namai / Stiklinimas Funkcija / Define Set rodo rinkinį. Ekranai

Funkcija Define Set rodo rinkinį. Ekranai

Dabar panagrinėkime kai kuriuos klausimus, susijusius su ryšiais tarp aibių.

Sakysime, kad tarp rinkinių yra duota požiūris(yra santykyje), jei kai kurie (galbūt visi) elementai iš atitinka kai kuriuos elementus iš. Jei aibė yra susijusi su rinkiniu, mes rašome:

Jei tuo pačiu metu elementas yra susietas su elementu, tai pažymėsime

Apibrėžimas 1.1.2. Ryšys tarp aibių vadinamas ekranas, jei kiekvienam iš jų priskirtas vienas ir tik vienas elementas (žr. 1.1.2. ir 1.1.3 pav.). Specializuojant aibių pobūdį, atsiranda specialūs atvaizdų tipai, turintys specialų pavadinimą „funkcija“, " vektorinė funkcija", "operatorius", "matas", "funkcinė" ir tt Su jais susidursime vėliau.

Norėdami pažymėti funkciją (susivaizdavimą) iš v, naudosime žymėjimą

1.1.2 pav. Ekranas 1.1.3 pav. Ryšys, kuris nėra

ekranas

Apibrėžimas 1.1.3. Jei yra elementas iš, tai jį atitinkanti elementiza vadinama jo atvaizdu (kai rodoma), o visų tų rinkinys, kuriam vadinamas prototipu ir yra paskirtas (žr. 1.1.4 pav.).

1.1.4 pav. Prototipasb

Apibrėžimas 1.1.4.Žemėlapis vadinamas „vienas su vienu“ žemėlapių sudarymas, jei kiekvienas elementas turi unikalų vaizdą pagal atvaizdavimą ir kiekvienas elementas turi unikalų atvirkštinį vaizdą pagal šį atvaizdavimą.

1.1.5 pav. „Vienas su vienu“ žemėlapių sudarymas

Toliau mes apsvarstysime tik atvaizdavimą, nes yra būdų, kurie sumažina daugiareikšmius atvaizdavimus iki vienreikšmių, kuriuos tiesiog vadiname atvaizdais.

Žemėlapio sudarymo sąvoka vaidina lemiamą vaidmenį matematikoje, ypač matematinės analizės srityje, pagrindinę vietą užima sąvoka funkcijas, kuris yra vienos skaitinės aibės susiejimas su kita.

1.7. Rinkinio galia

Tiriant ryšius tarp aibių, didelį susidomėjimą kelia aibių „tūris“, elementų skaičius juose. Tačiau kalbėti apie elementų skaičių suprantama ir pateisinama, jei šis skaičius yra baigtinis. Bus iškviečiamos aibės, susidedančios iš baigtinio elementų skaičiaus galutinis . Tačiau daugelis matematikoje nagrinėjamų aibių nėra baigtinės, pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibė, plokštumos taškų aibė, tam tikroje atkarpoje apibrėžtų tęstinių funkcijų aibė ir kt. Norėdami kiekybiškai apibūdinti begalines (ir net baigtines) aibes, aibių teorija naudoja sąvoką rinkinio galia .

Sakysime, kad rinkiniai turi ta pati galia , jei yra „vienas su vienu“ susiejimas iš aibės į aibę (atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju taip pat yra „vienas su vienu“ susiejimas iš aibės B į aibę A).

Jei rinkinių kardinalumas yra toks pat, tada sakysime, kad jie lygiavertis , tai žymima: .

Leisti būti savavališkai rinkiniai, tada

tie. bet koks rinkinys yra lygiavertis sau; jei aibė yra lygiavertė aibei, tada lygiavertė; jei galiausiai aibė yra lygiavertė aibei, kuri yra lygiavertė aibei, tada lygiavertė.

Aibė, lygiavertė tam tikram savo poaibiui, vadinama begalinis .

Jei baigtinės aibės turi skirtingą elementų skaičių, tai aišku, kad vienoje iš jų yra mažiau elementų nei kitoje. Kaip galime palyginti begalines aibes šia prasme? Sakysime, kad aibės kardinalumas yra mažesnis už aibės kardinalumą, jei yra aibės poaibis, kuris yra lygiavertis aibei, bet pačios aibės nėra lygiavertės.

Baigtinės aibės kardinalumas lygus jo elementų skaičiui. Begalinių aibių atveju „kardinalumo“ sąvoka yra „elementų skaičiaus“ sąvokos apibendrinimas.

Nurodykime kai kurias rinkinių klases, kurios yra naudingos tolesniam darbui.

Rinkinys vadinamas skaičiuojamuoju , jei jis turi tokį patį kardinalumą kaip ir kurio nors aibės poaibis (natūraliųjų skaičių aibė). Skaičiuojamas rinkinys gali būti baigtinis arba begalinis.

