ضد مشتق در چه نقاطی برابر با صفر است؟

نوع شغل: 7
موضوع: ضد مشتق تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد (که یک خط شکسته است که از سه بخش مستقیم تشکیل شده است). با استفاده از شکل، F(9)-F(5) را محاسبه کنید، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است.

نشان دادن راه حل

راه حل

طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، تفاوت F(9)-F(5)، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است، برابر با مساحت ذوزنقه منحنی محدود است. توسط نمودار تابع y=f(x)، خطوط مستقیم y=0، x=9 و x=5. از نمودار مشخص می کنیم که ذوزنقه منحنی نشان داده شده ذوزنقه ای با پایه های برابر با 4 و 3 و ارتفاع 3 است.

مساحت آن برابر است \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

پاسخ

نوع شغل: 7
موضوع: ضد مشتق تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=F(x) را نشان می دهد - یکی از پاد مشتق های برخی از تابع f(x) که در بازه (5-5؛ 5) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد جواب های معادله f(x)=0 را در قطعه [-3; 4].

نشان دادن راه حل

راه حل

با توجه به تعریف ضد مشتق، برابری برقرار است: F"(x)=f(x) بنابراین، معادله f(x)=0 را می توان به صورت F"(x)=0 نوشت. از آنجایی که شکل نمودار تابع y=F(x) را نشان می دهد، باید آن نقاط را در بازه [-3; 4] که در آن مشتق تابع F(x) برابر با صفر است. از شکل مشخص است که اینها ابسیساهای نقاط انتهایی (حداکثر یا حداقل) نمودار F(x) خواهند بود. دقیقاً 7 مورد از آنها در فاصله زمانی مشخص شده وجود دارد (چهار امتیاز حداقل و سه امتیاز حداکثر).

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: ضد مشتق تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد (که یک خط شکسته است که از سه بخش مستقیم تشکیل شده است). با استفاده از شکل، F(5)-F(0) را محاسبه کنید، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است.

نشان دادن راه حل

راه حل

طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، تفاوت F(5)-F(0)، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است، برابر با مساحت ذوزنقه منحنی محدود است. توسط نمودار تابع y=f(x)، خطوط مستقیم y=0، x=5 و x=0. از نمودار مشخص می کنیم که ذوزنقه منحنی نشان داده شده ذوزنقه ای با پایه های برابر با 5 و 3 و ارتفاع 3 است.

مساحت آن برابر است \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: ضد مشتق تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=F(x) را نشان می دهد - یکی از پاد مشتق های برخی از تابع f(x) که در بازه (5-؛ 4) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد راه حل های معادله f (x) = 0 را در بخش (3-3] تعیین کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

با توجه به تعریف ضد مشتق، برابری برقرار است: F"(x)=f(x) بنابراین، معادله f(x)=0 را می توان به صورت F"(x)=0 نوشت. از آنجایی که شکل نمودار تابع y=F(x) را نشان می دهد، باید آن نقاط را در بازه [-3; 3] که در آن مشتق تابع F(x) برابر با صفر است.

از شکل مشخص است که اینها ابسیساهای نقاط انتهایی (حداکثر یا حداقل) نمودار F(x) خواهند بود. دقیقاً 5 مورد از آنها در فاصله مشخص شده وجود دارد (دو امتیاز حداقل و سه امتیاز حداکثر).

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: ضد مشتق تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد. تابع F(x)=-x^3+4.5x^2-7 یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است.

مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

شکل سایه دار یک ذوزنقه منحنی است که از بالا با نمودار تابع y=f(x)، خطوط مستقیم y=0، x=1 و x=3 محدود شده است. طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، مساحت آن S برابر است با اختلاف F(3)-F(1)، که در آن F(x) پاد مشتق تابع f(x) مشخص شده در شرط است. از همین رو S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: ضد مشتق تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد. تابع F(x)=x^3+6x^2+13x-5 یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

سلام دوستان! در این مقاله به بررسی وظایف ضد مشتقات خواهیم پرداخت. این وظایف در آزمون دولتی واحد در ریاضیات گنجانده شده است. علیرغم این واقعیت که خود بخش ها - تمایز و ادغام - در درس جبر کاملاً ظرفیت دارند و نیاز به رویکردی مسئولانه برای درک دارند، خود وظایف که در بانک باز وظایف در ریاضیات گنجانده شده اند و در Unified بسیار ساده خواهند بود. آزمون دولتی و در یک یا دو مرحله قابل حل است.

مهم است که دقیقاً ماهیت ضد مشتق و به ویژه معنای هندسی انتگرال را درک کنیم. اجازه دهید به طور خلاصه مبانی نظری را بررسی کنیم.

