Aprēķināt vektora projekcijas uz koordinātu asīm. Spēka projekcija uz asi

Ievads…………………………………………………………………………………3

1. Vektora un skalāra vērtība……………………………………….4

2. Punkta projekcijas, ass un koordinātas definīcija……………………5

3. Vektora projekcija uz asi…………………………………………………………6

4. Vektoru algebras pamatformula………………………………..8

5. Vektora moduļa aprēķins no tā projekcijām………………………9

Secinājums…………………………………………………………………………………11

Literatūra……………………………………………………………………………………12

Ievads:

Fizika ir nesaraujami saistīta ar matemātiku. Matemātika dod fizikas līdzekļus un paņēmienus, lai vispārīgi un precīzi izteiktu attiecības starp fizikāliem lielumiem, kas tiek atklāti eksperimenta vai teorētiskas izpētes rezultātā. Galu galā galvenā fizikas pētījumu metode ir eksperimentāla. Tas nozīmē, ka zinātnieks atklāj aprēķinus, izmantojot mērījumus. Apzīmē attiecības starp dažādiem fizikāliem lielumiem. Tad viss tiek tulkots matemātikas valodā. Tiek veidots matemātiskais modelis. Fizika ir zinātne, kas pēta visvienkāršākos un tajā pašā laikā vispārīgākos likumus. Fizikas uzdevums ir radīt mūsu prātā priekšstatu par fizisko pasauli, kas vispilnīgāk atspoguļo tās īpašības un nodrošina tādas modeļa elementu attiecības, kas pastāv starp elementiem.

Tātad fizika veido apkārtējās pasaules modeli un pēta tā īpašības. Bet jebkurš modelis ir ierobežots. Veidojot konkrētas parādības modeļus, tiek ņemtas vērā tikai tās īpašības un savienojumi, kas ir būtiski konkrētam parādību lokam. Tā ir zinātnieka māksla – izvēlēties galveno no visas dažādības.

Fiziskie modeļi ir matemātiski, bet matemātika nav to pamatā. Kvantitatīvās attiecības starp fizikāliem lielumiem tiek noteiktas mērījumu, novērojumu un eksperimentālu pētījumu rezultātā un tiek izteiktas tikai matemātikas valodā. Tomēr nav citas valodas fizikālo teoriju konstruēšanai.

1. Vektora un skalāra nozīme.

Fizikā un matemātikā vektors ir lielums, ko raksturo tā skaitliskā vērtība un virziens. Fizikā ir daudz svarīgu lielumu, kas ir vektori, piemēram, spēks, pozīcija, ātrums, paātrinājums, griezes moments, impulss, elektriskā un magnētiskā lauka stiprums. Tos var pretstatīt citiem lielumiem, piemēram, masai, tilpumam, spiedienam, temperatūrai un blīvumam, ko var raksturot ar parastu skaitli un sauc par " skalāri".

Tos raksta vai nu ar parastajiem burtiem, vai cipariem (a, b, t, G, 5, −7...). Skalārie lielumi var būt pozitīvi vai negatīvi. Tajā pašā laikā dažiem izpētes objektiem var būt tādas īpašības, kuru pilnīgam aprakstam ir nepietiekamas zināšanas tikai par skaitlisko mērauklu, ir nepieciešams arī raksturot šīs īpašības pēc virziena telpā. Šādas īpašības raksturo vektoru daudzumi (vektori). Vektori, atšķirībā no skalāriem, tiek apzīmēti ar trekniem burtiem: a, b, g, F, C....
Bieži vien vektors tiek apzīmēts ar burtu parastajā (ne treknrakstā) fontā, bet ar bultiņu virs tā:

Turklāt vektors bieži tiek apzīmēts ar burtu pāri (parasti ar lielo burtu), kur pirmais burts norāda vektora sākumu, bet otrais – tā beigas.

Vektora modulis, tas ir, virzītas līnijas segmenta garums, tiek apzīmēts ar tādiem pašiem burtiem kā pats vektors, bet parastā (ne treknrakstā) rakstā un bez bultiņas virs tiem vai tieši tādā pašā veidā. kā vektoru (tas ir, treknrakstā vai regulāri, bet ar bultiņu), bet tad vektora apzīmējums ir ietverts vertikālās defisēs.
Vektors ir sarežģīts objekts, ko vienlaikus raksturo gan lielums, gan virziens.

