itthon / Üvegezés A / Define Set funkció egy készletet jelenít meg. Megjeleníti

A Define Set funkció egy készletet jelenít meg. Megjeleníti

Vizsgáljuk meg most a halmazok közötti kapcsolatokkal kapcsolatos néhány kérdést.

Azt fogjuk mondani, hogy a halmazok között adott hozzáállás(relációban vannak), ha a -ból származó egyes (esetleg az összes) elem megfelel a -ból származó egyes elemeknek. Ha egy halmaz kapcsolatban áll egy halmazzal, akkor ezt írjuk:

Ha egyidejűleg egy elem társítva van egy elemhez, akkor ezt jelöljük

Meghatározás 1.1.2. A halmazok közötti kapcsolatot ún kijelző, ha mindegyikhez egy és csak egy elem van hozzárendelve (lásd 1.1.2. és 1.1.3. ábra). A halmazok jellegének specializálódásával speciális leképezési típusok keletkeznek, amelyek speciális elnevezése „funkció”, " vektorfüggvény", "operátor", "mérés", "funkcionális" stb. Később találkozunk velük.

Egy függvény (leképezés) v-ből való jelölésére a jelölést fogjuk használni

1.1.2. ábra. Megjelenítés 1.1.3. ábra: Nem

kijelző

Meghatározás 1.1.3. Ha egy elemből van, akkor a hozzá tartozó elemizát képének nevezzük (ha megjelenik), és mindazok halmazát, amelyekhez prototípusnak nevezzük és kijelöljük (lásd 1.1.4. ábra).

1.1.4. ábra. Prototípusb

Meghatározás 1.1.4. A leképezést ún egy az egyhez leképezés, ha minden elemének egyedi képe van a leképezés alatt, és minden elemnek egyedi inverz képe van a leképezés alatt.

1.1.5. ábra. Egy-egy leképezés

A következőkben csak a leképezéseket fogjuk figyelembe venni, mivel vannak olyan technikák, amelyek a többértékű leképezéseket egyértékűekké redukálják, amelyeket egyszerűen leképezéseknek nevezünk.

A térképezés fogalma döntő szerepet játszik a matematikában, különösen a matematikai elemzésben a központi helyet a fogalom foglalja el. funkciókat, amely egy numerikus halmaz leképezése egy másikra.

1.7. A készlet ereje

A halmazok közötti kapcsolatok vizsgálatakor nagy érdeklődésre tart számot a halmazok „térfogata”, a bennük lévő elemek száma. De az elemek számáról beszélni érthető és indokolt, ha ez a szám véges. A véges számú elemből álló halmazok meghívásra kerülnek végső . A matematikában figyelembe vett halmazok közül sok azonban nem véges, például a valós számok halmaza, a sík pontjai, egy bizonyos szakaszon definiált folytonos függvények halmaza stb. A végtelen (sőt véges) halmazok kvantitatív jellemzésére a halmazelmélet a fogalmat használja a készlet erejét .

Azt fogjuk mondani, hogy a készleteknek van ugyanaz az erő , ha van egy-egy leképezés egy halmazból egy halmazba (megjegyzendő, hogy ebben az esetben is van egy-egy leképezés a B halmazból az A halmazba).

Ha a halmazok egyforma kardinalitásúak, akkor azt mondjuk, hogy azok egyenértékű , ennek a jelölése: .

Legyenek tehát tetszőleges halmazok

azok. bármely halmaz egyenértékű önmagával; ha egy halmaz ekvivalens egy halmazzal, akkor egyenértékű; ha végül egy halmaz egyenértékű egy halmazzal, akkor egyenértékű.

Egy saját részhalmazának megfelelő halmazt nevezünk végtelen .

Ha a véges halmazok különböző számú elemet tartalmaznak, akkor nyilvánvaló, hogy az egyik kevesebb elemet tartalmaz, mint a másik. Hogyan hasonlíthatunk össze ebben az értelemben végtelen halmazokat? Azt mondjuk, hogy egy halmaz számossága kisebb, mint egy halmazé, ha van a halmaznak olyan részhalmaza, amely ekvivalens a halmazzal, de maguk a halmazok nem ekvivalensek.

Véges halmaz kardinalitása elemeinek számával egyenlő. A végtelen halmazok esetében a „számos” fogalma az „elemek száma” fogalmának általánosítása.

Jelöljünk meg néhány halmazosztályt, amelyek hasznosak a következőkben.

A halmazt megszámlálhatónak nevezzük , ha a sokfélesége megegyezik a halmaz valamely részhalmazával (természetes számok halmazával). A megszámlálható halmaz lehet véges vagy végtelen.

