Mettre au carré des nombres à trois chiffres. Mettre rapidement des nombres au carré sans calculatrice

Considérons maintenant la quadrature d'un binôme et, appliquant un point de vue arithmétique, nous parlerons du carré de la somme, soit (a + b)², et du carré de la différence de deux nombres, soit (a – b)².

Puisque (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

alors on trouve : (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², soit

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Il est utile de rappeler ce résultat à la fois sous la forme de l'égalité décrite ci-dessus et sous forme de mots : le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier nombre plus le produit de deux par le premier nombre et le second. nombre, plus le carré du deuxième nombre.

Connaissant ce résultat, on peut immédiatement écrire, par exemple :

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Regardons le deuxième de ces exemples. Il faut mettre au carré la somme de deux nombres : le premier nombre est 3ab, le second 1. Le résultat doit être : 1) le carré du premier nombre, c'est-à-dire (3ab)², qui est égal à 9a²b² ; 2) le produit de deux par le premier nombre et le deuxième, soit 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab ; 3) le carré du 2ème nombre, soit 1² = 1 - tous ces trois termes doivent être additionnés.

On obtient également une formule pour mettre au carré la différence de deux nombres, c'est-à-dire pour (a – b)² :

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

c'est-à-dire que le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier nombre, moins le produit de deux par le premier nombre et le second, plus le carré du deuxième nombre.

Connaissant ce résultat, nous pouvons immédiatement effectuer la quadrature des binômes, qui, d'un point de vue arithmétique, représentent la différence de deux nombres.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(un n-1 – un) 2 = un 2n-2 – 2un n + un 2, etc.

Expliquons le 2ème exemple. Ici nous avons entre parenthèses la différence de deux nombres : le premier nombre est 5ab 3 et le deuxième nombre est 3a 2 b. Le résultat devrait être : 1) le carré du premier nombre, soit (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) le produit de deux par le 1er et le 2ème nombre, soit 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 et 3) le carré du deuxième nombre, soit (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Les premier et troisième termes doivent être pris avec un plus, et le 2ème avec un moins, on obtient 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Pour expliquer le 4ème exemple, notons seulement que 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... l'exposant doit être multiplié par 2 et 2) le produit de deux par le 1er nombre et par le 2ème = 2 ∙ une n-1 ∙ une = 2une n .

Si l'on se place du point de vue de l'algèbre, alors les deux égalités : 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² et 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² expriment la même chose, à savoir : le carré du binôme est égal au carré du premier terme, plus le produit du nombre (+2) par le premier terme et le second, plus le carré du deuxième terme. Cela est clair car nos égalités peuvent être réécrites comme suit :

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

Dans certains cas, il est pratique d’interpréter les égalités résultantes de cette manière :

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Ici nous mettons au carré un binôme dont le premier terme = –4a et le deuxième = –3b. On obtient ensuite (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² et enfin :

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Il serait également possible d'obtenir et de mémoriser la formule pour mettre au carré un trinôme, un quadrinôme ou n'importe quel polynôme en général. Cependant, nous ne le ferons pas, car nous avons rarement besoin d'utiliser ces formules, et si nous avons besoin de mettre au carré un polynôme (sauf un binôme), nous réduirons la question à la multiplication. Par exemple:

31. Appliquons les 3 égalités obtenues, à savoir :

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

à l'arithmétique.

Soit 41 ∙ 39. Nous pouvons alors représenter cela sous la forme (40 + 1) (40 – 1) et réduire le problème à la première égalité - nous obtenons 40² – 1 ou 1600 – 1 = 1599. Grâce à cela, il est facile d'effectuer des multiplications comme 21 ∙ 19 ; 22 ∙ 18 ; 31 ∙ 29 ; 32 ∙ 28 ; 71 ∙ 69, etc.

Que ce soit 41 ∙ 41 ; c'est la même chose que 41² ou (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Aussi 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Si vous avez besoin de 37 ∙ 37, alors cela est égal à (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. De telles multiplications (ou mise au carré de nombres à deux chiffres) sont faciles à réaliser, avec une certaine habileté, dans votre tête.

*carrés jusqu'à des centaines

Afin de ne pas mettre au carré tous les nombres sans réfléchir à l'aide de la formule, vous devez simplifier votre tâche autant que possible avec les règles suivantes.

Règle 1 (coupe 10 numéros)

Pour les nombres se terminant par 0.
Si un nombre se termine par 0, le multiplier n’est pas plus difficile qu’un nombre à un chiffre. Il vous suffit d'ajouter quelques zéros.
70 * 70 = 4900.
Marqué en rouge dans le tableau.