Begalinė aibė yra skaičiuojama tada ir tik tada, kai ji lygi natūraliųjų skaičių aibei.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuri aibė, kurios kardinalumas yra mažesnis už begalinės skaičiuojamos aibės kardinalumą, yra baigtinė.

Realiųjų skaičių aibė intervale nuo nulio iki vieneto turi galios kontinuumas , o pati dažnai vadinama kontinuumas . Šios aibės kardinalumas yra didesnis nei begalinės skaičiuojamos aibės kardinalumas. Kyla klausimas: ar yra aibė, kurios kardinalumas yra didesnis už begalinės skaičiuojamos aibės kardinalumą, bet mažesnis už kontinuumo kardinalumą? Šią problemą 1900 m. suformulavo vienas didžiausių pasaulio matematikų Davidas Hilbertas. Paaiškėjo, kad ši problema turi kiek netikėtą atsakymą: galime manyti, kad toks rinkinys egzistuoja, arba galime manyti, kad jo nėra. Gautos matematinės teorijos bus nuoseklios. Šio fakto įrodymą 1965 metais Maskvoje vykusiame Pasauliniame matematikų kongrese pranešė amerikiečių mokslininkas Cohenas. Atkreipkite dėmesį, kad situacija su šia problema primena situaciją su penktuoju Euklido postulatu: per tašką, esantį už nurodytos tiesės, galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią duotajai. Kaip parodė Lobačevskis, šio postulato atmetimas nesukelia prieštaravimų. Galime sukurti geometrijas, kurioms galioja šis postulatas, ir geometrijas, kurioms jis nėra teisingas.

Pabaigoje pateikiame keletą pavyzdžių, parodančių aibių lygiavertiškumo įrodinėjimo metodiką.

1.11 pavyzdys. Sveikųjų skaičių aibė yra skaičiuojama.

Aišku, kad nagrinėjama aibė yra begalinė (natūraliųjų skaičių aibė yra jos poaibis).

Norint įrodyti sveikųjų skaičių aibės skaičiuojamumą, būtina sudaryti natūraliųjų skaičių aibės ir nagrinėjamos aibės atvaizdavimą vienas su vienu. Reikalingas atvaizdavimas pateikiamas pagal taisyklę: sveikuosius skaičius išdėstykite taip:

ir pernumeruoti juos natūraliaisiais skaičiais, priskiriant jiems skaičius (jie nurodomi prie nagrinėjamų sveikųjų skaičių). Akivaizdu, kad kiekvienas sveikasis skaičius gaus skirtingą skaičių, o skirtingi skaičiai gaus skirtingus skaičius. Taip pat yra priešingai: kiekvienam natūraliam skaičiui (kiekvienam skaičiui) taip pat yra vienas sveikasis skaičius, esantis po šiuo skaičiumi. Taigi sukuriamas reikalingas „vienas su vienu“ žemėlapis.

1.12 pavyzdys. Racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama.

Yra žinoma, kad bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip neredukuojamą trupmeną p/q, naudodamiesi šiuo vaizdavimu racionalius skaičius išdėstysime pagal schemą:

. . . . . .

Pernumeruokime šiuos skaičius maždaug taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje (skaičiai nurodyti viršuje skliausteliuose prie skaičių). Nesunku patikrinti, ar suformuluota racionaliųjų skaičių numeravimo taisyklė suteikia reikiamą „vienas su vienu“ atvaizdavimą iš natūraliųjų skaičių aibės į racionaliųjų skaičių aibę.

1.13 pavyzdys. Suskaičiuojamų skaičiuojamų aibių sąjunga yra skaičiuojama aibė.

Šio fakto įrodymas yra panašus į teiginio įrodymą ankstesniame pavyzdyje.

Pabaigoje pateikiame svarbų pareiškimą tolimesnei diskusijai. Bet tam mums reikia dar vienos operacijos su rinkiniais.

Tiesioginis rinkinių produktas Ir ( Dekarto gaminys ) yra visų sutvarkytų porų rinkinys , kur ir. Šis rinkinys yra skirtas. Taigi:

Pažymime veiksnių sandaugą.

1.1 teorema. bet kokiai begalinei aibei Be to.

Visų pirma, t.y. tiesios linijos taškų aibė turi tokį patį kardinalumą kaip ir plokštumos taškų aibė. Be to, erdvėje yra tiek taškų, kiek yra tiesėje.

Tuo baigiame mūsų pažintį su pagrindinėmis matematinės logikos ir aibių teorijos sąvokomis – šiuolaikinės matematikos pagrindais. Pastebėkime, kad daugelis šių teorijų aspektų, deja, nepateko į šio skyriaus taikymo sritį, pavyzdžiui, su jomis galite susipažinti ir.

Surjekcija, injekcija ir bijekcija

Taisyklė, apibrėžianti atvaizdavimą f: X (arba funkcija /), gali būti sutartinai pavaizduota rodyklėmis (2.1 pav.). Jei aibėje Y yra bent vienas elementas, į kurį nerodo nė viena iš rodyklių, tai reiškia, kad funkcijos f reikšmių diapazonas neužpildo visos aibės Y, t.y. f(X) C Y.

Jei reikšmių diapazonas / sutampa su Y, t.y. f(X) = Y, tada tokia funkcija vadinama surjektyvia) arba, trumpai tariant, surjekcija, ir sakoma, kad funkcija / susieja aibę X į aibę Y (priešingai nei įprastas atvejis, kai aibė X susiejama su aibę Y pagal 2.1 apibrėžimą). Taigi, / : X yra surjekcija, jei Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Paveiksle šiuo atveju bent viena rodyklė veda į kiekvieną aibės Y elementą (2.2 pav.). Tokiu atveju kelios rodyklės gali nukreipti į kai kuriuos elementus iš Y. Jei į bet kurį elementą y € Y nukreipia ne daugiau nei viena rodyklė, tada / vadinama injekcine funkcija arba injekcija. Ši funkcija nebūtinai yra surjekcinė, t.y. rodyklės veda ne į visus aibės Y elementus (2.3 pav.).

Taigi, funkcija /: X -Y Y yra injekcija, jei du skirtingi elementai iš X turi atvaizdus, kai atvaizduojami / du skirtingi elementai iš Y arba Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjekcija, injekcija ir bijekcija. Atvirkštinis atvaizdavimas. Atvaizdų sudėtis yra aibių sandauga. Rodyti tvarkaraštį. Atvaizdavimas /: X->Y vadinamas bijektyviuoju, arba bijekcija, jei kiekvienas y 6 Y elementas yra kažkokio ir vienintelio elemento iš X vaizdas, t.y. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Tiesą sakant, funkcija / šiuo atveju nustato „vienas su vienu“ atitikimą tarp aibių X ir Y, todėl ji dažnai vadinama funkcija „vienas su vienu“. Akivaizdu, kad funkcija / yra dviprasmiška tada ir tik tada, kai ji yra injekcinė ir surjekcinė. Šiuo atveju rodyklės (2.4 pav.) sujungia poromis kiekvieną elementą iš X su kiekvienu elementu iš Y. Be to, jokie du elementai iš X negali būti sujungti rodykle su tuo pačiu elementu iš Y, nes / yra injekcinis, ir jokie du elementai iš Y negali būti sujungti rodyklėmis su tuo pačiu elementu iš X dėl vaizdo unikalumo reikalavimo 2.1 atvaizdavimo apibrėžime. Kiekvienas X elementas dalyvauja poriniame ryšyje, nes X yra funkcijos / sritis. Galiausiai, kiekvienas elementas iš Y taip pat dalyvauja vienoje iš porų, nes / yra surjektyvus. X ir Y vaidmenys šiuo atveju atrodo visiškai identiški, o jei visas rodykles pasuktume atgal (2.5 pav.), gautume skirtingą atvaizdavimą arba skirtingą funkciją d), kuri taip pat yra injekcinė ir surjekcinė. Žemėlapiai (funkcijos), leidžiantys tokį inversiją, vaidins svarbų vaidmenį toliau.

Konkrečiu atveju aibės X ir Y gali sutapti (X = Y). Tada bijektyvinė funkcija susies aibę X su savimi. Aibės bijekcija į save taip pat vadinama transformacija. 2.3. Atvirkštinis atvaizdavimas Tegul /: X -? Y yra tam tikra bijekcija ir tegul y € Y. Pažymime /_1(y) vienintelį elementą x € X, kad /(r) = y. Taigi apibrėžiame tam tikrą atvaizdavimą 9: Y Xу, kuris vėlgi yra bijekcija. Tai vadinama atvirkštiniu atvaizdavimu arba atvirkštine bijekcija į /. Dažnai ji dar vadinama tiesiog atvirkštine funkcija ir žymima /"*. 2.5 pav. funkcija d yra būtent atvirkštinė /, t.y. d = f"1.

Problemų sprendimų pavyzdžiai

Atvaizdai (funkcijos) / ir yra atvirkštiniai. Akivaizdu, kad jei funkcija nėra bijekcija, tai jos atvirkštinė funkcija neegzistuoja. Iš tiesų, jei / nėra injekcinis, tai koks nors elementas y € Y gali atitikti kelis elementus x iš aibės X, o tai prieštarauja funkcijos apibrėžimui. Jei / nėra surjektyvus, tai Y yra elementų, kuriems X nėra pirminių vaizdų, t.y. šiems elementams atvirkštinė funkcija neapibrėžta. 2.1 pavyzdys. A. Tegu X = Y = R – realiųjų skaičių aibė. Funkcija /, apibrėžta formule y = For - 2, i,y € R, yra bijekcija. Atvirkštinė funkcija yra x = (y + 2)/3. b. Realiojo kintamojo x tikroji funkcija f(x) = x2 nėra surjektyvi, nes neigiami skaičiai iš Y = R nėra elementų iš X = K atvaizdai kaip /: Γ -> Y. 2.2 pavyzdys. Tegu A" = R, o Y = R+ yra teigiamų realiųjų skaičių aibė. Funkcija f(x) = ax, a > 0, af 1, yra bijekcija. Atvirkštinė funkcija bus Z"1 (Y) = 1°8a Y

