Kokios yra vektorinės projekcijos koordinatės? Vektorių projekcijos į koordinačių ašis

Tegul du vektoriai ir yra pateikti erdvėje. Atidėkime nuo savavališko taško O vektoriai ir . Kampas tarp vektorių vadinamas mažiausiu iš kampų. Paskirta .

Apsvarstykite ašį l ir ant jo nubraižyti vienetinį vektorių (t.y. vektorių, kurio ilgis lygus vienetui).

Kampu tarp vektoriaus ir ašies l suprasti kampą tarp vektorių ir .

Taigi tegul l yra tam tikra ašis ir yra vektorius.

Pažymėkime pagal A 1 Ir B 1 projekcijos į ašį l atitinkamai taškais A Ir B. Apsimeskime tai A 1 turi koordinates x 1, A B 1– koordinuoti x 2 ant ašies l.

Tada projekcija vektorius vienai ašiai l vadinamas skirtumu x 1 – x 2 tarp vektoriaus pabaigos ir pradžios projekcijų į šią ašį koordinačių.

Vektoriaus projekcija į ašį l pažymėsime .

Aišku, kad jei kampas tarp vektoriaus ir ašies l tada aštrus x 2> x 1, ir projekcija x 2 – x 1> 0; jei šis kampas yra bukas, tada x 2< x 1 ir projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Tai x 2= x 1 Ir x 2– x 1=0.

Taigi, vektoriaus projekcija į ašį l yra atkarpos ilgis A 1 B 1, paimtas su tam tikru ženklu. Todėl vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius arba skaliaras.

Panašiai nustatoma vieno vektoriaus projekcija į kitą. Šiuo atveju randamos šio vektoriaus galų projekcijos į tiesę, kurioje yra 2-asis vektorius.

Pažvelkime į keletą pagrindinių projekcijų savybės.

LINIJAI PRIKLAUSOMOSIOS IR LINIJAI NEPRIKLAUSOMO VEKTORINĖS SISTEMOS

Panagrinėkime kelis vektorius.

Linijinis derinys iš šių vektorių yra bet koks formos vektorius, kur yra keletas skaičių. Skaičiai vadinami tiesiniais derinių koeficientais. Jie taip pat sako, kad šiuo atveju jis išreiškiamas tiesiškai per šiuos vektorius, t.y. gaunamas iš jų naudojant tiesinius veiksmus.

Pavyzdžiui, jei pateikiami trys vektoriai, tada šie vektoriai gali būti laikomi jų tiesine kombinacija:

Jei vektorius vaizduojamas kaip tiesinis kai kurių vektorių derinys, tada sakoma, kad jis yra išdėstyti palei šiuos vektorius.

Vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, ne visi lygūs nuliui, todėl . Akivaizdu, kad pateikti vektoriai bus tiesiškai priklausomi, jei kuris nors iš šių vektorių bus tiesiškai išreikštas kitais.

Priešingu atveju, t.y. kai santykis atliekama tik tada, kai , šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

1 teorema. Bet kurie du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra kolineariniai.

Įrodymas:

Šią teoremą galima įrodyti panašiai.

2 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

Įrodymas.

PAGRINDAS

Pagrindas yra nenulinių tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys. Pagrindo elementus pažymėsime .

Ankstesnėje pastraipoje matėme, kad du nekolineariniai vektoriai plokštumoje yra tiesiškai nepriklausomi. Todėl, remiantis 1 teorema iš ankstesnės pastraipos, pagrindas plokštumoje yra bet kurie du nekolineariniai vektoriai šioje plokštumoje.

Panašiai bet kurie trys ne lygiaplaniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi erdvėje. Vadinasi, tris nevienaplanius vektorius vadiname pagrindu erdvėje.

Šis teiginys yra teisingas.

Teorema. Tegul pagrindas yra duotas erdvėje. Tada bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis derinys , Kur x, y, z- kai kurie skaičiai. Tai vienintelis skilimas.

Įrodymas.

Taigi pagrindas leidžia kiekvieną vektorių vienareikšmiškai susieti su skaičių trigubu – šio vektoriaus išplėtimo į bazinius vektorius koeficientais: . Taip pat yra priešingai – kiekvienam trims skaičiams x, y, z naudodamiesi pagrindu, galite palyginti vektorių, jei sukuriate tiesinį derinį .

Jei pagrindas ir , tada skaičiai x, y, z yra vadinami koordinates vektorius tam tikrame pagrinde. Vektorinės koordinatės žymimos .

KARTESIJŲ KOORDINAČIŲ SISTEMA

Tegu erdvėje duotas taškas O ir trys nevienaplaniai vektoriai.

Dekarto koordinačių sistema erdvėje (plokštumoje) yra taško ir pagrindo rinkinys, t.y. taško ir trijų nevienaplanių vektorių (2 nekolinearinių vektorių), kylančių iš šio taško, rinkinys.

Taškas O vadinamas kilme; tiesės, einančios per koordinačių pradžią bazinių vektorių kryptimi, vadinamos koordinačių ašimis – abscisių, ordinačių ir taikomųjų ašių. Plokštumos, einančios per koordinačių ašis, vadinamos koordinačių plokštumos.

Apsvarstykite savavališką tašką pasirinktoje koordinačių sistemoje M. Pateikiame taško koordinačių sąvoką M. Vektorius, jungiantis kilmę su tašku M. paskambino spindulio vektorius taškų M.

Pasirinkto pagrindo vektorius gali būti susietas su skaičių trigubu – jo koordinatėmis: .

Taško spindulio vektoriaus koordinatės M. yra vadinami taško M koordinatės. nagrinėjamoje koordinačių sistemoje. M(x,y,z). Pirmoji koordinatė vadinama abscisėmis, antroji – ordinata, o trečioji – aplikacija.

Dekarto koordinatės plokštumoje nustatomos panašiai. Čia taškas turi tik dvi koordinates – abscisę ir ordinatę.

Nesunku pastebėti, kad tam tikroje koordinačių sistemoje kiekvienas taškas turi tam tikras koordinates. Kita vertus, kiekvienam skaičių trigubui yra unikalus taškas, kuriame šie skaičiai yra koordinatės.

Jei pasirinktoje koordinačių sistemoje naudojami vektoriai yra vienetinio ilgio ir poromis statmeni, tada koordinačių sistema vadinama Dekarto stačiakampis.

Tai lengva parodyti.

Vektoriaus krypties kosinusai visiškai nustato jo kryptį, bet nieko nesako apie jo ilgį.

§ 3. Vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse

1. Projekcijų radimas geometriškai.

Vektorius
- vektoriaus projekcija į ašį JAUTIS
- vektoriaus projekcija į ašį OY

1 apibrėžimas. Vektorinė projekcija bet kurioje koordinačių ašyje yra skaičius, paimtas su pliuso arba minuso ženklu, atitinkantis atkarpos, esančios tarp statmenų, nukritusių nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos iki koordinačių ašies, ilgį.

Projekcijos ženklas apibrėžiamas taip. Jei judant išilgai koordinačių ašies yra judėjimas nuo vektoriaus pradžios projekcijos taško iki vektoriaus pabaigos projekcijos taško teigiama ašies kryptimi, tada vektoriaus projekcija laikoma teigiama . Jei ji yra priešinga ašiai, tada projekcija laikoma neigiama.

Paveikslėlyje parodyta, kad jei vektorius yra nukreiptas kažkaip priešingai koordinačių ašiai, tada jo projekcija į šią ašį yra neigiama. Jei vektorius kažkaip nukreiptas teigiama koordinačių ašies kryptimi, tada jo projekcija į šią ašį yra teigiama.

Jei vektorius yra statmenas koordinačių ašiai, tada jo projekcija į šią ašį yra lygi nuliui.
Jei vektorius yra vienakryptis su ašimi, tai jo projekcija į šią ašį yra lygi absoliučiai vektoriaus vertei.
Jei vektorius nukreiptas priešingai koordinačių ašiai, tada jo projekcija į šią ašį absoliučia verte yra lygi vektoriaus absoliučiai vertei, paimtai su minuso ženklu.

2. Bendriausias projekcijos apibrėžimas.

Iš stačiojo trikampio ABD: .

2 apibrėžimas. Vektorinė projekcija bet kurioje koordinačių ašyje yra skaičius, lygus vektoriaus modulio ir vektoriaus suformuoto kampo kosinuso sandaugai su teigiama koordinačių ašies kryptimi.

Projekcijos ženklas nustatomas kampo, kurį sudaro vektoriaus su teigiama ašies kryptimi, kosinuso ženklas.
Jei kampas smailus, tai kosinusas turi teigiamą ženklą, o projekcijos yra teigiamos. Bukiesiems kampams kosinusas turi neigiamą ženklą, todėl tokiais atvejais projekcijos į ašį yra neigiamos.
- todėl ašiai statmenų vektorių projekcija lygi nuliui.

Ašis yra kryptis. Tai reiškia, kad projekcija į ašį arba į nukreiptą liniją laikoma ta pačia. Projekcija gali būti algebrinė arba geometrinė. Geometrine prasme vektoriaus projekcija į ašį suprantama kaip vektorius, o algebriškai – kaip skaičius. Tai yra, vartojamos vektoriaus projekcijos į ašį ir skaitinės vektoriaus projekcijos į ašį sąvokos.

Jei turime L ašį ir nulinį vektorių A B →, tai galime sukurti vektorių A 1 B 1 ⇀, žymintį jo taškų A 1 ir B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 bus vektoriaus A B → projekcija į L.

1 apibrėžimas

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kurio pradžia ir pabaiga yra tam tikro vektoriaus pradžios ir pabaigos projekcijos. n p L A B → → įprasta projekciją A B → žymėti į L. Norint sukurti projekciją į L, statmenai nuleidžiami į L.

1 pavyzdys

Vektorinės projekcijos į ašį pavyzdys.

Koordinačių plokštumoje O x y nurodytas taškas M 1 (x 1, y 1). Norint pavaizduoti taško M 1 spindulio vektorių, reikia sudaryti O x ir O y projekcijas. Gauname vektorių (x 1, 0) ir (0, y 1) koordinates.

Jei kalbame apie a → projekciją į nulį b → arba a → projekciją į kryptį b → , tai turime omenyje a → projekciją į ašį, su kuria kryptis b → sutampa. A → projekcija į b → apibrėžtą tiesę žymima n p b → a → → . Yra žinoma, kad kai kampas tarp a → ir b → , n p b → a → → ir b → gali būti laikomas bendrakrypčiu. Tuo atveju, kai kampas yra bukas, n p b → a → → ir b → yra priešingomis kryptimis. Esant statmenai a → ir b →, o a → yra nulis, a → projekcija kryptimi b → yra nulinis vektorius.

Skaitinė vektoriaus projekcijos į ašį charakteristika yra skaitinė vektoriaus projekcija į nurodytą ašį.

2 apibrėžimas

Skaitinė vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius, lygus duoto vektoriaus ilgio ir kampo tarp nurodyto vektoriaus ir vektoriaus, lemiančio ašies kryptį, sandaugai.

Skaitinė A B → projekcija į L žymima n p L A B → , o a → į b → - n p b → a → .

Remdamiesi formule gauname n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , iš kur a → yra vektoriaus ilgis a → , a ⇀ , b → ^ yra kampas tarp vektorių a → ir b → .

Gauname skaitinės projekcijos apskaičiavimo formulę: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Jis taikomas žinomiems ilgiams a → ir b → ir kampui tarp jų. Formulė taikoma žinomoms koordinatėms a → ir b →, tačiau yra supaprastinta forma.

2 pavyzdys

Išsiaiškinkite skaitinę a → projekciją į tiesę b → kryptimi, kurios ilgis a → lygus 8 ir kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Pagal sąlygą turime a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Tai reiškia, kad skaitines reikšmes pakeičiame į formulę n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atsakymas: 4.

Kai žinomas cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , turime a → , b → kaip a → ir b → skaliarinę sandaugą. Vadovaudamiesi formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , galime rasti skaitinę projekciją a → nukreiptą išilgai vektoriaus b → ir gauti n p b → a → = a → , b → b → . Formulė atitinka pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą.

3 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija į ašį, sutampančią su b → kryptimi, yra vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos santykis su ilgiu b → . Formulė n p b → a → = a → , b → b → taikoma norint rasti a → skaitinę projekciją į tiesę, kurios kryptis sutampa su b → , su žinomomis a → ir b → koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duota b → = (- 3 , 4) . Raskite skaitmeninę projekciją a → = (1, 7) į L.

Sprendimas

Koordinačių plokštumoje n p b → a → = a → , b → b → turi formą n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , kai a → = (a x , a y ) ir b → = b x , b y . Norint rasti vektoriaus a → skaitinę projekciją į L ašį, reikia: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atsakymas: 5.

4 pavyzdys

Raskite a → projekciją L, sutampančią su kryptimi b →, kur yra a → = - 2, 3, 1 ir b → = (3, - 2, 6). Nurodoma trimatė erdvė.

Sprendimas

Atsižvelgiant į a → = a x , a y , a z ir b → = b x , b y , b z , apskaičiuojame skaliarinę sandaugą: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Ilgis b → randamas naudojant formulę b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iš to seka, kad skaitinės projekcijos a → nustatymo formulė bus tokia: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Pakeiskite skaitines reikšmes: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atsakymas: - 67.

Pažvelkime į ryšį tarp a → ant L ir projekcijos a → ilgio ant L. Nubrėžkime ašį L, iš taško L pridėdami a → ir b →, po to nubrėžkime statmeną tiesę nuo galo a → iki L ir nubrėžkime projekciją į L. Yra 5 vaizdo variantai:

Pirmas atvejis su a → = n p b → a → → reiškia a → = n p b → a → → , taigi n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Antra atvejis reiškia, kad naudojamas n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , o tai reiškia n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trečias atvejis paaiškina, kad kai n p b → a → → = 0 → gauname n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tada n p b → a → → = 0 ir n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ketvirta atvejis rodo n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seka n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Penkta atvejis rodo a → = n p b → a → → , o tai reiškia a → = n p b → a → → , todėl turime n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitmeninė projekcija į L ašį, kuri nukreipta taip pat, kaip ir b →, turi tokią reikšmę:

• vektoriaus a → projekcijos į L ilgį, su sąlyga, kad kampas tarp a → ir b → yra mažesnis nei 90 laipsnių arba lygus 0: n p b → a → = n p b → a → → su sąlyga 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulis su sąlyga, kad a → ir b → yra statmenos: n p b → a → = 0, kai (a → , b → ^) = 90 °;
• projekcijos a → į L ilgis, padaugintas iš -1, kai yra bukas arba tiesus vektorių a → ir b → kampas: n p b → a → = - n p b → a → → su sąlyga 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į projekcijos a → į L ilgį, lygų 2. Raskite skaitinę projekciją a → su sąlyga, kad kampas yra 5 π 6 radianai.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad šis kampas yra bukas: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atsakymas: - 2.

6 pavyzdys

Duota plokštuma O x y z, kurios vektoriaus ilgis a → lygus 6 3, b → (- 2, 1, 2), kurios kampas 30 laipsnių. Raskite projekcijos a → koordinates į L ašį.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojame skaitinę vektoriaus a → projekciją: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pagal sąlygą kampas yra smailusis, tada skaitinė projekcija a → = vektoriaus a → projekcijos ilgis: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis atvejis rodo, kad vektoriai n p L a → → ir b → yra nukreipti kartu, o tai reiškia, kad yra skaičius t, kurio lygybė yra teisinga: n p L a → → = t · b → . Iš čia matome, kad n p L a → → = t · b → , tai reiškia, kad galime rasti parametro t reikšmę: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada n p L a → → = 3 · b → su vektoriaus a → projekcijos į L ašį koordinatėmis, lygiomis b → = (- 2 , 1 , 2) , kur reikia reikšmes padauginti iš 3. Turime n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atsakymas: (- 6, 3, 6).

Būtina pakartoti anksčiau išmoktą informaciją apie vektorių kolineariškumo sąlygą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Atsakymas:

Projekcijos savybės:

Vektorinės projekcijos ypatybės

1 nuosavybė.

Dviejų vektorių sumos projekcija į ašį yra lygi vektorių projekcijų sumai į tą pačią ašį:

Ši savybė leidžia pakeisti vektorių sumos projekciją jų projekcijų suma ir atvirkščiai.

2 nuosavybė. Jei vektorius padauginamas iš skaičiaus λ, tada jo projekcija į ašį taip pat dauginama iš šio skaičiaus:

3 nuosavybė.

Vektoriaus projekcija į l ašį yra lygi vektoriaus modulio ir kampo tarp vektoriaus ir ašies kosinuso sandaugai:

Orth ašis. Vektoriaus skaidymas koordinačių vienetų vektoriais. Vektorinės koordinatės. Koordinatės savybės

Atsakymas:

Ašių vienetiniai vektoriai.

Stačiakampė koordinačių sistema (bet kokio matmens) taip pat apibūdinama vienetų vektorių rinkiniu, sulygiuotu su koordinačių ašimis. Vienetų vektorių skaičius yra lygus koordinačių sistemos matmeniui ir visi jie yra statmeni vienas kitam.

Trimačiu atveju dažniausiai žymimi vienetų vektoriai

Ir rodyklės simboliai ir taip pat gali būti naudojami.

Šiuo atveju teisingos koordinačių sistemos atveju galioja šios formulės su vienetinių vektorių vektorinėmis sandaugomis:

Vektoriaus skaidymas koordinačių vienetų vektoriais.

Koordinačių ašies vieneto vektorius žymimas , ašys - , ašys - (1 pav.)

Bet kuriam vektoriui, kuris yra plokštumoje, vyksta toks išplėtimas:

Jei vektorius esantis erdvėje, tada koordinačių ašių išplėtimas vienetiniais vektoriais turi tokią formą:

Vektorinės koordinatės:

Norint apskaičiuoti vektoriaus koordinates, žinant jo pradžios A koordinates (x1; y1) ir jo pabaigos B koordinates (x2; y2), reikia iš pabaigos koordinačių atimti pradžios koordinates: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinačių savybės.

Apsvarstykite koordinačių tiesę, kurios pradžios taškas O ir vieneto vektorius i. Tada bet kuriam vektoriui a šioje tiesėje: a = ašis.

Skaičių ašis vadinama vektoriaus a koordinate koordinačių ašyje.

1 nuosavybė. Pridedant vektorius ašyje, pridedamos jų koordinatės.

2 nuosavybė. Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus, jo koordinatė padauginama iš šio skaičiaus.

Taškinė vektorių sandauga. Savybės.

Atsakymas:

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius

lygus šių vektorių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui.

Savybės:

1. Skaliarinė sandauga turi komutacinę savybę: ab=ba

Koordinačių vienetų vektorių skaliarinė sandauga. Vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, skaliarinės sandaugos nustatymas.

Atsakymas:

Vienetų vektorių taškinė sandauga (×).

(X)	aš	J	K
aš
J
K

Vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, skaliarinės sandaugos nustatymas.

Dviejų vektorių skaliarinę sandaugą, pateiktą jų koordinatėmis, galima apskaičiuoti naudojant formulę

Dviejų vektorių kryžminė sandauga. Vektorinės sandaugos savybės.

Atsakymas:

Trys nevienaplaniai vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, jei nuo trečiojo pabaigos nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo sukimas atliekamas prieš laikrodžio rodyklę. Jei pagal laikrodžio rodyklę, tada į kairę. Jei ne, tada priešinga kryptimi ( parodyk, kaip jis rodė su „rankenomis“)

Kryžminis vektoriaus sandauga Aį vektorių b vadinamas vektoriumi iš kurių:

1. Statmenai vektoriams A Ir b

2. Jo ilgis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio, suformuoto ant, plotui a Ir b vektoriai

3. Vektoriai, a,b, Ir c sudaryti dešinįjį vektorių tripletą

Savybės:

1.

3.

4.

Koordinačių vienetų vektorių vektorinė sandauga. Vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, vektorinės sandaugos nustatymas.

Atsakymas:

Koordinačių vienetų vektorių vektorinė sandauga.

Vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, vektorinės sandaugos nustatymas.

Tegul vektoriai a = (x1; y1; z1) ir b = (x2; y2; z2) pateikiami jų koordinatėmis stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje O, i, j, k, o trigubas i, j, k yra dešiniarankiams.

Išplėskime a ir b į bazinius vektorius:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis gauname

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Pagal vektorinės sandaugos apibrėžimą randame

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Atsižvelgiant į šias lygybes, formulę (1) galima parašyti taip:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formulė (2) pateikia dviejų vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, vektorinės sandaugos išraišką.

Gauta formulė yra sudėtinga. Naudodami determinantų žymėjimą galite parašyti kita, patogesne įsiminti forma:

Paprastai (3) formulė rašoma dar trumpiau: