mājas / Žalūzijas/ Faktorizācija. Vairāki faktori Atdaliet vairākus polinoma piemēru faktorus ar risinājumu

Faktorizācija. Vairāki faktori Atdaliet vairākus polinoma piemēru faktorus ar risinājumu

1. definīcija. Ja polinoms f(x) pazūd, kad nezināmo aizstāj ar skaitli c, tad c sauc par polinoma f(x) sakni (vai vienādojumu f(x)=0).

1. piemērs. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

Skaitlis 1 ir f(x) sakne, un skaitlis 2 nav f(x) sakne, jo f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 un f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Izrādās, ka polinoma saknes ir saistītas ar tā dalītājiem.

Skaitlis c ir polinoma f(x) sakne tad un tikai tad, ja f(x) dalās ar x-c.

2. definīcija. Ja c ir polinoma f(x) sakne, tad f(x) dala ar x-c. Tad ir tāds naturāls skaitlis k, ka f(x) dalās ar (x-c) k, bet nedalās ar (x-c) k+1. Šo skaitli k sauc par polinoma f(x) saknes c reizinājumu, un pati sakne c ir šī polinoma k-kārtīgā sakne. Ja k=1, tad sakni c sauc par vienkāršu.

Lai atrastu polinoma f(x) saknes reizinājumu k, izmantojiet teorēmu:

Ja skaitlis c ir polinoma f(x) k-kārtīgā sakne, tad pie k>1 tā būs šī polinoma pirmā atvasinājuma (k-1) kārtīgā sakne; ja k=1, tad c nekalpos kā f "(x) sakne.

Sekas. Pirmo reizi polinoma f(x) k-reizes sakne nekalpos kā k-tā atvasinājuma sakne.

2. piemērs. Pārliecinieties, vai skaitlis 2 ir polinoma f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 sakne. Nosakiet tā daudzveidību.

Risinājums. Skaitlis 2 ir f(x) sakne, jo 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x) = 4x 3 -12x 2 +16, f "(2) = 4, 2 3 -12, 2 2 + 16 = 0;

f ""(x)=12x2-24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2) = 24∙2-24≠0.

Skaitlis 2 nav f"""(x) sakne pirmo reizi, tāpēc skaitlis 2 ir polinoma f(x) trīskārša sakne.

Dots polinoms f(x) ar pakāpi n≥1 ar vadošo koeficientu 1: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n un α 1 ,... ,α n ir tā saknes. Polinoma saknes un tā koeficientus saista ar formulām, ko sauc par Vieta formulām:

a 1 = -(α 1 +...+ α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Vietas formulas atvieglo polinoma rakstīšanu, ņemot vērā tā saknes.

3. piemērs. Atrodiet polinomu ar vienkāršām saknēm 2; 3 un dubultsakne –1.

Risinājums. Atradīsim polinoma koeficientus:

un 1 =– (2+3–1–1)=–3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

un 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Nepieciešamais polinoms ir x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.

3. definīcija. Polinoms f(x)ÌP[x] ar n pakāpi ir reducējams laukā P, ja to var sadalīt divu faktoru φ(x) un ψ(x) reizinājumā no P[x], kuru pakāpes ir mazākas par n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] sauc par nereducējamu virs lauka P, ja kādā no tā faktorizācijām no P[x] vienam no faktoriem ir 0 pakāpe, bet otram ir n pakāpe.

Pastāv šādas teorēmas:

Jebkuru polinomu, kura f(x) grāds nav nulle no gredzena P[x], var sadalīt nereducējamu faktoru reizinājumā no P[x] unikāli līdz nulles pakāpes faktoriem.

No tā viegli izriet, ka jebkuram polinomam f(х)ОР[x], kura pakāpe ir n, n≥1, notiek šāda sadalīšanās nereducējamos faktoros:

kur ir nereducējami polinomi P[x] ar vadošajiem koeficientiem, kas vienādi ar vienu. Šis polinoma paplašinājums ir unikāls.

Šādā paplašināšanā iekļautajiem nesamazināmajiem faktoriem nav jābūt visiem atšķirīgiem. Ja nereducējams polinoms izvērsumā (2) notiek tieši k reižu, tad to sauc par polinoma f(x) k-kārtīgu koeficientu.Ja koeficients P(x) šajā izvērsumā parādās tikai vienu reizi, tad to sauc par a. vienkāršs koeficients f(x) .

