Questions et devoirs théoriques en algèbre linéaire. Différentiel linéaire

Vue générale du système

, je = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - coefficients du système ; - les membres gratuits ; - les variables ;

Si tout = 0, le système est dit homogène.

Solution générale d'un système d'équations linéaires

Définition 1. Système homogène méquations algébriques linéaires pour n les inconnues s'appellent un système d'équations

type (1) ou forme matricielle (2)

où A est une matrice donnée de coefficients de taille mxn,

Colonne n inconnues, - colonne zéro de hauteur m.

Un système homogène est toujours cohérent (la matrice étendue coïncide avec A) et a des solutions évidentes : x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Cette solution est appelée zéro ou banal. Toute autre solution, s'il y en a une, s'appelle non trivial.

Théorème 1. Si le rang de la matrice A est égal au nombre d’inconnues, alors le système (1) a une solution unique (triviale).

En effet, d’après le théorème de Cramer, r=n et la solution est unique.

Théorème 2. Pour qu'un système homogène ait une solution non nulle, il faut et suffisant que le rang de la matrice du système soit inférieur au nombre d'inconnues ( découle du théorème sur le nombre de solutions).

Þ s'il existe des solutions non nulles, alors la solution n'est pas unique, alors le déterminant du système est égal à zéro, alors r

Ü si r

Théorème 3. Un système homogène de n équations à n inconnues a une solution non nulle si et seulement si detA = 0.

Þ s'il existe des solutions non nulles, alors il existe une infinité de solutions, alors d'après le théorème sur le nombre de solutions r

Ü si detA = 0, alors r

Théorème 4. Pour qu’un système homogène ait une solution non nulle, il faut que le nombre d’équations du système soit inférieur au nombre d’inconnues.

Puisque le rang d'une matrice de coefficients ne peut être supérieur au nombre de ses lignes (ainsi que le nombre de colonnes), alors r

Définition 2. Les variables système situées sur les colonnes de base de la matrice de coefficients d'origine sont appelées variables de base, et les variables restantes du système sont appelées gratuit.

Définition 4. Décision privée système inhomogène AX = B est appelé le vecteur colonne X obtenu par zéro valeurs gratuit variables.

Théorème 6. Solution générale d'un système hétérogène les équations linéaires AX = B ont la forme , où est une solution particulière du système d'équations AX = B, et est le FSR du système homogène AX = 0.

Un système non homogène d’équations linéaires est un système de la forme :

Sa matrice étendue.

Théorème (sur la solution générale des systèmes inhomogènes).
Soit (c'est-à-dire que le système (2) soit cohérent), alors :

· si , où est le nombre de variables du système (2), alors la solution (2) existe et elle est unique ;

· si , alors la solution générale du système (2) a la forme , où est la solution générale du système (1), appelée solution homogène générale, est une solution particulière du système (2), appelée solution privée inhomogène.

Un système homogène d'équations linéaires est un système de la forme :

La solution nulle du système (1) est appelée solution triviale.

Les systèmes homogènes sont toujours compatibles, car il y a toujours une solution triviale.

S’il existe une solution non nulle au système, on l’appelle non trivial.

Les solutions d'un système homogène ont la propriété de linéarité :

Théorème (sur la solution linéaire de systèmes homogènes).
Soient les solutions du système homogène (1), et soient des constantes arbitraires. Ensuite, il y a aussi une solution au système considéré.

Théorème (sur la structure de la solution générale).
Soit alors :

· si , où est le nombre de variables système, alors seule une solution triviale existe ;

· si , alors il existe des solutions linéairement indépendantes au système considéré : , et ses décision commune a la forme : , où sont des constantes.

2. Permutations et substitutions. Déterminant du nième ordre. Propriétés des déterminants.

Définition du déterminant - ème ordre.

