Apskaičiuokite vektoriaus projekcijas koordinačių ašyse. Jėgos projekcija ašyje

Įvadas…………………………………………………………………………………3

1. Vektoriaus ir skaliaro reikšmė……………………………………….4

2. Taško projekcijos, ašies ir koordinatės apibrėžimas……………………5

3. Vektoriaus projekcija į ašį……………………………………………………6

4. Pagrindinė vektorinės algebros formulė………………………………..8

5. Vektoriaus modulio apskaičiavimas iš jo projekcijų………………………9

Išvada……………………………………………………………………………………11

Literatūra…………………………………………………………………………………12

Įvadas:

Fizika yra neatsiejamai susijusi su matematika. Matematika suteikia fizikai priemones ir būdus bendrai ir tiksliai išreikšti ryšį tarp fizikinių dydžių, kurie atrandami eksperimento ar teorinio tyrimo metu. Juk pagrindinis fizikos tyrimo metodas yra eksperimentinis. Tai reiškia, kad mokslininkas atskleidžia skaičiavimus naudodamas matavimus. Žymi ryšį tarp įvairių fizikinių dydžių. Tada viskas verčiama į matematikos kalbą. Sudaromas matematinis modelis. Fizika yra mokslas, tiriantis pačius paprasčiausius ir tuo pačiu bendriausius dėsnius. Fizikos uždavinys yra sukurti mūsų mintyse fizinio pasaulio vaizdą, kuris geriausiai atspindėtų jo savybes ir užtikrintų tokius modelio elementų santykius, kurie egzistuoja tarp elementų.

Taigi fizika kuria mus supančio pasaulio modelį ir tiria jo savybes. Tačiau bet koks modelis yra ribotas. Kuriant konkretaus reiškinio modelius, atsižvelgiama tik į tas savybes ir ryšius, kurie yra būtini tam tikram reiškinių diapazonui. Tai yra mokslininko menas – iš visos įvairovės pasirinkti pagrindinį dalyką.

Fiziniai modeliai yra matematiniai, bet matematika nėra jų pagrindas. Kiekybiniai santykiai tarp fizikinių dydžių nustatomi matavimų, stebėjimų ir eksperimentinių tyrimų metu ir išreiškiami tik matematikos kalba. Tačiau nėra kitos kalbos fizinėms teorijoms kurti.

1. Vektoriaus ir skaliaro reikšmė.

Fizikoje ir matematikoje vektorius yra dydis, apibūdinamas jo skaitine verte ir kryptimi. Fizikoje yra daug svarbių dydžių, kurie yra vektoriai, pavyzdžiui, jėga, padėtis, greitis, pagreitis, sukimo momentas, impulsas, elektrinio ir magnetinio lauko stiprumas. Juos galima palyginti su kitais dydžiais, tokiais kaip masė, tūris, slėgis, temperatūra ir tankis, kuriuos galima apibūdinti įprastu skaičiumi ir vadinami " skaliarai".

Jie rašomi įprastomis raidėmis arba skaičiais (a, b, t, G, 5, −7...). Skaliariniai dydžiai gali būti teigiami arba neigiami. Tuo pačiu metu kai kurie tyrimo objektai gali turėti tokių savybių, kurių pilnam aprašymui nepakanka žinių apie tik skaitinį matą, taip pat būtina šias savybes apibūdinti pagal kryptį erdvėje. Tokios savybės apibūdinamos vektoriniais dydžiais (vektoriais). Vektoriai, skirtingai nei skaliarai, žymimi paryškintomis raidėmis: a, b, g, F, C....
Dažnai vektorius žymimas įprasto (neparyškinto) šrifto raide, tačiau virš jos yra rodyklė:

Be to, vektorius dažnai žymimas raidžių pora (dažniausiai didžiosiomis raidėmis), o pirmoji raidė nurodo vektoriaus pradžią, o antroji – pabaigą.

