Comment résoudre la double inégalité avec module. Inégalités de module

Il existe plusieurs façons de résoudre les inégalités contenant un module. Examinons quelques-uns d'entre eux.

1) Résoudre l'inégalité en utilisant la propriété géométrique du module.

Je vous rappelle quelle est la propriété géométrique d'un module : le module d'un nombre x est la distance de l'origine au point de coordonnée x.

Lors de la résolution des inégalités par cette méthode, deux cas peuvent se présenter :

1. |x| ≤b,

Et l'inégalité de module se réduit évidemment à un système de deux inégalités. Ici, le signe peut être strict, auquel cas les points de l'image seront « perforés ».

2. |x| ≥b, alors l'image de la solution ressemble à ceci :

Et l’inégalité de module se réduit évidemment à une combinaison de deux inégalités. Ici, le signe peut être strict, auquel cas les points de l'image seront « perforés ».

Exemple 1.

Résoudre l’inégalité |4 – |x|| ≥ 3.

Solution.

Cette inégalité est équivalente à l’ensemble suivant :

U [-1;1] U

Exemple 2.

Résoudre l'inégalité ||x+2| – 3| ≤ 2.

Solution.

Cette inégalité est équivalente au système suivant.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Résolvons séparément la première inégalité du système. Il équivaut à l'ensemble suivant :

U[-1 ; 3].

2) Résoudre les inégalités en utilisant la définition du module.

Permettez-moi de vous rappeler d'abord définition des modules.

|une| = un si un ≥ 0 et |une| = -a si un< 0.

Par exemple, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Exemple 1.

Résoudre l'inégalité 3|x – 1| ≤ x+3.

Solution.

En utilisant la définition du module, nous obtenons deux systèmes :

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤x + 3.

En résolvant séparément le premier et le deuxième système, on obtient :

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(X< 1
(x ≥ 0.

La solution à l’inégalité originale sera toutes les solutions du premier système et toutes les solutions du deuxième système.

Réponse : x € .

3) Résoudre les inégalités par la quadrature.

Exemple 1.

Résoudre l'inégalité |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solution.

Mettons au carré les deux côtés de l’inégalité. Permettez-moi de noter qu’il n’est possible de mettre au carré les deux côtés de l’inégalité que s’ils sont tous deux positifs. Dans ce cas, nous avons des modules à gauche et à droite, nous pouvons donc le faire.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Utilisons maintenant la propriété suivante du module : (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles.

Réponse : x € (-∞ ; 0) U (1/2 ; 2)

4) Résoudre les inégalités en changeant les variables.

Exemple.

Résoudre l'inégalité (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solution.

Notez que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . On obtient alors l'inégalité

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Faisons le changement y = |2x + 3|.

Réécrivons notre inégalité en tenant compte du remplacement.

oui 2 – oui ≤ 30,

oui 2 – oui – 30 ≤ 0.

Factorisons le trinôme quadratique de gauche.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Résolvons en utilisant la méthode des intervalles et obtenons :

Revenons au remplacement :

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Cette double inégalité équivaut au système d’inégalités :

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Résolvons chacune des inégalités séparément.

Le premier est équivalent au système

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Résolvons-le.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

La deuxième inégalité est évidemment vraie pour tout x, puisque le module est, par définition, un nombre positif. Puisque la solution du système est tous les x qui satisfont simultanément à la fois la première et la deuxième inégalité du système, alors la solution du système d'origine sera la solution de sa première double inégalité (après tout, la seconde est vraie pour tout x) .

Réponse : x € [-4,5 ; 1.5].

blog.site, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source originale est requis.

Aujourd’hui, mes amis, il n’y aura ni morve ni sentimentalité. Au lieu de cela, je vous enverrai, sans poser de questions, au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de 8e à 9e années.

Oui, vous avez tout bien compris : nous parlons d'inégalités avec module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Et les 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée. :)

Cependant, avant d’analyser l’une des techniques, je voudrais vous rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout le contenu de la leçon d’aujourd’hui.

