Kvadrātlogaritmisko vienādojumu risināšana. Logaritmiskie vienādojumi

Ievads

Logaritmi tika izgudroti, lai paātrinātu un vienkāršotu aprēķinus. Logaritma ideja, tas ir, ideja izteikt skaitļus kā vienas bāzes pakāpes, pieder Mihailam Stīfelam. Bet Stīfela laikā matemātika nebija tik attīstīta un logaritma ideja nebija izstrādāta. Vēlāk logaritmus vienlaikus un neatkarīgi viens no otra izgudroja skotu zinātnieks Džons Napiers (1550-1617) un šveicietis Džobsts Burgi (1552-1632) bija pirmais, kurš publicēja darbu 1614. gadā. ar nosaukumu “Apbrīnojamas logaritmu tabulas apraksts” Napiera logaritmu teorija tika sniegta diezgan pilnā apjomā, logaritmu aprēķināšanas metode tika dota visvienkāršākā, tāpēc Napiera nopelni logaritmu izgudrošanā bija lielāki nekā Bürgi. Bürgi strādāja pie galdiem vienlaikus ar Napier, bet ilgu laiku turēja tos noslēpumā un publicēja tikai 1620. gadā. Napier apguva logaritma ideju ap 1594. gadu. lai gan tabulas tika publicētas 20 gadus vēlāk. Sākumā viņš savus logaritmus sauca par “mākslīgiem skaitļiem” un tikai pēc tam ierosināja šos “mākslīgos skaitļus” saukt vienā vārdā “logaritms”, kas tulkojumā no grieķu valodas nozīmē “korelēti skaitļi”, viens ņemts no aritmētiskās progresijas, bet otrs no ģeometriskā progresija, kas īpaši izvēlēta tam. Pirmās tabulas krievu valodā tika publicētas 1703. gadā. ar brīnišķīgas skolotājas piedalīšanos 18.gs. L. F. Magņitskis. Logaritmu teorijas attīstībā liela nozīme bija Pēterburgas akadēmiķa Leonharda Eilera darbi. Viņš bija pirmais, kurš uzskatīja logaritmus kā paaugstināšanas apvērsumu, viņš ieviesa terminus “logaritma bāze” un “mantisa”. vienkāršāki nekā Napier logaritmi. Tāpēc decimāllogaritmus dažreiz sauc par Briga logaritmiem. Terminu "raksturojums" ieviesa Brigs.

Tajos tālajos laikos, kad gudrie pirmo reizi sāka domāt par vienādībām, kas satur nezināmus daudzumus, iespējams, nebija ne monētu, ne maku. Bet bija gan kaudzes, gan podi un grozi, kas bija lieliski piemēroti uzglabāšanas kešatmiņu lomai, kurā varēja ievietot nezināmu skaitu priekšmetu. Senajās Mezopotāmijas, Indijas, Ķīnas, Grieķijas matemātikas problēmās nezināmi daudzumi izteica pāvu skaitu dārzā, buļļu skaitu ganāmpulkā un lietu kopumu, kas ņemts vērā, sadalot īpašumu. Rakstnieki, ierēdņi un iniciatori ir labi apmācīti grāmatvedības zinātnē slepenas zināšanas Priesteri diezgan veiksmīgi tika galā ar šādiem uzdevumiem.

Avoti, kas mūs sasnieguši, liecina, ka senajiem zinātniekiem bija daži vispārīgi paņēmieni problēmu risināšanai ar nezināmiem daudzumiem. Tomēr ne vienā papirusa vai māla plāksnē nav šo paņēmienu apraksta. Autori tikai reizēm pievienoja savus skaitliskos aprēķinus ar tādiem trūcīgiem komentāriem kā: “Skaties!”, “Dari tā!”, “Jūs atradāt īsto.” Šajā ziņā izņēmums ir grieķu matemātiķa Aleksandrijas Diofanta (III gadsimts) “aritmētika” - vienādojumu sastādīšanas problēmu kopums ar sistemātisku to risinājumu izklāstu.

Tomēr pirmā rokasgrāmata problēmu risināšanai, kas kļuva plaši pazīstama, bija 9. gadsimta Bagdādes zinātnieka darbs. Muhameds bin Musa al Khvarizmi. Vārds "al-jabr" no šī traktāta arābu nosaukuma - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restaurācijas un opozīcijas grāmata") - laika gaitā pārvērtās par labi zināmo vārdu "algebra", un al- Pats Khwarizmi darbs kalpoja par sākumpunktu vienādojumu risināšanas zinātnes attīstībā.

Logaritmiskie vienādojumi un nevienādības

1. Logaritmiskie vienādojumi

Vienādojumu, kas satur nezināmo zem logaritma zīmes vai tā pamatā, sauc par logaritmisko vienādojumu.

Vienkāršākais logaritmiskais vienādojums ir formas vienādojums

žurnāls a x = b . (1)

Paziņojums 1. Ja a > 0, a≠ 1, vienādojums (1) jebkuram reālam b ir unikāls risinājums x = a b .

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumus:

a) žurnāls 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Risinājums. Izmantojot 1. apgalvojumu, mēs iegūstam a) x= 2 3 vai x= 8; b) x= 3 -1 vai x= 1/3; c)

vai x = 1.

Iepazīstinām ar logaritma pamatīpašībām.

P1. Pamatlogaritmiskā identitāte:

Kur a > 0, a≠ 1 un b > 0.

P2. Pozitīvo faktoru reizinājuma logaritms ir vienāds ar šo faktoru logaritmu summu:

žurnāls a N 1 · N 2 = baļķis a N 1 + baļķis a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

komentēt. Ja N 1 · N 2 > 0, tad rekvizīts P2 iegūst formu

žurnāls a N 1 · N 2 = baļķis a |N 1 | + baļķis a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

komentēt. Ja

, (kas ir līdzvērtīgs N 1 N 2 > 0), tad rekvizīts P3 iegūst formu (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Pozitīva skaitļa jaudas logaritms ir vienāds ar eksponenta un šī skaitļa logaritma reizinājumu:

žurnāls a N k = kžurnāls a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

komentēt. Ja k- pāra skaitlis ( k = 2s), Tas

žurnāls a N 2s = 2sžurnāls a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula pārejai uz citu bāzi:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

jo īpaši, ja N = b, saņemam

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Izmantojot īpašības P4 un P5, ir viegli iegūt šādas īpašības

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

un, ja (5) c- pāra skaitlis ( c = 2n), notiek

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Uzskaitīsim logaritmiskās funkcijas galvenās īpašības f (x) = žurnāls a x :

1. Logaritmiskās funkcijas definīcijas apgabals ir pozitīvo skaitļu kopa.

2. Logaritmiskās funkcijas vērtību diapazons ir reālo skaitļu kopa.

3. Kad a> 1 logaritmiskā funkcija stingri pieaug (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2) un pie 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > žurnāls a x 2).

4. žurnāls a 1 = 0 un log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ja a> 1, tad logaritmiskā funkcija ir negatīva, kad x(0;1) un pozitīvs plkst x(1;+∞), un ja 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) un negatīvs pie x (1;+∞).

6. Ja a> 1, tad logaritmiskā funkcija ir izliekta uz augšu, un ja a(0;1) - izliekta uz leju.

Risinot tiek izmantoti šādi apgalvojumi (sk., piemēram). logaritmiskie vienādojumi.

Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b *a c = a b+c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselo skaitļu eksponentu tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur nepieciešams vienkāršot apgrūtinošo reizināšanu ar vienkāršu saskaitīšanu. Ja veltīsit 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkāršā un pieejamā valodā.

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log a b=c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir jebkura pozitīva) logaritms “b” līdz tā bāzei “a” tiek uzskatīts par pakāpju “c”. ”, līdz kuram jāpaaugstina bāze “a”, lai galu galā iegūtu vērtību “b”. Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāatrod tāda jauda, ​​lai no 2 līdz vajadzīgajai jaudai iegūtu 8. Pēc dažu aprēķinu veikšanas galvā mēs iegūstam skaitli 3! Un tā ir taisnība, jo 2 līdz 3 dod atbildi kā 8.

Logaritmu veidi

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs atsevišķas sugas logaritmiskās izteiksmes:

1. Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
2. Decimāldaļa a, kur bāze ir 10.
3. Jebkura skaitļa b logaritms uz bāzi a>1.

Katrs no tiem ir izlemts standarta veidā, kas ietver vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, risinot tos, jāatceras to īpašības un darbību secība.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav diskutējami un ir patiesība. Piemēram, skaitļus nav iespējams dalīt ar nulli, kā arī nav iespējams iegūt pāra sakni negatīvi skaitļi. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

• Bāzei “a” vienmēr jābūt lielākai par nulli, nevis vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo “1” un “0” jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
• ja a > 0, tad a b >0, izrādās, ka arī “c” ir jābūt lielākam par nulli.

Kā atrisināt logaritmus?

Piemēram, ir dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x = 100. Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāizvēlas jauda, ​​paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram mēs iegūstam 100. Tas, protams, ir 10 2 = 100.

Tagad attēlosim šo izteiksmi logaritmiskā formā. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu jaudu, līdz kurai jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehnisks prāts un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr par lielas vērtības jums būs nepieciešama grādu tabula. To var izmantot pat tie, kas neko nezina par sarežģītām matemātikas tēmām. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Krustojumā šūnās ir skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, ka noteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādību. Piemēram, 3 4 =81 var uzrakstīt kā 81 bāzes 3 logaritmu, kas vienāds ar četriem (log 3 81 = 4). Negatīvām pakāpēm noteikumi ir vienādi: 2 -5 = 1/32 mēs to rakstām kā logaritmu, mēs iegūstam log 2 (1/32) = -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Tālāk mēs apskatīsim vienādojumu piemērus un risinājumus, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.

Tiek dota šāda izteiksme: log 2 (x-1) > 3 - tā ir logaritmiska nevienādība, jo nezināmā vērtība “x” atrodas zem logaritmiskās zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzināti divi lielumi: vēlamā skaitļa logaritms bāzei divi ir lielāks par skaitli trīs.

Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tāda, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemērs - logaritms 2 x = √9) atbildē ietver vienu vai vairākas konkrētas skaitliskās vērtības, savukārt, risinot nevienādības, tās tiek definētas kā apgabals. pieņemamām vērtībām, un šīs funkcijas pārtraukuma punktus. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā atbildē uz vienādojumu, bet gan nepārtraukta skaitļu sērija vai kopa.

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus logaritma vērtību atrašanas uzdevumus, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Vēlāk apskatīsim vienādojumu piemērus, vispirms aplūkosim katru īpašumu sīkāk.

1. Galvenā identitāte izskatās šādi: a logaB =B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāks par 0, nav vienāds ar vienu, un B ir lielāks par nulli.
2. Produkta logaritmu var attēlot šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā obligāts nosacījums ir: d, s 1 un s 2 > 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmiskajai formulai ar piemēriem un risinājumu. Pieņemsim, ka log a s 1 = f 1 un log a s 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (īpašības grādi ), un pēc tam pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kas ir tas, kas bija jāpierāda.
3. Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorēma formulas formā pārņem nākamais skats: log a q b n = n/q log a b.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz dabiskiem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Lai log a b = t, izrādās a t =b. Ja abas daļas paaugstinām pakāpē m: a tn = b n ;

bet tā kā a tn = (a q) nt/q = b n, tāpēc log a q b n = (n*t)/t, tad log a q b n = n/q log a b. Teorēma ir pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritmu problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās uzdevumu grāmatās, kā arī ir obligāta matemātikas eksāmenu sastāvdaļa. Lai iestātos augstskolā vai nokārtotu iestājpārbaudījumus matemātikā, jums jāzina, kā pareizi atrisināt šādus uzdevumus.

Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas logaritma nezināmās vērtības risināšanai un noteikšanai, taču katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai samazināt līdz vispārējai formai. Vienkāršojiet garos logaritmiskās izteiksmes iespējams, ja pareizi izmantojat to īpašības. Ātri iepazīsim tos.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, mums ir jānosaka, kāda veida logaritms mums ir: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.

Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka viņiem ir jānosaka jauda, ​​kurai bāze 10 būs attiecīgi vienāda ar 100 un 1026. Lai atrisinātu naturālos logaritmus, jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko problēmu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, aplūkosim logaritmu pamata teorēmu izmantošanas piemērus.

1. Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur liela skaitļa b vērtība ir jāsadala vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzat, izmantojot logaritma jaudas ceturto īpašību, mums izdevās atrisināt šķietami sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Jums vienkārši jāaprēķina bāze un pēc tam jāizņem eksponenta vērtības no logaritma zīmes.

Vienotā valsts eksāmena uzdevumi

Logaritmi bieži sastopami iestājeksāmenos, īpaši daudz logaritmisku uzdevumu Vienotajā valsts eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolas absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vienkāršākais testa daļa eksāmens), bet arī C daļā (sarežģītākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmenam nepieciešamas precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu “Dabas logaritmi”.

Problēmu piemēri un risinājumi ņemti no oficiālā Vienotā valsts eksāmena iespējas. Apskatīsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstīsim izteiksmi, nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2, pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.

• Vislabāk visus logaritmus samazināt līdz vienai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
• Visas izteiksmes zem logaritma zīmes tiek norādītas kā pozitīvas, tāpēc, kad izteiksmes eksponents, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tās bāze, tiek izņemts kā reizinātājs, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.

Piemēri:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kā atrisināt logaritmiskos vienādojumus:

Atrisinot logaritmisko vienādojumu, jācenšas to pārveidot formā \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) un pēc tam jāveic pāreja uz \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Piemērs:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Risinājums: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Pārbaude:\(10>2\) - piemērots DL Atbilde:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Ļoti svarīgs!Šo pāreju var veikt tikai tad, ja:

Jūs esat uzrakstījis oriģinālajam vienādojumam, un beigās pārbaudīsit, vai atrastie ir iekļauti DL. Ja tas nav izdarīts, var parādīties papildu saknes, kas nozīmē nepareizu lēmumu.

Skaitlis (vai izteiksme) kreisajā un labajā pusē ir vienāds;

Kreisajā un labajā pusē esošie logaritmi ir “tīri”, tas ir, nedrīkst būt reizināšanas, dalīšanas utt. – tikai atsevišķi logaritmi abās vienādības zīmes pusēs.

Piemēram:

Ņemiet vērā, ka 3. un 4. vienādojumu var viegli atrisināt, pielietojot nepieciešamās logaritmu īpašības.

Piemērs . Atrisiniet vienādojumu \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Risinājums :

		Ierakstīsim ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Kreisajā pusē logaritma priekšā ir koeficients, labajā pusē ir logaritmu summa. Tas mūs traucē. Pārvietosim abus uz eksponentu \(x\) atbilstoši īpašībai: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Atveidosim logaritmu summu kā vienu logaritmu atbilstoši īpašībai: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Mēs samazinājām vienādojumu līdz formai \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) un pierakstījām ODZ, kas nozīmē, ka varam pāriet uz formu \(f(x) =g(x)\ ).
		Notika . Mēs to atrisinām un iegūstam saknes.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Mēs pārbaudām, vai saknes ir piemērotas ODZ. Lai to izdarītu, \(x>0\) \(x\) vietā mēs aizstājam \(5\) un \(-5\). Šo operāciju var veikt mutiski.
\(5>0\), \(-5>0\)		Pirmā nevienlīdzība ir patiesa, otrā nav. Tas nozīmē, ka \(5\) ir vienādojuma sakne, bet \(-5\) nav. Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde : \(5\)

Piemērs : atrisiniet vienādojumu \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Risinājums :

		Ierakstīsim ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Tipisks vienādojums, kas atrisināts, izmantojot . Aizstāt \(\log_2⁡x\) ar \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Mēs saņēmām parasto. Mēs meklējam tās saknes.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Veicot apgrieztu nomaiņu
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Mēs pārveidojam labās puses, attēlojot tās kā logaritmus: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) un \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Tagad mūsu vienādojumi ir \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), un mēs varam pāriet uz \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Mēs pārbaudām ODZ sakņu atbilstību. Lai to izdarītu, nevienādībā \(x>0\) aizstājiet \(4\) un \(2\), nevis \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Abas nevienlīdzības ir patiesas. Tas nozīmē, ka gan \(4\), gan \(2\) ir vienādojuma saknes.

Atbilde : \(4\); \(2\).

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Algebra 11. klase

Tēma: “Logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes”

Nodarbības mērķi:

izglītojošs: zināšanu veidošana par dažādos veidos logaritmisko vienādojumu risināšana, prasme tos pielietot katrā konkrētā situācijā un izvēlēties jebkuru risināšanas metodi;

attīstīt: attīstīt prasmes novērot, salīdzināt, pielietot zināšanas jaunā situācijā, noteikt modeļus, vispārināt; attīstīt savstarpējās kontroles un paškontroles prasmes;

izglītojošs: atbildīgas attieksmes pret audzināšanas darbu veicināšana, vērīga materiāla uztvere stundā un rūpīga piezīmju veikšana.

Nodarbības veids: nodarbība par jauna materiāla ieviešanu.

"Logaritmu izgudrojums, vienlaikus samazinot astronoma darbu, pagarināja viņa dzīvi."
Franču matemātiķis un astronoms P.S. Laplass

Nodarbību laikā

I. Nodarbības mērķa noteikšana

Izpētītā logaritma definīcija, logaritmu īpašības un logaritmiskā funkcija ļaus atrisināt logaritmiskos vienādojumus. Visi logaritmiskie vienādojumi neatkarīgi no tā, cik sarežģīti tie ir, tiek atrisināti, izmantojot vienotus algoritmus. Mēs apskatīsim šos algoritmus šodienas nodarbībā. Viņu nav daudz. Ja jūs tos apgūstat, tad katram no jums būs iespējams jebkurš vienādojums ar logaritmiem.

Pierakstiet piezīmju grāmatiņā stundas tēmu: “Logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes”. Aicinu visus uz sadarbību.

II. Atsauces zināšanu papildināšana

Sagatavosimies nodarbības tēmas izpētei. Jūs atrisiniet katru uzdevumu un pierakstiet atbildi; jums nav jāraksta nosacījums. Strādāt pāros.

1) Kurām x vērtībām funkcijai ir jēga:

(Atbildes tiek pārbaudītas katram slaidam un tiek sakārtotas kļūdas)

2) Vai funkciju grafiki sakrīt?

3) Pārrakstiet vienādības kā logaritmiskas vienādības:

4) Uzrakstiet skaitļus kā logaritmus ar 2. bāzi:

5) Aprēķiniet:

6) Mēģiniet atjaunot vai papildināt trūkstošos elementus šajās vienādībās.

III. Ievads jaunā materiālā

Ekrānā tiek parādīts šāds paziņojums:

"Vienādojums ir zelta atslēga, kas atver visus matemātiskos sezamus."
Mūsdienu poļu matemātiķis S. Kovals

Mēģiniet formulēt logaritmiskā vienādojuma definīciju. (Vienādojums, kas satur nezināmo zem logaritma zīmes).

Apsvērsim Vienkāršākais logaritmiskais vienādojums:žurnālsAx = b(kur a>0, a ≠ 1). Tā kā logaritmiskā funkcija palielinās (vai samazinās) uz pozitīvo skaitļu kopas un ņem visas reālās vērtības, tad no saknes teorēmas izriet, ka jebkuram b šim vienādojumam ir tikai viens risinājums un pozitīvs.

Atcerieties logaritma definīciju. (Cipara x logaritms attiecībā pret bāzi a ir jaudas rādītājs, līdz kuram jāpaaugstina bāze a, lai iegūtu skaitli x). No logaritma definīcijas uzreiz izriet, ka AV ir šāds risinājums.

Pierakstiet virsrakstu: Logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes

1. Pēc logaritma definīcijas.

Šādi tiek atrisināti vienkāršākie formas vienādojumi.

Apsvērsim Nr. 514(a)): Atrisiniet vienādojumu

Kā jūs piedāvājat to atrisināt? (Pēc logaritma definīcijas)

Risinājums. , Tātad 2x - 4 = 4; x = 4.

Šajā uzdevumā 2x - 4 > 0, jo > 0, tātad nevar parādīties svešas saknes, un nav nepieciešams pārbaudīt. Nosacījums 2x - 4 > 0 šajā uzdevumā nav jāizraksta.

2. Potencēšana(pāreja no dotās izteiksmes logaritma uz šo izteiksmi).

Apsvērsim Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Kādu funkciju jūs pamanījāt? (Bāzes ir vienādas, un abu izteiksmju logaritmi ir vienādi.) Ko var darīt? (Potentizē).