Vektoriaus modulis, tai yra nukreiptos tiesios linijos atkarpos ilgis, žymimas tomis pačiomis raidėmis kaip ir pats vektorius, bet įprastu (ne paryškintu) raštu ir be rodyklės virš jų arba lygiai taip pat kaip vektorius (ty paryškintas arba įprastas, bet su rodykle), bet tada vektoriaus žymėjimas yra įterpiamas vertikaliais brūkšneliais.
Vektorius yra sudėtingas objektas, kuriam vienu metu būdingas dydis ir kryptis.

Taip pat nėra teigiamų ir neigiamų vektorių. Tačiau vektoriai gali būti lygūs vienas kitam. Tai yra tada, kai, pavyzdžiui, a ir b turi tuos pačius modulius ir yra nukreipti ta pačia kryptimi. Šiuo atveju užrašas yra teisingas a= b. Taip pat reikia nepamiršti, kad prieš vektoriaus simbolį gali būti minuso ženklas, pavyzdžiui - c, tačiau šis ženklas simboliškai rodo, kad vektorius -c turi tą patį modulį kaip ir vektorius c, bet yra nukreiptas priešingai. kryptis.

Vektorius -c vadinamas priešingu (arba atvirkštiniu) vektoriui c.
Fizikoje kiekvienas vektorius užpildomas specifiniu turiniu, o lyginant to paties tipo vektorius (pavyzdžiui, jėgas), reikšmingi gali būti ir jų taikymo taškai.

2. Taško projekcijos, ašies ir koordinatės nustatymas.

Ašis– Tai tiesi linija, kuriai suteikiama tam tikra kryptis.
Ašis žymima tam tikra raide: X, Y, Z, s, t... Paprastai ašyje (savavališkai) pasirenkamas taškas, kuris vadinamas pradžia ir, kaip taisyklė, žymimas raide O. Nuo šio taško matuojami atstumai iki kitų mums įdomių vietų.

Taško projekcija ant ašies yra statmeno, nubrėžto iš šio taško į nurodytą ašį, pagrindas. Tai yra, taško projekcija į ašį yra taškas.

Taško koordinatė duotoje ašyje yra skaičius, kurio absoliuti reikšmė yra lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp ašies pradžios ir taško projekcijos į šią ašį. Šis skaičius imamas su pliuso ženklu, jei taško projekcija yra ašies kryptimi nuo jo pradžios ir su minuso ženklu, jei taško projekcija yra priešinga.

3. Vektoriaus projekcija į ašį.

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kuris gaunamas padauginus vektoriaus skaliarinę projekciją į šią ašį ir šios ašies vienetinį vektorių. Pavyzdžiui, jei x yra vektoriaus a skaliarinė projekcija į X ašį, tai a x ·i yra jo vektorinė projekcija į šią ašį.

Vektoriaus projekciją pažymėkime taip pat, kaip ir patį vektorių, tik su ašies, ant kurios projektuojamas vektorius, indeksu. Taigi vektoriaus a vektorinę projekciją į X ašį pažymime kaip x (paryškinta raidė, žyminti vektorių ir ašies pavadinimo indeksą) arba

(mažai paryškinta raidė, žyminti vektorių, bet su rodykle viršuje (!) ir ašies pavadinimo apatiniu indeksu).

Skaliarinė projekcija vadinamas vektoriumi vienai ašiai numerį, kurios absoliuti reikšmė lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp vektoriaus pradžios taško ir pabaigos taško projekcijų. Paprastai vietoj išraiškos skaliarinė projekcija jie tiesiog sako - projekcija. Projekcija žymima ta pačia raide kaip ir projektuojamas vektorius (įprastu, neparyškintu raštu), su mažesne ašies, kurioje projektuojamas šis vektorius, pavadinimo indeksas (paprastai). Pavyzdžiui, jei vektorius projektuojamas į X ašį A, tada jo projekcija žymima x. Projektuojant tą patį vektorių į kitą ašį, jei ašis yra Y, jos projekcija bus žymima a y.

Norėdami apskaičiuoti projekciją vektorius ašyje (pavyzdžiui, X ašyje) reikia atimti pradinio taško koordinatę iš jo pabaigos taško koordinatės, tai yra

a x = x k − x n.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius. Be to, projekcija gali būti teigiama, jei reikšmė x k yra didesnė už reikšmę x n,

neigiamas, jei reikšmė x k mažesnė už reikšmę x n

ir lygus nuliui, jei x k lygus x n.