Ja izvērsumā (2) saliek identiskus faktorus, tad šo paplašinājumu var uzrakstīt šādā formā:

, (3)

kur faktori Р 1 (x),…, Р r (x) jau visi ir atšķirīgi. Rādītāji k 1 ,…,k r šeit ir vienādi ar atbilstošo faktoru reizinājumiem. Paplašinājumu (3) var uzrakstīt šādi:

kur F 1 (x) ir visu vienkāršo nereducējamo faktoru reizinājums, ir visu dubulto nereducējamo faktoru reizinājums utt. paplašināšanā (3). Ja paplašināšanā (3) nav m-kārtīgu faktoru, tad koeficientu uzskata par vienādu ar vienu.

Polinomus F 1 (x),…,F s (x) polinomam f(x) virs skaitļu laukiem var atrast, izmantojot atvasinājuma jēdzienu, Eiklīda algoritmu no iepriekš formulētās teorēmas (par saistību ar atvasinājumu) sekojoši:

Tāpēc mēs iegūstam

Tādējādi polinomam f(x) varam atrast faktorus .

Ja polinomam f(x) ir jāatrod tā izplešanās (4) faktori F 1 (x),...,F s (x), tad viņi saka, ka ir jāatdala tā daudzkārtējie faktori.

4. piemērs. Atdaliet vairākus faktorus f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Risinājums. Atrodiet gcd f(x) un f "(x)=5x4 -4x3 -15x2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)] = x 3 -3x-2.

Tagad mēs atrodam d 2 (x) = (d 1 (x), d 1 " (x)).

Mēs izsakām v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(mēs sadalām).

v 1 (x) = x 2 -x-2.

(mēs sadalām).

Tāpēc mēs iegūstam F 3 (x) = v 3 (x) = x + 1,

Tādējādi polinomam f(x) ir izvērsums f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. Polinoma f(x) izvērsumā (3) nav pirmfaktoru, dubultais koeficients ir x-2 un trīskāršais koeficients ir x+1.

1. piezīme.Šī metode neko nedod, ja visi polinoma f(x) nereducējamie faktori ir vienkārši (iegūstam identitāti f(x)=F 1 (x)).

2. piezīme.Šī metode ļauj noteikt patvaļīga polinoma visu sakņu reizinājumus.

LABORATORIJAS DARBA IESPĒJAS

1. iespēja

1. Pārliecinieties, vai polinomam 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 ir sakne 1+i. Atrodiet atlikušās polinoma saknes.

2. Atdaliet x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 reizinātājus.

3. Atrodiet mazākās pakāpes polinomu, kura saknes ir: 5, i, i+3.

2. iespēja

1. Kāda ir saknes x 0 = 2 reizinājums polinomam f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Atrodiet pārējās tās saknes.

2. Atsevišķi x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 reizinātāji.

3. Noteikt sakarību starp vienādojuma x 3 +px+q=0 koeficientiem, ja tā saknes x 1, x 2, x 3 apmierina sakarību.

3. iespēja

1. Kāda ir saknes x 0 = 4 reizinājums polinomam x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Atrodiet atlikušās saknes.

2. Atdaliet reizinātājus x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Nosakiet λ tā, lai viena no vienādojuma saknēm būtu divreiz vienāda ar otru: x 3 -7x+λ=0.

4. iespēja

1. Parādiet, ka x=3 ir polinoma f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 sakne. Nosakiet tā daudzveidību un atrodiet atlikušās saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. Vienādojuma 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 divu sakņu summa ir vienāda ar 1. Atrodiet λ.

5. iespēja

1. Parādiet, ka x 0 = -2 ir polinoma x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 sakne. Nosakiet tā daudzveidību un atrodiet atlikušās saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. Atrodiet mazākās pakāpes polinomu, ņemot vērā saknes 1, 2, 3, 1+i.

6. iespēja

1. Atrodiet nosacījumu, saskaņā ar kuru polinomam x 5 + ax 4 + b ir dubultsakne, kas atšķiras no nulles.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. Polinomam a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n ir saknes x 1, x 2,…, x n. Kādas saknes ir polinomiem: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

7. iespēja

1. Parādiet, ka x=-2 ir polinoma 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 sakne. Atrodiet saknes daudzveidību un atrodiet atlikušās polinoma saknes.

3. Atrodiet vienādojuma 2x 3 -2x 2 -4x-1 sakņu kvadrātu summu.

8. iespēja

1. Pierādīt, ka x=1 ir polinoma x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 sakne. Nosakiet tā daudzveidību. Atrodiet atlikušās polinoma saknes.

3. Viena no polinoma saknēm ir divreiz lielāka par otru. Atrodiet polinoma f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ saknes.

