EntréeLa fonction Définir un ensemble affiche un ensemble. Affichages
Étudions maintenant quelques questions liées aux relations entre ensembles.
On dira qu'entre les ensembles il est donné attitude(sont dans une relation) si certains (éventuellement tous) éléments de correspondent à certains éléments de. Si un ensemble est en relation avec un ensemble, alors on écrira :
Si en même temps un élément est associé à un élément, alors nous le désignerons
Définition 1.1.2. La relation entre les ensembles s'appelle afficher, si chacun d'eux se voit attribuer un et un seul élément (voir Fig. 1.1.2. et 1.1.3). Avec la spécialisation de la nature des ensembles, des types particuliers d'applications apparaissent, qui portent le nom spécial de « fonction », " fonction vectorielle", "opérateur", "mesure", "fonctionnel", etc. Nous les rencontrerons plus tard.
Pour désigner une fonction (cartographie) de v, nous utiliserons la notation
Figure 1.1.2. Afficher Fig. 1.1.3 Relation qui n'est pas
afficher
Définition 1.1.3. S'il s'agit d'un élément, alors l'élément qui lui correspond est appelé son image (lorsqu'il est affiché), et l'ensemble de tous ceux pour lesquels il est appelé prototype et est désigné (voir Fig. 1.1.4).
Figure 1.1.4. Prototypeb
Définition 1.1.4. La cartographie s'appelle cartographie un à un, si chaque élément de a une image unique sous mappage et que chaque élément a une image inverse unique sous ce mappage.
Figure 1.1.5. Cartographie individuelle
Dans ce qui suit, nous considérerons uniquement les mappages, car il existe des techniques qui réduisent les mappages à valeurs multiples à des mappages à valeur unique, que nous appelons simplement mappages.
Le concept de cartographie joue un rôle crucial en mathématiques, en particulier en analyse mathématique la place centrale est occupée par le concept les fonctions, qui est le mappage d’un ensemble numérique à un autre.
1.7. Puissance d'ensemble
Lorsqu'on étudie les relations entre des ensembles, le « volume » des ensembles, le nombre d'éléments qu'ils contiennent, est d'un grand intérêt. Mais parler du nombre d’éléments est compréhensible et justifié si ce nombre est fini. Les ensembles constitués d'un nombre fini d'éléments seront appelés final . Cependant, de nombreux ensembles considérés en mathématiques ne sont pas finis, par exemple l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des points sur le plan, l'ensemble des fonctions continues définies sur un certain segment, etc. Pour caractériser quantitativement des ensembles infinis (et même finis), la théorie des ensembles utilise le concept puissance de l'ensemble .
Nous dirons que les ensembles ont même puissance , s'il existe un mappage un-à-un d'un ensemble à un ensemble (notez que dans ce cas, il existe également un mappage un-à-un de l'ensemble B à l'ensemble A).
Si les ensembles ont la même cardinalité, alors on dira qu'ils équivalent , ceci est désigné : .
Soit des ensembles arbitraires, alors
ceux. tout ensemble est équivalent à lui-même ; si un ensemble est équivalent à un ensemble, alors équivalent ; si, enfin, un ensemble est équivalent à un ensemble qui est équivalent à un ensemble, alors équivalent.
Un ensemble équivalent à un sous-ensemble propre est appelé sans fin .
Si des ensembles finis ont un nombre d’éléments différent, alors il est clair que l’un d’eux contient moins d’éléments que l’autre. Comment pouvons-nous comparer des ensembles infinis dans ce sens ? On dira que la cardinalité d'un ensemble est inférieure à la cardinalité d'un ensemble s'il existe un sous-ensemble de l'ensemble qui est équivalent à l'ensemble, mais que les ensembles eux-mêmes ne sont pas équivalents.
Cardinalité d'un ensemble fini égal au nombre de ses éléments. Pour les ensembles infinis, le concept de « cardinalité » est une généralisation du concept de « nombre d'éléments ».
Indiquons quelques classes d'ensembles utiles pour la suite.
