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세트 정의 기능은 세트를 표시합니다. 디스플레이

이제 집합 간의 관계와 관련된 몇 가지 문제를 살펴보겠습니다.

우리는 세트 사이에 주어진다고 말할 것입니다 태도(관계에 있음) from의 일부(아마도 모든) 요소가 from의 일부 요소에 해당하는 경우입니다. 집합이 집합과 관계에 있으면 다음과 같이 작성합니다.

동시에 요소가 요소와 연관되어 있으면 이를 표시합니다.

정의 1.1.2.집합 사이의 관계를 이라고 합니다. 표시하다, 각각에 하나의 요소만 할당된 경우(그림 1.1.2 및 1.1.3 참조). 집합의 특성이 전문화됨에 따라 "함수"라는 특별한 이름을 갖는 특별한 유형의 매핑이 발생합니다. " 벡터 함수", "연산자", "측정", "함수" 등. 나중에 만나보겠습니다.

v의 함수(매핑)를 표시하기 위해 다음 표기법을 사용합니다.

그림 1.1.2. 그림 1.1.3이 아닌 관계를 표시합니다.

표시하다

정의 1.1.3. 가 요소인 경우 이에 해당하는 요소는 이미지(표시될 때)라고 불리며, 모든 요소의 세트는 프로토타입이라고 불리며 지정됩니다(그림 1.1.4 참조).

그림 1.1.4. 원기비

정의 1.1.4.매핑이 호출됩니다. 일대일 매핑, 각 요소가 매핑 아래에 고유한 이미지를 갖고 각 요소가 이 매핑 아래에 고유한 역 이미지를 갖는 경우입니다.

그림 1.1.5. 일대일 매핑

다음에서는 다중값 매핑을 단일값 매핑(단순히 매핑이라고 함)으로 줄이는 기술이 있기 때문에 매핑만 고려할 것입니다.

매핑의 개념은 수학에서 중요한 역할을 하며, 특히 수학적 분석에서는 개념이 중심 위치를 차지합니다. 기능, 이는 하나의 숫자 세트를 다른 숫자 세트로 매핑하는 것입니다.

1.7. 세트의 힘

세트 간의 관계를 연구할 때 세트의 "볼륨", 즉 세트에 포함된 요소의 수는 매우 중요합니다. 그러나 요소의 수에 대해 이야기하는 것은 이 수가 유한하다면 이해 가능하고 타당합니다. 유한한 수의 요소로 구성된 집합이 호출됩니다. 결정적인 . 그러나 수학에서 고려되는 많은 집합은 유한하지 않습니다. 예를 들어 실수 집합, 평면 위의 점 집합, 특정 세그먼트에 정의된 연속 함수 집합 등이 있습니다. 무한(심지어 유한) 집합을 정량적으로 특성화하기 위해 집합 이론은 다음 개념을 사용합니다. 세트의 힘 .

우리는 세트가 같은 힘 , 집합에서 집합으로의 일대일 매핑이 있는 경우(이 경우 집합 B에서 집합 A로의 일대일 매핑도 있음에 유의하세요).

세트의 카디널리티가 동일하면 다음과 같이 말할 수 있습니다. 동등한 , 이는 다음으로 지정됩니다: .

임의의 집합이라고 하자.

저것들. 모든 집합은 그 자체와 동일합니다. 세트가 세트와 동일하면 동일합니다. 마지막으로 집합이 집합과 동등한 집합과 동일하면 동등합니다.

자신의 진부분집합과 동등한 집합을 집합이라고 한다. 끝없는 .

유한 집합에 요소 수가 다른 경우 그 중 하나가 다른 것보다 적은 수의 요소를 포함한다는 것이 분명합니다. 이런 의미에서 무한 집합을 어떻게 비교할 수 있습니까? 세트와 동일한 세트의 부분 집합이 있지만 세트 자체는 동일하지 않은 경우 세트의 카디널리티가 세트의 카디널리티보다 작다고 말할 수 있습니다.

유한 집합의 카디널리티 해당 요소의 수와 같습니다. 무한 집합의 경우 "카디널리티" 개념은 "요소 수" 개념을 일반화한 것입니다.

다음에 유용한 몇 가지 집합 클래스를 지정해 보겠습니다.

집합을 셀 수 있는 집합이라고 합니다. , 집합의 일부 하위 집합(자연수 집합)과 동일한 카디널리티를 갖는 경우. 셀 수 있는 집합은 유한하거나 무한할 수 있습니다.

