مربع کردن اعداد سه رقمی به سرعت اعداد را بدون ماشین حساب مربع کنید

اکنون مجذور دوجمله ای را در نظر می گیریم و با اعمال یک دیدگاه حسابی، از مجذور مجموع یعنی (a + b)² و مجذور تفاضل دو عدد یعنی (a –) صحبت خواهیم کرد. ب)².

از آنجایی که (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b)،

سپس می یابیم: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²، یعنی.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

یادآوری این نتیجه هم به شکل تساوی فوق و هم به صورت کلمات مفید است: مجذور مجموع دو عدد برابر است با مجذور عدد اول به اضافه حاصل ضرب دو عدد اول و دوم. عدد به اضافه مربع عدد دوم.

با دانستن این نتیجه، می توانیم بلافاصله بنویسیم، به عنوان مثال:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

بیایید به دومین نمونه از این نمونه ها نگاه کنیم. باید مجموع دو عدد را مربع کنیم: عدد اول 3ab و عدد دوم 1 است. نتیجه باید این باشد: 1) مربع عدد اول یعنی (3ab)² که برابر با 9a²b² است. 2) حاصل ضرب دو عدد اول و دوم، یعنی 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab. 3) مربع عدد 2، یعنی 1² = 1 - همه این سه عبارت باید با هم جمع شوند.

همچنین فرمولی برای مجذور کردن اختلاف دو عدد، یعنی برای (a – b)² بدست می آوریم:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

یعنی مجذور اختلاف دو عدد برابر است با مجذور عدد اول منهای حاصل ضرب دو عدد اول و دوم به اضافه مجذور عدد دوم.

با دانستن این نتیجه، بلافاصله می‌توانیم دوجمله‌ای را که از نظر حسابی نشان‌دهنده اختلاف دو عدد است، انجام دهیم.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 و غیره.

بیایید مثال دوم را توضیح دهیم. در اینجا ما در داخل پرانتز تفاوت دو عدد را داریم: عدد اول 5ab 3 و عدد دوم 3a 2 b است. نتیجه باید این باشد: 1) مربع عدد اول، یعنی (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6، 2) حاصل ضرب دو عدد 1 و 2، یعنی 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 و 3) مربع عدد دوم، یعنی (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; عبارت اول و سوم باید با یک مثبت گرفته شود، و دومی با منفی، 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 می گیریم. برای توضیح مثال چهارم، فقط توجه می کنیم که 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... توان باید در 2 و 2 ضرب شود) حاصل ضرب دو در عدد 1 و در 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

اگر دیدگاه جبر را در نظر بگیریم، هر دو برابری: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² و 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² یک چیز را بیان می کنند، یعنی: مجذور دوجمله برابر است با مجذور جمله اول به اضافه حاصل ضرب عدد (+2) در جمله اول و دومی به اضافه مجذور جمله دوم. این واضح است زیرا برابری های ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

در برخی موارد، تفسیر برابری های حاصل به این صورت راحت است:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

در اینجا یک دوجمله ای را مربع می کنیم که جمله اول آن = -4a و دوم = -3b است. سپس (-4a)² = 16a2، (+2) (-4a) (-3b) = +24ab، (-3b)² = 9b² و در نهایت:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

همچنین می توان فرمول مربع کردن یک مثلث، یک چهارجمله یا به طور کلی هر چند جمله ای را بدست آورد و به خاطر آورد. با این حال، ما این کار را انجام نخواهیم داد، زیرا به ندرت نیاز به استفاده از این فرمول ها داریم و اگر نیاز به مربع هر چند جمله ای (به جز یک دوجمله ای) داشته باشیم، ماده را به ضرب تقلیل می دهیم. مثلا:

31. اجازه دهید 3 برابری به دست آمده را اعمال کنیم، یعنی:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

به حساب

بگذارید 41 ∙ 39 باشد. سپس می‌توانیم آن را به شکل (40 + 1) (40 – 1) نشان دهیم و ماده را به تساوی اول کاهش دهیم - 40² – 1 یا 1600 – 1 = 1599 را می‌گیریم. به لطف این، انجام ضرباتی مانند 21 ∙ 19 آسان است. 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 و غیره

بگذارید 41 ∙ 41 باشد. همان 41² یا (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681 است. همچنین 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. اگر به 37 ∙ نیاز دارید، پس این برابر است با (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. انجام چنین ضرباتی (یا دو رقمی کردن اعداد دو رقمی) با کمی مهارت در ذهن شما آسان است.

*مربع تا صدها

برای اینکه تمام اعداد را با استفاده از فرمول به طور بی خیال مربع نکنید، باید کار خود را تا حد امکان با قوانین زیر ساده کنید.

قانون 1 (10 عدد را قطع می کند)

برای اعدادی که به 0 ختم می شوند.
اگر عددی به صفر ختم شود، ضرب آن دشوارتر از یک عدد تک رقمی نیست. شما فقط باید چند صفر اضافه کنید.
70 * 70 = 4900.
در جدول با رنگ قرمز مشخص شده است.

قانون 2 (10 عدد را قطع می کند)

برای اعدادی که به 5 ختم می شوند.
برای مربع یک عدد دو رقمی که به 5 ختم می شود، باید رقم اول (x) را در (x+1) ضرب کنید و "25" را به نتیجه اضافه کنید.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
در جدول با رنگ سبز مشخص شده است.

قانون 3 (8 عدد را قطع می کند)

برای اعداد از 40 تا 50.
XX * XX = 1500 + 100 * رقم دوم + (10 - رقم دوم)^2
به اندازه کافی سخت است، درست است؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
در جدول با رنگ نارنجی روشن مشخص شده اند.

قانون 4 (8 عدد را قطع می کند)

برای اعداد از 50 تا 60.
XX * XX = 2500 + 100 * رقم دوم + (رقم دوم)^2
درک آن نیز بسیار دشوار است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
در جدول با رنگ نارنجی تیره مشخص شده اند.

قانون 5 (8 عدد را قطع می کند)

برای اعداد از 90 تا 100.
XX * XX = 8000+ 200 * رقم دوم + (10 - رقم دوم)^2
مشابه قانون 3، اما با ضرایب متفاوت. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
در جدول با رنگ نارنجی تیره مشخص شده اند.

قانون شماره 6 (32 عدد را قطع می کند)

شما باید مربع های اعداد تا 40 را به خاطر بسپارید. دیوانه کننده و دشوار به نظر می رسد، اما در واقع اکثر مردم مربع های تا 20 را می دانند. 25، 30، 35 و 40 تابع فرمول ها هستند. و فقط 16 جفت اعداد باقی مانده است. آنها را می‌توان با استفاده از یادگاری (که می‌خواهم بعداً در مورد آن صحبت کنم) یا با هر وسیله دیگری به یاد آورد. مثل جدول ضرب :)
با رنگ آبی در جدول مشخص شده است.

شما می توانید تمام قوانین را به خاطر بسپارید، یا می توانید انتخابی را به خاطر بسپارید؛ در هر صورت، همه اعداد از 1 تا 100 از دو فرمول پیروی می کنند. قوانین بدون استفاده از این فرمول ها به محاسبه سریع بیش از 70 درصد از گزینه ها کمک می کند. در اینجا دو فرمول وجود دارد:

فرمول ها (24 روز باقی مانده)

برای اعداد از 25 تا 50
XX * XX = 100 (XX - 25) + (50 - XX)^2
مثلا:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

برای اعداد از 50 تا 100
XX * XX = 200 (XX - 50) + (100 - XX)^2
مثلا:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

البته، فرمول معمولی برای بسط مجذور مجموع (مورد خاصی از دوجمله ای نیوتن) را فراموش نکنید:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

به روز رسانی
محصولات اعداد نزدیک به 100 و به ویژه مربع های آنها را می توان با استفاده از اصل "معایب 100" محاسبه کرد:

به عبارتی: از عدد اول "معایب" دوم را به صد کم می کنیم و یک حاصل ضرب دو رقمی "معایب" را اختصاص می دهیم.

بر این اساس برای مربع ها حتی ساده تر است.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(از سیلوور)

مربع کردن ممکن است مفیدترین چیز در مزرعه نباشد. شما بلافاصله موردی را به خاطر نمی آورید که ممکن است لازم باشد یک عدد را مربع کنید. اما توانایی کار کردن سریع با اعداد و اعمال قوانین مناسب برای هر عدد، حافظه و "توانایی های محاسباتی" مغز شما را به طور کامل توسعه می دهد.

