Különleges lapos ívek. Paraméteres cikloid egyenlet és egyenlet derékszögű koordinátákkal Cikloid képlet

Az elemzett példák segítettek megszokni az evolúció és az evolúció új fogalmait. Most kellőképpen felkészültünk a cikloid görbék kialakulásának tanulmányozására.

Miközben ezt vagy azt a görbét tanulmányoztuk, gyakran építettünk egy segédgörbét - ennek a görbének a „társát”.

Rizs. 89. Cikloid és kísérője.

Tehát építettünk egy egyenes és egy kör konchoidjait, egy kör fejlesztését, egy szinuszot - egy cikloid társát. Most ennek a cikloidnak a alapján megszerkesztünk egy hozzá elválaszthatatlanul kapcsolódó segédcikloidot. Kiderült, hogy egy ilyen cikloidpár együttes vizsgálata bizonyos szempontból egyszerűbb, mint egy egyedi cikloid vizsgálata. Az ilyen segédcikloidot kísérőcikloidnak nevezzük.

Tekintsük az AMB cikloid ívének felét (89. ábra). Nem szabad szégyellnünk, hogy ez a cikloid szokatlan módon ("fejjel lefelé") helyezkedik el.

Rajzoljunk 4, az AK vezetővonallal párhuzamos egyenest a, 2a, 3a és 4a távolságra. Készítsünk egy generáló kört az M pontnak megfelelő helyzetben (a 89. ábrán ennek a körnek a középpontját az O betű jelöli). Jelöljük MON elforgatási szögét -vel. Ekkor az AN szakasz egyenlő lesz (a szöget radiánban fejezzük ki).

Folytatjuk a generáló kör NT átmérőjét a T ponton túl a PP egyenes metszéspontjáig (az E pontig). A TE-t átmérőként használva kört fogunk alkotni (középponttal). Szerkesszük meg az AMB cikloid érintőjét az M pontban. Ehhez az M pontot, mint tudjuk, össze kell kötni a T ponttal (23. o.). Folytassuk az MT érintőt a T ponton túl, amíg az nem metszi a segédkört, és a metszéspontot nevezzük. Ez az a pont, amellyel most foglalkozni szeretnénk.

A MON szöget a következővel jelöltük. Ezért az MTN szög egyenlő lesz (a beírt szög ugyanazon ív alapján). A háromszög nyilvánvalóan egyenlő szárú. Ezért nem csak a szög, hanem a szög is egyenlő lesz, így a háromszög szögének törtrészére pontosan radiánok maradnak (ne feledjük, hogy a 180°-os szög egyenlő a radiánokkal). Azt is megjegyezzük, hogy az NK szegmens nyilvánvalóan egyenlő a ().

Tekintsük most azt a kört, amelynek középpontja az ábrán látható. 89 szaggatott vonal. A rajzból jól látható, hogy milyen körről van szó. Ha a CB egyenes mentén csúszás nélkül görgeti, akkor a B pontja a BB cikloidot írja le. Amikor a szaggatott kör a szögön át forog, a középpont a pontba kerül, a sugár pedig azt a pozíciót veszi fel. konstruált pontja a BB cikloidnak,

A leírt konstrukció az AMB cikloid minden M pontját a 2. ábrán látható cikloid egy pontjához társítja. 90 ez a levelezés világosabban látható. Az így kapott cikloidot kísérőnek nevezzük. ábrán. A 89. és 90. ábrán a vastag szaggatott vonalakkal ábrázolt cikloidok a vastag, folytonos vonalakkal ábrázolt cikloidokhoz viszonyítva kísérik.

ábrából 89 világos, hogy az egyenes a kísérő cikloid egy pontjában normális. Valójában ez az egyenes átmegy a cikloid pontján, valamint a generáló kör és az irányító vonal T érintő pontján (a generáló kör „legmélyebb” pontja, ahogy korábban mondtuk; most kiderült, hogy „legmagasabb”, mert a rajz el van forgatva).

De ugyanez az egyenes, felépítésénél fogva érinti az AMB „fő” cikloidot. Így az eredeti cikloid érinti a kísérő cikloid minden normálisát. Ez a kísérő cikloid normálértékeinek burkológörbéje, azaz a fejlődése. És a „kísérő” cikloidról kiderül, hogy egyszerűen az eredeti cikloid evolúciója (kibontakozása)!

Rizs. 91 A cikloid és a kísérő pontjai közötti megfelelés.

Ezzel a nehézkes, de lényegében egyszerű konstrukcióval bebizonyítottuk egy figyelemre méltó tételt, amelyet Huygens holland tudós fedezett fel. Íme ez a tétel: a cikloid fejlődése pontosan ugyanaz a cikloid, csak eltolva.

Ha nem egy ívre, hanem az egész cikloidra készítettünk egy evolúciót (amit persze csak mentálisan lehet megtenni), akkor ehhez az evolúcióhoz stb. 91, csempékre hasonlít.

Figyeljünk arra, hogy a Huygens-tétel bizonyításakor sem végtelenül kicsi, sem oszthatatlan, sem közelítő becsléseket nem használtunk. Nem is használtunk mechanikát, néha a mechanikától kölcsönzött kifejezéseket. Ez a bizonyítás teljes mértékben megfelel a 17. századi tudósok érvelésének, amikor szigorúan alá akarták támasztani a kapott eredményeket különféle vezető megfontolások segítségével.

Huygens tételéből rögtön egy fontos következmény következik. Tekintsük az AB szakaszt az ábrán. 89. Ennek a szakasznak a hossza nyilvánvalóan 4a. Most képzeljük el, hogy a cikloid AMB íve köré egy szál van feltekerve, amely az A pontban van rögzítve, és a B pontban ceruzával van ellátva. Ha „feltekerjük” a cérnát, a ceruza az AMB cikloid fejlődése mentén mozog. , azaz a BMB cikloid mentén.

Rizs. 91 A cikloid egymást követő fejlődése.

A szál hossza, amely megegyezik a cikloid félívének hosszával, nyilvánvalóan egyenlő lesz az AB szegmenssel, azaz, mint láttuk, 4a. Következésképpen a cikloid teljes ívének hossza 8a lesz, és a képlet most már meglehetősen szigorúan bizonyítottnak tekinthető.

ábrából 89 többet láthat: a képlet nemcsak a cikloid teljes ívének hosszára vonatkozik, hanem bármely ívének hosszára is. Valójában nyilvánvaló, hogy az MB ív hossza megegyezik a szakasz hosszával, azaz a cikloid megfelelő pontjában lévő kettős érintőszakasszal, amely a generáló kör belsejében található.

Cyclomis (a görög khklpeidYut - kerek) egy lapos transzcendentális görbe. A cikloidot kinematikailag úgy határozzuk meg, mint egy r sugarú generáló kör fix pontjának pályáját, amely gördül anélkül, hogy egy egyenesben csúszik.

Egyenletek

Vegyük a vízszintes koordináta tengelyt egyenesnek, amely mentén az r sugarú generáló kör gördül.

· A cikloidot parametrikus egyenletek írják le

Egyenlet derékszögű koordinátákkal:

· A cikloid megkapható a differenciálegyenlet megoldásaként:

Tulajdonságok

• · Cikloid -- periodikus függvény az x tengely mentén, 2рr periódussal. A periódus határaként célszerű a t = 2рk alakú szinguláris pontokat (visszatérési pontokat) venni, ahol k tetszőleges egész szám.
• · Egy tetszőleges A pontban lévő cikloid érintőjének megrajzolásához elegendő ezt a pontot összekötni a generáló kör felső pontjával. Az A-t a generáló kör alsó pontjához kapcsolva megkapjuk a normált.
• · A cikloid ív hossza 8r. Ezt az ingatlant Christopher Wren (1658) fedezte fel.
• · A cikloid egyes ívei alatti terület háromszor nagyobb, mint a generáló kör területe. Torricelli azt állítja, hogy ezt a tényt Galilei fedezte fel.
• · A cikloid első ívének görbületi sugara egyenlő.

• · A „fordított” cikloid a legmeredekebb ereszkedésű görbe (brachistochrone). Sőt, megvan a tautokrónia tulajdonsága is: a cikloidív bármely pontján elhelyezett nehéz test ugyanakkor éri el a vízszinteset.
• · Egy fordított cikloid mentén csúszó anyagi pont rezgési periódusa nem függ az amplitúdótól, ezt a tényt Huygens is felhasználta a precíz mechanikus órák megalkotására.
• · A cikloid evolúciója az eredetivel kongruens cikloid, azaz párhuzamosan eltolt, így a csúcsok „pontokká” alakulnak.
• · Azok a gépalkatrészek, amelyek egyidejűleg egyenletes forgási és transzlációs mozgást hajtanak végre, cikloid görbéket írnak le (cikloid, epicikloid, hipocikloid, trochoid, astroid) (vö. Bernoulli-lemniszkát konstrukciója).

A cikloid ívhosszát először Wren angol építész és matematikus számította ki 1658-ban. Wren Torricelli és Roberval első műveire emlékeztető mechanikai megfontolásokból indult ki. Egy gördülő kör nagyon kis szögben történő elforgatását vette figyelembe a generáló kör „alsó” pontja közelében. Ahhoz, hogy Wren szuggesztív megfontolások demonstratív erőt adjunk, egy sor segédtételt kellene figyelembe venni, és ennek megfelelően túl sok munkát kellene ráfordítani.

Sokkal kényelmesebb egy hosszabb, de kíméletes utat használni. Ehhez figyelembe kell venni azt a speciális görbét, amely minden lapos görbével rendelkezik - a fejlődését.

Tekintsük egy görbe vonal AB konvex ívét (4.1. ábra). Képzeljük el, hogy az AB ívhez magával az AB ívvel megegyező hosszúságú rugalmas, nyújthatatlan menetet erősítünk az AB ívre az A pontban, és ezt a szálat „tekerjük” rá a görbére és szorosan illeszkedik hozzá úgy, hogy a vége egybeessen a ponttal. B. „Kibontjuk” -- kiegyenesítjük a menetet úgy, hogy a CM menet szabad része mindig tangenciálisan az AB ívre irányuljon. Ilyen körülmények között a szál vége egy bizonyos görbét ír le. Ezt a görbét fejlődésnek vagy latinul bonyolult eredeti görbe.

Ha a görbe íve nem mindenhol konvex egy irányban, ha olyan, mint az AB görbe a 2. ábrán. 4.2, van egy C pontja, ahol a görbe érintője átmegy az egyik oldalról a másikra (az ilyen pontot inflexiós pontnak nevezzük), akkor ebben az esetben beszélhetünk a görbe alakulásáról, de az érvelés hogy kicsit bonyolultabb legyen.

Képzeljük el, hogy a menet pontosan a C inflexiós pontban van rögzítve (4.2. ábra). A BC ívről letekeredő szál leírja a BMR-görbét – a pásztázást.

Most képzeljünk el egy menetet, amely az eredeti görbe AC ​​íve köré tekeredett, de ez a szál már megnyúlt: a C pontban egy CP cérnadarabot kötünk hozzá. A megnyúlt ACP szálat a CA görbével feltekerve egy RNS ívet kapunk, amely a BMP ívvel együtt egyetlen folytonos görbét alkot – folytonos, de nem mindenhol sima: az eredeti görbe C eltérítési pontja megfelel majd a a BMRNA görbe csúcsa (visszatérési pontja): a BMRNA görbe a BCA görbe evolúciója (sweep) lesz.

Ezek a példák segítettek megszokni az evolúció és az evolúció új fogalmait. Most vizsgáljuk meg a cikloidális görbék alakulását.

Amikor ezt vagy azt a görbét tanulmányoztuk, gyakran építettünk egy segédgörbét - ennek a görbének a „társát”. Tehát egy szinuszosba kerülünk - egy cikloid társába. Most ennek a cikloidnak a alapján megszerkesztünk egy hozzá elválaszthatatlanul kapcsolódó segédcikloidot. Kiderült, hogy egy ilyen cikloidpár együttes vizsgálata bizonyos szempontból egyszerűbb, mint egy egyedi cikloid vizsgálata. Az ilyen segédcikloidot kísérőcikloidnak nevezzük.

Tekintsük az AMB cikloid ívének felét (4.3. ábra). Nem szabad szégyellnünk, hogy ez a cikloid szokatlan módon ("fejjel lefelé") helyezkedik el. Az AK vezetőegyenessel párhuzamosan húzzunk távolságokban 4 egyenest a, 2a, 3aés 4 a. Készítsünk egy generáló kört az M pontnak megfelelő pozícióban (a 4.3. ábrán ennek a körnek a középpontját az O betű jelöli). Jelöljük c-vel a MON elfordulási szöget. Ekkor az AN szakasz egyenlő lesz bc-vel (a c szöget radiánban fejezzük ki).

Folytatjuk a generáló kör NT átmérőjét a T ponton túl a PP egyenes metszéspontjáig (az E pontig). A TE-t átmérőként használva kört fogunk alkotni (O 1 középponttal). Szerkesszük meg az AMB cikloid érintőjét az M pontban. Ehhez az M pontot, mint tudjuk, össze kell kapcsolni a T ponttal. Húzza meg az MT érintőt a T ponton túl, amíg az nem metszi a segédkört, és az M 1 metszéspontot nevezzük. Ezzel az M 1 ponttal szeretnénk most foglalkozni.

A MON szöget c-vel jelöltük. Ezért az MTN szög egyenlő lesz (a beírt szög ugyanazon ív alapján). A TO 1 M 1 háromszög nyilvánvalóan egyenlő szárú. Ezért nemcsak az O 1 TM 1 szög, hanem a TM 1 O 1 szög is egyenlő lesz. Így a TO 1 M 1 szög törtrésze a TO 1 M 1 háromszögben pontosan p - q radián marad (emlékezzünk arra, hogy a 180? szög egyenlő p radiánnal). Vegyük észre azt is, hogy az NK szakasz nyilvánvalóan egyenlő b(p - q).

Tekintsünk most egy O 2 középpontú kört, amely a 4.3. ábrán szaggatott vonallal látható. A rajzból jól látható, hogy milyen körről van szó. Ha egy ÉK-i egyenes mentén csúszás nélkül görgetjük, akkor a B pontja a BB cikloidot írja le. Amikor a szaggatott kör a p - c szögben elfordul, az O 2 középpont az O 1 pontba kerül, és az O 2 B sugár az O 1 M 1 pozíciót veszi fel. Így az általunk megszerkesztett M 1 pont a BB cikloid pontja lesz.

A leírt konstrukció az AMB cikloid minden M pontját a VM 1 B cikloid M 1 pontjához rendeli. A 4.4 pontosabban mutatja ezt a megfelelést. Az így kapott cikloidot kísérőnek nevezzük. ábrán. A 4.3. és 4.4. ábrákon a vastag szaggatott vonalakkal ábrázolt cikloidok a vastag, folytonos vonalakkal ábrázolt cikloidokhoz viszonyítva kísérik.

ábrából 4.3. világos, hogy az MM 1 egyenes az M 1 pontban normális a kísérő cikloidra. Valóban, ez az egyenes áthalad a cikloid M 1 pontján, valamint a generáló kör és az irányító egyenes T érintőpontján (a generáló kör „legmélyebb” pontja, ahogy korábban mondtuk; most kiderült, hogy a „legmagasabb”, mert a rajz el van forgatva). De ugyanez az egyenes, felépítésénél fogva érinti az AMB cikloid „alapját”. Így az eredeti cikloid érinti a kísérő cikloid minden normálisát. Ez a kísérő cikloid normálértékeinek burkológörbéje, azaz. az evolúcióját. És a „kísérő” cikloidról kiderül, hogy egyszerűen az eredeti cikloid evolúciója!

Ezzel a nehézkes, de lényegében egyszerű konstrukcióval bebizonyítottuk egy figyelemre méltó tételt, amelyet Huygens holland tudós fedezett fel. Ez a tétel: A cikloid fejlődése pontosan ugyanaz a cikloid, csak eltolva.

Miután létrehoztunk egy evolúciót nem egy ívre, hanem az egész cikloidra (amit természetesen csak mentálisan lehet megtenni), majd ennek az evolúciónak egy evolúcióját stb., megkapjuk az 1. ábrát. 4,5, csempékre hasonlít.

Figyeljünk arra, hogy a Huygens-tétel bizonyításakor sem végtelenül kicsi, sem oszthatatlan, sem közelítő becsléseket nem használtunk. Nem is használtunk mechanikát, bár néha használtunk a mechanikától kölcsönzött kifejezéseket. Ez a bizonyítás teljes mértékben megfelel a 17. századi tudósok érvelésének, amikor szigorúan alá akarták támasztani a kapott eredményeket különféle vezető megfontolások segítségével.

Huygens tételéből rögtön egy fontos következmény következik. Tekintsük az AB szakaszt az ábrán. 4.4. Ennek a szakasznak a hossza nyilvánvalóan 4 a. Most képzeljük el, hogy a cikloid AMB íve köré egy szál van feltekerve, amely az A pontban van rögzítve, és a B pontban ceruzával van ellátva. Ha „feltekerjük” a cérnát, a ceruza az AMB cikloid fejlődése mentén mozog. , azaz a BM 1 B cikloid mentén. A szál hossza, amely megegyezik a cikloid félívének hosszával, nyilvánvalóan egyenlő lesz az AB szegmenssel, azaz, mint láttuk, 4 a. Ezért a teljes cikloidív L hossza 8 lesz a, és az L=8 képlet a ma már egészen szigorúan bizonyítottnak tekinthető.

Számítsuk ki az ívhosszt differenciálgeometria segítségével. Az így kapott megoldás sokkal rövidebb és egyszerűbb lesz:

Ahol t?

| r(t)|===2sin

5. Paraméteres cikloid egyenlet és egyenlet derékszögű koordinátákkal

Tegyük fel, hogy kapunk egy a sugarú kör által alkotott cikloidot, amelynek középpontja az A pontban van.

Ha a pont helyzetét meghatározó paraméterként azt a t=∟NDM szöget választjuk, amelyen keresztül a hengerlés kezdetén AO függőleges helyzetű sugárnak sikerült elforgatnia, akkor az M pont x és y koordinátái a következőképpen kell kifejezni:

x= OF = BE - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Tehát a cikloid paraméteres egyenletei a következőképpen alakulnak:

Amikor t értéke -∞-ről +∞-ra változik, egy görbét kapunk, amely végtelen számú ágból áll, mint amilyenek az ábrán láthatók.

Ezenkívül a cikloid parametrikus egyenlete mellett ott van az egyenlete is derékszögű koordinátákban:

Ahol r a cikloidot alkotó kör sugara.

6. Cikloid részei és a cikloid által alkotott alakzatok megtalálásának problémái

1. számú feladat. Határozzuk meg annak az alaknak a területét, amelyet egy cikloid egy íve határol, amelynek egyenlete parametrikusan van megadva

és az Ökör tengelye.

Megoldás. A probléma megoldásához az integrálok elméletéből ismert tényeket használjuk fel, nevezetesen:

Egy ívelt szektor területe.

Tekintsünk egy [α, β]-on definiált r = r(ϕ) függvényt.

ϕ 0 ∈ [α, β] megfelel r 0 = r(ϕ 0), és ezért az M 0 pontnak (ϕ 0, r 0), ahol ϕ 0,

r 0 - a pont poláris koordinátái. Ha ϕ megváltozik, „átfutva” a teljes [α, β]-on, akkor az M változópont valamilyen AB görbét ír le, adott

egyenlet r = r(ϕ).

Meghatározás 7.4. A görbe vonalú szektor egy olyan ábra, amelyet két ϕ = α, ϕ = β sugár és egy polárisban meghatározott AB görbe határol.

koordináták az r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β egyenlettel.

A következő igaz

Tétel. Ha az r(ϕ) > 0 és folytonos [α, β]-on, akkor a terület

A görbe vonalú szektort a következő képlettel számítjuk ki:

Ezt a tételt korábban a határozott integrál témakörben igazoltuk.

A fenti tétel alapján az a feladatunk, hogy megtaláljuk egy cikloid egy ívével határolt ábra területét, melynek egyenletét az x= a (t – sin t), y= a (1) paraméteres paraméterek adják. – cos t), és az Ox tengelyt a következő megoldásra redukáljuk.

Megoldás. A görbeegyenletből dx = a(1−cos t) dt. A cikloid első íve a t paraméter 0-ról 2π-ra történő változásának felel meg. Ennélfogva,

2. feladat. Határozzuk meg a cikloid egyik ívének hosszát!

Az alábbi tételt és következményét integrálszámításban is tanulmányoztuk.

Tétel. Ha az AB görbét az y = f(x) egyenlet adja meg, ahol f(x) és f ’ (x) folytonos -on, akkor AB egyenirányítható és

Következmény. Legyen AB paraméteresen adott

L AB = (1)

Legyenek az x(t), y(t) függvények folytonosan differenciálhatók [α, β]-on. Akkor

az (1) képlet a következőképpen írható fel

Változtassuk meg a változókat ebben az x = x(t) integrálban, akkor y’(x)= ;

dx= x’(t)dt és ezért:

Most térjünk vissza a problémánk megoldásához.

Megoldás. Van, és ezért

3. feladat. Meg kell találnunk a cikloid egyik ívének forgásából képződött S felületet

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – költség), 0≤ t ≤ 2π)

Az integrálszámításban a következő képlet létezik egy forgástest felületének meghatározására egy szakaszon parametrikusan meghatározott görbe x tengelye körül: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Ha ezt a képletet alkalmazzuk a cikloid egyenletünkre, a következőt kapjuk:

4. feladat. Határozza meg a cikloid ív elforgatásával kapott test térfogatát!

Az Ökör tengelye mentén.

Az integrálszámításban a kötetek tanulmányozásakor a következő megjegyzés van:

Ha a görbe vonalú trapézt határoló görbét paraméteres egyenletekkel adjuk meg, és az egyenletekben szereplő függvények kielégítik a változó változására vonatkozó tétel feltételeit egy bizonyos integrálban, akkor a trapéz Ox tengely körüli forgástestének térfogata képlettel kell kiszámítani

Ezzel a képlettel keressük meg a szükséges kötetet.

A probléma megoldódott.

Következtetés

A munka során tehát a cikloid alapvető tulajdonságait tisztáztuk. Megtanultuk a cikloid felépítését és megtudtuk a cikloid geometriai jelentését is. Mint kiderült, a cikloidnak nemcsak a matematikában, hanem a technológiai számításokban és a fizikában is óriási gyakorlati alkalmazásai vannak. De a cikloidnak más érdemei is vannak. A 17. század tudósai használták az íves vonalak tanulmányozására szolgáló technikák kidolgozásakor - ezek a technikák végül a differenciál- és integrálszámítás feltalálásához vezettek. Ez volt az egyik „érintkező” is, amelyen Newton, Leibniz és korai kutatóik tesztelték az új, erőteljes matematikai módszerek erejét. Végül a brachistochrone problémája vezetett a variációszámítás feltalálásához, amely a mai fizikusok számára annyira szükséges. Így kiderült, hogy a cikloid elválaszthatatlanul kapcsolódik a matematika történetének egyik legérdekesebb időszakához.

Irodalom

1. Berman G.N. Ciklois. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, vagy a cikloid másik titka // Kvantum. – 1975. - 5. sz

3. Verov S.G. A cikloid titkai // Kvantum. – 1975. - 8. sz.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Határozott integrál alkalmazásai. Módszertani utasítások és egyéni feladatok a Fizika Kar 1. évfolyamos hallgatói számára. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. A cikloid csillagkora // Kvantum. – 1985. - 6. sz.

6. Fikhtengolts G.M. A differenciál- és integrálszámítás menete. T.1. – M., 1969

Ezt a sort „borítéknak” nevezik. Minden görbe vonal az érintőinek burkolata.

Az anyag és a mozgás, valamint az általuk alkotott módszer mindenki számára lehetővé teszi az igazság megismerésében rejlő lehetőségeket. A dialektikus-materialista gondolkodásmód fejlesztésének módszertanának kidolgozása és egy hasonló megismerési módszer elsajátítása a második lépés az emberi képességek fejlesztésének és megvalósításának problémájának megoldása felé. XX. töredék Lehetőségek...

Ebben a helyzetben az emberek neuraszténiát - neurózist - alakíthatnak ki, amelynek klinikai képének alapja az aszténiás állapot. Mind a neuraszténia, mind a neuraszténiás pszichopátia dekompenzációja esetén a mentális (pszichológiai) védekezés lényege a vegetatív diszfunkciókkal járó ingerlékeny gyengeségbe való visszahúzódásban tükröződik: vagy öntudatlanul „leküzdi le” jobban a rohamot. ..

Különféle tevékenységek; az iskolások téri képzeletének és térfogalmának fejlesztése, figuratív, térbeli, logikai, elvont gondolkodása; a geometriai és grafikai ismeretek és készségek alkalmazásának képességének fejlesztése különböző alkalmazott problémák megoldására; a projekttevékenységek tartalmának és szakaszainak sorrendjének megismerése a műszaki és...

Arcs. A spirálok szintén zárt görbék evolúciói, például egy kör evolúciója. Egyes spirálok nevét a poláris egyenleteik és a derékszögű koordináták görbeegyenleteinek hasonlósága adja, például: · parabolaspirál (a - r)2 = bj, · hiperbolikus spirál: r = a/j. · Rúd: r2 = a/j · si-ci-spirál, melynek parametrikus egyenletei a következő alakúak: , )