L'ensemble est appelé dénombrable , s'il a la même cardinalité qu'un sous-ensemble de l'ensemble (ensemble de nombres naturels). Un ensemble dénombrable peut être fini ou infini.
Un ensemble infini est dénombrable si et seulement s'il est équivalent à l'ensemble des nombres naturels.
Notez que tout ensemble dont la cardinalité est inférieure à la cardinalité d’un ensemble dénombrable infini est fini.
L’ensemble des nombres réels sur l’intervalle de zéro à un a continuum de pouvoir , et lui-même est souvent appelé continuum . La cardinalité de cet ensemble est supérieure à la cardinalité d’un ensemble dénombrable infini. La question se pose : existe-t-il un ensemble dont la cardinalité est supérieure à la cardinalité d'un ensemble dénombrable infini, mais inférieure à la cardinalité du continu ? Ce problème a été formulé en 1900 par l'un des plus grands mathématiciens du monde, David Hilbert. Il s'est avéré que ce problème a une réponse quelque peu inattendue : nous pouvons supposer qu'un tel ensemble existe, ou nous pouvons supposer qu'il n'existe pas. Les théories mathématiques résultantes seront cohérentes. La preuve de ce fait a été rapportée par le scientifique américain Cohen en 1965 lors du Congrès mondial des mathématiciens à Moscou. Notez que la situation de ce problème rappelle la situation du cinquième postulat d'Euclide : passant par un point situé en dehors d'une ligne donnée, une seule ligne parallèle à celle donnée peut être tracée. Comme l’a montré Lobatchevski, le rejet de ce postulat ne conduit pas à des contradictions. Nous pouvons construire des géométries pour lesquelles ce postulat est valable, et des géométries pour lesquelles il n'est pas vrai.
En conclusion, nous donnons plusieurs exemples démontrant la méthodologie pour prouver l’équivalence des ensembles.
Exemple 1.11. L'ensemble des entiers est dénombrable.
Il est clair que l’ensemble en question est infini (l’ensemble des nombres naturels est son sous-ensemble).
Pour prouver la dénombrabilité d’un ensemble d’entiers, il est nécessaire de construire une correspondance bijective entre l’ensemble des nombres naturels et l’ensemble en question. Le mappage requis est donné par la règle : disposez les entiers comme suit :
et renumérotez-les avec des nombres naturels en leur attribuant des numéros (ils sont indiqués à côté des entiers en question). Évidemment, chaque entier recevra un nombre différent, différents nombres recevant des nombres différents. L’inverse est également vrai : pour chaque nombre naturel (pour chaque nombre), il existe également un seul entier placé sous ce nombre. Ainsi, le mappage un-à-un requis est construit.
Exemple 1.12. L'ensemble des nombres rationnels est dénombrable.
On sait que tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction irréductible p/q, en utilisant cette représentation nous organiserons les nombres rationnels conformément au schéma :
. . . . . .
Renumérotons ces nombres à peu près de la même manière que dans l'exemple précédent (les nombres sont indiqués en haut entre parenthèses à côté des nombres). Il est facile de vérifier que la règle formulée pour la numérotation des nombres rationnels donne le mappage biunivoque requis de l'ensemble des nombres naturels à l'ensemble des nombres rationnels.
Exemple 1.13. L’union d’un ensemble dénombrable d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
La preuve de ce fait est similaire à la preuve de l’énoncé de l’exemple précédent.
En conclusion, nous présentons une déclaration importante pour une discussion plus approfondie. Mais pour cela, nous avons besoin d'une opération supplémentaire sur les ensembles.
Produit direct d'ensembles Et( produit cartésien ) est l'ensemble de toutes les paires ordonnées , où et. Cet ensemble est désigné. Ainsi:
Désignons le produit de facteurs.
Théorème 1.1. pour tout ensemble infini de plus.
En particulier, c'est-à-dire l'ensemble des points d'une droite a la même cardinalité que l'ensemble des points d'un plan. De plus, il y a autant de points dans l’espace que sur une droite.
