Īpaši plakani izliekumi. Parametriskais cikloīda vienādojums un vienādojums Dekarta koordinātēs Cikloīda formula

Analizētie piemēri palīdzēja mums pierast pie jaunajiem evolūcijas un evolūcijas jēdzieniem. Tagad esam pietiekami sagatavoti, lai pētītu cikloīdu līkņu attīstību.

Pētot šo vai citu līkni, mēs bieži veidojām palīglīkni - šīs līknes “pavadoni”.

Rīsi. 89.Cikloīds un tā pavadonis.

Tātad, mēs izveidojām taisnas līnijas un apļa konchoīdus, apļa attīstību, sinusoīdu - cikloīda pavadoni. Tagad, pamatojoties uz šo cikloīdu, mēs izveidosim ar to nesaraujami saistītu palīgcikloīdu. Izrādās, ka šāda cikloīda pāra kopīga izpēte dažos aspektos ir vienkāršāka nekā viena atsevišķa cikloīda izpēte. Šādu palīgcikloīdu sauksim par pavadošo cikloīdu.

Apskatīsim pusi no cikloīda AMB arkas (89. att.). Mums nevajadzētu samulsināt, ka šis cikloīds atrodas neparastā veidā (“apgriezts”).

Nozīmēsim 4 taisnes, kas ir paralēlas vadošajai līnijai AK attālumos a, 2a, 3a un 4a. Konstruēsim ģenerējošu apli punktā M atbilstošā pozīcijā (89. att. šī apļa centrs apzīmēts ar burtu O). Apzīmēsim MON griešanās leņķi ar . Tad segments AN būs vienāds (leņķis izteikts radiānos).

Mēs turpinām ģenerējošā apļa diametru NT aiz punkta T līdz krustojumam (punktā E) ar taisni PP. Izmantojot TE kā diametru, mēs izveidosim apli (ar centru ). Konstruēsim cikloīda AMB tangensu punktā M. Lai to izdarītu, punktam M, kā zināms, jābūt savienotam ar punktu T (23. lpp.). Turpināsim pieskares MT aiz punkta T, līdz tā krustojas ar palīgloku, un krustpunktu saucam par . Tas ir jautājums, ko mēs tagad vēlamies risināt.

Mēs apzīmējām leņķi MON ar Tāpēc leņķis MTN būs vienāds ar (ierakstītais leņķis, pamatojoties uz to pašu loku). Trijstūris acīmredzami ir vienādsānu. Tāpēc ne tikai leņķis, bet arī leņķis būs vienāds. Tādējādi leņķa daļai trijstūrī paliek precīzi radiāni (atcerieties, ka 180° leņķis ir vienāds ar radiāniem). Mēs arī atzīmējam, ka segments NK acīmredzami ir vienāds ar ().

Tagad apskatīsim apli ar centru, kas parādīts attēlā. 89 pārtraukta līnija. No zīmējuma ir skaidrs, kāda veida aplis tas ir. Ja ripināsiet to, neslīdot pa taisni CB, tad tā punkts B aprakstīs cikloīdu BB Kad pārtrauktais aplis griežas leņķī , centrs nonāks punktā un rādiuss ieņems pozīciju Tādējādi punkts, kurā mēs. konstruēts izrādās cikloīda BB punkts,

Aprakstītā konstrukcija saista katru cikloīda AMB punktu M ar cikloīda punktu attēlā. 90 šī sarakste ir parādīta skaidrāk. Šādā veidā iegūto cikloīdu sauc par pavadošo. Attēlā 89. un 90. attēlā cikloīdi, kas attēloti ar biezām pārtrauktām līnijām, ir pievienoti attiecībā pret cikloīdiem, kas attēloti ar biezām nepārtrauktām līnijām.

