Conversion de systèmes de coordonnées rectangulaires cartésiennes. Transformation d'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan

Thème 5. Transformations linéaires.

Système de coordonnéesest une méthode qui permet d'établir sans ambiguïté la position d'un point par rapport à une figure géométrique à l'aide de nombres. Les exemples incluent un système de coordonnées sur une ligne droite - un axe de coordonnées et des systèmes de coordonnées cartésiennes rectangulaires, respectivement, sur un plan et dans l'espace.

Passons d'un système de coordonnées xy sur le plan à un autre système, c'est-à-dire Voyons comment les coordonnées cartésiennes d'un même point dans ces deux systèmes sont liées entre elles.

Considérons d'abord transfert parallèle système de coordonnées cartésiennes rectangulaires xy, c'est-à-dire le cas où les axes et du nouveau système sont parallèles aux axes correspondants x et y de l'ancien système et ont les mêmes directions avec eux.

Si les coordonnées des points M (x; y) et (a; b) dans le système xy sont connues, alors (Fig. 15) dans le système le point M a des coordonnées : .

Soit le segment OM de longueur ρ former un angle avec l'axe et. Alors (Fig. 16) le segment OM forme un angle avec l'axe des x et les coordonnées du point M dans le système xy sont égales , .

Considérant que dans le système les coordonnées du point M sont égales à et , on obtient

En tournant d'un angle « dans le sens des aiguilles d'une montre », on obtient respectivement :

Problème 0.54. Déterminer les coordonnées du point M(-3; 7) dans le nouveau système de coordonnées x / y /, dont l'origine 0 / est située au point (3; -4), et les axes sont parallèles aux axes de l'ancien système de coordonnées et ont les mêmes directions qu’eux.

Solution. Remplaçons les coordonnées connues des points M et O/ dans les formules : x / = x-a, y / = y-b.
On obtient : x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Répondre: M / (-6 ; 11).

§2. Le concept de transformation linéaire, sa matrice.

Si chaque élément x de l'ensemble X, selon une règle f, correspond à un et un seul élément y de l'ensemble Y, alors on dit que le donné afficher f de l'ensemble X dans l'ensemble Y, et l'ensemble X est appelé domaine de définition afficher f . Si, en particulier, l'élément x 0 Î X correspond à l'élément y 0 Î Y, alors écrivez y 0 = f (x 0). Dans ce cas, l'élément y 0 est appelé cheminélément x 0 et élément x 0 - prototypeélément à 0. Le sous-ensemble Y 0 de l'ensemble Y, constitué de toutes les images, est appelé ensemble de significations afficher f.

Si, dans une application f, différents éléments de l'ensemble X correspondent à différents éléments de l'ensemble Y, alors l'application f est appelée réversible.

Si Y 0 = Y, alors l'application f est appelée une application de l'ensemble X sur ensembleY.

Une application inversible d'un ensemble X sur un ensemble Y est appelée Un par un.

Des cas particuliers du concept de mappage d'un ensemble dans un ensemble sont le concept fonction numérique et la notion cartographie géométrique.

Si une application f à chaque élément d'un ensemble X associe un seul élément du même ensemble X, alors une telle application est appelée transformation définit X.

Soit un ensemble de vecteurs à n dimensions de l'espace linéaire L n.

Une transformation f d'un espace linéaire à n dimensions L n est appelée linéaire transformation si

pour tous les vecteurs de L n et tous les nombres réels α et β. En d’autres termes, une transformation est dite linéaire si une combinaison linéaire de vecteurs se transforme en une combinaison linéaire de leurs images avec le même coefficients.

Si un vecteur est donné dans une certaine base et que la transformation f est linéaire, alors par définition , où sont les images des vecteurs de base.

La transformation linéaire est donc complètement défini, si les images des vecteurs de base de l'espace linéaire considéré sont données :

(12)

Matrice dans lequel la k-ième colonne est la colonne de coordonnées du vecteur dans la base, appelé matrice linéaire transformation f dans cette base.

Le déterminant det L est appelé déterminant de la transformation f et Rg L est appelé rang de la transformation linéaire f.