Ceci conclut notre connaissance des concepts de base de la logique mathématique et de la théorie des ensembles - les fondements des mathématiques modernes. Notons que de nombreux aspects de ces théories sont malheureusement restés en dehors du cadre de ce chapitre ; vous pouvez en prendre connaissance, par exemple, par et.
Surjection, injection et bijection
La règle définissant l'application f : X (ou la fonction /) peut être classiquement représentée par des flèches (Fig. 2.1). S'il y a au moins un élément dans l'ensemble Y vers lequel aucune des flèches ne pointe, cela indique que la plage de valeurs de la fonction f ne remplit pas tout l'ensemble Y, c'est-à-dire f(X)CY.
Si la plage de valeurs / coïncide avec Y, c'est-à-dire f(X) = Y, alors une telle fonction est appelée surjective) ou, en bref, surjection, et la fonction / est dite mapper l'ensemble X sur l'ensemble Y (contrairement au cas général de mappage de l'ensemble X dans l'ensemble Y selon la définition 2.1). Donc / : X est une surjection si Vy 6 Y 3x € X : /(x) = y. Sur la figure, dans ce cas, au moins une flèche mène à chaque élément de l'ensemble Y (Fig. 2.2). Dans ce cas, plusieurs flèches peuvent conduire vers certains éléments de Y. Si pas plus d'une flèche mène à un élément y € Y, alors / est appelé une fonction injective, ou injection. Cette fonction n'est pas nécessairement surjective, c'est-à-dire les flèches ne mènent pas à tous les éléments de l'ensemble Y (Fig. 2.3).
- Ainsi, la fonction / : X -Y Y est une injection si deux éléments différents de X ont pour images lors du mappage / deux éléments différents de Y, ou Vy £ f(X) C Y 3xeX : f(x) = y. Surjection, injection et bijection. Cartographie inversée. La composition des mappages est un produit d’ensembles. Calendrier d’affichage. L'application / : X->Y est dite bijective, ou bi-jection, si chaque élément de y 6 Y est l'image de certains et le seul élément de X, c'est-à-dire Vy € f(X) = Y E!x € X : f(x) = y.
Dans un cas particulier, les ensembles X et Y peuvent coïncider (X = Y). Ensuite, la fonction bijective mappera l'ensemble X sur lui-même. La bijection d'un ensemble sur lui-même est aussi appelée transformation. 2.3. Mappage inverse Soit / : X - ? Y est une certaine bijection et soit y € Y. Notons /_1(y) le seul élément x € X tel que /(r) = y. On définit ainsi une application 9 : Y Xу qui est encore une bijection. C'est ce qu'on appelle l'application inverse, ou bijection inverse vers /. Souvent, elle est aussi simplement appelée fonction inverse et est notée /"*. Sur la figure 2.5, la fonction d est précisément l'inverse de /, c'est-à-dire d = f"1.
Exemples de solutions à des problèmes
Les mappages (fonctions) / et sont mutuellement inverses. Il est clair que si une fonction n’est pas une bijection, alors sa fonction inverse n’existe pas. En effet, si / n'est pas injectif, alors un élément y € Y peut correspondre à plusieurs éléments x de l'ensemble X, ce qui contredit la définition d'une fonction. Si / n'est pas surjectif, alors il y a des éléments dans Y pour lesquels il n'y a pas de préimages dans X, c'est-à-dire pour ces éléments la fonction inverse n'est pas définie. Exemple 2.1. UN. Soit X = Y = R - un ensemble de nombres réels. La fonction /, définie par la formule y = For - 2, i,y € R, est une bijection. La fonction inverse est x = (y + 2)/3. b. La fonction réelle f(x) = x2 d'une variable réelle x n'est pas surjective, puisque les nombres négatifs de Y = R ne sont pas des images d'éléments de X = K comme / : Γ -> Y. Exemple 2.2. Soit A" = R, et Y = R+ l'ensemble des nombres réels positifs. La fonction f(x) = ax, a > 0, af 1, est une bijection. La fonction inverse sera Z"1 (Y) = 1°8a Oui
- Surjection, injection et bijection. Cartographie inversée. La composition des mappages est un produit d’ensembles. Calendrier d’affichage. 2.4. Composition des applications Si f:X-*Y et g:Y-*Zy alors l'application (p:X -+Z, définie pour chaque a : 6 A" par la formule =, est appelée une composition (superposition) d'applications (fonctions) / et d> ou une fonction complexe, et est désignée rho/ (Fig. 2.6).