No att. 89 ir skaidrs, ka taisne ir normāla punktā pavadošajam cikloīdam. Patiešām, šī taisne iet caur cikloīda punktu un caur ģenerējošā apļa un virzošās līnijas pieskares punktu T (ģenerējošā apļa “zemākais” punkts, kā mēs reiz teicām; tagad izrādījās, ka tas ir “augstākais”, jo zīmējums ir pagriezts).

Bet šī pati taisnā līnija pēc konstrukcijas ir pieskares “galvenajam” cikloīdam AMB. Tādējādi sākotnējais cikloīds skar katru pavadošā cikloīda normālu. Tas ir pavadošā cikloīda normālu apvalks, t.i., tā evolūcija. Un “pavadošais” cikloīds izrādās vienkārši sākotnējā cikloīda evolūcija (atlocīšanās)!

Rīsi. 91 Atbilstība starp cikloīda punktiem un to pavadošo punktu.

Iesaistoties šajā apgrūtinošajā, bet būtībā vienkāršajā konstrukcijā, mēs pierādījām ievērojamu teorēmu, ko atklāja holandiešu zinātnieks Huygens. Šeit ir šī teorēma: cikloīda evolūcija ir tieši tāds pats cikloīds, tikai nobīdīts.

Konstruējot evolūtu nevis vienai arkai, bet visam cikloīdam (ko, protams, var izdarīt tikai mentāli), tad šī evolūta utt., mēs iegūstam att. 91, kas atgādina flīzes.

Pievērsīsim uzmanību faktam, ka, pierādot Huygens teorēmu, mēs neizmantojām ne bezgalīgi mazas, ne nedalāmas, ne aptuvenas aplēses. Mēs pat neizmantojām mehāniku; mēs dažreiz izmantojām izteicienus, kas aizgūti no mehānikas. Šis pierādījums pilnībā atbilst 17. gadsimta zinātnieku argumentācijai, kad viņi vēlējās stingri pamatot iegūtos rezultātus, izmantojot dažādus vadošos apsvērumus.

No Haigensa teorēmas uzreiz izriet svarīgs secinājums. Apsveriet segmentu AB attēlā. 89. Šī posma garums acīmredzami ir 4a. Tagad iedomāsimies, ka ap cikloīda AMB loku ir uztīts pavediens, kas fiksēts punktā A un aprīkots ar zīmuli punktā B. Ja mēs “uztīsim” pavedienu, zīmulis virzīsies pa cikloīda AMB attīstību. , t.i., gar cikloīdu BMB.

Rīsi. 91 Cikloīda secīgas evolūcijas.

Vītnes garums, kas vienāds ar cikloīda pusloka garumu, acīmredzot būs vienāds ar segmentu AB, t.i., kā mēs redzējām, 4a. Līdz ar to visa cikloīda loka garums būs vienāds ar 8a, un tagad formulu var uzskatīt par diezgan stingri pierādītu.

No att. 89 jūs varat redzēt vairāk: formula ne tikai visa cikloīda loka garumam, bet arī jebkura tā loka garumam. Patiešām, ir acīmredzams, ka loka MB garums ir vienāds ar segmenta garumu, t.i., dubultā pieskares segmentu attiecīgajā cikloīda punktā, kas atrodas ģenerējošā apļa iekšpusē.

Cyclomis (no grieķu khklpeidYut — apaļš) ir plakana pārpasaulīga līkne. Cikloīdu kinemātiski definē kā ģenerējoša apļa ar rādiusu r fiksēta punkta trajektoriju, ripojot, neslīdot pa taisnu līniju.

Vienādojumi

Pieņemsim horizontālo koordinātu asi par taisni, pa kuru ripo ģenerējošais aplis ar rādiusu r.