در ضمن، فکر می کنم همه خوانندگان حبره می دانند که 64^2 = 4096 و 32^2 = 1024.
بسیاری از مربع های اعداد در سطح انجمنی حفظ می شوند. مثلا من به خاطر همین اعداد 88^2 = 7744 را به راحتی به خاطر آوردم. هر کدام احتمالاً ویژگی های خاص خود را خواهند داشت.

من برای اولین بار دو فرمول منحصر به فرد را در کتاب "13 گام تا ذهنیت گرایی" یافتم که ارتباط چندانی با ریاضیات ندارد. واقعیت این است که قبلا (شاید حتی اکنون) توانایی‌های محاسباتی منحصربه‌فرد یکی از اعداد جادوی صحنه بود: یک شعبده باز داستانی درباره نحوه دریافت ابرقدرت‌ها تعریف می‌کرد و به عنوان اثبات این موضوع، فوراً اعداد را تا صد مربع می‌کند. این کتاب همچنین روش های ساخت مکعب، روش های تفریق ریشه ها و ریشه های مکعبی را نشان می دهد.

اگر مبحث سریع شمارش جالب باشد بیشتر می نویسم.
لطفا نظرات مربوط به اشتباهات و اصلاحات را در PM بنویسید، پیشاپیش با تشکر.

توانایی شمارش مربع اعداد در سر می تواند در موقعیت های مختلف زندگی مفید باشد، به عنوان مثال، برای ارزیابی سریع تراکنش های سرمایه گذاری، برای محاسبه مساحت ها و حجم ها، و در بسیاری موارد دیگر. علاوه بر این، توانایی شمارش مربع در سر می تواند به عنوان نمایشی از توانایی های فکری شما باشد. این مقاله روش ها و الگوریتم هایی را مورد بحث قرار می دهد که به شما امکان می دهد این مهارت را یاد بگیرید.

مجموع مجذور و مجذور اختلاف

یکی از ساده‌ترین راه‌ها برای مربع اعداد دو رقمی، تکنیکی است که بر اساس استفاده از فرمول‌های مجموع مجذور و تفاوت مجذور است:

برای استفاده از این روش باید یک عدد دو رقمی را به مجموع مضرب 10 و عددی کوچکتر از 10 تجزیه کنید.

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

تقریباً تمام تکنیک‌های مربع‌سازی (که در زیر توضیح داده شده‌اند) بر اساس فرمول‌های مجموع مجذور و تفاوت مجذور هستند. این فرمول ها امکان شناسایی تعدادی الگوریتم را فراهم می کند که در برخی موارد خاص مربع سازی را ساده می کند.

مربع نزدیک به یک مربع شناخته شده

اگر عددی که مجذور می شود نزدیک به عددی باشد که مربع آن را می دانیم، می توانیم از یکی از چهار تکنیک برای محاسبات ذهنی ساده استفاده کنیم:

1 بیشتر:

روش شناسی:به مربع یک عدد کمتر، خود عدد و عدد یک را کمتر اضافه می کنیم.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 کمتر:

روش شناسی:از مجذور عددی که یک عدد بیشتر است، خود عدد و عددی را که یک عدد بیشتر است کم می کنیم.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

2 تابیشتر

روش شناسی:به مجذور عدد 2 کوچکتر دو برابر مجموع خود عدد و عدد 2 کمتر اضافه می کنیم.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 کمتر

روش شناسی:از مجذور یک عدد 2 دیگر، دو برابر مجموع خود عدد و عدد 2 دیگر را کم کنید.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

همه این تکنیک ها را می توان به راحتی با استخراج الگوریتم ها از فرمول های مجموع مجذور و اختلاف مجذور (که در بالا ذکر شد) اثبات کرد.

مربع اعدادی که به 5 ختم می شوند

مربع اعدادی که به 5 ختم می شوند. الگوریتم ساده است. عدد تا پنج آخر را در همان عدد به اضافه یک ضرب کنید. به عدد باقی مانده 25 اضافه می کنیم.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

این همچنین برای مثال های پیچیده تر صادق است:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

مربع اعداد نزدیک به 50

مجذور اعداد داخل را بشمار بین 40 تا 60، می توانید آن را به روشی بسیار ساده انجام دهید. الگوریتم به این صورت است: به عدد 25 به اندازه ای که عدد بزرگتر (یا کوچکتر) از 50 باشد، جمع (یا تفریق) می کنیم. این مجموع (یا تفاوت) را در 100 ضرب می کنیم. به این حاصل ضرب مجذور اختلاف بین عدد مربع و پنجاه است. الگوریتم را در عمل با استفاده از مثال ها ببینید:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