Si la matrice d’une transformation linéaire est non singulière, alors la transformation elle-même est non singulière. Il transforme l'espace L n biunivoque en lui-même, c'est-à-dire chaque vecteur de L n est l'image de son unique vecteur.

Si la matrice d’une transformation linéaire est singulière, alors la transformation elle-même est singulière. Il transforme l'espace linéaire L n en une partie de celui-ci.

Théorème.Suite à l'application d'une transformation linéaire f de matrice L au vecteur il s'avère que c'est un vecteur tel que .

Les nombres écrits entre parenthèses sont les coordonnées du vecteur selon la base :

(13)

Par la définition de l'opération de multiplication matricielle, le système (13) peut être remplacé par une matrice

égalité , c'était ce qui devait être prouvé.

Exemplestransformations linéaires.

1. L'étirement le long de l'axe des x par k 1 fois et le long de l'axe des y par k 2 fois sur le plan xy est déterminé par la matrice et les formules de transformation de coordonnées ont la forme : x / = k 1 x ; y / = k 2 ans.

2. La réflexion du miroir par rapport à l'axe y sur le plan xy est déterminée par la matrice et les formules de transformation de coordonnées ont la forme : x / = -x, y / = y.

Chapitre I. Vecteurs dans l'avion et dans l'espace

§ 13. Transition d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires à un autre

Nous vous proposons d'envisager ce sujet en deux versions.

1) Basé sur le manuel de I.I. Privalov « Géométrie analytique » (manuel pour les établissements d'enseignement technique supérieur, 1966)

I.I. Privalov "Géométrie analytique"

§ 1. Problème de transformation de coordonnées.

La position d'un point sur un plan est déterminée par deux coordonnées relatives à un système de coordonnées. Les coordonnées du point changeront si nous sélectionnons un système de coordonnées différent.

La tâche de transformation des coordonnées est pour que, connaissant les coordonnées d'un point dans un système de coordonnées, trouver ses coordonnées dans un autre système.

Ce problème sera résolu si nous établissons des formules reliant les coordonnées d'un point arbitraire dans deux systèmes, et les coefficients de ces formules incluront des quantités constantes qui déterminent la position relative des systèmes.

Soit deux systèmes de coordonnées cartésiennes xOy Et XO 1 an(Fig. 68).

Position du nouveau système XO 1 an par rapport à l'ancien système xOy sera déterminé si les coordonnées sont connues UN Et b nouveau départ Ô 1 selon l'ancien système et l'angle α entre les axes Oh Et Ô 1 X. Notons par X Et à coordonnées d'un point arbitraire M par rapport à l'ancien système, en passant par les coordonnées X et Y du même point par rapport au nouveau système. Notre tâche est de garantir que les anciennes coordonnées X Et à exprimé en termes de nouveaux X et Y. Les formules de transformation résultantes doivent évidemment inclure des constantes un B Et α .

Nous obtiendrons une solution à ce problème général en considérant deux cas particuliers.

1. L'origine des coordonnées change, mais les directions des axes restent inchangées ( α = 0).

2. Les directions des axes changent, mais l'origine des coordonnées reste inchangée ( une = b = 0).

§ 2. Transfert de l'origine des coordonnées.

Soit deux systèmes de coordonnées cartésiennes d'origines différentes Ô Et Ô 1 et les mêmes directions des axes (Fig. 69).

Notons par UN Et b coordonnées du nouveau départ Ô 1 dans l'ancien système et à travers x, y Et X, Oui-coordonnées d'un point arbitraire M dans l'ancien et le nouveau système, respectivement. Projection du point M sur l'axe Ô 1 X Et Oh, ainsi que le point Ô 1 par axe Oh, on se met sur l'axe Oh trois points Ah, Ah Et R.. Tailles des segments OA, AR Et OU sont liés par la relation suivante :

| OA| + | RA | = | OU |. (1)

Remarquant que | OA| = UN , | OU | = X , | RA | = | O 1 R 1 | = X, on réécrit l'égalité (1) sous la forme :

UN + X = X ou X = X + UN . (2)

De même, concevoir M et Ô 1 sur l'axe des ordonnées, on obtient :

oui = Oui + b (3)

Donc, l'ancienne coordonnée est égale à la nouvelle plus la coordonnée de la nouvelle origine selon l'ancien système.

