EntréeFaçons d'ouvrir les parenthèses. Résolution d'équations linéaires simples
Dans cette leçon, vous apprendrez à transformer une expression contenant des parenthèses en une expression sans parenthèses. Vous apprendrez à ouvrir des parenthèses précédées d’un signe plus et d’un signe moins. Nous rappellerons comment ouvrir les parenthèses en utilisant la loi distributive de la multiplication. Les exemples considérés vous permettront de relier du matériel nouveau et déjà étudié en un seul tout.
Sujet : Résolution d'équations
Leçon : Développer les parenthèses
Comment développer des parenthèses précédées d'un signe « + ». Utiliser la loi associative de l'addition.
Si vous devez ajouter la somme de deux nombres à un nombre, vous pouvez d'abord ajouter le premier terme à ce nombre, puis le second.
À gauche du signe égal se trouve une expression avec parenthèses et à droite une expression sans parenthèses. Cela signifie que lorsque l'on passe du côté gauche de l'égalité vers la droite, les parenthèses s'ouvrent.
Regardons des exemples.
Exemple 1. 
En ouvrant les parenthèses, nous avons modifié l'ordre des actions. Il est devenu plus pratique de compter.
Exemple 2. 
Exemple 3.
Notez que dans les trois exemples, nous avons simplement supprimé les parenthèses. Formulons une règle :
Commentaire.
Si le premier terme entre parenthèses n’est pas signé, alors il doit être écrit avec un signe plus.
Vous pouvez suivre l'exemple étape par étape. Tout d’abord, ajoutez 445 à 889. Cette action peut être effectuée mentalement, mais elle n’est pas très facile. Ouvrons les parenthèses et voyons que la procédure modifiée simplifiera considérablement les calculs.
Si vous suivez la procédure indiquée, vous devez d'abord soustraire 345 de 512, puis ajouter au résultat 1345. En ouvrant les parenthèses, nous modifierons la procédure et simplifierons considérablement les calculs.
Illustrer un exemple et une règle.
Regardons un exemple : . Vous pouvez trouver la valeur d’une expression en additionnant 2 et 5, puis en prenant le nombre obtenu avec le signe opposé. Nous obtenons -7.
En revanche, le même résultat peut être obtenu en additionnant les nombres opposés à ceux d’origine.
Formulons une règle :
Exemple 1. 
Exemple 2.
La règle ne change pas s’il n’y a pas deux, mais trois termes ou plus entre parenthèses.
Exemple 3. 
Commentaire. Les signes sont inversés uniquement devant les termes.
Afin d’ouvrir les parenthèses, nous devons dans ce cas nous rappeler la propriété distributive.
Tout d’abord, multipliez la première tranche par 2 et la seconde par 3.
La première parenthèse est précédée du signe « + », ce qui signifie que les signes doivent rester inchangés. Le deuxième signe est précédé du signe « - », par conséquent, tous les signes doivent être remplacés par le signe opposé.
Bibliographie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6ème année. - Gymnase, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - Lumières, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques de la 5e à la 6e année - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les 5-6 années du secondaire. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.
- Tests en ligne de mathématiques ().
- Vous pouvez télécharger ceux spécifiés à la clause 1.2. livres().
Devoirs
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012. (lien voir 1.2)
- Devoirs : n° 1254, n° 1255, n° 1256 (b, d)
- Autres tâches : n° 1258(c), n° 1248
A+(b + c) peut s'écrire sans parenthèses : a+(b + c)=a + b + c. Cette opération s’appelle l’ouverture des parenthèses.
Exemple 1. Ouvrons les parenthèses dans l'expression a + (- b + c).
Solution. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
S’il y a un signe « + » devant les parenthèses, alors vous pouvez omettre les parenthèses et ce signe « + » tout en conservant les signes des termes entre parenthèses. Si le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe, alors il doit être écrit avec un signe « + ».
Exemple 2. Trouvons la valeur de l'expression -2,87+ (2,87-7,639).
Solution. En ouvrant les parenthèses, on obtient - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Pour trouver la valeur de l'expression - (- 9 + 5), il faut ajouter Nombres-9 et 5 et trouvez le nombre opposé à la somme résultante : -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
La même valeur peut être obtenue d'une autre manière : notez d'abord les nombres opposés à ces termes (c'est-à-dire changez leurs signes), puis ajoutez : 9 + (- 5) = 4. Ainsi, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Pour écrire une somme opposée à la somme de plusieurs termes, il faut changer les signes de ces termes.
Cela signifie - (a + b) = - a - b.
Exemple 3. Trouvons la valeur de l'expression 16 - (10 -18 + 12).
Solution. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Pour ouvrir des parenthèses précédées d'un signe « - », vous devez remplacer ce signe par « + », en changeant les signes de tous les termes entre parenthèses par l'opposé, puis ouvrir les parenthèses.
Exemple 4. Trouvons la valeur de l'expression 9,36-(9,36 - 5,48).
Solution. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Développer les parenthèses et appliquer des propriétés commutatives et associatives ajout vous permettent de simplifier les calculs.
Exemple 5. Trouvons la valeur de l'expression (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Solution. Tout d'abord, ouvrons les parenthèses, puis trouvons séparément la somme de tous les nombres positifs et séparément la somme de tous les nombres négatifs et, enfin, additionnons les résultats :
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Exemple 6. Trouvons la valeur de l'expression
Solution. Tout d’abord, imaginons chaque terme comme la somme de leurs parties entières et fractionnaires, puis ouvrons les parenthèses, puis ajoutons les entiers et séparément fractionnaire parties et enfin additionner les résultats :
Comment ouvrir des parenthèses précédées d’un signe « + » ? Comment trouver la valeur d’une expression qui est l’opposé de la somme de plusieurs nombres ? Comment développer des parenthèses précédées d'un signe « - » ?
1218. Ouvrez les parenthèses :
une) 3,4+(2,6+ 8,3) ; c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57) ; d) c+(-une + b).
