Résolution d'équations logarithmiques quadratiques. Équations logarithmiques

Introduction

Les logarithmes ont été inventés pour accélérer et simplifier les calculs. L'idée d'un logarithme, c'est-à-dire l'idée d'exprimer les nombres sous forme de puissances de même base, appartient à Mikhail Stiefel. Mais à l’époque de Stiefel, les mathématiques n’étaient pas aussi développées et l’idée du logarithme n’était pas développée. Les logarithmes ont ensuite été inventés simultanément et indépendamment les uns des autres par le scientifique écossais John Napier (1550-1617) et le suisse Jobst Burgi (1552-1632). Napier fut le premier à publier ces travaux en 1614. sous le titre "Description d'une étonnante table de logarithmes", la théorie des logarithmes de Napier a été présentée dans un volume assez complet, la méthode de calcul des logarithmes a été donnée la plus simple, donc les mérites de Napier dans l'invention des logarithmes étaient supérieurs à ceux de Bürgi. Burgi travailla sur les tableaux en même temps que Napier, mais les garda longtemps secrets et ne les publia qu'en 1620. Napier maîtrisa l'idée du logarithme vers 1594. bien que les tableaux aient été publiés 20 ans plus tard. Au début, il appela ses logarithmes « nombres artificiels » et ce n'est qu'ensuite qu'il proposa d'appeler ces « nombres artificiels » en un seul mot « logarithme », qui, traduit du grec, signifie « nombres corrélés », tirés l'un d'une progression arithmétique et l'autre d'un progression géométrique spécialement sélectionnée pour cela. Les premiers tableaux en russe furent publiés en 1703. avec la participation d'un merveilleux professeur du XVIIIe siècle. L.F. Magnitski. Les travaux de l'académicien de Saint-Pétersbourg Leonhard Euler ont été d'une grande importance dans le développement de la théorie des logarithmes. Il fut le premier à considérer les logarithmes comme l'inverse de l'élévation à une puissance ; il introduisit les termes « logarithme de base » et « mantisse ». Briggs a compilé des tableaux de logarithmes en base 10. Les tableaux décimaux sont plus pratiques pour une utilisation pratique, leur théorie est plus simple que celui des logarithmes de Napier. Par conséquent, les logarithmes décimaux sont parfois appelés logarithmes de Briggs. Le terme « caractérisation » a été introduit par Briggs.

À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Mais il y avait des tas, ainsi que des pots et des paniers, qui étaient parfaits pour jouer le rôle de caches de stockage pouvant contenir un nombre indéterminé d'objets. Dans les anciens problèmes mathématiques de la Mésopotamie, de l'Inde, de la Chine, de la Grèce, les grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau et l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Scribes, fonctionnaires et prêtres initiés aux connaissances secrètes, bien formés à la science comptable, s'acquittent de ces tâches avec beaucoup de succès.

Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Cependant, pas un seul papyrus ou tablette d’argile ne contient une description de ces techniques. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ». En ce sens, l'exception est « l'Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions.

Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'œuvre du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot "al-jabr" du nom arabe de ce traité - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Livre de restauration et d'opposition") - s'est transformé au fil du temps en le mot bien connu "algèbre", et l'ouvrage d'al-Khwarizmi lui-même a servi de point de départ dans le développement de la science de la résolution des équations.

Équations logarithmiques et inégalités

1. Équations logarithmiques

Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme ou à sa base est appelée équation logarithmique.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme

enregistrer un X = b . (1)

Déclaration 1. Si un > 0, un≠ 1, équation (1) pour tout réel b a une solution unique X = un B .

Exemple 1. Résolvez les équations :

a) journal 2 X= 3, b) journal 3 X= -1,c)

Solution. En utilisant l’énoncé 1, nous obtenons a) X= 2 3 ou X= 8 ; b) X= 3 -1 ou X= 1 / 3 ; c)

ou X = 1.

Présentons les propriétés de base du logarithme.

P1. Identité logarithmique de base :

Où un > 0, un≠ 1 et b > 0.

P2. Le logarithme du produit de facteurs positifs est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs :

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un N 1 + journal un N 2 (un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si N 1 · N 2 > 0, alors la propriété P2 prend la forme

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un |N 1 | + journal un |N 2 | (un > 0, un ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Le logarithme du quotient de deux nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur

(un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si

, (ce qui équivaut N 1 N 2 > 0) alors la propriété P3 prend la forme (un > 0, un ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Le logarithme de la puissance d'un nombre positif est égal au produit de l'exposant et du logarithme de ce nombre :

enregistrer un N k = k enregistrer un N (un > 0, un ≠ 1, N > 0).