Règle 2 (coupe 10 numéros)

Pour les nombres se terminant par 5.
Pour mettre au carré un nombre à deux chiffres se terminant par 5, vous devez multiplier le premier chiffre (x) par (x+1) et ajouter « 25 » au résultat.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Marqué en vert dans le tableau.

Règle 3 (coupe 8 numéros)

Pour les nombres de 40 à 50.
XX * XX = 1500 + 100 * deuxième chiffre + (10 - deuxième chiffre)^2
Assez dur, non ? Regardons un exemple :
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Dans le tableau, ils sont marqués en orange clair.

Règle 4 (coupe 8 numéros)

Pour les nombres de 50 à 60.
XX * XX = 2500 + 100 * deuxième chiffre + (deuxième chiffre)^2
C’est aussi assez difficile à comprendre. Regardons un exemple :
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Dans le tableau, ils sont marqués en orange foncé.

Règle 5 (coupe 8 numéros)

Pour les nombres de 90 à 100.
XX * XX = 8000+ 200 * deuxième chiffre + (10 - deuxième chiffre)^2
Similaire à la règle 3, mais avec des coefficients différents. Regardons un exemple :
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Dans le tableau, ils sont marqués en orange foncé foncé.

Règle n°6 (coupe 32 numéros)

Vous devez mémoriser les carrés des nombres jusqu'à 40. Cela semble fou et difficile, mais en fait, la plupart des gens connaissent les carrés jusqu'à 20. 25, 30, 35 et 40 se prêtent à des formules. Et il ne reste que 16 paires de nombres. On peut déjà s'en souvenir à l'aide de mnémoniques (dont je veux aussi parler plus tard) ou par tout autre moyen. Comme une table de multiplication :)
Marqué en bleu dans le tableau.

Vous pouvez mémoriser toutes les règles, ou vous pouvez vous en souvenir de manière sélective ; dans tous les cas, tous les nombres de 1 à 100 obéissent à deux formules. Les règles permettront, sans utiliser ces formules, de calculer rapidement plus de 70 % des options. Voici les deux formules :

Formules (reste 24 jours)

Pour les nombres de 25 à 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Par exemple:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Pour les nombres de 50 à 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Par exemple:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Bien entendu, n’oubliez pas la formule habituelle de développement du carré d’une somme (cas particulier du binôme de Newton) :
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

MISE À JOUR
Les produits de nombres proches de 100, et notamment leurs carrés, peuvent également être calculés selon le principe des « inconvénients à 100 » :

En mots : du premier nombre, nous soustrayons le « désavantage » du second à cent et attribuons un produit à deux chiffres des « désavantages ».

Pour les carrés, c'est donc encore plus simple.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(de Sielover)

La quadrature n’est peut-être pas la chose la plus utile à la ferme. Vous ne vous souviendrez pas immédiatement d’un cas où vous pourriez avoir besoin de mettre un nombre au carré. Mais la capacité d'opérer rapidement avec des nombres et d'appliquer des règles appropriées pour chaque nombre développe parfaitement la mémoire et les « capacités informatiques » de votre cerveau.

Au fait, je pense que tous les lecteurs de Habra savent que 64^2 = 4096 et 32^2 = 1024.
De nombreux carrés de nombres sont mémorisés au niveau associatif. Par exemple, je me suis facilement souvenu de 88^2 = 7744 à cause des mêmes nombres. Chacun aura probablement ses propres caractéristiques.

J'ai d'abord trouvé deux formules uniques dans le livre « 13 étapes vers le mentalisme », qui n'ont pas grand-chose à voir avec les mathématiques. Le fait est qu'avant (peut-être même maintenant), les capacités informatiques uniques étaient l'un des nombres dans la magie de scène : un magicien racontait une histoire sur la façon dont il avait reçu des super pouvoirs et, pour preuve, mettait instantanément au carré des nombres jusqu'à cent. Le livre présente également des méthodes de construction de cubes, des méthodes de soustraction de racines et de racines cubiques.

Si le sujet du comptage rapide est intéressant, j'écrirai davantage.
Merci d'écrire vos commentaires sur les erreurs et corrections en MP, merci d'avance.

La capacité de compter mentalement des carrés de nombres peut être utile dans diverses situations de la vie, par exemple pour évaluer rapidement des transactions d'investissement, pour calculer des surfaces et des volumes, et dans de nombreux autres cas. De plus, être capable de compter les carrés dans sa tête peut servir de démonstration de vos capacités intellectuelles. Cet article traite des méthodes et des algorithmes qui vous permettent d'acquérir cette compétence.

Somme au carré et différence au carré

L'un des moyens les plus simples de mettre au carré des nombres à deux chiffres est une technique basée sur l'utilisation des formules de somme au carré et de différence au carré :

Pour utiliser cette méthode, vous devez décomposer un nombre à deux chiffres en la somme d'un multiple de 10 et d'un nombre inférieur à 10. Par exemple :

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Presque toutes les techniques de quadrature (décrites ci-dessous) sont basées sur les formules de somme au carré et de différence au carré. Ces formules ont permis d'identifier un certain nombre d'algorithmes simplifiant la quadrature dans certains cas particuliers.

Une place proche d'une place connue

Si le nombre au carré est proche d'un nombre dont nous connaissons le carré, nous pouvons utiliser l'une des quatre techniques de calcul mental simplifié :

1 de plus:

Méthodologie: au carré d'un nombre un de moins on ajoute le nombre lui-même et le nombre un de moins.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 de moins :

Méthodologie: Du carré d'un nombre qui est un de plus, on soustrait le nombre lui-même et le nombre qui est un de plus.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

2 plus

Méthodologie: au carré du nombre 2 en moins on ajoute deux fois la somme du nombre lui-même et du nombre 2 en moins.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 de moins

Méthodologie: Du carré d'un nombre 2 de plus, soustrayez deux fois la somme du nombre lui-même et du nombre 2 de plus.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Toutes ces techniques peuvent être facilement prouvées en dérivant des algorithmes à partir des formules de somme carrée et de différence carrée (mentionnées ci-dessus).

Carré de nombres se terminant par 5

Mettre au carré des nombres se terminant par 5. L’algorithme est simple. Le nombre jusqu'aux cinq derniers, multipliez par le même nombre plus un. Nous ajoutons 25 au nombre restant.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Cela est également vrai pour des exemples plus complexes :

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Carré de nombres proche de 50

Comptez le carré des nombres qui sont dans varie de 40 à 60, vous pouvez le faire de manière très simple. L'algorithme est le suivant : à 25 on ajoute (ou soustrait) autant que le nombre est supérieur (ou inférieur) à 50. On multiplie cette somme (ou différence) par 100. A ce produit on ajoute le carré de la différence entre le nombre étant le carré et cinquante. Découvrez l'algorithme en action à l'aide d'exemples :

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Carré de nombres à trois chiffres

La mise au carré de nombres à trois chiffres peut être effectuée à l'aide de l'une des formules de multiplication abrégées :

On ne peut pas dire que cette méthode soit pratique pour le calcul mental, mais dans des cas particulièrement difficiles elle peut être adoptée :

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Entraînement

Si vous souhaitez améliorer vos compétences sur le sujet de cette leçon, vous pouvez utiliser le jeu suivant. Les points que vous recevez dépendent de l'exactitude de vos réponses et du temps passé à les terminer. Veuillez noter que les numéros sont différents à chaque fois.

*carrés jusqu'à des centaines

Afin de ne pas mettre au carré tous les nombres sans réfléchir à l'aide de la formule, vous devez simplifier votre tâche autant que possible avec les règles suivantes.

Règle 1 (coupe 10 numéros)

Pour les nombres se terminant par 0.
Si un nombre se termine par 0, le multiplier n’est pas plus difficile qu’un nombre à un chiffre. Il vous suffit d'ajouter quelques zéros.
70 * 70 = 4900.
Marqué en rouge dans le tableau.

Règle 2 (coupe 10 numéros)

Pour les nombres se terminant par 5.
Pour mettre au carré un nombre à deux chiffres se terminant par 5, vous devez multiplier le premier chiffre (x) par (x+1) et ajouter « 25 » au résultat.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Marqué en vert dans le tableau.

Règle 3 (coupe 8 numéros)

Pour les nombres de 40 à 50.
XX * XX = 1500 + 100 * deuxième chiffre + (10 - deuxième chiffre)^2
Assez dur, non ? Regardons un exemple :
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Dans le tableau, ils sont marqués en orange clair.

Règle 4 (coupe 8 numéros)

Pour les nombres de 50 à 60.
XX * XX = 2500 + 100 * deuxième chiffre + (deuxième chiffre)^2
C’est aussi assez difficile à comprendre. Regardons un exemple :
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Dans le tableau, ils sont marqués en orange foncé.

Règle 5 (coupe 8 numéros)

Pour les nombres de 90 à 100.
XX * XX = 8000+ 200 * deuxième chiffre + (10 - deuxième chiffre)^2
Similaire à la règle 3, mais avec des coefficients différents. Regardons un exemple :
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Dans le tableau, ils sont marqués en orange foncé foncé.

Règle n°6 (coupe 32 numéros)

Vous devez mémoriser les carrés des nombres jusqu'à 40. Cela semble fou et difficile, mais en fait, la plupart des gens connaissent les carrés jusqu'à 20. 25, 30, 35 et 40 se prêtent à des formules. Et il ne reste que 16 paires de nombres. On peut déjà s'en souvenir à l'aide de mnémoniques (dont je veux aussi parler plus tard) ou par tout autre moyen. Comme une table de multiplication :)
Marqué en bleu dans le tableau.

Vous pouvez mémoriser toutes les règles, ou vous pouvez vous en souvenir de manière sélective ; dans tous les cas, tous les nombres de 1 à 100 obéissent à deux formules. Les règles permettront, sans utiliser ces formules, de calculer rapidement plus de 70 % des options. Voici les deux formules :

Formules (24 chiffres restants)

Pour les nombres de 25 à 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Par exemple:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Pour les nombres de 50 à 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Par exemple:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Bien entendu, n’oubliez pas la formule habituelle de développement du carré d’une somme (cas particulier du binôme de Newton) :
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

La quadrature n’est peut-être pas la chose la plus utile à la ferme. Vous ne vous souviendrez pas immédiatement d’un cas où vous pourriez avoir besoin de mettre un nombre au carré. Mais la capacité d'opérer rapidement avec des nombres et d'appliquer des règles appropriées pour chaque nombre développe parfaitement la mémoire et les « capacités informatiques » de votre cerveau.

Au fait, je pense que tous les lecteurs de Habra savent que 64^2 = 4096 et 32^2 = 1024.
De nombreux carrés de nombres sont mémorisés au niveau associatif. Par exemple, je me suis facilement souvenu de 88^2 = 7744 à cause des mêmes nombres. Chacun aura probablement ses propres caractéristiques.

J'ai d'abord trouvé deux formules uniques dans le livre « 13 étapes vers le mentalisme », qui n'ont pas grand-chose à voir avec les mathématiques. Le fait est qu'avant (peut-être même maintenant), les capacités informatiques uniques étaient l'un des nombres dans la magie de scène : un magicien racontait une histoire sur la façon dont il avait reçu des super pouvoirs et, pour preuve, mettait instantanément au carré des nombres jusqu'à cent. Le livre présente également des méthodes de construction de cubes, des méthodes de soustraction de racines et de racines cubiques.

Si le sujet du comptage rapide est intéressant, j'écrirai davantage.
Merci d'écrire vos commentaires sur les erreurs et corrections en MP, merci d'avance.

23 octobre 2016 à 16h37

La beauté des chiffres. Comment calculer rapidement dans votre tête

• Science populaire

Ancienne inscription sur un reçu de paiement d'impôts (« yasaka »). Cela signifie un montant de 1232 roubles. 24 kopecks Illustration du livre : Yakov Perelman « Arithmétique divertissante »

Également Richard Feynman dans le livre « Bien sûr que vous plaisantez, M. Feynman ! » racontent plusieurs méthodes de comptage mental. Bien qu’il s’agisse d’astuces très simples, elles ne sont pas toujours incluses dans le programme scolaire.

Par exemple, pour mettre rapidement un nombre X au carré autour de 50 (50 2 = 2 500), vous devez soustraire/ajouter une centaine pour chaque différence unitaire entre 50 et X, puis ajouter la différence au carré. La description semble beaucoup plus compliquée que le calcul réel.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Le jeune Feynman a appris cette astuce auprès de son collègue physicien Hans Bethe, qui travaillait également à Los Alamos sur le projet Manhattan à l'époque.

Hans a montré quelques techniques supplémentaires qu'il a utilisées pour des calculs rapides. Par exemple, pour calculer les racines cubiques et les exponentiations, il est pratique de se souvenir du tableau des logarithmes. Cette connaissance simplifie grandement les opérations arithmétiques complexes. Par exemple, calculez mentalement la valeur approximative de la racine cubique de 2,5. En fait, lorsque vous effectuez de tels calculs, vous avez en tête une sorte de règle à calcul, dans laquelle la multiplication et la division des nombres sont remplacées par l'addition et la soustraction de leurs logarithmes. La chose la plus pratique.

Règle logarithmique

Avant l’avènement des ordinateurs et des calculatrices, la règle à calcul était utilisée partout. Il s'agit d'une sorte d'« ordinateur » analogique qui permet d'effectuer plusieurs opérations mathématiques, notamment la multiplication et la division de nombres, la mise au carré et les cubes, le calcul de racines carrées et cubiques, le calcul de logarithmes, la potentialisation, le calcul de fonctions trigonométriques et hyperboliques et quelques autres opérations. Si vous divisez le calcul en trois étapes, à l'aide d'une règle à calcul, vous pouvez élever les nombres à n'importe quelle puissance réelle et extraire la racine de toute puissance réelle. La précision des calculs est d'environ 3 chiffres significatifs.

Pour effectuer rapidement des calculs complexes dans votre tête, même sans règle à calcul, il est judicieux de mémoriser les carrés de tous les nombres, au moins jusqu'à 25, tout simplement parce qu'ils sont souvent utilisés dans les calculs. Et un tableau des degrés - le plus courant. Il est plus facile de se souvenir que de recalculer à chaque fois que 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576 et √3 ≈ 1,732.

Richard Feynman a amélioré ses compétences et a progressivement remarqué de nouveaux modèles et liens intéressants entre les nombres. Il donne cet exemple : « Si quelqu’un commençait à diviser 1 par 1,73, on pourrait immédiatement répondre que cela donnerait 0,577, car 1,73 est un nombre proche de la racine carrée de trois. Donc 1/1,73 équivaut à environ un tiers de la racine carrée de 3. »

Un calcul mental aussi avancé aurait surpris des collègues à l’époque où il n’y avait ni ordinateurs ni calculatrices. À cette époque, absolument tous les scientifiques étaient capables de bien compter dans leur tête. Pour y parvenir, il fallait donc s'immerger assez profondément dans le monde des nombres.

De nos jours, les gens sortent une calculatrice pour simplement diviser 76 par 3. Il est devenu beaucoup plus facile de surprendre les autres. À l'époque de Feynman, au lieu d'une calculatrice, il y avait des bouliers en bois, qui pouvaient également être utilisés pour effectuer des opérations complexes, notamment prendre des racines cubiques. Le grand physicien avait déjà remarqué qu'en utilisant de tels outils, les gens n'avaient pas besoin de mémoriser de nombreuses combinaisons arithmétiques, mais simplement d'apprendre à faire rouler correctement les balles. Autrement dit, les personnes atteintes d’« expandeurs » cérébraux ne connaissent pas les chiffres. Ils gèrent moins bien les tâches en mode « hors ligne ».

Voici cinq conseils très simples pour compter mentalement, recommandés par Yakov Perelman dans le manuel « Quick Counting » publié en 1941 par la maison d'édition.

1. Si l'un des nombres multipliés est décomposé en facteurs, il est pratique de le multiplier séquentiellement.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, soit le double du résultat trois fois

2. En multipliant par 4, il suffit de doubler le résultat deux fois. De même, en divisant par 4 et 8, le nombre est divisé par deux deux ou trois fois.

3. En multipliant par 5 ou 25, le nombre peut être divisé par 2 ou 4, puis ajouter un ou deux zéros au résultat.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Ici, il est préférable d'évaluer immédiatement ce qui est le plus simple. Par exemple, il est plus pratique de multiplier 31 × 25 par 25 × 31 de la manière standard, c'est-à-dire par 750 + 25, plutôt que par 31 × 25, soit 7,75 × 100.

Lors de la multiplication par un nombre proche d'un nombre rond (98, 103), il est pratique de multiplier immédiatement par un nombre rond (100), puis de soustraire/ajouter le produit de la différence.

37 × 98 = 3 700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Pour mettre au carré un nombre se terminant par 5 (par exemple, 85), multipliez le nombre des dizaines (8) par celui-ci plus un (9) et ajoutez 25.

8 × 9 = 72, attribuez 25, donc 85 2 = 7225

La raison pour laquelle cette règle s'applique peut être vue à partir de la formule :

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

La technique s'applique également aux fractions décimales qui se terminent par 5 :

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Lors de la mise au carré, n'oubliez pas la formule pratique

(une + b) 2 = une 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Bien entendu, toutes les méthodes peuvent être combinées entre elles, créant ainsi des techniques plus pratiques et plus efficaces pour des situations spécifiques.