Nav arī pozitīvu un negatīvu vektoru. Bet vektori var būt vienādi viens ar otru. Tas ir tad, kad, piemēram, a un b ir vienādi moduļi un tie ir vērsti vienā virzienā. Šajā gadījumā apzīmējums ir patiess a= b. Jāpatur prātā arī tas, ka pirms vektora simbola var būt mīnusa zīme, piemēram, - c, tomēr šī zīme simboliski norāda, ka vektoram -c ir tāds pats modulis kā vektoram c, bet tas ir vērsts pretēji. virziens.

Vektoru -c sauc par pretējo (vai apgriezto) vektoram c.
Fizikā katrs vektors ir piepildīts ar noteiktu saturu, un, salīdzinot viena veida vektorus (piemēram, spēkus), arī to pielietojuma punkti var būt nozīmīgi.

2. Punkta projekcijas, ass un koordinātas noteikšana.

Ass- Šī ir taisna līnija, kurai ir dots kāds virziens.
Asi apzīmē ar kādu burtu: X, Y, Z, s, t... Parasti uz ass (patvaļīgi) tiek izvēlēts punkts, ko sauc par izcelsmi un, kā likums, apzīmē ar burtu O. No šī punkta tiek mērīti attālumi līdz citiem mums interesējošiem punktiem.

Punkta projekcija uz ass ir perpendikula pamats, kas novilkts no šī punkta uz doto asi. Tas nozīmē, ka punkta projekcija uz asi ir punkts.

Punkta koordināte uz dotās ass ir skaitlis, kura absolūtā vērtība ir vienāda ar ass segmenta garumu (izvēlētajā skalā), kas atrodas starp ass sākumpunktu un punkta projekciju uz šo asi. Šo skaitli ņem ar plus zīmi, ja punkta projekcija atrodas ass virzienā no tā sākuma un ar mīnusa zīmi, ja pretējā virzienā.

3. Vektora projekcija uz asi.

Vektora projekcija uz asi ir vektors, ko iegūst, reizinot vektora skalāro projekciju uz šo asi un šīs ass vienības vektoru. Piemēram, ja x ir vektora a skalārā projekcija uz X asi, tad x ·i ir tā vektora projekcija uz šo asi.

Apzīmēsim vektora projekciju tāpat kā pašu vektoru, bet ar tās ass indeksu, uz kuras vektors tiek projicēts. Tādējādi vektora a vektora projekciju uz X asi mēs apzīmējam kā x (trekns burts, kas apzīmē vektoru un ass nosaukuma apakšindeksu) vai

(mazu treknrakstu, kas apzīmē vektoru, bet ar bultiņu augšpusē (!) un ass nosaukuma apakšindeksu).

Skalārā projekcija vektoru uz asi sauc numuru, kura absolūtā vērtība ir vienāda ar ass segmenta garumu (izvēlētajā skalā), kas atrodas starp vektora sākuma punkta un beigu punkta projekcijām. Parasti izteiksmes vietā skalārā projekcija viņi vienkārši saka - projekcija. Projekciju apzīmē ar to pašu burtu kā projicēto vektoru (parastā, bez treknrakstā), ar zemāku indeksu (parasti) tās ass nosaukumam, uz kuras šis vektors tiek projicēts. Piemēram, ja vektors tiek projicēts uz X asi A, tad tā projekciju apzīmē ar x. Projicējot vienu un to pašu vektoru uz citas ass, ja ass ir Y, tā projekcija tiks apzīmēta ar y.

Lai aprēķinātu projekciju vektors uz ass (piemēram, uz X ass) ir jāatņem sākuma punkta koordināte no tā beigu punkta koordinātas, tas ir

a x = x k − x n.

Vektora projekcija uz asi ir skaitlis. Turklāt projekcija var būt pozitīva, ja vērtība x k ir lielāka par vērtību x n,

negatīvs, ja vērtība x k ir mazāka par vērtību x n

un vienāds ar nulli, ja x k ir vienāds ar x n.

Vektora projekciju uz asi var atrast arī, zinot vektora moduli un leņķi, ko tas veido ar šo asi.

No attēla ir skaidrs, ka a x = a Cos α

Tas ir, vektora projekcija uz asi ir vienāda ar vektora moduļa un leņķa kosinusa reizinājumu starp ass virzienu un vektora virziens. Ja leņķis ir akūts, tad
Cos α > 0 un a x > 0, un, ja strups, tad strupā leņķa kosinuss ir negatīvs, un arī vektora projekcija uz asi būs negatīva.

Leņķi, kas mērīti no ass pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tiek uzskatīti par pozitīviem, un leņķi, kas mērīti gar asi, ir negatīvi. Taču, tā kā kosinuss ir pāra funkcija, tas ir, Cos α = Cos (− α), tad, aprēķinot projekcijas, leņķus var skaitīt gan pulksteņrādītāja virzienā, gan pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lai atrastu vektora projekciju uz asi, šī vektora modulis jāreizina ar leņķa kosinusu starp ass virzienu un vektora virzienu.