Vektoriaus projekciją į ašį taip pat galima rasti žinant vektoriaus modulį ir kampą, kurį jis sudaro su šia ašimi.

Iš paveikslo matyti, kad a x = a Cos α

Tai reiškia, kad vektoriaus projekcija į ašį yra lygi vektoriaus modulio ir kampo tarp ašies krypties ir kosinuso sandaugai. vektoriaus kryptis. Jei kampas smailus, tai
Cos α > 0 ir a x > 0, o jei bukas, tai bukojo kampo kosinusas yra neigiamas, o vektoriaus projekcija į ašį taip pat bus neigiama.

Kampai, matuojami nuo ašies prieš laikrodžio rodyklę, laikomi teigiamais, o kampai, išmatuoti išilgai ašies, yra neigiami. Tačiau kadangi kosinusas yra lyginė funkcija, tai yra, Cos α = Cos (− α), skaičiuojant projekcijas, kampai gali būti skaičiuojami ir pagal laikrodžio rodyklę, ir prieš laikrodžio rodyklę.

Norint rasti vektoriaus projekciją į ašį, šio vektoriaus modulis turi būti padaugintas iš kampo tarp ašies krypties ir vektoriaus krypties kosinuso.

4. Pagrindinė vektorinės algebros formulė.

Projektuokime vektorių a stačiakampės koordinačių sistemos X ir Y ašyse. Raskime vektoriaus a vektorines projekcijas šiose ašyse:

a x = a x ·i ir y = a y ·j.

Bet pagal vektoriaus pridėjimo taisyklę

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Taigi vektorių išreiškėme jo projekcijomis ir stačiakampės koordinačių sistemos vektoriais (arba jo vektorių projekcijomis).

Vektorinės projekcijos a x ir a y vadinamos vektoriaus a komponentais arba komponentais. Mūsų atlikta operacija vadinama vektoriaus išskaidymu išilgai stačiakampės koordinačių sistemos ašių.

Jei vektorius pateiktas erdvėje, tada

a = a x i + a y j + a z k.

Ši formulė vadinama pagrindine vektorinės algebros formule. Žinoma, galima parašyti ir taip.

PAGRINDINĖS VEKTORINĖS ALGEBROS SĄVOKOS

Skaliariniai ir vektoriniai dydžiai

Iš elementariosios fizikos kurso žinoma, kad kai kurie fizikiniai dydžiai, tokie kaip temperatūra, tūris, kūno masė, tankis ir kt., yra nustatomi tik skaitine verte. Tokie kiekiai vadinami skaliariniai kiekiai arba skaliarai.

Norint nustatyti kai kuriuos kitus dydžius, tokius kaip jėga, greitis, pagreitis ir panašiai, be skaitinių reikšmių, reikia nurodyti ir jų kryptį erdvėje. Vadinami kiekiai, kurie, be absoliučios vertės, pasižymi ir kryptimi vektorius.

Apibrėžimas Vektorius yra nukreipta atkarpa, kurią apibrėžia du taškai: pirmasis taškas apibrėžia vektoriaus pradžią, o antrasis – pabaigą. Štai kodėl jie taip pat sako, kad vektorius yra sutvarkyta taškų pora.

Paveiksle vektorius pavaizduotas kaip tiesi atkarpa, ant kurios kryptis nuo vektoriaus pradžios iki jo pabaigos pažymėta rodykle. Pavyzdžiui, pav. 2.1.

Jeigu vektoriaus pradžia sutampa su tašku , o pabaiga su tašku , tada vektorius žymimas
. Be to, vektoriai dažnai žymimi viena maža raide su rodykle virš jos . Knygose kartais rodyklė praleidžiama, tada vektoriui nurodyti naudojamas paryškintas šriftas.

Vektoriai apima nulinis vektorius, kurio pradžia ir pabaiga sutampa. Jis yra paskirtas arba tiesiog .

Atstumas tarp vektoriaus pradžios ir pabaigos vadinamas jo ilgio arba modulio. Vektorius modulis žymimas dviem vertikaliomis juostomis kairėje:
, arba be rodyklių
arba .

Vadinami vektoriai, lygiagrečiai vienai tiesei kolinearinis.

Vadinami vektoriai, esantys toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiai tai pačiai plokštumai koplanarinis.

Nulinis vektorius laikomas kolineariu bet kuriam vektoriui. Jo ilgis yra 0.

Apibrėžimas Du vektoriai
Ir
vadinami lygiais (2.2 pav.), jei:
1)kolinearinis; 2) bendrakryptis 3) vienodo ilgio.

Tai parašyta taip:
(2.1)

Iš vektorių lygybės apibrėžimo išplaukia, kad vektorių perkėlus lygiagrečiai, gaunamas vektorius, lygus pradiniam, todėl vektoriaus pradžia gali būti dedama bet kuriame erdvės taške. Tokie vektoriai (teorinėje mechanikoje, geometrijoje), kurių pradžia gali būti bet kuriame erdvės taške, vadinami Laisvas. Ir mes apsvarstysime būtent šiuos vektorius.

Apibrėžimas Vektorinė sistema
vadinamas tiesiškai priklausomu, jei yra tokių konstantų
, tarp kurių yra bent vienas, kuris skiriasi nuo nulio ir kuriam taikoma lygybė.

Apibrėžimas Pagrindas erdvėje vadinami savavališkais trimis nevienodais vektoriais, kurie paimami tam tikra seka.

Apibrėžimas Jeigu
- pagrindas ir vektorius, tada skaičiai
vadinamos vektorinėmis koordinatėmis šiuo pagrindu.

Po vektoriaus žymėjimo riestiniuose skliaustuose rašysime vektoriaus koordinates. Pavyzdžiui,
reiškia, kad vektorius tam tikru pasirinktu pagrindu yra išplėtimas:
.

Iš vektoriaus padauginimo iš skaičiaus ir vektorių pridėjimo savybių seka teiginys dėl linijinių veiksmų vektoriams, kurie yra nurodyti koordinatėmis.

Norint rasti vektoriaus koordinates, jei žinomos jo pradžios ir pabaigos koordinatės, iš atitinkamos jo pabaigos koordinatės reikia atimti pradžios koordinates.

Tiesinės operacijos vektoriais

Tiesinės operacijos su vektoriais – tai vektorių pridėjimo (atėmimo) ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos. Pažiūrėkime į juos.

Apibrėžimas Vektoriaus sandauga už skaičių
vadinamas vektoriumi, kurio kryptis sutampa su vektoriumi , Jei
, turintis priešingą kryptį, jei
neigiamas. Šio vektoriaus ilgis lygus vektoriaus ilgio sandaugai vienam skaičiaus moduliui
.

P pavyzdys . Sukurti vektorių
, Jei
Ir
(2.3 pav.).

Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus, jo koordinatės padauginamos iš šio skaičiaus.

Tikrai, jei , tai tada

Vektoriaus sandauga įjungta
vadinamas vektoriumi
;
- nukreipta priešingai .

Atkreipkite dėmesį, kad vadinamas vektoriumi, kurio ilgis yra 1 vienišas(arba orto).

Naudojant vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operaciją, bet kuris vektorius gali būti išreikštas tos pačios krypties vienetiniu vektoriumi. Iš tiesų, dalijant vektorių iki jo ilgio (ty dauginant įjungta ), gauname vienetinį vektorių ta pačia kryptimi kaip ir vektorius . Mes tai pažymėsime
. Tai seka
.

Apibrėžimas Dviejų vektorių suma Ir vadinamas vektoriumi , kuris kilęs iš jų bendros kilmės ir yra lygiagretainio, kurio kraštinės yra vektoriai, įstrižainė Ir (2.4 pav.).

.

Pagal lygių vektorių apibrėžimą
Štai kodėl
-trikampio taisyklė. Trikampio taisyklę galima išplėsti iki bet kokio skaičiaus vektorių ir taip gauti daugiakampio taisyklę:
yra vektorius, jungiantis pirmojo vektoriaus pradžią su paskutinio vektoriaus pabaiga (2.5 pav.).