Commentaire. Si k- nombre pair ( k = 2s), Que

enregistrer un N 2s = 2s enregistrer un |N | (un > 0, un ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formule pour déménager dans une autre base :

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

en particulier si N = b, on a

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

En utilisant les propriétés P4 et P5, il est facile d'obtenir les propriétés suivantes

(un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (un > 0, un ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

et, si en (5) c- nombre pair ( c = 2n), se produit

(b > 0, un ≠ 0, |un | ≠ 1). (6)

Listons les principales propriétés de la fonction logarithmique F (X) = journal un X :

1. Le domaine de définition d'une fonction logarithmique est l'ensemble des nombres positifs.

2. La plage de valeurs de la fonction logarithmique est l'ensemble des nombres réels.

3. Quand un> 1 fonction logarithmique est strictement croissante (0< X 1 < X 2log un X 1 < logun X 2), et à 0< un < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log un X 1 > journal un X 2).

4.journal un 1 = 0 et journal un un = 1 (un > 0, un ≠ 1).

5. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est négative lorsque X(0;1) et positif à X(1;+∞), et si 0< un < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) et négatif à X (1;+∞).

6. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est convexe vers le haut, et si un(0;1) - convexe vers le bas.

Les instructions suivantes (voir, par exemple) sont utilisées lors de la résolution d'équations logarithmiques.

Comme vous le savez, lors de la multiplication d'expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (ab *a c = a b+c). Cette loi mathématique a été dérivée par Archimède et plus tard, au VIIIe siècle, le mathématicien Virasen a créé un tableau d'exposants entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où vous devez simplifier une multiplication fastidieuse par une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Dans un langage simple et accessible.

Définition en mathématiques

Un logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire le logarithme de tout nombre non négatif (c'est-à-dire tout positif) « b » à sa base « a » est considéré comme la puissance « c » à laquelle la base « a » doit être élevée pour obtenir finalement la valeur « b ». Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C’est très simple, il faut trouver une puissance telle que de 2 à la puissance recherchée on obtienne 8. Après avoir fait quelques calculs dans sa tête, on obtient le chiffre 3 ! Et c’est vrai, car 2 à la puissance 3 donne la réponse 8.

Types de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en fait les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur signification générale et de mémoriser leurs propriétés et certaines règles. Il existe trois types distincts d'expressions logarithmiques :

1. Logarithme népérien ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
2. Décimal a, où la base est 10.
3. Logarithme de n'importe quel nombre b en base a>1.

Chacun d'eux est résolu de manière standard, y compris la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un seul logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-contraintes qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont la vérité. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible d’extraire la racine paire de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, à la suite desquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :

• La base « a » doit toujours être supérieure à zéro et non égale à 1, sinon l'expression perdra son sens, car « 1 » et « 0 » à quelque degré que ce soit sont toujours égaux à leurs valeurs ;
• si a > 0, alors a b >0, il s'avère que « c » doit également être supérieur à zéro.

Comment résoudre des logarithmes ?

Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l'équation 10 x = 100. C'est très simple, vous devez choisir une puissance en élevant le nombre dix auquel on obtient 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 = 100.

Représentons maintenant cette expression sous forme logarithmique. On obtient log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement pour trouver la puissance à laquelle il faut entrer dans la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau des diplômes. Cela ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, pour des valeurs plus importantes, vous aurez besoin d’une table de puissance. Il peut être utilisé même par ceux qui ne connaissent rien aux sujets mathématiques complexes. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules contiennent les valeurs numériques qui sont la réponse (a c =b). Prenons par exemple la toute première cellule avec le chiffre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus véritable humaniste comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d’une égalité logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit comme le logarithme en base 3 de 81 égal à quatre (log 3 81 = 4). Pour les puissances négatives les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on l'écrit sous forme de logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L’une des sections les plus fascinantes des mathématiques est celle des « logarithmes ». Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations ci-dessous, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

L'expression suivante est donnée : log 2 (x-1) > 3 - c'est une inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue « x » est sous le signe logarithmique. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre souhaité en base deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec des logarithmes (par exemple, le logarithme 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques dans la réponse, tandis que lors de la résolution d'une inégalité, la plage des valeurs acceptables les valeurs et les points sont déterminés en brisant cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse à une équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lors de la résolution de tâches primitives consistant à trouver les valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de comprendre clairement et d'appliquer dans la pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous examinerons des exemples d'équations plus tard ; examinons d'abord chaque propriété plus en détail.

1. L'identité principale ressemble à ceci : a logaB =B. Cela s'applique uniquement lorsque a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
2. Le logarithme du produit peut être représenté par la formule suivante : log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, la condition obligatoire est : d, s 1 et s 2 > 0 ; une≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule logarithmique, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2, puis a f1 = s 1, a f2 = s 2. On obtient que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés de degrés ), puis par définition : log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
3. Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.

Cette formule est appelée « propriété du degré du logarithme ». Cela ressemble aux propriétés des diplômes ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques sont basées sur des postulats naturels. Regardons la preuve.

Soit log a b = t, il s'avère que a t = b. Si on élève les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;

mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n, donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème a été prouvé.

Exemples de problèmes et d’inégalités

Les types de problèmes les plus courants sur les logarithmes sont des exemples d’équations et d’inégalités. On les trouve dans presque tous les livres de problèmes et constituent également une partie obligatoire des examens de mathématiques. Pour entrer dans une université ou réussir les examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement ces tâches.

Malheureusement, il n'existe pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Tout d’abord, vous devez savoir si l’expression peut être simplifiée ou réduite à une forme générale. Vous pouvez simplifier les expressions logarithmiques longues si vous utilisez correctement leurs propriétés. Faisons rapidement connaissance avec eux.

Lors de la résolution d'équations logarithmiques, nous devons déterminer de quel type de logarithme nous disposons : un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.

Voici les exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait qu’ils doivent déterminer la puissance à laquelle la base 10 sera respectivement égale à 100 et 1026. Pour résoudre des logarithmes naturels, vous devez appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Examinons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions

Voyons donc des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.

1. La propriété du logarithme d'un produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de décomposer une grande valeur du nombre b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en utilisant la quatrième propriété de la puissance du logarithme, nous avons réussi à résoudre une expression apparemment complexe et insoluble. Il vous suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.

Devoirs de l'examen d'État unifié

Les logarithmes se retrouvent souvent dans les examens d'entrée, en particulier de nombreux problèmes logarithmiques lors de l'examen d'État unifié (examen d'État pour tous les diplômés de l'école). En règle générale, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la partie test la plus simple de l'examen), mais également dans la partie C (les tâches les plus complexes et les plus volumineuses). L'examen nécessite une connaissance précise et parfaite du thème « Logarithmes naturels ».

Des exemples et des solutions aux problèmes sont tirés des versions officielles de l'examen d'État unifié. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Étant donné log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.

• Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
• Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lorsque l'exposant d'une expression qui est sous le signe du logarithme et comme sa base est retiré comme multiplicateur, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.

Exemples:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Comment résoudre des équations logarithmiques :

Lors de la résolution d'une équation logarithmique, vous devez vous efforcer de la transformer sous la forme \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), puis faire la transition vers \(f(x )=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemple:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Solution: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Examen:\(10>2\) - convient pour DL Répondre:\(x=10\)

ODZ : \(x-2>0\) \(x>2\)

Très important! Cette transition ne peut être effectuée que si :

Vous avez écrit pour l'équation originale, et à la fin vous vérifierez si celles trouvées sont incluses dans le DL. Si cela n'est pas fait, des racines supplémentaires peuvent apparaître, ce qui signifie une mauvaise décision.

Le nombre (ou l'expression) à gauche et à droite est le même ;

Les logarithmes de gauche et de droite sont « purs », c'est-à-dire qu'il ne doit y avoir aucune multiplication, division, etc. – uniquement des logarithmes simples de part et d’autre du signe égal.

Par exemple:

Notez que les équations 3 et 4 peuvent être facilement résolues en appliquant les propriétés nécessaires des logarithmes.

Exemple . Résolvez l'équation \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Solution :

		Écrivons l'ODZ : \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ : \(x>0\)		A gauche devant le logarithme se trouve le coefficient, à droite se trouve la somme des logarithmes. Cela nous dérange. Déplaçons les deux vers l'exposant \(x\) selon la propriété : \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Représentons la somme des logarithmes comme un logarithme selon la propriété : \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Nous avons réduit l'équation à la forme \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) et avons noté l'ODZ, ce qui signifie que nous pouvons passer à la forme \(f(x) =g(x)\ ).
		Arrivé . Nous le résolvons et récupérons les racines.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Nous vérifions si les racines conviennent à l'ODZ. Pour ce faire, dans \(x>0\) au lieu de \(x\) nous remplaçons \(5\) et \(-5\). Cette opération peut être réalisée oralement.
\(5>0\), \(-5>0\)		La première inégalité est vraie, la seconde ne l’est pas. Cela signifie que \(5\) est la racine de l’équation, mais \(-5\) ne l’est pas. Nous écrivons la réponse.

Répondre : \(5\)

Exemple : Résolvez l'équation \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Solution :

		Écrivons l'ODZ : \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ : \(x>0\)		Une équation typique résolue en utilisant . Remplacez \(\log_2⁡x\) par \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Nous avons reçu l'habituel. Nous recherchons ses racines.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Effectuer un remplacement inversé
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Nous transformons les membres de droite en les représentant sous forme de logarithmes : \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) et \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Maintenant, nos équations sont \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), et nous pouvons passer à \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Nous vérifions la correspondance des racines de l'ODZ. Pour ce faire, remplacez \(4\) et \(2\) dans l'inégalité \(x>0\) au lieu de \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Les deux inégalités sont vraies. Cela signifie que \(4\) et \(2\) sont tous deux des racines de l'équation.

Répondre : \(4\); \(2\).

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Algèbre 11e année

Sujet : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques »

Objectifs de la leçon:

pédagogique : la formation de connaissances sur les différentes manières de résoudre des équations logarithmiques, la capacité de les appliquer dans chaque situation spécifique et de choisir n'importe quelle méthode de résolution ;

développer : développer les compétences pour observer, comparer, appliquer des connaissances dans une situation nouvelle, identifier des modèles, généraliser ; développer des compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi ;

pédagogique : favoriser une attitude responsable envers le travail éducatif, une perception attentive du matériel de la leçon et une prise de notes minutieuse.

Type de cours: leçon sur l'introduction de nouveau matériel.

"L'invention des logarithmes, tout en réduisant le travail de l'astronome, prolongea sa vie."
Mathématicien et astronome français P.S. Laplace

Pendant les cours

I. Fixer l'objectif de la leçon

La définition étudiée du logarithme, des propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique nous permettra de résoudre des équations logarithmiques. Toutes les équations logarithmiques, aussi complexes soient-elles, sont résolues à l'aide d'algorithmes uniformes. Nous examinerons ces algorithmes dans la leçon d'aujourd'hui. Il n'y en a pas beaucoup. Si vous les maîtrisez, alors n'importe quelle équation avec des logarithmes sera réalisable pour chacun de vous.

Notez le sujet de la leçon dans votre cahier : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques ». J'invite tout le monde à coopérer.

II. Actualisation des connaissances de référence

Préparons-nous à étudier le sujet de la leçon. Vous résolvez chaque tâche et notez la réponse ; vous n’avez pas besoin d’écrire la condition. Travailler en équipe de deux.

1) Pour quelles valeurs de x la fonction a-t-elle un sens :

(Les réponses sont vérifiées pour chaque diapositive et les erreurs sont triées)

2) Les graphiques des fonctions coïncident-ils ?

3) Réécrivez les égalités sous forme d'égalités logarithmiques :

4) Écrivez les nombres sous forme de logarithmes en base 2 :

5) Calculez :

6) Essayez de restaurer ou de compléter les éléments manquants dans ces égalités.

III. Introduction au nouveau matériel

La déclaration suivante s'affiche à l'écran :

"L'équation est la clé d'or qui ouvre tous les sésames mathématiques."
Mathématicien polonais moderne S. Kowal

Essayez de formuler la définition d'une équation logarithmique. (Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme).

Considérons l'équation logarithmique la plus simple :enregistrerUNx = b(où a>0, a ≠ 1). Puisque la fonction logarithmique augmente (ou diminue) sur l'ensemble des nombres positifs et prend toutes les valeurs réelles, alors d'après le théorème racine, il s'ensuit que pour tout b cette équation n'a qu'une seule solution, et une positive.

Rappelez-vous la définition du logarithme. (Le logarithme d'un nombre x à la base a est un indicateur de la puissance à laquelle il faut élever la base a pour obtenir le nombre x). De la définition du logarithme, il résulte immédiatement que UNV est une telle solution.

Notez le titre : Méthodes de résolution d'équations logarithmiques

1. Par définition du logarithme.

C'est ainsi que sont résolues les équations les plus simples de la forme.