Ce que vous devez déjà savoir

Captain Obviousness semble laisser entendre que pour résoudre des inégalités avec module, vous devez savoir deux choses :

1. Comment les inégalités sont résolues ;
2. Qu'est-ce qu'un module ?

Commençons par le deuxième point.

Définition du module

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Pour commencer - algébrique :

Définition. Le module d'un nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

C'est écrit ainsi :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En termes simples, un module est un « nombre sans moins ». Et c’est dans cette dualité (à certains endroits, il n’est pas nécessaire de faire quoi que ce soit avec le numéro d’origine, mais à d’autres, il faut supprimer une sorte de moins) et c’est là que réside toute la difficulté pour les étudiants débutants.

Il existe également une définition géométrique. Il est également utile de le savoir, mais nous n'y reviendrons que dans des cas complexes et particuliers, où l'approche géométrique est plus pratique que l'approche algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ sur la droite numérique. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous faites un dessin, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

Définition du module graphique

D'une manière ou d'une autre, de la définition d'un module sa propriété clé découle immédiatement : le module d'un nombre est toujours une quantité non négative. Ce fait constituera le fil rouge qui parcourra tout notre récit d’aujourd’hui.

Résoudre les inégalités. Méthode d'intervalle

Examinons maintenant les inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Celles qui se réduisent aux inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux grandes leçons sur ce sujet (d'ailleurs, très, TRÈS utiles - je recommande de les étudier) :

1. Méthode d'intervalle pour les inégalités (surtout regarder la vidéo) ;
2. Les inégalités rationnelles fractionnaires sont une leçon très approfondie, mais après cela, vous n’aurez plus aucune question.

Si vous savez tout cela, si l'expression « passons de l'inégalité à l'équation » ne vous donne pas une vague envie de vous cogner contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer dans le sujet principal de la leçon. :)

1. Inégalités de la forme « Le module est inférieur à la fonction »

C'est l'un des problèmes les plus courants avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Les fonctions $f$ et $g$ peuvent être n'importe quoi, mais ce sont généralement des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \droite| \ltx+7; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\gauche| x \droite|-3 \droite| \lt 2. \\\fin(aligner)\]

Tous peuvent être résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma suivant :

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droit.\droit)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais en retour on obtient une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tous les problèmes possibles : si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; si négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : ne pourrait-il pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. C’est tout l’intérêt du module.

Cependant, assez de philosopher. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3 \droite| \ltx+7\]

Solution. Nous avons donc devant nous une inégalité classique de la forme « le module est moindre » - il n'y a même rien à transformer. Nous travaillons selon l'algorithme :

\[\begin(align) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3 \droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'en raison de votre précipitation vous commettiez une erreur offensante.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème se réduisait à deux inégalités élémentaires. Notons leurs solutions sur des droites numériques parallèles :

Intersection de plusieurs

L’intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Tout d’abord, isolons le module en déplaçant le deuxième terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Evidemment, on a encore une inégalité de la forme « le module est plus petit », on se débarrasse donc du module en utilisant l'algorithme déjà connu :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Maintenant attention : quelqu'un va dire que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous maîtriserez parfaitement tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez le pervertir vous-même à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Pour commencer, on va simplement supprimer le double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1 \droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\right.\]

Les deux inégalités sont quadratiques et peuvent être résolues par la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore aborder les modules). Passons à l'équation de la première inégalité :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\gauche(x+5 \droite)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une équation quadratique incomplète, qui peut être résolue de manière élémentaire. Examinons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devrez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin (aligner)\]

On marque les nombres résultants sur deux droites parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inégalités, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est extrêmement clair :

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l’inégalité. On obtient donc une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en supprimant le module selon le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d’une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Finalement, il ne reste plus qu'à recouper les solutions de ces deux expressions indépendantes - et c'est tout, nous obtiendrons la réponse finale.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Il y a cependant quelques « mais » sérieux. Nous allons parler de ces « mais » maintenant.