Surjekcija, injekcija ir bijekcija. Atvirkštinis atvaizdavimas. Atvaizdų sudėtis yra aibių sandauga. Rodyti tvarkaraštį. 2.4. Atvaizdų sudėtis Jei f:X-*Y ir g:Y-*Zy, tada atvaizdavimas (p:X -+Z, apibrėžtas kiekvienam a: 6 A" pagal formulę =, vadinamas atvaizdų kompozicija (superpozicija). (funkcijos) / ir d> arba kompleksinė funkcija, ir žymimos rho/ (2.6 pav.).
Taigi sudėtinga funkcija prieš f įgyvendina taisyklę: i Taikyti / pirma, o paskui di, t.y. operacijų sudėtyje „prieš / turite pradėti nuo operacijos / esančios dešinėje. Atkreipkite dėmesį, kad kompozicija Fig. 2.6 atvaizdavimas yra asociatyvus, t.y. jei /: X -+Y, d: Y Z ir h: Z-*H> tada (hog)of = = ho(gof)i, kurią lengviau parašyti forma ho į /. Patikrinkime tai taip: Bet kuriame wK "oaicecmee X" yra apibrėžtas atvaizdavimas 1x -X X, vadinamas identišku, dažnai taip pat žymimas idx ir pateikiamas formule Ix(x) = x Vx € A Jo -veiksmas yra toks viską palieka savo vietose.

Taigi, jei bijekcija yra atvirkštinė bijekcijos /: X - + Y, tada /"1o/ = /x ir /o/-1 = /y, kur ir /y yra identiški aibių X ir Y žemėlapiai, Atitinkamai, jei atvaizdai f: X ->Y ir p: Y A" yra tokie, kad gof = Ix ir rūkas = /y, tada funkcija / yra bijekcijos, o y yra atvirkštinė. Akivaizdu, kad jei / yra A" bijekcijos į Y, o $ yra Y bijekcijos į Z, tada gof yra X bijekcijos į Z ir bus atvirkštinė jo atžvilgiu. 2.5. Aibių sandauga. Atvaizdavimo grafikas Prisiminkite, kad dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys, kurių mastelis yra vienodas abiem ašims, apibrėžia stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą plokštumoje (2.7 pav. Koordinačių ašių susikirtimo taškas O vadinamas pradine*). koordinates.

Kiekvienas taškas M gali būti susietas su realiųjų skaičių pora (i, y), kur x yra taško Mx koordinatė koordinačių ašyje Ox, o y yra taško Mu koordinatė koordinačių ašyje Oy. Taškai Mx ir Mu yra statmenų, nuleistų iš taško M atitinkamai Ox ir Oy ašimis, pagrindai. Skaičiai x ir y vadinami taško M koordinatėmis (pasirinktoje koordinačių sistemoje), o x – taško M abscisėmis, o y – šio taško ordinatėmis. Akivaizdu, kad kiekviena realiųjų skaičių pora (a, b) a, 6 6R atitinka tašką M plokštumoje, kurio koordinatės yra šie skaičiai. Ir atvirkščiai, kiekvienas plokštumos taškas M atitinka realiųjų skaičių a ir 6 porą (a, 6). Bendruoju atveju poros (a, b) ir (6, a) nusako skirtingus taškus, t.y. Svarbu, kuris iš dviejų skaičių a ir b yra pirmas poros žymėjime. Taigi, mes kalbame apie sutvarkytą porą. Šiuo atžvilgiu poros (a, 6) ir (6, a) laikomos lygiomis viena kitai ir jos apibrėžia tą patį plokštumos tašką, jei tik a = 6. Surjekcija, injekcija ir bijekcija. Atvirkštinis atvaizdavimas.