- Ainsi, une fonction complexe avant f implémente la règle : i Apply / d'abord, puis di, c'est-à-dire dans la composition des opérations « avant / il faut commencer par l'opération / située à droite. Notez que la composition Fig. 2.6 les mappages sont associatifs, c'est-à-dire si / : X -+Y, d : Y Z et h : Z-*H> alors (hog)of = = ho(gof)i qui est plus facile à écrire sous la forme ho to /. Vérifions cela comme suit : Sur tout wK "oaicecmee X, on définit une cartographie 1x -X X, dite identique, souvent également notée idx et donnée par la formule Ix(x) = x Vx € A". on laisse tout à leur place.
Chaque point M peut être associé à un couple (i, y) de nombres réels où x est la coordonnée du point Mx sur l'axe de coordonnées Ox, et y est la coordonnée du point Mu sur l'axe de coordonnées Oy. Les points Mx et Mu sont les bases des perpendiculaires tombant du point M sur les axes Ox et Oy, respectivement. Les nombres x et y sont appelés les coordonnées du point M (dans le système de coordonnées sélectionné), et x est appelé l'abscisse du point M, et y est l'ordonnée de ce point. Il est évident que chaque couple (a, b) de nombres réels a, 6 6R correspond à un point M du plan, qui a ces nombres pour coordonnées. Et inversement, chaque point M du plan correspond à un couple (a, 6) de nombres réels a et 6. Dans le cas général, les couples (a, b) et (6, a) définissent des points différents, c'est-à-dire Il est important lequel des deux nombres a et b vient en premier dans la désignation de la paire. On parle donc d’une paire ordonnée. A cet égard, les couples (a, 6) et (6, a) sont considérés comme égaux entre eux, et ils définissent le même point sur le plan, si seulement a = 6. Surjection, injection et bijection. Cartographie inversée.
La composition des mappages est un produit d’ensembles. Calendrier d'affichage. L'ensemble de toutes les paires de nombres réels, ainsi que l'ensemble des points du plan, est noté R2. Cette désignation est associée au concept important de la théorie des ensembles d'un produit direct (ou dek-artov) d'ensembles (souvent, ils parlent simplement d'un produit d'ensembles). Définition 2.2. Le produit des ensembles A et B est l'ensemble Ax B des paires ordonnées possibles (x, y), où le premier élément est pris dans A et le second dans B, de sorte que l'égalité de deux paires (x, y) et ("&", y") sont les conditions déterminées x = x" et y = y7. Les paires (i, y) et (y, x) sont considérées comme différentes si xy. Ceci est particulièrement important à garder à l'esprit lorsque les ensembles A et B coïncident. Par conséquent, dans le cas général A x B f In x A, c'est-à-dire le produit d'ensembles arbitraires n'est pas commutatif, mais il est distributif par rapport à l'union, à l'intersection et à la différence des ensembles : où désigne l'un des trois nommés. opérations. Le produit d'ensembles diffère significativement des opérations indiquées sur deux ensembles est un ensemble dont les éléments (s'il n'est pas vide) appartiennent à l'un ou aux deux ensembles d'origine, tandis que les éléments du produit d'ensembles appartiennent au nouveau. ensemble et sont des objets d’une nature différente par rapport aux éléments des ensembles originaux.