1219. Trouver le sens de l'expression :
1220. Ouvrez les parenthèses :
une) 85+(7,8+ 98) ; d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5 ; e) -a + (m-2,6) ; h) -(ab + c);
c) 64-(90 + 100) ; e) c+(- un-b); i) (mn) - (pk).
1221. Ouvrez les parenthèses et trouvez le sens de l'expression :
1222. Simplifiez l'expression :
1223. Écrire montant deux expressions et simplifiez-les :
a) - 4 - m et m + 6,4 ; d) a+b et p - b
b) 1,1+a et -26-a ; e) - m + n et -k - n ;
c) a + 13 et -13 + b ; e)m - n et n - m.
1224. Écrivez la différence de deux expressions et simplifiez-la :
1226. Utilisez l'équation pour résoudre le problème :
a) Il y a 42 livres sur une étagère et 34 sur l'autre. Plusieurs livres ont été retirés de la deuxième étagère, et autant de livres ont été retirés de la première étagère qu'il en restait sur la seconde. Après cela, il restait 12 livres sur la première étagère. Combien de livres ont été retirés de la deuxième étagère ?
b) Il y a 42 élèves en première année, 3 élèves de moins en deuxième qu'en troisième. Combien y a-t-il d’élèves en troisième année s’il y a 125 élèves dans ces trois années ?
1227. Trouver le sens de l'expression :
1228. Calculer oralement :
1229. Trouvez la plus grande valeur de l'expression :
1230. Précisez 4 entiers consécutifs si :
a) le plus petit d'entre eux est -12 ; c) le plus petit d'entre eux est n ;
b) le plus grand d'entre eux est -18 ; d) le plus grand d'entre eux est égal à k.
Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques, littérales et variables. Il est pratique de passer d’une expression avec parenthèses à une expression identiquement égale sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture des parenthèses.
Développer les parenthèses signifie supprimer les parenthèses d’une expression.
Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités de l'enregistrement des décisions lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme une égalité. Par exemple, après avoir développé les parenthèses au lieu de l'expression
3−(5−7) on obtient l'expression 3−5+7. Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l’égalité 3−(5−7)=3−5+7.
Et encore un point important. En mathématiques, pour abréger les notations, il est d'usage de ne pas écrire le signe plus s'il apparaît en premier dans une expression ou entre parenthèses. Par exemple, si nous additionnons deux nombres positifs, par exemple sept et trois, alors nous n'écrivons pas +7+3, mais simplement 7+3, malgré le fait que sept soit également un nombre positif. De même, si vous voyez, par exemple, l'expression (5+x) - sachez qu'avant la parenthèse il y a un plus, qui n'est pas écrit, et avant le cinq il y a un plus +(+5+x).
La règle d'ouverture des parenthèses lors de l'addition
Lors de l'ouverture des parenthèses, s'il y a un plus devant les parenthèses, alors ce plus est omis avec les parenthèses.
Exemple. Ouvrez les parenthèses dans l'expression 2 + (7 + 3) Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie qu'on ne change pas les signes devant les chiffres entre parenthèses.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Règle d'ouverture des parenthèses lors de la soustraction
S'il y a un moins avant les parenthèses, alors ce moins est omis avec les parenthèses, mais les termes qui étaient entre parenthèses changent de signe pour le signe opposé. L'absence de signe avant le premier terme entre parenthèses implique un signe +.
Exemple. Développez les parenthèses dans l'expression 2 − (7 + 3)
Il y a un moins avant les parenthèses, ce qui signifie que vous devez changer les signes devant les chiffres entre parenthèses. Entre parenthèses il n'y a pas de signe avant le chiffre 7, cela signifie que sept est positif, on considère qu'il y a un signe + devant.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Lors de l'ouverture des parenthèses, nous supprimons de l'exemple le moins qui se trouvait devant les parenthèses et les parenthèses elles-mêmes 2 − (+ 7 + 3), et remplaçons les signes qui étaient entre parenthèses par les signes opposés.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Développer les parenthèses lors de la multiplication
S'il y a un signe de multiplication devant les parenthèses, alors chaque nombre entre parenthèses est multiplié par le facteur devant les parenthèses. Dans ce cas, multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins, donne un moins.
Ainsi, les parenthèses dans les produits sont développées conformément à la propriété distributive de multiplication.
Exemple. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Lorsque vous multipliez une parenthèse par une parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
En fait, il n'est pas nécessaire de retenir toutes les règles, il suffit de n'en retenir qu'une seule, celle-ci : c(a−b)=ca−cb. Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle (a−b)=a−b. Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle −(a−b)=−a+b. Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.
Parenthèses ouvrantes lors de la division
S'il y a un signe de division après les parenthèses, alors chaque nombre entre parenthèses est divisé par le diviseur après les parenthèses, et vice versa.
Exemple. (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3
Comment développer des parenthèses imbriquées
Si une expression contient des parenthèses imbriquées, elles sont développées dans l'ordre, en commençant par les parenthèses externes ou internes.
Dans ce cas, il est important que lors de l'ouverture de l'un des crochets, ne touchez pas les crochets restants, mais simplement les réécrire tels quels.
Exemple. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Nous allons maintenant passer aux parenthèses ouvrantes dans les expressions dans lesquelles l'expression entre parenthèses est multipliée par un nombre ou une expression. Formulons une règle pour ouvrir les parenthèses précédées d'un signe moins : les parenthèses ainsi que le signe moins sont omises, et les signes de tous les termes entre parenthèses sont remplacés par les signes opposés.
Un type de transformation d’expression est l’expansion des parenthèses. Les expressions numériques, littérales et variables peuvent être écrites à l'aide de parenthèses, qui peuvent indiquer l'ordre des actions, contenir un nombre négatif, etc. Supposons que dans les expressions décrites ci-dessus, au lieu de nombres et de variables, il puisse y avoir n'importe quelle expression.