A partir des formules (2) et (3), les nouvelles coordonnées peuvent être exprimées à travers les anciennes :

X = x - un , (2")

Oui = y-b . (3")

§ 3. Rotation des axes de coordonnées.

Soit deux systèmes de coordonnées cartésiennes de même origine À PROPOS et différentes directions des axes (Fig. 70).

Laisser α il y a un angle entre les axes Oh Et OH. Notons par x, y Et X, Oui coordonnées d'un point arbitraire M, respectivement, dans l'ancien et le nouveau système :

X = | OU | , à = | MP | ,

X= | OU 1 |, Oui= | P 1M |.

Considérons une ligne brisée OU 1 MP et prenons sa projection sur l'axe Oh. En notant que la projection de la ligne brisée est égale à la projection du segment de fermeture (Chapitre I, § 8) on a :

OU 1 MP = | OU |. (4)

En revanche, la projection d'une ligne brisée est égale à la somme des projections de ses liens (Chapitre I, § 8) ; donc l'égalité (4) s'écrira comme suit :

etc. OU 1+ pr P 1M+ pr Député= | OU | (4")

Puisque la projection d'un segment orienté est égale à sa grandeur multipliée par le cosinus de l'angle entre l'axe des projections et l'axe sur lequel repose le segment (Chapitre I, § 8), alors

etc. OU 1 = X parce que α

etc. P 1M = Oui cos (90° + α ) = - Oui péché α ,

pr Député= 0.

Donc l'égalité (4") nous donne :

X = X parce que α - Oui péché α . (5)

De même, projeter la même polyligne sur l'axe UO, on obtient une expression pour à. En fait, nous avons :

etc. OU 1+ pr P 1M+ pr Député= pp OU = 0.

Remarquant que

etc. OU 1 = X cos( α - 90°) = X péché α ,

etc. P 1M = Oui parce que α ,

pr Député = - oui ,

aura:

X péché α + Oui parce que α - oui = 0,

oui = X péché α + Oui parce que α . (6)

A partir des formules (5) et (6) on obtient de nouvelles coordonnées X Et Oui exprimé à travers l'ancien X Et à , si l'on résout les équations (5) et (6) par rapport à X Et Oui.

Commentaire. Les formules (5) et (6) peuvent être obtenues différemment.

De la fig. 71 nous avons :

X = OU = OM cos ( α + φ ) = OM cos α parce que φ - OM péché α péché φ ,

à = RM = OM péché ( α + φ ) = OM péché α parce que φ + OM cos α péché φ .

Depuis (Chapitre I, § 11) OM cos φ = X, OM péché φ =Oui, Que

X = X parce que α - Oui péché α , (5)

oui = X péché α + Oui parce que α . (6)

§ 4. Cas général.

Soit deux systèmes de coordonnées cartésiennes avec des origines différentes et des directions d'axes différentes (Fig. 72).

Notons par UN Et b coordonnées du nouveau départ À PROPOS, selon l'ancien système, via α - l'angle de rotation des axes de coordonnées et, enfin, à travers x, y Et X, Oui- les coordonnées d'un point arbitraire M selon respectivement l'ancien et le nouveau système.

Exprimer X Et à à travers X Et Oui, introduisons un système de coordonnées auxiliaire X 1 Ô 1 oui 1, dont le début sera placé au nouveau début À PROPOS 1, et faites coïncider les directions des axes avec les directions des anciens axes. Laisser X 1 et oui 1 indique les coordonnées du point M par rapport à ce système auxiliaire. En passant de l'ancien système de coordonnées au système auxiliaire, nous avons (§ 2) :

X = X 1 + un , y = y 1 +b .

X 1 = X parce que α - Oui péché α , oui 1 = X péché α + Oui parce que α .