Atvaizdų sudėtis yra aibių sandauga. Rodyti tvarkaraštį. Visų realiųjų skaičių porų aibė, taip pat taškų aibė plokštumoje, žymima R2. Šis pavadinimas siejamas su svarbia aibių teorijos sąvoka apie tiesioginį (arba dek-artovo) aibių sandaugą (dažnai jie tiesiog kalba apie aibių sandaugą). Apibrėžimas 2.2. Aibių A ir B sandauga yra galimų tvarkingų porų (x, y) aibė Ax B, kur pirmasis elementas paimtas iš A, o antrasis iš B, todėl dviejų porų (x, y) lygybė ir (&", y") yra nustatytos sąlygos x = x" ir y = y7. Poros (i, y) ir (y, x) laikomos skirtingomis, jei xy. Tai ypač svarbu turėti omenyje, kai aibės A ir B sutampa, bendruoju atveju A x B f In x A, t.y., savavališkų aibių sandauga nėra komutacinė, bet yra skirstomoji aibių sąjungos, sankirtos ir skirtumo atžvilgiu: kur žymi vieną iš trijų įvardytų. operacijos Aibių sandauga labai skiriasi nuo nurodytų dviejų aibių aibės, kurios elementai (jei ji nėra tuščia) priklauso vienai arba abiem iš pirminių aibių, o aibių sandauga priklauso naujai. rinkinys ir yra kitokios rūšies objektai, palyginti su originalių rinkinių elementais.

Galime pristatyti daugiau nei dviejų rinkinių gaminio koncepciją. Aibės (A x B) x C ir A*x (B x C) yra identifikuojamos ir tiesiog žymimos A x B x C, taigi. Veikia Ah Au Ah Ah Ah Ah ir kt. paprastai žymimas A2, A3 ir kt. Akivaizdu, kad plokštuma R2 gali būti laikoma dviejų realiųjų skaičių aibės kopijų sandauga R x R (todėl plokštumos taškų aibė vadinama dviejų skaičių linijos taškų rinkinių sandauga). Taškų aibė geometrinėje (trimatėje) erdvėje atitinka trijų taškų aibės kopijų skaičių tiesėje, žymimos R3, sandaugą R x R x R.

n realiųjų skaičių aibių sandauga žymima Rn. Ši aibė vaizduoja visas galimas n realiųjų skaičių X2) xn £ R rinkinius (xj, X2, xn), o bet kuris taškas x* iš Rn yra toks realiųjų skaičių xn £ K* rinkinys (xj, x, x*).
n savavališkų aibių sandauga yra sutvarkytų n (paprastai nevienalyčių) elementų rinkinių aibė. Tokioms aibėms naudojami pavadinimai korė (tariama „enka“). 2.3 pavyzdys Tegul A = (1, 2) ir B = (1, 2). keturi plokštumos R2 taškai, kurių koordinatės nurodomos išvardijant šios aibės elementus Jei C = (1,2) ir D = (3,4), tai 2.4 pavyzdys Tada aibių E x F interpretacija ir F x E pateiktas 2.8 pav. # Atvaizdavimui /: X galime sukurti sutvarkytų porų aibę (z, y), kuri yra tiesioginės sandaugos X x Y poaibis.
Tokia aibė vadinama atvaizdavimo f grafiku (arba funkcijos i* grafiku" - 2.5 pavyzdys. XCR ir Y = K atveju kiekviena sutvarkyta pora nurodo taško koordinates plokštumoje R2. Jei X yra skaičių tiesės R intervalas, tada funkcijos grafikas gali pavaizduoti kokią nors tiesę (2.9 pav.) Aišku, kad su XCR2 ir Y = R funkcijos grafikas yra tam tikra taškų aibė R3, kuris gali atvaizduoti tam tikrą paviršių (2.10 pav.).

Jei X C R, o Y = R2, tai funkcijos grafikas taip pat yra taškų rinkinys R3, kuris gali pavaizduoti tam tikrą tiesę, kertamą plokštumos x = const tik viename taške M su trimis koordinatėmis x) yi, y2 ( 2.11 pav.) . # Visi paminėti funkcijų grafikų pavyzdžiai yra svarbiausi matematinės analizės objektai, ateityje jie bus išsamiai aptariami.

Iškviečiamas ekranas %%f%% injekcinis,

jei bet kokiems elementams %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, tai reiškia, kad %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \visiems x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Kitaip tariant, atvaizdavimas %%f%% yra injekcinis, jei skirtingų elementų vaizdai iš %%X%% taip pat skiriasi.

Pavyzdys

Funkcija %%f(x) = x^2%%, apibrėžta aibėje %%\mathbb(R)%%, nėra injekcinė, nes su %%x_1 = -1, x_2 = 1%% gauname tos pačios funkcijos reikšmė %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Surjektyvus kartografavimas

Iškviečiamas ekranas %%f%% surjektyvus, jei kiekvienam elementui %%y \in Y%% yra elementas %%x \in X%% su sąlyga, kad %%f(x) = y%%. $$ \visiems y \in Y~\egzistuoja x \in X: f(x) = y. $$

Kitaip tariant, atvaizdas %%f%% yra paviršinis, jei kiekvienas elementas %%y \in Y%% yra bent vieno elemento %%x \in X%% vaizdas.

Pavyzdys

Atvaizdavimas %%f(x) = \sin(x)%%, apibrėžtas aibėje %%\mathbb R%%, su rinkiniu %%Y = [-2,2]%%, nėra surjektyvus, nes elemento %%y = 2 \in Y%% atvirkštinio vaizdo %%x \in X%% nepavyko rasti.

Bijektyvus žemėlapis

Iškviečiamas ekranas %%f%% dviprasmiškas, jei tai injekcinis ir surjektyvus. Bijektyvus žemėlapis taip pat vadinamas vienas prieš vieną arba transformacija.

Paprastai frazės „injektyvus žemėlapis“, „surjektyvus žemėlapis“ ir „bijektyvus žemėlapis“ atitinkamai pakeičiamos „injekcija“, „įsivaizdavimas“ ir „bijekcija“.

Atvirkštinis atvaizdavimas

Tegul %%f: X \to Y%% yra keletas bijekcija ir leiskite %%y \in Y%%. Pažymėkime %%f^(-1)(y)%% vienintelį elementą %%x \in X%%, kad %%f(x) = y%%. Taigi mes apibrėžsime keletą naujų ekranas%%g: Y \iki X%%, tai vėlgi yra bijekcija. Jie jai skambina atvirkštinis atvaizdavimas.

Pavyzdys

Tegul %%X, Y = \mathbb R%% yra realiųjų skaičių aibė. Funkcija %%f%% pateikiama formule %%y = 3x + 3%%. Ar ši funkcija turi atvirkštinę reikšmę? Jei taip, kuri?

Norėdami sužinoti, ar tam tikra funkcija turi atvirkštinę reikšmę, turite patikrinti, ar ji yra bijekcija. Norėdami tai padaryti, patikrinkime, ar šis žemėlapis yra injekcinis Ir surjektyvus.

Patikrinkime injekciją. Tegul %%x_1 \neq x_2%%. Patikrinkime, kad %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, tai yra %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Tarkime priešingai, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Tada paaiškėja, kad %%x_1 = x_2%%. Turime prieštaravimą, nes %%x_1 \neq x_2%%. Todėl %%f%% yra injekcija.
Patikrinkime surjekcija. Tegul %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Raskime elementą %%x \in X = \mathbb(R)%% su sąlyga, kad %%f(x) = y%%, tai yra %%3x + 3 = y%%. Šioje lygybėje nurodytas elementas %%y \in \mathbb(R)%% ir reikia rasti elementą %%x%%. Akivaizdu, kad $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Todėl atvaizdavimas %%f%% yra surjektyvus.

Kadangi %%f%% yra injekcija ir išmetimas, tai %%f%% yra bijekcija. Ir, atitinkamai, atvirkštinis atvaizdavimas yra %%x = \frac(y-3) (3)%%.

ŽEMĖLAPIŲ RINKINYS §1. Pagrindiniai apibrėžimai

Apibrėžimas. Tegu A ir B yra dvi aibes. Jie sako, kad aibės A susiejimas f su B pateikiamas, jei yra nurodytas dėsnis, pagal kurį bet kuris elementas a iš A yra susietas su vienu elementu b iš aibės B:

Žemėlapiai taip pat vadinami funkcijomis.

Mes naudosime šį žymėjimą:

ƒ : A→ B. Atvaizdavimas f paima aibę A į B;

A f B. Aibė A susieta su B, kai susieta f.

Jei elementas a, kai susietas f, patenka į elementą b, tada parašykite f(a)=b (kairysis įrašas) arba af=b (dešinysis įrašas). Elementas b vadinamas elemento a atvaizdu pagal atvaizdavimą f; elementas a yra atvirkštinis b atvaizdas

šis ekranas. Aibė ( f (a ) | a A ) = f (A ) yra aibės A vaizdas pagal atvaizdavimą f. Prisimink tai

f(A)B.

A B

f f(A)

A - domenas kartografavimas f; IN – diapazonas kartografuojant f (kartais – pavyzdžiui, mokyklinėje matematikoje – reikšmių diapazonas laikomas f(A), bet laikysime jį B).

Atminkite, kad atsižvelgiame tik į vienos vertės atvaizdus.

Iš visų ekranų ypač išsiskiria šie tipai:

1. Surjekcija (atvaizdavimas „įjungtas“) yra toks atvaizdavimas f : A → B, kad f (A ) = B . Išsklaidant, kiekvienas elementas iš rinkinio B turi bent vieną atvirkštinį vaizdą.

2. Injekcija – kartografavimas, kurio metu skirtingi elementai paverčiami skirtingais, t.y. jei a, a 1 A ir a ≠ a 1, tai f (a) ≠ f (a 1).





				f(a1)

3. Bijekcija arba „vienas su vienu“ žemėlapių sudarymas yra žemėlapis, kuris yra ir injekcija, ir išmetimas.

Ekranų pavyzdžiai:.

1. Tegu A yra bet kuri aibė, o B – iš vieno elemento susidedanti aibė, t.y. B=(b).

A . b

Atvaizdavimas f (a) = b, a A yra išmetimas, nes f(A)=B.

2. Tegul aibė A yra kokia nors atkarpa plokštumoje, aibė B – tiesė. Iš kiekvieno atkarpos A taško nuleidžiame statmeną tiesei B ir šių statmenų pagrindus dedame į atkarpos A taškus.

A a

φ(a) V

Šį atvaizdavimą pažymėkime φ. Akivaizdu,

ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

Todėl atvaizdavimas φ yra injekcija (bet ne išmetimas).

3. Tegul aibė A yra stačiojo trikampio hipotenuzė, o B – jos kojelė. Bet kurį hipotenuzės tašką susiekime su jo projekcija į koją. Gauname „vienas su vienu“ atvaizdavimą nuo A iki B:

tie. f yra bijekcija.

Atkreipkite dėmesį, kad taip matematika įrodo, kad hipotenuzės ir kojos taškų „skaičius“ yra vienodas (tiksliau, šios aibės turi tą patį kardinalumą).

komentuoti. Nesunku sugalvoti žemėlapį, kuris nebūtų nei išmetimas, nei injekcija, nei bijekcijos.

4. Jei f yra bet kuri tikrojo kintamojo funkcija, tai f yra atvaizdavimas iš R į R.

§2. Žemėlapio dauginimas

Tegul A, B, C yra trys aibės ir pateikiami du žemėlapiai f : A → B ir ϕ : B → C.

Apibrėžimas 1. Šių atvaizdų sandauga yra atvaizdavimas, gaunamas juos nuosekliai vykdant.

ϕf

Yra dvi įrašymo parinktys.

1. Kairysis įrašas.
ƒ (a) = b, ϕ (b) = c.		pažymėkite ϕ f:
Tada f ir φ sandauga bus	išversti a į c, tai turėtų būti	pažymėkite ϕ f:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c, ϕ f : A → C (žr. paveikslą aukščiau).
Pagal apibrėžimą (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ),	tie. kartografavimo produktas –	tai sudėtinga funkcija
nustatytas į A.

2. Dešinysis įėjimas.

aƒ =b, bϕ =c. Tada a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,

f ϕ : A → C.

Mes naudosime kairįjį žymėjimą (atkreipkite dėmesį, kad knygoje naudojamas dešinysis žymėjimas). Žemiau atvaizdų sandaugą pažymėsime f ϕ.

1 pastaba. Iš atvaizdų daugybos apibrėžimo išplaukia, kad galima dauginti ne bet kokius atvaizdus, o tik tuos, kurių „vidutinės“ aibės yra vienodos. Pavyzdžiui, jei f : A → B ,ϕ : D → C , tai B=D atvaizdavimai f ir φ gali būti padauginti, bet B≠D tai neįmanoma.

Atvaizdavimo daugybos savybės

2 apibrėžimas. Sakoma, kad žemėlapiai f ir g yra lygūs, jei jų apibrėžimo sritys ir reikšmių diapazonai sutampa, t.y. f : A → B , g : A → B ir tenkinama sąlyga: a A yra teisinga

lygybė f (a) = g (a).

1. Žemėlapių dauginimas yra nekomutacinis. Kitaip tariant, jei fφ ir φf egzistuoja, tai jie nebūtinai yra lygūs.

Tarkime, kad aibės A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) Apsvarstykite sandaugas:

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

Todėl funkcijos fφ ir φf yra skirtingos.

2. Žemėlapių dauginimas yra asociatyvus.

Tegu f : A → B, ϕ : B → C, ψ : C → D. Įrodykime, kad (ψϕ ) f

E x , f : R → R, ϕ : R → R .

ir ψ (ϕ f ) egzistuoja ir yra lygūs, t. y. (ψϕ ) f =

ψ (ϕ f) . (1)

Akivaizdu, kad (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .

Norint įrodyti lygybę (1), remiantis atvaizdų lygybės apibrėžimu, būtina patikrinti, ar a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Naudojant atvaizdavimo daugybos apibrėžimą (kairiame įraše)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Nes lygybėse (3) ir (4), jei dešinės pusės lygios, tai ir kairiosios pusės yra lygios, t.y. lygybė (2) yra teisinga, o tada (1) taip pat yra teisinga.

2 pastaba. Daugybos asociatyvumas leidžia vienareikšmiškai nustatyti trijų sandaugą, o tada bet kurio baigtinio skaičiaus veiksnių sandaugą.

keletas pirminių vaizdų A arba jų visai nėra. Tačiau dviobjektyviam žemėlapiui f galima apibrėžti atvirkščiai.

Tegu f : A → B yra bijekcija, f (a) = b, a A, b B. Tada bet kuriam elementui b B pagal bijekcijos apibrėžimą yra unikalus atvirkštinis vaizdas po atvaizdavimu f - tai elementas a. Dabar galime apibrėžti f − 1 : B → A, nustatydami f − 1 (b ) = a (b B ) . Nesunku pastebėti, kad f − 1 yra bijekcija.

Taigi, kiekvienas bijektyvus žemėlapis turi atvirkštinį pobūdį.

§3. Nustatyti transformacijas

Iškviečiamas bet koks atvaizdavimas f : A → A rinkinio transformacija A. Visų pirma bet koks

tikrojo kintamojo funkcija yra aibės R transformacija.

Taškų aibės transformacijų plokštumoje pavyzdžiai yra plokštumos sukimas, simetrija apie ašį ir kt.

Kadangi transformacijos yra ypatingas atvaizdų atvejis, viskas, kas aukščiau pasakyta apie atvaizdavimą, galioja ir jiems. Tačiau aibės A transformacijų dauginimas taip pat turi specifinių savybių:

1. bet kurioms aibės A transformacijoms f ir φ egzistuoja sandaugos fφ ir φf;

2. yra aibės A tapatybės transformacijaε: ε (a) = a, a A.

Nesunku pastebėti, kad bet kuriai šios aibės f transformacijai f ε = ε f = f, nes, pavyzdžiui, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Tai reiškia, kad transformacija ε atlieka vienetinio elemento vaidmenį dauginant transformacijas.

lygybes lengva patikrinti. Taigi atvirkštinė transformacija dauginant transformacijas atlieka atvirkštinio elemento vaidmenį.

Ekranai (funkcijos)

Funkcijos vaidina pagrindinį vaidmenį matematikoje, kur jos naudojamos apibūdinti bet kokį procesą, kurio metu vienos rinkinio elementai kažkaip paverčiami kito elementais. Tokios elementų transformacijos yra pagrindinė idėja, kuri yra nepaprastai svarbi visiems skaičiavimo procesams.

Apibrėžimas. Vadinamas santykis f ties AB ekranas (funkcija) nuo A iki B, jei kiekvienam xA yra vienas ir tik vienas yB. nustatyti dvejetainių santykių ekvivalentą

f: AB arba y=f(x)

Aibė A vadinama apibrėžimo sritis. B rinkinys - verčių diapazonas.

Jei y=f(x), vadinasi x iškviečiamas argumentas, ir y - funkcijos reikšmė.

Leiskite f: AB, tada

apibrėžimų rinkinys Funkcijos:

kelių reikšmių Funkcijos:

Funkcijos apibrėžimo aibė yra apibrėžimo srities poaibis, t.y. Dom f A, o funkcijos reikšmių rinkinys yra funkcijų diapazono poaibis, t.y. Im f B. Jei, tada funkcija vadinama visumine funkcija, o jei ji yra daline funkcija. Taigi, Venno diagrama yra patogus funkcijos, apibrėžtos rinkinyje A su reikšmėmis rinkinyje B, iliustracija.

Funkcijos nustatymo metodai:

1) Žodinis.
2) Analitinis.
3) Grafiko ar piešinio naudojimas.
4) Lentelių naudojimas.

Apibrėžimas. Jei MA, tada iškviečiama aibė f(M)=y f(x)=y tam tikram x iš M būdu nustato M.

Jei KB, tai iškviečiama aibė f -1 (K)=x f(x)K prototipas komplektuoja K.

Apibrėžimas Funkcija vadinama n-argumentine funkcija arba n-are funkcija. Ši funkcija susieja eilutę su bB, .

Atvaizdų (funkcijų) savybės.

1) Iškviečiamas atvaizdavimas f: AB injekcinis, jei jis atvaizduoja skirtingus elementus iš A į skirtingus elementus iš B: .

Ši savybė gali būti parodyta naudojant Venno diagramas.

2) Iškviečiamas atvaizdavimas f: AB surjektyvus arba susiejimas su visa aibe B, jei bent vienas elementas iš A yra susietas su kiekvienu aibės B elementu: .

Ši savybė taip pat gali būti parodyta naudojant Venno diagramas.

3) Pavadinamas atvaizdavimas f: AB, kuris yra ir injekcinis, ir surjektyvus dviprasmiškas arba „vienas su vienu“ atvaizdavimas iš rinkinio A į rinkinį B.

Pavyzdys. Pateikiame atvaizdavimą f: RR, kuris apibrėžiamas taip, kad. Sužinokite, kokias savybes turi šis žemėlapis.

Sprendimas. Funkcija f nėra injekcinė, nes f (2) = f (2), bet 2 2.

Funkcija f taip pat nėra surjektyvi, nes nėra tikrojo skaičiaus x, kuriam f (x) = 1.

Apibrėžimas. Tegu f yra bijektyvus aibės A atvaizdavimas aibėje B. Jei kiekvieną elementą iš B susiesime su susijusiu elementu iš A, tai toks atitikimas yra B atvaizdavimas į A. Šis atvaizdavimas žymimas ir vadinamas atvirkštinis susiejimas su f.

Atvirkštinis atvaizdavimas turi tam tikrų savybių, kurias suformuluosime kitoje teoremoje.

3 teorema. Jei f: AB yra bijekcijos, tada