Considérons N° 514(a)): Résous l'équation

Comment proposez-vous de le résoudre ? (Par définition du logarithme)

Solution. , D'où 2x - 4 = 4 ; x = 4.

Dans cette tâche, 2x - 4 > 0, puisque > 0, donc aucune racine étrangère ne peut apparaître et il n'est pas nécessaire de vérifier. Il n'est pas nécessaire d'écrire la condition 2x - 4 > 0 dans cette tâche.

2. Potentisation(passage du logarithme d'une expression donnée à cette expression elle-même).

Considérons N° 519(g) : log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Quelle fonctionnalité avez-vous remarquée ? (Les bases sont les mêmes et les logarithmes des deux expressions sont égaux.) Ce qui peut être fait? (Potentiser).

Il faut tenir compte du fait que toute solution est contenue parmi tous les x dont les expressions logarithmiques sont positives.

Solution : ODZ :

X2+8>0 est une inégalité inutile

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8x+8)

Potentialisons l'équation originale

on obtient l'équation x2+8= 8x+8

Résolvons-le : x2-8x=0

Réponse : 0 ; 8

En général transition vers un système équivalent:

L'équation

(Le système contient une condition redondante : il n’est pas nécessaire de prendre en compte l’une des inégalités).

Question pour la classe: Laquelle de ces trois solutions avez-vous préféré ? (Discussion des méthodes).

Vous avez le droit de décider de quelque manière que ce soit.

3. Introduction d'une nouvelle variable.

Considérons N° 520(g). .

Qu'avez-vous remarqué ? (Il s'agit d'une équation quadratique par rapport à log3x) Des suggestions ? (Introduire une nouvelle variable)

Solution. ODZ : x > 0.

Soit , alors l'équation prend la forme :. Discriminant D > 0. Racines selon le théorème de Vieta :.

Revenons au remplacement : ou.

Après avoir résolu les équations logarithmiques les plus simples, nous obtenons :

Réponse : 27 ;

4. Logarithme des deux côtés de l'équation.

Résous l'équation:.

Solution : ODZ : x>0, prendre le logarithme des deux côtés de l'équation en base 10 :

Appliquons la propriété du logarithme d'une puissance :

(logx + 3) logx = 4

Soit logx = y, alors (y + 3)y = 4

, (D > 0) racines selon le théorème de Vieta : y1 = -4 et y2 = 1.

Revenons au remplacement, on obtient : lgx = -4,; lgx = 1, .

Réponse : 0,0001 ; dix.

5. Réduction à une base.

N° 523(c). Résous l'équation:

Solution : ODZ : x>0. Passons à la base 3.

6. Méthode fonctionnelle-graphique.

№ 509(d). Résolvez l'équation graphiquement : = 3 - x.

Comment proposez-vous de résoudre ? (Construisez des graphiques de deux fonctions y = log2x et y = 3 - x en utilisant des points et recherchez l'abscisse des points d'intersection des graphiques).

Regardez votre solution sur la diapositive.

Il existe un moyen d'éviter de faire des graphiques . C'est comme suit : si une des fonctions y = f(x) augmente, et l'autre y = g(x) diminue sur l'intervalle X, alors l'équation f(x)=g(x) a au plus une racine sur l'intervalle X.

S'il y a une racine, on peut la deviner.

Dans notre cas, la fonction augmente pour x>0, et la fonction y = 3 - x diminue pour toutes les valeurs de x, y compris pour x>0, ce qui signifie que l'équation n'a pas plus d'une racine. Notez qu'à x = 2, l'équation se transforme en une vraie égalité, puisque .

« L’application correcte des méthodes peut s’apprendre en
seulement en les appliquant à divers exemples.
Historien danois des mathématiques G. G. Zeiten

jeV. Devoirs

P. 39, considérons l'exemple 3, résolvez le n° 514(b), le n° 529(b), le n° 520(b), le n° 523(b)

V. Résumer la leçon

Quelles méthodes de résolution d’équations logarithmiques avons-nous examinées en classe ?

Dans les prochaines leçons, nous examinerons des équations plus complexes. Pour les résoudre, les méthodes étudiées seront utiles.

Dernière diapositive affichée :

« Qu’y a-t-il de plus que tout au monde ?
Espace.
Quelle est la chose la plus sage ?
Temps.
Quelle est la meilleure partie ?
Réalisez ce que vous voulez.
Thalès

Je souhaite à chacun de réaliser ce qu’il veut. Merci pour votre coopération et votre compréhension.