Soit une matrice carrée du premier ordre :

Définition. Le produit des éléments de la matrice A, pris un dans chaque ligne et chaque colonne, est appelé membre du déterminant de la matrice A.3 Si deux lignes ou deux colonnes sont interchangées dans le déterminant, alors le déterminant change de signe en L'opposé. 4Si une matrice contient une ligne (colonne) nulle, alors le déterminant de cette matrice est égal à zéro.5 Si deux lignes (colonnes) d'une matrice sont égales entre elles, alors le déterminant de cette matrice est égal à zéro.6 Si deux lignes (colonnes) d'une matrice sont proportionnelles entre elles, alors le déterminant de cette matrice est égal à zéro.7 Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments sur la diagonale principale.8 Si tous les éléments k la ème ligne (colonne) du déterminant est présentée sous forme de sommes un kj + bbj, alors le déterminant peut être représenté comme une somme des déterminants correspondants.9 Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une autre ligne (ou colonne correspondante) sont ajoutés aux éléments de l'une de ses lignes (ou colonnes), multipliés par le même numéro.10. Laisser UN Et B sont des matrices carrées du même ordre. Alors le déterminant du produit des matrices est égal au produit des déterminants :

1 | | | | | | | | | | |

Où C 1 et C 2 sont inconnus.

Tous les y sont des nombres connus, calculés à x = x 0. Pour que le système ait une solution pour tout membre droit, il faut et suffisant que le déterminant principal soit différent de 0.

Le déterminant de Vronsky. Si le déterminant est 0, alors le système n’a de solution que s’il existe une proportion des conditions initiales. Par conséquent, il s'ensuit que le choix des conditions initiales est soumis à la loi, de sorte qu'aucune condition initiale ne peut être prise, ce qui constitue une violation des conditions du problème de Cauchy.

Si , alors le déterminant de Wronski n'est pas égal à 0, pour toute valeur de x 0.

Preuve. Soit le déterminant égal à 0, mais choisissons les conditions initiales non nulles y=0, y’=0. On obtient alors le système suivant :

Ce système a un nombre infini de solutions lorsque le déterminant est 0. C 11 et C 12 sont des solutions du système.

Cela contredit le premier cas, ce qui signifie que le déterminant de Wronski n'est pas égal à 0 pour tout x 0 si . Il est toujours possible de sélectionner une solution particulière parmi la solution générale pour .

Billet n°33

Un théorème sur la structure de la solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire du 2ème ordre avec preuve.

Théorème sur la solution générale d'une équation différentielle :

solutions à cette équation, alors la fonction aussi une solution. Sur la base de ce théorème, nous pouvons conclure sur la structure de la solution générale d'une équation homogène : si 1 et 2 ont des solutions à l'équation différentielle telles que leurs rapports ne sont pas égaux à une constante, alors la combinaison linéaire de ces fonctions est la solution générale de l’équation différentielle. Une solution triviale (ou nulle) ne peut pas servir de solution à cette équation.

Preuve:

Billet n°34

Un théorème sur la structure de la solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire du 2ème ordre avec preuve.

Soit une équation de côté droit : . Équation sans côté droit

si on met 0 à la place d'une fonction, on l'appelle caractéristique.

Un théorème sur la structure de la solution générale d'une équation avec le membre droit.

T.1 La solution générale de l'équation avec le membre droit peut être composée comme la somme de la solution générale de l'équation sans le membre droit et d'une solution particulière de cette équation.

Preuve.

Désignons par la solution générale et une solution particulière de cette équation. Prenons la fonction . Nous avons

, .

En substituant les expressions pour y, y', y'' dans le côté gauche de l'équation, nous trouvons : L'expression entre le premier crochet est égale à 0. Et l'expression entre le deuxième crochet est égale à la fonction f(x ). Par conséquent, la fonction il existe une solution à cette équation.

Billet n°35

Equations différentielles homogènes linéaires du 2ème ordre à coefficients constants, F.S.R. et solution générale dans le cas de racines réelles différentes, équations caractéristiques avec preuve.

Prenons une équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants :

,

où a sont des nombres.

Essayons de satisfaire l'équation avec une fonction de la forme . De là, nous avons :

À partir de là, nous pouvons voir quelle sera la solution de cette équation si r est la racine de l’équation quadratique. Cette équation est appelée caractéristique. Pour créer une équation caractéristique, il faut remplacer y par un, et chaque dérivée par r à une puissance de l'ordre de la dérivée.

1) Les racines de l’équation caractéristique sont réelles et différentes.

Dans ce cas, les deux racines peuvent être considérées comme des indicateurs de la fonction r. Ici, vous pouvez obtenir immédiatement deux équations. Il est clair que leur rapport n’est pas égal à une valeur constante.

La solution générale dans le cas de racines réelles et différentes est donnée par la formule :

.

Billet n°36

Equations différentielles homogènes linéaires du 2ème ordre à coefficients constants, F.S.R. et solution générale dans le cas de racines multiples, équations caractéristiques avec preuve.

Les racines d’une équation réelle sont réelles et égales.

Bilan cellulaire gratuit– (voir méthode potentielle)

Faire du vélo - une telle séquence de cellules dans la table de transport (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), dans laquelle deux et seulement deux cellules adjacentes sont situés dans une ligne ou une colonne, la première et la dernière cellule étant également dans la même ligne ou colonne.

(?)Permutation le long du cycle - (décalage le long du cycle de la valeur t)- une augmentation des volumes dans toutes les cellules impaires du cycle marquées d'un signe « + » par t et une diminution des volumes de transport dans toutes les cellules paires marquées d'un signe « - » par t.

1. 
   ^ Condition d'optimalité du plan de référence.

Le plan optimal doit déterminer le coût total minimum de transport, n'excédant pas le volume de production de chacun des fournisseurs et couvrant pleinement les besoins de chacun des consommateurs.

Le plan de transport optimal correspond au minimum de la fonction objectif linéaire f(X)= min sous restrictions de consommation et d'offre

N° 32. Formuler la définition d'une équation différentielle d'ordre k et sa solution générale. Énoncer la définition d’une équation aux différences linéaires d’ordre k à coefficients constants. Formuler des théorèmes sur la solution générale d'équations aux différences linéaires homogènes et inhomogènes (sans preuve).

Une équation de la forme F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, où k est un nombre fixe et n est un nombre naturel arbitraire, x n ; x n +1 ;…; x n + k sont les termes d'une séquence de nombres inconnus, appelée équation différentielle d'ordre k.

Résoudre une équation aux différences signifie trouver toutes les séquences (x n) satisfaisant l’équation.

La solution générale d'une équation d'ordre k est sa solution x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), en fonction de k constantes arbitraires indépendantes C 1 , C 2 , …, C k . Le nombre de k constantes est égal à l’ordre de l’équation aux différences, et l’indépendance signifie qu’aucune des constantes ne peut être exprimée en fonction des autres.

Considérons une équation aux différences linéaires d'ordre k avec des coefficients constants :

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , où a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) et

(f n ) – nombres et séquences donnés.

^ Théorème sur la solution générale d'une équation inhomogène.

La solution générale x n d'une équation aux différences inhomogènes linéaire est la somme de la solution particulière x n * de cette équation et de la solution générale n de l'équation homogène correspondante.

^ Théorème sur la solution générale d'une équation homogène.

Soit x n 1 ,…, x n k un système constitué de k solutions linéairement indépendantes d'une équation aux différences linéaire homogène. Alors la solution générale de cette équation est donnée par la formule : x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
N° 33. Décrire un algorithme pour résoudre une équation de différence linéaire homogène à coefficients constants. Formuler des définitions des concepts suivants : ensemble fondamental de solutions d'une équation aux différences linéaires, équation caractéristique, déterminant de Casoratti.

Connaître les racines de l'équation caractéristique nous permet de construire une solution générale de l'équation aux différences homogènes. Considérons cela en utilisant l'exemple d'une équation du second ordre : les solutions résultantes peuvent être facilement transférées au cas d'équations d'ordre supérieur.