Et prêtons attention à un autre point concernant les particularités de l'écriture d'une solution lors de l'ouverture des parenthèses. Dans le paragraphe précédent, nous avons traité de ce qu’on appelle les parenthèses ouvrantes. Pour ce faire, il existe des règles d'ouverture des parenthèses, que nous allons maintenant passer en revue. Cette règle est dictée par le fait que les nombres positifs sont généralement écrits sans parenthèses ; dans ce cas, les parenthèses ne sont pas nécessaires. L'expression (−3,7)−(−2)+4+(−9) peut s'écrire sans parenthèses sous la forme −3,7+2+4−9.
Enfin, la troisième partie de la règle est simplement due aux particularités de l'écriture des nombres négatifs à gauche dans l'expression (dont nous avons parlé dans la section sur les parenthèses pour l'écriture des nombres négatifs). Vous pouvez rencontrer des expressions composées d'un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. Si vous ouvrez les parenthèses, en passant de l'interne à l'externe, alors la solution sera la suivante : −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.
Comment ouvrir les parenthèses ?
Voici une explication : −(−2 x) vaut +2 x, et puisque cette expression vient en premier, +2 x peut s'écrire 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x et −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La première partie de la règle écrite d'ouverture des parenthèses découle directement de la règle de multiplication des nombres négatifs. Sa deuxième partie est une conséquence de la règle de multiplication des nombres par des signes différents. Passons à des exemples de parenthèses ouvrantes dans les produits et quotients de deux nombres de signes différents.
Parenthèses ouvrantes : règles, exemples, solutions.
La règle ci-dessus prend en compte toute la chaîne de ces actions et accélère considérablement le processus d'ouverture des parenthèses. La même règle vous permet d'ouvrir des parenthèses dans des expressions qui sont des produits et des expressions partielles avec un signe moins qui ne sont pas des sommes ni des différences.
Regardons des exemples d'application de cette règle. Donnons la règle correspondante. Ci-dessus, nous avons déjà rencontré des expressions de la forme −(a) et −(−a), qui sans parenthèses s'écrivent respectivement −a et a. Par exemple, −(3)=3, et. Ce sont des cas particuliers de la règle énoncée. Examinons maintenant des exemples de parenthèses ouvrantes lorsqu'elles contiennent des sommes ou des différences. Montrons des exemples d'utilisation de cette règle. Notons l'expression (b1+b2) par b, après quoi nous utilisons la règle de multiplication de la parenthèse par l'expression du paragraphe précédent, nous avons (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.
Par récurrence, cette affirmation peut être étendue à un nombre arbitraire de termes dans chaque parenthèse. Il reste à ouvrir les parenthèses dans l'expression résultante, en utilisant les règles des paragraphes précédents, au final on obtient 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.
La règle en mathématiques est d'ouvrir les parenthèses s'il y a (+) et (-) devant les parenthèses.
Cette expression est le produit de trois facteurs (2+4), 3 et (5+7·8). Vous devrez ouvrir les parenthèses de manière séquentielle. Maintenant, nous utilisons la règle pour multiplier une parenthèse par un nombre, nous avons ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Les degrés dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec des exposants naturels peuvent être considérés comme le produit de plusieurs parenthèses.
Par exemple, transformons l'expression (a+b+c)2. Tout d'abord, nous l'écrivons comme un produit de deux parenthèses (a+b+c)·(a+b+c), maintenant nous multiplions une parenthèse par une parenthèse, nous obtenons a·a+a·b+a·c+ b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.
On dira aussi que pour élever les sommes et différences de deux nombres à une puissance naturelle, il convient d’utiliser la formule binomiale de Newton. Par exemple, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Il n'est pas moins pratique de remplacer d'abord la division par la multiplication, puis d'utiliser la règle correspondante pour ouvrir les parenthèses dans un produit.
Reste à comprendre l'ordre d'ouverture des parenthèses à l'aide d'exemples. Prenons l'expression (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Nous substituons ces résultats dans l'expression originale : (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Il ne reste plus qu'à finir d'ouvrir les parenthèses, on a donc −5+3·2:4+6·7. Cela signifie que lorsque l'on passe du côté gauche de l'égalité vers la droite, les parenthèses s'ouvrent.
Notez que dans les trois exemples, nous avons simplement supprimé les parenthèses. Tout d’abord, ajoutez 445 à 889. Cette action peut être effectuée mentalement, mais elle n’est pas très facile. Ouvrons les parenthèses et voyons que la procédure modifiée simplifiera considérablement les calculs.
Comment étendre les parenthèses à un autre degré
Illustrer un exemple et une règle. Regardons un exemple : . Vous pouvez trouver la valeur d’une expression en additionnant 2 et 5, puis en prenant le nombre obtenu avec le signe opposé. La règle ne change pas s’il n’y a pas deux, mais trois termes ou plus entre parenthèses. Commentaire. Les signes sont inversés uniquement devant les termes. Afin d’ouvrir les parenthèses, nous devons dans ce cas nous rappeler la propriété distributive.
Pour les nombres simples entre parenthèses
Votre erreur ne réside pas dans les signes, mais dans une mauvaise manipulation des fractions ? En 6e année, nous avons appris les nombres positifs et négatifs. Comment allons-nous résoudre des exemples et des équations ?
Combien y a-t-il entre parenthèses ? Que pouvez-vous dire de ces expressions ? Bien entendu, le résultat du premier et du deuxième exemples est le même, ce qui signifie qu'on peut mettre un signe égal entre eux : -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Qu'a-t-on fait des parenthèses ?
Démonstration de la diapositive 6 avec les règles d'ouverture des parenthèses. Ainsi, les règles d'ouverture des parenthèses nous aideront à résoudre des exemples et à simplifier les expressions. Ensuite, les élèves sont invités à travailler en binôme : ils doivent utiliser des flèches pour relier l'expression contenant des parenthèses avec l'expression correspondante sans parenthèses.
Diapositive 11 Une fois à Sunny City, Znayka et Dunno se sont disputés pour savoir lequel d'entre eux avait résolu correctement l'équation. Ensuite, les élèves résolvent l’équation eux-mêmes en utilisant les règles d’ouverture des parenthèses. Résolution d'équations » Objectifs du cours : pédagogique (renforcement des connaissances sur le thème : « Ouverture des parenthèses.