9. variants

1. Atrodiet nosacījumu, saskaņā ar kuru polinomam x 5 +10ax 3 +5bx+c ir trīskārša sakne, kas atšķiras no nulles.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. Atrisiniet vienādojumu x 3 -6x 2 +qx+2=0, ja zināms, ka tā saknes veido aritmētisko progresiju.

10. variants

1. Parādiet, ka x=3 ir polinoma f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 sakne. Nosakiet saknes daudzveidību, atrodiet citas polinoma saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. Atrodiet polinomu ar mazākās pakāpes reālajiem koeficientiem, ņemot vērā saknes 1, 2+i, 3.

11. variants

1. Parādiet, ka x=2 ir polinoma x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 sakne. Atrodiet tā daudzveidību un citas saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. Konstruē mazākās pakāpes polinomu, ja ir zināmas tā saknes x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

12. variants

1. Parādiet, ka x = -1 ir polinoma x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 sakne. Atrodiet tā daudzkārtību un atlikušās polinoma saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. Konstruējiet mazākās pakāpes polinomu, ja ir zināmas tā saknes x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

13. variants

1. Kāda ir saknes x 0 = 4 reizinājums polinomam x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Atrodiet atlikušās polinoma saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Nosakiet λ tā, lai viena no vienādojuma saknēm x 3 -7x+λ=0 būtu divreiz vienāda ar otru.

Saistītā informācija.

Šis tiešsaistes kalkulators ir paredzēts funkcijas faktorizēšanai.

Piemēram, faktorizēt: x 2 /3-3x+12. Rakstīsim kā x^2/3-3*x+12. Varat arī izmantot šo pakalpojumu, kurā visi aprēķini tiek saglabāti Word formātā.

Piemēram, sadaliet terminos. Rakstīsim kā (1-x^2)/(x^3+x) . Lai redzētu risinājuma gaitu, noklikšķiniet uz Rādīt darbības. Ja jums ir nepieciešams iegūt rezultātu Word formātā, izmantojiet šo pakalpojumu.

Piezīme: skaitli "pi" (π) raksta kā pi; kvadrātsakne kā sqrt , piemēram sqrt(3) , pieskares tg raksta tan . Lai skatītu atbildi, skatiet sadaļu Alternatīva.

Ja ir dota vienkārša izteiksme, piemēram, 8*d+12*c*d, tad izteiksmes faktorēšana nozīmē izteiksmes attēlošanu faktoru veidā. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopīgi faktori. Rakstīsim šo izteiksmi šādi: 4*d*(2+3*c) .
Norādiet produktu divu binomiālu veidā: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Šeit jau jāatrod vairāki kopīgi faktori: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Izņemam (x+7z) un iegūstam: (x+7z)(x + 3y) .

skatiet arī Polinomu dalīšana ar stūri (tiek parādīti visi dalīšanas soļi ar kolonnu)

Noderīgi, pētot faktorizācijas noteikumus saīsinātās reizināšanas formulas, ar kura palīdzību būs skaidrs, kā atvērt iekavas ar kvadrātu:

(a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2–b 2
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)
a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktorizācijas metodes

Pēc dažu triku apguves faktorizēšana Var veikt šādu risinājumu klasifikāciju:

Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas.
Kopēja faktora atrašana.

1. definīcija. Ja polinoms f(x) pazūd, kad nezināmo aizstāj ar skaitli c, tad c sauc par polinoma f(x) sakni (vai vienādojumu f(x)=0).

1. piemērs. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

Skaitlis 1 ir f(x) sakne, un skaitlis 2 nav f(x) sakne, jo f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 un f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Izrādās, ka polinoma saknes ir saistītas ar tā dalītājiem.

Skaitlis c ir polinoma f(x) sakne tad un tikai tad, ja f(x) dalās ar x-c.

Lai atrastu polinoma f(x) saknes reizinājumu k, izmantojiet teorēmu:

Ja skaitlis c ir polinoma f(x) k-kārtīgā sakne, tad pie k>1 tā būs šī polinoma pirmā atvasinājuma (k-1) kārtīgā sakne; ja k=1, tad c nekalpos kā f "(x) sakne.

Sekas. Pirmo reizi polinoma f(x) k-reizes sakne nekalpos kā k-tā atvasinājuma sakne.

2. piemērs. Pārliecinieties, vai skaitlis 2 ir polinoma f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 sakne. Nosakiet tā daudzveidību.

Risinājums. Skaitlis 2 ir f(x) sakne, jo 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x) = 4x 3 -12x 2 +16, f "(2) = 4, 2 3 -12, 2 2 + 16 = 0;

f ""(x)=12x2-24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2) = 24∙2-24≠0.

