Kādas ir vektora projekcijas koordinātas? Vektoru projekcijas uz koordinātu asīm

Ļaujiet diviem vektoriem un ir dots telpā. Atliksim no patvaļīga punkta O vektori un . Leņķis starp vektoriem sauc par mazāko no leņķiem. Norādīts .

Apsveriet asi l un uz tā uzzīmējiet vienības vektoru (t.i., vektoru, kura garums ir vienāds ar vienu).

Leņķī starp vektoru un asi l saprast leņķi starp vektoriem un .

Tātad ļaujiet l ir kāda ass un ir vektors.

Apzīmēsim ar A 1 Un B 1 projekcijas uz asi l attiecīgi punkti A Un B. Izliksimies tā A 1 ir koordinātas x 1, A B 1- koordinēt x 2 uz ass l.

Tad projekcija vektors uz asi l sauc par atšķirību x 1 – x 2 starp vektora beigu un sākuma projekciju koordinātām uz šo asi.

Vektora projekcija uz asi l mēs apzīmēsim .

Ir skaidrs, ka, ja leņķis starp vektoru un asi l tad pikanti x 2> x 1, un projekcija x 2 – x 1> 0; ja šis leņķis ir neass, tad x 2< x 1 un projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Tas x 2= x 1 Un x 2– x 1=0.

Tādējādi vektora projekcija uz asi l ir segmenta garums A 1 B 1, ņemts ar noteiktu zīmi. Tāpēc vektora projekcija uz asi ir skaitlis vai skalārs.

Līdzīgi tiek noteikta viena vektora projekcija uz otru. Šajā gadījumā tiek atrastas šī vektora galu projekcijas uz taisnes, uz kuras atrodas 2. vektors.

Apskatīsim dažas pamata lietas projekciju īpašības.

LINEĀRI ATKARĪGAS UN LINEĀRI NEATKARĪGAS VEKTORU SISTĒMAS

Apskatīsim vairākus vektorus.

Lineāra kombinācija no šiem vektoriem ir jebkurš formas vektors , kur ir daži skaitļi. Skaitļus sauc par lineāro kombināciju koeficientiem. Viņi arī saka, ka šajā gadījumā tas tiek lineāri izteikts caur šiem vektoriem, t.i. tiek iegūts no tiem, izmantojot lineāras darbības.

Piemēram, ja ir doti trīs vektori, tad šādus vektorus var uzskatīt par to lineāro kombināciju:

Ja vektors tiek attēlots kā dažu vektoru lineāra kombinācija, tad tas tiek uzskatīts par tādu izklāstīts pa šiem vektoriem.

Vektorus sauc lineāri atkarīgi, ja ir skaitļi, ne visi vienādi ar nulli, tā ka . Ir skaidrs, ka dotie vektori būs lineāri atkarīgi, ja kāds no šiem vektoriem ir lineāri izteikts pārējos.

Citādi, t.i. kad attiecība veic tikai tad, kad , šos vektorus sauc lineāri neatkarīgs.

1. teorēma. Jebkuri divi vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri.

Pierādījums:

Līdzīgi var pierādīt šādu teorēmu.

2. teorēma. Trīs vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir koplanāri.

Pierādījums.

PAMATS

Pamats ir nulles lineāri neatkarīgu vektoru kolekcija. Bāzes elementus apzīmēsim ar .

Iepriekšējā rindkopā mēs redzējām, ka divi nekolineārie vektori plaknē ir lineāri neatkarīgi. Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu no iepriekšējās daļas plaknes bāze ir jebkuri divi nekolineāri vektori šajā plaknē.

Tāpat jebkuri trīs ne-kopplanāri vektori ir lineāri neatkarīgi telpā. Līdz ar to trīs nekopplanārus vektorus saucam par bāzi telpā.

Sekojošais apgalvojums ir patiess.

Teorēma.Ļaujiet dot pamatu telpā. Tad jebkuru vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju , Kur x, y, z- daži skaitļi. Šī ir vienīgā sadalīšanās.

Pierādījums.

Tādējādi bāze ļauj katru vektoru unikāli saistīt ar skaitļu trīskāršu - šī vektora izplešanās koeficientiem bāzes vektoros: . Arī pretējais ir taisnība, katriem trim cipariem x, y, z izmantojot bāzi, jūs varat salīdzināt vektoru, ja izveidojat lineāru kombināciju .

