IeejaFunkcija Define Set parāda kopu. Displeji
Tagad izpētīsim dažus jautājumus, kas saistīti ar kopu attiecībām.
Mēs teiksim, ka starp komplektiem ir dots attieksme(ir attiecībās), ja daži (iespējams, visi) elementi no atbilst dažiem elementiem no. Ja kopa ir attiecībās ar kopu, mēs rakstīsim:
Ja tajā pašā laikā elements ir saistīts ar elementu, mēs to apzīmēsim
Definīcija 1.1.2. Attiecības starp kopām sauc displejs, ja katram no tiem ir piešķirts viens un tikai viens elements (skat. 1.1.2. un 1.1.3. att.). Specializējoties kopu raksturam, rodas īpaši kartējumu veidi, kuriem ir īpašs nosaukums “funkcija”, " vektora funkcija", "operators", "mērījums", "funkcionāls" utt. Ar tiem mēs saskarsimies vēlāk.
Lai apzīmētu funkciju (kartēšanu) no v, mēs izmantosim apzīmējumu
1.1.2.att. Displejs 1.1.3. att. Sakarība, kas nav
displejs
Definīcija 1.1.3. Ja ir elements no, tad tam atbilstošo elementizu sauc par tā attēlu (kad tas tiek rādīts), bet visu to kopu, kam sauc par prototipu un apzīmē (sk. 1.1.4. att.).
1.1.4.att. Prototipsb
Definīcija 1.1.4. Kartēšanu sauc viens pret vienu kartēšanu, ja katram elementam ir unikāls attēls zem kartēšanas un katram elementam ir unikāls apgrieztais attēls zem šīs kartēšanas.
1.1.5.att. Individuāla kartēšana
Tālāk mēs apskatīsim tikai kartējumus, jo ir metodes, kas samazina daudzvērtību kartējumus uz vienvērtībām, ko mēs vienkārši saucam par kartējumiem.
Kartēšanas jēdzienam ir izšķiroša nozīme matemātikā, jo īpaši matemātiskajā analīzē centrālo vietu ieņem jēdziens funkcijas, kas ir vienas skaitliskās kopas kartēšana ar citu.
1.7. Komplekta jauda
Pētot kopu attiecības, lielu interesi rada kopu “apjoms”, elementu skaits tajās. Bet runāt par elementu skaitu ir saprotami un pamatoti, ja šis skaitlis ir galīgs. Tiks izsauktas kopas, kas sastāv no ierobežota elementu skaita galīgais . Tomēr daudzas no matemātikā aplūkotajām kopām nav galīgas, piemēram, reālo skaitļu kopa, plaknes punktu kopa, noteiktā segmentā definētu nepārtrauktu funkciju kopa utt. Lai kvantitatīvi raksturotu bezgalīgas (un pat galīgas) kopas, kopu teorija izmanto jēdzienu komplekta jauda .
Mēs teiksim, ka komplektiem ir tāda pati jauda , ja ir savstarpēja kartēšana no kopas uz kopu (ņemiet vērā, ka šajā gadījumā ir arī viena pret vienu kartēšana no kopas B uz kopu A).
Ja komplektiem ir vienāda kardinalitāte, tad teiksim, ka tās ekvivalents , tas ir apzīmēts: .
Ļaujiet būt patvaļīgas kopas, tad
tie. jebkura kopa ir līdzvērtīga pati sev; ja kopa ir līdzvērtīga kopai, tad ekvivalenta; ja, visbeidzot, kopa ir līdzvērtīga kopai, kas ir līdzvērtīga kopai, tad ekvivalents.
Tiek izsaukta kopa, kas ir ekvivalenta kādai pareizai pašai apakškopai bezgalīgs .
Ja galīgajām kopām ir atšķirīgs elementu skaits, tad ir skaidrs, ka viena no tām satur mazāk elementu nekā otra. Kā šajā ziņā var salīdzināt bezgalīgas kopas? Teiksim, ka kopas kardinalitāte ir mazāka par kopas kardinalitāti, ja ir kopas apakškopa, kas ir līdzvērtīga kopai, bet pašas kopas nav līdzvērtīgas.
Galīgas kopas kardinalitāte vienāds ar tā elementu skaitu. Bezgalīgām kopām jēdziens "kardinalitāte" ir jēdziena "elementu skaits" vispārinājums.
Norādīsim dažas kopu klases, kas ir noderīgas turpmākajam.