2. Inégalités de la forme « Le module est supérieur à la fonction »

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gtg\]

Similaire au précédent ? Il semble. Et pourtant, ces problèmes sont résolus d’une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, nous considérons deux cas :

1. Premièrement, nous ignorons simplement le module et résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en substance, nous développons le module avec le signe moins, puis multiplions les deux côtés de l'inégalité par −1, pendant que j'ai le signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons devant nous une combinaison de deux exigences.

Attention encore : ceci n'est pas un système, mais une totalité, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés plutôt que se croisant. C’est une différence fondamentale par rapport au point précédent !

En général, de nombreux étudiants sont complètement confus avec les syndicats et les intersections, alors réglons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe d'union. En fait, il s'agit d'une lettre stylisée « U », qui nous vient de la langue anglaise et est l'abréviation de « Union », c'est-à-dire "Les associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette connerie ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme un contrepoint au « ∪ ».

Pour que ce soit encore plus facile à retenir, il suffit de dessiner des jambes vers ces panneaux pour fabriquer des lunettes (ne m'accusez pas maintenant de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Différence entre intersection et union d'ensembles

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit : l'union (la totalité) comprend des éléments des deux ensembles, elle n'est donc en rien inférieure à chacun d'eux ; mais l'intersection (le système) ne comprend que les éléments qui se trouvent simultanément dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l’intersection des ensembles n’est jamais plus grande que les ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\]

Solution. On procède selon le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

Nous résolvons chaque inégalité dans la population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Il est bien évident que la réponse sera $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Solution. Bien? Rien, tout est pareil. On passe d'une inégalité avec un module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fin (aligner) \right.\]

Nous résolvons toutes les inégalités. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin (aligner)\]

La deuxième inégalité est également un peu farfelue :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin (aligner)\]

Vous devez maintenant marquer ces nombres sur deux axes – un axe pour chaque inégalité. Cependant, vous devez marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est grand, plus le point se déplace vers la droite.

Et ici, une configuration nous attend. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde, donc la somme est également inférieure), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficultés (nombre positif évidemment plus négatif), alors avec les derniers couples tout n'est pas si clair. Quel est le plus grand : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Le placement des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendront de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, les points finaux sur les axes seront placés comme ceci :

Un cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, la réponse sera donc une union, pas une intersection d'ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, notre système fonctionne très bien pour les problèmes simples comme pour les problèmes très difficiles. Le seul « point faible » de cette approche est qu’il faut comparer correctement les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas que des racines). Mais une leçon distincte (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des « queues » non négatives

Passons maintenant à la partie la plus intéressante. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

D'une manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est correct que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions garanties non négatives à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des « queues » non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n’importe quelle puissance naturelle. Il n’y aura aucune restriction supplémentaire.

Tout d'abord, nous nous intéresserons à la quadrature - elle brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin (aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la racine d’un carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\gauche| f \right|\ne f\]

D’innombrables erreurs ont été commises lorsqu’un étudiant a oublié d’installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont pour ainsi dire des équations irrationnelles), nous n'entrerons donc pas dans les détails maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite|\ge \gauche| 1-2x \droite|\]

Solution. Remarquons immédiatement deux choses :

1. Il ne s’agit pas d’une inégalité stricte. Les points sur la droite numérique seront perforés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons mettre au carré les deux côtés de l’inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode habituelle des intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, profitant de la régularité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ droite)\droite)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont ombrés car l’inégalité originelle n’est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous le rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, il s'agit de $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, c'est fini maintenant. Le problème est résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \droite|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne ferai pas de commentaire - regardez simplement la séquence d'actions.

Mettez-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ à droite))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il n’y a qu’une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est tout un intervalle

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions sous-modulaires de cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais il s’agit d’un niveau de pensée complètement différent et d’une approche différente - on peut conditionnellement l’appeler la méthode des conséquences. À ce sujet - dans une leçon séparée. Passons maintenant à la dernière partie de la leçon d’aujourd’hui et examinons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes. :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces techniques n’aidaient pas ? Si l'inégalité ne peut être réduite à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, si en général il y a de la douleur, de la tristesse, de la mélancolie ?

C’est alors que « l’artillerie lourde » de toutes les mathématiques entre en scène : la méthode de la force brute. Par rapport aux inégalités de module, cela ressemble à ceci :

1. Écrivez toutes les expressions sous-modulaires et définissez-les égales à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module aura un signe fixe et sera donc révélé de manière unique ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines-limites obtenues à l'étape 2 - pour des raisons de fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse. :)

Alors comment ? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite| \lt \gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\gauche| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt \gauche| g \right|$, donc nous agissons en avant.

Nous écrivons des expressions sous-modulaires, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fin (aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, au sein desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Partitionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Examinons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions sous-modulaires sont négatives et l’inégalité d’origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nous avons une limitation assez simple. Recoupons-le avec l'hypothèse initiale selon laquelle $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 et supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \gauche| -3\droite|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il est évident que l’enchaînement des calculs nous a conduit à une inégalité incorrecte. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un « plus », mais celui de droite s'ouvrira toujours avec un « moins ». Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, nous rejoignons l’exigence initiale :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l’ensemble des solutions est vide, puisqu’il n’existe pas de nombres à la fois inférieurs à −2,5 et supérieurs à −2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue à l'inégalité originelle :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt \gauche| 0\droite|+1-1.5 ; \\ & 3 \lt -0,5 ; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Semblable au « cas particulier » précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont ouverts avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Enfin! Nous avons trouvé un intervalle qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une remarque qui vous évitera peut-être des erreurs stupides lors de la résolution de problèmes réels :

Les solutions aux inégalités avec modules représentent généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup moins fréquents. Et encore moins souvent, il arrive que la limite de la solution (la fin du segment) coïncide avec la limite de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (les mêmes « cas particuliers ») ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones situées à gauche et à droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse. Et vice versa : la frontière est entrée dans la réponse, ce qui signifie que certaines zones autour d'elle seront également des réponses.

Gardez cela à l’esprit lorsque vous examinez vos solutions.

Cette calculatrice mathématique en ligne vous aidera résoudre une équation ou une inégalité avec des modules. Programme pour résoudre des équations et des inégalités avec des modules non seulement donne la réponse au problème, mais cela conduit solution détaillée avec explications, c'est à dire. affiche le processus d’obtention du résultat.

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|x| ou abs(x) - module x

Saisir une équation ou une inégalité avec des modules

Résoudre une équation ou une inégalité

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Un peu de théorie.

Équations et inégalités avec modules

Dans un cours de base d’algèbre scolaire, vous rencontrerez peut-être les équations et inégalités les plus simples avec des modules. Pour les résoudre, vous pouvez utiliser une méthode géométrique basée sur le fait que \(|x-a| \) est la distance sur la droite numérique entre les points x et a : \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Par exemple, pour résoudre l'équation \(|x-3|=2\), vous devez trouver des points sur la droite numérique qui sont éloignés du point 3 à une distance de 2. Il existe deux de ces points : \(x_1=1 \) et \(x_2=5\) .

Résoudre l’inégalité \(|2x+7|

Mais la principale manière de résoudre des équations et des inégalités avec des modules est associée à ce que l'on appelle la « révélation du module par définition » :
si \(a \geq 0 \), alors \(|a|=a \);
if \(a En règle générale, une équation (inégalité) avec modules se réduit à un ensemble d'équations (inégalités) qui ne contiennent pas le signe du module.

En plus de la définition ci-dessus, les déclarations suivantes sont utilisées :
1) Si \(c > 0\), alors l'équation \(|f(x)|=c \) est équivalente à l'ensemble des équations : \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right. \)
2) Si \(c > 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| > c \) est équivalent à un ensemble d'inégalités : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si les deux côtés de l'inégalité \(f(x) EXEMPLE 1. Résolvez l'équation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), alors \(|x-1| = x-1\) et l'équation donnée prend la forme
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Ainsi, l'équation donnée doit être considérée séparément dans chacun des deux cas indiqués.
1) Soit \(x-1 \geq 0 \), c'est-à-dire \(x\geq 1\). A partir de l'équation \(x^2 +2x -8 = 0\) nous trouvons \(x_1=2, \; x_2=-4\). La condition \(x \geq 1 \) n'est satisfaite que par la valeur \(x_1=2\).
2) Soit \(x-1 Réponse : \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Première façon(extension de module par définition).
En raisonnant comme dans l'exemple 1, nous arrivons à la conclusion que l'équation donnée doit être considérée séparément si deux conditions sont remplies : \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7