Ja pamats un , tad skaitļi x, y, z tiek saukti koordinātas vektors noteiktā bāzē. Vektoru koordinātas ir apzīmētas ar .

KARTĒZIJAS KOORDINĀTU SISTĒMA

Ļaujiet dot punktu telpā O un trīs nekopplanāri vektori.

Dekarta koordinātu sistēma telpā (plaknē) ir punkta un pamata kopums, t.i. punkta un trīs nekoplanāru vektoru kopums (2 nekolineāri vektori), kas izplūst no šī punkta.

Punkts O sauc par izcelsmi; taisnas līnijas, kas iet caur koordinātu sākumpunktu bāzes vektoru virzienā, sauc par koordinātu asīm - abscisu, ordinātu un aplikācijas asi. Plaknes, kas iet caur koordinātu asīm, sauc par koordinātu plaknēm.

Apsveriet patvaļīgu punktu izvēlētajā koordinātu sistēmā M. Ieviesīsim punktu koordinātu jēdzienu M. Vektors, kas savieno izcelsmi ar punktu M. sauca rādiusa vektors punktus M.

Vektoru atlasītajā bāzē var saistīt ar skaitļu trīskāršu – tā koordinātām: .

Punkta rādiusa vektora koordinātas M. tiek saukti punkta M koordinātas. izskatāmajā koordinātu sistēmā. M(x,y,z). Pirmo koordinātu sauc par abscisu, otro - par ordinātu, bet trešo - par aplikāciju.

Dekarta koordinātas plaknē nosaka līdzīgi. Šeit punktam ir tikai divas koordinātas - abscisa un ordināta.

Ir viegli redzēt, ka konkrētai koordinātu sistēmai katram punktam ir noteiktas koordinātas. No otras puses, katram skaitļu trīskāršam ir unikāls punkts, kuram šie skaitļi ir kā koordinātas.

Ja izvēlētajā koordinātu sistēmā par pamatu ņemtajiem vektoriem ir vienības garums un tie ir pa pāriem perpendikulāri, tad koordinātu sistēmu sauc Dekarta taisnstūrveida.

To ir viegli parādīt.

Vektora virziena kosinusi pilnībā nosaka tā virzienu, bet neko neizsaka par tā garumu.

§ 3. Vektora projekcijas uz koordinātu asīm

1. Projekciju atrašana ģeometriski.

Vektors
- vektora projekcija uz asi VĒRSIS
- vektora projekcija uz asi OY

1. definīcija. Vektoru projekcija uz jebkuras koordinātu ass ir skaitlis, kas ņemts ar plusa vai mīnusa zīmi, kas atbilst segmenta garumam, kas atrodas starp perpendikulu pamatiem, kas nomesti no vektora sākuma un beigām uz koordinātu asi.

Projekcijas zīme ir definēta šādi. Ja, pārvietojoties pa koordinātu asi, notiek kustība no vektora sākuma projekcijas punkta uz vektora beigu projekcijas punktu ass pozitīvajā virzienā, tad vektora projekciju uzskata par pozitīvu . Ja tā ir pretēja asij, tad projekciju uzskata par negatīvu.

Attēlā redzams, ka, ja vektors ir orientēts kaut kā pretēji koordinātu asij, tad tā projekcija uz šo asi ir negatīva. Ja vektors ir kaut kādā veidā orientēts koordinātu ass pozitīvā virzienā, tad tā projekcija uz šo asi ir pozitīva.

Ja vektors ir perpendikulārs koordinātu asij, tad tā projekcija uz šo asi ir nulle.
Ja vektors ir vienā virzienā ar asi, tad tā projekcija uz šo asi ir vienāda ar vektora absolūto vērtību.
Ja vektors ir vērsts pretēji koordinātu asij, tad tā projekcija uz šo asi pēc absolūtās vērtības ir vienāda ar vektora absolūto vērtību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.

2. Vispārīgākā projekcijas definīcija.

No taisnleņķa trīsstūra ABD: .

2. definīcija. Vektoru projekcija uz jebkuras koordinātu ass ir skaitlis, kas vienāds ar vektora moduļa un vektora veidotā leņķa kosinusa reizinājumu ar koordinātu ass pozitīvo virzienu.