Taigi, norint sukonstruoti sumos vektorių, antrojo pradžią reikia prijungti prie pirmojo vektoriaus pabaigos, trečiojo pradžią – prie antrojo pabaigos ir t.t. Tada sumos vektorius bus vektorius, kuris jungia pirmojo iš vektoriaus pradžią su paskutinio vektoriaus pabaiga.

Pridedant vektorius, pridedamos ir atitinkamos jų koordinatės

Tikrai, jei
,

Jei vektoriai
Ir nėra lygiagrečios, tada jų suma yra įstrižainė
ant šių vektorių pastatytas gretasienis (2.6 pav.)

,

Kur

Savybės:

- komutaciškumas;

- asociatyvumas;

- pasiskirstymas daugybos iš skaičiaus atžvilgiu

.

Tie. vektorinę sumą galima transformuoti pagal tas pačias taisykles kaip ir algebrinę sumą.

ApibrėžimasDviejų vektorių skirtumas Ir toks vektorius vadinamas , kurį pridėjus prie vektoriaus suteikia vektorių . Tie.
Jeigu
. Geometriškai reiškia antrąją lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, įstrižainę Ir su bendra pradžia ir nukreipta iš vektoriaus pabaigos iki vektoriaus pabaigos (2.7 pav.).

Vektoriaus projekcija į ašį. Projekcijų savybės

Prisiminkime skaičių ašies sąvoką. Skaičių ašis yra linija, kurioje ji apibrėžta:

kryptis (→);

kilmė (taškas O);

segmentas, kuris laikomas mastelio vienetu.

Tegul būna vektorius
ir ašis . Iš taškų Ir nuleiskite statmenus ašiai . Surinkime taškus Ir - taškų projekcijos Ir (2.8 pav. a).

Apibrėžimas Vektorinė projekcija
vienai ašiai vadinamas atkarpos ilgiu
šią ašį, esančią tarp vektoriaus pradžios ir pabaigos projekcijų pagrindų
vienai ašiai . Jis imamas su pliuso ženklu, jei atkarpos kryptis
sutampa su projekcijos ašies kryptimi ir su minuso ženklu, jei šios kryptys yra priešingos. Pavadinimas:
.

APIE ryžtas Kampas tarp vektoriaus
ir ašis vadinamas kampu , į kurią reikia kuo trumpesniu keliu pasukti ašį kad jis sutaptų su vektoriaus kryptimi
.

Mes surasime
:

2.8a paveiksle parodyta:
.

Fig. 2.8 b): .

Vektoriaus projekcija į ašį yra lygi šio vektoriaus ilgio ir kampo tarp vektoriaus ir projekcijų ašies kosinuso sandaugai:
.

Projekcijų savybės:

Jeigu
, tada vektoriai vadinami stačiakampiais

Pavyzdys . Pateikti vektoriai
,
.Tada

.

Pavyzdys. Jei vektoriaus pradžia
yra taške
, o pabaiga yra taške
, tada vektorius
turi koordinates:

APIE ryžtas Kampas tarp dviejų vektorių Ir vadinamas mažiausiu kampu
(2.13 pav.) tarp šių vektorių, redukuotų iki bendros pradžios .

Kampas tarp vektorių Ir simboliškai parašyta taip: .

Iš apibrėžimo matyti, kad kampas tarp vektorių gali skirtis viduje
.

Jeigu
, tada vektoriai vadinami stačiakampiais.

.

Apibrėžimas. Vektoriaus kampų kosinusai su koordinačių ašimis vadinami vektoriaus krypties kosinusais. Jei vektorius
sudaro kampus su koordinačių ašimis

.

Konverguojančių jėgų pusiausvyros uždavinių sprendimas konstruojant uždarų jėgų daugiakampius apima sudėtingas konstrukcijas. Universalus tokių problemų sprendimo būdas – pereiti prie duotų jėgų projekcijų į koordinačių ašis nustatymo ir darbo su šiomis projekcijomis. Ašis yra tiesi linija, kuriai priskirta konkreti kryptis.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaliarinis dydis, kurį lemia ašies atkarpa, nupjauta statmenais, nuleistas į jį nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos.

Vektorinė projekcija laikoma teigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos sutampa su teigiama ašies kryptimi. Vektorinė projekcija laikoma neigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos yra priešinga teigiamai ašies krypčiai.

Taigi jėgos projekcija į koordinačių ašį yra lygi jėgos modulio sandaugai ir kampo tarp jėgos vektoriaus ir teigiamos ašies krypties kosinuso.

Panagrinėkime keletą jėgų projektavimo į ašį atvejų:

Jėgos vektorius F(15 pav.) daro smailųjį kampą su teigiama x ašies kryptimi.

Norėdami rasti projekciją, nuo jėgos vektoriaus pradžios ir pabaigos nuleidžiame statmenis ašiai Oi; mes gauname

1. Fx = F cos α

Vektoriaus projekcija šiuo atveju yra teigiama

Jėga F(16 pav.) yra su teigiama ašies kryptimi X bukas kampas α.

Tada F x = F cos α, bet kadangi α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Jėgos projekcija F vienai ašiai Oišiuo atveju jis yra neigiamas.

Jėga F(17 pav.) statmenai ašiai Oi.

Jėgos F projekcija į ašį X lygus nuliui

F x = F cos 90° = 0.

Lėktuve esančios jėgos kaip(18 pav.), gali būti projektuojamas ant dviejų koordinačių ašių Oi Ir OU.

Jėga F gali būti suskirstyti į komponentus: F x ir F y. Vektorinis modulis F x lygus vektoriaus projekcijai F vienai ašiai Jautis, ir vektoriaus modulis F y lygi vektoriaus projekcijai F vienai ašiai Oi.

Nuo Δ OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

Nuo Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Jėgos dydį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą:

Vektorių sumos arba rezultato projekcija į bet kurią ašį yra lygi vektorių sumos projekcijų į tą pačią ašį algebrinei sumai.

Apsvarstykite susiliejančias jėgas F 1 , F 2 , F 3 ir F 4, (19 pav., a). Geometrinė šių jėgų suma arba rezultatas F nustatomas pagal jėgos daugiakampio uždarymo pusę

Nukreipkime nuo jėgos daugiakampio viršūnių į ašį x statmenai.

Atsižvelgdami į gautas jėgų projekcijas tiesiogiai iš baigtos konstrukcijos, turime

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

kur n yra vektoriaus terminų skaičius. Jų projekcijos įveda į aukščiau pateiktą lygtį su atitinkamu ženklu.

Plokštumoje geometrinė jėgų suma gali būti projektuojama į dvi koordinačių ašis, o erdvėje - į tris.

Ašis yra kryptis. Tai reiškia, kad projekcija į ašį arba į nukreiptą liniją laikoma ta pačia. Projekcija gali būti algebrinė arba geometrinė. Geometrine prasme vektoriaus projekcija į ašį suprantama kaip vektorius, o algebriškai – kaip skaičius. Tai yra, vartojamos vektoriaus projekcijos į ašį ir skaitinės vektoriaus projekcijos į ašį sąvokos.

Jei turime L ašį ir nulinį vektorių A B →, tai galime sukurti vektorių A 1 B 1 ⇀, žymintį jo taškų A 1 ir B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 bus vektoriaus A B → projekcija į L.

1 apibrėžimas

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kurio pradžia ir pabaiga yra tam tikro vektoriaus pradžios ir pabaigos projekcijos. n p L A B → → įprasta projekciją A B → žymėti į L. Norint sukurti projekciją į L, statmenai nuleidžiami į L.

1 pavyzdys

Vektorinės projekcijos į ašį pavyzdys.

Koordinačių plokštumoje O x y nurodytas taškas M 1 (x 1, y 1). Norint pavaizduoti taško M 1 spindulio vektorių, reikia sudaryti O x ir O y projekcijas. Gauname vektorių (x 1, 0) ir (0, y 1) koordinates.

Jei kalbame apie a → projekciją į nulį b → arba a → projekciją į kryptį b → , tai turime omenyje a → projekciją į ašį, su kuria kryptis b → sutampa. A → projekcija į b → apibrėžtą tiesę žymima n p b → a → → . Yra žinoma, kad kai kampas tarp a → ir b → , n p b → a → → ir b → gali būti laikomas bendrakrypčiu. Tuo atveju, kai kampas yra bukas, n p b → a → → ir b → yra priešingomis kryptimis. Esant statmenai a → ir b →, o a → yra nulis, a → projekcija kryptimi b → yra nulinis vektorius.

Skaitinė vektoriaus projekcijos į ašį charakteristika yra skaitinė vektoriaus projekcija į nurodytą ašį.

2 apibrėžimas

Skaitinė vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius, lygus duoto vektoriaus ilgio ir kampo tarp nurodyto vektoriaus ir vektoriaus, lemiančio ašies kryptį, sandaugai.

Skaitinė A B → projekcija į L žymima n p L A B → , o a → į b → - n p b → a → .

Remdamiesi formule gauname n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , iš kur a → yra vektoriaus ilgis a → , a ⇀ , b → ^ yra kampas tarp vektorių a → ir b → .

Gauname skaitinės projekcijos apskaičiavimo formulę: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Jis taikomas žinomiems ilgiams a → ir b → ir kampui tarp jų. Formulė taikoma žinomoms koordinatėms a → ir b →, tačiau yra supaprastinta forma.

2 pavyzdys

Išsiaiškinkite skaitinę a → projekciją į tiesę b → kryptimi, kurios ilgis a → lygus 8 ir kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Pagal sąlygą turime a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Tai reiškia, kad skaitines reikšmes pakeičiame į formulę n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atsakymas: 4.

Kai žinomas cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , turime a → , b → kaip a → ir b → skaliarinę sandaugą. Vadovaudamiesi formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , galime rasti skaitinę projekciją a → nukreiptą išilgai vektoriaus b → ir gauti n p b → a → = a → , b → b → . Formulė atitinka pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą.

3 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija į ašį, sutampančią su b → kryptimi, yra vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos santykis su ilgiu b → . Formulė n p b → a → = a → , b → b → taikoma norint rasti a → skaitinę projekciją į tiesę, kurios kryptis sutampa su b → , su žinomomis a → ir b → koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duota b → = (- 3 , 4) . Raskite skaitmeninę projekciją a → = (1, 7) į L.

Sprendimas

Koordinačių plokštumoje n p b → a → = a → , b → b → turi formą n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , kai a → = (a x , a y ) ir b → = b x , b y . Norint rasti vektoriaus a → skaitinę projekciją į L ašį, reikia: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atsakymas: 5.

4 pavyzdys

Raskite a → projekciją L, sutampančią su kryptimi b →, kur yra a → = - 2, 3, 1 ir b → = (3, - 2, 6). Nurodoma trimatė erdvė.

Sprendimas

Atsižvelgiant į a → = a x , a y , a z ir b → = b x , b y , b z , apskaičiuojame skaliarinę sandaugą: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Ilgis b → randamas naudojant formulę b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iš to seka, kad skaitinės projekcijos a → nustatymo formulė bus tokia: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Pakeiskite skaitines reikšmes: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atsakymas: - 67.

Pažvelkime į ryšį tarp a → ant L ir projekcijos a → ilgio ant L. Nubrėžkime ašį L, iš taško L pridėdami a → ir b →, po to nubrėžkime statmeną tiesę nuo galo a → iki L ir nubrėžkime projekciją į L. Yra 5 vaizdo variantai:

Pirmas atvejis su a → = n p b → a → → reiškia a → = n p b → a → → , taigi n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Antra atvejis reiškia n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → naudojimą, o tai reiškia n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trečias atvejis paaiškina, kad kai n p b → a → → = 0 → gauname n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tada n p b → a → → = 0 ir n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ketvirta atvejis rodo n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seka n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Penkta atvejis rodo a → = n p b → a → → , o tai reiškia a → = n p b → a → → , taigi turime n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitmeninė projekcija į L ašį, kuri nukreipta taip pat, kaip ir b →, turi tokią reikšmę:

• vektoriaus a → projekcijos į L ilgį, su sąlyga, kad kampas tarp a → ir b → yra mažesnis nei 90 laipsnių arba lygus 0: n p b → a → = n p b → a → → su sąlyga 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulis su sąlyga, kad a → ir b → yra statmenos: n p b → a → = 0, kai (a → , b → ^) = 90 °;
• projekcijos a → į L ilgis, padaugintas iš -1, kai yra bukas arba tiesus vektorių a → ir b → kampas: n p b → a → = - n p b → a → → su sąlyga 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į projekcijos a → į L ilgį, lygų 2. Raskite skaitinę projekciją a → su sąlyga, kad kampas yra 5 π 6 radianai.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad šis kampas yra bukas: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atsakymas: - 2.

6 pavyzdys

Duota plokštuma O x y z, kurios vektoriaus ilgis a → lygus 6 3, b → (- 2, 1, 2), kurios kampas 30 laipsnių. Raskite projekcijos a → koordinates į L ašį.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojame skaitinę vektoriaus a → projekciją: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pagal sąlygą kampas yra smailusis, tada skaitinė projekcija a → = vektoriaus a → projekcijos ilgis: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis atvejis rodo, kad vektoriai n p L a → → ir b → yra nukreipti kartu, o tai reiškia, kad yra skaičius t, kurio lygybė yra teisinga: n p L a → → = t · b → . Iš čia matome, kad n p L a → → = t · b → , tai reiškia, kad galime rasti parametro t reikšmę: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada n p L a → → = 3 · b → su vektoriaus a → projekcijos koordinatėmis į L ašį, lygią b → = (- 2 , 1 , 2) , kur reikia reikšmes padauginti iš 3. Turime n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atsakymas: (- 6, 3, 6).

Būtina pakartoti anksčiau išmoktą informaciją apie vektorių kolineariškumo sąlygą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

§ 3. Vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse

1. Projekcijų radimas geometriškai.

Vektorius
- vektoriaus projekcija į ašį JAUTIS
- vektoriaus projekcija į ašį OY

1 apibrėžimas. Vektorinė projekcija bet kurioje koordinačių ašyje yra skaičius, paimtas su pliuso arba minuso ženklu, atitinkantis atkarpos, esančios tarp statmenų, nukritusių nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos iki koordinačių ašies, ilgį.

Projekcijos ženklas apibrėžiamas taip. Jei judant išilgai koordinačių ašies yra judėjimas nuo vektoriaus pradžios projekcijos taško iki vektoriaus pabaigos projekcijos taško teigiama ašies kryptimi, tada vektoriaus projekcija laikoma teigiama . Jei ji yra priešinga ašiai, tada projekcija laikoma neigiama.

Paveikslėlyje parodyta, kad jei vektorius yra nukreiptas kažkaip priešingai koordinačių ašiai, tada jo projekcija į šią ašį yra neigiama. Jei vektorius kažkaip nukreiptas teigiama koordinačių ašies kryptimi, tada jo projekcija į šią ašį yra teigiama.

Jei vektorius yra statmenas koordinačių ašiai, tada jo projekcija į šią ašį yra lygi nuliui.
Jei vektorius yra vienakryptis su ašimi, tai jo projekcija į šią ašį yra lygi absoliučiai vektoriaus vertei.
Jei vektorius nukreiptas priešingai koordinačių ašiai, tada jo projekcija į šią ašį absoliučia verte yra lygi vektoriaus absoliučiai vertei, paimtai su minuso ženklu.

2. Bendriausias projekcijos apibrėžimas.

Iš stačiojo trikampio ABD: .

2 apibrėžimas. Vektorinė projekcija bet kurioje koordinačių ašyje yra skaičius, lygus vektoriaus modulio ir vektoriaus suformuoto kampo kosinuso sandaugai su teigiama koordinačių ašies kryptimi.

Projekcijos ženklas nustatomas kampo, kurį sudaro vektoriaus su teigiama ašies kryptimi, kosinuso ženklas.
Jei kampas smailus, tai kosinusas turi teigiamą ženklą, o projekcijos yra teigiamos. Bukųjų kampų kosinusas turi neigiamą ženklą, todėl tokiais atvejais projekcijos į ašį yra neigiamos.
- todėl ašiai statmenų vektorių projekcija lygi nuliui.