EntréeExplication détaillée du logarithme et exemples avec solution. Propriétés de base des logarithmes
Le problème B7 donne une expression qui doit être simplifiée. Le résultat devrait être un nombre régulier qui peut être noté sur votre feuille de réponses. Toutes les expressions sont classiquement divisées en trois types :
- Logarithmique,
- Indicatif,
- Combiné.
Les expressions exponentielles et logarithmiques sous leur forme pure ne sont pratiquement jamais trouvées. Toutefois, il est absolument nécessaire de savoir comment ils sont calculés.
En général, le problème B7 est résolu assez simplement et est tout à fait à la portée du diplômé moyen. Le manque d'algorithmes clairs est compensé par sa standardisation et sa monotonie. Vous pouvez apprendre à résoudre de tels problèmes simplement grâce à de nombreuses formations.
Expressions logarithmiques
La grande majorité des problèmes B7 impliquent des logarithmes sous une forme ou une autre. Ce sujet est traditionnellement considéré comme difficile, car son étude a généralement lieu en 11e année - l'ère de la préparation massive aux examens finaux. En conséquence, de nombreux diplômés ont une compréhension très vague des logarithmes.
Mais dans cette tâche, personne n’a besoin de connaissances théoriques approfondies. Nous ne rencontrerons que les expressions les plus simples qui nécessitent un raisonnement simple et peuvent être facilement maîtrisées de manière autonome. Vous trouverez ci-dessous les formules de base que vous devez connaître pour gérer les logarithmes :
De plus, vous devez pouvoir remplacer les racines et les fractions par des puissances par un exposant rationnel, sinon dans certaines expressions il n'y aura tout simplement rien à retirer sous le signe du logarithme. Formules de remplacement :
Tâche. Trouver le sens des expressions :
log 6 270 − log 6 7,5
log 5 775 − log 5 6,2
Les deux premières expressions sont converties en différence de logarithmes :
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270 : 7,5) = log 6 36 = 2 ;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775 : 6,2) = log 5 125 = 3.
Pour calculer la troisième expression, vous devrez isoler les puissances - à la fois dans la base et dans l'argument. Tout d'abord, trouvons le logarithme interne :
Puis - externe :
Les constructions de la forme log a log b x semblent complexes et incomprises pour beaucoup. En attendant, ce n'est qu'un logarithme du logarithme, c'est-à-dire log a (log b x ). Tout d'abord, le logarithme interne est calculé (mettre log b x = c), puis le logarithme externe : log a c.
Expressions démonstratives
Nous appellerons expression exponentielle toute construction de la forme a k, où les nombres a et k sont des constantes arbitraires et a > 0. Les méthodes pour travailler avec de telles expressions sont assez simples et sont discutées dans les cours d'algèbre de 8e année.
Vous trouverez ci-dessous les formules de base que vous devez absolument connaître. L’application de ces formules dans la pratique ne pose généralement pas de problèmes.
- une n · une m = une n + m ;
- une n / une m = une n − m ;
- (une n ) m = une n · m ;
- (une · b ) n = une n · b n ;
- (une : b ) n = une n : b n .
Si vous rencontrez une expression complexe avec des puissances et que vous ne savez pas comment l'aborder, utilisez une technique universelle - la décomposition en facteurs simples. De ce fait, les chiffres importants dans les bases des pouvoirs sont remplacés par des éléments simples et compréhensibles. Il ne reste plus qu'à appliquer les formules ci-dessus - et le problème sera résolu.
Tâche. Trouvez les valeurs des expressions : 7 9 · 3 11 : 21 8, 24 7 : 3 6 : 16 5, 30 6 : 6 5 : 25 2.
Solution. Décomposons toutes les bases des pouvoirs en facteurs simples :
7 9 3 11 : 21 8 = 7 9 3 11 : (7 3) 8 = 7 9 3 11 : (7 8 3 8) = 7 9 3 11 : 7 8 : 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7 : 3 6 : 16 5 = (3 2 3) 7 : 3 6 : (2 4) 5 = 3 7 2 21 : 3 6 : 2 20 = 3 2 = 6.
30 6 : 6 5 : 25 2 = (5 3 2) 6 : (3 2) 5 : (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6 : 3 5 : 2 5 : 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Tâches combinées
Si vous connaissez les formules, toutes les expressions exponentielles et logarithmiques peuvent être résolues littéralement sur une seule ligne. Cependant, dans le problème B7, les puissances et les logarithmes peuvent être combinés pour former des combinaisons assez fortes.
Commençons avec propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.
Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .
Passons à la propriété suivante : le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est, log a a = 1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.
Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.
Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et 
.
Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y sont égaux au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du diplôme un journal a x+log a y =un journal a x ·un journal a y, et puisque par l'identité logarithmique principale un log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.
Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et 
.
La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Cette égalité peut être prouvée sans problème.
Par exemple, le logarithme naturel du produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4, e et.
Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y sont égaux à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque 
, puis par définition d'un logarithme.
Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : 
.
Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.
Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.
Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, d'où log a b p =p·log a |b| .
Par exemple, 
et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, soit 
, où a>0, a≠1, n est un nombre naturel supérieur à un, b>0.
La preuve est basée sur l'égalité (voir), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de la puissance : 
.
Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : 
.
Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme taper 
. Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : journal c a journal a b = journal a b journal c a. Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme a également été prouvée.
Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et 
.
La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour accéder à des logarithmes naturels ou décimaux afin de pouvoir calculer la valeur d'un logarithme à partir d'un tableau de logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.