معنای هندسی انتگرال

به طور خلاصه در مورد انتگرال می توان گفت: انتگرال مساحت است.

تعریف: اجازه دهید نموداری از تابع مثبت f تعریف شده بر روی قطعه در صفحه مختصات داده شود. زیرگراف (یا ذوزنقه منحنی) شکلی است که با نمودار تابع f، خطوط x = a و x = b و محور x محدود شده است.

تعریف: اجازه دهید یک تابع مثبت f داده شود که روی یک قطعه متناهی تعریف شده است. انتگرال تابع f روی یک قطعه، مساحت زیرگراف آن است.

همانطور که قبلاً گفته شد F′(x) = f (x).چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟

ساده است. ما باید تعیین کنیم که چند نقطه در این نمودار وجود دارد که در آنها F'(x) = 0 باشد. می دانیم که در آن نقاطی که مماس نمودار تابع با محور x موازی است. بیایید این نقاط را در بازه [–2;4] نشان دهیم:

اینها نقاط انتهایی یک تابع معین F (x) هستند. ده نفر از آنها وجود دارد.

جواب: 10

323078. شکل نمودار یک تابع معین y = f (x) را نشان می دهد (دو پرتو با نقطه شروع مشترک). با استفاده از شکل، F (8) - F (2) را محاسبه کنید، که در آن F (x) یکی از پاد مشتق های تابع f (x) است.

بیایید دوباره قضیه نیوتن-لایب نیتس را بنویسیم:فرض کنید f یک تابع معین باشد، F پاد مشتق دلخواه آن باشد. سپس

و این، همانطور که قبلاً گفته شد، ناحیه زیرگراف تابع است.

بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه (فاصله بین 2 تا 8) می رسد:

محاسبه آن توسط سلول ها دشوار نیست. ما 7 را دریافت می کنیم. علامت مثبت است، زیرا شکل بالای محور x (یا در نیمه صفحه مثبت محور y) قرار دارد.

همچنین در در این موردمی توان این را گفت: تفاوت در مقادیر ضد مشتقات در نقاط، مساحت شکل است.

جواب: 7

323079. شکل نمودار یک تابع معین y = f (x) را نشان می دهد. تابع F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1.875 یکی از پاد مشتق های تابع y = f (x) است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

همانطور که قبلاً در مورد معنای هندسی انتگرال گفته شد ، این مساحت شکل محدود شده توسط نمودار تابع f (x) ، خطوط مستقیم x = a و x = b و محور ox است.

قضیه (نیوتن-لایبنیتس):

بنابراین، کار به محاسبه انتگرال قطعی یک تابع معین در بازه 11- تا 9- می رسد، یا به عبارت دیگر، باید تفاوت مقادیر ضد مشتقات محاسبه شده در نقاط مشخص شده را پیدا کنیم:

پاسخ: 6

323080. شکل نموداری از تابع y = f (x) را نشان می دهد.

تابع F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 یکی از پاد مشتق های تابع f (x) است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

قضیه (نیوتن-لایبنیتس):

مشکل به محاسبه انتگرال قطعی یک تابع معین در بازه 10- تا 8- است:

پاسخ: 4 می توانید مشاهده کنید .

مشتقات و قوانین تمایز نیز در . شناخت آنها نه تنها برای حل چنین وظایفی ضروری است.

همچنین می توانید به اطلاعات راهنما در وب سایت و.

ویدیوی کوتاهی را تماشا کنید، این گزیده ای از فیلم "سمت کور" است. می توان گفت که این یک فیلم در مورد آموزش است، درباره رحمت است، در مورد اهمیت جلسات ظاهراً "تصادفی" در زندگی ما ... اما این کلمات کافی نخواهد بود، توصیه می کنم خود فیلم را تماشا کنید، آن را به شدت توصیه می کنم.

آرزو می کنم موفق شوی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

خط مستقیم y=3x+2 مماس با نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 است. با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 باشد که مماس بر این نمودار از آن عبور می کند.

مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر است با شیب مماس، یعنی y"(x_0)=-24x_0+b=3. از سوی دیگر، نقطه مماس به طور همزمان به هر دو نمودار مربوط می شود. تابع و مماس، یعنی -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ما یک سیستم معادلات به دست می آوریم. \begin(موارد) -24x_0+b=3،\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \پایان (موارد)

با حل این سیستم، x_0^2=1 به دست می‌آید، یعنی یا x_0=-1 یا x_0=1. طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

پاسخ

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد (که یک خط شکسته است که از سه بخش مستقیم تشکیل شده است). با استفاده از شکل، F(9)-F(5) را محاسبه کنید، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است.

