Tiesinės algebros teoriniai klausimai ir užduotys. Tiesinis diferencialas

Bendras sistemos vaizdas

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - sistemos koeficientai; - nemokami nariai; - kintamieji;

Jei visi = 0, sistema vadinama vienalyte.

Bendrasis tiesinių lygčių sistemos sprendimas

1 apibrėžimas. Homogeninė sistema m tiesinės algebrinės lygtys n nežinomieji vadinami lygčių sistema

tipas (1) arba matricos forma (2)

kur A yra duotoji mxn dydžio koeficientų matrica,

Nežinomųjų stulpelis n yra nulinis m aukščio stulpelis.

Vienalytė sistema visada yra nuosekli (išplėstinė matrica sutampa su A) ir turi akivaizdžius sprendimus: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Šis sprendimas vadinamas nuliu arba trivialus. Iškviečiamas bet koks kitas sprendimas, jei toks yra ne trivialus.

1 teorema. Jei matricos A rangas lygus nežinomųjų skaičiui, tai sistema (1) turi unikalų (trivialų) sprendimą.

Iš tiesų, pagal Cramerio teoremą, r = n ir sprendimas yra unikalus.

2 teorema. Tam, kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad sistemos matricos rangas būtų mažesnis už nežinomųjų skaičių ( išplaukia iš teoremos apie sprendinių skaičių).

Þ jei yra nulinių sprendinių, tai sprendimas nėra unikalus, tai sistemos determinantas lygus nuliui, tada r

Ü jei r

3 teorema. Vienalytė n lygčių sistema su n nežinomųjų turi nulinį sprendimą tada ir tik tada, kai detA = 0.

Þ jei yra nulinių sprendinių, tai sprendinių yra be galo daug, tai pagal teoremą apie sprendinių skaičių r

Ü jei detA = 0, tai r

4 teorema. Tam, kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendinį, būtina, kad sistemos lygčių skaičius būtų mažesnis už nežinomųjų skaičių.

Kadangi koeficientų matricos rangas negali būti didesnis už jos eilučių skaičių (taip pat ir stulpelių skaičių), tai r

2 apibrėžimas. Vadinami sistemos kintamieji, esantys pradinės koeficientų matricos baziniuose stulpeliuose pagrindiniai kintamieji, o likę sistemos kintamieji vadinami Laisvas.

4 apibrėžimas. Privatus sprendimas nehomogeniška sistema AX = B vadinama stulpelio vektoriumi X, gautu pagal nulis vertybes Laisvas kintamieji.

6 teorema. Bendras nehomogeninės sistemos sprendimas tiesinės lygtys AX = B turi formą , kur yra konkretus lygčių sistemos AX = B sprendinys ir yra vienalytės sistemos AX = 0 FSR.

Nehomogeniška tiesinių lygčių sistema yra tokios formos sistema:

Jo išplėstinė matrica.

Teorema (apie bendrą nehomogeninių sistemų sprendimą).
Tegul (t. y. sistema (2) yra nuosekli), tada:

· jei , kur yra sistemos (2) kintamųjų skaičius, tai sprendimas (2) egzistuoja ir yra unikalus;

· jei , tai sistemos (2) bendrasis sprendinys turi formą , kur yra sistemos (1) bendrasis sprendinys, vadinamas bendras vienalytis tirpalas, yra tam tikras sistemos (2) sprendimas, vadinamas privatus nehomogeniškas sprendimas.

Vienalytė tiesinių lygčių sistema yra tokios formos sistema:

Vadinamas sistemos (1) nulinis sprendimas trivialus sprendimas.

Homogeniškos sistemos visada yra suderinamos, nes visada yra trivialus sprendimas.

Jei yra koks nors nulinis sistemos sprendimas, tada jis vadinamas ne trivialus.

Vienalytės sistemos sprendimai turi tiesiškumo savybę:

Teorema (apie tiesinį vienarūšių sistemų sprendimą).
Leisti būti vienalytės sistemos (1) sprendimai ir būti savavališkos konstantos. Tada taip pat yra svarstomos sistemos sprendimas.

Teorema (apie bendrojo sprendinio struktūrą).
Leiskite tada:

· jei , kur yra sistemos kintamųjų skaičius, tai egzistuoja tik trivialus sprendimas;

· jei , tai yra tiesiškai nepriklausomi nagrinėjamos sistemos sprendiniai: , ir jos bendras sprendimas turi formą: , kur yra kai kurios konstantos.

2. Permutacijos ir pakaitalai. N-osios eilės determinantas. Determinantų savybės.

Determinanto apibrėžimas – eilė.