مربع اعداد سه رقمی

مربع کردن اعداد سه رقمی را می توان با استفاده از یکی از فرمول های ضرب اختصاری انجام داد:

نمی توان گفت که این روش برای محاسبه ذهنی راحت است، اما در موارد به خصوص دشوار می توان آن را اتخاذ کرد:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

آموزش

اگر می خواهید مهارت خود را در موضوع این درس افزایش دهید، می توانید از بازی زیر استفاده کنید. امتیازهایی که دریافت می کنید تحت تأثیر صحت پاسخ های شما و زمان صرف شده برای تکمیل قرار می گیرند. لطفا توجه داشته باشید که اعداد هر بار متفاوت است.

*مربع تا صدها

برای اینکه تمام اعداد را با استفاده از فرمول به طور بی خیال مربع نکنید، باید کار خود را تا حد امکان با قوانین زیر ساده کنید.

قانون 1 (10 عدد را قطع می کند)

برای اعدادی که به 0 ختم می شوند.
اگر عددی به صفر ختم شود، ضرب آن دشوارتر از یک عدد تک رقمی نیست. شما فقط باید چند صفر اضافه کنید.
70 * 70 = 4900.
در جدول با رنگ قرمز مشخص شده است.

قانون 2 (10 عدد را قطع می کند)

برای اعدادی که به 5 ختم می شوند.
برای مربع یک عدد دو رقمی که به 5 ختم می شود، باید رقم اول (x) را در (x+1) ضرب کنید و "25" را به نتیجه اضافه کنید.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
در جدول با رنگ سبز مشخص شده است.

قانون 3 (8 عدد را قطع می کند)

برای اعداد از 40 تا 50.
XX * XX = 1500 + 100 * رقم دوم + (10 - رقم دوم)^2
به اندازه کافی سخت است، درست است؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
در جدول با رنگ نارنجی روشن مشخص شده اند.

قانون 4 (8 عدد را قطع می کند)

برای اعداد از 50 تا 60.
XX * XX = 2500 + 100 * رقم دوم + (رقم دوم)^2
درک آن نیز بسیار دشوار است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
در جدول با رنگ نارنجی تیره مشخص شده اند.

قانون 5 (8 عدد را قطع می کند)

برای اعداد از 90 تا 100.
XX * XX = 8000+ 200 * رقم دوم + (10 - رقم دوم)^2
مشابه قانون 3، اما با ضرایب متفاوت. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
در جدول با رنگ نارنجی تیره مشخص شده اند.

قانون شماره 6 (32 عدد را قطع می کند)

شما باید مربع های اعداد تا 40 را به خاطر بسپارید. دیوانه کننده و دشوار به نظر می رسد، اما در واقع اکثر مردم مربع های تا 20 را می دانند. 25، 30، 35 و 40 تابع فرمول ها هستند. و فقط 16 جفت اعداد باقی مانده است. آنها را می توان از قبل با استفاده از حافظه شناسی (که می خواهم بعداً در مورد آن صحبت کنم) یا هر وسیله دیگری به خاطر بسپارید. مثل جدول ضرب :)
با رنگ آبی در جدول مشخص شده است.

شما می توانید تمام قوانین را به خاطر بسپارید، یا می توانید انتخابی را به خاطر بسپارید؛ در هر صورت، همه اعداد از 1 تا 100 از دو فرمول پیروی می کنند. قوانین بدون استفاده از این فرمول ها به محاسبه سریع بیش از 70 درصد از گزینه ها کمک می کند. در اینجا دو فرمول وجود دارد:

فرمول ها (24 رقم باقی مانده)

برای اعداد از 25 تا 50
XX * XX = 100 (XX - 25) + (50 - XX)^2
مثلا:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

برای اعداد از 50 تا 100

XX * XX = 200 (XX - 25) + (100 - XX)^2

مثلا:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

البته، فرمول معمولی برای بسط مجذور مجموع (مورد خاصی از دوجمله ای نیوتن) را فراموش نکنید:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

مربع کردن ممکن است مفیدترین چیز در مزرعه نباشد. شما بلافاصله موردی را به خاطر نمی آورید که ممکن است لازم باشد یک عدد را مربع کنید. اما توانایی کار کردن سریع با اعداد و اعمال قوانین مناسب برای هر عدد، حافظه و "توانایی های محاسباتی" مغز شما را به طور کامل توسعه می دهد.

در ضمن، فکر می کنم همه خوانندگان حبره می دانند که 64^2 = 4096 و 32^2 = 1024.
بسیاری از مربع های اعداد در سطح انجمنی حفظ می شوند. مثلا من به خاطر همین اعداد 88^2 = 7744 را به راحتی به خاطر آوردم. هر کدام احتمالاً ویژگی های خاص خود را خواهند داشت.

من برای اولین بار دو فرمول منحصر به فرد را در کتاب "13 گام تا ذهنیت گرایی" یافتم که ارتباط چندانی با ریاضیات ندارد. واقعیت این است که قبلا (شاید حتی اکنون) توانایی‌های محاسباتی منحصربه‌فرد یکی از اعداد جادوی صحنه بود: یک شعبده باز داستانی درباره نحوه دریافت ابرقدرت‌ها تعریف می‌کرد و به عنوان اثبات این موضوع، فوراً اعداد را تا صد مربع می‌کند. این کتاب همچنین روش های ساخت مکعب، روش های تفریق ریشه ها و ریشه های مکعبی را نشان می دهد.

اگر مبحث سریع شمارش جالب باشد بیشتر می نویسم.
لطفا نظرات مربوط به اشتباهات و اصلاحات را در PM بنویسید، پیشاپیش با تشکر.

اکتبر 23, 2016 در 4:37 ب.ظ

زیبایی اعداد. چگونه به سرعت در ذهن خود محاسبه کنید

• علوم پرطرفدار

ورودی باستانی در رسید پرداخت مالیات ("یاساکا"). این به معنای مقدار 1232 روبل است. 24 کوپک تصویر از کتاب: یاکوف پرلمن "حساب سرگرم کننده"

همچنین ریچارد فاینمن در کتاب «البته که شوخی می کنی، آقای فاینمن! » چندین روش شمارش ذهنی را بیان کرد. اگرچه اینها ترفندهای بسیار ساده ای هستند، اما همیشه در برنامه درسی مدرسه گنجانده نمی شوند.

به عنوان مثال، برای مربع سریع یک عدد X حول 50 (50 2 = 2500)، باید به ازای هر واحد اختلاف بین 50 و X، صد را کم یا اضافه کنید، و سپس اختلاف مجذور را اضافه کنید. توضیحات بسیار پیچیده تر از محاسبه واقعی به نظر می رسد.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

فاینمن جوان این ترفند را توسط فیزیکدان همکار، هانس بته، که در آن زمان در لوس آلاموس در پروژه منهتن کار می کرد، آموخت.

هانس چند تکنیک دیگر را نشان داد که برای محاسبات سریع استفاده می کرد. به عنوان مثال، برای محاسبه ریشه های مکعب و توان، به خاطر سپردن جدول لگاریتم ها راحت است. این دانش عملیات پیچیده حسابی را بسیار ساده می کند. به عنوان مثال، مقدار تقریبی ریشه مکعب 2.5 را به صورت ذهنی محاسبه کنید. در واقع، هنگام انجام چنین محاسباتی، نوعی قانون اسلاید در ذهن شما کار می کند که در آن ضرب و تقسیم اعداد با جمع و تفریق لگاریتم آنها جایگزین می شود. راحت ترین چیز.

خط کش لگاریتمی

قبل از ظهور رایانه ها و ماشین حساب ها، قانون اسلاید در همه جا استفاده می شد. این یک نوع "رایانه" آنالوگ است که به شما امکان می دهد چندین عملیات ریاضی از جمله ضرب و تقسیم اعداد، مربع و مکعب، محاسبه ریشه های مربع و مکعب، محاسبه لگاریتم، تقویت، محاسبه توابع مثلثاتی و هذلولی و برخی عملیات دیگر را انجام دهید. اگر محاسبه را به سه مرحله تقسیم کنید، با استفاده از یک قانون اسلاید می توانید اعداد را به هر توان واقعی برسانید و ریشه هر توان واقعی را استخراج کنید. دقت محاسبات حدود 3 رقم قابل توجه است.

برای انجام سریع محاسبات پیچیده در ذهن خود، حتی بدون قانون اسلاید، ایده خوبی است که مربع های تمام اعداد، حداقل تا 25 را به خاطر بسپارید، فقط به این دلیل که اغلب در محاسبات استفاده می شوند. و جدول درجه - رایج ترین. به خاطر سپردن آسان‌تر از محاسبه مجدد هر بار 5 4 = 625، 3 5 = 243، 2 20 = 1048576 و √3 ≈ 1.732 است.

ریچارد فاینمن مهارت های خود را بهبود بخشید و به تدریج متوجه الگوهای جالب جدید و ارتباطات بین اعداد شد. او این مثال را می‌آورد: «اگر کسی شروع به تقسیم 1 بر 1.73 کرد، می‌توان بلافاصله پاسخ داد که 0.577 می‌شود، زیرا 1.73 عددی نزدیک به جذر سه است. بنابراین 1/1.73 تقریباً یک سوم جذر 3 است."

چنین محاسبات ذهنی پیشرفته ای در آن روزهایی که کامپیوتر و ماشین حساب وجود نداشت، همکاران را شگفت زده می کرد. در آن روزها، مطلقاً همه دانشمندان می توانستند به خوبی در سر خود بشمارند، بنابراین برای دستیابی به تسلط لازم بود کاملاً عمیقاً در دنیای اعداد غوطه ور شوند.

امروزه، مردم از ماشین حساب بیرون می آورند تا به سادگی 76 را بر 3 تقسیم کنند. شگفت زده کردن دیگران بسیار آسان تر شده است. در زمان فاینمن، به جای ماشین حساب، چرتکه های چوبی وجود داشت که می توانست برای انجام عملیات های پیچیده از جمله گرفتن ریشه های مکعبی نیز استفاده شود. این فیزیکدان بزرگ قبلاً متوجه شده بود که با استفاده از چنین ابزارهایی، مردم به هیچ وجه نیازی به حفظ ترکیبات حسابی زیادی ندارند، بلکه فقط یاد می گیرند که چگونه توپ ها را به درستی بغلتند. یعنی افرادی که دارای "بسط دهنده" مغز هستند اعداد را نمی دانند. آنها بدتر با وظایف در حالت "آفلاین" کنار می آیند.

در اینجا پنج نکته بسیار ساده برای شمارش ذهنی وجود دارد که توسط Yakov Perelman در کتابچه راهنمای "شمارش سریع" منتشر شده در سال 1941 توسط انتشارات توصیه شده است.

1. اگر یکی از اعداد در حال ضرب به ضرایب تجزیه شود، ضرب در آنها به صورت متوالی راحت است.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2، یعنی نتیجه را سه برابر دو برابر کنید

2. هنگام ضرب در 4، کافی است نتیجه را دو برابر کنید. به همین ترتیب، هنگام تقسیم بر 4 و 8، عدد دو یا سه برابر می شود.

3. هنگام ضرب در 5 یا 25 می توان عدد را بر 2 یا 4 تقسیم کرد و سپس یک یا دو صفر به نتیجه اضافه کرد.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

در اینجا بهتر است بلافاصله ارزیابی کنید که کدام راحت تر است. به عنوان مثال، ضرب کردن 31 × 25 به صورت 25 × 31 به روش استاندارد، یعنی به صورت 750 + 25، راحت تر است به جای 31 × 25، یعنی 7.75 × 100.

هنگام ضرب در عددی نزدیک به یک عدد گرد (98، 103)، راحت است که فوراً در عدد گرد (100) ضرب شود و سپس حاصلضرب تفاوت را تفریق یا اضافه کنید.

37 × 98 = 3700 - 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. برای مربع عددی که به 5 ختم می شود (مثلاً 85)، عدد ده دهی (8) را در آن به اضافه یک (9) ضرب کرده و 25 را جمع کنید.

8 × 9 = 72، اختصاص 25، بنابراین 85 2 = 7225

اینکه چرا این قانون اعمال می شود را می توان از فرمول فهمید:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

این تکنیک همچنین برای کسرهای اعشاری که به 5 ختم می شوند نیز اعمال می شود:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. هنگام مربع کردن، فرمول مناسب را فراموش نکنید

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

البته، همه روش‌ها را می‌توان با یکدیگر ترکیب کرد و تکنیک‌های راحت‌تر و مؤثرتری برای موقعیت‌های خاص ایجاد کرد.