Komplektu sauc par saskaitāmu , ja tai ir tāda pati kardinalitāte kā kādai kopas apakškopai (naturālo skaitļu kopai). Saskaitāma kopa var būt ierobežota vai bezgalīga.
Bezgalīga kopa ir saskaitāma tad un tikai tad, ja tā ir līdzvērtīga naturālo skaitļu kopai.
Ņemiet vērā, ka jebkura kopa, kuras kardinalitāte ir mazāka par bezgalīgas saskaitāmas kopas kardinalitāti, ir ierobežota.
Reālo skaitļu kopai intervālā no nulles līdz vienam ir jaudas nepārtrauktība , un pati par sevi bieži tiek saukta kontinuums . Šīs kopas kardinalitāte ir lielāka nekā bezgalīgas saskaitāmas kopas kardinalitāte. Rodas jautājums: vai ir kopa, kuras kardinalitāte ir lielāka par bezgalīgas saskaitāmas kopas kardinalitāti, bet mazāka par kontinuuma kardinalitāti? Šo problēmu 1900. gadā formulēja viens no pasaules izcilākajiem matemātiķiem Deivids Hilberts. Izrādījās, ka šai problēmai ir nedaudz negaidīta atbilde: mēs varam pieņemt, ka šāda kopa pastāv, vai arī mēs varam pieņemt, ka tā neeksistē. Rezultātā iegūtās matemātiskās teorijas būs konsekventas. Par šī fakta pierādījumu ziņoja amerikāņu zinātnieks Koens 1965. gadā Pasaules matemātiķu kongresā Maskavā. Ņemiet vērā, ka situācija ar šo problēmu atgādina situāciju ar Eiklida piekto postulātu: caur punktu, kas atrodas ārpus noteiktas taisnes, var novilkt tikai vienu taisni, kas ir paralēla dotajai. Kā parādīja Lobačevskis, šī postulāta noraidīšana nerada pretrunas. Mēs varam konstruēt ģeometrijas, kurām šis postulāts ir spēkā, un ģeometrijas, kurām tas nav patiess.
Noslēgumā mēs sniedzam vairākus piemērus, kas parāda kopu līdzvērtības pierādīšanas metodoloģiju.
Piemērs 1.11. Veselo skaitļu kopa ir saskaitāma.
Ir skaidrs, ka attiecīgā kopa ir bezgalīga (naturālo skaitļu kopa ir tās apakškopa).
Lai pierādītu veselu skaitļu kopas saskaitāmību, ir jākonstruē viens pret vienu kartējums starp naturālo skaitļu kopu un attiecīgo kopu. Nepieciešamo kartējumu nosaka noteikums: veselus skaitļus sakārtojam šādi:
un pārnumurējiet tos ar naturāliem skaitļiem, piešķirot tiem skaitļus (tie norādīti blakus attiecīgajiem veseliem skaitļiem). Acīmredzot katrs vesels skaitlis saņems atšķirīgu skaitli, savukārt dažādi skaitļi saņems dažādus skaitļus. Ir arī otrādi: katram naturālam skaitlim (katram skaitlim) zem šī skaitļa ir arī viens vesels skaitlis. Tādējādi tiek izveidota vajadzīgā kartēšana viens pret vienu.
Piemērs 1.12. Racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma.
Ir zināms, ka jebkuru racionālo skaitli var attēlot kā nereducējamu daļskaitli p/q, izmantojot šo attēlojumu, mēs sakārtosim racionālos skaitļus saskaņā ar shēmu:
. . . . . .
Pārnumurēsim šos skaitļus aptuveni tādā pašā veidā kā iepriekšējā piemērā (cipari ir norādīti augšpusē iekavās blakus cipariem). Ir viegli pārbaudīt, vai formulētais racionālo skaitļu numerācijas noteikums nodrošina nepieciešamo naturālo skaitļu kopas kartēšanu viens pret vienu racionālo skaitļu kopai.
Piemērs 1.13. Saskaitāmu saskaitāmu kopu kopas savienība ir saskaitāma kopa.
Šī fakta pierādījums ir līdzīgs apgalvojuma pierādījumam iepriekšējā piemērā.
Noslēgumā mēs sniedzam svarīgu paziņojumu turpmākai diskusijai. Bet šim nolūkam mums ir nepieciešama vēl viena darbība komplektos.
Tiešais komplektu produkts Un( Dekarta produkts ) ir visu sakārtoto pāru kopa , kur un. Šis komplekts ir norādīts. Tādējādi:
Apzīmēsim faktoru reizinājumu.
Teorēma 1.1. jebkurai bezgalīgai kopai Turklāt.
Jo īpaši, t.i. punktu kopai uz taisnes ir tāda pati kardinalitāte kā plaknes punktu kopai. Turklāt telpā ir tik daudz punktu, cik uz taisnes.
Ar to noslēdzas mūsu iepazīšanās ar matemātiskās loģikas un kopu teorijas pamatjēdzieniem – mūsdienu matemātikas pamatiem. Atzīmēsim, ka daudzi šo teoriju aspekti diemžēl palika ārpus šīs nodaļas darbības jomas, piemēram, ar un.
Surjekcija, injekcija un bijekcija
Noteikumu, kas nosaka kartējumu f: X (vai funkciju /), var nosacīti attēlot ar bultiņām (2.1. att.). Ja kopā Y ir vismaz viens elements, uz kuru nenorāda neviena no bultiņām, tad tas norāda, ka funkcijas f vērtību diapazons neaizpilda visu kopu Y, t.i. f(X) C Y.
Ja vērtību diapazons / sakrīt ar Y, t.i. f(X) = Y, tad šādu funkciju sauc par surjektīvu) vai, īsi sakot, par surjekciju, un tiek teikts, ka funkcija / kartē kopu X uz kopu Y (atšķirībā no vispārējā gadījuma, kad kopa X kartē kopa Y saskaņā ar 2.1. definīciju). Tātad, / : X ir surjekcija, ja Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Šajā gadījumā attēlā vismaz viena bultiņa ved uz katru kopas Y elementu (2.2. att.). Šajā gadījumā vairākas bultiņas var novest pie dažiem elementiem no Y. Ja ne vairāk kā viena bultiņa ved uz jebkuru elementu y € Y, tad / sauc par injicēšanas funkciju jeb injekciju. Šī funkcija ne vienmēr ir surjektīva, t.i. bultiņas nenoved uz visiem kopas Y elementiem (2.3. att.).
- Tātad funkcija /: X -Y Y ir injekcija, ja kartēšanas laikā ir kādi divi atšķirīgi elementi no X / divi dažādi elementi no Y vai Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjekcija, injekcija un bijekcija. Reversā kartēšana. Kartējumu sastāvs ir kopu produkts. Displeja grafiks. Kartējumu /: X->Y sauc par bijektīvu jeb divkāršu izkliedi, ja katrs y 6 Y elements ir kāda attēla attēls un vienīgais elements no X, t.i. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.
Konkrētā gadījumā kopas X un Y var sakrist (X = Y). Tad bijektīvā funkcija iezīmēs kopu X ar sevi. Kopas bijekciju uz sevi sauc arī par transformāciju. 2.3. Apgrieztā kartēšana Ļaujiet /: X -? Y ir noteikta bijekcija un pieņemsim, ka y € Y. Apzīmēsim ar /_1(y) vienīgo elementu x € X tā, ka /(r) = y. Tādējādi mēs definējam kādu kartējumu 9: Y Xу, kas atkal ir bijekcija. To sauc par apgriezto kartēšanu vai apgriezto bijekciju uz /. Bieži vien to sauc arī vienkārši par apgriezto funkciju un apzīmē ar /"*. 2.5. attēlā funkcija d ir tieši / apgrieztā funkcija, t.i., d = f"1.
Problēmu risinājumu piemēri
Kartējumi (funkcijas) / un ir savstarpēji apgriezti. Ir skaidrs, ka, ja funkcija nav bijekcija, tad tās apgrieztā funkcija neeksistē. Patiešām, ja / nav injektīvs, tad kāds elements y € Y var atbilst vairākiem elementiem x no kopas X, kas ir pretrunā ar funkcijas definīciju. Ja / nav surjektīvs, tad Y ir elementi, kuriem X nav priekšattēlu, t.i. šiem elementiem apgrieztā funkcija nav definēta. Piemērs 2.1. A. Pieņemsim, ka X = Y = R — reālu skaitļu kopa. Funkcija /, kas definēta ar formulu y = For - 2, i,y € R, ir bijekcija. Apgrieztā funkcija ir x = (y + 2)/3. b. Reālā mainīgā x reālā funkcija f(x) = x2 nav surjektīva, jo negatīvie skaitļi no Y = R nav elementu attēli no X = K kā /: Γ -> Y. Piemērs 2.2. Lai A" = R un Y = R+ ir pozitīvo reālo skaitļu kopa. Funkcija f(x) = ax, a > 0, af 1, ir bijekcija. Apgrieztā funkcija būs Z"1 (Y) = 1°8a Y
- Surjekcija, injekcija un bijekcija. Reversā kartēšana. Kartējumu sastāvs ir kopu produkts. Displeja grafiks. 2.4. Kartējumu sastāvs Ja f:X-*Y un g:Y-*Zy, tad kartējumu (p:X -+Z, kas definēts katram a: 6 A" pēc formulas = sauc par kartējumu kompozīciju (superpozīciju). (funkcijas) / un d> vai kompleksa funkcija, un to apzīmē ar rho/ (2.6. att.).