Skaitlis 2 nav f"""(x) sakne pirmo reizi, tāpēc skaitlis 2 ir polinoma f(x) trīskārša sakne.

a 1 = -(α 1 +...+ α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Vietas formulas atvieglo polinoma rakstīšanu, ņemot vērā tā saknes.

3. piemērs. Atrodiet polinomu ar vienkāršām saknēm 2; 3 un dubultsakne –1.

Risinājums. Atradīsim polinoma koeficientus:

un 1 =– (2+3–1–1)=–3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

un 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Nepieciešamais polinoms ir x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.

3. definīcija. Polinoms f(x)ÌP[x] ar n pakāpi ir reducējams laukā P, ja to var sadalīt divu faktoru φ(x) un ψ(x) reizinājumā no P[x], kuru pakāpes ir mazākas par n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] sauc par nereducējamu virs lauka P, ja kādā no tā faktorizācijām no P[x] vienam no faktoriem ir 0 pakāpe, bet otram ir n pakāpe.

Pastāv šādas teorēmas:

Jebkuru polinomu, kura f(x) grāds nav nulle no gredzena P[x], var sadalīt nereducējamu faktoru reizinājumā no P[x] unikāli līdz nulles pakāpes faktoriem.

No tā viegli izriet, ka jebkuram polinomam f(х)ОР[x], kura pakāpe ir n, n≥1, notiek šāda sadalīšanās nereducējamos faktoros:

kur ir nereducējami polinomi P[x] ar vadošajiem koeficientiem, kas vienādi ar vienu. Šis polinoma paplašinājums ir unikāls.

Ja izvērsumā (2) saliek identiskus faktorus, tad šo paplašinājumu var uzrakstīt šādā formā:

, (3)

kur faktori Р 1 (x),…, Р r (x) jau visi ir atšķirīgi. Rādītāji k 1 ,…,k r šeit ir vienādi ar atbilstošo faktoru reizinājumiem. Paplašinājumu (3) var uzrakstīt šādi:

Tāpēc mēs iegūstam

Tādējādi polinomam f(x) varam atrast faktorus .

Ja polinomam f(x) ir jāatrod tā izplešanās (4) faktori F 1 (x),...,F s (x), tad viņi saka, ka ir jāatdala tā daudzkārtējie faktori.

4. piemērs. Atdaliet vairākus faktorus f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Risinājums. Atrodiet gcd f(x) un f "(x)=5x4 -4x3 -15x2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)] = x 3 -3x-2.

Tagad mēs atrodam d 2 (x) = (d 1 (x), d 1 " (x)).

Mēs izsakām v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(mēs sadalām).

v 1 (x) = x 2 -x-2.

(mēs sadalām).

Tāpēc mēs iegūstam F 3 (x) = v 3 (x) = x + 1,

Tādējādi polinomam f(x) ir izvērsums f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. Polinoma f(x) izvērsumā (3) nav pirmfaktoru, dubultais koeficients ir x-2 un trīskāršais koeficients ir x+1.

1. piezīme.Šī metode neko nedod, ja visi polinoma f(x) nereducējamie faktori ir vienkārši (iegūstam identitāti f(x)=F 1 (x)).

2. piezīme.Šī metode ļauj noteikt patvaļīga polinoma visu sakņu reizinājumus.

LABORATORIJAS DARBA IESPĒJAS

1. iespēja

1. Pārliecinieties, vai polinomam 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 ir sakne 1+i. Atrodiet atlikušās polinoma saknes.

2. Atdaliet x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 reizinātājus.

3. Atrodiet mazākās pakāpes polinomu, kura saknes ir: 5, i, i+3.

2. iespēja

1. Kāda ir saknes x 0 = 2 reizinājums polinomam f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Atrodiet pārējās tās saknes.

2. Atsevišķi x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 reizinātāji.

3. Noteikt sakarību starp vienādojuma x 3 +px+q=0 koeficientiem, ja tā saknes x 1, x 2, x 3 apmierina sakarību.

3. iespēja

1. Kāda ir saknes x 0 = 4 reizinājums polinomam x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Atrodiet atlikušās saknes.

2. Atdaliet reizinātājus x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Nosakiet λ tā, lai viena no vienādojuma saknēm būtu divreiz vienāda ar otru: x 3 -7x+λ=0.

4. iespēja

1. Parādiet, ka x=3 ir polinoma f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 sakne. Nosakiet tā daudzveidību un atrodiet atlikušās saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. Vienādojuma 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 divu sakņu summa ir vienāda ar 1. Atrodiet λ.