1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), alors \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) et l'équation donnée prend la forme \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Après avoir résolu cette équation quadratique, nous obtenons : \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Voyons si la valeur \(x_1=6\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée dans l'inégalité quadratique. On obtient : \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), c'est-à-dire \(7 \geq 0 \) est une vraie inégalité. Cela signifie que \(x_1=6\) est la racine de l'équation donnée.
Voyons si la valeur \(x_2=\frac(5)(3)\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée dans l'inégalité quadratique. On obtient : \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), soit \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) est une inégalité incorrecte. Cela signifie que \(x_2=\frac(5)(3)\) n'est pas une racine de l'équation donnée.

2) Si \(x^2-6x+7 Value \(x_3=3\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 Value \(x_4=\frac(4)(3) \) ne satisfait pas la condition \ (x^2-6x+7 Ainsi, l'équation donnée a deux racines : \(x=6, \; x=3 \).

Deuxième façon. Si l'équation \(|f(x)| = h(x) \) est donnée, alors avec \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Ces deux équations ont été résolues ci-dessus (en utilisant la première méthode de résolution de l'équation donnée), leurs racines sont les suivantes : \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condition \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de ces quatre valeurs est satisfaite par seulement deux : 6 et 3. Cela signifie que l'équation donnée a deux racines : \(x=6 , \; x=3 \ ).

Troisième voie(graphique).
1) Construisons un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \). Tout d’abord, construisons une parabole \(y = x^2-6x+7\). Nous avons \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Le graphique de la fonction \(y = (x-3)^2-2\) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction \(y = x^2\) en le décalant de 3 unités d'échelle vers la droite (le long de axe des x) et 2 unités d'échelle vers le bas (le long de l'axe des y). La droite x=3 est l’axe de la parabole qui nous intéresse. Comme points de contrôle pour un tracé plus précis, il est pratique de prendre le point (3 ; -2) - le sommet de la parabole, le point (0 ; 7) et le point (6 ; 7) qui lui sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole .
Pour maintenant construire un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \), vous devez laisser inchangées les parties de la parabole construite qui ne se trouvent pas en dessous de l'axe des x et refléter cette partie de la parabole située en dessous de l'axe des x par rapport à l'axe des x.
2) Construisons un graphique de la fonction linéaire \(y = \frac(5x-9)(3)\). Il est pratique de prendre les points (0 ; –3) et (3 ; 2) comme points de contrôle.

Il est important que le point x = 1,8 de l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses soit situé à droite du point gauche d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses - c'est le point \(x=3-\ sqrt(2) \) (puisque \(3-\sqrt(2 ) 3) À en juger par le dessin, les graphiques se coupent en deux points - A(3; 2) et B(6; 7).En remplaçant les abscisses de ces points x = 3 et x = 6 dans l'équation donnée, nous sommes convaincus que les deux Dans une autre valeur, l'égalité numérique correcte est obtenue. Cela signifie que notre hypothèse a été confirmée - l'équation a deux racines : x = 3 et x = 6 . Réponse : 3 ; 6.

Commentaire. La méthode graphique, malgré toute son élégance, n'est pas très fiable. Dans l’exemple considéré, cela a fonctionné uniquement parce que les racines de l’équation sont des nombres entiers.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Première façon
L'expression 2x–4 devient 0 au point x = 2, et l'expression x + 3 devient 0 au point x = –3. Ces deux points divisent la droite numérique en trois intervalles : \(x

Considérons le premier intervalle : \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considérons le deuxième intervalle : \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considérons le troisième intervalle : \()