Pateikiame pirmosios eilės kvadratinę matricą:

Apibrėžimas. Matricos A elementų sandauga, paimta po vieną iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, vadinama matricos A determinanto nariu.3 Jei determinante sukeistos bet kurios dvi eilutės arba du stulpeliai, determinantas pakeičia savo ženklą į priešingybė. 4Jei matricoje yra nulis eilutė (stulpelis), tada šios matricos determinantas yra lygus nuliui.5 Jei dvi matricos eilutės (stulpeliai) yra lygios viena kitai, tada šios matricos determinantas yra lygus iki nulio.6 Jei dvi matricos eilutės (stulpeliai) yra proporcingos viena kitai, tai šios matricos determinantas yra lygus nuliui.7 Trikampės matricos determinantas yra lygus elementų sandaugai pagrindinė įstrižainė.8 Jei visi elementai k determinanto eilutė (stulpelis) pateikiamos kaip sumos a k j + b k j, tada determinantas gali būti pavaizduotas kaip atitinkamų determinantų suma.9 Determinantas nepasikeis, jei kitos eilutės (ar atitinkamo stulpelio) atitinkami elementai bus pridėti prie bet kurios iš jos eilučių (ar atitinkamo stulpelio) elementų. , padaugintas iš to paties skaičiaus.10. Leisti A Ir B yra tos pačios eilės kvadratinės matricos. Tada matricų sandaugos determinantas yra lygus determinantų sandaugai:

1 | | | | | | | | | | |

Kur C 1 ir C 2 nežinomi.

Visi y yra žinomi skaičiai, apskaičiuoti x = x 0. Kad sistema turėtų bet kurios dešinės pusės sprendimą, būtina ir pakanka, kad pagrindinis determinantas skirtųsi nuo 0.

Vronskio determinantas. Jei determinantas yra 0, tada sistema turi sprendimą tik tada, kai yra pradinių sąlygų dalis. Todėl iš to išplaukia, kad pradinių sąlygų pasirinkimas priklauso nuo įstatymo, todėl negalima priimti jokių pradinių sąlygų, o tai yra Koši problemos sąlygų pažeidimas.

Jei , tada Vronskio determinantas nėra lygus 0 bet kuriai x 0 reikšmėms.

Įrodymas. Tegul determinantas lygus 0, bet pasirinkime pradines nenulines sąlygas y=0, y’=0. Tada gauname tokią sistemą:

Ši sistema turi begalinį sprendinių skaičių, kai determinantas yra 0. C 11 ir C 12 yra sistemos sprendiniai.

Tai prieštarauja pirmajam atvejui, o tai reiškia, kad Vronskio determinantas nėra lygus 0 bet kuriam x 0, jei . Visada galima pasirinkti konkretų sprendimą iš bendro sprendimo.

Bilietas Nr.33

Teorema apie 2 eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio sandarą su įrodymu.

Diferencialinės lygties bendro sprendimo teorema:

šios lygties sprendiniai, tada funkcija taip pat sprendimas. Remiantis šia teorema, galime daryti išvadą apie homogeninės lygties bendrojo sprendinio struktūrą: jei 1 ir 2 turi diferencialinės lygties sprendinius taip, kad jų santykiai nėra lygūs konstantai, tai tiesinis šių funkcijų derinys yra bendras diferencialinės lygties sprendimas. Trivialus sprendimas (arba nulinis) negali būti šios lygties sprendimas.

Įrodymas:

Bilietas Nr.34

Teorema apie II eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio sandarą su įrodymu.

Tegu pateikiama lygtis su dešine puse: . Lygtis be dešinės pusės

jei vietoj funkcijos dedame 0, tai vadiname charakteristika.

Teorema apie lygties su dešine puse bendrojo sprendinio sandarą.

T.1 Bendrasis lygties su dešine puse sprendinys gali būti sudarytas kaip lygties bendrojo sprendinio be dešinės pusės ir tam tikro konkretaus šios lygties sprendinio suma.

Įrodymas.

Pažymėkime šios lygties bendruoju sprendiniu ir tam tikru konkrečiu sprendiniu. Paimkime funkciją . Mes turime

, .

Pakeitę y, y', y'' išraiškas į kairę lygties pusę, randame: Išraiška pirmame laužtiniame skliauste lygi 0. O išraiška antrajame skliauste lygi funkcijai f(x ). Todėl funkcija yra šios lygties sprendimas.

Bilietas Nr.35

2 eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais, F.S.R. ir bendras sprendimas esant skirtingoms realioms šaknims, charakteringoms lygtims su įrodymu.

Paimkime homogeninę antros eilės tiesinę lygtį su pastoviais koeficientais:

,

kur a yra skaičiai.

Pabandykime patenkinti lygtį su formos funkcija. Iš čia turime:

Iš to matome, koks bus šios lygties sprendimas, jei r yra kvadratinės lygties šaknis. Ši lygtis vadinama charakteristika. Norėdami sukurti charakteringą lygtį, turite pakeisti y vienetu, o kiekvieną išvestinę - r iki išvestinės eilės laipsnio.

1) Charakteristinės lygties šaknys yra tikrosios ir skirtingos.

Šiuo atveju abi šaknys gali būti laikomos r funkcijos rodikliais. Čia galite iš karto gauti dvi lygtis. Akivaizdu, kad jų santykis nėra lygus pastoviai vertei.

Bendras sprendimas realių ir skirtingų šaknų atveju pateikiamas formule:

.

Bilietas Nr.36

2 eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais, F.S.R. ir bendrasis sprendimas, kai yra daug šaknų, būdingos lygtys su įrodymu.

Tikrosios lygties šaknys yra tikrosios ir lygios.

Nemokamas ląstelių įvertinimas– (žr. galimą metodą)

Ciklas – tokia transportavimo lentelės langelių seka (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), kurioje yra du ir tik du gretimi langeliai yra vienoje eilutėje arba stulpelyje, o pirmasis ir paskutinis langeliai taip pat yra toje pačioje eilutėje arba stulpelyje.

(?) Permutacija išilgai ciklo – (paslinkimas išilgai ciklo reikšme t)- apimčių padidėjimas visose „+“ ženklu pažymėtose ciklo nelyginėse ląstelėse t ir transportavimo apimčių sumažėjimas visose „-“ ženklu pažymėtose ląstelėse t.

1. 
   ^ Referencinio plano optimalumo sąlyga.

Optimalus planas turėtų nustatyti minimalias bendrąsias transportavimo išlaidas, neviršijant kiekvieno iš tiekėjų gamybos apimties ir pilnai padengiant kiekvieno vartotojo poreikius.

Optimalus transportavimo planas atitinka tiesinės tikslo funkcijos minimumą f(X)= min, esant vartojimo ir tiekimo apribojimams.

Nr. 32. Suformuluokite k eilės skirtumų lygties apibrėžimą ir bendrą jos sprendimą. Pateikite k eilės tiesinio skirtumo lygties su pastoviais koeficientais apibrėžimą. Suformuluokite teoremas apie homogeninių ir nehomogeninių tiesinių skirtumų lygčių bendrą sprendimą (be įrodymų).

Formos F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0 lygtis, kur k yra fiksuotas skaičius, o n yra savavališkas natūralusis skaičius, x n ; x n +1 ;…; x n + k yra tam tikros nežinomos skaičių sekos, vadinamos k eilės skirtumo lygtimi, nariai.

Išspręsti skirtumo lygtį reiškia rasti visas sekas (x n), atitinkančias lygtį.

Bendrasis k-osios eilės lygties sprendinys yra jos sprendimas x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), priklausomai nuo k nepriklausomų savavališkų konstantų C 1 , C 2 , …, C k . K konstantų skaičius yra lygus skirtumo lygties tvarkai, o nepriklausomybė reiškia, kad nė viena iš konstantų negali būti išreikšta kitomis.

Apsvarstykite k eilės tiesinio skirtumo lygtį su pastoviais koeficientais:

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , kur a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) ir

(f n ) – duoti skaičiai ir seka.

^ Nehomogeninės lygties bendrojo sprendinio teorema.

Bendrasis tiesinės nehomogeninės skirtumo lygties sprendimas x n yra šios lygties konkretaus sprendinio x n * ir atitinkamos vienarūšės lygties bendrojo sprendinio n suma.

^ Teorema apie homogeninės lygties bendrąjį sprendinį.

Tegul x n 1 ,…, x n k yra sistema, susidedanti iš k tiesiškai nepriklausomų tiesinės vienalytės skirtumo lygties sprendinių. Tada bendrasis šios lygties sprendinys pateikiamas formule: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
Nr. 33. Aprašykite vienalytės tiesinės skirtumo lygties su pastoviais koeficientais sprendimo algoritmą. Suformuluokite šių sąvokų apibrėžimus: pamatinė tiesinės skirtumo lygties sprendinių rinkinys, charakteristikos lygtis, Casoratti determinantas.

Žinodami charakteringos lygties šaknis, galime sudaryti bendrą homogeninės skirtumo lygties sprendimą. Panagrinėkime tai naudodami antros eilės lygties pavyzdį: gautus sprendinius galima lengvai perkelti į aukštesnės eilės lygčių atvejį.

Atsižvelgiant į charakteristikos lygties diskriminanto D=b 2 -4ac reikšmes, galimi šie atvejai:

C 1 , C 2 yra savavališkos konstantos.

K-osios eilės tiesinės vienalytės skirtumo lygties sprendinių aibė sudaro k-dimensijos tiesinę erdvę, o bet kuri k tiesiškai nepriklausomų sprendinių aibė (vadinama pagrindine aibe) yra jos pagrindas. Vienalytės lygties sprendinių tiesinės nepriklausomybės ženklas yra tas, kad Casoratti determinantas nėra lygus nuliui:

Lygtis vadinama vienalytės tiesinės lygties būdingąja lygtimi.
№ 34. Duota tiesinio skirtumo lygtis su pastoviais koeficientais X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.

^ Kokia forma reikėtų ieškoti konkretaus jo sprendimo? Paaiškinkite atsakymą.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Kokia forma reikėtų ieškoti konkretaus sprendimo? Atsakymas turi būti paaiškintas.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n + n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 +3x n =0

X n =C 1 3 n + C 2 1 n

X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n + C 1) 2 n

X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2) n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
Nr.35. Duota tiesinio skirtumo lygtis su pastoviais koeficientais x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Kokia forma reikėtų ieškoti konkretaus jo sprendimo?

x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ 1 = 3, λ 2 = 1

x n o =C 1 (3) n + C 2 (1) n = C 1 (3) n + C 2

2) f(n)=2n, g(n)=3n, z(n)=n2

Kadangi eksponentinės galios f(n)=2 n bazė, lygi 2, nesutampa su nė viena iš charakteristikų lygties šaknų, atitinkamo konkretaus sprendinio ieškome formoje Y n =C(2) n . Kadangi eksponentinės funkcijos g(n)=3 n bazė, lygi 3, sutampa su viena iš charakteringosios lygties šaknų, atitinkamo konkretaus sprendinio ieškome formoje X n =Bn(3) n. Kadangi z(n)=n 2 yra daugianario, konkretaus sprendinio ieškosime daugianario pavidalu: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
Nr.36. Pateikta tiesinio skirtumo lygtis su pastoviais koeficientais x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. Kokia forma reikėtų ieškoti konkretaus jo sprendimo?

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

Kadangi eksponentinės galios f(n)=3 n bazė, lygi 3, nesutampa su nė viena charakteristikos lygties šaknimi, atitinkamo konkretaus sprendinio ieškome formoje Y n =B(3) n . Kadangi g(n)=n 2 yra daugianario, konkretaus sprendinio ieškosime daugianario pavidalu: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
Nr.37. Duota tiesinio skirtumo lygtis su pastoviais koeficientais x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Kokia forma reikėtų ieškoti konkretaus jo sprendimo?

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos + C 2 sin )

2) f(n)=3n, g(n)=n2, z(n)=cos

Kadangi eksponentinės galios f(n)=3 n bazė, lygi 3, nesutampa su nė viena charakteristikos lygties šaknimi, atitinkamo konkretaus sprendinio ieškome formoje Y n =B(3) n . Kadangi g(n)=n 2 yra daugianario, konkretaus sprendinio ieškosime daugianario pavidalu: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: apibūdinkite Samuelson-Hicks modelį. Kokiomis ekonominėmis prielaidomis jis grindžiamas? Kokiu atveju Hikso lygties sprendimas yra stacionari seka?

Samuelson-Hicks verslo ciklo modelis daro prielaidą, kad investicijų apimtis yra tiesiogiai proporcinga nacionalinių pajamų didėjimui (pagreičio principas), t.y.

kur koeficientas V>0 yra pagreičio koeficientas,

I t – investicijų suma t laikotarpiu,

X t -1 ,X t -2 - nacionalinių pajamų vertė atitinkamai (t-1) ir (t-2) laikotarpiais.

Taip pat manoma, kad paklausa šiame etape priklauso nuo nacionalinių pajamų dydžio ankstesniame etape
tiesiškai
. Pasiūlos ir paklausos lygybės sąlyga turi formą
. Tada pasiekiame Hikso lygtį

kur a, b yra paklausos tiesinės išraiškos koeficientai šiame etape:

Stacionari seka
yra tik Hikso lygties sprendimas
; veiksnys
vadinamas Keinso daugikliu (vienmatis bendrosios kaštų matricos analogas).
№ ^ 39. Apibūdinkite vorų rinkos modelį. Kokiomis ekonominėmis prielaidomis jis grindžiamas? Raskite interneto rinkos modelio pusiausvyros būseną.

40. Suformuluokite dabartinės atkarpos obligacijos vertės nustatymo uždavinį. Kas yra skirtumo lygties Koši problema? Raskite Koši problemos, nustatančios dabartinės atkarpos obligacijos vertę, pusiausvyros sprendimą. Patikrinkite, ar rasta vertė atitinka sumą, kurią reikia sumokėti šiuo metu, kad gautumėte kupono sumą kiekviename kupono periode be galo ilgą laiką už nurodytą vieno kupono laikotarpio palūkanų normą.

Leisti F – atkarpos obligacijos nominalioji vertė (t. y. pinigų suma, kurią emitentas sumokėjo išpirkimo metu, sutampant su paskutinio atkarpos laikotarpio pabaiga), K – kupono vertė (t. y. pinigų suma, sumokėta kiekvieno kupono laikotarpio pabaigoje), X - dabartinė obligacijos vertė n-ojo atkarpos laikotarpio pabaigoje,

Tie. p sutampa su suma, kuri turi būti sumokėta šiuo metu, norint gauti kupono sumą kiekviename kupono periode be galo ilgą laiką už nurodytą palūkanų normą už vieną kupono laikotarpį.

Linijinės diferencialinės sistemos lygtys.

Diferencialinių lygčių sistema vadinama linijinis, jeigu jis tiesinis nežinomų funkcijų ir jų išvestinių atžvilgiu. sistema n-1-osios eilės tiesinės lygtys parašytos tokia forma:

Sistemos koeficientai yra pastovūs.

Šią sistemą patogu rašyti matricine forma: ,

kur yra nežinomų funkcijų stulpelio vektorius, priklausantis nuo vieno argumento.

Šių funkcijų išvestinių stulpelių vektorius.

Laisvųjų terminų stulpelių vektorius.

Koeficientų matrica.

1 teorema: Jei visi matricos koeficientai A yra tęstiniai tam tikru intervalu ir , Tada tam tikroje kiekvieno m kaimynystėje. TS&E sąlygos yra įvykdytos. Vadinasi, per kiekvieną tokį tašką eina viena integralioji kreivė.

Iš tiesų šiuo atveju dešiniosios sistemos pusės yra ištisinės argumentų aibės atžvilgiu, o jų dalinės išvestinės (lygios matricos A koeficientams) yra ribotos dėl tęstinumo uždarame intervale.

SLD sprendimo metodai

1. Diferencialinių lygčių sistema gali būti sumažinta iki vienos lygties, pašalinus nežinomuosius.

Pavyzdys: Išspręskite lygčių sistemą: (1)

Sprendimas: Neįtraukti z iš šių lygčių. Iš pirmosios lygties turime . Pakeitus antrąja lygtimi, supaprastinus gauname: .

Ši lygčių sistema (1) sumažintas iki vienos antros eilės lygties. Iš šios lygties radę y, reikėtų rasti z, naudojant lygybę.

2. Sprendžiant lygčių sistemą pašalinant nežinomuosius, dažniausiai gaunama aukštesnės eilės lygtis, todėl daugeliu atvejų sistemą patogiau išspręsti ieškant integruoti deriniai.

Tęsinys 27b

Pavyzdys: Išspręskite sistemą

Sprendimas:

Išspręskime šią sistemą naudodami Eilerio metodą. Užrašykime determinantą charakteristikai rasti

lygtis: , (kadangi sistema yra vienalytė, kad ji turėtų netrivialų sprendimą, šis determinantas turi būti lygus nuliui). Gauname charakteringą lygtį ir randame jos šaknis:

Bendras sprendimas yra toks: ;

- savasis vektorius.

Užrašome sprendimą: ;

- savasis vektorius.

Užrašome sprendimą: ;

Gauname bendrą sprendimą: .

Patikrinkime:

suraskime : ir pakeiskime pirmąja šios sistemos lygtimi, t.y. .

Mes gauname:

- tikra lygybė.

Linijinis skirtumas. n-osios eilės lygtis. Nehomogeninės n-osios eilės tiesinės lygties bendrojo sprendimo teorema.

N-osios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra tokios formos lygtis: (1)

Jei ši lygtis turi koeficientą, tada padalijus iš jo gauname lygtį: (2) .

Paprastai lygtys tipo (2). Tarkime, kad ur-i (2) visi šansai, taip pat f(x) nuolatinis tam tikru intervalu (a, b). Tada, pagal TS&E, lygtis (2) turi unikalų sprendimą, kuris tenkina pradines sąlygas: , , …, for . Čia - bet kuris taškas iš intervalo (a, b), ir visi – bet kokie nurodyti skaičiai. Lygtis (2) tenkina TC&E , todėl neturi specialūs sprendimai.

Def.: specialus taškai yra tie, kuriuose =0.

Tiesinės lygties savybės:

1. Tiesinė lygtis išlieka tokia bet kokiam nepriklausomo kintamojo pokyčiui.
2. Tiesinė lygtis išlieka tokia bet kokiam norimos funkcijos tiesiniam pokyčiui.

Numatyta: jei lygtyje (2) įdėti f(x)=0, tada gauname formos lygtį: (3) , kuris vadinamas vienalytė lygtis nehomogeninės lygties atžvilgiu (2).

Pristatykime tiesinį diferencialinį operatorių: (4). Naudodami šį operatorių galite trumpai perrašyti lygtį (2) Ir (3): L(y)=f(x), L(y)=0. operatorius (4) turi šias paprastas savybes:

Iš šių dviejų savybių galima padaryti išvadą: .

Funkcija y=y(x) yra nehomogeninės lygties sprendimas (2), Jeigu L(y(x))=f(x), Tada f(x) vadinamas lygties sprendiniu. Taigi lygties sprendimas (3) vadinama funkcija y(x), Jei L(y(x))=0 aptartais intervalais.

Apsvarstykite nehomogeninė tiesinė lygtis: , L(y)=f(x).

Tarkime, kad tam tikru būdu radome konkretų sprendimą, tada .

Pristatykime naują nežinomą funkciją z pagal formulę: , kur yra tam tikras sprendimas.

Pakeiskime jį į lygtį: , atidarykite skliaustus ir gaukite: .

Gautą lygtį galima perrašyti taip:

Kadangi yra ypatingas pradinės lygties sprendimas, tada .

Taigi mes gavome vienalytę lygtį atžvilgiu z. Bendras šios vienalytės lygties sprendimas yra tiesinis derinys: , kur funkcijos - sudaro pagrindinę homogeninės lygties sprendinių sistemą. Pakeitimas zį pakeitimo formulę gauname: (*) funkcijai y– nežinoma pradinės lygties funkcija. Visi pradinės lygties sprendiniai bus pateikti (*).

Taigi bendras nehomogeninės linijos sprendimas. lygtis pavaizduota kaip homogeninės tiesinės lygties bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės lygties sprendinio suma.

(tęsinys kitoje pusėje)

30. Diferencialo sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema. lygtys

Teorema: Jei dešinioji lygties pusė yra ištisinė stačiakampyje ir yra ribotas, taip pat tenkina Lipschitz sąlygą: , N=const, tada yra unikalus sprendimas, kuris tenkina pradines sąlygas ir yra apibrėžtas segmente , Kur.

Įrodymas:

Apsvarstykite visą metrinę erdvę SU, kurių taškai yra visos galimos tolydžios funkcijos y(x), apibrėžtos intervale , kurių grafikai yra stačiakampio viduje, o atstumas nustatomas pagal lygybę: . Ši erdvė dažnai naudojama matematinėje analizėje ir vadinama vienodos konvergencijos erdvė, nes šios erdvės metrikos konvergencija yra vienoda.

Pakeiskime diferencialą. lygtis su nurodytomis pradinėmis sąlygomis į ekvivalentinę integralinę lygtį: ir atsižvelgti į operatorių A(y), lygus dešiniajai šios lygties pusei: . Šis operatorius priskiria kiekvienai nuolatinei funkcijai

Naudodamiesi Lipšico nelygybe, galime parašyti, kad atstumas . Dabar išsirinkime vieną, kuriai galiotų ši nelygybė: .

Turėtumėte pasirinkti taip, kad tada. Taip mes parodėme, kad.

Pagal susitraukimo atvaizdavimo principą yra vienas taškas arba, kas yra tas pats, viena funkcija – diferencialinės lygties sprendimas, tenkinantis pateiktas pradines sąlygas.

Trigubo integralo kintamųjų kaita. Pavyzdžiai: cilindrinių ir sferinių koordinačių atvejai.

Lygo paviršiaus ploto apskaičiavimas, nurodytas parametriškai ir aiškiai. Paviršiaus ploto elementas.

Pirmosios rūšies kreivinio integralo apibrėžimas, pagrindinės jo savybės ir skaičiavimas.

Antrosios rūšies kreivinio integralo apibrėžimas, pagrindinės jo savybės ir skaičiavimas. Ryšys su pirmosios rūšies integralu.

Greeno formulė. Sąlygos tam, kad kreivinis integralas plokštumoje nepriklauso nuo integravimo kelio.

Pirmojo tipo paviršinio integralo apibrėžimas, pagrindinės jo savybės ir skaičiavimas.

Antrosios rūšies paviršinio integralo apibrėžimas, pagrindinės jo savybės ir skaičiavimas. Ryšys su pirmosios rūšies integralu.

Gauso-Ostrogradskio teorema, jos įrašymas koordinačių ir vektorinių (nekaituojamų) formų.

Stokso teorema, jos vaizdavimas koordinatėmis ir vektorinėmis (nekaitomis) formomis.

Sąlygos tam, kad kreivinis integralas erdvėje nepriklauso nuo integracijos kelio.

Skaliarinis laukas. Skaliarinis lauko gradientas ir jo savybės. Gradiento skaičiavimas Dekarto koordinatėmis.

Vektorinio lauko apibrėžimas. Gradiento laukas. Potencialumo laukai, potencialo sąlygos.

Vektorinio lauko srautas per paviršių. Vektorinio lauko divergencijos apibrėžimas ir jo savybės. Dekarto koordinačių divergencijos skaičiavimas.

Solenoidiniai vektoriniai laukai, solenoidiškumo sąlygos.

Vektorinio lauko cirkuliacija ir vektorinio lauko rotorius. Rotoriaus apskaičiavimas Dekarto koordinatėmis.

Hamiltono operatorius (nabla), antros eilės diferencialinės operacijos, jungtys tarp jų.

Pagrindinės sąvokos, susijusios su pirmos eilės odiu: bendrieji ir atskirieji sprendiniai, bendrasis integralas, integralinės kreivės. Koši problema, jos geometrinė reikšmė.

Pirmos eilės odų integravimas su atskiriamais ir vienarūšiais kintamaisiais.

Pirmosios eilės tiesinių lygčių ir Bernulio lygčių integravimas.

Pirmos eilės odų integravimas į bendruosius skirtumus. Integruojantis veiksnys.

Parametrų įvesties metodas. Lagrange ir Clairaut pirmosios eilės odų integravimas.

Paprasčiausi aukštesnių laipsnių odės, integruojamos kvadratūrose ir leidžiančios sumažinti tvarką.

Normalioji linijinių odų sistemos forma, skaliarinis ir vektorinis (matricinis) žymėjimas. Koši problema normaliai tiesinių ods sistemai, jos geometrinė reikšmė.

Tiesiškai priklausomos ir tiesiškai nepriklausomos vektorinių funkcijų sistemos. Būtina sąlyga tiesinei priklausomybei. Vienalyčių tiesinių odų sistemos sprendinių Vronskio determinanto teorema.

Teorema apie nehomogeninių tiesinių odų normaliosios sistemos bendrąjį sprendinį (apie bendrojo sprendinio struktūrą).

Savavališkų konstantų kitimo metodas, ieškant normalios nevienalyčių tiesinių odų sistemos dalinių sprendinių.

Fundamentali normalios vienarūšių tiesinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendinių sistema, kai būdingos lygties paprastosios tikrosios šaknys.

Tiesiškai priklausomos ir tiesiškai nepriklausomos funkcijų sistemos. Būtina sąlyga tiesinei priklausomybei. Vienalyčio tiesinio kodo sprendinių Vronskio determinanto teorema.

Teorema apie vienalytės tiesinės oda bendrąjį sprendinį (apie bendrojo sprendinio struktūrą).

Teorema apie nehomogeninės tiesinės odas bendrąjį sprendinį (apie bendrojo sprendinio struktūrą).

Savavališkų konstantų kitimo metodas nehomogeninės tiesinės odos daliniams sprendiniams rasti.

Pagrindinė vienalytės tiesinės lygties su pastoviais koeficientais sprendinių sistema, kai būdingos lygties paprastos šaknys, tikrosios arba sudėtingos.

Pagrindinė vienalytės tiesinės lygties su pastoviais koeficientais sprendinių sistema, kai būdingos lygties šaknys yra kelios.

Nehomogeniškos tiesinės odės su pastoviais koeficientais ir specialia dešine puse dalinių sprendimų paieška.

Pirmosios eilės ODE Koši uždavinio (lokalaus) sprendimo egzistencijos teorema.

Unikalumo teorema, skirta Koši uždavinio sprendimui pirmos eilės oodei.

1. Teorema apie nehomogeninių tiesinių odų normaliosios sistemos bendrąjį sprendinį (apie bendrojo sprendinio struktūrą).

Panagrinėkime nehomogenišką tiesinę n-osios eilės paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą

Čia A

Tai tiesa bendroji sprendinių struktūros teoremašios nehomogeninės tiesinės ODE sistemos.

Jei matrica A(x) ir vektoriaus funkcija b (x) yra ištisiniai [ a, b], Paleisk Φ (x) yra pagrindinė homogeninės tiesinės sistemos sprendinių matrica, tada bendras nehomogeninės sistemos sprendimas Y" = A(x) Y + b(x) turi tokią formą:

Kur C- savavališkas pastovus stulpelio vektorius, x 0 - savavališkas fiksuotas taškas iš atkarpos.

Iš aukščiau pateiktos formulės nesunku gauti formulę, kaip išspręsti Koši problemą tiesinei nehomogeninei ODE sistemai - Koši formulę.

Koši problemos sprendimas, Y(x 0) = Y 0 yra vektorinė funkcija

1. Savavališkų konstantų kitimo metodas, ieškant normalios nevienalyčių tiesinių odų sistemos dalinių sprendinių.

Nehomogeninių tiesinių ODE sistemos apibrėžimas. ODU sistema tipas:

paskambino linijinis nevienalytis . Leisti

Sistema (*) vektoriaus matricos pavidalu: .- sistema vienalytė, kitu atveju nehomogeniška.

Pats metodas. Tebūna tiesinė nehomogeniška sistema , tada yra tiesinė vienalytė sistema, atitinkanti tiesinę nehomogeninę. Tegul yra pagrindinė sprendimų sistemos matrica, , kur C yra savavališkas pastovus vektorius, yra bendras sistemos sprendimas. Paieškokime sistemos (1) sprendimo formoje , kur C(x) yra nežinoma (dar) vektorinė funkcija. Mes norime, kad vektorinė funkcija (3) būtų sistemos (1) sprendimas. Tada tapatybė turi būti tikra:

(savavališkas konstantos vektorius, kuris gaunamas integruojant, gali būti laikomas lygiu 0). Čia taškai x 0 yra bet kokie.

Todėl matome, kad jei (3) laikysime kaip C(t) , tada vektoriaus funkcija bus sistemos (1) sprendimas.

Tiesinės nehomogeninės sistemos (1) bendrąjį sprendinį galima parašyti forma . Tegul reikia rasti sistemos (1) sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą . Pradinių duomenų (5) pakeitimas (4) suteikia . Todėl Koši uždavinio (1)-(5) sprendimą galima parašyti taip: . Ypatingu atveju, kai paskutinė formulė yra tokia: .

1. Fundamentali normalios vienarūšių tiesinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendinių sistema, kai būdingos lygties paprastosios tikrosios šaknys.

Normali tiesinė vienalytė sistemantvarka su pastoviais koeficientais - arba ,Ieškomų funkcijų tiesinių kombinacijų koeficientai yra pastovūs. Ši sistema yra matricos formos –matricos forma, kur A yra pastovi matrica. Matricos metodas: Nuo charakteristikos lygtis rasime skirtingas šaknis ir kiekvienai šaknims (atsižvelgdami į jos daugumą) nustatysime atitinkamą konkretų sprendimą. Bendras sprendimas yra toks: . Šiuo atveju 1) jeigu - tada yra tikroji dauginio 1 šaknis , kur yra matricos A savasis vektorius, atitinkantis savąją reikšmę, tai yra. 2) – daugybos šaknį, tada šią šaknį atitinkantis sistemos sprendimas ieškomas vektoriaus pavidalu (**), kurio koeficientai yra nustatomi iš tiesinių lygčių sistemos, gautos sulyginus koeficientus esant toms pačioms galiomsx, pakeitus vektorių (**) į pradinę sistemą.

Fundamentali NLOS sprendimų sistema yra savavališkų n tiesiškai nepriklausomų sprendinių rinkinys

Pagrindinė sprendinių sistema normaliai vienalyčių tiesinių ODE su pastoviais koeficientais sistema tuo atveju, kai visos charakteringos lygties šaknys yra paprastos, bet yra sudėtingų šaknų.

Klausimas pašalintas.