5. iespēja

1. Parādiet, ka x 0 = -2 ir polinoma x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 sakne. Nosakiet tā daudzveidību un atrodiet atlikušās saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. Atrodiet mazākās pakāpes polinomu, ņemot vērā saknes 1, 2, 3, 1+i.

6. iespēja

1. Atrodiet nosacījumu, saskaņā ar kuru polinomam x 5 + ax 4 + b ir dubultsakne, kas atšķiras no nulles.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. Polinomam a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n ir saknes x 1, x 2,…, x n. Kādas saknes ir polinomiem: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

7. iespēja

1. Parādiet, ka x=-2 ir polinoma 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 sakne. Atrodiet saknes daudzveidību un atrodiet atlikušās polinoma saknes.

3. Atrodiet vienādojuma 2x 3 -2x 2 -4x-1 sakņu kvadrātu summu.

8. iespēja

1. Pierādīt, ka x=1 ir polinoma x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 sakne. Nosakiet tā daudzveidību. Atrodiet atlikušās polinoma saknes.

3. Viena no polinoma saknēm ir divreiz lielāka par otru. Atrodiet polinoma f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ saknes.

9. variants

1. Atrodiet nosacījumu, saskaņā ar kuru polinomam x 5 +10ax 3 +5bx+c ir trīskārša sakne, kas atšķiras no nulles.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. Atrisiniet vienādojumu x 3 -6x 2 +qx+2=0, ja zināms, ka tā saknes veido aritmētisko progresiju.

10. variants

1. Parādiet, ka x=3 ir polinoma f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 sakne. Nosakiet saknes daudzveidību, atrodiet citas polinoma saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. Atrodiet polinomu ar mazākās pakāpes reālajiem koeficientiem, ņemot vērā saknes 1, 2+i, 3.

11. variants

1. Parādiet, ka x=2 ir polinoma x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 sakne. Atrodiet tā daudzveidību un citas saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. Konstruē mazākās pakāpes polinomu, ja ir zināmas tā saknes x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

12. variants

1. Parādiet, ka x = -1 ir polinoma x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 sakne. Atrodiet tā daudzkārtību un atlikušās polinoma saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. Konstruējiet mazākās pakāpes polinomu, ja ir zināmas tā saknes x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

13. variants

1. Kāda ir saknes x 0 = 4 reizinājums polinomam x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Atrodiet atlikušās polinoma saknes.

2. Atdaliet daudzkārtējos faktorus polinoma x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Nosakiet λ tā, lai viena no vienādojuma saknēm x 3 -7x+λ=0 būtu divreiz vienāda ar otru.

Ir metodes, kas ļauj noskaidrot, vai konkrētajam polinomam ir vairāki faktori, un, ja atbilde ir pozitīva, tās ļauj reducēt šī polinoma izpēti uz tādu polinomu izpēti, kuri vairs nesatur vairākus faktorus.

Teorēma. Ja ir daudzkārtējs polinoma nereducējams faktors, tad tas būs šī polinoma atvasinājuma daudzkārtējs faktors. Jo īpaši polinoma galvenais koeficients. Neiesaistās atvasinājumu paplašināšanā.

Patiesībā ļaujiet

un vairs nav dalāms ar. Diferencējot vienādību (5.1.), iegūstam:

Otrais termins iekavās nav dalāms ar. Patiešām, tas nav dalāms ar nosacījumu, tam ir zemāka pakāpe, t.i. arī nav dalāms ar. Savukārt kvadrātiekavās norādītās summas pirmais vārds tiek dalīts ar, t.i. reizinātājs faktiski stājas spēlē ar reizinātāju.

No šīs teorēmas un no iepriekš minētās divu polinomu lielākā kopīgā dalītāja atrašanas metodes izriet, ka, ja tiek dota polinoma sadalīšana nereducējamos faktoros:

tad polinoma lielākajam kopējam dalītājam un tā atvasinājumam ir šāda sadalīšanās nereducējamos faktoros:

kur reizinātājs jāaizstāj ar vienu. Jo īpaši polinoms nesatur vairākus faktorus tad un tikai tad, ja tas atbilst tā atvasinājumam.