Egy végtelen halmaz akkor és csak akkor számolható meg, ha ekvivalens a természetes számok halmazával.

Vegyük észre, hogy minden halmaz, amelynek számossága kisebb, mint egy végtelen megszámlálható halmaz számossága, véges.

A nullától egyig terjedő intervallumban lévő valós számok halmaza rendelkezik teljesítmény-kontinuum , önmagát pedig gyakran nevezik folytonosság . Ennek a halmaznak a számossága nagyobb, mint egy végtelen megszámlálható halmazé. Felmerül a kérdés: van-e olyan halmaz, amelynek számossága nagyobb, mint egy végtelen megszámlálható halmaz, de kisebb, mint a kontinuum számossága? Ezt a problémát 1900-ban a világ egyik legnagyobb matematikusa, David Hilbert fogalmazta meg. Kiderült, hogy ennek a problémának van egy kissé váratlan válasza: feltételezhetjük, hogy létezik ilyen halmaz, vagy feltételezhetjük, hogy nem létezik. Az így kapott matematikai elméletek konzisztensek lesznek. Ennek a ténynek a bizonyítékát Cohen amerikai tudós jelentette be 1965-ben a matematikusok világkongresszusán Moszkvában. Vegyük észre, hogy ezzel a problémával a helyzet Eukleidész ötödik posztulátumának helyzetére emlékeztet: egy adott egyenesen kívül eső ponton keresztül csak egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenes húzható. Amint Lobacsevszkij megmutatta, ennek a posztulátumnak az elutasítása nem vezet ellentmondásokhoz. Teremthetünk olyan geometriákat, amelyekre ez a posztulátum érvényes, és olyan geometriákat is, amelyekre nem igaz.

Befejezésül néhány példát mutatunk be, amelyek bemutatják a halmazok egyenértékűségének bizonyításának módszertanát.

1.11. példa. Az egész számok halmaza megszámlálható.

Nyilvánvaló, hogy a kérdéses halmaz végtelen (a természetes számok halmaza annak részhalmaza).

Egy egész számok halmazának megszámlálhatóságának bizonyításához egy-egy leképezést kell alkotni a természetes számok halmaza és a kérdéses halmaz között. A szükséges leképezést a szabály adja meg: rendezze el az egész számokat a következőképpen:

és számozzuk át őket természetes számokkal, számokat rendelve hozzájuk (a szóban forgó egész számok mellett vannak feltüntetve). Nyilvánvaló, hogy minden egész szám más-más számot kap, a különböző számok pedig különböző számokat. Ez fordítva is igaz: minden természetes számhoz (minden számhoz) egy egész szám is áll ez alatt a szám alatt. Így létrejön a szükséges egy az egyhez leképezés.

Példa 1.12. A racionális számok halmaza megszámlálható.

Ismeretes, hogy bármely racionális szám ábrázolható p/q irreducibilis törtként, ezzel az ábrázolással a racionális számokat a séma szerint rendezzük:

. . . . . .

Számozzuk át ezeket a számokat megközelítőleg az előző példához hasonlóan (a számok felül, zárójelben, a számok mellett vannak feltüntetve). Könnyen ellenőrizhető, hogy a racionális számok számozására megfogalmazott szabály megadja a szükséges egy az egyhez leképezést a természetes számok halmazáról a racionális számok halmazára.

1.13. példa. A megszámlálható halmazok megszámlálható halmazának uniója megszámlálható halmaz.

Ennek a ténynek a bizonyítása hasonló az előző példában szereplő állítás bizonyításához.

Befejezésül egy fontos kijelentést teszünk a további vitára. Ehhez azonban szükségünk van még egy műveletre a halmazokon.

A készletek közvetlen terméke És( Descartes termék ) az összes rendezett pár halmaza, ahol és. Ez a készlet ki van jelölve. És így:

Jelöljük a tényezők szorzatát.

1.1. tétel. bármely végtelen halmazra Sőt.

Különösen, i.e. az egyenes pontjainak halmaza ugyanolyan kardinalitású, mint a sík pontjainak halmaza. Sőt, annyi pont van a térben, ahány egy egyenesen.

Ezzel véget is értünk a matematikai logika és halmazelmélet alapfogalmaival - a modern matematika alapjaival. Vegyük észre, hogy ezeknek az elméleteknek számos vonatkozása sajnos kívül maradt e fejezet keretein, megismerkedhet velük például a és a.

Szurjekció, injekció és bijekció

Az f leképezést meghatározó szabály: X (vagy a / függvény) konvencionálisan nyilakkal ábrázolható (2.1. ábra). Ha az Y halmazban van legalább egy olyan elem, amelyre egyik nyíl sem mutat, akkor ez azt jelzi, hogy az f függvény értéktartománya nem tölti ki a teljes Y halmazt, azaz. f(X) C Y.

Ha az értéktartomány / egybeesik Y-val, pl. f(X) = Y, akkor egy ilyen függvényt szürjektívnek) vagy röviden szürjekciónak nevezünk, és a / függvényről azt mondjuk, hogy az X halmazt leképezi az Y halmazra (ellentétben az X halmaz leképezésének általános esetével az Y halmaz a 2.1 definíció szerint). Tehát / : X egy szurjekció, ha Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Ebben az esetben az ábrán az Y halmaz minden eleméhez legalább egy nyíl vezet (2.2. ábra). Ebben az esetben több nyíl az Y egyes elemeihez vezethet. Ha legfeljebb egy nyíl vezet egyetlen y € Y elemhez, akkor a /-t injektív függvénynek vagy injekciónak nevezzük. Ez a függvény nem feltétlenül szürjektív, azaz. a nyilak nem vezetnek az Y halmaz minden eleméhez (2.3. ábra).

Tehát a /: X -Y Y függvény egy injektálás, ha X-ből bármely két különböző elemnek a képe van leképezéskor / két különböző elem Y-ből, vagy Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Szurjekció, injekció és bijekció. Fordított leképezés. A leképezések összetétele halmazok szorzata. Megjelenítés ütemezése. A /: X->Y leképezést bijektívnek, vagy bijekciónak nevezzük, ha y 6 Y minden eleme valamilyen és az egyetlen elem képe X-ből, azaz. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Valójában a / függvény ebben az esetben egy-egy megfeleltetést hoz létre az X és Y halmazok között, ezért gyakran nevezik egy-egy függvénynek. Nyilvánvaló, hogy egy függvény / akkor és csak akkor bijektív, ha injektív és szürjektív is. Ebben az esetben a nyilak (2.4. ábra) párban kapcsolják össze az X-ből származó egyes elemeket az Y-ból származó elemekkel. Ezen túlmenően X-ből két elem nem köthető nyíllal ugyanahhoz az Y-beli elemhez, mivel a / injektív, és Y-ból nem lehet két elemet nyilakkal összekötni X-ből ugyanahhoz az elemhez a leképezés 2.1-es definíciójában szereplő kép egyediségi követelménye miatt. X minden eleme páronkénti kapcsolatban vesz részt, mivel X a / függvény tartománya. Végül minden Y elem is részt vesz az egyik párban, mert a / szürjektív. X és Y szerepe ebben az esetben teljesen azonosnak tűnik, és ha az összes nyilat visszafordítjuk (2.5. ábra), akkor más leképezést vagy más d függvényt kapunk, ami szintén injektív és szürjektív. Az ilyen inverziót lehetővé tevő leképezések (függvények) fontos szerepet fognak játszani a következőkben.

Egy adott esetben az X és Y halmaz egybeeshet (X = Y). Ekkor a bijektív függvény leképezi önmagára az X halmazt. Egy halmaz önmagára való bijektálását transzformációnak is nevezik. 2.3. Inverz leképezés Legyen /: X -? Y egy bizonyos bijekció, és legyen y € Y. Jelöljük /_1(y)-vel az egyetlen x € X elemet, amelyre /(r) = y. Így definiálunk néhány 9: Y Xу leképezést, ami ismét egy bijekció. Ezt inverz leképezésnek vagy inverz bijekciónak hívják /-hez. Gyakran egyszerűen inverz függvénynek is nevezik, és /"*-nak jelölik. A 2.5. ábrán a d függvény pontosan a / inverze, azaz d = f"1.

Példák a problémák megoldására

A / és leképezések (függvények) kölcsönösen inverzek. Nyilvánvaló, hogy ha egy függvény nem bijekció, akkor inverz függvénye nem létezik. Valóban, ha a / nem injektív, akkor néhány y € Y elem megfelelhet több x elemnek az X halmazból, ami ellentmond egy függvény definíciójának. Ha a / nem szürjektív, akkor Y-ban vannak olyan elemek, amelyekhez X-ben nincs előkép, pl. ezeknél az elemeknél az inverz függvény nincs definiálva. 2.1. példa. A. Legyen X = Y = R – valós számok halmaza. Az y = For - 2, i,y € R képlettel definiált / függvény bijekció. Az inverz függvény x = (y + 2)/3. b. Az x valós változó f(x) = x2 valós függvénye nem szürjektív, mivel az Y = R-ből származó negatív számok nem X = K elemeinek képei, mint /: Γ -> Y. 2.2. példa. Legyen A" = R, és Y = R+ a pozitív valós számok halmaza. Az f(x) = ax, a > 0, af 1 függvény bijekció. Az inverz függvény a következő lesz: Z"1 (Y) = 1°8a Y