Sujet de cours : « Parenthèses ouvrantes. Dans ce cas, vous devez multiplier chaque terme des premières parenthèses par chaque terme des deuxièmes parenthèses, puis additionner les résultats. Tout d'abord, les deux premiers facteurs sont pris, enfermés dans une parenthèse supplémentaire, et à l'intérieur de ces parenthèses, les parenthèses sont ouvertes selon l'une des règles déjà connues.
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Parenthèses ouvrantes : règles et exemples (7e année)
La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs expressions numériques . Par exemple, dans l'expression numérique \(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).
Cependant, si nous avons affaire à expression algébrique contenant variable- par exemple, comme ceci : \(2(x-3)\) - alors il est impossible de calculer la valeur entre parenthèses, la variable gêne. Par conséquent, dans ce cas, les parenthèses sont « ouvertes » en utilisant les règles appropriées.
Règles d'ouverture des parenthèses
S'il y a un signe plus devant la parenthèse, alors la parenthèse est simplement supprimée, l'expression qu'elle contient reste inchangée. Autrement dit:
Il faut ici préciser qu'en mathématiques, pour raccourcir les notations, il est d'usage de ne pas écrire le signe plus s'il apparaît en premier dans l'expression. Par exemple, si nous ajoutons deux nombres positifs, par exemple sept et trois, alors nous n'écrivons pas \(+7+3\), mais simplement \(7+3\), malgré le fait que sept soit aussi un nombre positif . De même, si vous voyez par exemple l’expression \((5+x)\) – sachez que avant le support il y a un plus, qui n'est pas écrit.
Exemple
. Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires : \((x-11)+(2+3x)\).
Solution
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
S'il y a un signe moins devant la parenthèse, alors lorsque la parenthèse est supprimée, chaque membre de l'expression à l'intérieur change de signe pour le signe opposé :
Ici, il est nécessaire de préciser que pendant que a était entre parenthèses, il y avait un signe plus (ils ne l'ont tout simplement pas écrit), et après avoir retiré la parenthèse, ce plus s'est transformé en moins.
Exemple
: Simplifiez l'expression \(2x-(-7+x)\).
Solution
: à l'intérieur de la parenthèse il y a deux termes : \(-7\) et \(x\), et avant la parenthèse il y a un moins. Cela signifie que les signes changeront - et le sept sera désormais un plus et le x sera désormais un moins. Ouvrez le support et nous présentons des termes similaires .
Exemple.
Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
S'il y a un facteur devant la parenthèse, alors chaque membre de la parenthèse est multiplié par celui-ci, c'est-à-dire :
Exemple.
Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution
: Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.
Exemple.
Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution
: Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).
Reste à considérer la dernière situation.
Lors de la multiplication d'une parenthèse par une parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :
Exemple.
Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution
: Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Retirez le premier support et multipliez chaque membre par le deuxième support :
Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...
Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :
Il n'est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails, vous pouvez les multiplier tout de suite. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.
Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.
Parenthèse dans une parenthèse
Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).
Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
— ouvrez les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.
Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.
Exemple.
Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:
Commençons la tâche en ouvrant le support intérieur (celui à l'intérieur). En le développant, nous ne traitons que de ce qui s'y rapporte directement - c'est le support lui-même et le moins devant lui (surligné en vert). Nous réécrivons tout le reste (non mis en évidence) de la même manière.
Résoudre des problèmes de mathématiques en ligne
Calculateur en ligne.
Simplifier un polynôme.
Multiplication de polynômes.
Avec ce programme mathématique, vous pouvez simplifier un polynôme.
Pendant que le programme est en cours d'exécution :
- multiplie les polynômes
— résume les monômes (en donne des similaires)
- ouvre les parenthèses
- élève un polynôme à une puissance
Le programme de simplification polynomiale donne non seulement la réponse au problème, il fournit une solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire : affiche le processus de résolution afin que vous puissiez vérifier vos connaissances en mathématiques et/ou en algèbre.
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Un peu de théorie.
Produit d'un monôme et d'un polynôme. Le concept de polynôme
Parmi les différentes expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :
La somme des monômes s’appelle un polynôme. Les termes d'un polynôme sont appelés termes du polynôme. Les monômes sont également classés comme polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un seul membre.
Représentons tous les termes sous forme de monômes de la forme standard :
Présentons des termes similaires dans le polynôme résultant :
Le résultat est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.
Derrière degré de polynôme de forme standard, assument les pouvoirs les plus élevés de ses membres. Ainsi, un binôme a le troisième degré et un trinôme a le deuxième.
En règle générale, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant des exposants. Par exemple:
La somme de plusieurs polynômes peut être transformée (simplifiée) en un polynôme de forme standard.
Parfois, les termes d’un polynôme doivent être divisés en groupes, en plaçant chaque groupe entre parenthèses. Puisque les parenthèses fermantes sont la transformation inverse des parenthèses ouvrantes, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :
Si un signe «+» est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.
Si un signe « - » est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.
Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme
En utilisant la propriété distributive de la multiplication, vous pouvez transformer (simplifier) le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:
Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.
Ce résultat est généralement formulé sous forme de règle.
Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.
Nous avons déjà utilisé cette règle à plusieurs reprises pour multiplier par une somme.
Produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes
En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.
Habituellement, la règle suivante est utilisée.
Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits résultants.
Formules de multiplication abrégées. Somme des carrés, différences et différence de carrés
Vous devez traiter certaines expressions dans les transformations algébriques plus souvent que d’autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être u, c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et la différence des carrés. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent incomplets, par exemple, il ne s'agit bien sûr pas seulement du carré de la somme, mais du carré de la somme de a et b. Cependant, le carré de la somme de a et b n'apparaît pas très souvent : en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient diverses expressions, parfois assez complexes.
Les expressions peuvent être facilement converties (simplifiées) en polynômes de forme standard ; en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes :
Il est utile de mémoriser les identités résultantes et de les appliquer sans calculs intermédiaires. De brèves formulations verbales y contribuent.
- le carré de la somme est égal à la somme des carrés et du produit double.
- le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans le double produit.