Daudzkārtņu izolācija

Ja ir dots polinoms ar izvērsumu (5.2) un ja apzīmēsim lielāko kopīgo dalītāju un tā atvasinājumu, tad (5.3) būs izvērsums priekš. Dalot (5.2) ar (5.3), iegūstam:

tie. mēs iegūstam polinomu, kas nesatur vairākus faktorus, un katru nereducējamo faktoru, kuram, vispārīgi runājot, ir zemāka pakāpe un katrā ziņā tas satur tikai pirmfaktorus. Ja šī problēma ir atrisināta, tad atliek vien noteikt atrasto nereducējamo faktoru daudzkārtību, kas tiek panākta, izmantojot dalīšanas algoritmu.

Sarežģījot tagad izklāstīto metodi, mēs uzreiz varam pāriet pie vairāku polinomu bez vairākiem faktoriem izskatīšanas, un, atraduši šo polinomu nereducējamos faktorus, mēs ne tikai atradīsim visus nereducējamos faktorus, bet arī uzzināsim to daudzkārtību.

Ļaujiet (5.2) būt sadalīšanai nereducējamos faktoros, un lielākā faktoru daudzveidība ir, . Apzīmēsim ar visu polinoma atsevišķo faktoru reizinājumu, ar visu dubulto faktoru reizinājumu, bet ņemts tikai vienu reizi utt., visbeidzot, ar visu -vairāku faktoru reizinājumu, arī ņemts tikai vienu reizi; ja dažiem nav -vairāku faktoru, tad mēs pieņemam. Tad tas tiks sadalīts ar polinoma pakāpi, un izplešanās (5.2) iegūst formu

un paplašinājums (5.3) tiks pārrakstīts formā

apzīmē ar polinoma un tā atvasinājuma lielāko kopīgo dalītāju un kopumā ar polinoma lielāko kopīgo dalītāju, un šādā veidā mēs iegūstam:

……………………………

Un tā beidzot

Tādējādi, izmantojot tikai metodes, kurām nav vajadzīgas zināšanas par polinoma nereducējamiem faktoriem, proti, ņemot atvasinājumu, Eiklīda algoritmu un dalīšanas algoritmu, mēs varam atrast polinomus bez vairākiem faktoriem, un katrs polinoma nereducējamais faktors būs - daudzkārtējs. priekš.

Piemērs. Polinomu koeficientu reizinātos.

Polinomam ir formas paplašinājums.

Es izveidoju programmu, lai faktorētu polinomu reizinātājos.

Windows, ziņojumi, SysUtils, varianti, klases, grafika, vadīklas, veidlapas,

Dialogi, StdCtrl, Režģi;

TForm1 = klase (TForm)

SGd1: TStringGrid;

Poga1: TButton;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

procedūra Button1Click(Sūtītājs: TObject);

(Privātas deklarācijas)

(Publiskās deklarācijas)

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,solis,f:integer;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:veselo skaitļu masīvs;

izub,e,fx:veselo skaitļu masīvs;

procedūra TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i,j,k_1,st3,l:integer;

k2_2,k1_1:vesela skaitļa masīvs;

st1:=StrToInt(Rediģēt1.Teksts);

i:=0 līdz st1 sāciet

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

i:=0 līdz st1 sāciet

ja SGd1.Šūnas<>"" tad

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else MessageDlg("Uzmanību! Koeficientu vērtības nav ievadītas!",mtWarning,,0);

i:=st1 līdz 0 sāciet

ja kof1 [i]<>0, tad sāciet

if(kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

i:=st2 līdz 0 sāciet

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

ja kof2[i]<>0, tad sāciet

if(kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=0 līdz st1 sāciet

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

i:=0 līdz st2 sāciet

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

kamēr kof2<>0 sākt

//Rediģēt4.Teksts:="";

ja k1<>kof2 tad sāciet

ja (k1 mod kof2)=0, tad sāciet

j:=0 līdz st2 darīt

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

ja k2<>1 tad

j:=0 līdz st1 darīt

k1[j]:=kof2*k1[j];

ja k_1<>1, tad sāciet

j:=0 līdz st2 darīt

k2[j]:=k_1*kof2[j];

i:=1 līdz st1 sāciet

k1:=k1[i]-k2[i];

līdz st1

ja k1<>0, tad sākas //Saīsinājums

i:=1 līdz st1 darīt

ja k1[i]<>0, tad sāciet

if (k1[i] mod k1)<>0, tad sokr:=false;

ja sokr=true tad

i:=0 līdz st1 darīt

k1[i]:=k1[i] div k_1;

for i:=0 līdz st2 do //Polinomu aizstāšana

k2_2[i]:=kof2[i];

i:=0 līdz st1 darīt

i:=0 līdz 10 sāciet

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

izub:=0;

izubst:=st2;

i:=0 līdz st2 sāciet

SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

ja k1[i]<>0, tad sāciet

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

ja (k2_2>0) un (i

i:=0 līdz st1 sāciet

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Rediģēt1.Teksts);

i:=d_st+1 downto 1 do sākt

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

//Atrast E

n_nod:=1 līdz n_iz jāsāk

m:=izubst;

i:=n+1 līdz 1 sāciet

i:=m+1 līdz 1 sāciet

b[i]:=izub;

i:=n+1 līdz 1 sāciet

ja a[i]<>0, tad sāciet

ja<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=m+1 līdz 1 sāciet

ja b[i]<>0, tad sāciet

ja (b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1 līdz 1 sāciet

j:=m+1 līdz 1 sāciet

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f līdz 1 sāciet

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f līdz 1 sāciet

a2[j]:=a2[j]-b2;

i:=f+1 līdz 1 sāciet

e:=buf[i];

ja buf[i]<>0, tad sāciet

if(buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Rediģēt5.Teksts:=s;

i:=n līdz 0 sāciet

ja a2[i]<>0, tad sāciet

if(a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

n_nod:=1 līdz n_iz-1 sāciet

m:=est;

i:=n+1 līdz 1 sāciet

a[i]:=e;

i:=m+1 līdz 1 sāciet

b[i]:=e;

ja n_nod=n_iz-1, tad fx:=b[i];

i:=n+1 līdz 1 sāciet

ja a[i]<>0, tad sākas if(a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=m+1 līdz 1 sāciet

ja b[i]<>0, tad sākas if(b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1 līdz 1 sāciet

i:=solis+1 līdz 1 sāciet

j:=m+1 līdz 1 sāciet

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f līdz 1 sāciet

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f līdz 1 sāciet

a2[j]:=a2[j]-b2;

i:=f+1 līdz 1 sāciet

fx:=buf[i];

ja buf[i]<>0, tad sākas if(buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Rediģēt5.Teksts:=s;

i:=n līdz 0 sāciet

ja a2[i]<>0, tad sākas if(a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

lai i:=1 līdz n_iz sāktu

j:=fxst[i] līdz 0 sāciet

ja fx<>0, tad sāciet

if(fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Rediģēt6.Teksts:=Rediģēt6.Teksts+s;

i:=0 līdz 10 sāciet

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

Teorēma 14.1. (Fundamentālā teorēma par polinomiem). Jebkuru pozitīvas pakāpes polinomu laukā F var attēlot kā nereducējamu polinomu reizinājumu ar F, un šāds attēlojums ir unikāls līdz faktoru un asociācijas secībai.

Pierādījums. 1) Esamība. Ļaujiet f(x) F(x) Un deg f(x)=n> 0. Pierādīšanu veicam, izmantojot parametra matemātiskās indukcijas metodi n.

1. Ļaujiet n=1 f(x) nesamazināms beidzies F => f(x)=f(x)– nepieciešamo pārstāvniecību.

2. Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess jebkuram pozitīvas pakāpes polinomam< n virs lauka F.

3. Pierādīsim apgalvojumu polinomam f(x). Ja f(x) nesamazināms beidzies F, Tas f(x)=f(x) ir nepieciešamais attēlojums. Ļaujiet f(x) mēs sniedzam augstāk F f(x)=f 1 (x) , Kur f 1 (x), f 2 (x)F[x] un 0 < deg f i < n, i= f 1 (x) = p 1 (x)· lpp 2 (x) · …·p r (x) Un f 2 (x)=q 1 (x) ·…·q s (x)– attēlojums un nereducējamu polinomu reizinājuma formā f=f 1 f 2 = lpp 1 · … ·p r · q 1 · … ·q s– nepieciešamo pārstāvniecību.

No 1–3, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi, apgalvojums ir patiess jebkuram n N.

2) Unikalitāte. Ļaujiet f(x)=p 1 (x)· … · p r (x) Un f(x)=q 1 (x)· … ·q s (x)– nepieciešamie apliecinājumi (1). Jo r,s N, arī r s, vai r s.Ļaujiet, piemēram, r s. Tā kā (1) kreisā puse dalās ar lpp 1 , Tas (q 1 · … ·q s) lpp 1 ar lemmu 13.4 vismaz viens no faktoriem dalās ar lpp 1 . Tā kā faktorus var apmainīt, mēs to pieņemsim q 1 lpp 1, Lemma 13.2 q 1 ~q 2 un ar piezīmi 3 q 1 =p 1 ·a 0, kur a 0 F# => lpp 1 · … ·p r =a 0 ·lpp 1 · q 2 · … ·q s, (2). Tā kā (2) kreisā puse dalās ar R 2, tad, kā minēts iepriekš, mēs iegūstam R 2 ~q 2 un R 2 =q 2 b 0, kur b 0 F#, un (3) utt., pēc noteikta soļu skaita mēs iegūstam 1 =a 0 · 0 · … ·q r + 1 · … ·q s(4). Pieņemsim, ka r 1 q r + 1 => deg q r + 1 =0 => pretruna => r=s. Tādējādi polinoma attēlojums f(x) vajadzīgā produkta veidā tiek noteikts unikāli līdz faktoru un asociācijas secībai. Teorēma ir pierādīta.