- Tādējādi sarežģīta funkcija pirms f īsteno noteikumu: i Lietot / vispirms un pēc tam di, t.i. operāciju sastāvā “pirms / jāsāk ar operāciju / kas atrodas labajā pusē. Ņemiet vērā, ka sastāvs Fig. 2.6 kartējumi ir asociatīvi, t.i., ja /: X -+Y, d: Y Z un h: Z-*H>, tad (hog)of = = ho(gof)i, ko ir vieglāk rakstīt formā ho uz /. Pārbaudīsim to šādi: Jebkurā wK "oaicecmee X" ir definēts kartējums 1x -X X, ko sauc par identisku, bieži vien arī apzīmē ar idx un dod formulu Ix(x) = x Vx € A Tā -darbība ir tāda tas atstāj visu savās vietās.
Katru punktu M var saistīt ar reālu skaitļu pāri (i, y), kur x ir punkta Mx koordināte uz koordinātu ass Ox, bet y ir punkta Mu koordināte uz koordinātu ass Oy. Punkti Mx un Mu ir perpendikulu pamati, kas nolaisti no punkta M attiecīgi uz Ox un Oy asīm. Skaitļus x un y sauc par punkta M koordinātām (izvēlētajā koordinātu sistēmā), un x par punkta M abscisi, bet y ir šī punkta ordinātas. Ir skaidrs, ka katrs reālo skaitļu pāris (a, b) a, 6 6R atbilst plaknes punktam M, kura koordinātes ir šie skaitļi. Un otrādi, katrs plaknes punkts M atbilst reālo skaitļu pārim (a, 6) a un 6. Vispārīgā gadījumā pāri (a, b) un (6, a) nosaka dažādus punktus, t.i. Ir svarīgi, kurš no diviem cipariem a un b ir pirmais pāra apzīmējumā. Tādējādi mēs runājam par sakārtotu pāri. Šajā sakarā pāri (a, 6) un (6, a) tiek uzskatīti par vienādiem viens ar otru, un tie definē vienu un to pašu punktu plaknē, ja tikai a = 6. Surjekcija, injekcija un bijekcija. Reversā kartēšana.
Kartējumu sastāvs ir kopu produkts. Displeja grafiks. Visu reālo skaitļu pāru kopa, kā arī plaknes punktu kopa tiek apzīmēta ar R2. Šis apzīmējums ir saistīts ar svarīgo kopu teorijas jēdzienu par tiešu (vai dek-artova) kopu reizinājumu (bieži viņi vienkārši runā par kopu reizinājumu). Definīcija 2.2. Kopu A un B reizinājums ir iespējamo sakārtoto pāru (x, y) kopa Ax B, kur pirmais elements tiek ņemts no A un otrais no B, tā ka divu pāru vienādība (x, y) un (&", y") ir noteikti nosacījumi x = x" un y = y7. Pāri (i, y) un (y, x) tiek uzskatīti par atšķirīgiem, ja xy. Tas ir īpaši svarīgi paturēt prātā, kad kopas A un B sakrīt, vispārīgā gadījumā A x B f In x A, t.i., patvaļīgu kopu reizinājums nav komutatīvs, bet tas ir sadalījums attiecībā uz kopu savienojumu, krustpunktu un starpību: kur apzīmē vienu no trim nosauktajām. Operācijas Kopu reizinājums būtiski atšķiras no norādītajām operācijām ar divām kopām, kuras elementi (ja tā nav tukša) pieder vienai vai abām sākotnējām kopām, savukārt kopu reizinājuma elementi pieder jaunajai. kopa un ir cita veida objekti, salīdzinot ar oriģinālo komplektu elementiem.