- la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.
Ces trois identités permettent de remplacer ses parties de gauche par celles de droite dans les transformations et vice versa - les parties de droite par celles de gauche. Le plus difficile est de voir les expressions correspondantes et de comprendre comment les variables a et b y sont remplacées. Examinons plusieurs exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.
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Parenthèses extensibles
Nous continuons à étudier les bases de l'algèbre. Dans cette leçon, nous apprendrons comment développer les parenthèses dans les expressions. Développer les parenthèses signifie supprimer les parenthèses d’une expression.
Pour ouvrir des parenthèses, vous n'avez besoin de mémoriser que deux règles. Avec une pratique régulière, vous pouvez ouvrir les supports les yeux fermés et les règles qui devaient être mémorisées peuvent être oubliées en toute sécurité.
La première règle pour ouvrir les parenthèses
Considérons l'expression suivante :
La valeur de cette expression est 2 . Ouvrons les parenthèses dans cette expression. Développer les parenthèses signifie s'en débarrasser sans affecter le sens de l'expression. Autrement dit, après s'être débarrassé des parenthèses, la valeur de l'expression 8+(−9+3) devrait toujours être égal à deux.
La première règle pour ouvrir les parenthèses est la suivante :
Lors de l'ouverture des parenthèses, s'il y a un plus devant les parenthèses, alors ce plus est omis avec les parenthèses.
On voit donc cela dans l'expression 8+(−9+3) Il y a un signe plus devant les parenthèses. Ce plus doit être omis ainsi que les parenthèses. En d’autres termes, les parenthèses disparaîtront avec le plus qui les précédait. Et ce qui était entre parenthèses sera écrit sans changement :
8−9+3 . Cette expression est égale à 2 , comme l'expression précédente entre parenthèses, était égal à 2 .
8+(−9+3) Et 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Exemple 2. Développer les parenthèses dans l'expression 3 + (−1 − 4)
Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses restera inchangé :
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 2 + (−1)
Dans cet exemple, l’ouverture des parenthèses est devenue une sorte d’opération inverse consistant à remplacer la soustraction par l’addition. Qu'est-ce que ça veut dire?
En expression 2−1 une soustraction se produit, mais elle peut être remplacée par une addition. On obtient alors l'expression 2+(−1) . Mais si dans l'expression 2+(−1) ouvrez les supports, vous obtenez l'original 2−1 .
Par conséquent, la première règle d’ouverture des parenthèses peut être utilisée pour simplifier les expressions après certaines transformations. Autrement dit, débarrassez-le des parenthèses et simplifiez-le.
Par exemple, simplifions l'expression 2a+a−5b+b .
Pour simplifier cette expression, des termes similaires peuvent être donnés. Rappelons que pour réduire des termes similaires, il faut additionner les coefficients des termes similaires et multiplier le résultat par la partie commune de la lettre :
J'ai une expression 3a+(−4b). Supprimons les parenthèses dans cette expression. Il y a un plus devant les parenthèses, nous utilisons donc la première règle pour ouvrir les parenthèses, c'est-à-dire que nous omettons les parenthèses ainsi que le plus qui précède ces parenthèses :
Donc l'expression 2a+a−5b+b simplifie à 3a−4b .
Après avoir ouvert certaines parenthèses, vous en rencontrerez peut-être d’autres en cours de route. Nous leur appliquons les mêmes règles qu’aux premiers. Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression suivante :
Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans ce cas, la première règle d'ouverture des parenthèses s'applique, à savoir l'omission des parenthèses ainsi que du signe plus qui précède ces parenthèses :
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 6+(−3)+(−2)
Aux deux endroits où il y a des parenthèses, elles sont précédées d'un plus. Ici encore, la première règle des parenthèses ouvrantes s’applique :
Parfois, le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe. Par exemple, dans l'expression 1+(2+3−4) premier terme entre parenthèses 2 écrit sans signe. La question se pose, quel signe apparaîtra devant les deux après que les parenthèses et le plus devant les parenthèses aient été omis ? La réponse s'impose d'elle-même : il y aura un plus devant les deux.
En fait, même entre parenthèses, il y a un plus devant les deux, mais on ne le voit pas car ce n’est pas écrit. Nous avons déjà dit que la notation complète des nombres positifs ressemble à +1, +2, +3. Mais selon la tradition, les plus ne s'écrivent pas, c'est pourquoi nous voyons les nombres positifs qui nous sont familiers. 1, 2, 3 .
Par conséquent, pour développer les parenthèses dans l’expression 1+(2+3−4) , comme d'habitude, vous devez omettre les parenthèses ainsi que le signe plus devant ces parenthèses, mais écrivez le premier terme qui était entre parenthèses avec un signe plus :
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Exemple 4. Développer les parenthèses dans l'expression −5 + (2 − 3)
Il y a un plus devant les parenthèses, nous appliquons donc la première règle pour ouvrir les parenthèses, à savoir, nous omettons les parenthèses ainsi que le plus qui précède ces parenthèses. Mais le premier terme, que l'on écrit entre parenthèses avec un signe plus :
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Exemple 5. Développer les parenthèses dans l'expression (−5)
Il y a un plus devant les parenthèses, mais il n’est pas écrit car il n’y a pas d’autres nombres ou expressions avant. Notre tâche est de supprimer les parenthèses en appliquant la première règle d'ouverture des parenthèses, à savoir omettre les parenthèses avec ce plus (même s'il est invisible)
Exemple 6. Développer les parenthèses dans l'expression 2a + (−6a + b)
Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses sera écrit tel quel :
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Exemple 7. Développer les parenthèses dans l'expression 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Il y a deux endroits dans cette expression où vous devez développer les parenthèses. Dans les deux sections, il y a un plus avant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses sera écrit tel quel :
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
La deuxième règle pour ouvrir les parenthèses
Examinons maintenant la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses. Il est utilisé lorsqu'il y a un moins avant les parenthèses.
S'il y a un moins avant les parenthèses, alors ce moins est omis avec les parenthèses, mais les termes qui étaient entre parenthèses changent de signe pour le signe opposé.
Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression suivante
On voit qu'il y a un moins avant les parenthèses. Cela signifie que vous devez appliquer la deuxième règle d'expansion, à savoir omettre les parenthèses ainsi que le signe moins devant ces parenthèses. Dans ce cas, les termes qui étaient entre parenthèses changeront de signe en sens inverse :
Nous avons une expression sans parenthèses 5+2+3 . Cette expression est égale à 10, tout comme l’expression précédente entre parenthèses était égale à 10.
Ainsi, entre les expressions 5−(−2−3) Et 5+2+3 vous pouvez mettre un signe égal, puisqu'ils sont égaux à la même valeur :
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Exemple 2. Développer les parenthèses dans l'expression 6 − (−2 − 5)
Il y a un moins avant les parenthèses, nous appliquons donc la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses, à savoir, nous omettons les parenthèses ainsi que le moins qui précède ces parenthèses. Dans ce cas, on écrit les termes qui étaient entre parenthèses avec des signes opposés :
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 2 − (7 + 3)
Il y a un moins avant les parenthèses, nous appliquons donc la deuxième règle pour l'ouverture des parenthèses :
Exemple 4. Développer les parenthèses dans l'expression −(−3 + 4)
Exemple 5. Développer les parenthèses dans l'expression −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans le premier cas, il faut appliquer la deuxième règle pour l'ouverture des parenthèses, et lorsqu'il s'agit de l'expression +(−9−2) vous devez appliquer la première règle :
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Exemple 6. Développer les parenthèses dans l'expression −(−une − 1)
Exemple 7. Développer les parenthèses dans l'expression −(4a + 3)
Exemple 8. Développer les parenthèses dans l'expression un − (4b + 3) + 15
Exemple 9. Développer les parenthèses dans l'expression 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans le premier cas, vous devez appliquer la première règle pour l'ouverture des parenthèses, et lorsqu'il s'agit de l'expression −(3c+5) vous devez appliquer la deuxième règle :
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Exemple 10. Développer les parenthèses dans l'expression −une − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Il y a trois endroits où vous devez ouvrir les supports. Vous devez d'abord appliquer la deuxième règle d'ouverture des parenthèses, puis la première, puis à nouveau la seconde :
−une − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −une + 4a − 6b + 8c − 15
Mécanisme d'ouverture du support
Les règles d'ouverture des parenthèses que nous avons maintenant examinées sont basées sur la loi distributive de la multiplication :
En fait parenthèses ouvrantes est la procédure où le facteur commun est multiplié par chaque terme entre parenthèses. Suite à cette multiplication, les parenthèses disparaissent. Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Par conséquent, si vous devez multiplier un nombre par une expression entre parenthèses (ou multiplier une expression entre parenthèses par un nombre), vous devez dire ouvrons les parenthèses.
Mais quel est le lien entre la loi distributive de la multiplication et les règles d’ouverture des parenthèses que nous avons examinées plus tôt ?
Le fait est qu’avant toute parenthèse, il existe un facteur commun. Dans l'exemple 3×(4+5) le facteur commun est 3 . Et dans l'exemple une(b+c) le facteur commun est une variable un.
S'il n'y a pas de nombres ou de variables avant les parenthèses, alors le facteur commun est 1 ou −1 , en fonction du signe placé devant les parenthèses. S’il y a un plus devant les parenthèses, alors le facteur commun est 1 . S’il y a un moins avant les parenthèses, alors le facteur commun est −1 .
Par exemple, développons les parenthèses dans l’expression −(3b−1). Il y a un signe moins devant les parenthèses, vous devez donc utiliser la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses, c'est-à-dire omettre les parenthèses ainsi que le signe moins devant les parenthèses. Et écrivez l'expression qui était entre parenthèses avec des signes opposés :
Nous avons élargi les parenthèses en utilisant la règle d'expansion des parenthèses. Mais ces mêmes parenthèses peuvent être ouvertes en utilisant la loi distributive de la multiplication. Pour ce faire, écrivez d'abord avant les parenthèses le facteur commun 1, qui n'a pas été écrit :
Le signe moins qui se trouvait auparavant avant les parenthèses faisait référence à cette unité. Vous pouvez maintenant ouvrir les parenthèses en utilisant la loi distributive de la multiplication. A cet effet, le facteur commun −1 vous devez multiplier par chaque terme entre parenthèses et additionner les résultats.
Pour plus de commodité, nous remplaçons la différence entre parenthèses par le montant :
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Comme la dernière fois nous avons reçu l'expression −3b+1. Tout le monde conviendra que cette fois, plus de temps a été consacré à la résolution d'un exemple aussi simple. Par conséquent, il est plus sage d'utiliser des règles toutes faites pour ouvrir les parenthèses, dont nous avons discuté dans cette leçon :
Mais cela ne fait pas de mal de savoir comment fonctionnent ces règles.
Dans cette leçon, nous avons appris une autre transformation identique. En ouvrant les parenthèses, en mettant le général entre parenthèses et en apportant des termes similaires, vous pouvez légèrement élargir l'éventail des problèmes à résoudre. Par exemple:
Ici, vous devez effectuer deux actions : ouvrez d'abord les parenthèses, puis apportez des termes similaires. Donc dans l'ordre :
1) Ouvrez les supports :
2) Nous présentons des termes similaires :
Dans l'expression résultante −10b+(−1) vous pouvez étendre les parenthèses :
Exemple 2. Ouvrez les parenthèses et ajoutez des termes similaires dans l'expression suivante :
1) Ouvrons les parenthèses :
2) Présentons des termes similaires. Cette fois, pour gagner du temps et de l'espace, nous n'écrirons pas comment les coefficients sont multipliés par la partie commune de la lettre
Exemple 3. Simplifier une expression 8m+3m et trouve sa valeur à m=−4
1) Tout d’abord, simplifions l’expression. Pour simplifier l'expression 8m+3m, vous pouvez en retirer le facteur commun m en dehors des parenthèses :
2) Trouver la valeur de l'expression m(8+3)à m=−4. Pour ce faire, dans l'expression m(8+3) au lieu d'une variable m remplacer le numéro −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Je poursuis la série d'articles méthodologiques sur le thème de l'enseignement. Il est temps de considérer les caractéristiques du travail individuel professeur de mathématiques pour élèves de 7e année. C'est avec grand plaisir que je partagerai mes réflexions sur les formes de présentation de l'un des sujets les plus importants du cours d'algèbre de 7e année - « les parenthèses ouvrantes ». Afin de ne pas essayer d'en saisir l'immensité, arrêtons-nous à son stade initial et analysons la méthode de travail du tuteur en multipliant un polynôme par un polynôme. Comment professeur de mathématiques agit dans des situations difficiles lorsque élève faible n'accepte pas la forme classique d'explication ? Quelles tâches doivent être préparées pour un élève de septième année fort ? Examinons ces questions et d'autres.