Un cas particulier de formule de transition vers une nouvelle base de logarithme pour c=b de la forme est souvent utilisé 
. Cela montre que log a b et log b a – . Par exemple, 
.
La formule est également souvent utilisée 
, ce qui est pratique pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons 
. Pour prouver la formule 
il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : 
.
Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.
Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2, b 1 log a b 2 , et pour a>1 – l'inégalité log a b 1 Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des logarithmes. Limitons-nous à la preuve de sa première partie, c'est-à-dire que nous prouverons que si a 1 >1, a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les autres affirmations de cette propriété des logarithmes sont prouvées selon un principe similaire. Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour un 1 >1, un 2 >1 et un 1 1 est vrai log a 1 b≤log a 2 b . Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme 
Et 
respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1
Bibliographie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Qu'est-ce qu'un logarithme ? Comment résoudre des logarithmes ? Ces questions déroutent de nombreux diplômés. Traditionnellement, le sujet des logarithmes est considéré comme complexe, incompréhensible et effrayant. Surtout les équations avec des logarithmes.
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Tâches dont la solution est conversion d'expressions logarithmiques, sont assez courants lors de l'examen d'État unifié.
Afin de réussir à y faire face en un minimum de temps, en plus des identités logarithmiques de base, vous devez connaître et utiliser correctement quelques formules supplémentaires.
C'est : a log a b = b, où a, b > 0, a ≠ 1 (Cela découle directement de la définition du logarithme).
log a b = log c b / log c a ou log a b = 1/log b a
où a, b, c > 0 ; une, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
où a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
un journal c b = b journal c une
où a, b, c > 0 et a, b, c ≠ 1
Pour montrer la validité de la quatrième égalité, prenons le logarithme des côtés gauche et droit en base a. Nous obtenons log a (a log avec b) = log a (b log avec a) ou log avec b = log avec a · log a b ; log c b = log c a · (log c b / log c a); log avec b = log avec b.
Nous avons prouvé l'égalité des logarithmes, ce qui signifie que les expressions sous les logarithmes sont également égales. La Formule 4 a fait ses preuves.
Exemple 1.
Calculez 81 log 27 5 log 5 4 .
Solution.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Par conséquent,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Alors 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Vous pouvez effectuer la tâche suivante vous-même.
Calculer (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
A titre indicatif, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; journal 0,2 5 = -1.
Réponse : 5.
Exemple 2.
Calculer (√11) enregistrer √3 9- journal 121 81 .
Solution.
Changeons les expressions : 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (la formule 3 a été utilisée).
Alors (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 journal 11 3) = 121/3.
Exemple 3.
Calculez log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Solution.
On remplace les logarithmes contenus dans l'exemple par des logarithmes en base 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3) ;
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3) ;
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3) ;
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Puis log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + journal 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Après avoir ouvert les parenthèses et ramené des termes similaires, on obtient le nombre 3. (En simplifiant l'expression, on peut noter log 2 3 par n et simplifier l'expression
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Réponse : 3.
Vous pouvez effectuer vous-même la tâche suivante :
Calculer (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Il faut ici passer aux logarithmes en base 3 et à la factorisation des grands nombres en facteurs premiers.
Réponse : 1/2
Exemple 4.
Étant donné trois nombres A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Disposez-les par ordre croissant.
Solution.
Transformons les nombres A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3 ; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Comparons-les
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 et log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Ou 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Répondre. Par conséquent, l’ordre de placement des nombres est : C ; UN; DANS.
Exemple 5.
Combien d'entiers y a-t-il dans l'intervalle (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Solution.
Déterminons entre quelles puissances du nombre 3 se situe le nombre 1/16. On obtient 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Puisque la fonction y = log 3 x est croissante, alors log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Comparons le log 6 (4/3) et 1/5. Et pour cela on compare les nombres 4/3 et 6 1/5. Élevons les deux nombres à la puissance 5. On obtient (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
journal 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Par conséquent, l'intervalle (log 3 1 / 16 ; log 6 48) inclut l'intervalle [-2 ; 4] et les entiers -2 y sont placés ; -1; 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4.
Réponse : 7 entiers.
Exemple 6.
Calculez 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Solution.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Puis 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Réponse 1.
Exemple 7.
On sait que log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Trouvez log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Solution.
Nombres (√3 + 1) et (√3 – 1) ; (√6 – 2) et (√6 + 2) sont conjugués.
Effectuons la transformation d'expressions suivante
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1) ;
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Alors log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Réponse : 2 – A.
Exemple 8.
Simplifiez et trouvez la valeur approximative de l'expression (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Solution.
Réduisons tous les logarithmes à une base commune 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (La valeur approximative de lg 2 peut être trouvée à l'aide d'un tableau, d'une règle à calcul ou d'une calculatrice).
Réponse : 0,3010.
Exemple 9.
Calculez log a 2 b 3 √(a 11 b -3) si log √ a b 3 = 1. (Dans cet exemple, a 2 b 3 est la base du logarithme).
Solution.
Si log √ a b 3 = 1, alors 3/(0,5 log a b = 1. Et log a b = 1/6.
Puis log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Considérant que ce log a b = 1/ 6 nous obtenons (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Réponse : 2.1.
Vous pouvez effectuer vous-même la tâche suivante :
Calculez log √3 6 √2,1 si log 0,7 27 = a.
Réponse : (3 + a) / (3a).
Exemple 10.
Calculez 6,5 4/log 3 169 · 3 1/log 4 13 + log125.
Solution.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formule 4))
On obtient 9 + 6 = 15.
Réponse : 15.
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