Mēs varam ieviest vairāk nekā divu komplektu produkta jēdzienu. Kopas (A x B) x C un A*x (B x C) tiek identificētas un vienkārši apzīmētas A x B x C, tātad. Darbi Ah Au Ah Ah Ah Ah utt. parasti apzīmē ar A2, A3 utt. Acīmredzot plakni R2 var uzskatīt par divu reālo skaitļu kopas kopiju reizinājumu R x R (tātad plaknes punktu kopa ir apzīmēta kā divu punktu kopu reizinājums uz skaitļu līnijas). Punktu kopa ģeometriskā (trīsdimensiju) telpā atbilst reizinājumam R x R x R no trīs punktu kopas kopijām uz skaitļa līnijas, kas apzīmēta ar R3.
- N reālo skaitļu kopu reizinājumu apzīmē ar Rn. Šī kopa attēlo visas iespējamās n reālo skaitļu X2) xn £ R kolekcijas (xj, X2, xn), un jebkurš punkts x* no Rn ir šāds reālo skaitļu xn £ K* kopums (xj, x, x*).
- n patvaļīgu kopu reizinājums ir sakārtotu n (parasti neviendabīgu) elementu kopu kopa. Šādām kopām tiek izmantoti nosaukumi kortežs vai n-ka (izrunā “enka”). Piemērs 2.3. Lai A = (1, 2) un B = (1, 2), var identificēt kopu A x B četri plaknes R2 punkti, kuru koordinātas ir norādītas, uzskaitot šīs kopas elementus Ja C = (1,2) un D = (3,4), tad 2.4. piemērā kopu E x F ģeometriskā interpretācija un F x E attēlots 2.8. # Kartēšanai /: X varam izveidot sakārtotu pāru kopu (z, y), kas ir tiešās reizinājuma X x Y apakškopa.
- Šādu kopu sauc par kartējuma f grafiku (vai funkcijas i* grafiku" - Piemērs 2.5. XCR un Y = K gadījumā katrs sakārtotais pāris norāda punkta koordinātas plaknē R2. Ja X ir skaitļu taisnes R intervāls, tad funkcijas grafiks var attēlot kādu taisni (2.9. att.) Skaidrs, ka ar XCR2 un Y = R funkcijas grafiks ir noteikta punktu kopa R3, kas var attēlot noteiktu virsmu (2.10. att.).
Tiek izsaukts displejs %%f%%. injicējams,
ja jebkuram elementam %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, izriet, ka %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \visam x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$
Citiem vārdiem sakot, kartēšana %%f%% ir injicējoša, ja atšķiras arī dažādu elementu attēli no %%X%%.
Piemērs
Funkcija %%f(x) = x^2%%, kas definēta kopā %%\mathbb(R)%%, nav injektīva, jo ar %%x_1 = -1, x_2 = 1%% mēs iegūstam tas pats funkcijas vērtība %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.
Surjektīvā kartēšana
Tiek izsaukts displejs %%f%%. surjektīvs, ja katram elementam %%y \in Y%% ir elements %%x \in X%% ar nosacījumu, ka %%f(x) = y%%. $$ \visam y \in Y~\pastāv x \in X: f(x) = y. $$
Citiem vārdiem sakot, kartējums %%f%% ir surjektīvs, ja katrs elements %%y \in Y%% ir vismaz viena elementa %%x \in X%% attēls.
Piemērs
Kartēšana %%f(x) = \sin(x)%%, kas definēta kopā %%\mathbb R%%, ar kopu %%Y = [-2,2]%%, nav surjektīva, jo elementam %%y = 2 \in Y%% nevar atrast %%x \in X%% apgriezto attēlu.
Bijektīvā kartēšana
Tiek izsaukts displejs %%f%%. objektīvs, ja tas ir injicējams un surjektīvs. Tiek saukta arī bijektīvā kartēšana viens pret vienu vai transformācija.
Parasti frāzes “injektīvā kartēšana”, “surjektīvā kartēšana” un “bijektīvā kartēšana” tiek aizstātas attiecīgi ar “injekcija”, “uzstādīšana” un “bijekcija”.
Reversā kartēšana
Lai %%f: X \to Y%% ir daži bijekcija un ļaujiet %%y \in Y%%. Apzīmēsim ar %%f^(-1)(y)%% vienīgo elementu %%x \in X%%, lai %%f(x) = y%%. Tādējādi mēs definēsim dažus jaunus displejs%%g: Y \līdz X%%, kas atkal ir bijekcija. Viņi viņu sauc apgrieztā kartēšana.
Piemērs
Lai %%X, Y = \mathbb R%% ir reālo skaitļu kopa. Funkcija %%f%% tiek dota pēc formulas %%y = 3x + 3%%. Vai šai funkcijai ir inverss? Ja jā, tad kuru?