Remplacement X 1 et oui 1 dans les formules précédentes avec leurs expressions des dernières formules, on trouve finalement :

X = X parce que α - Oui péché α + un

oui = X péché α + Oui parce que α + b (JE)

Les formules (I) contiennent comme cas particulier les formules des §§ 2 et 3. Ainsi, lorsque α = 0 les formules (I) se transforment en

X = X + UN , oui = Oui + b ,

et quand une = b = 0 on a :

X = X parce que α - Oui péché α , oui = X péché α + Oui parce que α .

A partir des formules (I) on obtient de nouvelles coordonnées X Et Oui exprimé à travers l'ancien X Et à , si les équations (I) peuvent être résolues par rapport à X Et Oui.

Notons une propriété très importante des formules (I) : elles sont linéaires par rapport à X Et Oui, c'est à dire la forme :

X = AX + PAR + C, oui = UN 1 X+B 1 Y+C 1 .

Il est facile de vérifier que les nouvelles coordonnées sont X Et Oui s'exprimera à travers l'ancien X Et à également par des formules du premier degré concernant X Et toi.

G.N.Yakovlev "Géométrie"

§ 13. Transition d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires à un autre

En choisissant un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires, une correspondance biunivoque est établie entre des points du plan et des paires ordonnées de nombres réels. Cela signifie que chaque point du plan correspond à une seule paire de nombres et que chaque paire ordonnée de nombres réels correspond à un seul point.

Le choix de l'un ou l'autre système de coordonnées n'est en aucune manière limité et n'est déterminé dans chaque cas spécifique que par des considérations de commodité. Souvent, le même ensemble doit être considéré dans différents systèmes de coordonnées. Le même point dans différents systèmes a évidemment des coordonnées différentes. Un ensemble de points (notamment un cercle, une parabole, une droite) dans différents systèmes de coordonnées est donné par différentes équations.

Découvrons comment les coordonnées des points sur le plan se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.

Soit deux systèmes de coordonnées rectangulaires sur le plan : O, je, j Et à propos", je", j" (Fig. 41).

Le premier système avec un début au point O et des vecteurs de base je Et j convenons de l'appeler l'ancien, le deuxième - avec le début au point O" et les vecteurs de base je" Et j" - nouveau.

Nous considérerons la position du nouveau système par rapport à l'ancien connu : soit le point O" de l'ancien système ait des coordonnées ( un B ), un vecteur je" formulaires avec vecteur je coin α . Coin α On compte dans le sens opposé au mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre.

Considérons un point arbitraire M. Notons ses coordonnées dans l'ancien système par ( x;y ), dans le nouveau - à travers ( x";y" ). Notre tâche est d'établir la relation entre les anciennes et les nouvelles coordonnées du point M.

Relions les points O et O", O" et M, O et M par paires. En utilisant la règle du triangle, nous obtenons.

OM > = OO" > + O" M > . (1)

Développons les vecteurs OM> et OO"> par vecteurs de base je Et j , et le vecteur O" M> par vecteurs de base je" Et j" :

OM > = X je+ oui j , OO" > = un je+b j , O" M > = X" je"+o" j "

Maintenant l’égalité (1) peut s’écrire comme suit :

X je+ oui j = (un je+b j ) + (X" je"+o" j "). (2)

Nouveaux vecteurs de base je" Et j" sont développés selon les anciens vecteurs de base je Et j de la manière suivante :

je" =cos α je + péché α j ,

j" =cos( π / 2 + α ) je +péché( π / 2 + α ) j = - péché α je +cos α j .

En remplaçant les expressions trouvées pour je" Et j" dans la formule (2), on obtient l'égalité vectorielle

X je+ oui j = un je+b j + X"(parce que α je + péché α j ) + oui"(-péché α je +cos α j )

équivalent à deux égalités numériques :

x = un + X" parce que α - oui" péché α , à = b+ X" péché α + oui" parce que α

Les formules (3) donnent les expressions requises pour les anciennes coordonnées X Et à pointe à travers ses nouvelles coordonnées X" Et oui". Pour trouver des expressions de nouvelles coordonnées en fonction des anciennes, il suffit de résoudre le système d'équation (3) par rapport aux inconnues X" Et oui".

Ainsi, les coordonnées des points lorsque l'origine des coordonnées est transférée au point ( UN; b ) et en tournant les axes d'un angle α sont transformés selon les formules (3).