On peut introduire la notion de produit de plus de deux ensembles. Les ensembles (A x B) x C et A*x (B x C) sont identifiés et simplement notés A x B x C, donc. Fonctionne Ah Au Ah Ah Ah Ah, etc. désigné, en règle générale, par A2, A3, etc. Évidemment, le plan R2 peut être considéré comme le produit R x R de deux copies de l'ensemble des nombres réels (d'où la désignation de l'ensemble des points du plan comme le produit de deux ensembles de points sur la droite numérique). L'ensemble des points dans l'espace géométrique (tridimensionnel) correspond au produit R x R x R de trois copies de l'ensemble des points sur la droite numérique, noté R3.
- Le produit de n ensembles de nombres réels est noté Rn. Cet ensemble représente toutes les collections possibles (xj, X2, xn) de n nombres réels X2) xn £ R, et tout point x* de Rn est une telle collection (xj, x, x*) de nombres réels xn £ K*
- Le produit de n ensembles arbitraires est un ensemble de collections ordonnées de n éléments (généralement hétérogènes). Pour de tels ensembles, les noms tuple ou n-ka sont utilisés (prononcés « enka »). Exemple 2.3 Soit A = (1, 2) et B = (1, 2). Alors l'ensemble A x B peut être identifié par. quatre points du plan R2, dont les coordonnées sont indiquées lors de la liste des éléments de cet ensemble Si C = (1,2) et D = (3,4), alors Exemple 2.4 Puis l'interprétation géométrique des ensembles E x F. et F x E est présenté sur la Fig. 2.8 # Pour le mappage / : X nous pouvons créer un ensemble de paires ordonnées (z, y), qui est un sous-ensemble du produit direct X x Y.
- Un tel ensemble est appelé le graphe de l'application f (ou le graphe de la fonction i*" - Exemple 2.5. Dans le cas de XCR et Y = K, chaque couple ordonné précise les coordonnées d'un point sur le plan R2. Si X est un intervalle de la droite numérique R, alors le graphique de la fonction peut représenter une certaine droite (Fig. 2.9). Il est clair qu'avec XCR2 et Y = R le graphique de la fonction est un certain ensemble de points. dans R3, qui peut représenter une certaine surface (Fig. 2.10).
L'affichage %%f%% est appelé injectif,
si pour des éléments %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, il s'ensuit que %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$
Autrement dit, le mapping %%f%% est injectif si les images des différents éléments de %%X%% sont également différentes.
Exemple
La fonction %%f(x) = x^2%%, définie sur l'ensemble %%\mathbb(R)%%, n'est pas injective, puisqu'avec %%x_1 = -1, x_2 = 1%% on obtient le même chose, valeur de la fonction %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.
Cartographie surjective
L'affichage %%f%% est appelé surjectif, si pour chaque élément %%y \in Y%% il y a un élément %%x \in X%% avec la condition que %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X : f(x) = y. $$
En d'autres termes, le mappage %%f%% est surjectif si chaque élément %%y \in Y%% est l'image d'au moins un élément %%x \in X%%.
Exemple
La cartographie %%f(x) = \sin(x)%%, définie sur l'ensemble %%\mathbb R%%, avec l'ensemble %%Y = [-2,2]%% n'est pas surjective, car pour l'élément %%y = 2 \in Y%% l'image inverse de %%x \in X%% est introuvable.
Cartographie bijective
L'affichage %%f%% est appelé bijectif, s'il est injectif et surjectif. La cartographie bijective est également appelée Un par un ou transformation.
Typiquement, les expressions « cartographie injective », « cartographie surjective » et « cartographie bijective » sont remplacées respectivement par « injection », « surjection » et « bijection ».
Cartographie inversée
Soit %%f : X \to Y%% bijection et laissez %%y \in Y%%. Notons %%f^(-1)(y)%% le seul élément %%x \in X%% tel que %%f(x) = y%%. Nous définirons ainsi de nouveaux afficher%%g : Y \to X%%, qui est encore une fois une bijection. Ils l'appellent cartographie inverse.
Exemple
Soit %%X, Y = \mathbb R%% l'ensemble des nombres réels. La fonction %%f%% est donnée par la formule %%y = 3x + 3%%. Cette fonction a-t-elle un inverse ? Si oui, lequel ?
Afin de savoir si une fonction donnée a son inverse, il faut vérifier si elle est bijection. Pour ce faire, vérifions si cette cartographie est injectif Et surjectif.
- Vérifions l'injection. Soit %%x_1 \neq x_2%%. Vérifions que %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, soit %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Supposons le contraire, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Il s'avère ensuite que %%x_1 = x_2%%. Nous avons une contradiction, parce que %%x_1 \neq x_2%%. Par conséquent, %%f%% est une injection.
- Allons vérifier surjection. Soit %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Trouvons l'élément %%x \in X = \mathbb(R)%% avec la condition que %%f(x) = y%%, c'est-à-dire %%3x + 3 = y%%. Dans cette égalité, l'élément %%y \in \mathbb(R)%% est spécifié et nous devons trouver l'élément %%x%%. Évidemment, $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Par conséquent, le mappage %%f%% est surjectif.
Puisque %%f%% est une injection et une surjection, alors %%f%% est une bijection. Et, par conséquent, le mappage inverse est %%x = \frac(y-3)(3)%%.
ENSEMBLES DE CARTOGRAPHIE §1. Définitions basiques
Définition. Soit A et B deux ensembles. Ils disent qu'une application f d'un ensemble A vers B est donnée si une loi est spécifiée selon laquelle tout élément a de A est associé à un seul élément b de l'ensemble B :
Les mappages sont également appelés fonctions.
Nous utiliserons la notation suivante :
ƒ : A→ B. L'application f prend l'ensemble A vers B ;
A f B. L'ensemble A est mappé à B lorsque f est mappé.
Si l'élément a, lorsque f est mappé, entre dans l'élément b, alors écrivez f(a)=b (entrée de gauche) ou af=b (entrée de droite). L'élément b est appelé l'image de l'élément a sous l'application f ; l'élément a est l'image inverse de b pour
cet affichage. L'ensemble ( f (a ) | a A ) = f (A ) est l'image de l'ensemble A sous l'application f. Noter que
f(UNE)B.
UN B
ff(A)
UN - domaine cartographie f ; DANS - gamme cartographie f (parfois – par exemple, en mathématiques scolaires – la plage de valeurs est considérée comme étant f(A), mais nous la considérerons comme étant B).
Notez que nous ne considérons que les mappages à valeur unique.
Parmi tous les écrans, on distingue particulièrement les types suivants :
1. Surjection (cartographie "on") est une application f : A → B telle que f (A ) = B . Sous surjection, chaque élément de l'ensemble B a au moins une image inverse.
2. Injection – une cartographie dans laquelle différents éléments sont transformés en différents éléments, c'est-à-dire si a, a 1 A et a ≠ a 1, alors f (a) ≠ f (a 1).
f(a1) |
|||||
3. Bijection, ou cartographie un à un est une cartographie qui est à la fois une injection et une surjection.
Exemples d'affichages :.
1. Soit A n'importe quel ensemble et B un ensemble constitué d'un élément, c'est-à-dire B=(b).
UN . b
L'application f (a) = b, a A est une surjection, car f(UNE)=B.
2. Soit l'ensemble A un segment du plan, l'ensemble B une ligne. De chaque point du segment A on abaisse une perpendiculaire à la droite B et on met les bases de ces perpendiculaires en correspondance avec les points du segment A.
Un un
φ(a)V
Notons cette application par φ. Évidemment,
ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.
Par conséquent, la cartographie φ est une injection (mais n’est pas une surjection).
3. Soit l’ensemble A l’hypoténuse d’un triangle rectangle et B sa jambe. Associons n'importe quel point de l'hypoténuse à sa projection sur la jambe. Nous obtenons une cartographie bijective de A vers B :
ceux. f est une bijection.
Notez que c'est ainsi que les mathématiques prouvent que le « nombre » de points sur l'hypoténuse et la jambe sont les mêmes (plus précisément, ces ensembles ont la même cardinalité).
Commentaire. Il n’est pas difficile d’aboutir à une cartographie qui ne soit ni une surjection, ni une injection, ni une bijection.
4. Si f est une fonction d'une variable réelle, alors f est une application de R à R.
§2. Multiplication de cartes
Soient A, B, C trois ensembles et donnons deux applications f : A → B et ϕ : B → C.
Définition 1. Le produit de ces mappages est le mappage obtenu à la suite de leur exécution séquentielle.
ϕf
Il existe deux options d'enregistrement.
1. Entrée à gauche. |
||
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c. |
notons ϕ f : |
|
Alors le produit de f et φ sera |
traduire a en c, ça devrait être |
|
(ϕ f) (a) = ϕ (f (a)) = ϕ (b) = c, ϕ f : A → C (voir figure ci-dessus). |
||
Par définition (ϕ f) (a) = ϕ (f (a)), |
ceux. produit de cartographies – |
c'est une fonction complexe |
réglé sur A. |
||
2. Entrée à droite.
aƒ =b, bϕ =c. Alors a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,
f ϕ : A → C.
Nous utiliserons la notation de gauche (notez que le livre utilise la notation de droite). Ci-dessous, nous désignerons le produit des applications par f ϕ.
Note 1. De la définition de la multiplication des applications, il s'ensuit que aucune application ne peut être multipliée, mais uniquement celles dont les ensembles « moyens » sont les mêmes. Par exemple, si f : A → B ,ϕ : D → C , alors pour B=D les mappages f et φ peuvent être multipliés, mais pour B≠D ce n'est pas possible.
Propriétés de la multiplication cartographique
Définition 2. Les applications f et g sont dites égales si leurs domaines de définition et leurs plages de valeurs coïncident, c'est-à-dire f : A → B , g : A → B et la condition est satisfaite : a A est vrai
égalité f (a) = g (a).
1. La multiplication des cartes est non commutative. En d’autres termes, si fφ et φf existent, alors ils ne sont pas nécessairement égaux.
Soit par exemple les ensembles A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) Considérons les produits :
(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,
(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).
Les fonctions fφ et φf sont donc différentes.
2. La multiplication des mappages est associative.
Soit f : A → B, ϕ : B → C, ψ : C → D. Montrons que (ψϕ ) f
E X , f : R → R, ϕ : R → R .
et ψ (ϕ f ) existent et sont égaux, c'est-à-dire (ψϕ ) f =
ψ (ϕ f) . (1)
Il est évident que (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .
Pour prouver l'égalité (1), grâce à la définition de l'égalité des applications, il faut vérifier que a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Utilisation de la définition de la multiplication cartographique (dans l'entrée de gauche)
((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )), |
(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)
Parce que dans les égalités (3) et (4) si les côtés droits sont égaux, alors les côtés gauches sont également égaux, c'est-à-dire l'égalité (2) est vraie, et alors (1) est également vraie.
Remarque 2. L'associativité de la multiplication permet de déterminer de manière unique le produit de trois, puis n'importe quel nombre fini de facteurs.
plusieurs préimages en A, voire aucune préimages du tout. Cependant, pour une application bijective f, l'inverse peut être défini.
Soit f : A → B une bijection, f (a) = b, a A, b B. Alors, pour tout élément b B, par définition d'une bijection, il existe une image inverse unique sous l'application f - c'est l'élément a. Nous pouvons maintenant définir f − 1 : B → A en définissant f − 1 (b ) = a (b B ) . Il est facile de voir que f − 1 est une bijection.
Ainsi, chaque cartographie bijective a un inverse.
§3. Définir les transformations
Toute application f : A → A est appelée transformation de l'ensemble R. En particulier, tout
une fonction d'une variable réelle est une transformation de l'ensemble R.
Des exemples de transformations d'un ensemble de points sur un plan sont la rotation du plan, la symétrie autour d'un axe, etc.
Puisque les transformations sont un cas particulier de mappages, alors tout ce qui est dit ci-dessus à propos des mappages est vrai pour elles. Mais la multiplication des transformations de l’ensemble A a aussi des propriétés spécifiques :
1. pour toute transformation f et φ de l'ensemble A, les produits fφ et φf existent ;
2. il y a une transformation identitaire de l'ensemble Aε : ε (a) = a, a A.