نشان دادن راه حل

راه حل

طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، تفاوت F(9)-F(5)، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است، برابر با مساحت ذوزنقه منحنی محدود است. توسط نمودار تابع y=f(x)، خطوط مستقیم y=0، x=9 و x=5. از نمودار مشخص می کنیم که ذوزنقه منحنی نشان داده شده ذوزنقه ای با پایه های برابر با 4 و 3 و ارتفاع 3 است.

مساحت آن برابر است \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نمودار y=f"(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (4-؛ 10) تعریف شده است. فواصل تابع نزولی f(x) را بیابید. طول بزرگترین آنها را نشان می دهد.

نشان دادن راه حل

راه حل

همانطور که مشخص است تابع f(x) در بازه هایی کاهش می یابد که مشتق f"(x) کمتر از صفر باشد. به طور طبیعی از شکل متمایز می شود: (-4؛ -2)؛ (0؛ 3؛ (5؛ 9).

طول بزرگترین آنها - (5؛ 9) 4 است.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نمودار y=f"(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (7-8؛ 7) تعریف شده است. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) متعلق به فاصله [-6؛ -2].

نشان دادن راه حل

راه حل

نمودار نشان می دهد که مشتق f"(x) تابع f(x) علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد (در چنین نقاطی حداکثر وجود خواهد داشت) دقیقاً در یک نقطه (بین -5 و -4) از بازه [ -6؛ ​​-2 ] بنابراین، در بازه [-6; -2] دقیقاً یک نقطه حداکثر وجود دارد.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (2-؛ 8) تعریف شده است. تعداد نقاطی که مشتق تابع f(x) برابر 0 است را تعیین کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

برابری مشتق در نقطه صفر به این معنی است که مماس بر نمودار تابع رسم شده در این نقطه با محور Ox موازی است. بنابراین، نقاطی را می یابیم که مماس نمودار تابع با محور Ox موازی است. در این نمودار، چنین نقاطی نقاط افراطی (حداکثر یا حداقل امتیاز) هستند. همانطور که می بینید، 5 نقطه افراطی وجود دارد.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

خط مستقیم y=-3x+4 با مماس نمودار تابع y=-x^2+5x-7 موازی است. آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

ضریب زاویه ای خط مستقیم به نمودار تابع y=-x^2+5x-7 در نقطه دلخواه x_0 برابر است با y"(x_0). اما y"=-2x+5، که به معنای y" است. (x_0)=-2x_0+5 زاویه ای ضریب خط y=-3x+4 مشخص شده در شرط برابر با 3- است خطوط موازی ضرایب شیب یکسانی دارند بنابراین مقدار x_0 را پیدا می کنیم به طوری که =- 2x_0 +5=-3.

دریافت می کنیم: x_0 = 4.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد و نقاط -6، -1، 1، 4 روی آبسیسا مشخص شده است. مشتق در کدام یک از این نقاط کوچکترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

51. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=f "(x)- مشتق از یک تابع f(x)در بازه (- 4; 6) تعریف شده است. ابسیسا نقطه مماس بر نمودار تابع را پیدا کنید y=f(x) موازی با خط y=3xیا منطبق با آن است.

پاسخ: 5

52. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F(x) f(x) f(x)مثبت؟

جواب: 7

53. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F(x)یکی از ضد مشتقات برخی از عملکردها f(x) و هشت نقطه روی محور x مشخص شده است: x1، x2، x3، x4، x5، x6، x7، x8.تابع در چند نقطه از این نقاط است f(x)منفی؟

پاسخ: 3

54. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F(x)یکی از ضد مشتقات برخی از عملکردها f(x)و ده نقطه روی محور x مشخص شده است: x1، x2، x3، x4، x5، x6، x7، x8، x9، x10. تابع در چند نقطه از این نقاط است f(x)مثبت؟

پاسخ: 6

55. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F(x f(x)در بازه (- 7; 5) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد جواب های معادله را مشخص کنید f(x)=0در بخش [- 5; 2].

پاسخ: 3

56. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F(x)یکی از پاد مشتق های تابع f (ایکس)،در بازه (- 8; 7) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد جواب های معادله را مشخص کنید f(x)= 0 در بازه [- 5; 5].

پاسخ: 4

57. شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F(ایکس) یکی از پاد مشتق های فلان تابع f(ایکس، در بازه (1;13) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد جواب های معادله را مشخص کنید f (ایکس)=0 در بخش.

پاسخ: 4

58. شکل نمودار یک تابع معین را نشان می دهد y=f(x)(دو پرتو با نقطه شروع مشترک). با استفاده از شکل، محاسبه کنید F(-1)-F(-8)،جایی که F(x) f(x).

جواب: 20

59. شکل نمودار یک تابع معین را نشان می دهد y=f(x) (دو پرتو با نقطه شروع مشترک). با استفاده از شکل، محاسبه کنید F(-1)-F(-9)،جایی که F(x)- یکی از توابع اولیه f(x).

جواب: 24

60. شکل نمودار یک تابع معین را نشان می دهد y=f(x). تابع

-یکی از توابع اولیه f(x).مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

پاسخ: 6

61. شکل نمودار یک تابع معین را نشان می دهد y=f(x).تابع

یکی از توابع اولیه f(x). مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید.

جواب: 14.5

به موازات مماس بر نمودار تابع

پاسخ: 0.5

آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.

پاسخ 1

مماس بر نمودار تابع است

پیدا کردن ج.

جواب: 20

مماس بر نمودار تابع است

پیدا کردن آ.

پاسخ: 0.125

مماس بر نمودار تابع است

پیدا کردن ببا در نظر گرفتن اینکه آبسیسا نقطه مماس بزرگتر از 0 است.

پاسخ: -33

67. یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

جایی که ایکس تی- زمان بر حسب ثانیه، از لحظه شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 96 متر بر ثانیه بوده است؟

پاسخ: 18

68. یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

جایی که ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه، از لحظه شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 48 متر بر ثانیه بوده است؟

پاسخ: 9

69. یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

جایی که ایکس تی تی=6 با.

جواب: 20

70. یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

جایی که ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن (بر حسب متر بر ثانیه) را در لحظه زمان پیدا کنید تی=3 با.

جواب: 59

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

محتوا

عناصر محتوا

مشتق، مماس، ضد مشتق، نمودار توابع و مشتقات.

مشتقاجازه دهید تابع \(f(x)\) در نزدیکی نقطه \(x_0\) تعریف شود.

مشتق تابع \(f\) در نقطه \(x_0\)حد نامیده می شود

\(f"(x_0)=\lim_(x\فلش راست x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0)،\)

اگر این محدودیت وجود داشته باشد.

مشتق یک تابع در یک نقطه، میزان تغییر این تابع را در یک نقطه مشخص می کند.

جدول مشتقات

تابع	مشتق
\(const\)	\(0\)
\(ایکس\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\n(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

قوانین تمایز\(f\) و \(g\) توابعی هستند بسته به متغیر \(x\); \(c\) یک عدد است.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - مشتق یک تابع مختلط

معنای هندسی مشتق معادله یک خط- نه موازی با محور \(Oy\) را می توان به شکل \(y=kx+b\) نوشت. ضریب \(k\) در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. برابر است با مماس زاویه شیباین خط مستقیم

زاویه مستقیم- زاویه بین جهت مثبت محور \(Ox\) و این خط مستقیم که در جهت زوایای مثبت (یعنی در جهت کوچکترین چرخش از محور \(Ox\) به \" اندازه گیری می شود. (Oy\) محور).

مشتق تابع \(f(x)\) در نقطه \(x_0\) برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع در این نقطه: \(f"(x_0)=\tg\ آلفا.\)

اگر \(f"(x_0)=0\)، آنگاه مماس بر نمودار تابع \(f(x)\) در نقطه \(x_0\) با محور \(Ox\) موازی است.

معادله مماس

معادله مماس بر نمودار تابع \(f(x)\) در نقطه \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

یکنواختی تابعاگر مشتق یک تابع در تمام نقاط بازه مثبت باشد، تابع در این بازه افزایش می یابد.

اگر مشتق یک تابع در تمام نقاط بازه منفی باشد، تابع در این بازه کاهش می یابد.

حداقل، حداکثر و نقاط عطف مثبتبر منفیدر این نقطه، \(x_0\) حداکثر نقطه تابع \(f\) است.

اگر تابع \(f\) در نقطه \(x_0\) پیوسته باشد و مقدار مشتق این تابع \(f"\) با منفیبر مثبتدر این نقطه، \(x_0\) حداقل نقطه تابع \(f\) است.

نقاطی که مشتق \(f"\) برابر با صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانیتوابع \(f\).

نقاط داخلی دامنه تعریف تابع \(f(x)\) که در آن \(f"(x)=0\) می تواند حداقل، حداکثر یا نقاط عطف باشد.

معنای فیزیکی مشتقاگر نقطه مادی به صورت مستقیم حرکت کند و مختصات آن بسته به زمان بر اساس قانون \(x=x(t)\ تغییر کند، سرعت این نقطه با مشتق مختصات نسبت به زمان برابر است:

شتاب یک نقطه مادی برابر است با مشتق سرعت این نقطه نسبت به زمان:

\(a(t)=v"(t).\)