Lai noskaidrotu, vai noteiktai funkcijai ir inverss, jums jāpārbauda, vai tā ir bijekcija. Lai to izdarītu, pārbaudīsim, vai šī kartēšana ir injicējams Un surjektīvs.
- Pārbaudīsim injekciju. Ļaujiet %%x_1 \neq x_2%%. Pārbaudīsim, vai %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, tas ir, %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Pieņemsim pretējo, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Tad izrādās, ka %%x_1 = x_2%%. Mums radās pretruna, jo %%x_1 \neq x_2%%. Tāpēc %%f%% ir injekcija.
- Pārbaudīsim surjekcija. Ļaujiet %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Atradīsim elementu %%x \in X = \mathbb(R)%% ar nosacījumu, ka %%f(x) = y%%, tas ir, %%3x + 3 = y%%. Šajā vienādībā ir norādīts elements %%y \in \mathbb(R)%%, un mums jāatrod elements %%x%%. Acīmredzot $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Tāpēc kartējums %%f%% ir surjektīvs.
Tā kā %%f%% ir injekcija un izvirzīšana, %%f%% ir bijekcija. Un attiecīgi apgrieztā kartēšana ir %%x = \frac(y-3) (3)%%.
KARTĒŠANAS KOMPLEKTS §1. Pamatdefinīcijas
Definīcija. Lai A un B ir divas kopas. Viņi saka, ka kopas A kartējums f uz B tiek dots, ja ir noteikts likums, saskaņā ar kuru jebkurš elements a no A ir saistīts ar vienu elementu b no kopas B:
Kartējumus sauc arī par funkcijām.
Mēs izmantosim šādu apzīmējumu:
ƒ : A→ B. Kartējums f pārņem kopu A uz B;
A f B. Kopa A tiek kartēta uz B, kad ir kartēta f.
Ja elements a, kad ir kartēts f, nonāk elementā b, tad ierakstiet f(a)=b (kreisais ieraksts) vai af=b (labais ieraksts). Elementu b sauc par elementa a attēlu zem kartējuma f; elements a ir b apgrieztais attēls
šo displeju. Kopa ( f (a ) | a A ) = f (A ) ir kopas A attēls zem kartējuma f. Pieraksti to
f(A)B.
A B
f f(A)
A - domēns kartēšana f; IN - diapazons f kartēšana (dažreiz - piemēram, skolas matemātikā - vērtību diapazons tiek uzskatīts par f(A), bet mēs to uzskatīsim par B).
Ņemiet vērā, ka mēs ņemam vērā tikai vienas vērtības kartējumus.
No visiem displejiem īpaši izceļas šādi veidi:
1. Surjekcija (kartēšana "ieslēgta") ir tāds kartējums f : A → B, ka f (A ) = B . Izvirzīšanas režīmā katram elementam no kopas B ir vismaz viens apgriezts attēls.
2. Injekcija – kartēšana, kurā dažādi elementi tiek pārveidoti dažādos, t.i. ja a, a 1 A un a ≠ a 1, tad f (a) ≠ f (a 1).
f(a1) |
|||||
3. Bijekcija vai viens pret vienu kartēšanu ir kartēšana, kas ir gan injekcija, gan izsekošana.
Displeju piemēri:.
1. Lai A ir jebkura kopa un B kopa, kas sastāv no viena elementa, t.i. B=(b).
A . b
Kartējums f (a) = b, a A ir izteikums, jo f(A)=B.
2. Lai kopa A ir kāds plaknes segments, kopa B ir taisne. No katra segmenta A punkta mēs nolaižam perpendikulu taisnei B un saliekam šo perpendikulu pamatus atbilstoši segmenta A punktiem.
A a
φ(a) V
Apzīmēsim šo kartējumu ar φ. Acīmredzot,
ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.
Tāpēc kartēšana φ ir injekcija (bet nav izteikšana).
3. Kopa A ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza, bet B — tās kājiņa. Saistīsim jebkuru hipotenūzas punktu ar tā projekciju uz kājas. Mēs iegūstam savstarpēju kartēšanu no A līdz B:
tie. f ir bijekcija.
Ņemiet vērā, ka šādi matemātika pierāda, ka hipotenūzas un kājas punktu “skaits” ir vienāds (precīzāk, šīm kopām ir vienāda kardinalitāte).
komentēt. Nav grūti izdomāt kartējumu, kas nav ne izteikums, ne injekcija, ne bijekcija.