Projekcijas zīmi nosaka vektora ar pozitīvās ass virzienu veidotā leņķa kosinusa zīme.
Ja leņķis ir akūts, tad kosinusam ir pozitīva zīme un projekcijas ir pozitīvas. Strupiem leņķiem kosinusam ir negatīva zīme, tāpēc šādos gadījumos projekcijas uz asi ir negatīvas.
- tāpēc vektoriem, kas ir perpendikulāri asij, projekcija ir nulle.

Ass ir virziens. Tas nozīmē, ka projekcija uz asi vai uz virzītu līniju tiek uzskatīta par vienādu. Projekcija var būt algebriska vai ģeometriska. Ģeometriskā izteiksmē vektora projekciju uz asi saprot kā vektoru, un algebriskā izteiksmē to saprot kā skaitli. Tas ir, tiek izmantoti jēdzieni vektora projekcija uz asi un vektora skaitliskā projekcija uz asi.

Ja mums ir L ass un nulles vektors A B →, tad varam konstruēt vektoru A 1 B 1 ⇀, apzīmējot tā punktu A 1 un B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 būs vektora A B → projekcija uz L.

1. definīcija

Vektora projekcija uz asi ir vektors, kura sākums un beigas ir dotā vektora sākuma un beigu projekcijas. n p L A B → → ir ierasts apzīmēt projekciju A B → uz L. Lai izveidotu projekciju uz L, perpendikulus nomet uz L.

1. piemērs

Vektora projekcijas piemērs uz asi.

Koordinātu plaknē O x y ir norādīts punkts M 1 (x 1, y 1). Lai attēlotu punkta M 1 rādiusa vektoru, ir jākonstruē projekcijas uz O x un O y. Mēs iegūstam vektoru (x 1, 0) un (0, y 1) koordinātas.

Ja runājam par a → projekciju uz nulli b → vai a → projekciju virzienā b → , tad ar to domājam a → projekciju uz asi, ar kuru sakrīt virziens b →. A → projekcija uz taisni, ko nosaka b →, tiek apzīmēta ar n p b → a → → . Ir zināms, ka tad, kad leņķi starp a → un b → , n p b → a → → un b → var uzskatīt par līdzvirziena. Gadījumā, ja leņķis ir neass, n p b → a → → un b → ir pretējos virzienos. Perpendikulitātes situācijā a → un b →, un a → ir nulle, a → projekcija virzienā b → ir nulles vektors.

Vektora projekcijas uz asi skaitliskā pazīme ir vektora skaitliskā projekcija uz doto asi.

2. definīcija

Vektora skaitliskā projekcija uz asi ir skaitlis, kas ir vienāds ar dotā vektora garuma reizinājumu ar leņķa kosinusu starp doto vektoru un vektoru, kas nosaka ass virzienu.

A B → skaitliskā projekcija uz L ir apzīmēta ar n p L A B → , bet a → uz b → - n p b → a → .

Pamatojoties uz formulu, iegūstam n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , no kurienes a → ir vektora garums a → , a ⇀ , b → ^ ir leņķis starp vektoriem a → un b → .

Iegūstam skaitliskās projekcijas aprēķina formulu: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Tas ir piemērojams zināmiem garumiem a → un b → un leņķim starp tiem. Formula ir piemērojama zināmām koordinātām a → un b →, taču ir arī vienkāršota forma.

2. piemērs

Noskaidrojiet a → skaitlisko projekciju uz taisnes virzienā b →, kuras garums a → ir vienāds ar 8 un leņķis starp tām ir 60 grādi. Pēc nosacījuma mums ir a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Tas nozīmē, ka skaitliskās vērtības aizstājam formulā n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atbilde: 4.

Ja ir zināms cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mums ir a → , b → kā a → un b → skalārais reizinājums. Sekojot formulai n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , varam atrast skaitlisko projekciju a →, kas vērsta gar vektoru b → un iegūt n p b → a → = a → , b → b → . Formula ir līdzvērtīga rindkopas sākumā sniegtajai definīcijai.

3. definīcija

Vektora a → skaitliskā projekcija uz asi, kas sakrīt virzienā ar b → ir vektoru a → un b → skalārās reizinājuma attiecība pret garumu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → ir piemērojama, lai atrastu a → skaitlisko projekciju uz taisni, kas sakrīt virzienā ar b → , ar zināmām a → un b → koordinātām.

3. piemērs

Dots b → = (- 3 , 4) . Atrodiet skaitlisko projekciju a → = (1, 7) uz L.