Jāņem vērā, ka jebkurš risinājums ir ietverts starp visiem x, kuriem logaritmiskās izteiksmes ir pozitīvas.

Risinājums: ODZ:

X2+8>0 ir nevajadzīga nevienlīdzība

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Potencēsim sākotnējo vienādojumu

iegūstam vienādojumu x2+8= 8x+8

Atrisināsim: x2-8x=0

Atbilde: 0; 8

IN vispārējs skats pāreja uz līdzvērtīgu sistēmu:

Vienādojums

(Sistēmā ir lieks nosacījums - viena no nevienlīdzībām nav jāņem vērā).

Jautājums klasei: Kurš no šiem trim risinājumiem jums patika vislabāk? (Metožu diskusija).

Jums ir tiesības izlemt jebkādā veidā.

3. Jauna mainīgā lieluma ieviešana.

Apsvērsim Nr. 520(g). .

Ko jūs pamanījāt? (Šis ir kvadrātvienādojums attiecībā pret log3x) Vai ir kādi ieteikumi? (Ieviest jaunu mainīgo)

Risinājums. ODZ: x > 0.

Ļaut , tad vienādojums iegūst formu:. Diskriminants D > 0. Saknes saskaņā ar Vietas teorēmu:.

Atgriezīsimies pie aizstāšanas: vai.

Atrisinot vienkāršākos logaritmiskos vienādojumus, mēs iegūstam:

Atbilde: 27;

4. Logaritms abas vienādojuma puses.

Atrisiniet vienādojumu:.

Risinājums: ODZ: x>0, ņem 10. bāzes vienādojuma abu pušu logaritmu:

Pielietosim pakāpju logaritma īpašību:

(logx + 3) logx = 4

Ļaujiet logx = y, tad (y + 3)y = 4

, (D > 0) saknes saskaņā ar Vietas teorēmu: y1 = -4 un y2 = 1.

Atgriezīsimies pie aizstāšanas, iegūstam: lgx = -4,; lgx = 1, .

Atbilde: 0,0001; 10.

5. Samazinājums līdz vienai bāzei.

Nr.523(c). Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums: ODZ: x>0. Pārejam uz 3. bāzi.

6. Funkcionāli-grafiskā metode.

№ 509(d). Grafiski atrisiniet vienādojumu: = 3 - x.

Kā jūs piedāvājat atrisināt? (Izmantojot punktus, izveidojiet grafikus divām funkcijām y = log2x un y = 3 - x un meklējiet grafiku krustošanās punktu abscisas).

Apskatiet savu risinājumu slaidā.

Ir veids, kā izvairīties no grafiku veidošanas . Tas ir šādi : ja viena no funkcijām y = f(x) palielinās, un otrs y = g(x) samazinās uz intervāla X, tad vienādojums f(x)= g(x) ir ne vairāk kā viena sakne intervālā X.

Ja ir sakne, tad to var uzminēt.

Mūsu gadījumā funkcija palielinās, ja x>0, un funkcija y = 3 - x samazinās visām x vērtībām, ieskaitot x>0, kas nozīmē, ka vienādojumam ir ne vairāk kā viena sakne. Ņemiet vērā, ka pie x = 2 vienādojums pārvēršas par patiesu vienādību, jo .

« Pareiza lietošana metodes var apgūt
tikai piemērojot tos dažādiem piemēriem.”
Dāņu matemātikas vēsturnieks G. G. Zeitens

esV. Mājasdarbs

39. lpp. Apsveriet 3. piemēru, atrisiniet Nr. 514(b), Nr. 529(b), Nr. 520(b), Nr. 523(b)

V. Nodarbības rezumēšana

Kādas logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes mēs apskatījām klasē?

Nākamajās nodarbībās mēs aplūkosim vairāk sarežģīti vienādojumi. To risināšanai noderēs pētītās metodes.

Pēdējais parādītais slaids:

“Kas ir vairāk par visu pasaulē?
Kosmoss.
Kas ir visgudrākais?
Laiks.
Kāda ir labākā daļa?
Sasniedz to, ko vēlies."
Thales

Novēlu katram sasniegt to, ko vēlas. Paldies par sadarbību un sapratni.