4. Ja f ir jebkura reāla mainīgā funkcija, tad f ir kartējums no R uz R.
§2. Kartes reizināšana
Lai A, B, C ir trīs kopas un dotas divas kartes f : A → B un ϕ : B → C.
Definīcija 1. Šo kartējumu reizinājums ir kartējums, kas tiek iegūts to secīgas izpildes rezultātā.
ϕf
Ir divas ierakstīšanas iespējas.
1. Kreisais ieraksts. |
||
ƒ (a) = b, ϕ (b) = c. |
apzīmē ϕ f: |
|
Tad f un φ reizinājums būs |
tulkot no a līdz c, tam vajadzētu būt |
|
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c, ϕ f : A → C (skat. attēlu iepriekš). |
||
Pēc definīcijas (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ), |
tie. kartējumu produkts – |
šī ir sarežģīta funkcija |
iestatīts uz A. |
||
2. Labais ieraksts.
aƒ =b, bϕ =c. Tad a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,
f ϕ : A → C.
Mēs izmantosim kreiso apzīmējumu (ņemiet vērā, ka grāmatā tiek izmantots pareizais apzīmējums). Zemāk mēs apzīmēsim kartējumu reizinājumu ar f ϕ.
1. piezīme. No kartējumu reizināšanas definīcijas izriet, ka var reizināt nevis jebkurus kartējumus, bet tikai tos, kuru “vidējās” kopas ir vienādas. Piemēram, ja f : A → B ,ϕ : D → C , tad B=D kartējumus f un φ var reizināt, bet B≠D tas nav iespējams.
Kartēšanas reizināšanas īpašības
2. definīcija. Tiek uzskatīts, ka kartes f un g ir vienādas, ja to definīcijas domēni un vērtību diapazoni sakrīt, t.i. f : A → B , g : A → B un nosacījums ir izpildīts: a A ir patiess
vienādība f (a) = g (a).
1. Karšu reizināšana nav komutatīva. Citiem vārdiem sakot, ja fφ un φf pastāv, tad tie ne vienmēr ir vienādi.
Pieņemsim, piemēram, kopas A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) Aplūkosim reizinājumus:
(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,
(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).
Tāpēc funkcijas fφ un φf ir atšķirīgas.
2. Karšu reizināšana ir asociatīva.
Let f : A → B, ϕ : B → C, ψ : C → D. Pierādīsim, ka (ψϕ ) f
E x , f : R → R, ϕ : R → R .
un ψ (ϕ f ) pastāv un ir vienādi, t.i., (ψϕ ) f =
ψ (ϕ f) . (1)
Ir skaidrs, ka (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .
Lai pierādītu vienādību (1), saskaņā ar kartējumu vienādības definīciju, ir jāpārbauda, vai a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Kartēšanas reizināšanas definīcijas izmantošana (kreisajā ierakstā)
((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )), |
(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)
Jo vienādībās (3) un (4), ja labās puses ir vienādas, tad arī kreisās puses ir vienādas, t.i. vienādība (2) ir patiesa, un tad arī (1) ir patiesa.
2. piezīme. Reizināšanas asociativitāte ļauj mums unikāli noteikt trīs un pēc tam jebkura ierobežota faktoru reizinājumu.
vairāki priekšattēli A, vai priekšattēli vispār nav. Tomēr bijektīvajai kartei f var definēt pretējo.
Lai f : A → B ir bijekcija, f (a) = b, a A, b B. Tad jebkuram elementam b B pēc bijekcijas definīcijas zem kartējuma f ir unikāls apgrieztais attēls - tas ir elements a. Tagad mēs varam definēt f − 1 : B → A, iestatot f − 1 (b ) = a (b B ) . Ir viegli redzēt, ka f − 1 ir bijekcija.
Tātad katrai bijektīvajai kartēšanai ir apgrieztā vērtība.
§3. Iestatiet transformācijas
Tiek izsaukta jebkura kartēšana f : A → A komplekta transformācija A. Jo īpaši jebkura
reāla mainīgā funkcija ir kopas R transformācija.
Plaknes punktu kopas transformāciju piemēri ir plaknes rotācija, simetrija ap asi utt.
Tā kā transformācijas ir īpašs kartēšanas gadījums, tad viss, kas minēts iepriekš par kartēšanu, attiecas uz tām. Bet kopas A transformāciju reizināšanai ir arī īpašas īpašības:
1. jebkurai kopas A transformācijai f un φ pastāv reizinājums fφ un φf;
2. notiek kopas A identitātes transformācijaε: ε (a) = a, a A.
Ir viegli redzēt, ka jebkurai šīs kopas f transformācijai f ε = ε f = f, jo, piemēram, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Tas nozīmē, ka transformācija ε spēlē vienības elementa lomu, reizinot transformācijas.
vienādības ir viegli pārbaudāmas. Tādējādi apgrieztā transformācija, reizinot transformācijas, spēlē apgrieztā elementa lomu.
Displeji (funkcijas)
Funkcijas spēlē galveno lomu matemātikā, kur tās izmanto, lai aprakstītu jebkuru procesu, kurā vienas kopas elementi kaut kādā veidā tiek pārveidoti par citas kopas elementiem. Šādas elementu transformācijas ir pamatideja, kas ir ārkārtīgi svarīga visos skaitļošanas procesos.
Definīcija. Tiek izsaukta sakarība f uz AB displejs (funkcija) no A uz B, ja katram xA ir viens un tikai viens yB. iestatīt bināro attiecību ekvivalenci
f: AB vai y=f(x)
Kopu A sauc definīcijas joma. B komplekts - vērtību diapazons.
Ja y=f(x), tad tiek izsaukts x arguments, un y - funkcijas vērtība.
Ļaujiet f: AB, tad
definīciju komplekts Iespējas:
vairākas nozīmes Iespējas:
Funkcijas definīciju kopa ir definīcijas domēna apakškopa, t.i. Dom f A, un funkciju vērtību kopa ir funkciju diapazona apakškopa, t.i. Im f B. Ja, tad funkciju sauc par kopējo funkciju, un ja tā ir daļēja funkcija. Tādējādi Venna diagramma kalpo kā ērts funkcijas, kas definētas kopā A ar vērtībām komplektā B, ilustrācija.
Funkcijas noteikšanas metodes:
- 1) Verbāls.
- 2) Analītisks.
- 3) Izmantojot grafiku vai zīmējumu.
- 4) Izmantojot tabulas.
Definīcija. Ja MA, tad tiek izsaukta kopa f(M)=y f(x)=y kādam x no M veidā komplekti M.
Ja KB, tad tiek izsaukta kopa f -1 (K)=x f(x)K prototips komplekti K.
Definīcija Funkciju sauc par n-argumentu funkciju vai n-āru funkciju. Šī funkcija kartē korteži uz bB, .
Kartējumu (funkciju) īpašības.
1) Tiek izsaukts kartējums f: AB injicējams, ja tas kartē dažādus elementus no A uz dažādiem elementiem no B: .
Šo īpašību var parādīt, izmantojot Venna diagrammas.
2) Tiek izsaukts kartējums f: AB surjektīvs vai kartēšana visai kopai B, ja vismaz viens elements no A ir kartēts katram kopas B elementam: .
Šo īpašību var parādīt arī, izmantojot Venna diagrammas.
3) Tiek izsaukts kartējums f: AB, kas ir gan injektīvs, gan surjektīvs objektīvs vai viens pret vienu kartēšanu no kopas A uz kopu B.
Piemērs. Dosim mums kartējumu f: RR, kas ir definēts tā, ka. Uzziniet, kādas īpašības ir šai kartēšanai.
Risinājums. Funkcija f nav injicējoša, jo f (2) = f (2), bet 2 2.
Funkcija f arī nav surjektīva, jo nav reāla skaitļa x, kuram f (x) = 1.
Definīcija. Lai f ir kopas A bijektīvs kartējums kopai B. Ja mēs saistām katru elementu no B ar saistīto elementu no A, tad šāda atbilstība ir B kartēšana uz A. Šo kartēšanu apzīmē un sauc. apgrieztā kartēšana uz f.
Apgrieztajai kartēšanai ir dažas īpašības, kuras formulēsim nākamajā teorēmā.
3. teorēma. Ja f: AB ir bijekcija, tad
1) jebkuram y no B;
2) jebkuram x no A.
Pierādījums. 1) Ļaujiet yB un. Tad f(x)=y. Bet kopš
2) Līdzīgi tiek pierādīts, ka jebkuram x no A.
Definīcija. Kompozīcija (superpozīcija, darbs) kartējumus f: AB un g: BC sauc par kartējumu h:, ko raksta h=g f.
Šis funkciju superpozīcijas rakstīšanas veids ir izskaidrojams ar to, ka funkcijas apzīmējums parasti tiek rakstīts pa kreisi no argumentu saraksta:
