس = -10.

در نظر گرفتن حل معادلات فردی.

بیایید حل معادله | ایکس- 1| = 2.

بیایید ماژول را باز کنیمسپس تفاوت ایکس- 1 می تواند برابر با 2 + یا - 2 باشد. اگر x - 1 = 2، پس ایکس= 3; اگر ایکس- 1 = - 2، سپس ایکس= - 1. ما یک جایگزین انجام می دهیم و دریافت می کنیم که هر دوی این مقادیر معادله را برآورده می کنند.

پاسخ.این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = 3, ایکس 2 = - 1.

بیایید تحلیل کنیم حل معادله | 6 — 2ایکس| = 3ایکس+ 1.

بعد از گسترش ماژولمی گیریم: یا 6 - 2 ایکس= 3ایکس+ 1 یا 6 - 2 ایکس= - (3ایکس+ 1).

در مورد اول ایکس= 1، و در دوم ایکس= - 7.

معاینه.در ایکس= 1 |6 — 2ایکس| = |4| = 4, 3ایکس+ 1 = 4; از دادگاه می آید ایکس = 1 - ریشه بداده شده معادلات.

در ایکس = - 7 |6 — 2ایکس| = |20| = 20, 3ایکس+ 1 = - 20; از 20 ≠ -20، سپس ایکس= - 7 ریشه این معادله نیست.

پاسخ. درمعادلات فقط یک ریشه دارند: ایکس = 1.

معادلات از این نوع می تواند حل و گرافیکی.

پس بیایید تصمیم بگیریم مثلا, معادله گرافیکی | ایکس- 1| = 2.

اول بسازیم نمودار تابع در = |ایکس— 1|. ابتدا نمودار تابع را رسم می کنیم. در=ایکس- 1:

اون قسمتش هنرهای گرافیکی، که بالای محور قرار دارد ایکسما تغییر نخواهیم کرد برای او ایکس- 1 > 0 و بنابراین | ایکس-1|=ایکس-1.

بخشی از نمودار که در زیر محور قرار دارد ایکس، تصور کن به صورت متقارندر مورد این محور چون برای این قسمت ایکس - 1 < 0 и соответственно |ایکس - 1|= - (ایکس - 1). در نتیجه شکل گرفته است خط(خط جامد) و اراده نمودار تابع y = | ایکس—1|.

این خط با سر راست در= 2 در دو نقطه: M 1 با آبسیسا -1 و M 2 با آبسیسا 3. و بر این اساس، معادله | ایکس- 1| =2 دو ریشه خواهد داشت: ایکس 1 = - 1, ایکس 2 = 3.

توچیلکینا جولیا

در این مقاله روش های مختلفی برای حل معادلات با مدول ارائه شده است.

دانلود:

پیش نمایش:

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

"دبیرستان شماره 59"

معادلات مدولو

کار انتزاعی

انجام دانش آموز پایه نهم

MBOU "دبیرستان شماره 59"، Barnaul

توچیلکینا جولیا

سرپرست

زاخارووا لودمیلا ولادیمیروا،

معلم ریاضی

MBOU "دبیرستان شماره 59"، Barnaul

بارنائول 2015

معرفی

من کلاس نهم هستم. این سال تحصیلی باید گواهینامه نهایی دوره ابتدایی را بگذرانم. برای آماده شدن برای امتحان، مجموعه ای از ریاضیات D. A. Maltsev را خریداری کردیم. درجه 9 با نگاهی به مجموعه، معادلاتی را یافتم که نه تنها شامل یک، بلکه چندین ماژول بودند. معلم به من و همکلاسی هایم توضیح داد که به این گونه معادلات، معادلات "ماژول های تودرتو" می گویند. این نام برای ما غیرعادی به نظر می رسید و راه حل در نگاه اول نسبتاً پیچیده است. به این ترتیب موضوع کار من "معادلات با مدول" ظاهر شد. تصمیم گرفتم این مبحث را عمیق تر مطالعه کنم، به خصوص که در امتحانات پایان سال تحصیلی برای من مفید خواهد بود و فکر می کنم در کلاس های 10 و 11 به آن نیاز خواهم داشت. همه موارد بالا ارتباط موضوعی را که من انتخاب کرده ام تعیین می کند.

هدف کار:

1. روش های مختلفی را برای حل معادلات با مدول در نظر بگیرید.
2. حل معادلات حاوی علامت قدر مطلق را با روش های مختلف بیاموزید

برای کار بر روی موضوع، وظایف زیر فرموله شد:

وظایف:

1. برای مطالعه مطالب نظری با موضوع "مدول یک عدد واقعی".
2. روش هایی را برای حل معادلات در نظر بگیرید و دانش به دست آمده از حل مسائل را تثبیت کنید.
3. دانش کسب شده را در حل معادلات مختلف حاوی علامت مدول در دبیرستان به کار ببرید

موضوع مطالعه:روش های حل معادلات با مدول

موضوع مطالعه:معادلات مدول

روش های پژوهش:

نظری : مطالعه ادبیات موضوع تحقیق.

اینترنت - اطلاعات

تحلیل و بررسی اطلاعات به دست آمده در مطالعه ادبیات؛ نتایج حاصل از حل معادلات با مدول به روش های مختلف.

مقایسه روش های حل معادلات، موضوع عقلانیت استفاده از آنها در حل معادلات مختلف با یک ماژول.

"وقتی به چیزی برخورد می کنیم شروع به فکر کردن می کنیم." پل والری.

1. مفاهیم و تعاریف.

مفهوم "مدول" به طور گسترده در بسیاری از بخش های درس ریاضیات مدرسه استفاده می شود، به عنوان مثال، در مطالعه خطاهای مطلق و نسبی یک عدد تقریبی. در هندسه و فیزیک مفاهیم بردار و طول آن (مدول برداری) مورد بررسی قرار می گیرد. مفهوم ماژول در دروس عالی ریاضیات، فیزیک و علوم فنی مورد مطالعه در موسسات آموزش عالی استفاده می شود.

کلمه "module" از کلمه لاتین "modulus" گرفته شده است که در ترجمه به معنای "اندازه گیری" است. این کلمه معانی زیادی دارد و نه تنها در ریاضیات، فیزیک و فناوری، بلکه در معماری، برنامه نویسی و سایر علوم دقیق نیز کاربرد دارد.

اعتقاد بر این است که این اصطلاح توسط کوتس، یکی از شاگردان نیوتن پیشنهاد شد. علامت ماژول در قرن 19 توسط Weierstrass معرفی شد.

در معماری، یک ماژول واحد اندازه گیری اولیه است که برای یک ساختار معماری معین ایجاد شده است.

در مهندسی، این اصطلاحی است که در زمینه های مختلف فناوری استفاده می شود، که برای نشان دادن ضرایب و کمیت های مختلف، به عنوان مثال، مدول الاستیسیته، مدول درگیری ...

در ریاضیات، مدول معانی مختلفی دارد، اما من با آن به عنوان قدر مطلق یک عدد برخورد می کنم.

تعریف 1: مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعیآ خود شماره if نامیده می شودآ ≥0 یا عدد مقابل -و اگر آ مدول صفر صفر است.

هنگام حل معادلات با یک ماژول، استفاده از خواص ماژول راحت است.

برهان خواص 5،6،7 را در نظر بگیرید.

بیانیه 5. برابری │ درست است اگر av ≥ 0.

اثبات در واقع، پس از مجذور کردن هر دو قسمت این برابری، │ را به دست می آوریم a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ تا │²،

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b²، از آنجا │ av │ = av

و آخرین برابری صادق خواهد بود av ≥0.

بیانیه 6. برابری │ a-c │=│ a │+│ c │ زمانی درست است av ≤0.

اثبات برای اثبات آن به مساوات بسنده می شود

│ a + در │=│ a │+│ در │ به جای - in، سپس a (- in) ≥0، از آنجا av ≤0 است.

بیانیه 7. برابری │ a │+│ در │ = a + در انجام شده در a ≥0 و b ≥0.

اثبات . با در نظر گرفتن چهار مورد a ≥0 و b ≥0; a ≥0 و b آ در ≥0؛ آ V a ≥0 و b ≥0.

(a-c) در ≥0.

تفسیر هندسی

|a| فاصله روی خط مختصات از نقطه دارای مختصات استآ ، به مبدأ مختصات.

|-a| |a|

A 0 a x

تفسیر هندسی معنی |a| به وضوح تایید می کند که |-a|=|a|

اگر یک 0، سپس بر روی خط مختصات دو نقطه a و -a با فاصله مساوی از صفر وجود دارد که ماژول های آنها برابر هستند.

اگر a=0، در خط مختصات |a| با نقطه 0 نشان داده شده است.

تعریف 2: معادله با مدول معادله ای است که دارای متغیری تحت علامت قدر مطلق (زیر علامت مدول) است. به عنوان مثال: |x +3|=1

تعریف 3: حل یک معادله به معنای یافتن تمام ریشه های آن یا اثبات عدم وجود ریشه است.

2. روش های حل

از تعریف و ویژگی های ماژول، روش های اصلی برای حل معادلات با ماژول به شرح زیر است:

1. "گسترش" یک ماژول (به عنوان مثال استفاده از یک تعریف)؛
2. استفاده از معنای هندسی ماژول (خاصیت 2)؛
3. روش حل گرافیکی;
4. استفاده از تبدیل های معادل (خواص 4.6).
5. جایگزینی متغیر (این از ویژگی 5 استفاده می کند).
6. روش فاصله

من تعداد نسبتاً زیادی مثال را حل کردم، اما در کار خود فقط چند نمونه را به شما ارائه می دهم، به نظر من، نمونه های معمولی به روش های مختلف حل شده اند، زیرا بقیه همدیگر را تکرار می کنند و به منظور درک چگونگی حل معادلات با یک ماژول، نیازی به در نظر گرفتن تمام مثال های حل شده نیست.

حل معادلات | f(x)| =آ

معادله | را در نظر بگیرید f(x)| = a، و R

معادله ای از این نوع را می توان با تعریف مدول حل کرد:

اگر آ پس معادله ریشه ندارد.

اگر a= 0، سپس معادله معادل f(x)=0 است.

اگر a>0، سپس معادله معادل مجموعه است

مثال. معادله |3x+2|=4 را حل کنید.

راه حل.

|3x+2|=4، سپس 3x+2=4،

3x+2= -4;

X=-2،

X=2/3

پاسخ: -2؛ 2/3.

حل معادلات با استفاده از خواص هندسی مدول.

مثال 1 معادله /x-1/+/x-3/=6 را حل کنید.

راه حل.

حل این معادله به معنای یافتن تمام چنین نقاطی در محور عددی Ox است که مجموع فواصل آن تا نقاط با مختصات 1 و 3 برابر با 6 است.

هیچ یک از نقاط روی خطاین شرط را برآورده نمی کند، زیرا مجموع فواصل مشخص شده 2 است. خارج از این بخش، دو نقطه وجود دارد: 5 و -1.

1 1 3 5

پاسخ: -1؛5

مثال 2 حل معادله |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

راه حل.

x 2 + x-5 \u003d a، سپس / a / + / a-4 را نشان می دهیم /=10. بیایید نقاطی را در محور x پیدا کنیم که برای هر یک از آنها مجموع فواصل نقاط با مختصات 0 و 4 برابر با 10 باشد. این شرط با 4- و 7 برآورده می شود.

3 0 4 7

بنابراین x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1، x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4، x 2 \u003d 3 پاسخ: -4؛ -2؛ 1 3.

حل معادلات | f(x)| = | g(x)|.

1. از زمان | a |=|b |، اگر a=b، سپس معادله ای از فرم | f(x)| = | g(x )| مساوی است با یک کل

مثال 1.

حل معادله | x–2| = |3 - x |.

راه حل.

این معادله معادل دو معادله است:

x - 2 \u003d 3 - x (1) و x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - نادرست است

ایکس = 2.5 معادله هیچ راه حلی ندارد.

پاسخ: 2.5.

مثال 2

حل معادله |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

راه حل.

از آنجایی که هر دو طرف معادله غیر منفی هستند، پسمربع کردن تبدیل معادل است:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x2 -18)=0،

6x-22=0 یا 2x2 -18=0;

X=22/6، x=3، x=-3.

X=11/3

پاسخ: -3; 3; 11/3.

حل معادلات نما | f(x)| = g(x).

تفاوت بین این معادلات و| f(x)| = a به این صورت که سمت راست نیز یک متغیر است. و می تواند هم مثبت و هم منفی باشد. بنابراین، باید از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید، زیرا مدول نمی تواند برابر با یک عدد منفی (ویژگی) باشد.№1 )

1 راه

حل معادله | f(x)| = g(x ) به مجموعه راه حل های معادلات تقلیل می یابدو بررسی صحت نابرابری g(x )> 0 برای مقادیر یافت شده ناشناخته.

2 راه (بر اساس تعریف ماژول)

از زمان | f(x)| = g (x) اگر f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) اگر f(x)

مثال.

حل معادله |3 x –10| = x - 2.

راه حل.

این معادله معادل ترکیب دو سیستم است:

O t e t: 3; 4.

حل معادلات فرم |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

حل معادلات از این نوع بر اساس تعریف ماژول است. برای هر تابع f 1 (x)، f 2 (x)، …، f n (x) لازم است دامنه تعریف، صفرها و نقاط ناپیوستگی آن را پیدا کرد و دامنه کلی تعریف را به فواصل تقسیم کرد که در هر یک از آنها توابع f 1 (x)، f 2 (x)، …، f n (x) علامت خود را حفظ کنید. علاوه بر این، با استفاده از تعریف ماژول، برای هر یک از مناطق یافت شده معادله ای به دست می آوریم که باید در یک بازه معین حل شود. این روش نام داردروش فاصله»

مثال.

معادله |x-2|-3|x+4|=1 را حل کنید.

راه حل.

بیایید نقاطی را پیدا کنیم که عبارات زیر ماژول برابر با صفر هستند

x-2=0، x+4=0،

x=2; x=-4.

بیایید خط اعداد را به بازه های x بشکنیم

حل معادله به حل سه سیستم کاهش می یابد:

پاسخ: -15، -1.8.

روش گرافیکی برای حل معادلات شاملعلامت ماژول.

روش گرافیکی حل معادلات تقریبی است، زیرا دقت بستگی به بخش منفرد انتخاب شده، ضخامت مداد، زوایای تلاقی خطوط و غیره دارد. اما این روش به شما امکان می دهد تخمین بزنید که یک معادله خاص چند راه حل دارد.

مثال. معادله |x - 2| را به صورت گرافیکی حل کنید + |x - 3| + |2x - 8| = 9

راه حل. اجازه دهید نمودارهای توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| و y=9.

برای ساخت یک نمودار، لازم است این تابع در هر بازه در نظر گرفته شود (-∞; 2). [ 3/2 ; ∞)

پاسخ: (- ∞ ؛ 4/3] [ 3/2 ؛ ∞ )

همچنین از روش تبدیل معادل در حل معادلات | f(x)| = | g(x)|.

معادلات با "ماژول پیچیده"

نوع دیگری از معادلات، معادلات با مدول «مختلط» است. چنین معادلاتی شامل معادلاتی است که دارای "ماژول های درون یک ماژول" هستند. معادلات از این نوع را می توان با استفاده از روش های مختلف حل کرد.

مثال 1

حل معادله ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

راه حل.

با تعریف ماژول، داریم:

بیایید معادله اول را حل کنیم.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | - 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

بیایید معادله دوم را حل کنیم.

1. ||| x | –2| –1| = 0،

|| x | –2| = 1،

| x | -2 = 1،

| x | = 3 و | x | = 1،

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

مثال 2

حل معادله |2 – |x + 1|| = 3.

راه حل.

بیایید با معرفی یک متغیر جدید معادله را حل کنیم.

اجازه دهید | x + 1| = y، سپس |2 – y | = 3، از این رو

بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم:

(1) | ایکس + 1| = -1 - بدون راه حل.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; 4.

مثال 3.

معادله چند ریشه دارد | 2 | x | -6 | = 5 - x؟

راه حل. بیایید معادله را با استفاده از طرح های هم ارزی حل کنیم.

معادله | 2 | x | -6 | = 5 -x معادل سیستم است: