Teisingas operacijų tyrimo sąvokos apibrėžimas yra toks: Operacijų tyrimo dalykas ir uždaviniai

1. Pagrindinės AI sąvokos

IR APIE – mokslinė disertacija, užsiima efektyviausio įvairių organizacinių sistemų valdymo metodų kūrimu ir praktiniu taikymu.

IO apima šiuos skyrius:

1) matematinė programa. (ūkinės veiklos planų, programų pagrindimas); ją sudaro skyriai: tiesinė programa, netiesinė programa, dinaminė programa

2) eilių teorija, pagrįsta atsitiktinių procesų teorija;

3) žaidimo teorija, leidžianti pagrįsti sprendimus, priimtus nepilnos informacijos sąlygomis.

Sprendžiant konkrečią valdymo problemą, AI metodai apima:

Ekonominių ir matematinių modelių kūrimas sprendimų priėmimo problemoms sudėtingose ​​situacijose arba neapibrėžtumo sąlygomis;

Santykių, kurios vėliau lemia sprendimų priėmimą, tyrimas ir veiklos kriterijų, leidžiančių įvertinti konkrečios veiklos krypties pranašumą, nustatymas.

Pagrindinės IO sąvokos ir apibrėžimai.

Operacija – bet kokia kontroliuojama veikla, kuria siekiama tikslo. Operacijos rezultatas priklauso nuo jos įgyvendinimo būdo, organizavimo, kitu atveju – nuo ​​tam tikrų parametrų pasirinkimo. Operacija visada yra kontroliuojamas įvykis, tai yra, nuo mūsų priklauso, kaip pasirinkti kai kuriuos jos organizavimą apibūdinančius parametrus. „Organizacija“ čia suprantama plačiąja šio žodžio prasme, įskaitant operacijoje naudojamų techninių priemonių rinkinį.

Bet koks konkretus parametrų pasirinkimas vadinamas sprendimą . Sprendimai gali būti sėkmingi ir nesėkmingi, pagrįsti ir nepagrįsti. Optimalus apsvarstyti tuos sprendimus, kurie dėl vienokių ar kitokių priežasčių yra geresni už kitus. Pagrindinis operacijų tyrimo uždavinys – išankstinis kiekybinis optimalių sprendimų pagrindimas.

Veikimo modelis – tai gana tikslus operacijos aprašymas naudojant matematinį aparatą (įvairių rūšių funkcijas, lygtis, lygčių ir nelygybių sistemas ir kt.). Norint sudaryti operacijos modelį, reikia suprasti aprašomo reiškinio esmę ir žinoti matematinį aparatą.

Veikimo efektyvumas – jos pritaikymo užduočiai laipsnis kiekybiškai išreiškiamas efektyvumo kriterijaus – tikslinės funkcijos – forma. Veiksmingumo kriterijaus pasirinkimas lemia praktinę tyrimo vertę. (Neteisingai pasirinktas kriterijus gali būti žalingas, nes pagal tokį efektyvumo kriterijų organizuojamos operacijos kartais sukelia nepateisinamų išlaidų.)

Tinklo planavimo ir valdymo užduotys apsvarstykite ryšį tarp didelio operacijų (darbų) užbaigimo datų ir visų komplekso operacijų pradžios laiko. Šios užduotys susideda iš minimalios operacijų rinkinio trukmės, optimalaus sąnaudų verčių santykio ir jų įgyvendinimo laiko nustatymo.

Eilių problemos yra skirtos paslaugų sistemų su taikomųjų programų ar reikalavimų eilėmis tyrimui ir analizei ir susideda iš sistemų veikimo rodiklių, optimalių jų charakteristikų nustatymo, pavyzdžiui, paslaugų kanalų skaičiaus, aptarnavimo trukmės ir kt.

Atsargų valdymo užduotys susideda iš optimalių atsargų lygio (užsakymo taško) ir užsakymo dydžio reikšmių radimo. Tokių užduočių ypatumas yra tas, kad, didėjant atsargų lygiui, viena vertus, didėja jų saugojimo kaštai, tačiau, kita vertus, mažėja nuostoliai dėl galimo sandėliuojamos prekės trūkumo.

Išteklių paskirstymo problemos atsiranda atliekant tam tikrą operacijų (darbų) rinkinį, kuris turi būti atliktas turint ribotus turimus išteklius, ir būtina rasti optimalų išteklių paskirstymą tarp operacijų ar operacijų sudėties.

Įrangos remonto ir keitimo darbai yra aktualūs dėl įrangos susidėvėjimo ir būtinybės ją laikui bėgant pakeisti. Užduotys apsiriboja optimalaus laiko, prevencinių remontų ir apžiūrų skaičiaus, taip pat įrangos keitimo modernizuota įranga nustatymu.

Užduočių planavimas (planavimas). susideda iš optimalios operacijų tvarkos nustatymo (pavyzdžiui, dalių apdorojimo) su įvairių tipų įranga.

Planavimo ir išdėstymo užduotys nia Tai yra optimalaus naujų objektų skaičiaus ir vietos nustatymas, atsižvelgiant į jų sąveiką su esamais objektais ir tarpusavyje.

Maršruto pasirinkimo problemos arba tinklą problemos, su kuriomis dažniausiai susiduriama tiriant įvairias transporto ir ryšių sistemų problemas, ir susideda iš ekonomiškiausių maršrutų nustatymo.

2. Bendra linijinės programos problema. Sprendimo optimizavimas

Ekonominis-matematinis modelis

LP yra matematikos šaka, kurianti teoriją ir skaitinius metodus daugelio kintamųjų tiesinės funkcijos ekstremumo (maksimalaus arba minimumo) nustatymo problemoms spręsti, esant tiesiniams apribojimams, t.y. lygybėms ar nelygybėms, jungiančioms šiuos kintamuosius.

LP metodai taikomi sprendžiant praktines problemas, kuriose: 1) reikia pasirinkti geriausią sprendimą (optimalų planą) iš daugybės galimų; 2) sprendimas gali būti išreikštas kaip kai kurių kintamųjų reikšmių rinkinys; a) apribojimai, kuriuos įmanomiems sprendimams nustato konkrečios problemos sąlygos, formuluojami tiesinių lygčių arba nelygybių pavidalu; 4) tikslas išreiškiamas pagrindinių kintamųjų tiesinės funkcijos forma. Tikslinės funkcijos reikšmės, leidžiančios palyginti skirtingus sprendimus, yra sprendimo kokybės kriterijus.

Norint praktiškai išspręsti ekonominę problemą matematiniais metodais, pirmiausia ji turi būti užrašoma naudojant ekonominį-matematinį modelį. Ekonominis-matematinis modelis – tai matematinis tiriamo ekonominio proceso ar objekto aprašymas. Šis modelis ekonominio proceso dėsnius išreiškia abstrakčia forma, naudojant matematinius ryšius.

Bendra modelio formavimo schema: I

1) tam tikro skaičiaus kintamų dydžių, kurių skaitinių reikšmių priskyrimas vienareikšmiškai nustato vieną iš galimų tiriamo reiškinio būsenų, parinkimas;

2) tiriamam reiškiniui būdingų ryšių raiška matematinių ryšių (lygčių, nelygybių) forma. Šie santykiai sudaro problemos suvaržymų sistemą;

3) pasirinkto optimalumo kriterijaus kiekybinė išraiška tikslo funkcijos forma; aš

4) matematinis uždavinio formulavimas kaip tikslo funkcijos ekstremumo radimo uždavinys, atsižvelgiant į kintamiesiems taikomų apribojimų įvykdymą.

Bendra linijinio programavimo problema turi formą:

Duota m tiesinių lygčių ir nelygybių sistema su n kintamųjų

ir tiesinė funkcija

Reikia rasti sistemos X=(x1,x2,…,xj,…,xn) sprendimą, kur tiesinė funkcija F įgauna optimalią (t.y. maksimalią arba mažiausią) reikšmę.

Sistema (1) vadinama apribojimų sistema, o funkcija F vadinama tiesine funkcija, tiesine forma, tikslo funkcija arba tikslo funkcija.

Trumpiau tariant, bendrąją linijinio programavimo problemą galima pavaizduoti taip:

su apribojimais:

Optimalus sprendimas (arba optimalus planas) LP uždavinio sprendimas yra X=(x1,x2,…,xj,…,xn), apribojimų sistema (1), atitinkanti (3) sąlygą, pagal kurią tiesinė funkcija (2) įgyja optimalią. (maksimali arba mažiausia) vertė.

Su sąlyga, kad visi kintamieji yra neneigiami, apribojimų sistema (1) susideda tik iš nelygybių – tokia linijinio programavimo problema vadinama standartine (simetriška); jei apribojimų sistema susideda tik iš lygčių, tai problema vadinama kanonine.

Ypatingas kanoninės problemos atvejis yra pagrindinės formos problema, kuriai būdinga tai, kad visi apribojimo vektoriaus koeficientai b yra neneigiami, ir kiekvienoje lygtyje yra kintamasis, kurio koeficientas yra 1, kuris nėra įtrauktas į jokią kitą lygtį. Kintamasis su šia savybe vadinamas baziniu.

Standartinės ir kanoninės problemos yra specialūs bendrosios problemos atvejai. Kiekvienas iš jų naudojamas tam tikroje srityje. Be to, visos trys formuluotės yra lygiavertės viena kitai: bet kurią linijinio programavimo problemą galima redukuoti į kanoninę, standartinę ar bendrąją problemą, naudojant paprastas matematines transformacijas.

4 . Tiesinės algebros elementai

M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų turi formą

arba trumpąja forma

Bet kurie m kintamieji iš m tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų (m< n) называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Такой определитель часто называют базисным минором матрицы А. Тогда остальные m–n переменных называются неосновными (или свободными).

Išspręsti sistemą (2.1) su sąlyga m< n сформулируем утверждение.

Pareiškimas 2.1. Jei dėl sistemosmtiesines lygtis sunkintamieji (m < n) kintamųjų koeficientų matricos rangas yra lygus m, t.y. Jei yra bent viena pagrindinių kintamųjų grupė, tada ši sistema yra neapibrėžta, o kiekviena savavališka nepagrindinių kintamųjų reikšmių rinkinys atitinka vieną sistemos sprendimą.

Sprendimas Sistemos (2.1) X=(x1,x2,…,xn) vadinamas leistinu, jei joje yra tik neneigiami komponentai, t.y. xj>=0 bet kuriam j=1,n. Priešingu atveju sprendimas vadinamas negaliojančiu.

Tarp begalinio skaičiaus sistemos sprendinių išskiriami vadinamieji pagrindiniai sprendiniai.

Bazinis sprendimas m tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos sprendimas, kuriame visi n–m mažųjų kintamųjų yra lygūs nuliui.

Linijinio programavimo uždaviniuose ypač domina leistini pagrindiniai sprendimai arba, kaip jie dar vadinami, atskaitos planai. Pagrindinis sprendimas, kuriame bent vienas iš pagrindinių kintamųjų yra lygus nuliui, vadinamas išsigimusiu.

Išgaubtos taškų aibės

Bendra apibrėžianti savybė, skirianti išgaubtą daugiakampį nuo neišgaubto, yra ta, kad jei paimsite bet kuriuos du jo taškus ir sujungsite juos su atkarpa, tada visa atkarpa priklausys tam daugiakampiui. Ši savybė gali būti naudojama norint apibrėžti išgaubtą taškų rinkinį.

Taškų rinkinys vadinamas išgaubtu, jei jame kartu su bet kuriais dviem jo taškais yra visa atkarpa, jungianti šiuos taškus.

Išgaubti rinkiniai turi svarbų nuosavybė: Bet kokio skaičiaus išgaubtų aibių sankirta (bendroji dalis) yra išgaubta aibė.

Tarp išgaubtos aibės taškų galima išskirti vidinius, ribinius ir kampinius taškus.

Aibės taškas vadinamas vidiniu, jei kai kuriose jo apylinkėse yra tik šios aibės taškų.

Aibės taškas vadinamas ribiniu tašku, jei kurioje nors jo apylinkėje yra ir taškai, priklausantys duotai aibei, ir jai nepriklausantys taškai.

Ypatingas susidomėjimas linijinio programavimo problemomis yra kampiniai taškai. Aibės taškas vadinamas kampinis(arba kraštutinis), jei jis nėra vidinis jokiam segmentui, visiškai priklausančiam duotai aibei.

Fig. 2.4 pateikiami įvairių daugiakampio taškų pavyzdžiai: vidinis (taškas M), riba (taškas N) ir kampas (taškai A, B, C, D, E). Taškas A yra kampinis taškas, nes bet kuriai atkarpai, visiškai priklausančiai daugiakampiui, pavyzdžiui, atkarpai AP, jis nėra vidinis; taškas A yra atkarpos KL vidinis, tačiau ši atkarpa ne visiškai priklauso daugiakampiui.

Išgaubtoje aibėje kampiniai taškai visada sutampa su daugiakampio (daugiakampio) viršūnėmis, o ne išgaubtoje aibėje tai nėra būtina. Taškų aibė vadinama uždara, jei ji apima visus jos ribinius taškus. Taškų rinkinys vadinamas ribotas, jei bet kuriame aibės taške yra baigtinio ilgio spindulio rutulys (apskritimas), kurio centras yra pilnai duotas; kitu atveju aibė laikoma neapribota.

Išgaubta uždara taškų aibė plokštumoje, turinti baigtinį kampinių taškų skaičių, vadinama išgaubtu daugiakampiu, jei ji apribota, ir išgaubtąja daugiakampio sritimi, jei ji neapribota.

Nelygybių, lygčių ir jų sistemų sprendinių geometrinė reikšmė

Panagrinėkime nelygybių sprendimus.

1 teiginys. Nelygybės su dviem kintamaisiais a11x1+a12x2 sprendinių aibė<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1 , включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравен­ства a11x1+a12x2>=b1.

Norint nustatyti pageidaujamą pusiau plokštumą (viršutinę arba apatinę), rekomenduojama nustatyti savavališką valdymo tašką, kuris nėra ant jo ribos - pastatytą tiesią liniją. Jei nelygybė galioja valdymo taške, tada ji galioja visuose pusės plokštumos, kurioje yra valdymo taškas, taškuose, o ne visuose kitos pusės plokštumos taškuose. Ir atvirkščiai, jei nelygybė netenkinama valdymo taške, ji netenkinama visuose pusės plokštumos, kurioje yra valdymo taškas, taškuose, o tenkinama visuose kitos pusės plokštumos taškuose. Kontroliniu tašku patogu paimti koordinačių O (0;0) pradžią, kuri nėra pastatytoje tiesėje.

Panagrinėkime nelygybių sistemų sprendimų rinkinį.

2 teiginys. Dviejų kintamųjų tiesinių nelygybių jungtinės sistemos sprendinių aibė yra išgaubtas daugiakampis (arba išgaubta daugiakampio sritis).

Kiekviena nelygybė pagal 1 teiginį nustato vieną iš pusplokštumų, kuri yra išgaubta taškų rinkinys. Jungtinės tiesinių nelygybių sistemos sprendinių aibė yra taškai, priklausantys visų nelygybių sprendinių pusplokštumoms, t.y. priklauso jų sankirtai. Pagal teiginį apie išgaubtų aibių sankirtą, ši aibė yra išgaubta ir joje yra baigtinis kampinių taškų skaičius, t.y. yra išgaubtas daugiakampis (išgaubtas daugiakampis plotas).

Kampinių taškų – daugiakampio viršūnių – koordinatės randamos kaip atitinkamų tiesių susikirtimo taškų koordinatės.

Statant sprendinių sritis nelygybių sistemoms, gali pasitaikyti ir kitų atvejų: sprendinių aibė yra išgaubtas daugiakampis plotas (2.9 pav., a); vienas taškas (2.9 pav., b); tuščia aibė, kai nelygybių sistema nenuosekli (2.9 pav., c).

5 . Geometrinis LP uždavinių sprendimo metodas

optimalus LP problemos sprendimas

1 teorema. Jei LP uždavinys turi optimalų sprendimą, tai tiesinė funkcija įgauna didžiausią reikšmę viename iš sprendimo daugiakampio kampinių taškų. Jei tiesinė funkcija įgauna didžiausią reikšmę daugiau nei viename kampiniame taške, tada ji įgauna ją bet kuriame taške, kuris yra išgaubtas tiesinis šių taškų derinys.

Teorema nurodo pagrindinį LP uždavinių sprendimo būdą. Iš tiesų, pagal šią teoremą, užuot ištyrus begalinį įmanomų sprendinių aibę, norint rasti tarp jų norimą optimalų sprendimą, reikia ištirti tik baigtinį sprendinio daugiakampio kampinių taškų skaičių.

Kita teorema skirta analitiniam kampinių taškų radimo metodui.

2 teorema. Kiekvienas leistinas LP uždavinio pagrindinis sprendinys atitinka sprendinio daugiakampio kampinį tašką, ir atvirkščiai, kiekvieną sprendinio daugiakampio kampinį tašką atitinka leistinas pagrindinis sprendinys.

Iš 1 ir 2 teoremų tiesiogiai išplaukia svarbi pasekmė: Jei LP problema turi optimalų sprendimą, tada ji sutampa su bent vienu iš leistinų pagrindinių sprendimų.

Taigi, LP uždavinio tiesinės funkcijos optimumo reikia ieškoti tarp baigtinio skaičiaus leistinų pagrindinių sprendinių.

Taigi LP uždavinio įmanomų sprendinių aibė (sprendinio daugiakampis) yra išgaubtas daugiakampis (arba išgaubtas daugiakampis), o optimalus problemos sprendimas yra bent viename iš sprendinio daugiakampio kampinių taškų.

Apsvarstykite problemą standartine forma su dviem kintamaisiais (P = 2).

Tegul geometrinis apribojimų sistemos vaizdas yra daugiakampis A B C D E(4.1 pav.). Tarp šio daugiakampio taškų reikia rasti tašką, kuriame tiesinė funkcija F=c1x1+c2x2 įgauna didžiausią (arba mažiausią) reikšmę.

Panagrinėkime vadinamąjį lygio linija tiesinė funkcija F, t.y. linija, išilgai kurios ši funkcija įgauna tą pačią fiksuotą reikšmę A, t.y. F = A, arba c1x1+c2x2=a.

Sprendimo daugiakampyje raskite tašką, per kurį eina funkcijos lygio linija F su aukščiausiu (jeigu tiesinė funkcija maksimaliai padidinama) arba žemiausiu (jei ji sumažinama) lygiu.

Funkcijos c1x1+c2x2=a lygio linijos lygtis yra tiesės lygtis. Skirtingais lygiais A lygio linijos yra lygiagrečios, nes jų kampinius koeficientus lemia tik koeficientų c1 ir c2 santykis ir todėl yra lygūs. Taigi, funkcijos lygio linijos F – Tai yra savotiškos „paralelės“, paprastai esančios kampu koordinačių ašių atžvilgiu.

Svarbi tiesinės funkcijos lygio linijos savybė yra ta, kad lygiagrečiai paslinkus liniją viena kryptimi, lygis tik didėja, o paslinkus kita kryptimi – tik mažėja. Vektorius c=(c1,c2), kylantis iš pradžios, rodo funkcijos F sparčiausio didėjimo kryptį. Tiesinės funkcijos lygio linija statmena vektoriui c=(c1,c2).

LP problemos grafinio sprendimo procedūra:

1. Sukonstruoti sprendinių daugiakampį.

2. Sukurkite vektorių c=(c1,c2) ​​ir pirmiausia nubrėžkite jam tiesinės funkcijos lygio liniją F, pavyzdžiui, F=0.

3. Lygiagrečiai judant tiesei F=0 vektoriaus c(-c) kryptimi raskite tašką Amax(Bmin), kuriame F pasiekia savo maksimumą (minimumą).

1. Bendrai spręsdami tiesių, susikertančių optimaliame taške, lygtis, raskite jo koordinates.

2. Apskaičiuokite Fmax(Fmin).

komentuoti. Mažiausias taškas yra „įėjimo“ taškas į sprendimo daugiakampį, o didžiausias – „išėjimo“ iš daugiakampio taškas.

6. Bendra simplekso metodo idėja. Geometrinė interpretacija

Grafinis metodas taikomas labai siaurai linijinio programavimo uždavinių klasei: jis gali efektyviai išspręsti problemas, kuriose yra ne daugiau kaip du kintamieji. Buvo nagrinėjamos pagrindinės linijinio programavimo teoremos, iš kurių išplaukia, kad jei tiesinio programavimo uždavinys turi optimalų sprendimą, tai jis atitinka bent vieną sprendinio daugiakampio kampinį tašką ir sutampa su bent vienu iš leistinų pagrindinių sprendinių. suvaržymų sistema. Nurodytas bet kurios linijinio programavimo uždavinio sprendimo būdas: išvardinti baigtinį skaičių įmanomų pagrindinių apribojimų sistemos sprendinių ir iš jų pasirinkti tą, kuriame tikslo funkcija pateikia optimalų sprendimą. Geometriškai tai atitinka visų sprendinio daugiakampio kampinių taškų surašymą. Tokia išsami paieška galiausiai atves prie optimalaus sprendimo (jei toks yra), tačiau jo praktinis įgyvendinimas yra susijęs su didžiuliais sunkumais, nes realioms problemoms įmanomų pagrindinių sprendimų skaičius, nors ir baigtinis, gali būti labai didelis.

Leidžiamų ieškoti pagrindinių sprendinių skaičių galima sumažinti, jei paieška atliekama ne atsitiktinai, o atsižvelgiant į tiesinės funkcijos pokyčius, t.y. užtikrinant, kad kiekvienas paskesnis sprendimas būtų „geresnis“ (arba bent jau „ne prastesnis“) nei ankstesnis, pagal tiesinės funkcijos reikšmes (padidinti ieškant maksimumo, mažinti ieškant minimumo) . Ši paieška leidžia sumažinti žingsnių skaičių ieškant optimalaus. Paaiškinkime tai grafiniu pavyzdžiu.

Įmanomų sprendimų sritis pavaizduota daugiakampiu A B C D E. Tarkime, kad jo kampinis taškas A atitinka pradinį įmanomą pagrindinį sprendimą. Atliekant atsitiktinę paiešką reikėtų išbandyti penkis įmanomus pagrindinius sprendimus, atitinkančius penkis daugiakampio kampinius taškus. Tačiau iš piešinio aišku, kad po viršaus A pravartu persikelti į gretimą viršūnę IN, ir tada iki optimalaus taško SU. Vietoj penkių perėjome tik tris viršūnes, nuosekliai tobulindami tiesinę funkciją.

Idėja nuosekliai tobulinti sprendimą sudarė pagrindą universaliam linijinio programavimo problemų sprendimo metodui - simplekso metodas arba plano nuoseklaus tobulinimo būdas.

Simplekso metodo geometrinė reikšmė susideda iš nuoseklaus perėjimo iš vienos apribojimo daugiakampio viršūnės (vadinamos pradine) į gretimą, kurioje tiesinė funkcija įgauna geriausią (bent jau ne blogiausią) reikšmę, palyginti su problemos tikslas; kol bus rastas optimalus sprendimas – viršūnė, kurioje pasiekiama optimali tikslo funkcijos reikšmė (jei problema turi galutinį optimalumą).

Pirmą kartą simplekso metodą 1949 metais pasiūlė amerikiečių mokslininkas J. Dancigas, tačiau dar 1939 metais metodo idėjas sukūrė rusų mokslininkas L. V. Kantorovičius.

Simpleksinis metodas, leidžiantis išspręsti bet kokią linijinio programavimo problemą, yra universalus. Šiuo metu jis naudojamas kompiuteriniams skaičiavimams, tačiau paprastus pavyzdžius naudojant simplekso metodą galima išspręsti rankiniu būdu.

Norint įgyvendinti simplekso metodą – nuoseklų sprendimo tobulinimą – būtina įsisavinti trys pagrindiniai elementai:

bet kokio pradinio galimo pagrindinio problemos sprendimo nustatymo metodas;

perėjimo prie geriausio (tiksliau, ne blogesnio) sprendimo taisyklė;

rasto sprendimo optimalumo patikrinimo kriterijus.

Norint naudoti simplekso metodą, tiesinio programavimo uždavinį reikia redukuoti iki kanoninės formos, t.y. apribojimų sistema turi būti pateikta lygčių pavidalu.

Literatūroje pakankamai išsamiai aprašoma: pradinio paramos plano (pradinio leistino pagrindinio sprendimo) radimas, taip pat dirbtinio pagrindo metodas, optimalaus paramos plano suradimas, uždavinių sprendimas naudojant simpleksines lenteles.

7 . Simplekso metodo algoritmas.

Panagrinėkime ZLP sprendimą naudojant simplekso metodą ir pateiksime jį maksimizavimo uždavinio atžvilgiu.

1. Remiantis uždavinio sąlygomis, sudaromas jo matematinis modelis.

2. Užbaigtas modelis konvertuojamas į kanoninę formą. Tokiu atveju galima nustatyti pagrindą su pradiniu orientaciniu planu.

3. Kanoninis uždavinio modelis parašytas simpleksinės lentelės forma, kad visi laisvieji terminai būtų neneigiami. Jei pasirinktas pradinis atskaitos planas, pereikite prie 5 veiksmo.

Paprastoji lentelė: apribojimų lygčių sistema ir tikslo funkcija įvedami išraiškų forma, išspręsta palyginti su pradiniu pagrindu. Tiesė, kurioje užrašyti tikslo funkcijos F koeficientai, vadinama F-line arba tikslo funkcijos linija.

4. Pradinis atskaitos planas randamas atliekant simpleksines transformacijas su teigiamais skiriamaisiais elementais, atitinkančiais minimalius simpleksinius ryšius, ir neatsižvelgiant į F-eilės elementų ženklus. Jeigu transformacijų metu susiduriama su 0 eilute, kurios visi elementai, išskyrus laisvąjį terminą, yra nuliai, tai uždavinio apribojimų lygčių sistema yra nenuosekli. Jei susiduriame su 0 eilute, kurioje, be laisvojo nario, nėra kitų teigiamų elementų, tai ribojamųjų lygčių sistema neturi neneigiamų sprendinių.

Sistemos (2.55), (2.56) redukciją vadinsime nauju pagrindu simplex transformacija . Jei simpleksinė transformacija laikoma formalia algebrine operacija, tai galima pastebėti, kad dėl šios operacijos vaidmenys perskirstomi tarp dviejų kintamųjų, įtrauktų į tam tikrą linijinių funkcijų sistemą: vienas kintamasis pereina iš priklausomo į nepriklausomą, o kitas. , priešingai, iš nepriklausomo į priklausomą. Ši operacija algebroje žinoma kaip Jordano pašalinimo žingsnis.

5. Rastas pradinis paramos planas yra patikrinamas dėl optimalumo:

a) jei F eilutėje nėra neigiamų elementų (neskaičiuojant laisvo termino), tai planas yra optimalus. Jei nulių nėra, tada yra tik vienas optimalus planas; jei yra bent vienas nulis, tai yra be galo daug optimalių planų;

b) jei F eilutėje yra bent vienas neigiamas elementas, atitinkantis neteigiamų elementų stulpelį, tada;

c) jei F eilutėje yra bent vienas neigiamas elementas, o jos stulpelyje yra bent vienas teigiamas elementas, galite pereiti prie naujo atskaitos plano, kuris yra arčiau optimalaus. Norėdami tai padaryti, nurodytą stulpelį reikia priskirti kaip skiriamąjį stulpelį, naudojant mažiausią vienakrypčio santykį, rasti skiriamąją eilutę ir atlikti vienakryptę transformaciją. Gautas etaloninis planas dar kartą patikrinamas dėl optimalumo. Aprašytas procesas kartojamas tol, kol gaunamas optimalus planas arba kol nustatomas problemos neišsprendžiamumas.

Į pagrindą įtraukto kintamojo koeficientų stulpelis vadinamas sprendžiamuoju. Taigi, pasirinkdami kintamąjį, įvestą į pagrindą (arba pasirinkdami sprendžiamąjį stulpelį), pagrįstą neigiamu F eilutės elementu, užtikriname, kad funkcija F padidės .

Šiek tiek sunkiau nustatyti kintamąjį, kuris turi būti neįtrauktas į bazę. Norėdami tai padaryti, jie sudaro laisvųjų terminų ir teigiamų sprendžiamojo stulpelio elementų santykius (tokie santykiai vadinami simpleksais) ir tarp jų suranda mažiausią, kuris nustato eilutę (sprendžiančią), kurioje yra neįtraukiamas kintamasis. Kintamojo, neįtraukiamo į bazę, pasirinkimas (arba skiriamosios linijos pasirinkimas) pagal minimalų simpleksinį ryšį garantuoja, kaip jau buvo nustatyta, bazinių komponentų pozityvumą naujajame atskaitos plane.

Algoritmo 3 punkte daroma prielaida, kad visi laisvųjų terminų stulpelio elementai yra neneigiami. Šis reikalavimas nėra būtinas, tačiau jei jis įvykdomas, visos vėlesnės simpleksinės transformacijos atliekamos tik naudojant teigiamus skiriamuosius elementus, o tai patogu skaičiavimams. Jei laisvųjų terminų stulpelyje yra neigiamų skaičių, tada sprendžiamasis elementas pasirenkamas taip:

1) peržiūrėkite eilutę, atitinkančią kurį nors neigiamą laisvąjį terminą, pavyzdžiui, t eilutę, ir pažymėkite joje kokį nors neigiamą elementą ir atitinkamas stulpelis laikomas sprendžiančiu (manome, kad uždavinio apribojimai yra nuoseklūs);

2) sudaryti laisvųjų terminų stulpelio elementų ryšius su atitinkamais sprendžiamosios stulpelio elementais, turinčiais vienodus ženklus (paprasti ryšiai);

3) pasirinkti mažiausią iš simpleksinių ryšių. Tai nustatys įgalinimo eilutę. Tegul tai būna pvz. R- linija;

4) skiriančiojo stulpelio ir eilutės sankirtoje randamas skiriamasis elementas. Jei pasirodo, kad y eilutės elementas yra sprendžiamasis, tai po simpleksinės transformacijos šios eilutės laisvasis narys taps teigiamas. Kitu atveju kitame žingsnyje vėl pasiekiama t eilutė. Jei problema yra išsprendžiama, po tam tikro žingsnių skaičiaus laisvųjų terminų stulpelyje neliks neigiamų elementų.

8. Atvirkštinės matricos metodas

Panagrinėkime formos LP:

A – apribojimo matrica;

C=(c1,c2,…,cn)–eilutės vektorius;

X=(x1,x2,…,xn) – kintamieji;

yra dešiniosios pusės vektorius.

Darome prielaidą, kad visos lygtys yra tiesiškai nepriklausomos, t.y. rangas(a)=m. Šiuo atveju pagrindas yra matricos A eilės minorinis. Tai yra, yra bent viena m eilės submatrica B, kad |B|<>0. Visi nežinomieji, atitinkantys B, vadinami pagrindiniais. Visi kiti yra nemokami.

Tegul B yra tam tikras pagrindas. Tada pertvarkydami matricos A stulpelius, visada galime redukuoti A į formą A=(B|N),

kur N yra submatrica, susidedanti iš matricos A stulpelių, nepriklausančių pagrindui. Lygiai taip pat vektorių x galima padalyti į pagrindinių kintamųjų ir vektorių.

Bet koks problemos (1) sprendimas tenkina sąlygą A*x=b, todėl sistema įgauna tokią formą:

Nes |B|<>0, tada yra atvirkštinė matrica. Padauginus iš kairės iš atvirkštinio, gauname:

– bendras sprendimas.

Pagrindinis sprendimas (palyginti su pagrindu B) yra konkretus problemos (2) sprendimas, gautas esant sąlygai. Tada jis nustatomas vienareikšmiškai.

Pagrindinis sprendimas vadinamas realizuojamas, Jei.

Pagrindas, atitinkantis įgyvendintą pagrindinį sprendimą. Skambino įgyvendinamas pagrindas. Pagrindinis sprendimas vadinamas išsigimusiu, jei vektorius turi nulį komponentų.

Bendrajame sprendime yra visi egzistuojantys sprendimai. Grįžkime prie tikslo funkcijos. Įvedame Cb – koeficientus prieš pagrindinius kintamuosius, Cn – likusius.

Taip gauname. Mes pakeičiame iš bendro sprendimo:

pareiškimas. Pagrindinio sprendimo optimalumo kriterijus.

Tarkim. Tada pagrindinis sprendimas yra optimalus. Jei, tada pagrindinis sprendimas nėra optimalus.

Dokumentas: Leisti būti. Panagrinėkime pagrindinį sprendimą, .

Todėl yra pagrindinio sprendimo tikslo funkcijos reikšmė.

Tebūnie kitas sprendimas: (Xb,Xn).

Tada pažiūrėkime

Taigi pagrindinis sprendimas yra labiausiai min. Tegul, priešingai, nesipildo, t.y. egzistuoja.

Tada yra sprendimas, kurio tikslo funkcijos reikšmė bus mažesnė už pagrindinio sprendinio tikslo funkcijos reikšmę.

Tegu atitinka laisvąjį kintamąjį Xi:Xj, priskiriame reikšmę ir įvedame į bazę, o kitą kintamąjį išvedame ir vadiname laisvuoju.

Kaip nustatyti? Visi laisvieji kintamieji, išskyrus, taip pat yra lygūs 0.

Tada bendrame sprendime, kur.

Išimkime: – būtina sąlyga.

Pagrindinis sprendimas vadinamas įprastu, jei. Kintamąjį išvedame iš pagrindo. Taikant naują sprendimą, tikslo funkcija mažėja, nes

Algoritmas:

1.LP problema standartine forma.

2. Paliekame tiesiškai nepriklausomas lygtis.

3. Raskite tokią matricą B, kad |B|<>0 ir pagrindinis sprendimas.

Skaičiuojame:

jei, tada yra optimalus sprendimas – tai yra pagrindinis sprendimas;

jei, tada randame komponentą, pridedame jį ir taip randame kitą sprendimą; – kuriame vienas iš pagrindinių kintamųjų =0. Pašaliname šį kintamąjį iš pagrindo ir įvedame xi. Gavome naują bazę B2, konjuguotą su pagrindu B1. Tada vėl skaičiuojame.

1. Jei yra optimalus sprendimas, tai po baigtinio žingsnių skaičiaus jį gausime.

Geometriškai procedūra interpretuojama kaip perėjimas nuo kampinio taško į konjuguotą kampinį tašką išilgai aibės X ribos – problemos sprendimų rinkinio. Nes yra baigtinis kampinių taškų skaičius ir griežtas funkcijos F(x) sumažėjimas draudžia du kartus pereiti per tą patį kraštutinį tašką, tai jei yra optimalus sprendimas, tai po baigtinio žingsnių skaičiaus jį gausime.

9. Ekonominis problemos aiškinimas, susietas su išteklių naudojimo problema

Užduotis. Dviejų tipų produktams P1 ir P2 gaminti naudojami keturių tipų ištekliai S1, S2, S3, S4. Pateikiamos išteklių atsargos, išteklių vienetų, išleistų produkcijos vienetui pagaminti, skaičius. Pelnas, gautas iš gamybos vieneto P1 ir P2, yra žinomas. Būtina sudaryti gamybos planą, kuriame pelnas iš jo pardavimo būtų maksimalus.

Užduotisaš(originalas):

F=c1x1+c2x2+…+CnXn->max su apribojimais:

ir neneigiamumo sąlyga x1>=0, x2>=0,…,Xn>=0

Sudarykite gamybos planą X=(x1,x2,…,Xn), kuriame pelnas (pajamos) iš produkcijos pardavimo bus maksimalus, jei resursų sunaudojimas kiekvienai produkto rūšiai neviršys turimų atsargų.

UžduotisII(dvigubas)

Z=b1y1+b2y2+…+BmYm->min

su apribojimais:

ir neneigiamumo sąlyga

y1>=0, y2>=0,…,yn>=0.

Raskite tokią išteklių Y=(y1,y2,…,yn) kainų (įverčių) aibę, kuriai esant bendros išteklių sąnaudos bus minimalios, su sąlyga, kad išteklių sąnaudos gaminant kiekvienos rūšies produktą bus ne mažiau kaip pelnas (pajamos) iš šios produkcijos pardavimo

Aukščiau pateiktame modelyje bi(i=1,2,…,m) reiškia išteklių rezervą Si; aij - produkcijos vieneto gamybai sunaudotų išteklių Si vienetų skaičius Pj(j=1,2,…,n); cj – pelnas (pajamos) pardavus produkcijos vienetą Pj (arba produkto kainą Pj) .

Tarkime, kad kuri nors organizacija nusprendė įsigyti įmonės išteklių S1, S2,..., Sm ir reikia nustatyti optimalias šių išteklių kainas y1, y2,..., ym. Akivaizdu, kad perkančioji organizacija yra suinteresuota išleisti visus išteklius Z kiekiais b1,b2,…,bm kainomis y1,y2,…,ym atitinkamai buvo minimalios, t.y. Z=b1,y1+b2y2+…+bmym->min.

Kita vertus, išteklius parduodanti įmonė yra suinteresuota, kad gaunamos pajamos būtų ne mažesnės už sumą, kurią įmonė gali gauti perdirbdama išteklius į gatavus produktus.

Gaminio vienetui P1 pagaminti sunaudojami a11 vienetai resurso S1, a21 vienetai resurso S2,...., aj1 vienetai resurso Si1,......, am1 vienetai resurso Sm sunaudojami už y1 kainą. ,y1,...,yi,...,ym, atitinkamai. Todėl, kad būtų patenkinti pardavėjo reikalavimai, gaminio vieneto P1 gamybai sunaudotų išteklių sąnaudos turi būti ne mažesnės už jo kainą c1, t.y. a11y1+a21y2+…+am1ym>=c1.

Panašiai galite sukurti apribojimus nelygybių pavidalu kiekvienam produkto tipui P1, P2,…Pn. Dešinėje lentelės pusėje pateiktas taip gautos dvejopos II uždavinio ekonominis-matematinis modelis ir prasminga interpretacija.

Išteklių kainos y1,y1,…,yi,…,ym ekonominėje literatūroje gavo įvairius pavadinimus: apskaita, numanomas, šešėlis . Šių pavadinimų reikšmė ta, kad taip yra sąlyginis , "netikros" kainos. Priešingai nei gaminių „išorinės“ kainos c1,c2,…,cn, žinomos, kaip taisyklė, prieš pradedant gamybą, išteklių kainos y1,y2,…,ym yra vidinis , nes jie duoti ne iš išorės, o nulemti tiesiogiai dėl problemos sprendimo, todėl dažniau vadinami sąmatos išteklių.

10. Abipusiai dualūs LP uždaviniai ir jų savybės

Formaliai panagrinėkime dvi linijinio programavimo I ir II problemas, pateiktas lentelėje, abstrahuodami nuo prasmingo į jų ekonominius ir matematinius modelius įtrauktų parametrų interpretacijos.

Abi užduotys turi šiuos dalykus savybės:

1. Viename uždavinyje ieškoma tiesinės funkcijos maksimumo, kitame – minimumo.

2. Vienos problemos tiesinės funkcijos kintamųjų koeficientai yra laisvieji apribojimų sistemos nariai kitoje.

3. Kiekviena problema pateikiama standartine forma, o maksimizavimo uždavinyje visos formos nelygybės "<=", а в задаче минимизации – все неравенства вида ">=".

4. Abiejų uždavinių apribojimų sistemose kintamųjų koeficientų matricos perkeliamos viena į kitą.

5. Vieno uždavinio apribojimų sistemos nelygybių skaičius sutampa su kitos problemos kintamųjų skaičiumi.

6. Abiejuose uždaviniuose išsaugomos kintamųjų neneigiamumo sąlygos.

komentuoti. Jei pradinio uždavinio j-ajam kintamajam yra nustatyta neneigiamumo sąlyga, tai dvigubos problemos j-asis apribojimas bus nelygybė, bet jei j-asis kintamasis gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, tada j-asis dvigubo uždavinio apribojimas bus lygtis; pradinės problemos apribojimai ir dualo kintamieji yra panašiai susiję.

Dvi linijinio programavimo uždaviniai I ir II, turintys nurodytas savybes, vadinami simetrinėmis dvigubomis problemomis. Toliau, kad būtų paprasčiau, mes juos tiesiog pavadinsime dvigubos užduotys.

Kiekviena LP problema gali būti siejama su dviguba užduotimi.

11. Dvigubo uždavinio sudarymo algoritmas:

1. Sumažinkite visas pradinės problemos apribojimų sistemos nelygybes iki vienos reikšmės: jei pradinėje užduotyje jie ieško tiesinės funkcijos maksimumo, tada visas apribojimų sistemos nelygybes sumažinkite iki formos "<=", а если минимум – к виду ">=". Šias nelygybes, kuriose šis reikalavimas neįvykdytas, padauginkite iš –1.

2. Sudarykite išplėstinę sistemos A matricą, kuri apima kintamųjų koeficientų matricą, apribojimų sistemos laisvųjų terminų stulpelį ir tiesinės funkcijos kintamųjų koeficientų eilutę.

3. Raskite matricą, perkeltą į A matricą .

4. Suformuluokite dvigubą uždavinį pagal gautą matricą ir kintamųjų neneigiamumo sąlygos: jie sudaro dualinės problemos objektyviąją funkciją, kintamųjų koeficientais paimdami pirminės problemos apribojimų sistemos laisvuosius narius; sudaryti dvigubo uždavinio apribojimų sistemą, matricos elementus imant kintamiesiems kaip koeficientus, o kintamuosius pirminės užduoties tikslinėje funkcijoje kaip laisvus terminus ir užrašyti priešingos reikšmės nelygybes; užrašykite dualinės problemos kintamųjų neneigiamumo sąlygą.

12. Pirmoji dvilypumo teorema

Ryšys tarp optimalių dvigubų uždavinių sprendimų nustatomas naudojant dualumo teoremas.

Pakankamas optimalumo ženklas.

Jeigu X*=(x1*,x2*,…,xn*) Ir Y*=(y1*,y2*,…,ym*) – priimtinus abipusių dvigubų problemų sprendimus, kuriems taikoma lygybė,

tada yra optimalus pirminės I problemos sprendimas ir dvigubos problemos II sprendimas.

Be pakankamo abipusiai dvigubų problemų optimalumo ženklo, tarp jų sprendimų yra ir kitų svarbių ryšių. Pirmiausia kyla klausimai: ar visada yra vienu metu optimalūs sprendimai kiekvienai dvigubų problemų porai? Ar gali būti, kad viena iš dviejų problemų turi sprendimą, o kita ne? Atsakymą į šiuos klausimus duoda tokia teorema.

Pirmoji (pagrindinė) dvilypumo teorema. Jei viena iš abipusių dvigubų problemų turi optimalų sprendimą, tai ir kita turi jį, o optimalios jų tiesinių funkcijų reikšmės yra lygios:

Fmaks = Zmin arba F(X*)=Z(Y*) .

Jei vienos iš uždavinių tiesinė funkcija nėra ribojama, tai kitos problemos sąlygos yra prieštaringos (uždavinys neturi sprendimo).

komentuoti. Teiginys priešingai pagrindinės dvilypumo teoremos antrajai daliai nėra teisingas bendruoju atveju, t.y. iš to, kad pradinio uždavinio sąlygos yra prieštaringos, nereiškia, kad dualinės problemos tiesinė funkcija yra neribota.

Pirmosios dvilypumo teoremos ekonominė reikšmė.

Gamybos planas X*=(x1*,x2*,…,xn*) ir išteklių kainų (įvertinimų) rinkinys Y*=(y1*,y2*,…,ym*) yra optimalus tada ir tik tada, kai pelnas (pajamos) iš gaminių, rastas „išorinėmis“ (žinomomis iš anksto) kainomis c1, c2,…, cn, yra lygus išteklių sąnaudoms „vidinėmis“ (nustatytas tik). nuo problemos sprendimo) kainos y1 ,y2,…,ym. Dėl visų kitų planų X Ir Y Abiejose problemose pelnas (pajamos) iš produktų visada yra mažesnis (arba lygus) išteklių sąnaudoms.

Pirmosios dvilypumo teoremos ekonominę prasmę galima interpretuoti taip: įmonė yra abejinga, ar gaminti produkciją pagal optimalų planą X*=(x1*,x2*,…,xn*) ir gauti maksimalų pelną (pajamas) Fmax. arba parduoti išteklius optimaliomis kainomis Y* =(y1*,y2*,…,ym*) ir kompensuoti iš pardavimo minimalią išteklių kainą Zmin.

13. Antroji dvilypumo teorema

Tegu pateikiamos dvi abipusiai dvigubos problemos. Jei kiekviena iš šių problemų yra išspręsta naudojant simplekso metodą, tada būtina jas perkelti į kanoninę formą, kuriai reikia įvesti į I problemos (trumpai tariant) apribojimų sistemą. T neneigiamus kintamuosius ir į II uždavinio apribojimų sistemą () – n neneigiami kintamieji, kur i(j) yra nelygybės, į kurią įvedamas papildomas kintamasis, skaičius.

Kiekvienos abipusiai dvigubos problemos apribojimų sistemos bus tokios formos:

Nustatykime atitikmenį tarp vienos iš dvigubų uždavinių pradinių kintamųjų ir kitos problemos papildomų kintamųjų (lentelės).

Teorema. Teigiami (nenuliniai) optimalaus vienos iš abipusiai dualinių uždavinių sprendimo komponentai atitinka nulines kitos problemos optimalaus sprendimo dedamąsias, t.y. bet kuriam i=1,2,…,m u j=1,2,…,n: jei X*j>0, tai; Jeigu , tada ir panašiai,

jei tada ; jei tada.

Iš šios teoremos išplaukia svarbi išvada, kad įvestas atitikimas tarp abipusiai dvigubų uždavinių kintamųjų, kai pasiekiamas optimalus (t. y. paskutiniame kiekvienos problemos sprendimo žingsnyje naudojant simplekso metodą), reiškia atitiktį pagrindinis(paprastai nelygu nuliui) vienos iš dvigubų uždavinių kintamieji ir nepagrindinis(lygus nuliui) kitos problemos kintamieji, kai jie sudaro įmanomus pagrindinius sprendimus.

Antroji dvilypumo teorema. Optimalaus dvigubos problemos sprendimo komponentai yra lygūs atitinkamų pirminės problemos tiesinės funkcijos kintamųjų koeficientų absoliučioms vertėms, išreikštoms nepagrindiniais jos optimalaus sprendimo kintamaisiais.

komentuoti. Jei vienoje iš abipusiai dvigubų problemų pažeidžiamas optimalaus sprendimo unikalumas, tai optimalus dvigubos problemos sprendimas yra išsigimęs. Taip yra dėl to, kad jei pažeidžiamas pirminės problemos optimalaus sprendimo unikalumas, jo optimalaus sprendimo tiesinės funkcijos išraiškoje nepagrindiniais kintamaisiais trūksta bent vieno iš pagrindinių kintamųjų.

14. Objektyviai nustatyti vertinimai ir jų reikšmė

Optimalaus dvigubos problemos sprendimo komponentai vadinami optimaliais (dvigubais) pirminės problemos įverčiais. Akademikas L. V. Kantorovičius jiems paskambino objektyviai nustatyta"įvertinimai ( literatūroje jie taip pat vadinami paslėptomis pajamomis) .

Papildomi pradinės problemos I kintamieji, atspindintys skirtumą tarp išteklių S1, S2, S3, S4 rezervų bi ir jų vartojimą, išreikšti likusių išteklių , ir papildomi dvejopos problemos II kintamieji, atspindintys skirtumą tarp išteklių sąnaudų gaminant iš jų produkcijos vienetą ir produktų P1, P2 kainų cj. , išreikšti išlaidų viršija kainą.

Taigi, objektyviai nustatyti išteklių vertinimai lemia išteklių trūkumo laipsnį: pagal optimalų gamybos planą riboti (t. y. pilnai panaudoti) ištekliai gauna nenulinius įvertinimus, o nereiklūs ištekliai – nulinius. Reikšmė y*i yra i-ojo ištekliaus įvertinimas. Kuo didesnė įverčio y*i reikšmė, tuo didesnis išteklių trūkumas. Neribotam ištekliui y*i=0.

Taigi į optimalų gamybos planą gali būti įtrauktos tik pelningos, nepelningos produkcijos rūšys (tačiau pelningumo kriterijus čia yra unikalus: prekės kaina neviršija jo gamybai sunaudotų išteklių sąnaudų, o yra būtent jiems lygus).

Trečioji dvilypumo teorema . Optimalaus dvigubos problemos sprendimo komponentai yra lygūs tiesinės funkcijos dalinių išvestinių vertėms Fmaks(b1, b2,…, bm)pagal atitinkamus argumentus, t.y.

Objektyviai nustatyti išteklių įverčiai parodo, kiek piniginių vienetų pasikeis maksimalus pelnas (pajamos) iš produkcijos pardavimo, kai atitinkamo resurso atsargos pasikeičia vienu vienetu.

Dvigubas vertinimas gali pasitarnauti kaip analizės ir teisingų sprendimų priėmimo įrankis nuolat kintančios gamybos sąlygomis. Pavyzdžiui, objektyviai nustatytų išteklių sąmatų pagalba galima palyginti optimalias sąlygines sąnaudas ir gamybos rezultatus.

Objektyviai nustatyti išteklių įverčiai leidžia spręsti apie ne bet kokių, o tik santykinai nedidelių išteklių pokyčių poveikį. Dėl staigių pokyčių patys įverčiai gali skirtis, todėl jų nebus galima panaudoti gamybos efektyvumo analizei. Remiantis objektyviai nustatytų vertinimų santykiais, gali būti nustatomos skaičiuojamos išteklių pakeičiamumo normos, kurių laikantis dvigubų vertinimų stabilumo ribose atlikti keitimai neturi įtakos optimalaus plano efektyvumui. Išvada. Dvigubi skaičiavimai yra šie:

1. Išteklių ir produktų trūkumo rodiklis.

2. Apribojimų įtakos tikslo funkcijos vertei rodiklis.

3. Tam tikrų rūšių produktų gamybos efektyvumo rodiklis optimalumo kriterijaus požiūriu.

4. Bendrųjų sąlyginių išlaidų ir rezultatų palyginimo įrankis.

15. Transporto problemos pareiškimas remiantis kaštų kriterijumi.

TK – ekonomiškiausio plano gabenti vienarūšį arba keičiamą produktą iš gamybos vietos (išvykimo stočių) į vartojimo taškus (paskirties stotis) problema – yra pati svarbiausia LP problema, turinti platų praktinį pritaikymą. ne tik transporto problemoms.

Techninė specifikacija LP išsiskiria savo ekonominių charakteristikų tikrumu, matematinio modelio ypatumais ir specifinių sprendimo būdų buvimu.

Paprasčiausia techninių specifikacijų formuluotė pagal sąnaudų kriterijų yra tokia: in T išvykimo vietose A1,…,Am yra atitinkamai a1,…,am vienarūšių krovinių (resursų) vienetai, kurie turi būti pristatyti n vartotojų B1,…,Bn kiekiais b1,…,bn vienetų (poreikių). Yra žinomos krovinio vieneto gabenimo iš i-ojo išvykimo taško į j-ojo vartojimo taško transportavimo išlaidos Cij.

Reikia sudaryti pervežimo planą, t.y. išsiaiškinti, kiek krovinių reikia išsiųsti iš i-ojo išvykimo punkto į j-ąjį vartojimo tašką, kad būtų visiškai patenkinti poreikiai ir kad bendras pervežimas. išlaidos minimalios.

Aiškumo dėlei pateikiame techninės specifikacijos sąlygas lentelės forma, vadinama paskirstymas .

Teikėjas	Vartotojas			Krovinių atsargos
Reikia

Čia iš i-ojo išvykimo punkto į j-tą paskirties vietą gabenamo krovinio kiekis lygus xij, krovinio atsargos i-tajame išvykimo taške nustatomas pagal reikšmę ai>=0, o krovinio poreikis j-oje paskirties vietoje yra bj>=0 . Daroma prielaida, kad visi xij>=0.

Matrica vadinama tarifų matrica (išlaidos arba transportavimo išlaidos).

Transporto užduočių planas vadinama matrica, kur kiekvienas skaičius xij reiškia krovinio vienetų skaičių, kuris turi būti pristatytas iš i-ojo išvykimo taško į j-ąjį paskirties vietą. Matrica xij vadinama transportavimo matrica.

Bendras bendras išlaidas, susijusias su transportavimo plano įgyvendinimu, galima pavaizduoti tiksline funkcija

Kintamieji xij turi atitikti atsargų, vartotojų ir neneigiamumo sąlygų apribojimus:

– atsargų apribojimai (2);

– apribojimai vartotojams (2);

– neneigiamumo sąlygos (3).

Taigi matematiškai transporto problema suformuluota taip. Pateikta apribojimų sistema (2) pagal (3) sąlygą ir tikslinė funkcija (1). Tarp (2) sistemos sprendinių rinkinio reikia rasti neneigiamą sprendinį, kuris sumažina funkciją (1).

Uždavinio (1) – (3) apribojimų sistemoje yra m+n lygčių su Tn kintamieji. Daroma prielaida, kad bendrieji rezervai yra lygūs bendriesiems poreikiams, t.y.

16. Transporto problemos išsprendžiamumo požymis

Kad transporto problema turėtų leistinus planus, būtina ir pakanka tenkinti lygybę

Yra dviejų tipų transporto problemos: uždaryta , kurioje bendra tiekėjų krovinių apimtis lygi bendrai vartotojų paklausai, ir atviras , kurioje bendri tiekėjų gamybos pajėgumai viršija vartotojų paklausą arba vartotojų paklausa yra didesnė už faktinį bendrąjį tiekėjų pajėgumą, t.y.

Atvirą modelį galima konvertuoti į uždarą. Taigi, jei, tada į transporto problemos matematinį modelį įvedamas fiktyvus (n+1) tikslas. Tam tikslui užduočių matricoje pateikiamas papildomas stulpelis, kurio paklausa yra lygi skirtumui tarp bendro tiekėjų pajėgumo ir faktinės vartotojų paklausos:

Visi tarifai už krovinio pristatymą iki šio taško bus laikomi lygiais nuliui. Tai paverčia atvirą problemos modelį į uždarą. Naujai problemai objektyvi funkcija visada yra ta pati, nes papildomo pervežimo kainos yra lygios nuliui. Kitaip tariant, fiktyvus vartotojas nepažeidžia apribojimų sistemos suderinamumo.

Jeigu tuomet įvedamas fiktyvus (m+1) išvykimo taškas, kuriam priskiriamas lygus krovinio rezervas.

Prekių pristatymo tarifai iš šio fiktyvaus tiekėjo vėl nustatomi nuliui. Į matricą bus įtraukta viena eilutė, tai neturės įtakos tikslo funkcijai, o problemos suvaržymų sistema taps jungtine, t.y., bus galima rasti optimalų planą.

Transporto problemai svarbi ši teorema.

Teorema. Transporto problemos matricos rangas yra vienu mažesnis už lygčių skaičių, t.y. r ( a )= m + n -1.

Iš teoremos išplaukia, kad kiekvienas atskaitos projektas turi turėti (m-1)(n-1) laisvuosius kintamuosius, lygius nuliui, ir m+n-1 bazinius kintamuosius.

Transporto užduoties transportavimo plano ieškosime tiesiai paskirstymo lentelėje. Tarkime, jei kintamasis xij įgauna reikšmę, tai šią reikšmę įrašysime į atitinkamą langelį (I,j), bet jei xij=0, tai langelį (I,j) paliksime laisvą. Atsižvelgiant į teoremą apie matricos rangą paskirstymo lentelėje orientaciniame plane turi būti nurodyta m+n-1 užimtos ląstelės, o visa kita bus nemokama.

Nurodyti reikalavimai orientaciniam planui nėra vieninteliai. Pamatiniai planai turi atitikti kitą su ciklais susijusį reikalavimą.

Transportavimo matricos langelių rinkinys, kuriame du ir tik du gretimi langeliai yra vienoje eilutėje arba viename stulpelyje, o paskutinis rinkinio langelis yra toje pačioje eilutėje ar stulpelyje kaip ir pirmasis, vadinamas uždaru. ciklas .

Grafiškai ciklas yra uždara laužta linija, kurios viršūnės yra užimtose lentelės langeliuose, o nuorodos yra tik eilutėse arba stulpeliuose. Be to, kiekvienoje ciklo viršūnėje yra tiksliai dvi nuorodos, iš kurių viena yra eilutėje, o kita - stulpelyje. Jei ciklą sudaranti lūžio linija susikerta pati, tai savaiminio susikirtimo taškai nėra viršūnės.

Šios svarbios transporto problemų planų savybės yra susietos su ciklo langelių rinkiniu:

1) leistinas transporto problemos planas yra orientacinis tada ir tik tada, kai iš šio plano užimamų langelių negalima sudaryti ciklo;

2) jei turime atskaitos planą, tai kiekvienai laisvai ląstelei galima sudaryti tik vieną ciklą, kuriame yra ši ląstelė ir dalis užimtų langelių.

17. Pradinio orientacinio plano sudarymas

„Šiaurės vakarų kampo“ taisyklė.

Norint sudaryti pradinį transportavimo planą, patogu naudoti „šiaurės vakarų kampo“ taisyklę, kuri yra tokia.

Pildydami pradėsime nuo viršutinio kairiojo kampo, paprastai vadinamo „šiaurės vakarų kampu“, eidami toliau linija į dešinę arba stulpeliu žemyn. Į langelį (1; 1) įdėkime mažesnįjį iš skaičių a1 ir b1, t.y. Jei, tada pirmasis stulpelis yra „uždarytas“, ty pirmojo vartotojo paklausa yra visiškai patenkinta. Tai reiškia, kad visose kitose pirmojo stulpelio langeliuose krovinio kiekis .

Jei, tada pirmoji eilutė yra panašiai „uždaryta“, ty už . Mes pradedame užpildyti gretimą langelį (2; 1), į kurį patenkame.

Užpildę antrą langelį (1; 2) arba (2; 1), pradedame pildyti kitą trečią langelį antroje eilutėje arba antrame stulpelyje. Tęsime šį procesą, kol tam tikru etapu bus išnaudoti ištekliai ir milijardai poreikiai. Paskutinis užpildytas langelis bus paskutiniame n-ame stulpelyje ir paskutinėje m-oje eilutėje.

„Minimalaus elemento“ taisyklė.

Pradinis orientacinis planas, sudarytas pagal „šiaurės vakarų kampo“ taisyklę, dažniausiai pasirodo esąs labai toli nuo optimalaus, nes jį nustatant neatsižvelgiama į sąnaudas cij. Todėl norint pasiekti optimalų planą, tolesniems skaičiavimams reikės atlikti daug iteracijų. Iteracijų skaičius gali būti sumažintas, jei pradinis planas sudarytas pagal „minimalaus elemento“ taisyklę. Jo esmė slypi tame, kad kiekviename žingsnyje atliekamas maksimalus įmanomas krovinio „perkėlimas“ į narvą su minimaliu tarifu cij. Lentelę pradedame pildyti nuo langelio, kuris atitinka mažiausią tarifų matricos elementą cij. Mažesnis iš skaičių ai arba bj dedamas į langelį su mažiausiu tarifu . Tada eilutė, atitinkanti tiekėją, kurio atsargos yra visiškai išnaudotos, arba stulpelis, atitinkantis klientą, kurio paklausa visiškai patenkinta, neįtraukiami. Jei tiekėjo atsargos yra visiškai išnaudotos ir kliento paklausa yra visiškai patenkinta, gali prireikti vienu metu pašalinti eilutę ir stulpelį. Toliau iš likusių lentelės langelių vėl pasirenkamas mažiausią tarifą turintis langelis ir tęsiamas atsargų paskirstymo procesas, kol visos jos bus paskirstytos ir paklausa patenkinama.

18. Potencialų metodas

Bendras optimalaus transporto problemos plano nustatymo, naudojant potencialų metodą, principas yra panašus į LP uždavinio sprendimo taikant simplekso metodą principą, būtent: pirmiausia randamas transporto problemos atskaitos planas, o po to iš eilės. tobulinama, kol bus gautas optimalus planas.

Potencialaus metodo esmė yra tokia. Suradus pirminį orientacinį transportavimo planą, kiekvienam tiekėjui (kiekvienai eilutei) priskiriamas tam tikras skaičius, vadinamas tiekėjo potencialu Ai, o kiekvienam vartotojui (kiekvienam stulpeliui) – tam tikras skaičius, vadinamas vartotojo potencialu.

Krovinio tonos savikaina taške lygi tonos krovinio kainai prieš transportavimą + jo transportavimo kaina: .

Norėdami išspręsti transporto problemą naudodami galimą metodą, turite:

1. Sudarykite pagrindinį transportavimo planą pagal vieną iš nurodytų taisyklių. Užpildytų langelių skaičius turi būti m+n-1.

2. Apskaičiuokite potencialą ir atitinkamai tiekėjus bei vartotojus (užimtoms kameroms): . Užpildytų langelių skaičius m+n-1, o lygčių skaičius m+n. Nes lygčių skaičius yra vienu mažesnis už nežinomųjų skaičių, tada vienas iš nežinomųjų pasirodo esantis laisvas ir gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę. Pavyzdžiui, . Likę tam tikro etaloninio tirpalo potencialai bus nustatyti vienareikšmiškai.

3. Patikrinkite optimalumą, t.y. laisvoms ląstelėms apskaičiuokite įverčius. Jei, tai transportavimas tikslingas ir planas X optimalus – optimalumo ženklas. Jei yra bent vienas skirtumas, pereikite prie naujo informacinio plano. Ekonomine prasme vertė apibūdina bendrų transporto sąnaudų pokytį, kuris atsiras dėl vieno i-ojo tiekėjo pristatymo j-ajam vartotojui. Jei, tada vienas pristatymas leis sutaupyti transporto išlaidas, bet jei - jų padidėjimą. Vadinasi, jei tarp nemokamo tiekimo krypčių nėra transportavimo išlaidas taupančių krypčių, tai gautas planas yra optimalus.

4. Tarp teigiamų skaičių parenkamas maksimumas ir sukonstruotas perskaičiavimo ciklas laisvam langeliui, kurį jis atitinka. Sukūrę pasirinkto laisvo langelio ciklą, turėtumėte pereiti prie naujo atskaitos plano. Norėdami tai padaryti, perskaičiavimo ciklu reikia perkelti apkrovas ląstelėse, prijungtose prie laisvos ląstelės.

a) Kiekviena ląstelė, sujungta ciklu su tam tikra laisva ląstele, priskiriama tam tikru ženklu, o ši laisva ląstelė yra „+“, o visos kitos ląstelės (ciklo viršūnės) pakaitomis priskiriamos ženklais „–“ ir „ +“. Šias ląsteles vadinsime minusu ir pliusu.

b) Neigiamose ciklo ląstelėse randame minimalią pasiūlą, kurią žymime. Mažesnis iš skaičių xij, esantis minusinėse ląstelėse, perkeliamas į šią laisvą langelį. Tuo pačiu metu šis skaičius pridedamas prie atitinkamų skaičių langeliuose su „+“ ženklu ir atimamas iš skaičių, esančių minuso langeliuose. Ląstelė, kuri anksčiau buvo laisva, tampa užimta ir patenka į atramos plokštumą; o minuso langelis, kuriame yra minimalus skaičius xij, laikomas laisvu ir palieka paramos planą.

Taigi buvo nustatytas naujas orientacinis planas. Aukščiau aprašytas perėjimas nuo vieno atskaitos plano prie kito vadinamas perskaičiavimo ciklo poslinkiu. Paslinkus perskaičiavimo cikle, užimtų langelių skaičius išlieka nepakitęs, ty išlieka lygus m+n-1. Be to, jei neigiamose ląstelėse yra du ar daugiau identiškų skaičių xij, tada išleidžiama tik viena iš šių ląstelių, o likusios lieka užimtos nulinėmis atsargomis.

5. Gautas orientacinis planas tikrinamas dėl optimalumo, t.y. pakartokite visus veiksmus nuo 2 veiksmo.

19. Dinaminio programavimo samprata.

DP (planavimas) – tai matematinis metodas ieškant optimalių daugiapakopių (daugiapakopių) problemų sprendimų. Kai kurios iš šių problemų natūraliai suskaidomos į atskirus etapus (etapus), tačiau yra problemų, kai skaidinys turi būti įvestas dirbtinai, kad jas būtų galima išspręsti DP metodu.

Paprastai DP metodais optimizuojamas kai kurių valdomų sistemų veikimas, kurių poveikis vertinamas priedas, arba dauginamasis, tikslo funkcija. Priedas vadinama kelių kintamųjų f(x1,x2,…,xn) funkcija, kurios reikšmė apskaičiuojama kaip kai kurių funkcijų fj, priklausančių tik nuo vieno kintamojo xj, suma: . Adityvinės tikslo funkcijos terminai atitinka atskiruose kontroliuojamo proceso etapuose priimtų sprendimų poveikį.

R. Bellmano optimalumo principas.

Dinaminiame programavime įdiegto požiūrio prasmė yra pakeisti pradinės daugiamatės problemos sprendimą žemesnės dimensijos uždavinių seka. Pagrindiniai reikalavimai užduotims:

1. tyrimo objektas turėtų būti valdoma sistema (objektas) su duotu galiojimu teigia ir priimtina skyriai;

2. užduotis turi leisti interpretuoti kaip daugiapakopį procesą, kurio kiekvienas žingsnis susideda iš priėmimo sprendimus O pasirenkant vieną iš leistinų kontrolės priemonių, dėl kurių būsenos pasikeitimas sistemos;

3. užduotis neturėtų priklausyti nuo žingsnių skaičiaus ir būti apibrėžta kiekviename iš jų;

4. sistemos būsena kiekviename žingsnyje turi būti aprašyta tuo pačiu (sudėtimi) parametrų rinkiniu;

5. vėlesnė būsena, kurioje sistema atsiduria pasirinkusi sprendimą k-mžingsnis, priklauso tik nuo duoto sprendimo ir pradinės būsenos pradžioje k- žingsnis. Ši savybė yra esminė dinaminio programavimo ideologijos požiūriu ir yra vadinama jokių pasekmių .

Panagrinėkime dinaminio programavimo modelio taikymo klausimus apibendrinta forma. Tegul užduotis yra valdyti kokį nors abstraktų objektą, kuris gali būti skirtingose ​​būsenose. Esama objekto būsena bus identifikuojama su tam tikru parametrų rinkiniu, kuris toliau bus žymimas S ir vadinamas būsenos vektorius. Daroma prielaida, kad pateikta visų galimų būsenų aibė S. Taip pat yra nustatytas objekto rinkinys leistinos kontrolės priemonės(kontrolės veiksmai) X, kurią neprarandant bendrumo galima laikyti skaitine aibe. Kontrolės veiksmai gali būti atliekami atskirais laiko momentais ir valdymas sprendimas susideda iš vieno iš valdiklių pasirinkimo. Planuoti užduotis arba valdymo strategija vadinamas vektoriumi x=(x1,x2,…,xn-1), kurio komponentai yra kiekviename proceso žingsnyje pasirenkami valdikliai. Atsižvelgiant į numatomą jokio šalutinio poveikio tarp dviejų iš eilės einančių objekto Sk ir Sk+1 būsenų yra žinomas funkcinis ryšys, apimantis ir pasirinktą valdiklį: . Taigi, nustatant pradinę objekto būseną ir pasirenkant planą X aiškiai apibrėžti elgesio trajektorija objektas.

Kontroliuokite efektyvumą kiekviename žingsnyje k priklauso nuo esamos būsenos Sk, pasirinkto valdiklio xk ir yra kiekybiškai įvertinamas naudojant funkcijas fk(xk,Sk), kurios yra terminai adityvinė tikslo funkcija , charakterizuojantys bendrą patalpų valdymo efektyvumą. ( Pastaba , kad funkcijos fk(xk,Sk) apibrėžimas apima leistinų reikšmių diapazoną xk , ir ši sritis, kaip taisyklė, priklauso nuo esamos Sk) būklės). Optimalus valdymas , tam tikrai pradinei būsenai S1 reikia pasirinkti tokį optimalų planą x* , kuriuo tai pasiekiama maksimali suma fk reikšmės atitinkamoje trajektorijoje.

Pagrindinis dinaminio programavimo principas yra tas, kad kiekviename žingsnyje reikia ne siekti izoliuoto funkcijos fk(xk,Sk) optimizavimo, o pasirinkti optimalų valdymą x*k, darant prielaidą, kad visi tolesni žingsniai yra optimalūs. Formaliai šis principas įgyvendinamas ieškant kiekviename žingsnyje k sąlyginės optimalios kontrolės , užtikrinantis didžiausią bendrą efektyvumą, pradedant nuo šio žingsnio, darant prielaidą, kad dabartinė būsena yra S.

Tegu Zk(s) žymi maksimalią funkcijų sumos fk reikšmę per visus žingsnius nuo k prieš P(gautas optimaliai valdant tam tikrame proceso segmente), su sąlyga, kad objektas veiksmo pradžioje k yra S būsenoje. Tada funkcijos Zk(s) turi tenkinti pasikartojimo ryšį:

Šis santykis vadinamas pagrindinis pasikartojimo ryšys (pagrindinė funkcinė lygtis) dinaminis programavimas. Jis įgyvendina pagrindinį dinaminio programavimo principą, dar žinomą kaip Bellmano optimalumo principas :

Optimali valdymo strategija turi atitikti šią sąlygą: kad ir kokia būtų pradinė būsena sk k-ajame veiksme ir šiame veiksme pasirinktą valdiklį xk, vėlesnis valdymas (vadybiniai sprendimai) turi būti optimalus atžvilgiu cocomo Ianiya ,dėl sprendimo, priimto žingsnyje k .

Pagrindinis ryšys leidžia rasti funkcijas Zk(s) tik V kartu su pradinė būklė, kuris mūsų atveju yra lygybė.

Aukščiau suformuluotas optimalumo principas taikomas tik valdant objektus, kuriems optimalaus valdymo pasirinkimas nepriklauso nuo kontroliuojamo proceso fono, t.y. nuo to, kaip sistema atėjo į esamą būseną. Būtent ši aplinkybė leidžia išskaidyti problemą ir padaryti įmanomą jos praktinį sprendimą.

Kiekvienai konkrečiai užduočiai funkcinė lygtis turi savo specifinę formą, tačiau ji tikrai turi išlaikyti pasikartojančią prigimtį, būdingą išraiškai (*) ir įkūnijančią pagrindinę optimalumo principo idėją.

20. Žaidimo modelių samprata.

Matematinis konfliktinės situacijos modelis vadinamas žaidimas , konflikte dalyvaujančios šalys – žaidėjai, o konflikto baigtis yra laimėti.

Kiekvienam oficialiam žaidimui taisykles , tie. sąlygų sistema, kuri lemia: 1) žaidėjų veiksmų variantus; 2) kiek informacijos kiekvienas žaidėjas turi apie savo partnerių elgesį; 3) nauda, ​​kurią atneša kiekvienas veiksmų rinkinys. Paprastai laimėjimą (arba pralaimėjimą) galima įvertinti kiekybiškai; Pavyzdžiui, pralaimėjimą galite įvertinti kaip nulį, pergalę - kaip vieną, o lygiąsias - kaip 1/2. Žaidimo rezultatų kiekybinis įvertinimas vadinamas mokėjimas .

Žaidimas vadinamas garinė pirtis , jei dalyvauja du žaidėjai, ir daugkartinis , jei žaidėjų skaičius didesnis nei du. Mes svarstysime tik dvejetus. Juose dalyvauja du žaidėjai A Ir IN, kurių interesai yra priešingi, o žaidimu turime omenyje daugybę veiksmų A Ir IN.

Žaidimas vadinamas nulinės sumos žaidimas arba antagonistinis dangus , jeigu vieno iš žaidėjų pelnas lygus kito praradimui, t.y. abiejų pusių laimėjimų suma lygi nuliui. Norint atlikti žaidimo užduotį, pakanka nurodyti vieno iš jų vertę . Jei paskirsime A- vieno iš žaidėjų laimėjimai, b – kito laimėjimo, tada nulinės sumos žaidimui b = –A, todėl pakanka apsvarstyti, pvz A.

Vieno iš taisyklėse numatytų veiksmų pasirinkimas ir įgyvendinimas vadinamas progresas žaidėjas. Judėjimai gali būti Asmeninis Ir atsitiktinis . Asmeninis judėjimas – tai sąmoningas žaidėjo vieno iš galimų veiksmų pasirinkimas (pavyzdžiui, ėjimas šachmatų partijoje). Kiekvieno asmeninio ėjimo galimų variantų rinkinys yra reguliuojamas žaidimo taisyklių ir priklauso nuo ankstesnių abiejų pusių ėjimų visumos.

Atsitiktinis judėjimas – tai atsitiktinai pasirinktas veiksmas (pavyzdžiui, kortos pasirinkimas iš sumaišytos kaladės). Kad žaidimas būtų matematiškai apibrėžtas, žaidimo taisyklėse turi būti nurodyta kiekvienam atsitiktiniam ėjimui tikimybių skirstinys galimus rezultatus.

Kai kuriuos žaidimus gali sudaryti tik atsitiktiniai ėjimai (vadinamasis grynas lošimas) arba tik asmeniniai ėjimai (šachmatai, šaškės). Dauguma kortų žaidimų priklauso mišraus tipo žaidimams, tai yra, juose yra ir atsitiktinių, ir asmeninių ėjimų. Ateityje svarstysime tik asmeninius žaidėjų judesius.

Žaidimai klasifikuojami ne tik pagal ėjimų pobūdį (asmeninis, atsitiktinis), bet ir pagal kiekvieno žaidėjo turimos informacijos apie kito veiksmus pobūdį bei kiekį. Speciali žaidimų klasė yra vadinamieji „žaidimai su visa informacija“. Žaidimas su visa informacija yra žaidimas, kuriame kiekvienas žaidėjas su kiekvienu asmeniniu ėjimu žino visų ankstesnių ėjimų, tiek asmeninių, tiek atsitiktinių, rezultatus. Žaidimų su visa informacija pavyzdžiai yra šachmatai, šaškės ir gerai žinomas žaidimas „tic-tac-toe“. Dauguma praktinės svarbos žaidimų nepriklauso žaidimų klasei su visa informacija, nes netikrumas dėl priešo veiksmų dažniausiai yra esminis konfliktinių situacijų elementas.

Viena iš pagrindinių žaidimų teorijos sąvokų yra koncepcija strategijos .

Strategija Žaidėjas yra taisyklių rinkinys, kuris lemia jo veiksmo pasirinkimą kiekvienam asmeniniam ėjimui, priklausomai nuo esamos situacijos. Paprastai žaidimo metu su kiekvienu asmeniniu ėjimu žaidėjas pasirenka priklausomai nuo konkrečios situacijos. Tačiau iš esmės gali būti, kad visus sprendimus žaidėjas priima iš anksto (atsižvelgdamas į bet kurią situaciją). Tai reiškia, kad žaidėjas pasirinko konkrečią strategiją, kurią galima nurodyti kaip taisyklių sąrašą arba programą. (Tokiu būdu galite žaisti žaidimą naudodami kompiuterį.) Žaidimas vadinamas galutinis , jei kiekvienas žaidėjas turi ribotą skaičių strategijų ir begalinis .– kitaip.

Tam, kad nuspręsti žaidimas , arba rasti žaidimo sprendimas , kiekvienam žaidėjui turėtume pasirinkti strategiją, kuri tenkintų sąlygas optimalumas , tie. turi gauti vienas iš žaidėjų maksimalus laimėjimas, kai antrasis laikosi savo strategijos, Tuo pačiu metu antrasis žaidėjas turi turėti minimalus nuostolis , jei pirmasis laikysis savo strategijos. Tokios strategijos vadinamos optimalus . Optimalios strategijos taip pat turi atitikti sąlygą tvarumą , tie. Bet kuriam žaidėjui turi būti nenaudinga atsisakyti savo strategijos šiame žaidime.

Jei žaidimas kartojamas keletą kartų, žaidėjai gali būti nesuinteresuoti laimėti ir pralaimėti kiekviename konkrečiame žaidime, bet A vidutinis laimėjimas (pralaimėjimas) visose partijose.

Žaidimo teorijos tikslas yra nustatyti optimalią strategiją kiekvienam žaidėjui.

21. Mokėjimo matrica. Žemutinė ir viršutinė žaidimo kaina

Pats geriausias žaidimas, kuriame žaidėjas A Tai turi T strategijas ir žaidėją V – p strategijos vadinamos m×n žaidimu.

Apsvarstykite dviejų žaidėjų žaidimą m × n A Ir IN(„mes“ ir „priešas“).

Leisk žaidėjui A turi T asmeninės strategijos, kurias žymime kaip A1,A2,…,Am. Leisk žaidėjui IN prieinama n asmenines strategijas, pažymėkime jas B1,B2,…,Bn.

Tegul kiekviena pusė pasirenka konkrečią strategiją; mums tai bus Ai, priešui Bj. Žaidėjams pasirinkus bet kurią strategijų porą Ai ir Bj (), žaidimo baigtis yra vienareikšmiškai nulemta, t.y. žaidėjo laimėjimai aij A(teigiamas arba neigiamas) ir žaidėjo praradimas (-aij). IN.

Tarkime, kad aij reikšmės yra žinomos bet kuriai strategijų porai (Ai, Bj) . Matrica P=aij , kurių elementai yra išmokos, atitinkančios strategijas Ai ir Bj, paskambino mokėjimo matrica arba žaidimo matrica. Šios matricos eilutės atitinka žaidėjo strategijas A, o stulpeliai – žaidėjo strategijos B. Šios strategijos vadinamos grynosiomis.

Žaidimo m×n matrica turi tokią formą:

Apsvarstykite m × n žaidimą su matrica ir nustatykite geriausią iš strategijų A1, A2,…, Am . Ai žaidėjo strategijos pasirinkimas A turi tikėtis, kad žaidėjas IN atsakys į jį viena iš strategijų Bj, pagal kurią žaidėjas laimi A minimalus (žaidėjas IN siekia „pakenkti“ žaidėjui A).

Pažymime mažiausius žaidėjo laimėjimus A kai jis pasirenka strategiją Ai visoms įmanomoms žaidėjo strategijoms IN(mažiausias skaičius i mokėjimo matricos eilutė), t.y.

Iš visų skaičių () pasirenkame didžiausią: .

Paskambinkime mažiausia žaidimo kaina, arba maksimalus laimėjimas (maxmin). Tai garantuotas žaidėjo A laimėjimas pagal bet kokią žaidėjo B strategiją. Vadinasi,

Vadinama strategija, atitinkanti maksiminą maksimalios strategijos . Žaidėjas IN suinteresuotas sumažinti žaidėjo laimėjimą A, rinkdamasis strategiją Bj jis atsižvelgia į didžiausią galimą atsipirkimą už A. Pažymėkime

Iš visų skaičių pasirinkite mažiausią

ir paskambinsim aukščiausia žaidimo kaina arba minimalus laimėjimas(minimax). Ego garantuotas žaidėjo B praradimas. Todėl,

Minimax atitinkanti strategija vadinama Minimax strategija.

Principas, kuris diktuoja žaidėjus pasirinkti „atsargiausias“ minimalaus ir maksimalumo strategijas, vadinamas Minimax principas . Šis principas išplaukia iš pagrįstos prielaidos, kad kiekvienas žaidėjas stengiasi pasiekti tikslą, priešingą nei jo varžovas.

Teorema. Žemesnė žaidimo kaina visada neviršija viršutinės žaidimo kainos .

Jei žaidimo viršutinė ir apatinė kainos yra vienodos, tai bendra viršutinės ir apatinės žaidimo kainų vertė vadinama gryna žaidimo kaina, arba žaidimo kaina. Minimax strategijos, atitinkančios žaidimo kainą, yra optimalios strategijos , ir jų visuma - optimalus sprendimas arba žaidimo sprendimas. Šiuo atveju žaidėjas A gauna maksimalią garantiją (nepriklausomai nuo žaidėjo elgesio) IN) laimėjimai v, ir grotuvas IN pasiekia garantuotą minimumą (nepriklausomai nuo žaidėjo elgesio A) pralaimi v. Jie sako, kad žaidimo sprendimas yra tvarumą , tie. Jei vienas žaidėjas laikosi savo optimalios strategijos, kitam negali būti naudinga nukrypti nuo savo optimalios strategijos.

Jei vienas iš žaidėjų (pvz A) laikosi savo optimalios strategijos, o kitas žaidėjas (IN) bet kokiu būdu nukryps nuo savo optimalios strategijos žaidėjui, kuris padarė nukrypimą, tai niekada negali būti pelninga; toks žaidėjo nukrypimas IN geriausiu atveju gali palikti laimėjimą nepakeistą. o blogiausiu atveju – padidinti.

Priešingai, jei IN laikosi savo optimalios strategijos ir A nukrypsta nuo savo, tada tai jokiu būdu negali būti naudinga A.

Grynų strategijų pora ir suteikia optimalų žaidimo sprendimą tada ir tik tada, kai atitinkamas elementas yra didžiausias savo stulpelyje ir mažiausias savo eilutėje. Ši situacija, jei ji egzistuoja, vadinama maitinimo taškas. Geometrijoje vadinamas taškas ant paviršiaus, turintis savybę vienu metu turėti minimumą vienoje koordinatėje ir maksimumą kitoje. galia punktas, pagal analogiją šis terminas vartojamas žaidimų teorijoje.

Žaidimas, kuriam , paskambino žaisti su maitinimo tašku. Elementas, turintis šią savybę, yra matricos jėgos taškas.

Taigi kiekvienam žaidimui su galios tašku yra sprendimas, kuris nustato porą optimalių strategijų abiem pusėms, kurios skiriasi šiomis savybėmis.

1) Jei abi pusės laikosi savo optimalių strategijų, vidutinė išmoka yra lygi grynajai žaidimo kainai v, o tai kartu yra ir apatinė, ir viršutinė jo kaina.

2) Jei viena iš šalių laikosi savo optimalios strategijos, o kita nukrypsta nuo savo, tai nukrypusi šalis gali tik pralaimėti ir jokiu būdu negali padidinti savo laimėjimo.

Žaidimo teorijoje įrodyta, kad visų pirma kiekvienas žaidimas su visa informacija turi galios tašką, todėl kiekvienas toks žaidimas turi sprendimą, t. y. yra pora optimalių abiejų pusių strategijų, duodančių vidutinį pelną. lygus žaidimo kainai. Jei žaidimas su visa informacija susideda tik iš asmeninių ėjimų, tada, kai kiekviena pusė taiko savo optimalią strategiją, jis visada turėtų baigtis tiksliai apibrėžtu rezultatu, būtent laimėjimu, lygiu žaidimo kainai.

22. Žaidimo sprendimas mišriomis strategijomis.

Tarp baigtinių praktinės svarbos žaidimų žaidimai su jėgos tašku yra gana reti; tipiškesnis atvejis, kai skiriasi apatinė ir viršutinė žaidimo kaina. Analizuodami tokių žaidimų matricas, prieiname prie išvados, kad jei kiekvienam žaidėjui duota pasirinkti vieną strategiją, tai, skaičiuojant protingai veikiančiu priešininku, šis pasirinkimas turėtų būti nulemtas minimax principu. Laikydamiesi savo maksimalios strategijos, už bet kokį priešo elgesį akivaizdžiai garantuojame sau laimėjimą, lygų mažesnei žaidimo kainai α. Tokios kombinuotos strategijos, susidedančios iš kelių grynų strategijų naudojimo, pakaitomis pagal atsitiktinį dėsnį su tam tikras dažnio santykis, vadinamas žaidimų teorijoje mišrios strategijos

Mišri strategija Sa žaidėjas A yra grynųjų strategijų A1,A1,…,Ai,…,Am taikymas su tikimybėmis p1,p2,…pi,…pm, o tikimybių suma lygi 1: . Žaidėjo A mišrios strategijos parašytos kaip matrica

arba kaip eilutę Sa=(p1,p2,…,pi,…,pm).

Panašiai žaidėjo B mišrios strategijos žymimos taip:

Arba Sb=(q1,q2,…,qi,…,qn),

kur strategijų atsiradimo tikimybių suma lygi 1: .

Akivaizdu, kad kiekviena gryna strategija yra ypatingas mišrios strategijos atvejis, kai visos strategijos, išskyrus vieną, taikomos su nuliniais dažniais (tikimybėmis), o ši – su 1 dažniu (tikimybe).

Pasirodo, taikant ne tik grynas, bet ir mišrias strategijas, kiekvienam baigtiniam žaidimui galima gauti sprendimą, t. y. porą tokių (bendruoju atveju mišrių) strategijų, kad jas naudojant abiem žaidėjams, atsipirkimas bus lygus žaidimo kainai, o kai Bet koks vienpusis nukrypimas nuo optimalios strategijos gali tik pakeisti išmokėjimą nukrypusiam nepalankia kryptimi. Taigi, remiantis minimax principu, nustatoma optimalus sprendimas (arba sprendimas)žaidimai: tai yra optimalių strategijų pora bendru atveju mišrus, turintis tokią savybę: jei vienas iš žaidėjų laikosi savo optimalios strategijos, tai kitam negali būti pelninga nukrypti nuo savo. Vadinamas atlygis, atitinkantis optimalų sprendimą žaidimo kaina v . Žaidimo kaina tenkina nelygybę:

Kur α ir β yra apatinė ir viršutinė žaidimo kaina.

Nurodytas teiginys sudaro vadinamojo turinio turinį Pagrindinė žaidimų teorijos teorema.Šią teoremą 1928 m. pirmą kartą įrodė Johnas von Neumannas. Žinomi teoremos įrodymai yra gana sudėtingi; Todėl pateiksime tik jo formuluotę.

Kiekvienas baigtinis žaidimas turi bent vieną optimalų sprendimą, galbūt tarp mišrių strategijų.

Iš pagrindinės teoremos išplaukia, kad kiekvienas baigtinis žaidimas turi kainą.

Tebūnie – pora optimalių strategijų. Jei grynoji strategija yra įtraukta į optimalią mišrią strategiją su nuline tikimybe, tada ji vadinama aktyvus (naudingas) .

Šviesus aktyviųjų strategijų teorema: jei vienas iš žaidėjų laikosi savo optimalios mišrios strategijos, tada atlygis išlieka nepakitęs ir lygus žaidimo kainai v, jei antrasis žaidėjas neperžengia savo aktyvių strategijų ribų.

Žaidėjas gali naudoti bet kurią iš savo aktyvių strategijų gryna forma, taip pat gali jas maišyti bet kokiomis proporcijomis.

Ši teorema turi didelę praktinę reikšmę – joje pateikiami konkretūs modeliai, kaip rasti optimalias strategijas, kai nėra balno taško.

Pasvarstykime 2x2 dydžio žaidimas, kuris yra paprasčiausias baigtinio žaidimo atvejis. Jei toks žaidimas turi balno tašką, tai optimalus sprendimas yra grynųjų strategijų pora, atitinkanti šį tašką.

Žaidimas, kuriame nėra balno taško pagal pagrindinę žaidimo teorijos teoremą optimalus sprendimas egzistuoja ir yra nulemtas mišrių strategijų poros Ir.

Norėdami juos rasti, naudojame teoremą apie aktyvias strategijas. Jei žaidėjas A laikosi savo optimalios strategijos , tada jo vidutinis laimėjimas bus lygus žaidimo kainai v, nesvarbu, kokią aktyvią strategiją žaidėjas naudoja IN. 2x2 žaidime bet kuri gryna priešininko strategija yra aktyvi, jei nėra vidurio taško. Žaidėjo laimėjimai A(žaidėjo pralaimėjimas IN)– atsitiktinis dydis, kurio matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) yra žaidimo kaina. Todėl vidutinis žaidėjo atlyginimas A(optimali strategija) bus lygus v ir 1-ajai, ir 2-ajai priešo strategijoms.

Tegul žaidimą suteikia išmokėjimo matrica.

Vidutinis žaidėjo laimėjimas A, jei jis naudoja optimalią mišrią strategiją ir žaidėją IN – gryna strategija B1 (tai atitinka 1 išmokėjimo matricos stulpelį R), lygus žaidimo kainai v: .

Žaidėjas gauna tokį patį vidutinį laimėjimą A, jei 2-as žaidėjas naudoja strategiją B2, t.y. . Atsižvelgdami į tai, gauname lygčių sistemą optimaliai strategijai nustatyti ir žaidimų kainos v:

Išsprendę šią sistemą gauname optimalią strategiją

ir žaidimo kaina.

Teoremos apie aktyvias strategijas taikymas ieškant – optimali žaidėjo strategija IN, tai matome bet kuriai grynai žaidėjo strategijai A (A1 arba A2) vidutinis žaidėjo pralaimėjimas IN lygus žaidimo kainai v, t.y.

Tada optimali strategija nustatoma pagal formules: .

Žaidimo, jei jo matricoje nėra balno taško, sprendimo problema yra sunkesnė, tuo didesnės reikšmės m Ir n. Todėl matricinių žaidimų teorijoje nagrinėjami metodai, kuriais vienų žaidimų sprendimas redukuojamas į kitų, paprastesnių, visų pirma sumažinant matricos matmenį. Matricos matmenį galima sumažinti išskiriant dubliuojantis ir aišku nepelningas strategijos.

Pasikartoti vadinamos strategijomis, atitinkančiomis tas pačias mokėjimo matricos elementų reikšmes, t.y. matricoje yra identiškos eilutės (stulpeliai).

Jei visi i-osios matricos eilutės elementai yra mažesni už atitinkamus k-osios eilutės elementus, tada žaidėjo i-oji strategija A nepelninga (mažiau pelno).

Jei visi matricos r-ojo stulpelio elementai yra didesni už atitinkamus j-ojo stulpelio elementus, tada žaidėjui IN R-oji strategija nepelninga (nuostolis didesnis).

Pasikartojančių ir akivaizdžiai nuostolingų strategijų pašalinimo procedūra visada turėtų būti atliekama prieš žaidimo sprendimą.

23. Geometrinė žaidimo interpretacija 2x2

Žaidimo sprendimas 2x2 leidžia aiškiai geometrinę interpretaciją.

Tegul žaidimą nurodo mokėjimo matrica P=(aij), i, j=1,2.

Ant abscisių ašies (pav.) nubraižysime vienetas segmentas A1A2; taškas A1 ( X=0) vaizduoja strategiją A1, tašką A2 ( X=1) vaizduoja strategiją A2, o visi tarpiniai šio segmento taškai yra mišrios pirmojo žaidėjo strategijos Sa, o atstumas nuo Sa iki dešiniojo segmento galo yra strategijos A1 tikimybė p1 , atstumas iki kairiojo galo – strategijos A2 tikimybė p2 .

Per taškus A1 ir A2 nubrėžkime du statmenus abscisių ašiai: ašis I-I ir ašis II-II. I-I ašyje pavaizduosime strategijos A1 laimėjimus; II-II ašyje – A2 strategijos išmokos.

Jei žaidėjas A naudoja strategiją A1, tai jo išmokėjimas žaidėjo B strategijoje B1 yra a11, o su strategija B2 lygus a12. Skaičiai a11 ir a12 I ašyje atitinka taškus B1 ir B2.

Jei žaidėjas A naudoja strategiją A2, tai jo laimėjimas pagal žaidėjo B strategiją B1 yra a21, o su strategija B2 lygus a22. Skaičiai a21 ir a22 atitinka II ašies taškus B1 ir B2.

Sujungiame taškus B1 (I) ir B1 (II); B2 (I) ir B2 (II). Gavome dvi tiesias linijas. Tiesioginis B1B1 – jei grotuvas A taiko mišrią strategiją (bet koks strategijų A1 ir A2 derinys su tikimybėmis p1 ir p2), o žaidėjas B naudoja strategiją B1. Žaidėjas laimi A atitinka tam tikrą tašką, esantį šioje linijoje. Vidutinis išmokėjimas, atitinkantis mišrią strategiją, nustatomas pagal formulę a11p1+a21p2 ir yra pavaizduotas tašku M1 tiesiojoje B1B1.

Panašiai sukuriame segmentą B2B2, atitinkantį antrojo žaidėjo B2 strategiją. Šiuo atveju vidutinis laimėjimas nustatomas pagal formulę a12p1+a22p2 ir yra pavaizduotas tašku M2 tiesioginiame B2B2 tinkle.

Turime rasti optimalią strategiją S*a, t.y. tokią, kurios atpirkimas būtų minimalus (už bet kokį elgesį IN) kreiptųsi į maksimumą. Tam mes statysime apatinė laimėjimo riba B1B2 strategijoms , y., trūkinė linija B1NB2, pažymėta fig. paryškinta linija. Tai apatinė riba išreikš minimalų žaidėjo laimėjimą A su bet kuria mišria strategija; taškasN , kuriame šis minimalus pelnas pasiekia maksimumą, ir lemia sprendimą (optimalią strategiją) bei žaidimo kainą. Ordinatinis taškas N yra žaidimo kaina v. Taško koordinatės N randame kaip tiesių B1B1 ir B2B2 susikirtimo taškų koordinates. Mūsų atveju žaidimo sprendimą lėmė strategijų susikirtimo taškas. Tačiau taip bus ne visada.

Geometriškai galima nustatyti optimalią žaidėjo strategiją A, taip ir žaidėjas IN; abiem atvejais naudojamas minimax principas, tačiau antruoju atveju konstruojama ne apatinė, o viršutinė laimėjimo riba ir ant jos nustatomas ne maksimalus, o minimumas.

Jei mokėjimo matricoje yra neigiamų skaičių, tada norint išspręsti problemą grafiškai, geriau pereiti prie naujos matricos su neneigiamais elementais; Norėdami tai padaryti, pakanka pridėti atitinkamą teigiamą skaičių prie pradinės matricos elementų. Žaidimo sprendimas nesikeis, tačiau šiuo skaičiumi išaugs žaidimo kaina. Grafiniu metodu galima išspręsti 2×n, m×2 žaidimą.

24. Matricinio žaidimo redukavimas į linijinio programavimo uždavinį

Bendru atveju žaidimas m×n neturi aiškios geometrinės interpretacijos. Jo sprendimas yra gana daug darbo reikalaujantis dideliems T Ir n, tačiau jis neturi esminių sunkumų, nes gali būti sumažintas iki linijinio programavimo problemos sprendimo. Parodykime.

Tegul m × n žaidimą pateikia išmokėjimo matrica . Žaidėjas A turi strategijas A1,A2,..Ai,..Am , žaidėjas IN – strategijos B 1,B 2,..B aš,.. B n. Būtina nustatyti optimalias strategijas ir kur yra atitinkamų grynųjų strategijų Ai,Bj panaudojimo tikimybės,

Optimali strategija tenkina šį reikalavimą. Tai suteikia žaidėjui A vidutinis laimėjimas, ne mažesnis už žaidimo kainą v, bet kokiai žaidėjo strategijai IN ir laimėjimus, lygius žaidimo kainai v, su optimalia žaidėjo strategija IN. Neprarasdami bendrumo darome prielaidą v> 0; tai galima pasiekti padarius visus elementus . Jei žaidėjas A taiko mišrią strategiją prieš bet kokią gryną Bj žaidėjo strategiją IN, tada jis gauna vidutinis laimėjimas , arba matematinis tikėjimasis laimėti (t. y. elementai j-Go mokėjimo matricos stulpeliai terminas po termino dauginami iš atitinkamų strategijų A1, A2,..Ai,..Am tikimybių ir sumuojami rezultatai).

Siekiant optimalios strategijos, visi vidutiniai laimėjimai yra ne mažesni už žaidimo kainą v, todėl gauname nelygybių sistemą:

Kiekvieną nelygybę galima padalyti iš skaičiaus. Pristatykime naujus kintamuosius: . Tada sistema įgauna formą

Žaidėjo įvartis A - maksimaliai padidinti savo garantuotą laimėjimą, t.y. žaidimo kaina v.

Padalinę iš lygybės, mes nustatome, kad kintamieji tenkina sąlygą: . Maksimaliai padidinkite žaidimo kainą v yra tolygus kiekio sumažinimui , Todėl problemą galima suformuluoti taip: nustatyti kintamųjų reikšmes , mamakad jie atitiktų tiesinius apribojimus(*) Ir o tiesinė funkcija (2*) taikomas iki minimumo.

Tai linijinio programavimo problema. Išspręsdami uždavinį (1*)–(2*), gauname optimalų sprendimą ir optimali strategija .

Norint nustatyti optimalią strategiją, reikėtų atsižvelgti į tai, kad žaidėjas IN siekia kuo labiau sumažinti garantuotą pelną, t.y. rasti maks. Kintamieji tenkina nelygybes

kurios išplaukia iš to, kad vidutinis žaidėjo pralaimėjimas IN neviršija žaidimo kainos, nesvarbu, kokią gryną strategiją žaidėjas naudoja A.

Jei pažymėsime (4*), gausime nelygybių sistemą:

Kintamieji tenkina sąlygą.

Žaidimas atėjo į kitą problemą.

Nustatykite kintamąsias reikšmes , kurios tenkina nelygybių sistemą (5*)Ir padidinti tiesinę funkciją

Linijinio programavimo uždavinio sprendimas (5*), (6*) lemia optimalią strategiją. Tuo pačiu ir žaidimo kaina. (7*)

Sudarę išplėstines uždavinių matricas (1*), (2*) ir (5*), (6*), įsitikiname, kad viena matrica buvo gauta iš kitos perkeliant:

Taigi linijinio programavimo uždaviniai (1*), (2*) ir (5*), (6*) yra abipusiai dualūs. Akivaizdu, kad nustatant optimalias strategijas konkrečiose problemose, reikėtų pasirinkti vieną iš abipusiai dualinių problemų, kurios sprendimas yra mažiau varginantis, o kitos problemos sprendimą rasti naudojant dvilypumo teoremas.

Sprendžiant savavališką baigtinį m × n dydžio žaidimą, rekomenduojama laikytis šios schemos:

1. Išskirkite iš mokėjimo matricos strategijas, kurios yra akivaizdžiai nepelningos, palyginti su kitomis strategijomis. Tokios strategijos žaidėjui A

1. Ekonomikos operacijų tyrimo dalykas ir uždaviniai. Pagrindinės operacijų tyrimo teorijos sampratos.

Operacijų tyrimo objektas – organizacijos valdymo sistemos arba organizacijos, susidedančios iš daugybės tarpusavyje sąveikaujančių vienetų, kurie ne visada dera tarpusavyje ir gali būti priešingi.

Operacijų tyrimo tikslas – kiekybiškai pagrįsti priimtus sprendimus organizacijoms valdyti.

Sprendimas, kuris pasirodo esąs naudingiausias visai organizacijai, vadinamas optimaliu, o vienam ar keliems padaliniams naudingiausias sprendimas bus neoptimalus.

Operacijų tyrimai – tai mokslas, nagrinėjantis optimaliausio organizacinių sistemų valdymo metodų kūrimą ir praktinį taikymą.

Operacija – tai bet koks įvykis (veiksmų sistema), kurį vienija vienas planas ir kuriuo siekiama kažkokio tikslo.

Operacijų tyrimo tikslas – preliminarus kiekybinis optimalių sprendimų pagrindimas.

Bet koks konkretus parametrų pasirinkimas, kuris priklauso nuo mūsų, vadinamas sprendimu. Optimalūs sprendimai yra tie, kurie, atsižvelgiant į tam tikras savybes, yra geresni už kitus.

Parametrai, kurių derinys sudaro sprendimą, vadinami sprendimo elementais.

Įmanomų sprendimų rinkiniui pateikiamos sąlygos, kurios yra fiksuotos ir kurių negalima pažeisti.

Efektyvumo rodiklis – tai kiekybinis matas, leidžiantis palyginti skirtingus sprendimus efektyvumo požiūriu.

2. Tinklo planavimo ir valdymo samprata. Proceso ir jo elementų tinklinis modelis.

Darbo su tinklo grafikais metodas – tinklo planavimas – paremtas grafų teorija. Išvertus iš graikų kalbos, grafikas (grafpho – rašau) vaizduoja taškų sistemą, kai kurie iš jų yra sujungti linijomis – lankais (arba briaunomis). Tai topologinis (matematinis) sąveikaujančių sistemų modelis. Naudodami grafikus galite išspręsti ne tik tinklo planavimo, bet ir kitas problemas. Tinklo planavimo metodas naudojamas planuojant tarpusavyje susijusių darbų kompleksą. Tai leidžia vizualizuoti organizacinę ir technologinę darbų seką ir nustatyti tarpusavio ryšį. Be to, tai leidžia koordinuoti įvairaus sudėtingumo operacijas ir identifikuoti operacijas, nuo kurių priklauso viso darbo (t.y. organizacinio įvykio) trukmė, taip pat orientuotis į kiekvienos operacijos atlikimą laiku.

Tinklo planavimo ir valdymo pagrindas yra tinklo modelis (NM), kuris modeliuoja tarpusavyje susijusių darbų ir įvykių rinkinį, atspindintį tam tikro tikslo siekimo procesą. Jis gali būti pateiktas grafiko arba lentelės pavidalu.

Pagrindinės tinklo modelio sąvokos:

Įvykis, darbas, kelias.

Įvykiai yra vieno ar kelių darbų rezultatai. Jie neturi laiko pratęsimo.

Kelias – tai vienas po kito einančių darbų grandinė, jungianti pradžios ir pabaigos viršūnes.

Kelionės trukmė nustatoma pagal ją sudarančių darbų trukmių sumą.

3. Tinklo schemos konstravimas ir organizavimas.

Tinklo modelis naudojamas kaip modelis, atspindintis statybos ir montavimo darbų proceso technologinius ir organizacinius ryšius tinklų planavimo ir valdymo sistemose (NPS).

Tinklo modelis – tai grafinis procesų atvaizdavimas, kurį įgyvendinus pasiekiamas vienas ar keli užsibrėžti tikslai, nurodant tarp šių procesų nusistovėjusius ryšius. Tinklo diagrama yra tinklo modelis su apskaičiuotais laiko parametrais.

Tinklo diagramos struktūra, kuri lemia veiklų ir įvykių tarpusavio priklausomybę, vadinama jos topologija.

Darbas – tai laiko, darbo ir materialinių išteklių reikalaujantis gamybos procesas, kurį užbaigus pasiekiami tam tikri rezultatai.

Priklausomybė (fiktyvus darbas), kuriai nereikia laiko, pavaizduota punktyrine rodykle. Fiktyvus darbas naudojamas tinklo diagramoje, norint parodyti įvykių ir veiklos ryšius.

Tinklo diagramoje naudojamos laiko, sąnaudų ir kitos darbo charakteristikos.

Nepertraukiamas darbas – laikas, kurio reikia šiam darbui atlikti, darbo dienomis arba kitais laiko vienetais, kurie yra vienodi visiems tinklo grafiko darbams. Darbo trukmė gali būti arba tam tikras (deterministinis), arba atsitiktinis dydis, nurodytas jo pasiskirstymo dėsnio.

Darbo kaina – tai tiesioginės išlaidos, būtinos jam atlikti, priklausomai nuo šio darbo trukmės ir sąlygų.

Ištekliams būdingas fizinių vienetų, reikalingų tam tikram darbui atlikti, poreikis.

Darbo kokybė, patikimumas ir kiti rodikliai tarnauja kaip papildomos darbo charakteristikos.

Įvykis – tai vienos ar kelių darbų atlikimo faktas, būtinas ir pakankamas vienos ar kelių vėlesnių darbų pradžiai. Kiekvienam įvykiui priskiriamas numeris, vadinamas kodu. Kiekvieną užduotį apibrėžia du įvykiai: pradžios įvykio kodas, žymimas i, ir pabaigos įvykio kodas, žymimas j.

Įvykiai, kurie neturi ankstesnio darbo, vadinami pradiniais; įvykiai, kurie neturi vėlesnių, yra baigtiniai.

1 Tinklo tiesimo kryptis gali būti skirtingo pobūdžio. Tinklo diagrama gali būti sudaryta nuo pradinio įvykio iki galutinio ir nuo galutinio iki pradinio, taip pat nuo bet kurio įvykio iki pradinio ar galutinio.

2 Kuriant tinklą išsprendžiamos šios problemos:

Koks (-i) darbas (-ai) turi būti atliktas (-i), norint pradėti šį darbą;

Kokius darbus patartina atlikti lygiagrečiai su šiuo darbu;

3 Pradinis tinklo grafikas sudaromas neatsižvelgiant į tinklą sudarančių darbų trukmę.

4 Grafiko forma turi būti paprasta ir vizualiai lengvai suvokiama.

5 Tarp dviejų įvykių gali įvykti tik vienas darbas. Statant pastatus ir statinius darbai gali būti atliekami nuosekliai, lygiagrečiai arba vienu metu, dalis nuosekliai, o dalis lygiagrečiai, dėl to tarp atskirų darbų susidaro įvairios priklausomybės.

Įvykių numeravimas (kodavimas) atliekamas baigus tinklo tiesimą, pradedant nuo pradinio įvykio iki baigiamojo.

4. Kritinis tinklo diagramos kelias. Laiko rezervai. Ankstyvos ir vėlyvos įvykių ir darbo datos tinklo tvarkaraštyje.

Tinklo diagramoje gali būti keli keliai tarp pradžios ir pabaigos įvykių. Ilgiausios trukmės kelias vadinamas kritiniu. Kritinis kelias lemia bendrą veiklos trukmę. Visi kiti takai trumpesnės trukmės, todėl juose atliekami darbai turi laiko rezervų.

Kritinis kelias tinklo schemoje nurodomas storomis arba dvigubomis linijomis (rodyklėmis).

Rengiant tinklo schemą ypač svarbios dvi sąvokos:

Ankstyva darbų pradžia – laikotarpis, iki kurio šių darbų negalima pradėti nepažeidžiant priimtos technologinės sekos. Jį lemia ilgiausias kelias nuo pradinio įvykio iki šio darbo pradžios

Pavėluotas darbų atlikimas – tai vėliausias darbų atlikimo terminas, kuriam pasibaigus bendra darbų trukmė nepadidėja. Jį lemia trumpiausias kelias nuo tam tikro įvykio iki viso darbo užbaigimo.

Ankstyvas užbaigimas yra terminas, iki kurio negalima užbaigti darbų. Tai lygu ankstyvam startui plius šio darbo trukmei

Vėlyva pradžia – laikotarpis, kuriam pasibaigus negalima pradėti darbų nepadidinus bendros statybos trukmės. Jis lygus vėlai apdailai atėmus šio darbo trukmę.

Jei įvykis yra tik vieno darbo pabaiga (t. y. į jį nukreipta tik viena rodyklė), tai ankstyva šio darbo pabaiga sutampa su ankstyva kito darbo pradžia.

Bendrasis (pilnas) rezervas – tai maksimalus laikas, kuriam gali būti atidėtas konkretaus darbo užbaigimas nedidinant bendros darbų trukmės. Tai nulemia skirtumas tarp vėlyvo ir ankstyvo starto (arba vėlyvo ir ankstyvo finišo – tai yra tas pats).

Privatus (laisvas) rezervas – tai maksimalus laikas, kuriam gali būti atidėtas tam tikro darbo vykdymas, nekeičiant ankstyvos kito darbo pradžios. Šis rezervas galimas tik tada, kai renginyje yra dvi ar daugiau darbo vietų (priklausomybių), t.y. į jį nukreiptos dvi ar daugiau rodyklių (vientisos arba punktyrinės). Tada tik vienas iš šių darbų turės ankstyvą pabaigą, kuri sutampa su ankstyva kito darbo pradžia, bet likusios vertės bus skirtingos. Šis kiekvieno darbo skirtumas bus jo privatus rezervas.

5. Dinaminis programavimas. Bellmano optimalumo ir valdymo principas.

Dinaminis programavimas yra vienas iš galingiausių optimizavimo metodų. Įvairių profilių specialistai sprendžia racionalių sprendimų priėmimo, geriausių variantų pasirinkimo, optimalaus valdymo problemas. Tarp optimizavimo metodų dinaminis programavimas užima ypatingą vietą. Šis metodas itin patrauklus dėl savo pagrindinio principo – optimalumo principo – paprastumo ir aiškumo. Optimalumo principo taikymo sritis itin plati, problemų, kurioms jis gali būti taikomas, spektras dar nėra iki galo nubrėžtas. Nuo pat pradžių dinaminis programavimas buvo priemonė praktiškai spręsti optimizavimo problemas.

Be optimalumo principo, pagrindinio tyrimo metodo, didelį vaidmenį dinaminio programavimo aparate atlieka idėja panardinti konkrečią optimizavimo problemą į panašių problemų šeimą. Trečias jo bruožas, išskiriantis jį iš kitų optimizavimo metodų, yra galutinio rezultato forma. Taikant optimalumo principą ir panardinimo į daugiapakopius, atskirus procesus principą, susidaro pasikartojančios funkcinės lygtys dėl optimalios kokybės kriterijaus reikšmės. Gautos lygtys leidžia nuosekliai išrašyti optimalius pirminės problemos valdiklius. Nauda yra ta, kad viso proceso kontrolės apskaičiavimo problema yra padalinta į keletą paprastesnių atskirų proceso etapų kontrolės skaičiavimo uždavinių.

Pagrindinis metodo trūkumas, Bellmano žodžiais, yra „matmenų prakeiksmas“ – jo sudėtingumas katastrofiškai didėja didėjant problemos dydžiui.

6. Lėšų paskirstymo tarp įmonių problema.

Galima sakyti, kad optimalaus valdymo konstravimo dinaminio programavimo metodu procedūra yra padalinta į du etapus: preliminarų ir galutinį. Preliminariame etape kiekvienam žingsniui SOE nustatomas priklausomai nuo sistemos būsenos (pasiektas ankstesnių žingsnių rezultatas) ir sąlygiškai optimalus padidėjimas visuose likusiuose žingsniuose, pradedant nuo šio, taip pat priklausomai nuo būsenos. . Paskutiniame etape nustatoma (besąlygiška) optimali kiekvieno žingsnio kontrolė. Preliminarus (sąlyginis) optimizavimas žingsnis po žingsnio atliekamas atvirkštine tvarka: nuo paskutinio žingsnio iki pirmo; galutinis (besąlyginis) optimizavimas – taip pat žingsniais, bet natūralia tvarka: nuo pirmo žingsnio iki paskutinio. Iš dviejų optimizavimo etapų pirmasis yra nepalyginamai svarbesnis ir daug laiko reikalaujantis. Atlikus pirmąjį etapą, užbaigus antrąjį, sunkumų nekyla: belieka „perskaityti“ jau pirmame etape parengtas rekomendacijas.

7. Tiesinio programavimo uždavinio teiginys.

Linijinis programavimas yra populiarus įrankis sprendžiant ekonomines problemas, kurioms būdingas vieno kriterijaus buvimas (pavyzdžiui, maksimaliai padidinti pajamas iš gamybos per optimalų gamybos programos pasirinkimą arba, pavyzdžiui, sumažinti transportavimo išlaidas ir pan.). Ekonominėms problemoms būdingi išteklių (materialinių ir (arba) finansinių) apribojimai. Jie parašyti nelygybių sistemos forma, kartais lygybių forma.

Prognozuojant priimtinus kainų intervalus (ar pardavimų apimtis) taikant apibendrintą neparametrinį metodą, linijinio programavimo naudojimas reiškia:

Kriterijus yra MAX kaina kitos prekės iš dominančios grupės f.

Valdomi kintamieji yra visų f grupės produktų kainos.

Mūsų prognozavimo problemos, naudojant apibendrintą neparametrinį metodą, apribojimai yra šie:

a) nelygybių sistema (vartotojų elgsenos racionalumo suvaržymai) (žr. 4.2. Prognozavimas apibendrinto neparametrinio metodo rėmuose);

b) valdomų kintamųjų neneigiamumo reikalavimas (savo prognozavimo uždavinyje reikalausime, kad f grupės produktų kainos nenukristų žemiau 80% kainų verčių paskutiniu laiko momentu);

c) biudžeto suvaržymas lygybės pavidalu – reikalavimas, kad f grupės produktų pirkimo išlaidų suma būtų pastovi (pavyzdžiui, atsižvelgiant į 15 % infliaciją).

8. Grafinis metodas linijinio programavimo uždaviniams spręsti.

Grafinis metodas yra paremtas geometrine linijinio programavimo uždavinio interpretacija ir dažniausiai naudojamas sprendžiant uždavinius dvimatėje erdvėje ir tik kai kuriuos uždavinius trimatėje erdvėje, nes gana sunku sukonstruoti sprendinių daugiasparnį, kuris būtų suformuotas kaip pustarpių susikirtimo rezultatas. Paprastai neįmanoma grafiškai pavaizduoti problemos erdvėje, kurios matmenys yra didesni nei trys.

Tegul linijinio programavimo uždavinys nurodomas dvimatėje erdvėje, t.y., apribojimuose yra du kintamieji.

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę

(2.1) Z = С1х1+С2х2

a11x1 + a22x2 b1

(2.2)a21x1 + a22x2 b2

aM1x1 + aM2x2 bM

(2.3) x1 0, x2 0

Tarkime, kad sistema (2.2) pagal sąlygą (2.3) yra nuosekli, o jos sprendimo daugiakampis yra ribotas. Kiekviena nelygybė (2.2) ir (2.3), kaip minėta aukščiau, apibrėžia pusplokštumą su ribinėmis linijomis: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 = bi,(i = 1, 2, ..., n), x1=0 , x2=0 . Tiesinė funkcija (2.1) fiksuotoms Z reikšmėms yra tiesės lygtis: C1x1 + C2x2 = const. Sukonstruokime apribojimų sistemos (2.2) sprendinių daugiakampį ir tiesinės funkcijos (2.1) grafiką, kai Z = 0 (2.1 pav.). Tada iškelta linijinio programavimo problema gali būti interpretuojama taip. Raskite sprendinio daugiakampio tašką, kuriame atramos linija C1x1 + C2x2 = const ir funkcija Z pasiekia minimumą.

Z = C1x1 + C2x2 reikšmės didėja vektoriaus N = (C1, C2) kryptimi, todėl tiesę Z = 0 perkeliame lygiagrečiai sau vektoriaus X kryptimi. Iš Fig. 2.1 iš to išplaukia, kad tiesė du kartus tampa atskaitos linija sprendinio daugiakampio atžvilgiu (taškuose A ir C), o taške A įgyja mažiausią reikšmę. Taško A koordinatės (x1, x2) randamos sprendžiant tiesių AB ir AE lygčių sistema.

Jei sprendimo daugiakampis yra neapribotas daugiakampis plotas, galimi du atvejai.

1 atvejis. Tiesė C1x1 + C2x2 = const, judanti vektoriaus N kryptimi arba priešinga jam, nuolat kerta sprendinio daugiakampį ir nėra jo atrama jokiame taške. Šiuo atveju tiesinė funkcija nėra apribota sprendinio daugiakampiu tiek aukščiau, tiek žemiau (2.2 pav.).

2 atvejis. Tiesi linija, judanti, vis dėlto tampa atrama sprendinių daugiakampio atžvilgiu (2.2 pav., a - 2.2, c). Tada, priklausomai nuo ploto tipo, tiesinė funkcija gali būti ribojama iš viršaus ir neribota iš apačios (2.2 pav., a), ribojama iš apačios ir neribota iš viršaus (2.2 pav., b), arba ribojama ir iš apačios, ir iš apačios, ir neribota. iš viršaus (2.2 pav., c).

9. Simpleksinis metodas.

Simpleksinis metodas yra pagrindinis linijinio programavimo metodas. Problemos sprendimas pradedamas nagrinėjant vieną iš sąlygų daugiakampio viršūnių. Jei tiriama viršūnė neatitinka maksimumo (minimumo), tada jie pereina į gretimą, padidindami tikslo funkcijos reikšmę sprendžiant uždavinį maksimaliai ir sumažindami sprendžiant užduotį už minimumą. Taigi, perėjimas iš vienos viršūnės į kitą pagerina tikslo funkcijos reikšmę. Kadangi daugiabriaunio viršūnių skaičius yra ribotas, baigtiniu žingsnių skaičiumi garantuojama rasti optimalią reikšmę arba nustatyti, kad problema yra neišsprendžiama.

Šis metodas yra universalus, taikomas bet kokiai linijinio programavimo problemai kanonine forma. Apribojimų sistema čia yra tiesinių lygčių sistema, kurioje nežinomųjų skaičius yra didesnis už lygčių skaičių. Jei sistemos rangas yra r, tai galime pasirinkti r nežinomųjų, kuriuos išreiškiame likusiais nežinomaisiais. Tikslumui darome prielaidą, kad pasirenkami pirmieji iš eilės nežinomieji X1, X2, ..., Xr. Tada mūsų lygčių sistemą galima parašyti kaip

Simplekso metodas pagrįstas teorema, vadinama pagrindine simplekso metodo teorema. Tarp optimalių kanoninės formos linijinio programavimo problemos planų būtinai yra jos apribojimų sistemos pamatinis sprendimas. Jei optimalus problemos planas yra unikalus, tai jis sutampa su kokiu nors etaloniniu sprendimu. Yra ribotas skaičius skirtingų suvaržymų sistemos palaikančių sprendimų. Todėl problemos sprendimo kanonine forma galima būtų ieškoti ieškant pamatinių sprendimų ir iš jų pasirenkant tą, kurio F reikšmė yra didžiausia. Bet, pirma, visi pamatiniai sprendimai yra nežinomi ir juos reikia rasti, antra, realiose problemose šių sprendimų yra daug ir tiesioginė paieška sunkiai įmanoma. Simpleksinis metodas yra tam tikra kryptingo pagalbinių sprendimų surašymo procedūra. Remdamiesi tam tikru pamatiniu sprendimu, iš anksto surastu naudojant tam tikrą simplekso metodo algoritmą, apskaičiuojame naują etaloninį sprendimą, kuriame tikslo funkcijos F reikšmė yra ne mažesnė nei senosios. Atlikę keletą veiksmų, pasiekiame pamatinį sprendimą, kuris yra optimalus planas.

10. Transporto problemos pareiškimas. Referencinių planų nustatymo metodai.

Tam tikros identiškos prekės yra m išvykimo taškų („tiekėjai“) ir n vartojimo vietų („vartotojai“). Kiekvienam elementui apibrėžiama:

ai - i-ojo tiekėjo gamybos apimtys, i = 1, …, m;

вj - j-ojo vartotojo paklausa, j= 1,…,n;

сij – vieno produkto vieneto transportavimo kaina iš taško Ai, i-ojo tiekėjo, į tašką Bj, j-ąjį vartotoją.

Aiškumo dėlei duomenis patogu pateikti lentelės forma, kuri vadinama transportavimo išlaidų lentele.

Būtina rasti transportavimo planą, kuriame būtų pilnai patenkintas visų vartotojų poreikis, o tiekėjų pakaktų tiekimo ir bendros transportavimo išlaidos būtų minimalios.

Pervežimo plane nurodoma pervežimo apimtis, t.y. prekių kiekis, kurį reikia gabenti nuo i-ojo tiekėjo iki j-ojo vartotojo. Norint sudaryti matematinį uždavinio modelį, reikia įvesti m·n kintamųjų xij, i= 1,..., n, j= 1,..., m, kiekvienas kintamasis xij žymi transportavimo iš taško apimtį Ai iki taško Bj. Kintamųjų rinkinys X = (xij) bus planas, kurį reikia rasti remiantis problemos formuluote.

Tai yra uždaro ir atviro transporto problemų (CTZ) sprendimo sąlyga.

Akivaizdu, kad 1 uždavinys būtų išspręstas, būtina, kad bendra paklausa neviršytų tiekėjų produkcijos apimties:

Jei ši nelygybė griežtai tenkinama, problema vadinama „atvira“ arba „nesubalansuota“, o jei , tada problema vadinama „uždara“ transporto problema ir bus tokia forma (2):

Balanso būklė.

Tai yra uždaro transporto problemų (CTP) sprendimo sąlyga.

11. Transporto problemos sprendimo algoritmas.

Norint taikyti algoritmą, reikia laikytis kelių būtinų sąlygų:

1. Turi būti žinomos gaminio vieneto transportavimo iš kiekvienos gamybos vietos į kiekvieną paskirties vietą išlaidos.

2. Turi būti žinomos produkcijos atsargos kiekviename gamybos taške.

3. Turi būti žinomi gaminių reikalavimai kiekvienoje vartojimo vietoje.

4. Bendra pasiūla turi būti lygi bendrajai paklausai.

Transporto problemos sprendimo algoritmas susideda iš keturių etapų:

I etapas: Pateikite duomenis standartinės lentelės forma ir suraskite galimą išteklių paskirstymą. Priimtinas yra išteklių paskirstymas, leidžiantis patenkinti visą paklausą paskirties vietose ir pašalinti visas produktų atsargas iš gamybos taškų.

2 etapas. Gauto išteklių paskirstymo optimalumo tikrinimas

3 etapas. Jei gaunamas išteklių paskirstymas nėra optimalus, tada ištekliai perskirstomi, sumažinant transportavimo kaštus.

4 etapas. Pakartotinis gauto išteklių paskirstymo optimalumo patikrinimas.

Šis kartotinis procesas kartojamas tol, kol gaunamas optimalus sprendimas.

12. Atsargų valdymo modeliai.

Nepaisant to, kad bet koks atsargų valdymo modelis yra skirtas atsakyti į du pagrindinius klausimus (kada ir kiek), yra nemažai modelių, kurių kūrimui naudojami įvairūs matematiniai įrankiai.

Ši situacija paaiškinama pradinių sąlygų skirtumais. Pagrindinis atsargų valdymo modelių klasifikavimo pagrindas yra sandėliuojamų produktų paklausos pobūdis (prisiminkime, kad bendresnės gradacijos požiūriu dabar svarstome tik atvejus su nepriklausoma paklausa).

Taigi, priklausomai nuo paklausos pobūdžio, atsargų valdymo modeliai gali būti

deterministinis;

tikimybinis.

Savo ruožtu deterministinė paklausa gali būti statinė, kai vartojimo intensyvumas laikui bėgant nekinta, arba dinaminė, kai patikima paklausa laikui bėgant gali keistis.

Tikimybinė paklausa gali būti stacionari, kai paklausos tikimybės tankio funkcija laikui bėgant nekinta, ir nestacionari, kai tikimybių tankio funkcija kinta priklausomai nuo laiko. Aukščiau pateiktą klasifikaciją iliustruoja paveikslas.

Paprasčiausias atvejis yra deterministinės statinės produktų paklausos atvejis. Tačiau toks vartojimo būdas praktikoje yra gana retas. Sudėtingiausi modeliai yra nestacionaraus tipo modeliai.

Be produktų paklausos pobūdžio, kuriant atsargų valdymo modelius, reikia atsižvelgti į daugelį kitų veiksnių, pavyzdžiui:

užsakymo įvykdymo terminai. Pirkimo laikotarpio trukmė gali būti pastovi arba atsitiktinis dydis;

atsargų papildymo procesas. Gali būti momentinis arba paskirstytas laikui bėgant;

apyvartinių lėšų, sandėlio ploto ir kt. apribojimų buvimas.

13. Eilių sistemos (QS) ir jų efektyvumo rodikliai.

Eilių sistemos (QS) – tai ypatingo tipo sistemos, įgyvendinančios pakartotinį panašių užduočių vykdymą. Tokios sistemos atlieka svarbų vaidmenį daugelyje ekonomikos, finansų, gamybos ir kasdienio gyvenimo sričių. Kaip QS pavyzdžiai finansų ir ekonomikos srityse; šioje srityje galima paminėti įvairių tipų bankus (komercinius, investicinius, hipotekos, inovatyvius, taupomuosius), draudimo organizacijas, valstybines akcines bendroves, bendroves, firmas, asociacijas, kooperatyvus, mokesčių inspekcijas, audito paslaugas, įvairias komunikacijos sistemas (įskaitant telefonų stotys), pakrovimo ir iškrovimo kompleksai (uostai, krovinių stotys), degalinės, įvairios įmonės ir paslaugų organizacijos (parduotuvės, informacijos punktai, kirpyklos, bilietų kasos, valiutos keityklos, remonto dirbtuvės, ligoninės). Tokios sistemos kaip kompiuterių tinklai, informacijos rinkimo, saugojimo ir apdorojimo sistemos, transporto sistemos, automatizuotos gamybos zonos, gamybos linijos, įvairios karinės sistemos, ypač oro ar priešraketinės gynybos sistemos, taip pat gali būti laikomos QS rūšimi.

Kiekvienas QS savo struktūroje apima tam tikrą skaičių aptarnavimo įrenginių, kurie vadinami aptarnavimo kanalais (įrenginiais, linijomis). Kanalų vaidmenį gali atlikti įvairūs įrenginiai, tam tikras operacijas atliekantys asmenys (kasininkai, operatoriai, kirpėjai, pardavėjai), ryšio linijos, automobiliai, kranai, remonto brigados, geležinkelio bėgiai, degalinės ir kt.

Eilių sistemos gali būti vieno kanalo arba kelių kanalų.

Kiekvienas QS skirtas aptarnauti (vykdyti) tam tikrą programų (reikalavimų) srautą, ateinantį į sistemos įėjimą, dažniausiai ne reguliariai, o atsitiktiniu laiku. Programų aptarnavimas šiuo atveju taip pat trunka ne pastovų, iš anksto žinomą laiką, o atsitiktinį laiką, kuris priklauso nuo daugelio atsitiktinių, kartais mums nežinomų priežasčių. Aptarnavus užklausą, kanalas atlaisvinamas ir paruoštas priimti kitą užklausą. Atsitiktinis užklausų srauto pobūdis ir jų aptarnavimo laikas lemia netolygią QS apkrovą: kitu metu QS įėjime gali kauptis neaptarnaujamos programos, o tai lemia QS perkrovą, o kartais QS įėjime yra laisvi kanalai, nebus aplikacijų, dėl to QS apkraunama per mažai, t.y. jo kanalų neveikimas. Programos, kurios kaupiasi prie QS įėjimo arba „įstoja“ į eilę, arba dėl to, kad neįmanoma toliau likti eilėje, palieka QS neaptarnaujamą.

Poros „BRO – vartotojas“ veikimo efektyvumo rodikliai, kai vartotojas suprantamas kaip visas programų rinkinys arba kai kurie jų šaltiniai (pavyzdžiui, vidutinės BRO atnešamos pajamos per laiko vienetą ir kt. ). Ši rodiklių grupė yra naudinga tais atvejais, kai kai kurios pajamos, gautos už programų aptarnavimą, ir aptarnavimo kaštai matuojami tais pačiais vienetais. Šie rodikliai dažniausiai yra labai specifinio pobūdžio ir yra nulemti QS specifikos, aptarnaujamų užklausų ir aptarnavimo drausmės.

14. Tikimybinių būsenų dinaminės lygtys (Kolmogorovo lygtys). Ribuojančios būsenų tikimybės.

Formaliai diferencijuodami Kolmogorovo-Chapman lygtį s atžvilgiu, kai s = 0, gauname tiesioginę Kolmogorovo lygtį:

Formaliai diferencijuodami Kolmogorovo-Chapman lygtį t atžvilgiu, kai t = 0, gauname atvirkštinę Kolmogorovo lygtį

Reikia pabrėžti, kad begalinių matmenų erdvėse operatorius nebūtinai yra tęstinis ir negali būti visur apibrėžtas, pavyzdžiui, kad būtų diferencinis operatorius skirstinių erdvėje.

Jei sistemos S būsenų skaičius yra baigtinis ir atrodo, kad iš kiekvienos būsenos (tam tikru žingsnių skaičiumi) galima pereiti prie vienos kitos būsenos, tai ribinės būsenų tikimybės egzistuoja ir taip pat nepriklauso nuo pradinės būsenos. sistemos.

Fig. parodytas būsenų ir perėjimų grafikas, tenkinantis nurodytą sąlygą: iš bet kurios būsenos sistema anksčiau ar vėliau gali pereiti į bet kurią kitą būseną. Sąlyga bus įvykdyta ne tada, kai 4-3 rodyklės kryptis grafike Fig. pasikeis, o į priešingą.

Tarkime, kad nurodyta sąlyga yra įvykdyta, todėl egzistuoja ribojančios tikimybės:

Ribinės tikimybės bus žymimos tomis pačiomis raidėmis kaip ir būsenų tikimybės, tuo tarpu jos reiškia skaičius, o ne kintamuosius (laiko funkcijas).

Akivaizdu, kad ribojančios būsenų tikimybės turi susidėti į vienybę: Vadinasi, sistemoje tam tikru ribojančiu stacionariu režimu nustatomas: net jei sistema keičia savo būsenas atsitiktinai, tačiau kiekvienos iš šių būsenų tikimybė nesikeičia. priklauso nuo laiko ir kiekvienas iš jų įvyksta su tam tikra pastovia tikimybe, kuri yra vidutinis santykinis laikas, kai sistema išlieka tokioje būsenoje.

15. Mirties ir dauginimosi procesas.

Pavadinkime Markovo mirties ir dauginimosi su nepertraukiamu laiku procesą tokiu procesu, kuris gali įgyti tik neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes; šio proceso pokyčiai gali įvykti bet kuriuo momentu t, tuo tarpu bet kuriuo momentu jis gali padidėti vienu arba likti nepakitęs.

Reprodukcijos srautai λi(t) bus vadinami Puasono srautais, dėl kurių padidėja funkcija X(t). Atitinkamai, μi (t) yra mirties srautai, dėl kurių sumažėja funkcija X (t).

Iš grafiko sudarykime Kolmogorovo lygtį:

Jei srautas baigtinis:

Kolmogorovo mirties ir dauginimosi proceso lygčių sistema su ribotu būsenų skaičiumi turi tokią formą:

Grynojo dauginimosi procesas – tai mirties ir dauginimosi procesas, kurio metu visų mirties srautų intensyvumas lygus nuliui.

Grynosios mirties procesas – tai mirties ir dauginimosi procesas, kurio metu visų dauginimosi srautų intensyvumas lygus nuliui.

16. Eilių sistemos su gedimais.

Paprasčiausia iš eilių teorijos aptariamų problemų yra vieno kanalo QS modelis su gedimais ar nuostoliais.

Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju kanalų skaičius yra 1 (). Šis kanalas gauna Puasono užklausų srautą, kurio intensyvumas lygus . Laikas turi įtakos intensyvumui:

Jei programa patenka į kanalą, kuris šiuo metu nėra nemokamas, ji atmetama ir nebebus įtraukta į sistemą. Programų aptarnavimas atliekamas atsitiktiniu laiku, kurio paskirstymas įgyvendinamas pagal eksponentinį dėsnį su parametru:

17. Eilių sistemos su laukimu.

Užklausa, gauta, kai kanalas užimtas, yra eilėje ir laukia aptarnavimo.

Sistema su ribotu eilės ilgiu. Pirmiausia darykime prielaidą, kad vietų skaičius eilėje yra ribojamas m, t. y. jei programa ateina tuo metu, kai eilėje jau yra m programų, ji palieka neaptarnaujamą sistemą. Ateityje, nukreipę m į begalybę, gausime vieno kanalo QS charakteristikas be eilės ilgio apribojimų.

QS būsenas sunumeruosime pagal aplikacijų skaičių sistemoje (tiek aptarnaujamų, tiek laukiančių):

— kanalas nemokamas;

— kanalas užimtas, eilės nėra;

— kanalas užimtas, viena užklausa yra eilėje;

—kanalas užimtas, eilėje yra k - 1 užklausos;

— kanalas užimtas, daugybė programų yra eilėje.

18. Sprendimų priėmimo konfliktinėmis sąlygomis metodai. Matriciniai žaidimai. Gryni ir mišrūs strateginiai žaidimai.

Matricos žaidimas – dviejų žaidėjų baigtinės nulinės sumos žaidimas, kuriame 1 žaidėjo laimėjimas nurodomas matricos pavidalu (matricos eilutė atitinka 2 žaidėjo taikomos strategijos numerį, stulpelis atitinka prie 2 žaidėjo taikomos strategijos skaičiaus; matricos eilutės ir stulpelio sankirtoje yra 1 žaidėjo išmokėjimas, atitinkantis taikomas strategijas).

Matricinių žaidimų atveju buvo įrodyta, kad bet kuris iš jų turi sprendimą ir jį galima lengvai rasti sumažinus žaidimą iki linijinio programavimo problemos.

Dviejų žaidėjų nulinės sumos matricos žaidimas gali būti įsivaizduojamas kaip toks abstraktus dviejų žaidėjų žaidimas.

Pirmasis žaidėjas turi m strategiją i = 1,2,...,m, antrasis žaidėjas turi n strategijų j = 1,2,...,n. Kiekviena strategijų pora (i,j) yra susieta su skaičiumi aij, kuris išreiškia 1 žaidėjo pelną 2 žaidėjo sąskaita, jei pirmasis žaidėjas priima savo i-ąją strategiją, o 2 - j-ąją strategiją.

Kiekvienas žaidėjas atlieka vieną ėjimą: 1 žaidėjas pasirenka savo i-ąją strategiją (i=), 2 - j-ąją strategiją (j=), po to 1 žaidėjas gauna išmokėjimą aij 2 žaidėjo sąskaita (jei aij

Kiekviena žaidėjo strategija i=; j = dažnai vadinama grynąja strategija.

Apibrėžimas. Žaidėjo mišri strategija yra visas tikimybių rinkinys, kad jis pasinaudos grynosiomis strategijomis.

Taigi, jei 1 žaidėjas turi m grynųjų strategijų 1,2,...,m, tai jo mišri strategija x yra skaičių x = (x1,..., xm) rinkinys, tenkinantis santykius

xi³ 0 (i= 1,m), =1.

Panašiai 2 žaidėjui, kuris turi n grynų strategijų, mišri strategija y yra skaičių rinkinys

y = (y1, ..., yn), yj ³ 0, (j = 1, n), = 1.

Kadangi kiekvieną kartą, kai žaidėjas naudoja vieną gryną strategiją, nenaudojama kita, grynos strategijos yra nesuderinami įvykiai. Be to, tai vieninteliai galimi įvykiai.

Gryna strategija yra ypatingas mišrios strategijos atvejis. Iš tiesų, jei mišrioje strategijoje kuri nors i-oji grynoji strategija taikoma su 1 tikimybe, tada visos kitos grynosios strategijos netaikomos. Ir ši i-oji grynoji strategija yra ypatingas mišrios strategijos atvejis. Kad išlaikytų paslaptį, kiekvienas žaidėjas taiko savo strategijas, nepaisydamas kito žaidėjo pasirinkimo.

19. Geometrinis matricinio žaidimo sprendimo metodas.

2xn arba nx2 dydžio žaidimų sprendimas leidžia aiškiai geometrinę interpretaciją. Tokius žaidimus galima išspręsti grafiškai.

XY plokštumoje išilgai abscisių ašies nubrėžiame vieną atkarpą A1A2 (5.1 pav.). Kiekvienam atkarpos taškui priskirkime mišrią strategiją U = (u1, u2). Be to, atstumas nuo kokio nors tarpinio taško U iki dešiniojo šios atkarpos galo yra tikimybė u1 pasirinkti strategiją A1, atstumas iki kairiojo galo yra tikimybė u2 pasirinkti strategiją A2. Taškas A1 atitinka grynąją strategiją A1, taškas A2 – grynąją strategiją A2.

Taškuose A1 ir A2 atstatysime statmenus ir į juos įdėsime žaidėjų laimėjimus. Pirmajame statmenyje (sutampančiame su OY ašimi) rodome žaidėjo A laimėjimą naudojant A1 strategiją, antroje - naudojant strategiją A2. Jei žaidėjas A naudoja strategiją A1, tai jo laimėjimas su žaidėjo B strategija B1 yra lygus 2, o su strategija B2 – 5. OY ašyje esantys skaičiai 2 ir 5 atitinka taškus B1 ir B2. Panašiai ant antrojo statmeno randame taškus B"1 ir B"2 (padidėjimas 6 ir 4).

Sujungę taškus B1 ir B"1, B2 ir B"2, gauname dvi tiesias linijas, nuo kurių atstumas iki OX ašies lemia vidutinį pelną bet kokiam atitinkamų strategijų deriniui.

Pavyzdžiui, atstumas nuo bet kurio atkarpos B1B"1 taško iki OX ašies lemia vidutinį žaidėjo A išmokėjimą už bet kokį strategijų A1 ir A2 derinį (su tikimybėmis u1 ir u2) ir žaidėjo B strategiją B1.

Taškų, priklausančių trūkinei linijai B1MB"2, ordinatės nustato minimalų žaidėjo A laimėjimą, kai jis naudoja bet kokias mišrias strategijas. Ši minimali reikšmė yra didžiausia taške M, todėl šis taškas atitinka optimalią strategiją U* = ( ,), o jo ordinatė lygi žaidimo kainai v.

Taško M koordinates randame kaip tiesių B1B"1 ir B2B"2 susikirtimo taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, turite žinoti linijų lygtis. Tokias lygtis galite sukurti naudodami linijos, einančios per du taškus, lygties formulę:

Sukurkime savo uždaviniui tiesias lygtis.

B1B eilutė"1: = arba y = 4x + 2.

Tiesioginis B2B"2: = arba y = -x + 5.

Gauname sistemą: y = 4x + 2,

Išspręskime: 4x + 2 = -x + 5,

x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.

Taigi, U = (2/5, 3/5), v = 22/5.

20. Dvi matricos žaidimai.

Bimatricinis žaidimas – tai baigtinis dviejų žaidėjų žaidimas su ne nuline suma, kuriame kiekvieno žaidėjo laimėjimai nurodomi matricomis atskirai atitinkamam žaidėjui (kiekvienoje matricoje eilutė atitinka 1 žaidėjo strategiją, stulpelis atitinka 2 žaidėjo strategiją, pirmosios matricos eilutės ir stulpelio sankirtoje yra žaidėjo laimėjimas 1, antroje matricoje - 2 žaidėjo laimėjimas.)

Bimatriciniams žaidimams taip pat sukurta optimalaus žaidėjo elgesio teorija, tačiau tokius žaidimus išspręsti yra sunkiau nei įprastus matricinius žaidimus.

21. Statistikos žaidimai. Sprendimų priėmimo visiško ir dalinio neapibrėžtumo sąlygomis principai ir kriterijai.

Operacijų tyrimuose įprasta išskirti tris neapibrėžčių tipus:

tikslų neapibrėžtumas;

mūsų žinių apie aplinką ir šį reiškinį veikiančius veiksnius neapibrėžtumas (gamtos neapibrėžtumas);

aktyvaus ar pasyvaus partnerio ar priešininko veiksmų neapibrėžtumas.

Aukščiau pateiktoje klasifikacijoje neapibrėžties tipas nagrinėjamas vieno ar kito matematinio modelio elemento požiūriu. Pavyzdžiui, tikslų neapibrėžtumas atsispindi nustatant užduotį pasirenkant atskirus kriterijus arba visą teigiamo poveikio vektorių.

Kita vertus, kiti du neapibrėžčių tipai daugiausia turi įtakos suvaržymo lygčių tikslinės funkcijos formulavimui ir sprendimo metodui. Žinoma, aukščiau pateiktas teiginys yra gana sąlyginis, kaip ir bet kokia klasifikacija. Pateikiame jį tik siekdami išryškinti dar kai kuriuos neapibrėžtumo bruožus, į kuriuos būtina atsižvelgti priimant sprendimus.

Esmė ta, kad, be aukščiau aptarto neapibrėžčių klasifikavimo, būtina atsižvelgti į jų tipą (arba „gentį“) jų santykio su atsitiktinumu požiūriu.

Tuo remiantis galima išskirti stochastinį (tikimybinį) neapibrėžtumą, kai nežinomi veiksniai yra statistiškai stabilūs ir todėl reprezentuoja įprastus tikimybių teorijos objektus – atsitiktinius dydžius (arba atsitiktines funkcijas, įvykius ir pan.). Tokiu atveju nustatant problemą turi būti žinomos arba nustatytos visos būtinos statistinės charakteristikos (paskirstymo dėsniai ir jų parametrai).

Tokių užduočių pavyzdys gali būti visų pirma bet kokio tipo įrangos priežiūros ir remonto sistema, retinimo organizavimo sistema ir kt.

Kitas kraštutinis atvejis gali būti ne stochastinio tipo neapibrėžtumas (E. S. Ventzel žodžiais tariant, „blogas neapibrėžtumas“), kuriame nėra prielaidų apie stochastinį stabilumą. Galiausiai galime kalbėti apie tarpinį neapibrėžtumo tipą, kai sprendimas priimamas remiantis kai kuriomis hipotezėmis apie atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnius. Tuo pačiu sprendimus priimantis asmuo turi turėti omenyje pavojų, kad jo rezultatai gali neatitikti realių sąlygų. Ši neatitikimo rizika įforminama naudojant rizikos koeficientus.

Sprendimų priėmimas rizikos sąlygomis gali būti grindžiamas vienu iš šių kriterijų:

tikėtinos vertės kriterijus;

tikėtinos vertės ir dispersijos deriniai;

žinomas ribinis lygis;

labiausiai tikėtinas įvykis ateityje.

Operacija Vadinamas bet koks įvykis (veiksmų sistema), kurį vienija vienas planas ir kuriuo siekiama konkretaus tikslo. Visada yra operacija kontroliuojamas renginys, t.y. Galima nuspręsti, kaip parinkti tam tikrus jo organizaciją apibūdinančius parametrus. Šie parametrai vadinami valdymo kintamieji.

Bet koks konkretus tokių kintamųjų pasirinkimas vadinamas sprendimą. Sprendimai gali būti sėkmingi ir nesėkmingi, pagrįsti ir nepagrįsti. Optimalusįvardykite tokius sprendimus, kurie pagal vienus kriterijus yra geresni už kitus.

Operacijų tyrimo tikslas – išankstinis kiekybinis optimalių sprendimų, kurių gali būti ne vienas, pagrindimas. Galutinis sprendimo pasirinkimas išeina už operacijų tyrimo ribų ir priimamas taikant vadinamąją sprendimų teoriją.

Bet kuri operacijų tyrimo užduotis turi pradines „disciplinavimo“ sąlygas, t.y. tokius pradinius duomenis, kurie yra fiksuojami nuo pat pradžių ir negali būti pažeisti. Kartu jie sudaro vadinamąjį galimų sprendimų rinkinį.

Norėdami palyginti skirtingus sprendimus efektyvumo požiūriu, turite turėti kiekybinį kriterijų, vadinamą veiklos rodiklis(arba tikslo funkcija). Šis rodiklis parenkamas taip, kad atspindėtų operacijos tikslinę orientaciją.

Dažnai operaciją lydi atsitiktinių veiksnių veikimas. Tada kaip efektyvumo rodiklis imama ne pati reikšmė, kurią norėtųsi optimizuoti, o jos vidutinė vertė (arba matematinis lūkestis).

Kartais atsitiktinių veiksnių lydima operacija siekia tokio tikslo A, kurį galima pasiekti visiškai arba nepasiekti iš viso (pvz., „taip-ne“). Tuomet efektyvumo rodikliu pasirenkama šio tikslo pasiekimo tikimybė p(A). (Jei p(A) = 0 arba 1, tada pasiekiame kibernetikoje žinomą „juodosios dėžės“ problemą.)

Pasirinkti netinkamą veikimo rodiklį yra labai pavojinga. Operacijos, organizuojamos pagal nesėkmingai pasirinktą kriterijų, gali sukelti nepagrįstų išlaidų ir nuostolių. (Pavyzdžiui, „šafas“ yra pagrindinis įmonės ekonominės veiklos vertinimo kriterijus.)

1.3. Bendras operacijų tyrimo problemos teiginys

Operacijų tyrimo problemos skirstomos į dvi kategorijas: a) pirmyn ir b) atgal.

Tiesioginės užduotys atsakykite į klausimą: kam bus lygus efektyvumo rodiklis? Z, jei tam tikromis sąlygomis y  Y bus priimtas koks nors sprendimas x  X. Tokiai problemai išspręsti sukonstruotas matematinis modelis, leidžiantis išreikšti efektyvumo rodiklį tam tikromis sąlygomis ir sprendimą, būtent:

Kur
nurodyti veiksniai (pradiniai duomenys),

valdymo kintamieji (sprendimas),

Z– efektyvumo rodiklis (tikslinė funkcija),

F– funkcinė priklausomybė tarp kintamųjų.

Skirtinguose modeliuose ši priklausomybė išreiškiama skirtingai. Priklausomybė tarp Ir paprastai išreiškiamas apribojimais

Jei priklausomybės tipas F yra žinomas, tada indikatorius Z randamas tiesioginiu pakeitimu Ir į šią funkciją.

Atvirkštinės problemos atsakyti į klausimą: kaip tokiomis sąlygomis pasirinkti sprendimą
kad veiklos rodiklis Z pasuktas į maksimumą (minimumą). Ši problema vadinama sprendimo optimizavimo problema.

Tegul išsisprendžia tiesioginė problema, t.y. nurodomas veikimo modelis ir nurodomas priklausomybės tipas F garsus. Tada atvirkštinę problemą (t. y. optimizavimo problemą) galima suformuluoti taip.

Reikia surasti toks sprendimas
prie kurio efektyvumo rodiklis Z = opt:

Ši formulė skamba taip: Z yra optimali vertė
perėmė visus sprendinius, įtrauktus į galimų sprendimų rinkinį X.

Naudingumo rodiklio ekstremumo radimo būdas Z ir su juo susijusį optimalų sprendimą visada turėtų būti pasirenkama atsižvelgiant į funkcijos ypatybes F ir sprendimui taikomų apribojimų rūšis. (Pavyzdžiui, klasikinė linijinio programavimo problema.)

Operacijų tyrimo problema

Įvadas…………………………………………………………………………………3

1. Pagrindinės operacijų tyrimo sąvokos ir apibrėžimai……………..5

2. Bendras operacijų tyrimo problemos teiginys…………..…………6

Išvada…………………………………………………………………………………………………………………….

Literatūra…………………………………………………………………………………......14

Įvadas

Operacijų tyrimas - mokslo disciplina, nagrinėjanti efektyviausio įvairių organizacinių sistemų valdymo metodų kūrimą ir praktinį taikymą.

Bet kurios sistemos valdymas įgyvendinamas kaip procesas, kuris paklūsta tam tikriems dėsniams. Jų žinios padeda nustatyti būtinas ir pakankamas sąlygas šiam procesui įgyvendinti. Norėdami tai padaryti, visi procesą ir išorines sąlygas apibūdinantys parametrai turi būti kiekybiškai įvertinti ir išmatuoti. Todėl operacijų tyrimo tikslas yra kiekybinis priimtų sprendimų pagrindimas apie valdymo organizaciją.

Sprendžiant konkrečią valdymo problemą, naudojami operacijų tyrimo metodai:

Ekonominių ir matematinių modelių kūrimas sprendimų priėmimo problemoms sudėtingose ​​situacijose arba neapibrėžtumo sąlygomis;

Santykių, kurios vėliau lemia sprendimų priėmimą, tyrimas ir veiklos kriterijų, leidžiančių įvertinti konkrečios veiklos krypties pranašumą, nustatymas.

Operacijų tyrimo užduočių, atspindinčių jos specifiką, pavyzdžiai yra šios užduotys.

Užduotis 1. Aukštai gaminamos produkcijos kokybei užtikrinti, gamykloje organizuojama mėginių ėmimo kontrolės sistema. Būtina pasirinkti tokias jos organizavimo formas – pavyzdžiui, priskirti kontrolinių partijų dydžius, nurodyti kontrolės operacijų eiliškumą, nustatyti atmetimo taisykles – tam, kad minimaliomis sąnaudomis būtų užtikrinta reikiama kokybė.

2 užduotis. Tam tikrai sezoninių prekių partijai parduoti sukuriamas laikinų mažmeninės prekybos vietų tinklas. Būtina parinkti tinklo parametrus – taškų skaičių, jų vietą, personalo skaičių – taip, kad būtų užtikrintas maksimalus ekonominis pardavimo efektyvumas.

Užduotis 3. Iki nurodytos datos būtina atlikti masinę gyventojų grupės medicininę apžiūrą, siekiant nustatyti tam tikras ligas. Tyrimui skirtos medžiagos, įranga ir personalas. Būtina parengti tokį apžiūros planą – nustatyti medikų etatų skaičių, jų vietą, tipą ir tyrimų skaičių, kad būtų nustatytas kuo didesnis sergančiųjų procentas.

Taip pat reikia atkreipti dėmesį į problemas dėl išteklių naudojimo, dėl mišinių, dėl pajėgumų panaudojimo, dėl pjovimo medžiagų, transporto problemą ir pan., kuriose būtina rasti sprendimą, kai kai kurie našumo kriterijus(pavyzdžiui, pelnas, pajamos, išteklių sąnaudos ir pan.) įgauna didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Pateiktos užduotys yra susijusios su skirtingomis praktikos sritimis, tačiau jos turi bendrų bruožų: kiekvienu atveju kalbame apie kai kurias kontroliuojamas įvykis (operacija), siekiantis tam tikro taikinys. 1 užduotyje – tai mėginių ėmimo kontrolės organizavimas, siekiant užtikrinti gaminių kokybę; 2 užduotyje – laikinų mažmeninės prekybos vietų organizavimas sezoniniams išpardavimams; 3 užduotyje – masinė medicininė apžiūra, siekiant nustatyti atvejų procentą.

Kiekvienoje užduotyje yra keletas sąlygos vykdant šį renginį, kurio rėmuose būtina imtis sprendimas - kad įvykis duotų kokios nors naudos. Sąlygos atlikti operaciją kiekvienoje užduotyje yra mūsų turimos priemonės, laikas, įranga, technologija, o sprendimas 1 užduotyje yra kontrolės formos pasirinkimas - kontrolinių partijų dydis, atmetimo taisyklės; 2 užduotyje - pasirenkant įdarbinimo taškų skaičių ir personalo skaičių; 3 užduotyje - pasirenkant medicinos etatų skaičių, tyrimų tipą ir skaičių.

1. Pagrindinės operacijų tyrimo sąvokos ir apibrėžimai

Operacija- bet koks kontroliuojamas įvykis, kuriuo siekiama tikslo. Operacijos rezultatas priklauso nuo jos įgyvendinimo būdo, organizavimo, kitu atveju – nuo ​​tam tikrų parametrų pasirinkimo.

Bet koks konkretus parametrų pasirinkimas vadinamas sprendimą.

Optimalus apsvarstyti tuos sprendimus, kurie dėl vienokių ar kitokių priežasčių yra geresni už kitus. Štai kodėl pagrindinė užduotis operacijų tyrimas yra preliminarus kiekybinis optimalių sprendimų pagrindimas.

1 pastaba. Reikėtų atkreipti dėmesį į problemos teiginį: the priimant sprendimus išeina už operacijų tyrimo ribų ir už tai yra atsakingas atsakingas asmuo arba žmonių grupė, kuri gali atsižvelgti į kitus, nei matematiškai pagrįstus, sumetimus.

Užrašas 2. Jei kai kuriose operacijų tyrimo problemose optimalus sprendimas yra tas, kuriam taikomas koks nors efektyvumo kriterijus

didžiausia arba mažiausia vertė, tada kitose užduotyse tai visai nebūtina. Taigi 2 užduotyje optimalus mažmeninės prekybos vietų ir darbuotojų skaičius jose gali būti laikomas tokiu, kad vidutinis klientų aptarnavimo laikas neviršytų, pavyzdžiui, 5 minučių, o eilės vidutinė trukmė bet kuriuo metu ne daugiau. nei 3 žmonės.

Norint taikyti kiekybinius tyrimo metodus, būtina statyti operacijos matematinis modelis. Konstruojant modelį operacija, kaip taisyklė, supaprastinama, schematizuojama, operacijų schema aprašoma naudojant vieną ar kitą matematinį aparatą.

Modelis operacijos - tai gana tikslus operacijos aprašymas naudojant matematinį aparatą (įvairių rūšių funkcijas, lygtis, lygčių ir nelygybių sistemas ir kt.). Norint sudaryti operacijos modelį, reikia suprasti aprašomo reiškinio esmę ir žinoti matematinį aparatą.

Veikimo efektyvumas - jos pritaikymo užduočiai laipsnis kiekybiškai išreiškiamas efektyvumo kriterijaus – tikslinės funkcijos – forma. Pavyzdžiui, išteklių panaudojimo problemoje efektyvumo kriterijus yra pelnas iš pagamintos produkcijos pardavimo, kurį reikia maksimaliai padidinti, transporto problemos atveju – bendrosios prekių transportavimo iš tiekėjų pas vartotojus kaštai, kuriuos reikia kuo labiau sumažinti. . Veiksmingumo kriterijaus pasirinkimas lemia praktinę tyrimo vertę. (Neteisingai pasirinktas kriterijus gali būti žalingas, nes pagal tokį efektyvumo kriterijų organizuojamos operacijos kartais sukelia nepateisinamų išlaidų.)

2. Bendras operacijų tyrimo problemos teiginys

Svarbu suprasti operacijų tyrimo problemų modelių konstravimo metodiką. Visus veiksnius, įtrauktus į operacijos aprašymą, galima suskirstyti į dvi grupes:

pastovūs veiksniai(eksploatavimo sąlygos), kurių negalime įtakoti. Pažymėkime juos α1, α2, ... ;

priklausomi veiksniai(sprendimo elementai) x 1, x2, ...; kurią tam tikrose ribose galime pasirinkti savo nuožiūra.

Pavyzdžiui, sprendžiant išteklių naudojimo problemą, į pastovius veiksnius turėtų būti įtrauktos kiekvienos rūšies išteklių atsargos, gamybos matrica, kurios elementai lemia kiekvienos rūšies žaliavų suvartojimą kiekvienos rūšies produkcijos vienetui. Sprendimo elementai – kiekvienos rūšies gaminio gamybos planas.

Veiklos kriterijus, išreikštas tam tikra funkcija, vadinama taikinys, priklauso nuo abiejų grupių veiksnių, todėl tikslo funkcija Z galima parašyti formoje

Z= f (x1, x2, ..., α1, α2, ...)

Visi operacijų tyrimo modeliai gali būti klasifikuojami priklausomai nuo operacijos pobūdžio ir savybių, sprendžiamų uždavinių pobūdžio, naudojamų matematinių metodų ypatybių.

Visų pirma reikėtų atkreipti dėmesį į didelį optimizavimo modelių klasė. Tokios problemos kyla bandant optimizuoti sudėtingų sistemų, pirmiausia ekonominių, planavimą ir valdymą. Optimizavimo problemą galima suformuluoti bendra forma: rasti kintamuosius x1, x2, ..., x n , nelygybių (lygčių) sistemos patenkinimas

g i (x1, x2, x3,..., X n )<= b i , i = 1, 2,..., n (0.1)

Ir tikslo funkcijos pasukimas į maksimumą (arba minimumą), t.y.

Z= f (x1, x2, ..., x n ) - m ah (m in ) (0.2)

(Kintamųjų neneigiamumo sąlygos, jei tokių yra, įtrauktos į apribojimus (0.1))

Panagrinėkime kitą operacijų tyrimams būdingą problemą - klasikinė vartojimo problema, didelę reikšmę ekonominėje analizėje.

Tebūnie P prekių ir paslaugų rūšys, kurių kiekis (natūraliais vienetais) x1, x2, ..., x n, atitinkamomis kainomis p 1, p 2, ..., p n už vienetą. Bendra šių prekių ir paslaugų kaina yra ∑ p i x i .

Vartojimo lygis Z gali būti išreikšta kokia nors funkcija Z= f (x1, x2, ..., x n ) , paskambino naudingumo funkcija. Būtina rasti tokį prekių ir paslaugų rinkinį x1, x2, ..., x n duota pajamų suma I,į užtikrinti maksimalų suvartojimo lygį, tie.

Z= f (x1, x2, ..., x n ) - m Oi (0.3)

turint omenyje

∑ p i x i <= aš (0.4)

x i >= 0 ( i = 1, 2,..., n ) (0.5)

Šios problemos sprendimai, kurie priklauso nuo kainų p 1, p 2, ..., p n ir pajamų dydis aš, yra vadinami paklausos funkcijos.

Akivaizdu, kad nagrinėjama vartojimo problema (0,3)-(0,5), kaip ir daugelis kitų, yra ypatingas aukščiau suformuluotos bendrosios problemos (0,1)-(0,2) funkcijos ekstremumui nustatyti atvejis. P kintamieji pagal tam tikrus apribojimus, t.y. užduotį sąlyginis ekstremumas.

Tais atvejais, kai funkcijos f Ir g i, uždavinyje (0.1)-(0.2) yra bent du kartus diferencijuojami, galime naudoti klasika optimizavimo metodai. Tačiau šių metodų panaudojimas operacijų tyrimuose yra labai ribotas, nes i kintamųjų funkcijos sąlyginio ekstremumo nustatymo užduotis yra techniškai labai sudėtinga: metodas leidžia nustatyti lokalinį ekstremumą, o dėl daugiamačio funkcija, nustatanti jos didžiausią (arba mažiausią) reikšmę (pasaulinį ekstremumą), gali pasirodyti labai daug darbo reikalaujanti – juolab kad šis ekstremumas galimas ties sprendimo srities riba. Klasikiniai metodai visiškai neveikia, jei galiojančių argumentų reikšmių rinkinys yra atskiras arba funkcija Z yra pateikta lentelėje. Tokiais atvejais uždaviniams spręsti naudojami (0.1)-(0.2) metodai matematinis programavimas.

Jei veiklos kriterijus Z= f (x1, x2, ..., x n ) (0,2) reiškia tiesinę funkciją ir funkcijas g i (x1, x2, x3,..., X n ) suvaržymų sistemoje (0,1) taip pat yra tiesiniai, tada tokia problema yra problema linijinis programavimas. Jei, remiantis turiniu, jo sprendiniai turi būti sveikieji skaičiai, tai ši problema sveikųjų skaičių tiesinis programavimas. Jei efektyvumo kriterijus ir (arba) apribojimų sistema yra nurodyti netiesinėmis funkcijomis, tada turime problemą netiesinis programavimas. Visų pirma, jei nurodytos funkcijos turi išgaubtų savybių, kylanti problema yra problema išgaubtas programavimas.

Jei matematinio programavimo uždavinyje yra laiko kintamasis ir efektyvumo kriterijus (0,2) išreiškiamas ne tiesiogiai kaip kintamųjų funkcija, o netiesiogiai - per lygtis, kurios apibūdina operacijų eigą laike, tai tokia problema yra problema. dinaminis programavimas.

Jei efektyvumo kriterijus (0,2) ir apribojimų sistemą (0,1) nurodo formos funkcijomis Su*( x 1^α 1 )*( x 2^α 2 )...( x n ^α n ) , tada mes turime problemą geometrinis programavimas. Jei funkcijos f ir/arba g i išraiškose (0.2) ir (0.1) priklauso nuo parametrų, tada gauname uždavinį parametrinis programavimas, jei šios funkcijos yra atsitiktinio pobūdžio, užduotis stochastinis programavimas. Jei neįmanoma rasti tikslaus optimalaus algoritmo dėl pernelyg didelio sprendimo variantų skaičiaus, naudokite metodus euristinis programavimas, leidžia žymiai sumažinti ieškomų variantų skaičių ir rasti, jei ne optimalų, tai gana gerą sprendimą, kuris tenkina praktiniu požiūriu.

Iš išvardytų matematinio programavimo metodų labiausiai paplitęs ir išplėtotas linijinis programavimas. Ji apima platų operacijų tyrimo užduočių spektrą.

Tinklo planavimo ir valdymo užduotys apsvarstykite ryšį tarp didelio operacijų (darbų) užbaigimo datų ir visų komplekso operacijų pradžios laiko. Šios užduotys susideda iš minimalios operacijų rinkinio trukmės, optimalaus sąnaudų verčių santykio ir jų įgyvendinimo laiko nustatymo.

Eilių problemos yra skirtos paslaugų sistemų su taikomųjų programų ar reikalavimų eilėmis tyrimui ir analizei ir susideda iš sistemų veikimo rodiklių, optimalių jų charakteristikų nustatymo, pavyzdžiui, paslaugų kanalų skaičiaus, aptarnavimo trukmės ir kt.

Atsargų valdymo užduotys susideda iš optimalių atsargų lygio (užsakymo taško) ir užsakymo dydžio reikšmių radimo. Tokių užduočių ypatumas yra tas, kad, didėjant atsargų lygiui, viena vertus, didėja jų saugojimo kaštai, tačiau, kita vertus, mažėja nuostoliai dėl galimo sandėliuojamos prekės trūkumo.

Išteklių paskirstymo problemos atsiranda atliekant tam tikrą operacijų (darbų) rinkinį, kuris turi būti atliktas turint ribotus turimus išteklius, ir būtina rasti optimalų išteklių paskirstymą tarp operacijų ar operacijų sudėties.

Įrangos remonto ir keitimo darbai yra aktualūs dėl įrangos susidėvėjimo ir būtinybės ją laikui bėgant pakeisti. Užduotys apsiriboja optimalaus laiko, prevencinių remontų ir apžiūrų skaičiaus, taip pat įrangos keitimo modernizuota įranga nustatymu.

Užduočių planavimas (planavimas). susideda iš optimalios operacijų tvarkos nustatymo (pavyzdžiui, dalių apdorojimo) su įvairių tipų įranga.

Planavimo ir išdėstymo užduotys Tai yra optimalaus naujų objektų skaičiaus ir vietos nustatymas, atsižvelgiant į jų sąveiką su esamais objektais ir tarpusavyje.

Maršruto pasirinkimo problemos arba tinklą problemos, su kuriomis dažniausiai susiduriama tiriant įvairias transporto ir ryšių sistemų problemas, ir susideda iš ekonomiškiausių maršrutų nustatymo.

Tarp operacijų tyrimo modelių optimalių sprendimų priėmimo konfliktinėse situacijose modeliai, nagrinėti pagal žaidimo teorija. Konfliktinės situacijos, kai susiduria dviejų (ar daugiau) šalių interesai, siekiant skirtingų tikslų, apima daugybę situacijų ekonomikos, teisės, karinių reikalų ir kt. srityje. Žaidimų teorijos problemose būtina parengti rekomendacijas protingą konflikto dalyvių elgesį, nustatyti optimalias jų strategijas.

Praktikoje dažniausiai operacijos sėkmė vertinama ne pagal vieną, o pagal kelis kriterijus iš karto, iš kurių vienas turėtų būti maksimalus, kiti – minimalūs. Matematinis aparatas taip pat gali būti naudingas tais atvejais kelių kriterijų operacijų tyrimo problemos, bent jau padėti atmesti akivaizdžiai nesėkmingus sprendimus.

Norint pasirinkti objektyvią funkciją iš įvairių kriterijų, įskaitant ir prieštaraujančius vienas kitam (pavyzdžiui, pelnas ir sąnaudos), būtina nustatyti prioritetas kriterijai. Pažymėkime f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x)(Čia X - sąlyginis argumentas). Tegul jie yra išdėstyti mažėjančia prioriteto tvarka. Atsižvelgiant į tam tikras sąlygas, iš esmės yra dvi galimybės:

Kriterijus pasirenkamas kaip tikslo funkcija f 1 (x), turintis aukščiausią prioritetą;

Svarstomas derinys

f ( x ) = ω 1 * f 1 ( x ) + ω 2 * f 2 ( x ) + …+ ω n * f n ( x ) , (0.6)

Kur ω 1 , ω 2 , … ω n- kai kurie koeficientai (svoriai).

Didumas f (X), kuri tam tikru mastu atsižvelgia į visus kriterijus, pasirenkama kaip tikslinė funkcija.

Tikrumo sąlygomis ω i- skaičiai, f i (x)- funkcijas. Neapibrėžtumo sąlygomis f i (x) gali pasirodyti atsitiktinis ir vietoj to f i (x) tikslo funkcija turėtų būti laikoma matematinė sumos (0,6) lūkestis.

Bandymas redukuoti kelių kriterijų problemą į problemą su vienu efektyvumo kriterijumi (objektyvia funkcija) daugeliu atvejų neduoda patenkinamų rezultatų. Kitas metodas – akivaizdžiai nesėkmingų sprendimų, kurie yra prastesni už kitus, iš leistinų sprendimų rinkinio. visi kriterijai. Dėl šios procedūros atsiranda vadinamasis efektyvus(arba " Pareto“) sprendimus, kurių rinkinys dažniausiai yra žymiai mažesnis nei pirminis. Ir galutinis „kompromisinio“ sprendimo pasirinkimas (ne optimalus pagal visus kriterijus, kurio, kaip taisyklė, nėra, bet priimtina pagal šiuos kriterijus) lieka asmeniui – sprendimus priimančiam asmeniui.

Išvada

Rusijos mokslininkai L. V. labai prisidėjo kuriant modernų matematinį aparatą ir plėtojant daugelį operacijų tyrimų sričių. Kantorovičius, N.P. Buslenko, E.S. Ventzel, N.N. Vorobjovas, N.N. Moisejevas, D.B. Judinas ir daugelis kitų. Ypač vertas dėmesio akademiko L.V. Kantorovičius, kuris 1939 m., pradėjęs planuoti faneros gamyklų padalinių veiklą, išsprendė keletą problemų: dėl geriausios įrangos pakrovimo, dėl medžiagų pjovimo su minimaliais nuostoliais, dėl krovinių paskirstymo tarp kelių transporto rūšių ir kt. L.V. Kantorovičius suformulavo naują sąlyginai ekstremalių problemų klasę ir pasiūlė universalų jų sprendimo būdą, padėdamas pamatus naujai taikomosios matematikos krypčiai – tiesiniam programavimui.

Didelį indėlį formuojant ir plėtojant operacijų tyrimus įnešė užsienio mokslininkai R. Akof, R. Bellman, G. Danzig, G. Kuhn, J. Neumann, T. Saaty, R. Churchman, A. Kofman ir kt.

Operacijų tyrimo metodai, kaip ir bet kurie matematiniai metodai, visada vienu ar kitu laipsniu supaprastina ir grubia problemą, kartais atspindi netiesinius procesus su tiesiniais modeliais, stochastines sistemas su deterministiniais, dinaminius procesus su statiniais modeliais ir kt. Gyvenimas turtingesnis už bet kokią schemą. Todėl operacijų tyrime nereikėtų nei perdėti kiekybinių metodų svarbos, nei minimizuoti, nurodant nesėkmingų sprendimų pavyzdžius. Šiuo atžvilgiu dera pacituoti humoristiškai paradoksalią operacijų tyrimo apibrėžimą, kurį padarė vienas iš jo kūrėjų T. Saaty, kaip „meną pateikti blogus atsakymus į tuos praktinius klausimus, į kuriuos kitais metodais galima atsakyti dar blogiau“.

Literatūra

1. Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Ekonomikos operacijų tyrimas: Vadovėlis universitetams - M.: UNITI, 2002 m.

2. Ventzel E.S. Operacijų tyrimas. Tikslai, principai, metodika - M.: Nauka, 1980 m.

3. Gorelikas V.A., Ušakovas I.A. Operacijų tyrimas. - M.: Mechanikos inžinerija, 1986 m.

I.N. Slinkin

Vadovėlis pedagoginių universitetų studentams

informatikos specialybę

Šadrinskas, 2003 m

Slinkina I.N.

Operacijų tyrimas. Mokomasis ir metodinis vadovas. – Šadrinskas: Šadrinsko valstybinio pedagoginio instituto leidykla, 2002. - 106 p.

Slinkina I.N. – pedagogikos mokslų kandidatas

Vadovėlyje pateikiama Operacijų tyrimo kurso teorinė dalis. Ji skirta fakultetų nuolatinių ir ištęstinių studijų studentams, studijuojantiems „Informatikos“ specialybę.

© Šadrinsko valstybinis pedagoginis institutas

© Slinkina I.N., 2002 m

Klausimai kurso „Operacijų tyrimas“ padaliniams 5

1.1. Operacijų tyrimo dalykas ir uždaviniai 7

1.2. Pagrindinės operacijų tyrimo sąvokos ir principai 8

1.3. Matematiniai operacijų modeliai 10

1.4. Linijinio programavimo samprata 12

1.5. Ekonominio linijinio programavimo problemų pavyzdžiai. Geriausias išteklių panaudojimo uždavinys 13

1.6. Ekonominio linijinio programavimo problemų pavyzdžiai. Optimalių technologijų pasirinkimo problema 15

1.7. Ekonominio linijinio programavimo problemų pavyzdžiai. 16 mišinio problema

1.8. Ekonominio linijinio programavimo problemų pavyzdžiai. Transporto problema 17

1.9. Pagrindiniai linijinio programavimo problemų įrašymo tipai 19

1.10. 21 konversijos metodas

1.11. Perėjimas prie kanoninės formos 22

1.12. Perėjimas prie simetriškos įrašymo formos 25

2.1. Geometrinis tiesinio programavimo uždavinio aiškinimas 28

2.2. Linijinio programavimo uždavinių sprendimas grafiniu metodu 29

2.3. Linijinio programavimo uždavinių sprendimų ypatybės 34

2.4. Bendra simplekso metodo idėja 35

2.5. Pradinio atskaitos plano sudarymas sprendžiant linijinio programavimo uždavinius simplekso metodu 36

2.6. Referencinio plano optimalumo ženklas. Paprastos lentelės 40

2.7. Perėjimas prie blogiausio atvejo orientacinio plano. 44

2.8. Sudėtinės transformacijos 46

2.9. Alternatyvus optimalus (atskaitos planų aibės begalybės ženklas) 51

2.10. Tikslinės funkcijos neribotumo ženklas 52

2.11. Degeneracijos samprata. Simpleksinio metodo monotoniškumas ir baigtumas. Kilimas 53

2.12. Dvigubumo samprata simetrinio tiesinio programavimo uždaviniams 54

3.1. Asimetriškos dvigubos problemos 57

3.2. Atviri ir uždari transporto problemos modeliai 61

3.3. Pradinio orientacinio plano sudarymas. Šiaurės vakarų kampo taisyklė 63

3.4. Pradinio orientacinio plano sudarymas. 64 minimalaus elemento taisyklė

3.5. Pradinio orientacinio plano sudarymas. Vogelio metodas 64

3.6. 65 potencialus metodas

3.7. Transporto problemų, susijusių su pajėgumų apribojimais, sprendimas 69

3.8. Diskrečiųjų programavimo problemų pavyzdžiai. Konteinerių transportavimo problema. Užduotis 71

3.9. Diskrečiųjų optimizavimo metodų esmė 72

3.10. Išgaubto programavimo uždavinys 74

3.11. Lagranžo daugiklio metodas 75

3.12. Gradiento metodai 77

4.1. Baudos metodai ir barjerinės funkcijos 78

4.2. Dinaminis programavimas. Pagrindinės sąvokos. Sprendimo metodų esmė 79

4.3. Stochastinis programavimas. Pagrindinės sąvokos 81

4.4. Nulinės sumos matricos žaidimai 83

4.5. Grynos ir mišrios strategijos bei jų savybės 85

4.6. Grynųjų ir mišrių strategijų savybės 88

4.7. Matricos žaidimo sumažinimas iki ZLP 92

4.8. Eilių teorijos problemos. Eilių sistemų klasifikavimas 94

4.9. Renginių srautai 96

4.10. Mirties ir dauginimosi schema 97

4.11. Little's Formulė 99

4.12. Paprasčiausios eilių sistemos 101

Klausimai blokams kurse „Operacijų tyrimas“

1 blokas

1. Operacijų tyrimo dalykas ir tikslai.

2. Operacijų tyrimo pagrindinės sąvokos ir principai.

3. Matematiniai operacijų modeliai.

4. Linijinio programavimo samprata.

5. Ekonominio linijinio programavimo uždavinių pavyzdžiai. Užduotis

6. Ekonominio linijinio programavimo uždavinių pavyzdžiai. Optimalių technologijų pasirinkimo problema.

7. Ekonominio linijinio programavimo uždavinių pavyzdžiai. Problema dėl mišinių.

8. Ekonominio linijinio programavimo uždavinių pavyzdžiai. Transporto problema.

9. Pagrindiniai linijinio programavimo uždavinių rašymo tipai.

10. Konversijos metodai.

11. Perėjimas prie kanoninės formos.

12. Perėjimas prie simetriškos įrašymo formos.

2 blokas

1. Tiesinio programavimo uždavinio geometrinė interpretacija.

2. Linijinio programavimo uždavinių sprendimas grafiniu metodu.

3. Tiesinio programavimo uždavinio sprendimų ypatybės.

4. Bendra simplekso metodo idėja.

5. Pradinio atskaitos plano konstravimas sprendžiant tiesinio programavimo uždavinius simplekso metodu.

6. Referencinio plano optimalumo ženklas. Paprastos lentelės.

7. Perėjimas prie ne blogiausio orientacinio plano.

8. Simpleksinės transformacijos.

9. Alternatyvus optimumas (atskaitos planų aibės begalybės ženklas).

10. Tikslinės funkcijos neribotumo požymis.

11. Degeneracijos samprata. Simpleksinio metodo monotoniškumas ir baigtumas. Kilpos.

12. Dvilypumo samprata simetrinio tiesinio programavimo uždaviniams.

3 blokas

1. Asimetrinės dvejopos problemos.

2. Atviras ir uždaras transporto problemos modeliai.

3. Pradinio orientacinio plano sudarymas. „Šiaurės vakarų kampo“ taisyklė.

4. Pradinio orientacinio plano sudarymas. Minimalaus elemento taisyklė.

5. Pradinio orientacinio plano sudarymas. Vogelio metodas.

6. Potencialų metodas.

7. Transporto problemų su talpos apribojimais sprendimas.

8. Diskrečiųjų programavimo problemų pavyzdžiai. Konteinerių transportavimo problema. Priskyrimo problema.

9. Diskrečiųjų optimizavimo metodų esmė.

10. Išgaubto programavimo uždavinys.

11. Lagranžo daugiklio metodas.

12. Gradiento metodai.

4 blokas

1. Baudos metodas ir barjerinės funkcijos.

2. Dinaminis programavimas. Pagrindinės sąvokos. Sprendimo metodų esmė.

3. Stochastinis programavimas. Pagrindinės sąvokos.

4. Nulinės sumos matricos žaidimai.

5. Grynos ir mišrios strategijos.

6. Grynųjų ir mišrių strategijų savybės.

7. Matricinio žaidimo redukavimas į PLP

8. Eilių teorijos problemos. Eilių sistemų klasifikavimas.

9. Įvykių srautai.

10. Mirties ir dauginimosi schema.

11. Litlo formulė.

12. Paprasčiausios eilių sistemos.

1 blokas.

Operacijų tyrimo dalykas ir uždaviniai

Dabartinė mokslo ir technologijų padėtis, ypač kompiuterinių skaičiavimo priemonių kūrimas ir matematinis teorijų pagrindimas, leido gerokai supaprastinti daugelio įvairioms mokslo šakoms iškeltų problemų sprendimą. Daugelis problemų kyla sprendžiant gamybos optimizavimo ir optimalaus proceso valdymo klausimą.

Dėl praktikos poreikių atsirado specialūs moksliniai metodai, kurie patogiai derinami pavadinimu „operacijų tyrimas“.

Apibrėžimas: Operacijų tyrimais suprantame matematinių, kiekybinių metodų taikymą sprendimams pagrįsti visose kryptingos žmogaus veiklos srityse.

Tegul imamasi kokių nors veiksmų tam tikram tikslui pasiekti. Renginį organizuojantis asmuo (ar žmonių grupė) visada turi tam tikrą pasirinkimo laisvę: jis gali būti organizuojamas vienaip ar kitaip. Sprendimas – tai pasirinkimas iš daugybės organizatoriaus turimų galimybių.

Būtinybę priimti sprendimus ir patikrinti siūlomą sprendimo hipotezę matematiškai patvirtina šie pavyzdžiai:

1 užduotis. Apie geriausią išteklių panaudojimą.

Įmonė gamina kelių rūšių gaminius. Jiems pagaminti naudojami tam tikri ištekliai (įskaitant žmones, energiją ir kt.). Būtina apskaičiuoti, kaip planuoti įmonės darbą, kad išteklių sąnaudos būtų minimalios, o pelnas – maksimalus.

2 užduotis. Apie mišinius.

Būtina paruošti mišinį, turintį tam tikrų savybių. Norėdami tai padaryti, galite naudoti kai kuriuos „produktus“ (racionams apskaičiuoti - maisto produktai, pašarų mišiniams - maisto produktai gyvūnams, techniniams mišiniams - lydiniai, skysčiai techniniams tikslams). užduotis – parinkti optimalų produktų skaičių (pagal kainą), kad gautume optimalų mišinio kiekį.

3 užduotis. Transporto problema.

Egzistuoja įmonių, gaminančių panašius tos pačios kokybės produktus, tinklas ir šių produktų vartotojų tinklas. Vartotojus ir tiekėjus jungia susisiekimo keliai (keliai, geležinkelio linijos, oro linijų linijos). Nustatyti pervežimo įkainiai. Būtina apskaičiuoti optimalų produkcijos transportavimo planą, kad transportavimo išlaidos būtų minimalios, būtų patenkinti visų vartotojų poreikiai, o visos prekės būtų pašalintos iš tiekėjų.

Kiekviename iš pateiktų pavyzdžių kalbame apie tam tikrą įvykį, siekiantį konkretaus tikslo. Nurodomos kai kurios situaciją apibūdinančios sąlygos (ypač priemonės, kuriomis galima atsikratyti). Esant tokioms sąlygoms, būtina priimti sprendimą, kad planuojamas renginys tam tikra prasme būtų pelningesnis.

Remiantis šiais bendraisiais bruožais, kuriami bendrieji panašių problemų sprendimo metodai, kurie kartu sudaro operacijų tyrimo metodinę schemą ir aparatą.

Šiuo metu kompiuterinių technologijų panaudojimu pagrįstos automatizuotos valdymo sistemos (ACS) tampa plačiai paplitusios. Automatizuotos valdymo sistemos sukūrimas neįmanomas be išankstinio kontroliuojamo proceso ištyrimo naudojant matematinio modeliavimo metodus. Didėjant įvykių mastui ir sudėtingumui, matematiniai sprendimų pagrindimo metodai tampa vis svarbesni.

Pagrindinės operacijų tyrimo sampratos ir principai

Apibrėžimas: Operacija – tai bet koks įvykis (veiksmų sistema), kurį vienija vienas planas ir kuriuo siekiama kažkokio tikslo.

Operacija visada yra kontroliuojamas įvykis, t.y. Nuo skaičiavimų priklauso, kaip pasirinkti parametrus, apibūdinančius jos organizaciją. „Organizacija“ čia suprantama plačiąja šio žodžio prasme, įskaitant operacijoje naudojamų techninių priemonių rinkinį.

Apibrėžimas: Bet koks konkretus pasirinkimas, priklausantis nuo lemiamų parametrų, vadinamas sprendimu.

Apibrėžimas: Optimalūs sprendimai yra tie, kurie dėl vienokių ar kitokių priežasčių yra geresni už kitus.

Operacijų tyrimo tikslas– preliminarus kiekybinis optimalių sprendimų pagrindimas.

Kartais dėl tyrimo galima nurodyti vieną, griežtai apibrėžtą sprendimą, daug dažniau galima nustatyti beveik lygiaverčių optimalių sprendimų sritį, kurioje galima padaryti galutinį pasirinkimą.

Pats sprendimų priėmimas išeina už operacijų tyrimo ribų ir patenka į atsakingo asmens kompetenciją, dažniau – žmonių grupę, kuriai suteikiama teisė priimti galutinį pasirinkimą ir kuriai už šį pasirinkimą priskiriama atsakomybė.

Apibrėžimas: Parametrai, kurių derinys sudaro sprendimą, vadinami sprendimo elementais.

Sprendimo elementai gali apimti įvairius skaičius, vektorius, funkcijas, fizines charakteristikas ir kt. Paprastumo dėlei visą sprendinio elementų rinkinį pažymėsime x.

Be sprendimo elementų bet kurioje operacijų tyrimo problemoje, dar yra pateiktos sąlygos, kurios yra fiksuotos problemos būsenoje ir negali būti pažeistos. Visų pirma, tokios sąlygos apima priemones (medžiagines, technines, žmogiškąsias), kuriomis galima atsikratyti, ir kitus sprendimui taikomus apribojimus. Kartu jie sudaro vadinamąjį „galimų sprendimų rinkinį“. Pažymėkime šią aibę X, o tai, kad sprendinys x priklauso šiai aibei, bus parašytas: xОХ.

Norint palyginti skirtingus sprendimus efektyvumo požiūriu, reikia turėti kažkokį kiekybinį kriterijų, vadinamąjį efektyvumo rodiklį (objektyviąją funkciją). Šis indikatorius parenkamas taip, kad atspindėtų operacijos tikslinę orientaciją. Geriausiu sprendimu bus laikomas tas, kuris maksimaliai prisideda prie tikslo siekimo. Norėdami pasirinkti efektyvumo rodiklį Z, pirmiausia turite nustatyti, prie ko turėtų lemti problemos sprendimas. Renkantis sprendimą pirmenybė teikiama tam, kuris efektyvumo rodiklį Z paverčia maksimaliai arba minimaliai. Pavyzdžiui, norėčiau maksimaliai padidinti pajamas iš operacijos; jei efektyvumo rodiklis yra sąnaudos, patartina jas sumažinti iki minimumo.

Labai dažnai operaciją lydi atsitiktiniai veiksniai: gamtos „užgaidos“, pasiūlos ir paklausos svyravimai, techninių prietaisų gedimai ir kt. Tokiais atvejais efektyvumo rodikliu paprastai imama ne pati reikšmė, kurią norima maksimaliai padidinti (minimizuoti), o vidutinė vertė (matematinis lūkestis).

Veiklos rodiklio parinkimo uždavinys sprendžiamas kiekvienai problemai individualiai.

1 užduotis. Apie geriausią išteklių panaudojimą.

Operacijos tikslas – pagaminti maksimalų prekių skaičių. Efektyvumo rodiklis Z – pelnas pardavus prekes su minimaliomis resursų sąnaudomis (max Z).

2 užduotis. Apie mišinius.

Natūralus efektyvumo rodiklis, kurį siūlo problemos formuluotė, yra mišiniui reikalingų produktų kaina, atsižvelgiant į poreikį išlaikyti nurodytas mišinio savybes (min Z).

3 užduotis. Transporto problema.

Veiklos tikslas – užtikrinti prekių tiekimą vartotojams su minimaliomis transportavimo išlaidomis. Efektyvumo rodiklis Z – tai bendros krovinių gabenimo išlaidos per laiko vienetą (min Z).