Si seule l'origine des coordonnées change et que les directions des axes restent les mêmes, alors, en supposant dans les formules (3) α = 0, on obtient

Les formules (5) sont appelées formules de rotation.

Tache 1. Soit les coordonnées du nouveau départ dans l'ancien système (2 ; 3) et les coordonnées du point A dans l'ancien système (4 ; -1). Trouvez les coordonnées du point A dans le nouveau système si les directions des axes restent les mêmes.

D'après les formules (4) on a

Répondre. UNE(2;-4)

Tâche 2. Soient les coordonnées du point P dans l'ancien système (-2 ; 1), et dans le nouveau système dont les directions des axes sont les mêmes, les coordonnées de ce point (5 ; 3). Trouvez les coordonnées du nouveau départ dans l'ancien système.

A A partir des formules (4) on obtient

- 2= un + 5 1 = b + 3

où UN = - 7, b = - 2.

Répondre. (-7 ; -2).

Tâche 3. Coordonnées du point A dans le nouveau système (4 ; 2). Trouver les coordonnées de ce point dans l'ancien système si l'origine reste la même et que les axes de coordonnées de l'ancien système pivotent d'un angle α = 45°.

En utilisant les formules (5) on trouve

Tâche 4. Coordonnées du point A dans l'ancien système (2 √3 ; - √3 ). Trouvez les coordonnées de ce point dans le nouveau système si l'origine de l'ancien système est déplacée vers le point (-1;-2) et que les axes pivotent d'un angle α = 30°.

D'après les formules (3) on a

Après avoir résolu ce système d'équations pour X" Et oui", nous trouvons: X" = 4, oui" = -2.

Répondre. Un (4 ; -2).

Tâche 5. L'équation de la droite est donnée à = 2X - 6. Trouvez l'équation de la même droite dans le nouveau système de coordonnées, qui est obtenu à partir de l'ancien système en faisant pivoter les axes d'un angle α = 45°.

Les formules de rotation dans ce cas ont la forme

Remplacer la ligne droite dans l'équation à = 2X - 6 anciennes variables X Et à nouveau, on obtient l'équation

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

qui après simplifications prend la forme oui" = X" / 3 - 2√2

Soit deux systèmes de coordonnées rectangulaires cartésiennes arbitraires sur le plan. Le premier est déterminé par le début de O et les vecteurs de base je j , le deuxième – le centre À PROPOS DE' et vecteurs de base je ’ j ’ .

Fixons-nous pour objectif d'exprimer les coordonnées x y d'un certain point M par rapport au premier système de coordonnées via X’ Et oui’ – coordonnées du même point par rapport au deuxième système.

remarquerez que

Notons les coordonnées du point O' par rapport au premier système par a et b :

Développons les vecteurs je ’ Et j ’ par base je j :

(*)

De plus, nous avons :
. Introduisons ici le développement des vecteurs par rapport à la base je ’ j ’ :

d'ici

On peut conclure : quels que soient deux systèmes cartésiens arbitraires sur le plan, les coordonnées de tout point du plan par rapport au premier système sont des fonctions linéaires des coordonnées de ce même point par rapport au deuxième système.

Multiplions d'abord l'équation (*) de manière scalaire par je , puis sur j :

Notons  l'angle entre les vecteurs je Et je ’ . Système de coordonnées je j peut être combiné avec le système je ’ j ’ par translation parallèle puis rotation d'un angle . Mais ici, une option arc est également possible : l'angle entre les vecteurs de base je je ’ également , et l'angle entre les vecteurs de base j ’ j ’ égal à  - . Ces systèmes ne peuvent pas être combinés avec une translation et une rotation parallèles. Il faut aussi changer la direction de l'axe à au contraire.

De la formule (**) on obtient dans le premier cas :

Dans le deuxième cas

Les formules de conversion sont :

Nous ne considérerons pas le deuxième cas. Acceptons de considérer que les deux systèmes sont justes.

Ceux. conclusion : quels que soient les deux systèmes de coordonnées corrects, le premier d'entre eux peut être combiné avec le second par translation parallèle et rotation ultérieure autour de l'origine d'un certain angle .

Formules de transfert parallèle :

Formules de rotation des axes :

Conversions inverses :

Transformation de coordonnées rectangulaires cartésiennes dans l'espace.

Dans l’espace, en raisonnant de manière similaire, on peut écrire :

(***)

Et pour les coordonnées on obtient :

(****)

Ainsi, quels que soient deux systèmes de coordonnées arbitraires dans l'espace, les coordonnées x y z d'un point par rapport au premier système sont des fonctions linéaires des coordonnées X’ oui’ z’ le même point par rapport au deuxième système de coordonnées.

En multipliant chacune des égalités (***) de manière scalaire par je ’ j ’ k ’ on a:

DANS Précisons la signification géométrique des formules de transformation (****). Pour ce faire, supposons que les deux systèmes aient un début commun : un = b = c = 0 .

Introduisons en considération trois angles qui caractérisent pleinement la localisation des axes du deuxième système par rapport au premier.

Le premier angle est formé par l’axe x et l’axe u, qui est l’intersection des plans xOy et x’Oy’. La direction de l'angle est le tour le plus court entre l'axe x et l'axe y. Notons l'angle par . Le deuxième angle  est l'angle n'excédant pas  entre les axes Oz et Oz'. Enfin, le troisième angle  est l’angle entre l’axe u et Ox’, mesuré à partir de l’axe u dans la direction du virage le plus court de Ox’ à Oy’. Ces angles sont appelés angles d'Euler.

La transformation du premier système en second peut être représentée comme une succession de trois rotations : d'un angle  par rapport à l'axe Oz ; d'angle  par rapport à l'axe Ox' ; et d'un angle  par rapport à l'axe Oz'.

Les nombres  ij peuvent être exprimés en termes d'angles d'Euler. Nous n’écrirons pas ces formules car elles sont lourdes.

La transformation elle-même est une superposition de translation parallèle et de trois rotations successives par des angles d'Euler.

Tous ces arguments peuvent être appliqués au cas où les deux systèmes sont de gauche ou ont des orientations différentes.

Si nous avons deux systèmes arbitraires, alors, d'une manière générale, nous pouvons les combiner par translation parallèle et une rotation dans l'espace autour d'un certain axe. Nous ne la chercherons pas.

1) Transition d'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan à un autre système rectangulaire cartésien de même orientation et de même origine.

Supposons que deux systèmes de coordonnées rectangulaires cartésiennes soient introduits sur le plan xOy et avec une origine commune À PROPOS, ayant la même orientation (Fig. 145). Notons les vecteurs unitaires des axes Oh Et UO respectivement, à travers et , et les vecteurs unitaires des axes et à travers et . Enfin, soit l'angle par rapport à l'axe Ohà l'axe. Laisser X Et à– coordonnées d'un point arbitraire M. dans le système xOy, et et sont les coordonnées du même point M. dans le système.

Puisque l'angle par rapport à l'axe Oh au vecteur est égal à , alors les coordonnées du vecteur

Angle par rapport à l'axe Oh au vecteur est égal à ; donc les coordonnées du vecteur sont égales.

Les formules (3) § 97 prennent la forme

Matrice de transition d'un cartésien xOy système de coordonnées rectangulaires vers un autre système rectangulaire avec la même orientation a la forme

Une matrice est dite orthogonale si la somme des carrés des éléments situés dans chaque colonne est égale à 1, et la somme des produits des éléments correspondants des différentes colonnes est égale à zéro, c'est-à-dire Si

Ainsi, la matrice de transition (2) d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système rectangulaire de même orientation est orthogonale. Notons également que le déterminant de cette matrice est +1 :

Inversement, si une matrice orthogonale (3) avec un déterminant égal à +1 est donnée, et qu'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes est introduit sur le plan xOy, alors en vertu des relations (4) les vecteurs sont à la fois unitaires et perpendiculaires entre eux, donc les coordonnées du vecteur dans le système xOy sont égaux à et , où est l'angle d'un vecteur à l'autre, et puisque le vecteur est unitaire et que nous obtenons du vecteur en tournant de , alors soit , soit .

La deuxième possibilité est exclue, puisque si nous avions , alors il nous est donné cela .

Cela signifie , et la matrice UN ressemble à

ceux. est la matrice de transition d'un système de coordonnées rectangulaires xOyà un autre système rectangulaire ayant la même orientation, et l'angle .

2. Transition d'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan à un autre système rectangulaire cartésien d'orientation opposée et de même origine.

Supposons que deux systèmes de coordonnées rectangulaires cartésiennes soient introduits sur le plan xOy et avec une origine commune À PROPOS, mais ayant l'orientation opposée, notons l'angle par rapport à l'axe Ohà l'axe passant (on fixe l'orientation du plan par le système xOy).

Puisque l'angle par rapport à l'axe Oh au vecteur est égal à , alors les coordonnées du vecteur sont égales :

Maintenant, l'angle d'un vecteur à l'autre est égal (Fig. 146), donc l'angle par rapport à l'axe Oh au vecteur est égal (par le théorème de Chasles pour les angles) et donc les coordonnées du vecteur sont égales :

Et les formules (3) § 97 prennent la forme

Matrice de transition

orthogonal, mais son déterminant est –1. (7)

À l’inverse, toute matrice orthogonale dont le déterminant est égal à –1 spécifie la transformation d’un système de coordonnées rectangulaires sur le plan en un autre système rectangulaire de même origine mais d’orientation opposée. Donc, si deux systèmes de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy et avoir un début commun, alors

Où X, à– les coordonnées de n’importe quel point du système xOy; et sont les coordonnées du même point du système, et

matrice orthogonale.

De retour si

matrice orthogonale arbitraire, alors les relations

exprime la transformation d'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes en un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires système avec la même origine; - coordonnées dans le système xOy un vecteur unitaire donnant la direction positive de l'axe ; - coordonnées dans le système xOy vecteur unitaire donnant la direction positive de l’axe.

systèmes de coordonnées xOy et ont la même orientation, et dans ce cas, l'opposé.

3. Transformation générale d'un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan en un autre système rectangulaire.

Sur la base des points 1) et 2) de ce paragraphe, ainsi que sur la base du § 96, nous concluons que si des systèmes de coordonnées rectangulaires sont introduits sur le plan xOy et , alors les coordonnées X Et à point arbitraire M. avions dans le système xOy avec les coordonnées du même point M. dans le système sont reliés par des relations - les coordonnées de l'origine du système de coordonnées dans le système xOy.

Notez que les anciennes et nouvelles coordonnées X, à et , les vecteurs sous la transformation générale du système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sont liés par les relations

au cas où les systèmes xOy et ont la même orientation et les mêmes relations

dans le cas où ces systèmes ont l'orientation opposée, ou sous la forme

matrice orthogonale. Les transformations (10) et (11) sont dites orthogonales.

Chapitre 1. Ajout. Transformation de coordonnées rectangulaires cartésiennes dans le plan et dans l'espace. Systèmes de coordonnées spéciaux dans le plan et dans l'espace.

Les règles de construction de systèmes de coordonnées sur un plan et dans l'espace sont abordées dans la partie principale du chapitre 1. La commodité de l'utilisation de systèmes de coordonnées rectangulaires a été notée. Dans l'utilisation pratique des outils de géométrie analytique, il est souvent nécessaire de transformer le système de coordonnées adopté. Ceci est généralement dicté par des considérations de commodité : les images géométriques sont simplifiées, les modèles analytiques et les expressions algébriques utilisées dans les calculs deviennent plus claires.

La construction et l'utilisation de systèmes de coordonnées spéciaux : polaire, cylindrique et sphérique sont dictées par la signification géométrique du problème à résoudre. La modélisation utilisant des systèmes de coordonnées spéciaux facilite souvent le développement et l'utilisation de modèles analytiques pour résoudre des problèmes pratiques.

Les résultats obtenus en annexe du chapitre 1 seront utilisés en algèbre linéaire, pour la plupart en calcul et en physique.

Transformation de coordonnées rectangulaires cartésiennes dans le plan et dans l'espace.