Il est facile de voir que pour toute transformation f de cet ensemble f ε = ε f = f, puisque, par exemple, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Cela signifie que la transformation ε joue le rôle d'élément unitaire lors de la multiplication des transformations.
les égalités sont faciles à vérifier. Ainsi, la transformation inverse joue le rôle d'élément inverse lors de la multiplication des transformations.
Affichages (fonctions)
Les fonctions jouent un rôle central en mathématiques, où elles sont utilisées pour décrire tout processus dans lequel des éléments d’un ensemble sont transformés d’une manière ou d’une autre en éléments d’un autre. De telles transformations d’éléments constituent une idée fondamentale d’une importance capitale pour tous les processus informatiques.
Définition. La relation f sur AB est appelée afficher (fonction) de A à B si pour chaque xA il y a un et un seul yB. définir l'équivalence d'une relation binaire
f : AB ou y=f(x)
L'ensemble A est appelé domaine de définition. Ensemble B- plage de valeurs.
Si y=f(x), alors x est appelé argument, Andy - valeur de la fonction.
Soit f : AB, alors
ensemble de définitions Caractéristiques:
plusieurs significations Caractéristiques:
L'ensemble de définition d'une fonction est un sous-ensemble du domaine de définition, c'est-à-dire Dom f A, et l'ensemble des valeurs de fonction est un sous-ensemble de la plage de fonctions, c'est-à-dire Im f B. Si, alors la fonction est appelée fonction totale, et si c'est une fonction partielle. Ainsi, un diagramme de Venn sert d'illustration pratique d'une fonction définie sur un ensemble A avec des valeurs dans l'ensemble B.
Méthodes de spécification d'une fonction :
- 1) Verbal.
- 2) Analytique.
- 3) Utiliser un graphique ou un dessin.
- 4) Utiliser des tableaux.
Définition. Si MA, alors l'ensemble f(M)=y f(x)=y pour certains x de M est appelé chemin fixe M.
Si KB, alors l'ensemble f -1 (K)=x f(x)K est appelé prototype définit K.
Définition La fonction est appelée fonction à n arguments ou fonction n-aire. Cette fonction mappe un tuple à l'élément bB, .
Propriétés des mappages (fonctions).
1) L'application f : AB est appelée injectif, s'il mappe différents éléments de A à différents éléments de B : .
Cette propriété peut être représentée à l'aide de diagrammes de Venn.
2) L'application f : AB est appelée surjectif ou un mappage à l'ensemble B, si au moins un élément de A est mappé à chaque élément de l'ensemble B : .
Cette propriété peut également être représentée à l'aide de diagrammes de Venn.
3) L'application f : AB, qui est à la fois injective et surjective, est appelée bijectif ou un mappage un-à-un de l'ensemble A à l'ensemble B.
Exemple. Donnons-nous une application f : RR, qui est définie de telle manière que. Découvrez les propriétés de ce mappage.
Solution. La fonction f n'est pas injective, car f (2)=f (2), mais 2 2.
La fonction f n'est pas non plus surjective, puisqu'il n'existe pas de nombre réel x pour lequel f (x) = 1.
Définition. Soit f une application bijective d'un ensemble A dans un ensemble B. Si nous associons chaque élément de B à un élément associé de A, alors une telle correspondance est une application de B dans A. Cette application est notée et appelée le mappage inverse à f.
L’application inverse a certaines propriétés que nous formulerons dans le théorème suivant.
Théorème 3. Si f : AB est une bijection, alors
1) pour tout y de B ;
2) pour tout x de A.
Preuve. 1) Soit yB et. Alors f(x)=y. Mais depuis
2) De même, il est prouvé que pour tout x de A.
Définition. Composition (superposition, œuvre) les mappages f : AB et g : BC sont appelés un mappage h :, qui s'écrit h=g f.
Cette façon d'écrire une superposition de fonctions s'explique par le fait que la désignation de la fonction est généralement écrite à gauche de la liste d'arguments :