무한 집합은 그것이 자연수의 집합과 동일한 경우에만 셀 수 있습니다.

카디널리티가 무한 셀 수 있는 세트의 카디널리티보다 작은 집합은 유한하다는 점에 유의하세요.

0에서 1까지의 간격에 있는 실수의 집합은 다음과 같습니다. 전력 연속체 , 그 자체는 종종 호출됩니다. 연속체 . 이 세트의 카디널리티는 무한 셀 수 있는 세트의 카디널리티보다 큽니다. 질문이 생깁니다: 카디널리티가 무한 셀 수 있는 집합의 카디널리티보다 크고 연속체의 카디널리티보다 작은 집합이 있습니까? 이 문제는 세계 최고의 수학자 중 한 명인 David Hilbert가 1900년에 공식화했습니다. 이 문제에는 다소 예상치 못한 답이 있는 것으로 밝혀졌습니다. 우리는 그러한 집합이 존재한다고 가정할 수도 있고 존재하지 않는다고 가정할 수도 있습니다. 결과적인 수학적 이론은 일관성이 있을 것입니다. 이 사실에 대한 증거는 1965년 모스크바에서 열린 세계 수학자 회의에서 미국 과학자 코헨에 의해 보고되었습니다. 이 문제의 상황은 유클리드의 다섯 번째 가정의 상황과 유사하다는 점에 유의하십시오. 즉, 주어진 선 외부에 있는 점을 통해 주어진 선에 평행한 선 하나만 그릴 수 있습니다. Lobachevsky가 보여준 것처럼, 이 가정을 거부한다고 해서 모순이 발생하지는 않습니다. 우리는 이 가정이 유지되는 기하학과 그것이 사실이 아닌 기하학을 구성할 수 있습니다.

결론적으로 우리는 집합의 동등성을 증명하는 방법론을 보여주는 몇 가지 예를 제공합니다.

예제 1.11.정수 집합은 셀 수 있습니다.

문제의 집합이 무한하다는 것은 분명합니다(자연수의 집합은 그 부분집합입니다).

정수 집합의 가산성을 증명하려면 자연수 집합과 문제의 집합 사이의 일대일 매핑을 구성해야 합니다. 필요한 매핑은 규칙에 따라 제공됩니다. 정수를 다음과 같이 정렬합니다.

자연수로 번호를 다시 매기고 숫자를 할당합니다(해당 정수 옆에 표시됨). 분명히, 각 정수는 다른 숫자를 받게 되며, 다른 숫자는 다른 숫자를 받습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 자연수(모든 숫자)에 대해 이 숫자 아래에는 단일 정수도 있습니다. 따라서 필요한 일대일 매핑이 구성됩니다.

예 1.12. 유리수 집합은 셀 수 있습니다.

모든 유리수는 기약분수 p/q로 표현될 수 있다는 것이 알려져 있으며, 이 표현을 사용하여 우리는 다음 체계에 따라 유리수를 배열할 것입니다:

. . . . . .

이전 예와 거의 같은 방식으로 이 숫자의 번호를 다시 매기겠습니다(숫자는 숫자 옆의 괄호 안에 상단에 표시되어 있습니다). 유리수 번호 매기기를 위해 공식화된 규칙이 자연수 집합에서 유리수 집합으로 필요한 일대일 매핑을 제공하는지 쉽게 확인할 수 있습니다.

예제 1.13. 셀 수 있는 집합의 합집합은 셀 수 있는 집합입니다.

이 사실의 증명은 이전 예의 진술 증명과 유사합니다.

결론적으로, 우리는 추가 논의를 위해 중요한 진술을 제시합니다. 하지만 이를 위해서는 세트에 대한 작업이 하나 더 필요합니다.

세트 직거래 제품 그리고( 데카르트 곱 )는 모든 순서쌍의 집합입니다. 여기서 및 이 세트는 지정되어 있습니다. 따라서:

요인의 곱을 표시해 보겠습니다.

정리 1.1. 또한 무한한 집합에 대해서도 마찬가지입니다.

특히, 즉 직선 위의 점 집합은 평면 위의 점 집합과 동일한 카디널리티를 갖습니다. 게다가 공간에는 직선의 수만큼 많은 점이 있습니다.

이것은 현대 수학의 기초인 수학적 논리와 집합론의 기본 개념에 대한 우리의 친분을 마무리합니다. 불행히도 이 이론의 많은 측면은 이 장의 범위를 벗어나는 것으로 남아 있습니다. 예를 들어 and를 통해 알 수 있습니다.

주입, 주입 및 전단사

매핑 f:X(또는 함수 /)를 정의하는 규칙은 일반적으로 화살표로 표시될 수 있습니다(그림 2.1). 집합 Y에 화살표가 가리키는 요소가 하나 이상 있으면 이는 함수 f의 값 범위가 전체 집합 Y를 채우지 않음을 나타냅니다. 에프(엑스)씨와이.

값의 범위 /가 Y와 일치하는 경우, 즉 f(X) = Y인 경우 이러한 함수를 전사(surjective) 또는 짧게 전사라고 하며 함수 /는 집합 X를 집합 Y에 매핑한다고 합니다(집합 X를 집합 Y에 매핑하는 일반적인 경우와 대조적). 정의 2.1)에 따라 집합 Y. 따라서 / : X는 Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y인 경우 전사입니다. 이 경우 그림에서 적어도 하나의 화살표가 집합 Y의 각 요소로 연결됩니다(그림 2.2). 이 경우 여러 개의 화살표가 Y의 일부 요소로 이어질 수 있습니다. 화살표가 하나만 y € Y 요소로 연결되면 /를 주입 함수 또는 주입이라고 합니다. 이 함수는 반드시 전사적일 필요는 없습니다. 화살표는 집합 Y의 모든 요소로 연결되지 않습니다(그림 2.3).

따라서 /: X -Y Y 함수는 매핑 시 X의 서로 다른 두 요소가 이미지로 있는 경우 주입입니다. / Y의 서로 다른 두 요소 또는 Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y입니다. 주입, 주입 및 전단사. 역방향 매핑. 매핑의 구성은 집합의 곱입니다. 일정을 표시합니다. /: X->Y 매핑을 전단사(bijection) 또는 전단사(bi-jection)라고 합니다. y 6 Y의 각 요소가 일부의 이미지이고 X의 유일한 요소인 경우, 즉 Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

실제로 이 경우 함수 /는 집합 X와 Y 사이에 일대일 대응을 설정하므로 종종 일대일 함수라고 불립니다. 분명히, 함수 /는 그것이 단사이기도 하고 전사이기도 한 경우에만 전단사입니다. 이 경우 화살표(그림 2.4)는 X의 각 요소를 Y의 각 요소와 쌍으로 연결합니다. 또한 /는 단사형이므로 X의 두 요소를 Y의 동일한 요소에 화살표로 연결할 수 없습니다. 매핑 정의 2.1의 이미지 고유성 요구 사항으로 인해 Y의 두 요소를 X의 동일한 요소에 화살표로 연결할 수 없습니다. X가 함수 /의 정의역이므로 X의 각 요소는 쌍 연결에 참여합니다. 마지막으로 /가 전사이기 때문에 Y의 각 요소도 쌍 중 하나에 참여합니다. 이 경우 X와 Y의 역할은 완전히 동일한 것으로 보이며 모든 화살표를 뒤로 돌리면(그림 2.5) 다른 매핑 또는 다른 함수 d)를 얻게 됩니다. 이는 역시 단사 및 전사입니다. 이러한 반전을 허용하는 매핑(함수)은 다음에서 중요한 역할을 할 것입니다.

특별한 경우에는 X와 Y 세트가 일치할 수 있습니다(X = Y). 그런 다음 전단사 함수는 집합 X를 자신에게 매핑합니다. 집합 자체에 대한 전단사를 변환이라고도 합니다. 2.3. 역 매핑 Let /: X -? Y는 특정 전단사이며 y € Y로 둡니다. /(r) = y가 되는 유일한 요소 x € X를 /_1(y)로 표시하겠습니다. 따라서 우리는 다시 전단사인 일부 매핑 9: Y Xу를 정의합니다. 이를 역 매핑(inverse mapping) 또는 /에 대한 역 전단사(inverse bijection)라고 합니다. 흔히 역함수라고도 하며 /"*로 표시합니다. 그림 2.5에서 함수 d는 정확히 /의 역함수, 즉 d = f"1입니다.

문제 해결의 예

매핑(함수) / 및 는 서로 반대입니다. 함수가 전단사가 아닌 경우 역함수는 존재하지 않는다는 것이 분명합니다. 실제로 /가 단사가 아닌 경우 일부 요소 y € Y는 집합 X의 여러 요소 x에 해당할 수 있으며 이는 함수의 정의와 모순됩니다. /가 전사가 아닌 경우 X에 사전 이미지가 없는 요소가 Y에 있습니다. 이러한 요소에 대해서는 역함수가 정의되지 않습니다. 예제 2.1. ㅏ. X = Y = R - 실수 집합이라고 가정합니다. y = For - 2, i,y € R 공식으로 정의되는 함수 /는 전단사입니다. 역함수는 x = (y + 2)/3입니다. 비. 실수 변수 x의 실수 함수 f(x) = x2는 전사가 아닙니다. 왜냐하면 Y = R의 음수는 /: Γ -> Y와 같은 X = K의 요소 이미지가 아니기 때문입니다. 예제 2.2. A" = R, Y = R+를 양의 실수 집합으로 둡니다. 함수 f(x) = ax, a > 0, af 1은 전단사입니다. 역함수는 Z"1 (Y) =입니다. 1°8aY

주입, 주입 및 전단사. 역방향 매핑. 매핑의 구성은 집합의 곱입니다. 일정을 표시합니다. 2.4. 매핑 구성 f:X-*Y 및 g:Y-*Zy인 경우 공식 =로 각 a: 6 A"에 대해 정의된 매핑(p:X -+Z)을 매핑 구성(중첩)이라고 합니다. (함수) / 및 d> 또는 복합 함수이며 rho/로 지정됩니다(그림 2.6).
따라서 f 이전의 복잡한 함수는 규칙을 구현합니다. i 먼저 /를 적용한 다음 di를 적용합니다. 작업 구성에서 "전 / 오른쪽에 있는 작업부터 시작해야 합니다. 그림의 구성을 참고하세요. 2.6 매핑은 연관적입니다. 즉, if /: X -+Y, d: Y Z and h: Z-*H> then (hog)of = = ho(gof)i는 ho to / 형식으로 작성하는 것이 더 쉽습니다. 다음과 같이 이를 확인해 보겠습니다. 모든 wK "oaicecmee X에는 동일하다고 불리는 매핑 1x -X X가 정의되어 있으며 종종 idx로 표시되고 Ix(x) = x Vx € A"라는 공식으로 지정됩니다. 그것은 모든 것을 제자리에 둡니다.

따라서 가 전단사 /에 반대인 전단사인 경우: X - + Y이면 /"1o/ = /x, /o/-1 = /y입니다. 여기서 및 /y는 집합 X와 Y의 동일한 맵입니다. 반대로 f: X ->Y 및 p: Y A" 매핑이 gof = Ix 및 Fog = /y인 경우 함수 /는 전단사이고 y는 역전단사입니다. 분명히, 만약 /가 Y에 대한 A"의 전단사이고, $가 Z에 대한 Y의 전단사라면, gof는 X에 대한 Z의 전단사이고 이에 대한 역 전단사가 될 것입니다. 2.5. 집합의 곱. 매핑 그래프 두 축에 대해 동일한 눈금을 갖는 두 개의 서로 수직인 좌표축이 평면에서 직사각형 직교 좌표계를 정의한다는 점을 상기하십시오(그림 2.7). 좌표축 교차점의 O를 원점*이라고 합니다. 좌표.

각 점 M은 실수 쌍(i, y)과 연관될 수 있습니다. 여기서 x는 좌표축 Ox 상의 점 Mx의 좌표이고, y는 좌표축 Oy 상의 점 Mu의 좌표입니다. 점 Mx와 Mu는 각각 Ox와 Oy 축의 점 M에서 떨어진 수직선의 밑면입니다. 숫자 x와 y는 (선택된 좌표계에서) 점 M의 좌표라고 하며, x는 점 M의 가로좌표, y는 이 점의 세로좌표입니다. 실수 a, 6 6R의 각 쌍 (a, b)은 이 숫자를 좌표로 갖는 평면 위의 점 M에 해당한다는 것이 분명합니다. 그리고 반대로 평면의 각 점 M은 실수 a와 6의 쌍 (a, 6)에 해당합니다. 일반적으로 쌍 (a, b)와 (6, a)는 서로 다른 점을 정의합니다. 쌍을 지정할 때 두 숫자 a와 b 중 어느 것이 먼저 나오는지는 중요합니다. 따라서 우리는 순서쌍에 대해 이야기하고 있습니다. 이와 관련하여 쌍 (a, 6)과 (6, a)는 서로 동일한 것으로 간주되며 a = 6인 경우에만 평면에서 동일한 점을 정의합니다. 전사, 주입 및 전단사. 역방향 매핑.

매핑의 구성은 집합의 곱입니다. 일정을 표시합니다. 모든 실수 쌍의 집합과 평면의 점 집합은 R2로 표시됩니다. 이 지정은 집합의 직접(또는 dek-artov) 곱(종종 단순히 집합의 곱이라고 함)에 대한 집합 이론의 중요한 개념과 관련됩니다. 정의 2.2. 집합 A와 B의 곱은 가능한 순서쌍(x, y)의 집합 Ax B입니다. 여기서 첫 번째 요소는 A에서 가져오고 두 번째 요소는 B에서 가져옵니다. 따라서 두 쌍(x, y)과 (&", y")는 x = x" 및 y = y7 조건으로 결정됩니다. xy인 경우 쌍 (i, y)와 (y, x)는 서로 다른 것으로 간주됩니다. 이는 세트 A와 B는 일치합니다. 따라서 일반적인 경우 A x B f In x A, 즉 임의 집합의 곱은 교환 가능하지 않지만 집합의 합집합, 교차점 및 차이에 대해 분배적입니다. 여기서 는 명명된 세 개 중 하나를 나타냅니다. 집합의 곱은 두 집합에 표시된 연산과 크게 다릅니다. 요소가 비어 있지 않은 경우 원래 집합 중 하나 또는 둘 모두에 속하고 집합 곱의 요소는 새 집합에 속합니다. 세트이며 원래 세트의 요소와 비교하여 다른 종류의 개체입니다.

2세트 이상의 제품 컨셉을 소개할 수 있습니다. 집합 (A x B) x C와 A*x (B x C)가 식별되고 간단히 A x B x C로 표시됩니다. 작품 아아아아아아아 등 일반적으로 A2, A3 등으로 표시됩니다. 분명히 평면 R2는 실수 집합의 두 복사본의 R x R 곱으로 간주될 수 있습니다(따라서 평면의 점 집합을 수직선의 두 점 집합의 곱으로 지정). 기하학적(3차원) 공간의 점 집합은 R3으로 표시된 수직선 위의 점 집합 세 복사본의 R x R x R 곱에 해당합니다.

n개의 실수 세트의 곱은 Rn으로 표시됩니다. 이 집합은 n 실수 X2) xn £ R의 가능한 모든 모음(xj, X2, xn)을 나타내며, Rn의 모든 점 x*는 실수 xn £ K*의 모음(xj, x, x*)입니다.
n 임의 집합의 곱은 n(일반적으로 이종) 요소의 정렬된 컬렉션 집합입니다. 이러한 집합의 경우 tuple 또는 n-ka라는 이름이 사용됩니다(“enka”로 발음). 예 2.3 A = (1, 2) 및 B = (1, 2)로 식별할 수 있습니다. 이 세트의 요소를 나열할 때 좌표가 표시되는 평면 R2의 네 점 C = (1,2) 및 D = (3,4)이면 예 2.4 세트 E x F의 기하학적 해석. F x E는 그림 2.8에 나와 있습니다. # /: X 매핑의 경우 직접 곱 X x Y의 부분 집합인 순서쌍 집합(z, y)을 만들 수 있습니다.
이러한 집합을 매핑 f의 그래프(또는 함수 i*"의 그래프 - 예 2.5)라고 합니다. XCR 및 Y = K의 경우 각 순서쌍은 평면 R2 위의 점 좌표를 지정합니다. X는 수직선 R의 간격이고, 함수의 그래프는 어떤 선을 나타낼 수 있습니다(그림 2.9). XCR2와 Y = R의 경우 함수의 그래프는 특정 점 집합입니다. R3에서는 특정 표면을 나타낼 수 있습니다(그림 2.10).

X C R이고 Y = R2인 경우 함수 그래프는 R3의 점 집합이기도 하며, 이는 세 개의 좌표 x) yi, y2( 그림 2.11) . # 언급된 함수 그래프의 모든 예는 수학적 분석의 가장 중요한 대상이며 앞으로 이에 대해 자세히 논의할 것입니다.

%%f%% 디스플레이가 호출됩니다. 주사,

%%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%% 요소에 대해 %%f(x_1) \neq f(x_2)%%를 따릅니다. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

즉, %%X%%와 다른 요소의 이미지도 다른 경우 %%f%% 매핑은 단사적입니다.

예

%%\mathbb(R)%% 집합에 정의된 함수 %%f(x) = x^2%%는 단사가 아닙니다. 왜냐하면 %%x_1 = -1, x_2 = 1%%를 사용하면 다음을 얻을 수 있기 때문입니다. 같은 함수 값 %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

전사적 매핑

%%f%% 디스플레이가 호출됩니다. 전사, 모든 요소 %%y \in Y%%에 대해 %%f(x) = y%% 조건을 갖는 %%x \in X%% 요소가 있는 경우. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

즉, 각 요소 %%y \in Y%%가 적어도 하나의 %%x \in X%% 요소의 이미지인 경우 %%f%% 매핑은 전사입니다.

예

%%\mathbb R%% 세트에 정의된 %%f(x) = \sin(x)%% 매핑은 %%Y = [-2,2]%% 세트와 함께 전사가 아닙니다. %%y = 2 \in Y%% 요소에 대해 %%x \in X%%의 역 이미지를 찾을 수 없습니다.

전단사 매핑

%%f%% 디스플레이가 호출됩니다. 전단사, 단사와 전사인 경우. 전단사 매핑이라고도 합니다. 1-1또는 변환.

일반적으로 "주사 매핑", "사사 매핑" 및 "전단사 매핑"이라는 문구는 각각 "주입", "수사" 및 "전단사"로 대체됩니다.

역방향 매핑

%%f: X \to Y%% 를 some으로 둡니다. 전단사그리고 %%y \in Y%%를 허용합니다. %%f(x) = y%%가 되는 유일한 요소 %%x \in X%%를 %%f^(-1)(y)%%로 표시하겠습니다. 따라서 우리는 새로운 것을 정의할 것입니다. 표시하다%%g: Y \to X%%, 이는 다시 전단사입니다. 그들은 그녀에게 전화한다 역 매핑.

예

%%X, Y = \mathbb R%%를 실수 집합으로 둡니다. %%f%% 함수는 %%y = 3x + 3%% 공식으로 제공됩니다. 이 함수에 반대가 있나요? 그렇다면 어느 것입니까?

주어진 함수에 역함수가 있는지 확인하려면 역함수인지 확인해야 합니다. 전단사. 이를 위해 이 매핑이 다음과 같은지 확인해 보겠습니다. 주사그리고 전사.

주사를 확인해 봅시다. %%x_1 \neq x_2%% 하자. %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, 즉 %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%인지 확인해 보겠습니다. 반대로 %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%라고 가정합니다. 그러면 %%x_1 = x_2%%가 됩니다. 우리는 모순이 생겼습니다. 왜냐하면 %%x_1 \neq x_2%%. 따라서 %%f%%는 주입입니다.
점검 해보자 추측. %%y \in Y = \mathbb(R)%%로 둡니다. %%f(x) = y%%, 즉 %%3x + 3 = y%%라는 조건으로 %%x \in X = \mathbb(R)%% 요소를 찾아보겠습니다. 이 동등성에서는 %%y \in \mathbb(R)%% 요소가 지정되었으며 %%x%% 요소를 찾아야 합니다. 분명히 $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ 따라서 %%f%% 매핑은 전사입니다.

%%f%%는 주입 및 전사이므로 %%f%%는 전단사입니다. 따라서 역 매핑은 %%x = \frac(y-3)(3)%%입니다.

매핑 세트 §1. 기본 정의

정의. A와 B를 두 세트로 둡니다. 그들은 A의 임의의 요소 a가 집합 B의 단일 요소 b와 연관되는 법칙이 지정되면 집합 A에서 B로의 매핑 f가 제공된다고 말합니다.

매핑은 함수라고도 합니다.

우리는 다음 표기법을 사용할 것입니다:

 : A→ B. 매핑 f는 집합 A를 B로 취합니다.

A f B. 집합 A는 f가 매핑될 때 B에 매핑됩니다.

f가 매핑될 때 요소 a가 요소 b에 들어가면 f(a)=b(왼쪽 항목) 또는 af=b(오른쪽 항목)라고 씁니다. 요소 b는 매핑 f 아래에 있는 요소 a의 이미지라고 합니다. 요소 a는 b의 반대 이미지입니다.

이 디스플레이. 집합( f (a ) | a A ) = f (A )는 매핑 f 아래 집합 A의 이미지입니다. 참고하세요

f(A)B.

A B

에프(에이)

ㅏ - 도메인매핑 f; 안에 - 범위 f 매핑(때때로 학교 수학에서 값의 범위는 f(A)로 간주되지만 우리는 이를 B로 간주합니다).

단일 값 매핑만 고려합니다.

모든 디스플레이 중에서 특히 다음 유형이 구별됩니다.

1. 삽입("on" 매핑) f (A ) = B 를 만족하는 f : A → B 매핑입니다. 전사에서 세트 B의 각 요소에는 적어도 하나의 역 이미지가 있습니다.

2. 주입 – 서로 다른 요소가 서로 다른 요소로 변환되는 매핑입니다. a, a 1 A 및 a ≠ a 1이면 f (a) ≠ f (a 1)입니다.





				에프(a1)

3. 전단사, 또는 일대일 매핑주입과 전사가 모두 가능한 매핑입니다.

디스플레이의 예:.

1. A는 임의의 집합이고 B는 하나의 요소로 구성된 집합이라고 가정합니다. B=(비).

ㅏ . 비

매핑 f (a) = b, a A는 전사입니다. 왜냐하면 f(A)=B.

2. 세트 A를 평면의 일부 세그먼트로 설정하고 B를 선으로 설정합니다. 세그먼트 A의 각 점에서 직선 B에 대한 수직선을 낮추고 이 수직선의 밑면을 세그먼트 A의 점과 일치시킵니다.

에

∅(a)V

이 매핑을 ψ로 표시하겠습니다. 확실히,

ф (a) ≠ ф (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

따라서 매핑 Φ는 주입입니다(그러나 전사는 아님).

3. 집합 A를 직각 삼각형의 빗변으로, B를 직각 삼각형의 다리로 설정합니다. 빗변의 임의의 점을 다리에 대한 투영과 연관시키겠습니다. 우리는 A에서 B로의 일대일 매핑을 얻습니다.

저것들. f는 전단사입니다.

이것이 빗변과 다리에 있는 점의 "수"가 동일하다는 것을 수학이 증명하는 방법입니다(보다 정확하게는 이 세트는 동일한 카디널리티를 갖습니다).

논평. 전사도, 주입도, 전단사도 아닌 매핑을 생각해내는 것은 어렵지 않습니다.

4. f가 실수 변수의 함수인 경우 f는 R에서 R로의 매핑입니다.

§2. 지도 곱셈

A, B, C를 3개의 세트로 하고 두 개의 맵 f : A → B 및 ф : B → C를 부여합니다.

정의 1. 이러한 매핑의 결과는 순차적 실행의 결과로 얻은 매핑입니다.

фf

두 가지 녹음 옵션이 있습니다.

1. 왼쪽 입구.
θ(a)=b, θ(b)=c.		ψf를 나타냄:
그러면 f와 ψ의 곱은 다음과 같습니다.	a를 c로 번역하면 다음과 같아야 합니다.	ψf를 나타냄:
(² f ) (a ) = ² (f (a ) ) = ² (b ) = c , ² f : A → C (위 그림 참조).
정의에 따르면 (ψ f ) (a ) = ψ (f (a ) ) ,	저것들. 매핑의 결과 –	이것은 복잡한 기능입니다
A로 설정합니다.

2. 올바른 입장.

af =b, bψ =c. 그러면 a (f ψ ) = (af ) ψ = b ψ = c ,

f ψ : A → C.

우리는 왼쪽 표기법을 사용할 것입니다. (책에서는 오른쪽 표기법을 사용합니다.) 아래에서는 f ψ에 의한 매핑의 곱을 나타냅니다.

참고 1. 매핑 곱셈의 정의에 따르면 어떤 매핑도 곱할 수 없으며 "평균" 집합이 동일한 매핑만 곱할 수 있습니다. 예를 들어 f : A → B, ψ : D → C인 경우 B=D의 경우 매핑 f와 ψ를 곱할 수 있지만 B≠D의 경우에는 불가능합니다.

매핑 곱셈의 속성

정의 2. 맵 f와 g는 정의 영역과 값 범위가 일치하면 동일하다고 합니다. 즉, f : A → B , g : A → B 및 조건이 충족됩니다. a A는 참입니다.

평등 f (a) = g (a).

1. 맵의 곱셈은 교환 불가능합니다. 즉, fψ와 ψf가 존재한다면 반드시 동일하지는 않습니다.

예를 들어, 세트 A=B=C=R, f (x) = sin x, ψ (x) 곱을 고려하십시오:

(ψ f) (x) = ψ (f (x)) = ψ (sin x) = e sin x,

(f ψ ) (x ) = f ( ψ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

따라서 함수 fψ와 ψf는 서로 다릅니다.

2. 지도의 곱셈은 연관적입니다.

f : A → B, ψ : B → C, ψ : C → D로 설정합니다. (ψф ) f를 증명해보자

E x , f : R → R, ф : R → R .

및 ψ (ψf )가 존재하고 동일합니다. 즉, (ψф ) f =

ψ ( ψ f ) . (1)

(ψф ) f : A → D ,ψ (ψ f ) : A → D임이 분명합니다.

동등함(1)을 증명하려면 매핑의 동등성 정의에 따라 a A : ((ψф ) f ) (a ) = (ψ (ф f )) (a ) (2)인지 확인해야 합니다. 매핑 곱셈의 정의 사용(왼쪽 항목)


((ψ )f )(a ) = ( ψ )(f (a ) )= ψ ( ψ (f (a ) )),

(ψ (ψ f ))(a ) = ψ ((ψ f )(a ) )= ψ (ψ (f (a ) )). (4)

왜냐하면 등식 (3)과 (4)에서 우변이 동일하면 좌변도 동일합니다. 즉, 평등 (2)는 참이고 (1)도 참입니다.

비고 2. 곱셈의 연관성을 통해 우리는 3의 곱과 유한한 수의 요소를 고유하게 결정할 수 있습니다.

A에 여러 사전 이미지가 있거나 사전 이미지가 전혀 없습니다. 그러나 전단사 맵 f의 경우 그 반대가 정의될 수 있습니다.

f : A → B를 전단사, f (a) = b, a A, b B로 둡니다. 그런 다음 임의의 요소 b B에 대해 전단사 정의에 따라 매핑 f 아래에 고유한 역 이미지가 있습니다. 이것이 요소 a입니다. 이제 f − 1 (b ) = a (b B ) 를 설정하여 f − 1 : B → A를 정의할 수 있습니다. f − 1 이 전단사라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

따라서 모든 전단사 매핑에는 반대가 있습니다.

§삼. 변환 설정

임의의 매핑 f : A → A가 호출됩니다. 세트의 변신 A. 특히,

실수 변수의 함수는 집합 R의 변환입니다.

평면 위의 점 집합 변환의 예로는 평면의 회전, 축에 대한 대칭 등이 있습니다.

변환은 매핑의 특별한 경우이므로 위에서 매핑에 대해 언급한 모든 내용이 적용됩니다. 그러나 집합 A의 변환 곱셈에는 다음과 같은 특정 속성도 있습니다.

1. 집합 A의 임의의 변환 f와 ψ에 대해 곱 fψ와 ψf가 존재합니다.

2. 집합 A의 항등 변환이 있습니다.ε: ε (a) = a, a A.

예를 들어 (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) 이기 때문에 이 집합 f ε = ε f = f의 모든 변환 f에 대해 쉽게 알 수 있습니다. 이는 변환 ε이 변환을 곱할 때 단위 요소의 역할을 한다는 것을 의미합니다.

평등을 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 역변환은 변환을 곱할 때 역원소의 역할을 한다.

디스플레이(기능)

함수는 수학에서 중심적인 역할을 하며, 한 집합의 요소가 어떻게든 다른 집합의 요소로 변환되는 과정을 설명하는 데 사용됩니다. 이러한 요소 변환은 모든 계산 프로세스에서 가장 중요한 기본 아이디어입니다.

정의. AB에 대한 관계 f는 다음과 같습니다. 표시하다 (기능)각 xA에 대해 단 하나의 yB가 있는 경우 A에서 B로. 이진 관계 등가 설정

f: AB 또는 y=f(x)

집합 A를 호출한다. 정의 영역.세트 B - 값의 범위.

y=f(x)이면 x가 호출됩니다. 논쟁, 그리고 y - 기능 값.

f: AB라고 놔두세요.

정의 세트특징:

여러 의미특징:

함수의 정의 집합은 정의 영역의 하위 집합입니다. Dom f A, 함수 값 집합은 함수 범위의 하위 집합입니다. Im f B. 만약, 함수를 전체 함수라고 부르고, 만약 그것이 부분 함수라고 부릅니다. 따라서 벤 다이어그램은 집합 B의 값을 사용하여 집합 A에 정의된 함수를 편리하게 설명하는 역할을 합니다.