· Cikloīdu apraksta parametru vienādojumi

Vienādojums Dekarta koordinātēs:

· Cikloīdu var iegūt kā diferenciālvienādojuma risinājumu:

Īpašības

• · Cikloīds - periodiska funkcija gar x asi, ar periodu 2рr. Par perioda robežām ir ērti ņemt vienskaitļa punktus (atgriešanās punktus) formā t = 2рk, kur k ir patvaļīgs vesels skaitlis.
• · Lai patvaļīgā punktā A uzzīmētu cikloīda pieskari, pietiek savienot šo punktu ar ģenerējošā apļa augšējo punktu. Savienojot A ar ģenerējošā apļa apakšējo punktu, mēs iegūstam normālu.
• · Cikloīda arkas garums ir 8r. Šo īpašumu atklāja Kristofers Vrens (1658).
• · Laukums zem katra cikloīda loka ir trīs reizes lielāks par ģenerējošā apļa laukumu. Toričelli apgalvo, ka šo faktu atklājis Galilejs.
• · Cikloīda pirmās arkas izliekuma rādiuss ir vienāds.

• · "Apgrieztais" cikloīds ir stāvākā nolaišanās līkne (brahistohrons). Turklāt tam ir arī tautohronijas īpašība: smags ķermenis, kas novietots jebkurā cikloīda loka punktā, sasniedz horizontāli tajā pašā laikā.
• · Materiāla punkta svārstību periods, kas slīd pa apgrieztu cikloīdu, nav atkarīgs no amplitūdas, šo faktu izmantoja Haigenss, lai izveidotu precīzus mehāniskos pulksteņus.
• · Cikloīda evolūcija ir oriģinālajam kongruents cikloīds, proti, paralēli nobīdīts tā, ka virsotnes pārvēršas par “punktiem”.
• · Mašīnu daļas, kas vienlaikus veic vienmērīgu rotācijas un translācijas kustību, apraksta cikloīdas līknes (cikloīds, epicikloīds, hipocikloīds, trohoīds, astroīds) (sal. Bernulli lemniskāta konstrukciju).

Cikloīda loka garumu pirmo reizi aprēķināja angļu arhitekts un matemātiķis Vrens 1658. gadā. Wren balstījās uz mehāniskiem apsvērumiem, kas atgādināja Toričelli un Robervala pirmos darbus. Viņš apsvēra ripojoša apļa griešanos ļoti mazā leņķī netālu no ģenerējošā apļa “apakšējā” punkta. Lai Rēna suģestējošajiem apsvērumiem piešķirtu demonstratīvu spēku, būtu jāapsver vesela virkne palīgteorēmu, un attiecīgi būtu nepieciešams tērēt pārāk daudz darba.

Daudz ērtāk ir izmantot garāku, bet maigu ceļu. Lai to izdarītu, jums jāņem vērā īpašā līkne, kas ir katrai plakanai līknei - tās attīstība.

Aplūkosim izliektas līnijas izliektu loku AB (4.1. att.). Iedomāsimies, ka lokam AB punktā A ir piestiprināta elastīga, neizstiepjama vītne, kuras garums ir tāds pats kā lokam AB, un šī vītne tiek “aptīta” uz līknes un cieši pieguļ tai tā, lai tās gals sakristu ar punktu. B. Mēs “atlocīsimies” -- iztaisnojam vītni, turot to nostieptu, lai CM vītnes brīvā daļa vienmēr būtu vērsta tangenciāli lokam AB. Šādos apstākļos pavediena beigas aprakstīs noteiktu līkni. Šo līkni sauc par attīstību vai latīņu valodā ietīta sākotnējā līkne.

Ja līknes loks nav izliekts visur vienā virzienā, ja tas ir kā līkne AB attēlā. 4.2, ir punkts C, kurā līknes pieskare pāriet no vienas puses uz otru (šādu punktu sauc par lēciena punktu), tad šajā gadījumā var runāt par līknes attīstību, bet argumentācijai būs lai būtu nedaudz sarežģītāk.

Iedomāsimies, ka vītne ir fiksēta tieši lieces punktā C (4.2. att.). Vītne, attinoties no loka BC, aprakstīs BMR līkni - skenēšanu.

Tagad iedomāsimies pavedienu, kas aptīts ap sākotnējās līknes loku AC, bet šis pavediens jau ir izstiepts: punktā C tam ir piesiets vītnes CP gabals. Aptinot iegareno ACP pavedienu ar CA līkni, iegūstam RNS loku, kas kopā ar BMP loku veido vienotu nepārtrauktu līkni - nepārtrauktu, bet ne visur gludu: sākotnējās līknes novirzes punkts C atbildīs BMRNA līknes gals (atgriešanās punkts): BMRNA līkne būs BCA līknes evolūcija (slaucīšana).

Šie piemēri palīdzēja mums pierast pie jaunajiem evolūcijas un evolūcijas jēdzieniem. Tagad izpētīsim cikloīdu līkņu attīstību.

Pētot šo vai citu līkni, mēs bieži izveidojām palīglīkni - šīs līknes “pavadoni”. Tātad, mēs maksājam sinusoīdu - cikloīda pavadoni. Tagad, pamatojoties uz šo cikloīdu, mēs izveidosim ar to nesaraujami saistītu palīgcikloīdu. Izrādās, ka šāda cikloīda pāra kopīga izpēte dažos aspektos ir vienkāršāka nekā viena atsevišķa cikloīda izpēte. Šādu palīgcikloīdu sauksim par pavadošo cikloīdu.

Apskatīsim cikloīda AMB arkas pusi (4.3. att.). Mums nevajadzētu samulsināt, ka šis cikloīds atrodas neparastā veidā (“apgriezts”). Novelkam attālumos 4 taisnes paralēli virzošajai taisnei AK a, 2a, 3a un 4 a. Konstruēsim ģenerējošu apli punktā M atbilstošā pozīcijā (4.3. att. šī apļa centrs apzīmēts ar burtu O). Apzīmēsim griešanās leņķi MON ar c. Tad segments AN būs vienāds ar bc (leņķi c izsaka radiānos).

Mēs turpinām ģenerējošā apļa diametru NT aiz punkta T līdz krustojumam (punktā E) ar taisni PP. Izmantojot TE kā diametru, mēs izveidosim apli (ar centru O 1). Konstruēsim cikloīda AMB tangensu punktā M. Lai to izdarītu, punktam M, kā zināms, jābūt savienotam ar punktu T. Pagarināsim pieskares MT garām punktam T, līdz tā krustojas ar palīgloku, un krustpunktu saucam par M 1. Tieši ar šo punktu M 1 mēs tagad vēlamies nodarboties.

Mēs apzīmējām leņķi MON ar c. Tāpēc leņķis MTN būs vienāds ar (ierakstītais leņķis, pamatojoties uz to pašu loku). Trijstūris TO 1 M 1 acīmredzami ir vienādsānu. Tāpēc ne tikai leņķis O 1 TM 1, bet arī leņķis TM 1 O 1 katrs būs vienāds. Tādējādi leņķa TO 1 M 1 daļa trijstūrī TO 1 M 1 paliek tieši p - q radiāni (atcerieties, ka leņķis 180? ir vienāds ar p radiāniem). Ņemsim arī vērā, ka segments NK acīmredzami ir vienāds ar b(p - q).

Tagad aplūkosim apli ar centru O 2, kas parādīts 4.3. attēlā ar pārtrauktu līniju. No zīmējuma ir skaidrs, kāda veida aplis tas ir. Ja to ripināsi, neslīdot pa taisnu līniju NE, tad tā punkts B aprakstīs cikloīdu BB. Kad pārtrauktais aplis griežas leņķī p - c, centrs O 2 nonāks punktā O 1, un rādiuss O 2 B ieņems pozīciju O 1 M 1. Tādējādi mūsu konstruētais punkts M 1 izrādās cikloīda BB punkts.

Aprakstītā konstrukcija katru cikloīda AMB punktu M saista ar cikloīda VM 1 B punktu M 1. Attēlā. 4.4 skaidrāk parāda šo atbilstību. Šādā veidā iegūto cikloīdu sauc par pavadošo. Attēlā 4.3. un 4.4., cikloīdi, kas attēloti ar biezām pārtrauktām līnijām, ir pievienoti attiecībā pret cikloīdiem, kas attēloti ar biezām nepārtrauktām līnijām.

No att. 4.3. Ir skaidrs, ka taisne MM 1 ir normāla punktā M 1 attiecībā pret pavadošo cikloīdu. Patiešām, šī taisne iet caur cikloīda punktu M 1 un caur ģenerējošā apļa un virzošās līnijas pieskares punktu T (ģenerējošā apļa “zemākais” punkts, kā mēs reiz teicām; tagad tas izrādījās “augstākais”, jo zīmējums ir pagriezts). Bet šī pati taisne pēc konstrukcijas ir pieskares cikloīda AMB “bāzei”. Tādējādi sākotnējais cikloīds skar katru pavadošā cikloīda normālu. Tas ir pavadošā cikloīda normālu aploksne, t.i. tās evolūcija. Un “pavadošais” cikloīds izrādās vienkārši sākotnējā cikloīda evolūcija!

Iesaistoties šajā apgrūtinošajā, bet būtībā vienkāršajā konstrukcijā, mēs pierādījām ievērojamu teorēmu, ko atklāja holandiešu zinātnieks Huygens. Šī ir teorēma: Cikloīda evolūcija ir tieši tāds pats cikloīds, tikai nobīdīts.

Konstruējot evolūtu nevis vienai arkai, bet visam cikloīdam (ko, protams, var izdarīt tikai garīgi), tad evolūtu šim evolūtam utt., iegūstam att. 4.5, kas atgādina flīzes.

Pievērsīsim uzmanību faktam, ka, pierādot Huygens teorēmu, mēs neizmantojām ne bezgalīgi mazas, ne nedalāmas, ne aptuvenas aplēses. Mēs pat neizmantojām mehāniku, lai gan dažreiz izmantojām no mehānikas aizgūtus izteicienus. Šis pierādījums pilnībā atbilst 17. gadsimta zinātnieku argumentācijai, kad viņi vēlējās stingri pamatot iegūtos rezultātus, izmantojot dažādus vadošos apsvērumus.

No Haigensa teorēmas uzreiz izriet svarīgs secinājums. Apsveriet segmentu AB attēlā. 4.4. Šī segmenta garums acīmredzami ir 4 a. Tagad iedomāsimies, ka ap cikloīda AMB loku ir uztīts pavediens, kas fiksēts punktā A un aprīkots ar zīmuli punktā B. Ja mēs “uztīsim” pavedienu, zīmulis virzīsies pa cikloīda AMB attīstību. , t.i. pa cikloīdu BM 1 B. Vītnes garums, kas vienāds ar cikloīda pusloka garumu, acīmredzot būs vienāds ar segmentu AB, t.i., kā redzējām, 4 a. Tāpēc visas cikloīda arkas garums L būs vienāds ar 8 a, un formula L=8 a tagad var uzskatīt par diezgan stingri pierādītu.

Aprēķināsim loka garumu, izmantojot diferenciālo ģeometriju. Šādā veidā iegūtais risinājums būs daudz īsāks un vienkāršāks:

Kur t?

| r(t)|===2grēks

5. Parametriskais cikloīda vienādojums un vienādojums Dekarta koordinātās

Pieņemsim, ka mums ir dots cikloīds, ko veido aplis ar rādiusu a un centrs atrodas punktā A.

Ja par punkta pozīciju noteicošo parametru izvēlamies leņķi t=∟NDM, caur kuru izdevās pagriezt rādiusam, kuram ripināšanas sākumā bija vertikāla pozīcija AO, tad punkta M x un y koordinātas. izteikt šādi:

x = OF = IESLĒGTS - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Tātad cikloīda parametriskajiem vienādojumiem ir šāda forma:

Kad t mainās no -∞ uz +∞, tiks iegūta līkne, kas sastāv no bezgala daudzu zaru, piemēram, tiem, kas parādīti šajā attēlā.

Papildus cikloīda parametriskajam vienādojumam ir arī tā vienādojums Dekarta koordinātās:

Kur r ir cikloīdu veidojošā apļa rādiuss.

6. Cikloīda daļu un figūru atrašanas uzdevumi, ko veido cikloīds

Uzdevums Nr.1. Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo viens cikloīda loks, kura vienādojums ir dots parametriski

un Vērša ass.

Risinājums. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantosim faktus, kurus mēs zinām no integrāļu teorijas, proti:

Izliekta sektora laukums.

Apsveriet kādu funkciju r = r(ϕ), kas definēta [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] atbilst r 0 = r(ϕ 0) un līdz ar to punktam M 0 (ϕ 0 , r 0), kur ϕ 0,

r 0 - punkta polārās koordinātas. Ja ϕ mainās, “skrienot cauri” visam [α, β], tad mainīgais punkts M aprakstīs kādu līkni AB, ņemot vērā

vienādojums r = r(ϕ).

Definīcija 7.4. Līklīnijas sektors ir figūra, ko ierobežo divi stari ϕ = α, ϕ = β un līkne AB, kas noteikta polārā

koordinātas ar vienādojumu r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Tālāk teiktais ir patiess

Teorēma. Ja funkcija r(ϕ) > 0 un ir nepārtraukta uz [α, β], tad laukums

līknes sektoru aprēķina pēc formulas:

Šī teorēma tika pierādīta iepriekš noteiktā integrāļa tēmā.

Pamatojoties uz iepriekš minēto teorēmu, mūsu uzdevums ir atrast figūras laukumu, kuru ierobežo viens cikloīda loks, kura vienādojumu dod parametru parametri x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t) un Ox ass, tiek reducēts līdz šādam risinājumam .

Risinājums. No līknes vienādojuma dx = a(1−cos t) dt. Cikloīda pirmais loks atbilst parametra t izmaiņām no 0 līdz 2π. Tāpēc

Uzdevums Nr.2. Atrodiet cikloīda viena loka garumu

Integrālrēķinos tika pētīta arī šī teorēma un tās sekas.

Teorēma. Ja līkne AB ir dota ar vienādojumu y = f(x), kur f(x) un f ’ (x) ir nepārtraukti uz , tad AB ir iztaisnojams un

Sekas. Ļaujiet AB dot parametriski

L AB = (1)

Funkcijas x(t), y(t) ir nepārtraukti diferencējamas uz [α, β]. Tad

formulu (1) var uzrakstīt šādi

Veiksim mainīgo maiņu šajā integrālī x = x(t), tad y’(x)= ;

dx= x’(t)dt un tādēļ:

Tagad atgriezīsimies pie mūsu problēmas risināšanas.

Risinājums. Mums ir, un tāpēc

Uzdevums Nr.3. Mums jāatrod virsmas laukums S, kas veidojas no cikloīda viena loka rotācijas

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – izmaksas), 0≤ t ≤ 2π)

Integrālajā aprēķinos ir šāda formula, lai atrastu apgriezienu ķermeņa virsmas laukumu ap segmentā parametriski definētas līknes x asi: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Piemērojot šo formulu mūsu cikloīda vienādojumam, mēs iegūstam:

Uzdevums Nr.4. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot cikloīda arku

Pa Vērša asi.

Integrālajā aprēķinā, pētot apjomus, ir šāda piezīme:

Ja līkne, kas ierobežo līknes trapeci, ir dota ar parametriskiem vienādojumiem un šajos vienādojumos esošās funkcijas apmierina teorēmas nosacījumus par mainīgā lieluma maiņu noteiktā integrālī, tad trapeces ķermeņa apgrieziena tilpums ap Ox asi būs jāaprēķina pēc formulas

Izmantosim šo formulu, lai atrastu vajadzīgo apjomu.

Problēma ir atrisināta.

Secinājums

Tātad šī darba gaitā tika noskaidrotas cikloīda pamatīpašības. Mēs arī iemācījāmies veidot cikloīdu un noskaidrojām cikloīda ģeometrisko nozīmi. Kā izrādījās, cikloīdam ir milzīgs praktisks pielietojums ne tikai matemātikā, bet arī tehnoloģiskajos aprēķinos un fizikā. Bet cikloīdam ir arī citas priekšrocības. To izmantoja 17. gadsimta zinātnieki, izstrādājot izliektu līniju izpētes paņēmienus - tos paņēmienus, kas galu galā noveda pie diferenciālskaitļa un integrālrēķina izgudrošanas. Tas bija arī viens no "salīdzināšanas akmeņiem", uz kura Ņūtons, Leibnics un viņu agrīnie pētnieki pārbaudīja spēcīgu jaunu matemātisko metožu spēku. Visbeidzot, brahistohrona problēma noveda pie variāciju aprēķināšanas izgudrošanas, kas ir tik nepieciešama mūsdienu fiziķiem. Tādējādi cikloīds izrādījās nesaraujami saistīts ar vienu no interesantākajiem periodiem matemātikas vēsturē.

Literatūra

1. Bermans G.N. Cikloīds. – M., 1980. gads

2. Verovs S.G. Brahistohrons vai cits cikloīda noslēpums // Kvants. – 1975. – 5.nr

3. Verovs S.G. Cikloīda noslēpumi // Kvants. – 1975. – 8.nr.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Noteikta integrāļa pielietojumi. Metodiskie norādījumi un individuālie uzdevumi Fizikas fakultātes 1. kursa studentiem. - Rostova n/a: UPL RSU, 1994.g.

5. Gindikin S.G. Cikloīda zvaigžņu vecums // Kvants. – 1985. – 6.nr.

6. Fikhtengolts G.M. Diferenciālrēķina un integrāļa aprēķina kurss. T.1. – M., 1969. gads

Šo līniju sauc par "aploksni". Katra izliekta līnija ir tās pieskares aploksne.

Matērija un kustība un to veidojošā metode ļauj ikvienam realizēt savu patiesības zināšanu potenciālu. Metodoloģijas izstrāde dialektiski materiālistiskas domāšanas formas attīstībai un līdzīgas izziņas metodes apguve ir otrais solis ceļā uz Cilvēka spēju attīstības un realizācijas problēmas risināšanu. XX fragments Iespējas...

Šādā situācijā cilvēkiem var attīstīties neirastēnija – neiroze, kuras klīniskā attēla pamatā ir astēnisks stāvoklis. Gan neirastēnijas, gan neirastēniskās psihopātijas dekompensācijas gadījumā garīgās (psiholoģiskās) aizsardzības būtība izpaužas kā atkāpšanās no grūtībām uz aizkaitināmu vājumu ar veģetatīvām disfunkcijām: vai nu cilvēks neapzināti vairāk “apkaro” uzbrukumu. ..

dažāda veida aktivitātes; telpiskās iztēles un telpisko jēdzienu, skolēnu tēlainās, telpiskās, loģiskās, abstraktās domāšanas attīstība; attīstot prasmi pielietot ģeometriskās un grafikas zināšanas un prasmes dažādu lietišķo problēmu risināšanā; iepazīšanās ar projekta aktivitāšu saturu un posmu secību tehnisko un...

Arcs. Spirāles ir arī slēgtu līkņu evolūcijas, piemēram, apļa evolūcijas. Dažu spirāļu nosaukumus dod to polāro vienādojumu līdzība ar līkņu vienādojumiem Dekarta koordinātēs, piemēram: · paraboliskā spirāle (a - r)2 = bj, · hiperboliskā spirāle: r = a/j. · Stienis: r2 = a/j · si-ci-spirāle, kuras parametriskajiem vienādojumiem ir forma: , )