En fonction des valeurs du discriminant D=b 2 -4ac de l'équation caractéristique, les cas suivants sont possibles :

C 1 , C 2 sont des constantes arbitraires.

L'ensemble des solutions d'une équation aux différences linéaire homogène du kième ordre forme un espace linéaire à k dimensions, et tout ensemble de k solutions linéairement indépendantes (appelé ensemble fondamental) en constitue la base. Un signe d'indépendance linéaire des solutions d'une équation homogène est que le déterminant de Casoratti n'est pas égal à zéro :

L'équation est appelée équation caractéristique d'une équation linéaire homogène.
№ 34. Étant donné une équation de différence linéaire à coefficients constants X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.

^ Sous quelle forme faut-il chercher sa solution particulière ? Expliquez la réponse.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Sous quelle forme faut-il chercher sa solution particulière ? La réponse doit être expliquée.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 +3x n =0

Xn =C 1 3 n +C 2 1 n

X 1 n =(une 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n

X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
N° 35. Étant donné une équation de différence linéaire à coefficients constants x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Sous quelle forme faut-il chercher sa solution particulière ?

x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ 1 =3, λ 2 =1

x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2

2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2

Puisque la base de la puissance exponentielle f(n)=2 n, égale à 2, ne coïncide avec aucune des racines de l'équation caractéristique, on cherche la solution particulière correspondante sous la forme Y n =C(2) n . Puisque la base de la fonction exponentielle g(n)=3 n, égale à 3, coïncide avec l'une des racines de l'équation caractéristique, on cherche la solution particulière correspondante sous la forme X n =Bn(3) n. Puisque z(n)=n 2 est un polynôme, nous chercherons une solution particulière sous la forme d'un polynôme : Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
N° 36. Étant donné une équation de différence linéaire à coefficients constants x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 . Sous quelle forme faut-il chercher sa solution particulière ?

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

Puisque la base de la puissance exponentielle f(n)=3 n, égale à 3, ne coïncide avec aucune des racines de l'équation caractéristique, on cherche la solution particulière correspondante sous la forme Y n =B(3) n . Puisque g(n)=n 2 est un polynôme, on cherchera une solution particulière sous la forme d'un polynôme : X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
N° 37. Étant donné une équation de différence linéaire à coefficients constants x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Sous quelle forme faut-il chercher sa solution particulière ?

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )

2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos

Puisque la base de la puissance exponentielle f(n)=3 n, égale à 3, ne coïncide avec aucune des racines de l'équation caractéristique, on cherche la solution particulière correspondante sous la forme Y n =B(3) n . Puisque g(n)=n 2 est un polynôme, on cherchera une solution particulière sous la forme d'un polynôme : X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38 : Décrivez le modèle Samuelson-Hicks. Quelles hypothèses économiques la sous-tendent ? Dans quel cas la solution de l’équation de Hicks est-elle une séquence stationnaire ?

Le modèle de cycle économique de Samuelson-Hicks suppose une proportionnalité directe des volumes d'investissement à l'augmentation du revenu national (principe d'accélération), c'est-à-dire

où le coefficient V>0 est le facteur d'accélération,

I t - le montant de l'investissement dans la période t,

X t -1 ,X t -2 - la valeur du revenu national au cours des périodes (t-1) et (t-2), respectivement.

On suppose également que la demande à ce stade dépend du montant du revenu national au stade précédent
linéairement
. La condition d'égalité de l'offre et de la demande a la forme
. Ensuite, nous arrivons à l'équation de Hicks

où a, b sont les coefficients de l'expression linéaire de la demande à ce stade :

Séquence stationnaire
est une solution de l'équation de Hicks uniquement pour
; facteur
est appelé multiplicateur de Keynes (un analogue unidimensionnel de la matrice du coût total).
№ ^ 39. Décrivez le modèle de marché des araignées. Quelles hypothèses économiques la sous-tendent ? Trouvez l'état d'équilibre du modèle de marché Web.

40. Formulez le problème de la détermination de la valeur actuelle d'une obligation à coupon. Qu'est-ce que le problème de Cauchy pour une équation aux différences ? Trouver une solution d'équilibre au problème de Cauchy consistant à déterminer la valeur actuelle d'une obligation à coupon. Vérifiez que la valeur trouvée correspond au montant qui doit être payé à ce moment-là afin de recevoir le montant du coupon dans chaque période de coupon pendant une durée infinie à un taux d'intérêt donné pour une période de coupon.

Laisser F – la valeur nominale d'une obligation à coupon (c'est-à-dire le montant payé par l'émetteur au moment du remboursement coïncidant avec la fin de la dernière période de coupon), K – la valeur du coupon (c'est-à-dire le montant d'argent payé à la fin de chaque période de coupon), X - valeur actuelle de l'obligation à la fin de la nième période de coupon,

Ceux. p coïncide avec le montant qui doit être payé à ce moment-là pour recevoir le montant du coupon dans chaque période de coupon pendant une durée infinie à un taux d'intérêt donné pour une période de coupon.

Systèmes différentiels linéaires équations.

Le système d'équations différentielles s'appelle linéaire, si elle est linéaire par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées. système n-les équations linéaires du 1er ordre s'écrivent sous la forme :

Les coefficients du système sont const.

Il est pratique d’écrire ce système sous forme matricielle : ,

où est un vecteur colonne de fonctions inconnues dépendant d'un argument.

Vecteur colonne des dérivées de ces fonctions.

Vecteur de colonnes de termes gratuits.

Matrice de coefficients.

Théorème 1 : Si tous les coefficients matriciels UN sont continues sur un certain intervalle et , puis dans un certain voisinage de chaque m. Les conditions TS&E sont remplies. Par conséquent, une seule courbe intégrale passe par chacun de ces points.

En effet, dans ce cas, les membres droits du système sont continus par rapport à l'ensemble des arguments et leurs dérivées partielles par rapport à (égales aux coefficients de la matrice A) sont limitées, du fait de la continuité sur un intervalle fermé.

Méthodes de résolution des SLD

1. Un système d'équations différentielles peut être réduit à une seule équation en éliminant les inconnues.

Exemple: Résolvez le système d'équations : (1)

Solution: exclure zà partir de ces équations. De la première équation nous avons . En remplaçant dans la deuxième équation, après simplification on obtient : .

Ce système d'équations (1) réduit à une seule équation du second ordre. Après avoir trouvé à partir de cette équation oui, devrait être trouvé z, en utilisant l'égalité.

2. Lors de la résolution d'un système d'équations en éliminant les inconnues, une équation d'ordre supérieur est généralement obtenue, donc dans de nombreux cas, il est plus pratique de résoudre le système en trouvant combinaisons intégrées.

Suite 27b

Exemple: Résoudre le système

Solution:

Résolvons ce système en utilisant la méthode d'Euler. Écrivons le déterminant pour trouver la caractéristique

équation : , (le système étant homogène, pour qu'il ait une solution non triviale, ce déterminant doit être égal à zéro). On obtient une équation caractéristique et on trouve ses racines :

La solution générale est : ;

- vecteur propre.

Nous écrivons la solution pour : ;

- vecteur propre.

Nous écrivons la solution pour : ;

On obtient la solution générale : .

Allons vérifier:

trouvons : et substituons-le dans la première équation de ce système, c'est-à-dire .

On a:

- une véritable égalité.

Diff. linéaire. équations du nième ordre. Théorème sur la solution générale d'une équation linéaire inhomogène du nième ordre.

Une équation différentielle linéaire du nième ordre est une équation de la forme : (1)

Si cette équation a un coefficient, alors en divisant par celui-ci, on arrive à l'équation : (2) .

Généralement des équations du type (2). Supposons que chez toi (2) toutes les chances, ainsi que f(x) continu sur un certain intervalle (un B). Alors, selon TS&E, l’équation (2) a une solution unique qui satisfait les conditions initiales : , , …, pour . Ici - n'importe quel point de l'intervalle (un B), et tout - n'importe quel nombre donné. L'équation (2) satisfait TC&E , n'a donc pas solutions spéciales.

Déf. : spécial les points sont ceux auxquels =0.

Propriétés d'une équation linéaire :

1. Une équation linéaire le reste pour tout changement de la variable indépendante.
2. Une équation linéaire le reste pour tout changement linéaire de la fonction souhaitée.

Déf : si dans l'équation (2) mettre f(x)=0, on obtient alors une équation de la forme : (3) , qui est appelée équation homogène par rapport à l'équation inhomogène (2).

Introduisons l'opérateur différentiel linéaire : (4). En utilisant cet opérateur, vous pouvez réécrire sous forme courte l'équation (2) Et (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Opérateur (4) a les propriétés simples suivantes :

De ces deux propriétés un corollaire peut être déduit : .

Fonction y=y(x) est une solution de l'équation inhomogène (2), Si L(y(x))=f(x), Alors f(x) appelé la solution de l’équation. Donc la solution de l'équation (3) appelé la fonction y(x), Si L(y(x))=0 sur les intervalles considérés.

Considérer équation linéaire inhomogène : , L(y)=f(x).

Supposons que nous ayons trouvé une solution particulière d’une manière ou d’une autre, alors .

Introduisons une nouvelle fonction inconnue z selon la formule : , où est une solution particulière.

Remplaçons-le dans l'équation : , ouvrons les parenthèses et obtenons : .

L’équation résultante peut être réécrite comme suit :

Puisque est une solution particulière à l’équation originale, alors .

Ainsi, nous avons obtenu une équation homogène par rapport à z. La solution générale de cette équation homogène est une combinaison linéaire : , où les fonctions - constituent le système fondamental de solutions de l'équation homogène. Remplacement z dans la formule de remplacement, on obtient : (*) pour la fonction oui– fonction inconnue de l'équation d'origine. Toutes les solutions de l'équation originale seront contenues dans (*).

Ainsi, la solution générale de la droite inhomogène. L'équation est représentée comme la somme d'une solution générale d'une équation linéaire homogène et d'une solution particulière d'une équation inhomogène.

(suite de l'autre côté)

30. Théorème d'existence et d'unicité de la solution du différentiel. équations

Théorème: Si le côté droit de l'équation est continu dans le rectangle et est limité, et satisfait également la condition de Lipschitz : , N=const, alors il existe une unique solution qui satisfait les conditions initiales et est définie sur le segment , Où .

Preuve:

Considérons l'espace métrique complet AVEC, dont les points sont toutes les fonctions continues possibles y(x) définies sur l'intervalle , dont les graphiques se trouvent à l'intérieur du rectangle, et la distance est déterminée par l'égalité : . Cet espace est souvent utilisé en analyse mathématique et est appelé espace de convergence uniforme, puisque la convergence dans la métrique de cet espace est uniforme.

Remplaçons le différentiel. équation avec des conditions initiales données à une équation intégrale équivalente : et considérons l'opérateur A(o), égal au membre droit de cette équation : . Cet opérateur attribue à chaque fonction continue

En utilisant l'inégalité de Lipschitz, on peut écrire que la distance . Choisissons-en maintenant une pour laquelle l’inégalité suivante serait vraie : .

Vous devriez alors choisir de telle sorte que . Nous avons donc montré cela.

Selon le principe des cartographies de contraction, il existe un seul point ou, ce qui revient au même, une seule fonction - une solution d'une équation différentielle qui satisfait les conditions initiales données.

Changement de variables dans une triple intégrale. Exemples : cas de coordonnées cylindriques et sphériques.

Calcul de l'aire d'une surface lisse, spécifiée paramétriquement et explicitement. Elément de surface.

Définition d'une intégrale curviligne de première espèce, ses propriétés de base et son calcul.

Définition d'une intégrale curviligne du deuxième type, ses propriétés de base et son calcul. Connexion avec l'intégrale de première espèce.

La formule de Green. Conditions pour le fait qu'une intégrale curviligne sur un plan ne dépend pas du chemin d'intégration.

Définition d'une intégrale de surface du premier type, ses propriétés de base et son calcul.

Définition d'une intégrale de surface du deuxième type, ses propriétés de base et son calcul. Connexion avec l'intégrale de première espèce.

Le théorème de Gauss-Ostrogradsky, son enregistrement sous formes coordonnées et vectorielles (invariantes).

Théorème de Stokes, sa représentation sous formes coordonnées et vectorielles (invariantes).

Conditions pour le fait qu'une intégrale curviligne dans l'espace ne dépend pas du chemin d'intégration.

Champ scalaire. Dégradé de champ scalaire et ses propriétés. Calcul du gradient en coordonnées cartésiennes.

Définition d'un champ vectoriel. Champ de dégradé. Champs potentiels, conditions de potentialité.

Le champ vectoriel traverse une surface. Définition de la divergence d'un champ vectoriel et de ses propriétés. Calcul de divergence en coordonnées cartésiennes.

Champs vectoriels solénoïdaux, conditions de solénoïdalité.

Circulation de champ vectoriel et rotor de champ vectoriel. Calcul du rotor en coordonnées cartésiennes.

Opérateur de Hamilton (nabla), opérations différentielles du second ordre, connexions entre elles.

Concepts de base liés à l'ode du premier ordre : solutions générales et particulières, intégrale générale, courbes intégrales. Le problème de Cauchy, sa signification géométrique.

Intégration d'odes du premier ordre à variables séparables et homogènes.

Intégration d'équations linéaires du premier ordre et d'équations de Bernoulli.

Intégration des odes du premier ordre dans les différentiels totaux. Facteur d'intégration.

Méthode de saisie des paramètres. Intégration de l'ode du premier ordre de Lagrange et Clairaut.

Les odes les plus simples d'ordres supérieurs, intégrables par quadratures et permettant une réduction dans l'ordre.

Forme normale d'un système d'odes linéaires, notation scalaire et vectorielle (matrice). Le problème de Cauchy pour un système normal de coefficients linéaires, sa signification géométrique.

Systèmes de fonctions vectorielles linéairement dépendants et linéairement indépendants. Condition nécessaire pour une dépendance linéaire. Théorème sur le déterminant de Wronski des solutions d'un système d'odes linéaires homogènes.

Théorème sur la solution générale (sur la structure de la solution générale) d'un système normal d'odes linéaires inhomogènes.

Méthode de variation de constantes arbitraires pour trouver des solutions partielles d'un système normal d'odes linéaires inhomogènes.

Système fondamental de solutions d'un système normal d'équations linéaires homogènes à coefficients constants dans le cas de racines réelles simples de l'équation caractéristique.

Systèmes de fonctions linéairement dépendants et linéairement indépendants. Condition nécessaire pour une dépendance linéaire. Théorème sur le déterminant de Wronski des solutions d'un code linéaire homogène.

Théorème sur la solution générale (sur la structure de la solution générale) d'une oda linéaire homogène.

Théorème sur la solution générale (sur la structure de la solution générale) d'une oda linéaire inhomogène.

Méthode de variation de constantes arbitraires pour trouver des solutions partielles d'une oda linéaire inhomogène.

Système fondamental de solutions d'une équation linéaire homogène à coefficients constants dans le cas de racines simples de l'équation caractéristique, réelle ou complexe.

Un système fondamental de solutions à une équation linéaire homogène à coefficients constants dans le cas où il existe plusieurs racines de l'équation caractéristique.

Trouver des solutions partielles à une ode linéaire inhomogène avec des coefficients constants et un côté droit spécial.

Théorème d'existence pour une solution (locale) au problème de Cauchy pour l'ODE du premier ordre.

Un théorème d'unicité pour la solution du problème de Cauchy pour l'ode du premier ordre.

1. Théorème sur la solution générale (sur la structure de la solution générale) d'un système normal d'odes linéaires inhomogènes.

Considérons un système linéaire inhomogène d'équations différentielles ordinaires du nième ordre

Ici UN

Ce qui suit est vrai théorème général de structure de solution de ce système linéaire inhomogène d’EDO.

Si matrice UN(x) et fonction vectorielle b (x) sont continus sur [ un, b], laisse tomber Φ (x) est la matrice fondamentale des solutions d'un système linéaire homogène, puis la solution générale du système inhomogène Oui" = UN(X) Oui + b(x) a la forme :

Où C- un vecteur colonne constant arbitraire, x 0 - un point fixe arbitraire du segment.

À partir de la formule ci-dessus, il est facile d'obtenir une formule pour résoudre le problème de Cauchy pour un système ODE inhomogène linéaire - la formule de Cauchy.

Résoudre le problème de Cauchy, Oui(x0) = Oui 0 est une fonction vectorielle

1. Méthode de variation de constantes arbitraires pour trouver des solutions partielles d'un système normal d'odes linéaires inhomogènes.

Définition d'un système d'EDO linéaires inhomogènes. Système ODU taper:

appelé linéaire hétérogène . Laisser

Système (*) sous forme vectorielle-matrice : .- le système est homogène, sinon il est inhomogène.

La méthode elle-même. Soit un système inhomogène linéaire , alors est un système linéaire homogène correspondant à un système linéaire inhomogène. Soit la matrice fondamentale du système de décision, , où C est un vecteur constant arbitraire, est la solution générale du système. Cherchons une solution au système (1) sous la forme , où C(x) est une fonction vectorielle inconnue (encore). Nous voulons que la fonction vectorielle (3) soit une solution au système (1). Alors l'identité doit être vraie :

(un vecteur constant arbitraire obtenu à la suite de l'intégration peut être considéré comme égal à 0). Ici les points x 0 , sont quelconques.

On voit donc que si dans (3) on prend comme C(t) , alors la fonction vectorielle sera une solution au système (1).

La solution générale du système inhomogène linéaire (1) peut s'écrire sous la forme . Supposons qu'il soit nécessaire de trouver une solution au système (1) qui satisfait à la condition initiale . La substitution (4) des données initiales (5) donne . Par conséquent, la solution du problème de Cauchy (1)-(5) peut s’écrire : . Dans le cas particulier où la dernière formule prend la forme : .

1. Système fondamental de solutions d'un système normal d'équations linéaires homogènes à coefficients constants dans le cas de racines réelles simples de l'équation caractéristique.

Système homogène linéaire normalnordre à coefficients constants - ou ,Les coefficients des combinaisons linéaires des fonctions recherchées sont constants. Ce système est sous forme matricielle –forme matricielle, où A est une matrice constante. Méthode matricielle: Depuis équation caractéristique nous trouverons des racines différentes et pour chaque racine (en tenant compte de sa multiplicité) nous déterminerons la solution particulière correspondante. La solution générale est : . Dans ce cas 1) si - est une vraie racine de multiple 1, alors , où est le vecteur propre de la matrice A correspondant à la valeur propre, c'est-à-dire. 2) – racine de multiplicité, alors la solution système correspondant à cette racine est recherchée sous la forme d'un vecteur (**), dont les coefficients sont déterminés à partir d'un système d'équations linéaires obtenu en égalisant les coefficients aux mêmes puissancesx suite à la substitution du vecteur (**) dans le système d'origine.

Système fondamental des solutions NLOS est une collection de n solutions arbitraires linéairement indépendantes

Un système fondamental de solutions à un système normal d'ODE linéaires homogènes à coefficients constants dans le cas où toutes les racines de l'équation caractéristique sont simples, mais il existe des racines complexes.

La question a été supprimée.