Il semblerait, qu’y a-t-il de si compliqué là-dedans ? « Les parenthèses sont aussi simples que de décortiquer des poires », dira tout excellent étudiant. « Il existe une loi de distribution et des propriétés de puissances pour travailler avec des monômes, un algorithme général pour un certain nombre de termes. Multipliez chacun par chacun et apportez-en des semblables. Cependant, tout n’est pas si simple lorsqu’on travaille avec des retardataires. Malgré les efforts du professeur de mathématiques, les élèves parviennent à commettre des erreurs de toutes tailles même dans les transformations les plus simples. La nature des erreurs est frappante par sa diversité : depuis de petites omissions de lettres et de signes jusqu'à de graves « erreurs d'arrêt » sans issue.
Qu'est-ce qui empêche un élève de réaliser correctement les transformations ? Pourquoi un malentendu est-il possible ?
Il existe un grand nombre de problèmes individuels, et l'un des principaux obstacles à l'assimilation et à la consolidation du matériel est la difficulté de changer d'attention en temps opportun et rapidement, la difficulté de traiter une grande quantité d'informations. Cela peut sembler étrange à certains que je parle d'un gros volume, mais un élève faible de 7e année peut ne pas avoir suffisamment de ressources de mémoire et d'attention, même pour quatre trimestres. Les coefficients, les variables, les degrés (indicateurs) interfèrent. L'élève confond l'ordre des opérations, oublie quels monômes ont déjà été multipliés et lesquels sont restés intacts, ne se souvient plus comment ils sont multipliés, etc.
Approche numérique pour tuteur de mathématiques
Bien entendu, vous devez commencer par expliquer la logique derrière la construction de l’algorithme lui-même. Comment faire? Il faut se poser un problème : comment changer l'ordre des actions dans une expression 
pour que le résultat ne change pas ? Je donne assez souvent des exemples qui expliquent le fonctionnement de certaines règles à l'aide de nombres spécifiques. Et alors seulement je les remplace par des lettres. La technique d'utilisation de l'approche numérique sera décrite ci-dessous.
Problèmes de motivation.
Au début d’un cours, il est difficile pour un professeur de mathématiques de rassembler un élève s’il ne comprend pas la pertinence de ce qui est étudié. Dans le programme des niveaux 6 et 7, il est difficile de trouver des exemples d’utilisation de la règle de multiplication des polynômes. J'insisterais sur la nécessité d'apprendre changer l'ordre des actions dans les expressions L'étudiant doit savoir que cela aide à résoudre les problèmes issus de l'expérience en ajoutant des termes similaires. Il devait les additionner pour résoudre des équations. Par exemple, dans 2x+5x+13=34, il utilise 2x+5x=7x. Un professeur de mathématiques doit simplement attirer l’attention de l’élève là-dessus.
Les professeurs de mathématiques font souvent référence à la technique de l'ouverture des parenthèses comme règle "fontaine".
Cette image est bien connue et doit absolument être utilisée. Mais comment cette règle est-elle prouvée ? Rappelons la forme classique, qui utilise des transformations identitaires évidentes :
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Il est difficile pour un professeur de mathématiques de commenter quoi que ce soit ici. Les lettres parlent d'elles-mêmes. Et un bon élève de 7e année n’a pas besoin d’explications détaillées. Mais que faire des faibles, qui ne voient catégoriquement aucun contenu dans ce « fouillis littéral » ?
Le principal problème qui interfère avec la perception de la justification mathématique classique de la « fontaine » est la forme inhabituelle d'écriture du premier facteur. Ni en 5e ni en 6e, l'élève n'était obligé de glisser la première tranche à chaque trimestre de la seconde. Les enfants n'ont traité que des nombres (coefficients), le plus souvent situés à gauche des parenthèses, par exemple :
À la fin de la 6e année, l'élève a formé une image visuelle d'un objet - une certaine combinaison de signes (actions) associés aux parenthèses. Et tout écart par rapport à la vision habituelle vers quelque chose de nouveau peut désorienter un élève de septième. C'est l'image visuelle du couple « chiffre + parenthèse » que le professeur de mathématiques utilise pour expliquer.
L’explication suivante peut être proposée. Le tuteur raisonne : « S’il y avait un chiffre devant la parenthèse, par exemple 5, alors nous pourrions changer la procédure dans cette expression ? Certainement. Alors faisons-le 
. Demandez-vous si son résultat changera si, au lieu du chiffre 5, nous saisissons la somme 2+3 entre parenthèses ? N’importe quel élève dira au tuteur : « Quelle différence cela fait-il de savoir comment vous écrivez : 5 ou 2+3. » Merveilleux. Vous obtiendrez un enregistrement. Le professeur de mathématiques prend une courte pause pour que l'élève se souvienne visuellement de l'image de l'objet. Puis il attire son attention sur le fait que la parenthèse, comme le nombre, « distribue » ou « saute » à chaque terme. Qu'est-ce que cela signifie? Cela signifie que cette opération peut être effectuée non seulement avec un nombre, mais également avec une parenthèse. Nous avons deux paires de facteurs et . La plupart des étudiants les gèrent facilement par eux-mêmes et écrivent le résultat au tuteur. Il est important de comparer les paires résultantes avec le contenu des parenthèses 2+3 et 6+4 et il deviendra clair comment elles s'ouvrent.
Si nécessaire, après l'exemple avec les chiffres, le professeur de mathématiques procède à une preuve écrite. Cela s’avère être un jeu d’enfant à travers les mêmes parties de l’algorithme précédent.
Formation de la compétence d'ouverture des parenthèses
Former la compétence de multiplier les parenthèses est l’une des étapes les plus importantes du travail d’un professeur de mathématiques sur un sujet. Et encore plus importante que l'étape d'explication de la logique de la règle de la « fontaine ». Pourquoi? La logique des changements sera oubliée dès le lendemain, mais la compétence, si elle se forme et se consolide dans le temps, restera. Les élèves effectuent l'opération mécaniquement, comme s'ils récupéraient une table de multiplication de leur mémoire. C’est ce qu’il faut réaliser. Pourquoi? Si chaque fois qu'un étudiant ouvre une parenthèse, il se souvient pourquoi elle est ouverte de cette façon et pas autrement, il oubliera le problème qu'il résout. C'est pourquoi le professeur de mathématiques consacre le temps restant du cours à transformer la compréhension en mémorisation par cœur. Cette stratégie est souvent utilisée dans d'autres sujets.
Comment un tuteur peut-il développer la capacité d'ouvrir des parenthèses chez un élève ? Pour ce faire, un élève de 7e doit réaliser un certain nombre d'exercices en quantité suffisante pour consolider. Cela soulève un autre problème. Un élève de septième année faible ne peut pas faire face au nombre croissant de transformations. Même les petits. Et les erreurs tombent les unes après les autres. Que doit faire un professeur de mathématiques ? Tout d'abord, il est recommandé de tracer des flèches de chaque terme vers chacun. Si un élève est très faible et n'est pas capable de passer rapidement d'un type de travail à un autre, ou perd sa concentration en suivant des commandes simples du professeur, alors le tuteur de mathématiques dessine lui-même ces flèches. Et pas tout à la fois. Dans un premier temps, le tuteur relie le premier terme de la parenthèse gauche à chaque terme de la parenthèse droite et leur demande d'effectuer la multiplication correspondante. Ce n'est qu'après cela que les flèches sont dirigées du deuxième terme vers la même parenthèse droite. Autrement dit, le tuteur divise le processus en deux étapes. Il est préférable de maintenir une courte pause (5 à 7 secondes) entre la première et la deuxième opération.
1) Une série de flèches doit être dessinée au-dessus des expressions et l’autre en dessous.
2) Il est important de sauter au moins entre les lignes quelques cellules. Sinon, l'enregistrement sera très dense et les flèches non seulement grimperont sur la ligne précédente, mais se mélangeront également avec les flèches de l'exercice suivant.
3) Dans le cas de multiplication des parenthèses au format 3 par 2, des flèches sont tracées de la parenthèse courte vers la parenthèse longue. Sinon, il n’y aura pas deux, mais trois de ces « fontaines ». La mise en œuvre du troisième est sensiblement plus compliquée en raison du manque d'espace libre pour les flèches.
4) les flèches pointent toujours du même point. Un de mes élèves n'arrêtait pas d'essayer de les mettre côte à côte et voici ce qu'il a trouvé :
Cette disposition ne permet pas de sélectionner et d'enregistrer le trimestre en cours avec lequel l'étudiant travaille à chaque étape.
Travail des doigts du tuteur
4) Pour garder l'attention sur une paire distincte de termes multipliés, le professeur de mathématiques pose deux doigts dessus. Cela doit être fait de manière à ne pas bloquer la vue de l’élève. Pour les élèves les plus inattentifs, vous pouvez utiliser la méthode « pulsation ». Le professeur de mathématiques déplace son index jusqu'au début de la flèche (sur l'un des termes) et la fixe, et avec le second il « frappe » à sa fin (sur le deuxième terme). Ripple aide à attirer l'attention sur le terme par lequel l'étudiant multiplie. Une fois la première multiplication par la parenthèse droite terminée, le professeur de mathématiques dit : « Maintenant, nous travaillons avec l'autre terme. » Le tuteur déplace le « doigt fixe » vers lui et passe le doigt « pulsant » sur les termes de l’autre parenthèse. La pulsation fonctionne comme un « clignotant » dans une voiture et permet de concentrer l'attention d'un élève distrait sur l'opération qu'il effectue. Si l'enfant écrit petit, deux crayons sont utilisés à la place des doigts.
Optimisation de la répétition
Comme pour l’étude de tout autre sujet dans un cours d’algèbre, les polynômes multiplicateurs peuvent et doivent être intégrés au matériel précédemment abordé. Pour ce faire, le tuteur en mathématiques utilise des tâches de transition spéciales qui permettent de trouver l'application de ce qui est étudié dans divers objets mathématiques. Ils relient non seulement les sujets en un seul tout, mais organisent également très efficacement la répétition de l'ensemble du cours de mathématiques. Et plus le tuteur construit de ponts, mieux c'est.
Traditionnellement, les manuels d'algèbre de 7e année intègrent des parenthèses ouvrantes à la résolution d'équations linéaires. A la fin de la liste des nombres se trouvent toujours des tâches de l'ordre suivant : résoudre l'équation. Lors de l'ouverture des parenthèses, les carrés sont réduits et l'équation est facilement résolue à l'aide d'outils de 7e année. Cependant, pour une raison quelconque, les auteurs de manuels oublient commodément de construire un graphique d'une fonction linéaire. Afin de corriger cette lacune, je conseillerais aux professeurs de mathématiques d'inclure des parenthèses dans les expressions analytiques de fonctions linéaires, par exemple. Dans de tels exercices, l'étudiant apprend non seulement à effectuer des transformations identiques, mais répète également des graphiques. Vous pouvez demander à trouver le point d'intersection de deux "monstres", déterminer la position relative des lignes, trouver les points de leur intersection avec les axes, etc.
Kolpakov A.N. Professeur de mathématiques à Strogino. Moscou