Definīcija 14.1. Ļaujiet F- lauks. Polinoms f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 +…+a n - 1 x+a n F[x]tiek saukts normalizēts vai dota, Ja A 0 = 1.

Secinājums 14.1.1. Jebkuru pozitīvās pakāpes polinomu f laukā F var attēlot šādā formā: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), kur a 0 F #, p 1,…, p r ir normalizēti polinomi. nesamazināms pār F.

Piezīme 14.1.Ļaujiet f(x) F[x], F - lauks, degf(x)>0. Tad ar Secinājums 14.1.1 f(x)=a 0 · … ·p 1 (x) · … ·p r (x)(1), kur a 0 F #, p 1 (x),…, p r (x) - nesamazināms beidzies F normalizētie polinomi. Iespējams, ka starp polinomiem p 1 ,…, p r ir vienādi . Reizinot vienādus koeficientus (1), iegūstam formas vienādību f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s .

Definīcija 14.2.Ļaujiet f(x) F[x], F- lauks, deg f(x)>0. Polinoma attēlojums f(x) kā f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2), Kur a 0 F # , p 1, …, p s- pa pāriem atšķirīgi nesamazināmie virs lauka F normalizētie polinomi, k i ≥1, i=, sauca kanoniskais attēlojums polinoms f, numurs k i sauca faktora p i reizinājums, i=. Ja k i = 1, tad p i sauc par vienkāršu polinoma nereducējamo faktoru f.

Secinājums 14.2.Pieņemsim f(x), g(x) F[x], F - lauks, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … · p s k s , g(x)=b 0 · p 1 l 1 · … · p s l s , kur a 0 ,b 0 F # , p 1 , …,p s – pa pāriem atšķirīgi normalizēti polinomi, kas ir nereducējami virs F, k i 0, l i 0, i= . Tad (f,g)=p 1 γ 1 · p 2 γ 2 · … · p s γ s , kur γ i = min{k i , l i} , i= ,[f,g]= p 1 δ 1 · p 2 δ 2 · … · p s δ s, kur δ i =max(k i,l i), i=.

Definīcija 14.3.Ļaujiet f(x) F[x], F- asociatīvi komutatīvais gredzens ar identitāti, Ar- sakne f(x). Numurs k sauca daudzveidība sakne c polinoms f(x), Ja

f (x-s) k, Bet f (x-c) k + 1 .

Šajā gadījumā viņi raksta (x-c) k ┬ f(x) -šis ieraksts nozīmē to (x-c) k- šī ir augstākā pakāpe (x-s), kas sadala f(x).

Piezīme 14.2. Ja k = 1, tad Ar sauc par vienkāršu polinoma sakni f(x).

Ļaujiet f(x) F[x], F- lauks. Izvirzīsim sev uzdevumu atdalīt visus daudzos nereducējamos polinoma faktorus f(x). Lai to izdarītu, mēs pierādām šādu teorēmu. Polinoms f(x) F[x], kur F ir lauks, nav vairāku nereducējamu reizināšanas faktoru k > 1(f,f ")= 1.

Secinājums 14.2.3.Polinoma f F vairāki nereducējami faktori[x] ir tieši polinoma d(x)=(f,f ") nereducējamie faktori.

Secinājums: Tādējādi polinoma vairāku nereducējamo faktoru atdalīšanas problēma f(x) nāk līdz atrašanai d=(f,f ") un polinoma paplašināšana d pēc reizinātājiem. Savukārt atdaliet polinoma vairākus nereducējamos faktorus d(x) iespējams, atrodot d 1 =(d,d ") utt.

Lejupielāde tagad sāksies...
Neaizmirstiet padalīties ar materiālu
sociālajos tīklos ar savu
Kolēģi

Faktorizācija. Vairāki faktori Atdaliet vairākus polinoma piemēru faktorus ar risinājumu

Faktorizācijas metodes

Daudzkārtņu izolācija

Paroles atkopšana