Risinājums

Koordinātu plaknē n p b → a → = a → , b → b → ir forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , ar a → = (a x , a y ) un b → = b x , b y . Lai atrastu vektora a → skaitlisko projekciju uz L asi, nepieciešams: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atbilde: 5.

4. piemērs

Atrodiet a → projekciju uz L, kas sakrīt ar virzienu b →, kur ir a → = - 2, 3, 1 un b → = (3, - 2, 6). Trīsdimensiju telpa ir norādīta.

Risinājums

Doti a → = a x , a y , a z un b → = b x , b y , b z , mēs aprēķinām skalāro reizinājumu: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Garumu b → atrod, izmantojot formulu b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . No tā izriet, ka skaitliskās projekcijas a → noteikšanas formula būs šāda: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Aizvietojiet skaitliskās vērtības: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atbilde: - 67.

Apskatīsim saikni starp a → uz L un projekcijas garumu a → uz L. Nozīmēsim asi L, pievienojot a → un b → no punkta uz L, pēc kura novelkam perpendikulāru līniju no gala a → uz L un uzvelkam projekciju uz L. Ir 5 attēla varianti:

Pirmkārt gadījums ar a → = n p b → a → → nozīmē a → = n p b → a → → , tātad n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Otrkārt gadījumā tiek izmantots n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , kas nozīmē n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trešais gadījums izskaidro, ka, ja n p b → a → → = 0 → mēs iegūstam n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tad n p b → a → → = 0 un n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ceturtais gadījums parāda n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seko n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Piektais gadījums parāda a ​​→ = n p b → a → → , kas nozīmē a → = n p b → a → → , tāpēc mums ir n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4. definīcija

Vektora a → skaitliskajai projekcijai uz L asi, kas ir vērsta tāpat kā b →, ir šāda vērtība:

• vektora a → projekcijas garums uz L, ar nosacījumu, ka leņķis starp a → un b → ir mazāks par 90 grādiem vai vienāds ar 0: n p b → a → = n p b → a → → ar nosacījumu 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulle ar nosacījumu, ka a → un b → ir perpendikulāri: n p b → a → = 0, kad (a → , b → ^) = 90 °;
• projekcijas a → garums uz L, reizināts ar -1, ja ir vektoru a → un b → strups vai taisns leņķis: n p b → a → = - n p b → a → → ar nosacījumu 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5. piemērs

Ņemot vērā projekcijas garumu a → uz L, vienāds ar 2. Atrodiet skaitlisko projekciju a → ar nosacījumu, ka leņķis ir 5 π 6 radiāni.

Risinājums

No nosacījuma ir skaidrs, ka šis leņķis ir neass: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atbilde: - 2.

6. piemērs

Dota plakne O x y z ar vektora garumu a → vienāds ar 6 3, b → (- 2, 1, 2) ar 30 grādu leņķi. Atrodiet projekcijas a → koordinātas uz L asi.

Risinājums

Pirmkārt, mēs aprēķinām vektora a → skaitlisko projekciju: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pēc nosacījuma leņķis ir akūts, tad skaitliskā projekcija a → = vektora a → projekcijas garums: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis gadījums parāda, ka vektori n p L a → → un b → ir vienā virzienā, kas nozīmē, ka ir skaitlis t, kuram ir patiesa vienādība: n p L a → → = t · b → . No šejienes mēs redzam, ka n p L a → → = t · b → , kas nozīmē, ka mēs varam atrast parametra t vērtību: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tad n p L a → → = 3 · b → ar vektora a → projekcijas koordinātām uz L asi, kas vienāda ar b → = (- 2 , 1 , 2) , kur vērtības jāreizina ar 3. Mums ir n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atbilde: (- 6, 3, 6).

Jāatkārto iepriekš apgūtā informācija par vektoru kolinearitātes nosacījumu.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Atbilde:

Projekcijas īpašības:

Vektoru projekcijas īpašības

1. īpašums.

Divu vektoru summas projekcija uz asi ir vienāda ar vektoru projekciju summu uz to pašu asi:

Šis īpašums ļauj aizstāt vektoru summas projekciju ar to projekciju summu un otrādi.

2. īpašums. Ja vektoru reizina ar skaitli λ, tad tā projekciju uz asi arī reizina ar šo skaitli:

3. īpašums.

Vektora projekcija uz l asi ir vienāda ar vektora moduļa un leņķa starp vektoru un asi kosinusa reizinājumu:

Orth ass. Vektora dekompozīcija koordinātu vienību vektoros. Vektoru koordinātas. Koordinātu īpašības

Atbilde:

Asu vienību vektori.

Taisnstūra koordinātu sistēmu (jebkura izmēra) apraksta arī ar vienību vektoru kopu, kas ir saskaņota ar koordinātu asīm. Vienību vektoru skaits ir vienāds ar koordinātu sistēmas izmēru, un tie visi ir perpendikulāri viens otram.

Trīsdimensiju gadījumā parasti tiek apzīmēti vienību vektori

Un var izmantot arī bultu simbolus un.

Šajā gadījumā taisnās koordinātu sistēmas gadījumā ir derīgas šādas formulas ar vienību vektoru vektoru reizinājumiem:

Vektora dekompozīcija koordinātu vienību vektoros.

Koordinātu ass vienības vektoru apzīmē ar , asis ar , asis ar (1. att.)

Jebkuram vektoram, kas atrodas plaknē, notiek šāda izplešanās:

Ja vektors kas atrodas telpā, tad koordinātu asu izplešanās vienību vektoros ir šāda:

Vektoru koordinātas:

Lai aprēķinātu vektora koordinātas, zinot tā sākuma A koordinātas (x1; y1) un gala B koordinātas (x2; y2), no beigu koordinātām ir jāatņem sākuma koordinātas: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinātu īpašības.

Aplūkosim koordinātu līniju ar sākumpunktu punktā O un vienības vektoru i. Tad jebkuram vektoram a uz šīs līnijas: a = axi.

Skaitļa asi sauc par vektora a koordinātu uz koordinātu ass.

1. īpašums. Pievienojot vektorus uz ass, tiek pievienotas to koordinātas.

2. īpašums. Ja vektoru reizina ar skaitli, tā koordināte tiek reizināta ar šo skaitli.

Vektoru punktu reizinājums. Īpašības.

Atbilde:

Divu vektoru, kas atšķiras no nulles, skalārais reizinājums ir skaitlis

vienāds ar šo vektoru reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu.

Īpašības:

1. Skalārajam reizinājumam ir komutatīva īpašība: ab=ba

Koordinātu vienību vektoru skalārais reizinājums. Ar to koordinātām norādīto vektoru skalārās reizinājuma noteikšana.

Atbilde:

Vienības vektoru punktu reizinājums (×).

(X)	es	Dž	K
es
Dž
K

Ar to koordinātām norādīto vektoru skalārās reizinājuma noteikšana.

Izmantojot formulu, var aprēķināt divu vektoru skalāro reizinājumu ar to koordinātām

Divu vektoru krustreizinājums. Vektorprodukta īpašības.

Atbilde:

Trīs nekopplanāri vektori veido labās puses trīskāršu, ja no trešās puses beigām rotācija no pirmā vektora uz otro tiek veikta pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Ja pulksteņrādītāja virzienā, tad pa kreisi, ja nē, tad pretējā virzienā (. parādiet, kā viņš rādīja ar "rokturiem")

Vektora krustreizinājums A uz vektoru b sauc par vektoru no kuriem:

1. Perpendikulāri vektoriem A Un b

2. Tā garums skaitliski vienāds ar izveidotā paralelograma laukumu a Un b vektori

3. vektori, a, b, Un c veido vektoru labās puses tripletu

Īpašības:

1.

3.

4.

Koordinātu vienību vektoru vektorreizinājums. Vektoru reizinājuma noteikšana pēc to koordinātām.

Atbilde:

Koordinātu vienību vektoru vektorreizinājums.

Vektoru reizinājuma noteikšana pēc to koordinātām.

Pieņemsim, ka vektori a = (x1; y1; z1) un b = (x2; y2; z2) ir doti pēc to koordinātām taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā O, i, j, k, un trīskāršais i, j, k ir labrocis.

Izvērsīsim a un b bāzes vektoros:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Izmantojot vektora reizinājuma īpašības, mēs iegūstam

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Pēc vektora reizinājuma definīcijas mēs atrodam

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Ņemot vērā šīs vienādības, formulu (1) var uzrakstīt šādi:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formula (2) sniedz divu vektoru vektora reizinājuma izteiksmi, kas norādīta ar to koordinātām.

Iegūtā formula ir apgrūtinoša, izmantojot determinantu apzīmējumus, varat to uzrakstīt citā formā, kas ir ērtāka iegaumēšanai:

Parasti formulu (3) raksta vēl īsāk: