Számítsa ki a vektor vetületeit a koordinátatengelyekre! Az erő vetülete a tengelyre

Bevezetés…………………………………………………………………………………3

1. A vektor és a skalár értéke………………………………………….4

2. Egy pont vetületének, tengelyének és koordinátájának meghatározása……………………5

3. A vektor vetítése a tengelyre………………………………………………………………6

4. A vektoralgebra alapképlete………………………………..8

5. Egy vektor modulusának kiszámítása vetületeiből………………………9

Következtetés……………………………………………………………………………………11

Irodalom……………………………………………………………………………………12

Bevezetés:

A fizika elválaszthatatlanul összefügg a matematikával. A matematika eszközöket és technikákat ad a fizikának a kísérleti vagy elméleti kutatás eredményeként feltárt fizikai mennyiségek közötti kapcsolat általános és pontos kifejezésére, hiszen a fizikában a kutatás fő módszere a kísérleti. Ez azt jelenti, hogy a tudós számításokat végez mérésekkel. A különböző fizikai mennyiségek közötti kapcsolatot jelöli. Aztán mindent lefordítanak a matematika nyelvére. Kialakul egy matematikai modell. A fizika a legegyszerűbb és egyben a legáltalánosabb törvényeket vizsgáló tudomány. A fizika feladata, hogy elménkben olyan képet alkosson a fizikai világról, amely a legteljesebben tükrözi annak tulajdonságait, és biztosítja a modell elemei között olyan kapcsolatokat, amelyek az elemek között léteznek.

Tehát a fizika modellt hoz létre a körülöttünk lévő világról, és tanulmányozza annak tulajdonságait. De minden modell korlátozott. Egy adott jelenség modelljének megalkotásakor csak azokat a tulajdonságokat és összefüggéseket veszik figyelembe, amelyek egy adott jelenségkörhöz elengedhetetlenek. Ez a tudós művészete – a sokféleség közül a legfontosabbat választani.

A fizikai modellek matematikaiak, de nem a matematika az alapjuk. A fizikai mennyiségek közötti mennyiségi összefüggéseket mérések, megfigyelések és kísérleti vizsgálatok eredményeként határozzák meg, és csak a matematika nyelvén fejezik ki. A fizikai elméletek felépítésére azonban nincs más nyelv.

1. A vektor és a skalár jelentése.

A fizikában és a matematikában a vektor olyan mennyiség, amelyet számértéke és iránya jellemez. A fizikában sok fontos mennyiség létezik, amelyek vektorok, például erő, helyzet, sebesség, gyorsulás, nyomaték, lendület, elektromos és mágneses térerősség. Más mennyiségekkel, például tömeggel, térfogattal, nyomással, hőmérséklettel és sűrűséggel szembeállíthatók, amelyek egy közönséges számmal írhatók le, és az úgynevezett " skalárok".

Szabályos betűkkel vagy számokkal (a, b, t, G, 5, −7....) írják őket. A skaláris mennyiségek lehetnek pozitívak vagy negatívak. Ugyanakkor egyes vizsgálati tárgyak rendelkezhetnek olyan tulajdonságokkal, amelyek teljes leírásához nem elegendő csupán egy számszerű mérték ismerete, ezeket a tulajdonságokat térbeli irány szerint is jellemezni kell. Az ilyen tulajdonságokat vektormennyiségek (vektorok) jellemzik. A vektorokat a skalárokkal ellentétben félkövér betűkkel jelöljük: a, b, g, F, C....
Egy vektort gyakran egy normál (nem félkövér) betűtípussal jelölnek, de felette nyíllal:

Ezenkívül egy vektort gyakran egy betűpárral jelölnek (általában nagybetűvel), ahol az első betű a vektor elejét, a második pedig a végét jelzi.

A vektor modulusát, vagyis egy irányított egyenes szakasz hosszát ugyanazokkal a betűkkel jelöljük, mint magát a vektort, de normál (nem félkövér) írással és felettük nyíl nélkül, vagy pontosan ugyanúgy vektorként (vagyis félkövérrel vagy szabályosan, de nyíllal), de ekkor a vektor megjelölése függőleges kötőjelek közé kerül.
A vektor egy összetett objektum, amelyet egyszerre jellemez a nagyság és az irány.

Nincsenek pozitív és negatív vektorok is. De a vektorok egyenlőek lehetnek egymással. Ilyenkor például a-nak és b-nek ugyanazok a moduljai vannak, és ugyanabba az irányba vannak irányítva. Ebben az esetben a jelölés igaz a= b. Szem előtt kell tartani azt is, hogy a vektorszimbólum előtt mínusz jel állhat, például -c, ez a jel azonban szimbolikusan azt jelzi, hogy a -c vektornak ugyanaz a modulja, mint a c vektornak, de az ellenkező irányba irányul. irány.

A -c vektort a c vektor ellenkezőjének (vagy inverzének) nevezzük.
A fizikában minden vektort meghatározott tartalommal töltenek meg, és az azonos típusú vektorok (például erők) összehasonlításakor az alkalmazási pontok is jelentősek lehetnek.

2. A pont vetületének, tengelyének és koordinátájának meghatározása.

Tengely- Ez egy egyenes, amely bizonyos irányt kapott.
Egy tengelyt valamilyen betűvel jelölünk: X, Y, Z, s, t... Általában a tengelyen (tetszőlegesen) kiválasztunk egy pontot, amit origónak nevezünk, és általában O betűvel jelöljük. Ettől a ponttól mérik a távolságokat a többi számunkra érdekes ponttól.

Egy pont kivetítése egy tengelyen az ebből a pontból egy adott tengelyre húzott merőleges alapja. Vagyis egy pont tengelyre vetítése pont.

Pont koordinátája egy adott tengelyen egy olyan szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengely origója és a pont erre a tengelyre vetítése között található tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben). Ezt a számot plusz előjellel vesszük, ha a pont vetülete az origójától a tengely irányában van, és mínuszjellel, ha ellenkező irányban.

3. A vektor vetítése a tengelyre.

A vektor vetülete egy tengelyre egy olyan vektor, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk egy vektor skaláris vetületét erre a tengelyre és e tengely egységvektorát. Például, ha egy x az a vektor skaláris vetülete az X tengelyre, akkor a x ·i a vektor vetülete erre a tengelyre.

A vektorvetítést ugyanúgy jelöljük, mint magát a vektort, de annak a tengelynek az indexével, amelyre a vektort vetítjük. Így az a vektor X tengelyre történő vektorvetítését x-ként (a vektort és a tengely nevének alsó indexét jelölő félkövér betű) jelöljük, ill.

(egy vektort jelölő alacsony félkövér betű, de felül nyíllal (!) és a tengely nevének alsó indexével).

Skaláris vetítés tengelyenkénti vektort nevezzük szám, melynek abszolút értéke megegyezik a vektor kezdőpontjának és végpontjának vetületei közé zárt (a kiválasztott léptékben) tengelyszakasz hosszával. Általában a kifejezés helyett skaláris vetület egyszerűen azt mondják - kivetítés. A vetületet ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a vetített vektort (normál, nem félkövér írással), alacsonyabb indexszel (szabály szerint) annak a tengelynek a nevével, amelyre ez a vektor vetítésre kerül. Például, ha egy vektort az X tengelyre vetítünk A, akkor a vetületét x-szel jelöljük. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyre vetítjük, ha a tengely Y, akkor a vetületét y-nak jelöljük.

A vetület kiszámításához vektor egy tengelyen (például az X tengelyen) ki kell vonni a kezdőpont koordinátáját a végpontjának koordinátájából, azaz

a x = x k − x n.

Egy vektor tengelyre vetítése egy szám. Ezenkívül a vetítés lehet pozitív, ha az x k érték nagyobb, mint az x n,

negatív, ha az x k érték kisebb, mint az x n

és egyenlő nullával, ha x k egyenlő x n-nel.

Egy vektor tengelyre vetítése úgy is megtalálható, ha ismerjük a vektor modulusát és a tengellyel bezárt szöget.

Az ábrából jól látható, hogy a x = a Cos α

Ez azt jelenti, hogy a vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vektor modulusának és a tengely iránya és a tengely iránya közötti szög koszinuszának szorzatával. vektor iránya. Ha a szög hegyes, akkor
Cos α > 0 és a x > 0, és ha tompaszög, akkor a tompaszög koszinusza negatív, és a vektor tengelyre vetítése is negatív lesz.

A tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban mért szögeket pozitívnak, a tengely mentén mért szögeket negatívnak tekintjük. Mivel azonban a koszinusz páros függvény, azaz Cos α = Cos (− α), a vetületek számításakor a szögek az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes irányban is számolhatók.

Egy vektor tengelyre vetített vetületének meghatározásához ennek a vektornak a modulusát meg kell szorozni a tengely iránya és a vektor iránya közötti szög koszinuszával.

4. A vektoralgebra alapképlete.

Vetítsünk a vektort a derékszögű koordinátarendszer X és Y tengelyére. Keressük meg az a vektor vektorvetületeit ezeken a tengelyeken:

a x = a x ·i, és y = a y ·j.

De a vektorösszeadás szabályának megfelelően

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Így egy vektort a vetületei és a téglalap alakú koordináta-rendszer vektorai (illetve a vektorvetületei) fejeztünk ki.

Az a x és a y vektorvetületeket az a vektor komponenseinek vagy komponenseinek nevezzük. Az általunk végrehajtott műveletet egy vektor téglalap alakú koordinátarendszer tengelyei mentén történő felosztásának nevezzük.

Ha a vektor térben adott, akkor

a = a x i + a y j + a z k.

Ezt a képletet a vektoralgebra alapképletének nevezzük. Persze lehet így is írni.

A VEKTORALGEBRA ALAPVETŐ FOGALMAI

Skaláris és vektoros mennyiségek

Az elemi fizika során ismert, hogy bizonyos fizikai mennyiségeket, mint például a hőmérséklet, térfogat, testtömeg, sűrűség stb., csak egy számérték határoz meg. Az ilyen mennyiségeket ún skaláris mennyiségek vagy skalárok.

Egyes más mennyiségek, például erő, sebesség, gyorsulás és hasonlók meghatározásához a számértékeken kívül ezek irányát is meg kell adni a térben. Olyan mennyiségeket nevezünk, amelyeket abszolút értékükön kívül irány is jellemez vektor.

Meghatározás A vektor egy irányított szakasz, amelyet két pont határoz meg: az első pont határozza meg a vektor elejét, a második pedig a végét. Ezért mondják azt is, hogy a vektor rendezett pontpár.

Az ábrán a vektort egyenes szakaszként ábrázoltuk, amelyen nyíllal jelöljük a vektor elejétől a végéig tartó irányt. Például a 3. ábra. 2.1.

Ha a vektor eleje egybeesik a ponttal , a vége pedig ponttal , akkor a vektort jelöljük
. Ezenkívül a vektorokat gyakran egy kis betűvel jelölik, felette nyíllal . A könyvekben néha kihagyják a nyilat, ekkor félkövér betűtípust használnak a vektor jelzésére.

A vektorok közé tartozik nulla vektor, amelynek eleje és vége egybeesik. Ki van jelölve vagy egyszerűen .

A vektor kezdete és vége közötti távolságot vektornak nevezzük hossz, vagy modul. A vektormodult két függőleges sáv jelzi a bal oldalon:
, vagy nyilak nélkül
vagy .

Az egy egyenessel párhuzamos vektorokat nevezzük kollineáris.

Az azonos síkban fekvő vagy azzal párhuzamos vektorokat nevezzük egysíkú.

A nullvektort bármely vektorral kollineárisnak tekintjük. A hossza 0.

Meghatározás Két vektor
És
egyenlőnek nevezzük (2.2. ábra), ha:
1)kollineáris; 2) egyirányú 3) egyenlő hosszúságú.

Így van írva:
(2.1)

A vektorok egyenlőségének definíciójából az következik, hogy ha egy vektort párhuzamosan viszünk át, akkor egy olyan vektort kapunk, amely megegyezik a kezdetivel, ezért a vektor eleje a tér bármely pontjában elhelyezhető. Az olyan vektorokat (az elméleti mechanikában, geometriában), amelyek kezdete a tér bármely pontjában elhelyezhető, ún. ingyenes. És pontosan ezeket a vektorokat fogjuk figyelembe venni.

Meghatározás Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak ilyen állandók
, amelyek között van legalább egy, amely különbözik a nullától, és amelyre érvényes az egyenlőség.

Meghatározás Egy térbeli bázist tetszőleges három nem egysíkú vektornak nevezünk, amelyeket egy bizonyos sorrendben veszünk fel.

Meghatározás Ha
- bázis és vektor, majd a számok
vektorkoordinátáknak nevezzük ezen az alapon.

A vektor koordinátáit a vektor megjelölése után zárójelbe írjuk. Például,
azt jelenti, hogy a vektor valamilyen választott alapon a következő kiterjesztéssel rendelkezik:
.

A vektorok számmal való szorzásának és vektorok összeadásának tulajdonságaiból következik a koordinátákkal meghatározott vektorokon végzett lineáris műveletekre vonatkozó állítás.

Egy vektor koordinátáinak megtalálásához, ha a kezdetének és végének koordinátái ismertek, ki kell vonni a kezdet koordinátáját a végének megfelelő koordinátájából.

Lineáris műveletek vektorokon

A vektorokon végzett lineáris műveletek a vektorok összeadásának (kivonásának) és a vektorok számmal való szorzásának műveletei. Nézzük meg őket.

Meghatározás Egy vektor szorzata számonként
a vektorral egybeeső vektort nevezzük , Ha
, ellenkező irányú, ha
negatív. Ennek a vektornak a hossza egyenlő a vektor hosszának szorzatával számmodulonként
.

P példa . Építsd meg a vektort
, Ha
És
(2.3. ábra).

Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, a koordinátái megszorozódnak ezzel a számmal.

Valóban, ha , akkor

Egy vektor szorzata tovább
vektornak nevezzük
;
- ellentétes irányú .

Vegyük észre, hogy egy vektort hívunk meg, amelynek hossza 1 egyetlen(vagy orto).

Egy vektor számmal való szorzásának műveletét használva bármely vektor kifejezhető azonos irányú egységvektorral. Valóban, a vektor elosztása a hosszához (azaz szorzás tovább ), a vektorral azonos irányú egységvektort kapunk . Jelölni fogjuk
. Ebből következik, hogy
.

Meghatározás Két vektor összege És vektornak nevezzük , amely közös origójukból származik, és egy olyan paralelogramma átlója, amelynek oldalai vektorok És (2.4. ábra).

.

Az egyenlő vektorok definíciója szerint
Ezért
-háromszög szabály. A háromszögszabály tetszőleges számú vektorra kiterjeszthető, és így megkapjuk a sokszögszabályt:
egy vektor, amely összeköti az első vektor kezdetét az utolsó vektor végével (2.5. ábra).

Tehát egy összegvektor összeállításához a második elejét az első vektor végéhez, a harmadik elejét a második végéhez kell csatolni, és így tovább. Ekkor az összeg vektora lesz az a vektor, amely összeköti az első vektor elejét az utolsó végével.

Vektorok hozzáadásakor a megfelelő koordináták is hozzáadódnak

Valóban, ha
,

Ha a vektorok
És nem egysíkúak, akkor összegük átló
ezekre a vektorokra épített paralelepipedon (2.6. ábra)

,

Ahol

Tulajdonságok:

- kommutativitás;

- asszociativitás;

- eloszlás a számmal való szorzáshoz képest

.

Azok. vektorösszeg ugyanazon szabályok szerint transzformálható, mint egy algebrai összeg.

MeghatározásKét vektor különbsége És egy ilyen vektort nevezünk , amelyet a vektorhoz hozzáadva vektort ad . Azok.
Ha
. Mértanilag vektorokra épített paralelogramma második átlóját ábrázolja És közös kezdetű és a vektor végéről irányítva a vektor végére (2.7. ábra).

Vektor vetítése egy tengelyre. A vetületek tulajdonságai

Emlékezzünk vissza a számtengely fogalmára. A számtengely egy olyan egyenes, amelyen meghatározzák:

irány (→);

eredet (O pont);

egy szegmens, amelyet mértékegységnek veszünk.

Legyen vektor
és tengely . Pontokból És engedje le a merőlegeseket a tengelyre . Vegyük a pontokat És - pontok vetületei És (2.8 a ábra).

Meghatározás Vektoros vetítés
tengelyenként a szakasz hosszának nevezzük
ez a tengely, amely a vektor eleje és vége vetületeinek alapjai között helyezkedik el
tengelyenként . Pluszjellel veszi, ha a szakasz iránya
egybeesik a vetítési tengely irányával, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek. Kijelölés:
.

RÓL RŐL meghatározás Szög vektor között
és tengely szögnek nevezzük , amelyhez a tengelyt a lehető legrövidebb úton kell elfordítani hogy egybeessen a vektor irányával
.

meg fogjuk találni
:

A 2.8a ábra a következőket mutatja:
.

ábrán. 2.8 b): .

Egy vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vektor hosszának, valamint a vektor és a vetületek tengelye közötti szög koszinuszának szorzatával:
.

A vetületek tulajdonságai:

Ha
, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük

Példa . Adott vektorok
,
.Akkor

.

Példa. Ha a vektor kezdete
ponton van
, és a vége a pontnál van
, majd a vektor
koordinátái vannak:

RÓL RŐL meghatározás Szög két vektor között És a legkisebb szögnek nevezzük
(2.13. ábra) e vektorok között, közös origóra redukálva .

Szög vektorok között És szimbolikusan így írva: .

A definícióból az következik, hogy a szög vektorok között változhat belül
.

Ha
, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük.

.

Meghatározás. A vektor koordinátatengelyű szögeinek koszinuszait a vektor iránykoszinuszainak nevezzük. Ha a vektor
szögeket képez a koordinátatengelyekkel

.

A konvergáló erők egyensúlyi problémáinak megoldása zárt erőpoligonok felépítésével nehézkes konstrukciókat igényel. Az ilyen problémák megoldásának univerzális módszere, ha továbblépünk az adott erők vetületeinek koordinátatengelyekre történő meghatározásához, és ezekkel a vetületekkel dolgozunk. A tengely egy egyenes, amelyhez meghatározott irány van hozzárendelve.

A vektor vetülete egy tengelyre egy skaláris mennyiség, amelyet a vektor elejétől és végétől ráesett merőlegesek által levágott tengelyszakasz határoz meg.

Egy vektorvetítés akkor tekinthető pozitívnak, ha a vetítés kezdetétől a végéig tartó irány egybeesik a tengely pozitív irányával. Egy vektorvetítés akkor tekinthető negatívnak, ha a vetítés kezdetétől a végéig tartó irány ellentétes a tengely pozitív irányával.

Így az erő vetülete a koordinátatengelyre egyenlő az erőmodulus és az erővektor és a tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával.

Tekintsünk néhány olyan esetet, amikor erőket vetítünk egy tengelyre:

Erővektor F(15. ábra) hegyesszöget zár be az x tengely pozitív irányával.

A vetület megtalálásához az erővektor elejétől és végétől leengedjük a tengelyre merőlegeseket ó; kapunk

1. F x = F cos α

A vektor vetülete ebben az esetben pozitív

Kényszerítés F(16. ábra) a tengely pozitív irányával van x tompaszög α.

Akkor F x = F cos α, de mivel α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Az erő kivetítése F tengelyenként ó ebben az esetben negatív.

Kényszerítés F(17. ábra) a tengelyre merőlegesen ó.

Az F erő vetülete a tengelyre x egyenlő nullával

F x = F cos 90° = 0.

A repülőgépen található erő hogyan(18. ábra), két koordinátatengelyre vetíthető ÓÉs OU.

Erő F részekre bontható: F x és F y. Vektor modul F x egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként ökör, és a vektormodulus F y egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként ó.

Δ-től OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

Δ-től OAS: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Az erő nagyságát a Pitagorasz-tétel segítségével találhatjuk meg:

Egy vektorösszeg vagy eredő vetülete bármely tengelyre megegyezik a vektorok összegének ugyanazon tengelyre vetített vetületeinek algebrai összegével.

Vegye figyelembe a konvergáló erőket F 1 , F 2 , F 3, és F 4, (19. ábra, a). Ezen erők geometriai összege vagy eredője F az erőpoligon záró oldala határozza meg

Az erő sokszög csúcsaiból ugorjunk a tengelyre x merőlegesek.

Figyelembe véve a közvetlenül az elkészült konstrukcióból kapott erőkivetítéseket, megvan

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

ahol n a vektortagok száma. Vetületeik a megfelelő előjellel lépnek be a fenti egyenletbe.

Egy síkban az erők geometriai összege két koordinátatengelyre, térben pedig háromra vetíthető.

A tengely az irány. Ez azt jelenti, hogy a tengelyre vagy egy irányított egyenesre vetítés azonosnak tekinthető. A vetítés lehet algebrai vagy geometriai. Geometriai értelemben egy vektor tengelyre vetítését vektorként, algebrai értelemben pedig számként értjük. Vagyis a vektor tengelyre vetítése és a vektor numerikus vetítése tengelyre fogalmát használják.

Ha van egy L tengelyünk és egy nem nulla A B → vektorunk, akkor megszerkeszthetünk egy A 1 B 1 ⇀ vektort, amely az A 1 és B 1 pontjainak vetületeit jelöli.

A 1 B → 1 lesz az A B → vektor L-re vetítése.

1. definíció

A vektor vetítése a tengelyre olyan vektor, amelynek eleje és vége egy adott vektor kezdetének és végének vetületei. n p L A B → → az A B → vetületet L-re szokás jelölni. Az L-re vetítés megalkotásához merőlegeseket dobunk L-re.

1. példa

Példa vektorvetítésre egy tengelyre.

Az O x y koordinátasíkon az M 1 (x 1, y 1) pont van megadva. Az M 1 pont sugárvektorának leképezéséhez O x és O y vetületeket kell készíteni. Megkapjuk az (x 1, 0) és (0, y 1) vektorok koordinátáit.

Ha a → egy nem nulla b →-re vetítéséről vagy a → b → irányra vetítéséről beszélünk, akkor a → vetületét értjük arra a tengelyre, amellyel a b → irány egybeesik. Az a → vetületét a b → által meghatározott egyenesre n p b → a → → jelöljük. Ismeretes, hogy amikor az a → és b → közötti szög, n p b → a → → és b → együttirányúnak tekinthető. Abban az esetben, ha a szög tompa, n p b → a → → és b → ellentétes irányú. A → és b → merőlegességi helyzetben, és a → nulla, a → b → irányú vetülete a nulla vektor.

Egy vektor tengelyre vetítésének numerikus jellemzője a vektor numerikus vetülete egy adott tengelyre.

2. definíció

A vektor numerikus vetítése a tengelyre egy olyan szám, amely egyenlő egy adott vektor hosszának és az adott vektor és a tengely irányát meghatározó vektor közötti szög koszinuszának szorzatával.

A B → L-re való numerikus vetületét n p L A B → , a → b → - n p b → a → numerikus vetületét jelöljük.

A képlet alapján n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , ahonnan a → az a → vektor hossza, a ⇀ , b → ^ az a → vektorok közötti szög. és b → .

Megkapjuk a numerikus vetület kiszámításának képletét: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Alkalmazható ismert a → és b → hosszúságokra és a köztük lévő szögekre. A képlet az ismert a → és b → koordinátákra alkalmazható, de van egy egyszerűsített forma is.

2. példa

Határozza meg a → numerikus vetületét egy b → irányú egyenesre, amelynek hossza a → 8, és közöttük 60 fokos szög van. Feltétel szerint a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Ez azt jelenti, hogy a számértékeket behelyettesítjük az n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60° = 8 · 1 2 = 4 képletbe.

Válasz: 4.

Ha ismert cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , akkor a → , b → a → és b → skaláris szorzata. Az n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ képletből követve megtalálhatjuk a b → vektor mentén irányított a → numerikus vetületet, és kapjuk n p b → a → = a → , b → b → . A képlet megegyezik a bekezdés elején megadott meghatározással.

3. definíció

Az a → vektor numerikus vetülete egy b →-vel egybeeső tengelyre az a → és b → vektorok skaláris szorzatának a b → hosszhoz viszonyított aránya. Az n p b → a → = a → , b → b → képlet arra használható, hogy a → numerikus vetületét olyan egyenesre találjuk, amely egybeesik a b → -vel, ismert a → és b → koordinátákkal.

3. példa

Adott b → = (- 3 , 4) . Keresse meg az a → = (1, 7) numerikus vetületet L-re.

Megoldás

A koordinátasíkon n p b → a → = a → , b → b → alakja n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2, ahol a → = (a x, a y ) és b → = b x , b y . Az a → vektor L tengelyre való numerikus vetületének megtalálásához a következőkre van szükség: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (-3) + 7 · 4 (-3) 2 + 4 2 = 5.

Válasz: 5.

4. példa

Határozzuk meg a → vetületét L-re, amely egybeesik a b → iránnyal, ahol van a → = - 2, 3, 1 és b → = (3, - 2, 6). Meg van adva a háromdimenziós tér.

Megoldás

Adott a → = a x, a y, a z és b → = b x, b y, b z, kiszámítjuk a skaláris szorzatot: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . A b → hosszúságot a b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 képlet segítségével találjuk meg. Ebből következik, hogy az a → numerikus vetület meghatározásának képlete a következő lesz: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Helyettesítsük be a számértékeket: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Válasz: - 67.

Nézzük meg az L-en lévő a → és az L-en lévő a → vetület hossza közötti kapcsolatot. Rajzoljunk egy L tengelyt, hozzáadva a → és b → egy L-en lévő ponthoz, amely után merőleges egyenest húzunk a → végétől L-ig, és húzunk egy vetületet L-re. A képnek 5 változata van:

Első az a → = n p b → a → → eset jelentése a → = n p b → a → → , tehát n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Második az eset az n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → használatát jelenti, ami azt jelenti, hogy n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Harmadik az eset megmagyarázza, hogy ha n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, akkor n p b → a → → = 0 és n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Negyedik az eset n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ezt követi n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Ötödik az eset a → = n p b → a → → , ami azt jelenti, hogy a → = n p b → a → → , ezért van n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4. definíció

Az a → vektor numerikus vetülete az L tengelyre, amely ugyanúgy irányított, mint a b →, a következő értékű:

• az a → vektor L-re vetítésének hossza, feltéve, hogy a → és b → közötti szög kisebb, mint 90 fok, vagy egyenlő 0-val: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ feltétellel (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulla, feltéve, hogy a → és b → merőlegesek: n p b → a → = 0, ha (a → , b → ^) = 90 °;
• az a → L-re vetítés hossza, megszorozva -1-gyel, ha az a → és a b → vektorok tompa vagy egyenes szöge van: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° feltétellel< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5. példa

Adott az a → L-re vetítés hossza, egyenlő 2-vel. Határozzuk meg az a → numerikus vetületet, feltéve, hogy a szög 5 π 6 radián.

Megoldás

A feltételből világos, hogy ez a szög tompaszög: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Válasz: - 2.

6. példa

Adott egy O x y z sík, amelynek vektorhossza a → egyenlő 6 3, b → (- 2, 1, 2) 30 fokos szöggel. Keresse meg az a → vetület koordinátáit az L tengelyre.

Megoldás

Először kiszámítjuk az a → vektor numerikus vetületét: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Feltétel szerint a szög hegyes, ekkor a numerikus vetület a → = az a → vektor vetületének hossza: n p L a → = n p L a → → = 9. Ez az eset azt mutatja, hogy az n p L a → → és a b → vektorok együtt irányítottak, ami azt jelenti, hogy van egy t szám, amelyre igaz az egyenlőség: n p L a → → = t · b → . Innen látjuk, hogy n p L a → → = t · b → , ami azt jelenti, hogy megtaláljuk a t paraméter értékét: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Ekkor n p L a → → = 3 · b → az a → vektor L tengelyre vetítésének koordinátáival egyenlő b → = (- 2 , 1 , 2) , ahol az értékeket meg kell szorozni 3. Van n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Válasz: (- 6, 3, 6).

A vektorok kollinearitási feltételére vonatkozóan meg kell ismételni a korábban tanult információkat.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

3. § Vektor vetületei a koordináta tengelyekre

1. Vetületek geometriai keresése.

Vektor
- a vektor vetítése a tengelyre ÖKÖR
- a vektor vetítése a tengelyre OY

1. definíció. Vektoros vetítés bármely koordinátatengelyen egy plusz vagy mínusz előjellel felvett szám, amely megfelel a vektor elejétől és végétől a koordinátatengelyre ejtett merőlegesek alapjai között elhelyezkedő szakasz hosszának.

A vetületi jel a következőképpen van definiálva. Ha a koordinátatengely mentén haladva a vektor kezdetének vetületi pontjától a vektor végének vetületi pontjáig elmozdulás történik a tengely pozitív irányában, akkor a vektor vetülete pozitívnak tekinthető . Ha a tengellyel ellentétes, akkor a vetítés negatívnak minősül.

Az ábrán látható, hogy ha a vektor a koordinátatengellyel ellentétes irányban van orientálva, akkor a vetülete erre a tengelyre negatív. Ha egy vektor valamilyen módon a koordinátatengely pozitív irányába van orientálva, akkor a vetülete erre a tengelyre pozitív.

Ha egy vektor merőleges a koordinátatengelyre, akkor a vetülete erre a tengelyre nulla.
Ha egy vektor egy irányú egy tengellyel, akkor a vetülete erre a tengelyre megegyezik a vektor abszolút értékével.
Ha egy vektor a koordinátatengellyel ellentétes irányban irányul, akkor a vetülete erre a tengelyre abszolút értékben megegyezik a mínusz előjellel vett vektor abszolút értékével.

2. A projekció legáltalánosabb definíciója.

Derékszögű háromszögből ABD: .

2. definíció. Vektoros vetítés bármely koordinátatengelyen egy szám, amely egyenlő a vektor modulusának és a vektor által a koordinátatengely pozitív irányával alkotott szög koszinuszának szorzatával.

A vetítés előjelét a vektor pozitív tengelyirányú szögének koszinuszának előjele határozza meg.
Ha a szög hegyes, akkor a koszinusz pozitív előjelű és a vetületek pozitívak. Tompaszögeknél a koszinusz negatív előjelű, így ilyen esetekben a tengelyre vetítések negatívak.
- ezért a tengelyre merőleges vektoroknál a vetítés nulla.