Szurjekció, injekció és bijekció. Fordított leképezés. A leképezések összetétele halmazok szorzata. Megjelenítés ütemezése. 2.4. Leképezések összetétele Ha f:X-*Y és g:Y-*Zy, akkor a leképezést (p:X -+Z, mindegyik a: 6 A"-re a = képlettel definiálva) a leképezések összetételének (szuperpozíciójának) nevezzük. (függvények) / és d> vagy egy komplex függvény, és a jelölése rho/ (2.6. ábra).
Így egy f előtti összetett függvény megvalósítja a szabályt: i Apply / először, majd di, azaz. a műveletek összetételében „előtt / a jobb oldalon található / művelettel kell kezdenie. Vegye figyelembe, hogy a kompozíció Fig. A 2.6-os leképezések asszociatívak, azaz ha /: X -+Y, d: Y Z és h: Z-*H>, akkor (hog)of = = ho(gof)i, amit könnyebb ho alakban írni /-be. Ellenőrizzük ezt a következőképpen: Bármely wK "oaicecmee X"-en létezik egy 1x -X X leképezés, amelyet azonosnak neveznek, gyakran idx-szel is jelölik, és az Ix(x) = x Vx € A képlettel adjuk meg. A -művelete az, hogy mindent a helyükre hagy.

Így, ha egy bijekció inverz a /: X - + Y bijekcióval, akkor /"1o/ = /x, és /o/-1 = /y, ahol és /y az X és Y halmazok azonos leképezései, Fordítva, ha az f: X ->Y és p: Y A" leképezések olyanok, hogy gof = Ix és köd = /y, akkor a / függvény bijekció, y pedig inverz bijekciója. Nyilvánvaló, hogy ha / A" bijekciója Y-re, és $ Y bijekciója Z-re, akkor a gof X bijekciója Z-re, és ez az inverz bijekció lesz ehhez képest. 2.5. Halmazok szorzata. Leképezési gráf Emlékezzünk vissza, hogy két, egymásra merőleges koordinátatengely, amelynek a léptéke mindkét tengelyre azonos, egy derékszögű derékszögű koordinátarendszert határoz meg a síkon (2.7. ábra). koordináták.

Minden M pont társítható egy valós számpárhoz (i, y), ahol x az Mx pont koordinátája az Ox koordinátatengelyen, és y a Mu pont koordinátája az Oy koordinátatengelyen. Az Mx és Mu pontok az M pontból az Ox, illetve az Oy tengelyekre ejtett merőlegesek alapjai. Az x és y számokat az M pont koordinátáinak nevezzük (a kiválasztott koordinátarendszerben), x-et pedig az M pont abszcisszájának, y pedig ennek a pontnak az ordinátájának. Nyilvánvaló, hogy az a, 6 6R valós számok minden (a, b) párja egy olyan M pontnak felel meg a síkon, amelynek ezek a számok a koordinátái. És fordítva, a sík minden M pontja egy (a, 6) a és 6 valós számpárnak felel meg. Általános esetben az (a, b) és (6, a) párok különböző pontokat határoznak meg, azaz. Fontos, hogy a két a és b szám közül melyik áll az első helyen a pár megjelölésében. Tehát rendezett párról beszélünk. Ebben a tekintetben az (a, 6) és (6, a) párokat egyenlőnek tekintjük egymással, és ugyanazt a pontot határozzák meg a síkon, ha csak a = 6. Szurjekció, injekció és bijekció. Fordított leképezés.

A leképezések összetétele halmazok szorzata. Megjelenítés ütemezése. Az összes valós számpár halmazát, valamint a sík pontjainak halmazát R2 jelöli. Ez az elnevezés a halmazelméletben a halmazok közvetlen (vagy dek-artov) szorzatának fontos fogalmához kapcsolódik (gyakran egyszerűen halmazok szorzatáról beszélnek). Meghatározás 2.2. Az A és B halmazok szorzata a lehetséges rendezett párok (x, y) Ax B halmaza, ahol az első elemet A-ból, a másodikat B-ből vesszük, így két pár egyenlősége (x, y) ill. (&", y") meghatározott feltételek x = x" és y = y7. Az (i, y) és (y, x) párokat különbözőnek tekintjük, ha xy. Ezt különösen fontos szem előtt tartani, amikor az A és a halmazok B tehát egybeesik, ezért általános esetben A x B f B x A, azaz tetszőleges halmazok szorzata nem kommutatív, hanem disztributív a halmazok egyesülése, metszéspontja és különbsége tekintetében: ahol a három megnevezett halmaz egyikét jelöli műveletek. A halmazok szorzata jelentősen eltér a két halmazon feltüntetett műveletektől. E műveletek végrehajtásának eredménye egy olyan halmaz, amelynek elemei (ha nem üres) az egyik vagy mindkét eredeti halmazhoz tartoznak. A szorzat elemei halmazok az új halmazhoz tartoznak, és az eredeti halmazok elemeitől eltérő típusú objektumokat képviselnek.

Bevezethetjük a kettőnél több halmazból álló termék fogalmát. Az (A x B) x C és A*x (B x C) halmazokat azonosítjuk, és egyszerűen A x B x C-vel jelöljük, tehát. Működik Ah Au Ah Ah Ah Ah stb. általában A2, A3 stb. Nyilvánvaló, hogy az R2 síkot a valós számok halmazának két másolatának R x R szorzatának tekinthetjük (innen ered a sík ponthalmazának a számegyenes két ponthalmazának szorzatának jelölése). A geometriai (háromdimenziós) térben lévő pontok halmaza az R3-mal jelölt számegyenes ponthalmaz három példányának R x R x R szorzatának felel meg.

A valós számok n halmazának szorzatát Rn jelöli. Ez a halmaz n valós szám X2) xn £ R összes lehetséges gyűjteményét (xj, X2, xn) reprezentálja, és Rn bármely x* pontja az xn £ K* valós számok (xj, x, x*) ilyen gyűjteménye.
n tetszőleges halmaz szorzata n (általában heterogén) elem rendezett halmazának halmaza. Az ilyen halmazokhoz a sor vagy az n-ka neveket használjuk (ejtsd: „enka”) Példa 2.3 Legyen A = (1, 2) és B = (1, 2) Ekkor az A x B halmaz azonosítható az R2 sík négy pontja, amelyek koordinátáit e halmaz elemeinek felsorolásakor feltüntetjük Ha C = ( 1,2) és D = (3,4), akkor 2.4 példa Legyen Akkor Az E halmazok geometriai értelmezése x F és F x E a 2.8. ábrán látható # A /: X leképezéshez létrehozhatunk egy sorba rendezett párokat (r, y), amely az X x Y közvetlen szorzat részhalmaza.
Az ilyen halmazt az f leképezés gráfjának (vagy az i* függvény grafikonjának) nevezzük - 2.5. példa. XCR és Y = K esetén minden rendezett pár megadja egy pont koordinátáit az R2 síkon. Ha X az R számegyenes intervalluma, ekkor a függvény grafikonja ábrázolhat valamilyen egyenest (2.9. ábra) 2.6. példa Jól látható, hogy XCR2 és Y = R esetén a függvény grafikonja egy bizonyos ponthalmaz R3-ban , amely egy bizonyos felületet ábrázolhat (2.10. ábra).

Ha X C R, és Y = R2, akkor a függvény grafikonja is egy ponthalmaz R3-ban, amely egy bizonyos egyenest ábrázolhat, amelyet az x = const sík metsz csak egy pontban, három koordinátával x) yi, y2 ( 2.11. ábra) . # A függvénygráfokra vonatkozó összes említett példa a matematikai elemzés legfontosabb tárgya, és a jövőben ezekről részletesen is szó lesz.

Meghívják a %%f%% kijelzőt injektív,

ha bármely elemre %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, ebből az következik, hogy %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Más szavakkal, a %%f%% leképezés injektív, ha a %%X%% különböző elemeinek képe is eltérő.

Példa

A %%\mathbb(R)%%, halmazban definiált %%f(x) = x^2%%, nem injektív függvény, mivel %%x_1 = -1, x_2 = 1%% esetén a ugyanaz a funkció értéke %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Szürjektív leképezés

Meghívják a %%f%% kijelzőt szürjektív, ha minden %%y \in Y%% elemhez van egy %%x \in X%% elem azzal a feltétellel, hogy %%f(x) = y%%. $$ \minden y \in Y~ \ létezik x \X-ben: f(x) = y. $$

Más szavakkal, a %%f%% leképezés szürjektív, ha minden %%y \in Y%% elem legalább egy %%x \in X%% elem képe.

Példa

A %%\mathbb R%% halmazon meghatározott %%f(x) = \sin(x)%%, %%Y = [-2,2]%% leképezés nem szürjektív, mert a %%y = 2 \in Y%% elemhez a %%x \in X%% inverz képe nem található.

Bijektív leképezés

Meghívják a %%f%% kijelzőt bijektív, ha injektív és szürjektív. Bijektív leképezésnek is nevezik 1-1 vagy átalakítás.

Az „injektív leképezés”, „szürjektív leképezés” és „bijektív leképezés” kifejezéseket általában az „injektálás”, „felszürjekció” és „bijektív” kifejezések váltják fel.

Fordított leképezés

Legyen %%f: X \to Y%% néhány bijekcióés hagyja, hogy %%y \in Y%%. Jelölje %%f^(-1)(y)%% az egyetlen %%x \ elemet az X%%-ban úgy, hogy %%f(x) = y%%. Így néhány újat fogunk meghatározni kijelző%%g: Y \–X%%, ami ismét egy bijekció. Őt hívják inverz leképezés.

Példa

Legyen %%X, Y = \mathbb R%% a valós számok halmaza. A %%f%% függvényt a %%y = 3x + 3%% képlet adja meg. Ennek a függvénynek van inverze? Ha igen, melyiket?

Annak megállapításához, hogy egy adott függvénynek van-e inverze, ellenőrizni kell, hogy van-e bijekció. Ehhez nézzük meg, hogy ez a leképezés igaz-e injektívÉs szürjektív.

Ellenőrizzük az injekciót. Legyen %%x_1 \neq x_2%%. Ellenőrizzük, hogy %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, azaz %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Tegyük fel az ellenkezőjét, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Aztán kiderül, hogy %%x_1 = x_2%%. Ellentmondásunk van, mert %%x_1 \neq x_2%%. Ezért a %%f%% egy injekció.
Ellenőrizzük szurjektálás. Legyen %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Keressük meg a %%x \in X = \mathbb(R)%% elemet azzal a feltétellel, hogy %%f(x) = y%%, azaz %%3x + 3 = y%%. Ebben az egyenlőségben a %%y \in \mathbb(R)%% elem van megadva, és meg kell találnunk a %%x%%. Nyilvánvaló, hogy $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Ezért a %%f%% leképezés szürjektív.

Mivel a %%f%% egy injekció és egy szurjekció, ezért a %%f%% egy bijekció. És ennek megfelelően az inverz leképezés %%x = \frac(y-3)(3)%%.

TÉRKÉPEZÉS KÉSZLETEK §1. Alapvető definíciók

Meghatározás. Legyen A és B két halmaz. Azt mondják, hogy egy A halmaz f leképezése adott, ha olyan törvényt adunk meg, amely szerint A-ból bármely a elem társítva van a B halmaz egyetlen b eleméhez:

A leképezéseket függvényeknek is nevezik.

A következő jelölést fogjuk használni:

ƒ : A→ B. Az f leképezés az A halmazt B-be viszi;

A f B. Az A halmaz B-re van leképezve, amikor f le van képezve.

Ha az a elem, amikor f le van képezve, a b elembe kerül, akkor írja be az f(a)=b (bal oldali bejegyzés) vagy af=b (jobb oldali bejegyzés). A b elemet az a elem képének nevezzük az f leképezés alatt; az a elem a b inverz képe

ezt a kijelzőt. Az ( f (a ) | a A ) = f (A ) halmaz az A halmaz képe az f leképezés alatt. Vegye figyelembe, hogy

f(A)B.

A B

f f(A)

A - tartomány leképezés f; BAN BEN - hatótávolság f leképezése (néha – például az iskolai matematikában – az értéktartományt f(A)-nak tekintjük, de mi B-nek fogjuk tekinteni).

Vegye figyelembe, hogy csak az egyértékű leképezéseket vesszük figyelembe.

Az összes kijelző közül a következő típusok különböztethetők meg:

1. Felvetés (leképezés "be") olyan f : A → B leképezés, hogy f (A ) = B . Szurjekció esetén a B halmaz minden elemének van legalább egy inverz képe.

2. Befecskendezés – olyan leképezés, amelyben a különböző elemek különbözőekké alakulnak át, pl. ha a, a 1 A és a ≠ a 1, akkor f (a) ≠ f (a 1).





				f(a1)

3. Bijekció, ill egy az egyhez leképezés egy olyan leképezés, amely egyszerre injekció és szurjekció.

Példák a kijelzőkre:.

1. Legyen A tetszőleges halmaz, B pedig egy elemből álló halmaz, azaz. B=(b).

A . b

Az f (a) = b, a A leképezés szurjektív, mert f(A)=B.

2. Legyen A halmaz valamely szakasza a síkon, B halmaz pedig egyenes. Az A szakasz minden pontjából leeresztünk egy merőlegest a B egyenesre, és ezeknek a merőlegeseknek az alapjait az A szakasz pontjaihoz illesztjük.

A a

φ(a) V

Jelöljük ezt a leképezést φ-vel. Magától értetődően,

ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

Ezért a φ leképezés injektálás (de nem szurjekció).

3. Legyen A halmaz egy derékszögű háromszög befogója, B pedig a szára. Kapcsoljuk össze a befogó tetszőleges pontját a lábra való vetületével. Egy-egy leképezést kapunk A-tól B-ig:

azok. f egy bijekció.

Vegyük észre, hogy a matematika így bizonyítja, hogy a hipotenuszon és a lábon lévő pontok „száma” megegyezik (pontosabban ezeknek a halmazoknak ugyanaz a kardinalitása).

Megjegyzés. Nem nehéz olyan leképezést kitalálni, ami se nem szurjektálás, se nem injektálás, se nem bijekció.

4. Ha f egy valós változó tetszőleges függvénye, akkor f egy R-ről R-re való leképezés.

§2. Térképi szorzás

Legyen A, B, C három halmaz, és legyen adott két f : A → B és ϕ : B → C leképezés.

Definíció 1. Ezen leképezések szorzata a szekvenciális végrehajtásuk eredményeként kapott leképezés.

ϕf

Két rögzítési lehetőség van.

1. Bal oldali belépés.
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c.		jelölje ϕ f:
Ekkor f és φ szorzata lesz	fordítsd le a-t c-re, így kell lennie	jelölje ϕ f:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c, ϕ f : A → C (lásd a fenti ábrát).
Definíció szerint (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ),	azok. leképezések terméke –	ez egy összetett funkció
állítva A-ra.

2. Jobb belépés.

aƒ =b, bϕ =c. Ekkor a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,

f ϕ : A → C.

A bal jelölést fogjuk használni (megjegyzendő, hogy a könyv a jobb jelölést használja). Az alábbiakban a leképezések szorzatát f ϕ-vel jelöljük.

1. megjegyzés. A leképezések szorzásának definíciójából az következik, hogy nem bármelyik leképezés szorozható, hanem csak azok, amelyek „átlagos” halmazai megegyeznek. Például ha f : A → B ,ϕ : D → C, akkor B=D esetén az f és φ leképezések szorozhatók, de B≠D esetén ez nem lehetséges.

A leképezési szorzás tulajdonságai

2. definíció. Az f és g térképeket egyenlőnek nevezzük, ha definíciós tartományuk és értéktartományuk egybeesik, pl. f : A → B , g : A → B és teljesül a feltétel: a A igaz

egyenlőség f (a) = g (a).

1. A térképek szorzása nem kommutatív. Más szóval, ha fφ és φf létezik, akkor nem feltétlenül egyenlőek.

Legyen például az A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) halmazok. Tekintsük a szorzatokat:

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

Ezért az fφ és φf függvények eltérőek.

2. A leképezések szorzása asszociatív.

Legyen f: A → B, ϕ: B → C, ψ: C → D. Bizonyítsuk be, hogy (ψϕ ) f

E x , f : R → R, ϕ : R → R .

és ψ (ϕ f ) létezik és egyenlő, azaz (ψϕ ) f =

ψ (ϕ f) . (1)

Nyilvánvaló, hogy (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .

Az (1) egyenlőség bizonyításához a leképezések egyenlőségének definíciója értelmében ellenőrizni kell, hogy a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). A leképezési szorzás definíciójának használata (a bal oldali bejegyzésben)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Mert a (3) és (4) egyenlőségben, ha a jobb oldalak egyenlőek, akkor a bal oldalak is egyenlők, azaz. a (2) egyenlőség igaz, majd az (1) is igaz.

2. megjegyzés. A szorzás asszociativitása lehetővé teszi három, majd tetszőleges véges számú tényező szorzatának egyedi meghatározását.

több előkép az A-ban, vagy egyáltalán nincs előkép. Egy f bijektív térképhez azonban ennek az ellenkezője is definiálható.

Legyen f : A → B bijekció, f (a) = b, a A, b B. Ekkor bármely b B elemre a bijekció definíciója szerint van egy egyedi inverz kép az f leképezés alatt - ez az a elem. Most definiálhatjuk f − 1 : B → A f − 1 (b ) = a (b B ) beállításával. Könnyen belátható, hogy f − 1 bijekció.

Tehát minden bijektív leképezésnek van egy inverze.

§3. Transzformációk beállítása

Bármilyen f : A → A leképezés meghívásra kerül a halmaz átalakítása A. Különösen bármely

egy valós változó függvénye az R halmaz transzformációja.

Példák egy síkon lévő ponthalmaz transzformációjára: a sík elforgatása, egy tengely körüli szimmetria stb.

Mivel a transzformációk a leképezések speciális esetei, így a leképezésekről fentebb elmondottak igazak rájuk. De az A halmaz transzformációinak szorzásának is vannak sajátos tulajdonságai:

1. az A halmaz bármely f és φ transzformációjához fφ és φf szorzat létezik;

2. létezik az A halmaz azonosságtranszformációjaε: ε (a) = a, a A.

Könnyen belátható, hogy ennek a halmaznak az f transzformációjára f ε = ε f = f, mivel például (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Ez azt jelenti, hogy a transzformációk szorzásánál az ε transzformáció az egységelem szerepét tölti be.

az egyenlőségeket könnyű ellenőrizni. Így az inverz transzformáció inverz elem szerepét tölti be a transzformációk szorzásakor.

Kijelzők (funkciók)

A függvények központi szerepet játszanak a matematikában, ahol minden olyan folyamat leírására szolgálnak, amelyben az egyik halmaz elemei valamilyen módon átalakulnak egy másik halmaz elemeivé. Az elemek ilyen átalakítása olyan alapvető gondolat, amely minden számítási folyamat számára kiemelkedő jelentőségű.

Meghatározás. Az AB-n lévő f relációt nevezzük kijelző (funkció) A-ból B-be, ha minden xA-hoz csak egy yB tartozik. bináris reláció ekvivalencia beállítása

f: AB vagy y=f(x)

Az A halmazt nevezzük definíciós tartomány. B készlet - értéktartomány.

Ha y=f(x), akkor x-et hívjuk érv, és y - függvény értéke.

Legyen f: AB, akkor

definíciókészlet Jellemzők:

többféle jelentése Jellemzők:

Egy függvény definíciós halmaza a definíciós tartomány egy részhalmaza, azaz. Dom f A, és a függvényértékek halmaza a függvénytartomány egy részhalmaza, azaz. Im f B. Ha, akkor a függvényt összfüggvénynek, ha pedig parciális függvénynek nevezzük. Így egy Venn-diagram kényelmesen illusztrálja az A halmazban meghatározott függvényt a B halmazban lévő értékekkel.

A függvény megadásának módjai:

1) Szóbeli.
2) Analitikai.
3) Grafikon vagy rajz használata.
4) Táblázatok használata.

Meghatározás. Ha MA, akkor az f(M)=y f(x)=y halmazt M-ből valamilyen x-re hívjuk útállítja M.

Ha KB, akkor az f -1 (K)=x f(x)K halmazt hívjuk meg prototípusállítja be K.

Meghatározás A függvényt n-argumentumú függvénynek vagy n-áris függvénynek nevezzük. Ez a függvény leképez egy sort a bB, elemre.

A leképezések (függvények) tulajdonságai.

1) Meghívjuk az f: AB leképezést injektív, ha A-ból különböző elemeket képez le B-ből különböző elemekre: .

Ezt a tulajdonságot Venn-diagramok segítségével lehet megjeleníteni.

2) Meghívjuk az f: AB leképezést szürjektív vagy egy leképezés a teljes B halmazra, ha legalább egy elem A-ból van leképezve a B halmaz minden elemére: .

Ez a tulajdonság Venn-diagramok segítségével is megjeleníthető.

3) Az f: AB leképezést, amely injektív és szürjektív is, nevezzük bijektív vagy egy-egy leképezést A halmazból B halmazba.

Példa. Adjunk egy f: RR leképezést, amely úgy van definiálva, hogy. Nézze meg, milyen tulajdonságai vannak ennek a leképezésnek.

Megoldás. Az f függvény nem injektív, mert f (2) = f (2), de 2 2.

Az f függvény szintén nem szürjektív, mivel nincs olyan x valós szám, amelyre f (x) = 1.

Meghatározás. Legyen f egy A halmaz bijektív leképezése egy B halmazba. Ha minden B elemet társítunk egy A halmaz társított elemével, akkor ez a megfeleltetés B leképezése A halmazra. Ezt a leképezést jelöljük és ún. az inverz leképezés f-re.

Az inverz leképezésnek van néhány tulajdonsága, amelyeket a következő tételben fogunk megfogalmazni.

3. tétel. Ha f: AB bijekció, akkor