En considérant le problème de la construction d'un système de coordonnées dans un plan et dans l'espace, il a été noté que le système de coordonnées est formé d'axes numériques se coupant en un point : deux axes sont nécessaires dans le plan, trois dans l'espace. Dans le cadre de la construction de modèles analytiques de vecteurs, de l'introduction du produit scalaire du fonctionnement des vecteurs et de la solution de problèmes de contenu géométrique, il a été montré que l'utilisation de systèmes de coordonnées rectangulaires est la plus préférable.

Si nous considérons le problème de la transformation abstraite d'un système de coordonnées spécifique, alors dans le cas général, il serait possible d'autoriser le mouvement arbitraire des axes de coordonnées dans un espace donné avec le droit de renommer arbitrairement les axes.

Nous partirons du concept primaire systèmes de référence , accepté en physique. En observant le mouvement des corps, on a découvert que le mouvement d’un corps isolé ne peut être déterminé par lui-même. Vous devez avoir au moins un corps supplémentaire par rapport auquel un mouvement est observé, c'est-à-dire un changement de celui-ci relatif des provisions. Pour obtenir des modèles analytiques, des lois et du mouvement, un système de coordonnées a été associé à ce deuxième corps, comme système de référence, et de telle manière que le système de coordonnées soit solide !

Puisque le mouvement arbitraire d'un corps rigide d'un point de l'espace à un autre peut être représenté par deux mouvements indépendants : translation et rotation, les options de transformation du système de coordonnées étaient limitées à deux mouvements :

1). Transfert parallèle : nous ne suivons qu'un seul point - le point.

2). Rotation des axes du système de coordonnées par rapport à un point : comme un corps rigide.

Conversion de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan.

Disons des systèmes de coordonnées sur le plan : , et . Le système de coordonnées est obtenu par translation parallèle du système. Le système de coordonnées est obtenu en faisant tourner le système d'un angle , et le sens de rotation positif est considéré comme une rotation antihoraire de l'axe.

Déterminons les vecteurs de base des systèmes de coordonnées adoptés. Puisque le système a été obtenu par transfert parallèle du système, alors pour ces deux systèmes, nous acceptons les vecteurs de base : , et ceux unitaires et coïncidant en direction avec les axes de coordonnées , , respectivement. Pour le système, comme vecteurs de base, nous prendrons des vecteurs unitaires coïncidant en direction avec les axes , .

Supposons qu'un système de coordonnées soit donné et qu'un point = y soit défini. Nous supposerons qu'avant la transformation nous avons des systèmes de coordonnées et . Appliquons la translation parallèle au système de coordonnées, défini par le vecteur. Il est nécessaire de définir la transformation des coordonnées d'un point. Utilisons l'égalité vectorielle : = + , ou :

Illustrons la transformation par translation parallèle avec un exemple bien connu en algèbre élémentaire.

Exemple D–1 : L'équation de la parabole est donnée : = = . Réduisez l’équation de cette parabole à sa forme la plus simple.

Solution:

1). Utilisons la technique mettre en évidence un carré complet : = , qui peut être facilement représenté par : –3 = .

2). Appliquons la transformation de coordonnées - transfert parallèle := . Après cela, l'équation de la parabole prend la forme : . Cette transformation en algèbre est définie comme suit : parabole = obtenue en décalant la parabole la plus simple vers la droite de 2, et vers le haut de 3 unités.

Réponse : La forme la plus simple d’une parabole est : .

Soit un système de coordonnées donné et un point = défini dedans. Nous supposerons qu'avant la transformation nous avons des systèmes de coordonnées et . Appliquons une transformation de rotation au système de coordonnées de sorte que par rapport à sa position d'origine, c'est-à-dire par rapport au système, il tourne d'un angle . Il est nécessaire de définir la transformation des coordonnées du point = . Écrivons le vecteur dans les systèmes de coordonnées et : = . (2) =1. De la théorie des droites du second ordre, il s’ensuit que l’équation la plus simple (canonique !) de l’ellipse a été obtenue.

Réponse : la forme la plus simple d'une droite donnée : =1 est l'équation canonique d'une ellipse.