4. Vektoru algebras pamatformula.

Projicēsim vektoru a uz taisnstūra koordinātu sistēmas X un Y asīm. Atradīsim vektora a vektora projekcijas uz šīm asīm:

a x = a x ·i un y = a y ·j.

Bet saskaņā ar vektoru pievienošanas likumu

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Tādējādi mēs izteicām vektoru tā projekcijās un taisnstūra koordinātu sistēmas vektoros (vai vektoru projekciju izteiksmē).

Vektora projekcijas a x un a y sauc par vektora a komponentiem vai komponentiem. Darbību, ko veicām, sauc par vektora sadalīšanu pa taisnstūra koordinātu sistēmas asīm.

Ja vektors ir dots telpā, tad

a = a x i + a y j + a z k.

Šo formulu sauc par vektoru algebras pamatformulu. Protams, to var uzrakstīt arī šādi.

VEKTORALGEBRAS PAMATJĒDZIENI

Skalārie un vektoru lielumi

No elementārās fizikas kursa ir zināms, ka dažus fiziskos lielumus, piemēram, temperatūru, tilpumu, ķermeņa masu, blīvumu utt., nosaka tikai skaitliskā vērtība. Tādus daudzumus sauc skalārie daudzumi vai skalāri.

Lai noteiktu dažus citus lielumus, piemēram, spēku, ātrumu, paātrinājumu un tamlīdzīgi, papildus skaitliskām vērtībām ir nepieciešams norādīt arī to virzienu telpā. Tiek saukti daudzumi, kurus papildus to absolūtajai vērtībai raksturo arī virziens vektors.

Definīcija Vektors ir virzīts segments, ko nosaka divi punkti: pirmais punkts nosaka vektora sākumu, bet otrais nosaka tā beigas. Tāpēc viņi arī saka, ka vektors ir sakārtots punktu pāris.

Attēlā vektoru attēlo taisnas līnijas segments, uz kura bultiņa iezīmē virzienu no vektora sākuma līdz tā beigām. Piemēram, att. 2.1.

Ja vektora sākums sakrīt ar punktu , un beigas ar punktu , tad vektoru apzīmē
. Turklāt vektorus bieži apzīmē ar vienu mazu burtu ar bultiņu virs tā . Grāmatās dažreiz bultiņa tiek izlaista, tad vektora apzīmēšanai izmanto treknrakstu.

Vektori ietver nulles vektors, kuras sākums un beigas sakrīt. Tas ir norādīts vai vienkārši .

Attālumu starp vektora sākumu un beigām sauc par vektoru garums vai modulis. Vektora modulis ir norādīts ar divām vertikālām joslām kreisajā pusē:
, vai bez bultiņām
vai .

Tiek saukti vienai taisnei paralēli vektori kolineārs.

Tiek saukti vektori, kas atrodas vienā plaknē vai paralēli tai pašai plaknei koplanārs.

Nulles vektors tiek uzskatīts par kolineāru jebkuram vektoram. Tās garums ir 0.

Definīcija Divi vektori
Un
sauc par vienādiem (2.2. att.), ja tie:
1)kolineārs; 2) līdzvirziena 3) vienāda garumā.

Tas ir rakstīts šādi:
(2.1)

No vektoru vienādības definīcijas izriet, ka paralēli pārnesot vektoru, tiek iegūts vektors, kas ir vienāds ar sākotnējo, tāpēc vektora sākumu var novietot jebkurā telpas punktā. Tādus vektorus (teorētiskajā mehānikā, ģeometrijā), kuru sākums var atrasties jebkurā telpas punktā, sauc bezmaksas. Un mēs apsvērsim tieši šos vektorus.

Definīcija Vektoru sistēma
sauc par lineāri atkarīgu, ja ir šādas konstantes
, starp kuriem ir vismaz viens, kas atšķiras no nulles, un uz kuru attiecas vienlīdzība.

Definīcija Bāzi telpā sauc par patvaļīgiem trim nekopplanāriem vektoriem, kas tiek ņemti noteiktā secībā.

Definīcija Ja
- bāze un vektors, tad skaitļi
sauc par vektoru koordinātām šajā pamatā.

Vektora koordinātas rakstīsim cirtainās iekavās aiz vektora apzīmējuma. Piemēram,
nozīmē, ka vektors kādā izvēlētajā pamatā ir paplašinājums:
.

No vektora reizināšanas ar skaitli un vektoru pievienošanas īpašībām izriet paziņojums par lineārām darbībām vektoros, kas noteikti ar koordinātām.

Lai atrastu vektora koordinātas, ja ir zināmas tā sākuma un beigu koordinātas, no attiecīgās tā beigu koordinātas ir jāatņem sākuma koordinātas.

Lineāras operācijas ar vektoriem

Lineārās darbības ar vektoriem ir vektoru saskaitīšanas (atņemšanas) un vektora reizināšanas ar skaitli. Apskatīsim tos.

Definīcija Vektora reizinājums uz numuru
sauc vektoru, kura virziens sakrīt ar vektoru , Ja
, kam ir pretējs virziens, ja
negatīvs. Šī vektora garums ir vienāds ar vektora garuma reizinājumu uz skaitļa moduli
.

P piemērs . Veidot vektoru
, Ja
Un
(2.3. att.).

Ja vektoru reizina ar skaitli, tā koordinātas tiek reizinātas ar šo skaitli.

Patiešām, ja , tad

Vektora reizinājums ieslēgts
sauc par vektoru
;
- pretējā virzienā .

Ņemiet vērā, ka tiek izsaukts vektors, kura garums ir 1 viens(vai Ortom).

Izmantojot vektora reizināšanas ar skaitli, jebkuru vektoru var izteikt ar tāda paša virziena vienības vektoru. Patiešām, dalot vektoru līdz tā garumam (t.i., reizinot ieslēgts ), iegūstam vienības vektoru tādā pašā virzienā kā vektors . Mēs to apzīmēsim
. No tā izriet, ka
.

Definīcija Divu vektoru summa Un sauc par vektoru , kas nāk no to kopējās izcelsmes un ir paralelograma diagonāle, kura malas ir vektori Un (2.4. att.).

.

Pēc vienādu vektoru definīcijas
Tāpēc
-trīsstūra noteikums. Trijstūra noteikumu var paplašināt līdz jebkuram skaitam vektoru un tādējādi iegūt daudzstūra noteikumu:
ir vektors, kas savieno pirmā vektora sākumu ar pēdējā vektora beigām (2.5. att.).

Tātad, lai izveidotu summas vektoru, ir jāpievieno otrā vektora sākums pirmā vektora beigām, trešā sākums jāpievieno otrā beigām un tā tālāk. Tad summas vektors būs vektors, kas savieno pirmā vektora sākumu ar pēdējā vektora beigām.

Pievienojot vektorus, tiek pievienotas arī to atbilstošās koordinātas

Patiešām, ja
,

Ja vektori
Un nav koplanāri, tad to summa ir diagonāle
uz šiem vektoriem būvēts paralēlskaldnis (2.6. att.)

,

Kur

Īpašības:

- komutativitāte;

- asociativitāte;

- sadalījums attiecībā uz reizināšanu ar skaitli

.

Tie. vektora summu var pārveidot saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā algebrisko summu.

DefinīcijaDivu vektoru atšķirība Un šādu vektoru sauc , ko pievienojot vektoram dod vektoru . Tie.
Ja
. Ģeometriski attēlo uz vektoriem veidota paralelograma otro diagonāli Un ar kopīgu sākumu un virzīts no vektora beigām līdz vektora beigām (2.7. att.).

Vektora projekcija uz asi. Projekciju īpašības

Atcerēsimies skaitļa ass jēdzienu. Skaitļa ass ir līnija, uz kuras tā ir definēta:

virziens (→);

izcelsme (punkts O);

segments, kas tiek ņemts par mēroga vienību.

Lai ir vektors
un ass . No punktiem Un nolaidiet perpendikulus pret asi . Saņemsim punktus Un - punktu projekcijas Un (2.8. att. a).

Definīcija Vektoru projekcija
uz asi sauc par segmenta garumu
šī ass, kas atrodas starp vektora sākuma un beigu projekciju pamatiem
uz asi . Tas tiek ņemts ar plus zīmi, ja segmenta virziens
sakrīt ar projekcijas ass virzienu un ar mīnusa zīmi, ja šie virzieni ir pretēji. Apzīmējums:
.

PAR apņēmība Leņķis starp vektoru
un ass sauc par leņķi , uz kuru ir nepieciešams pēc iespējas īsākā veidā pagriezt asi lai tas sakristu ar vektora virzienu
.

Mēs atradīsim
:

2.8.a attēlā parādīts:
.

Attēlā 2,8 b): .

Vektora projekcija uz asi ir vienāda ar šī vektora garuma reizinājumu ar leņķa starp vektoru un projekciju asi kosinusu:
.

Prognožu īpašības:

Ja
, tad vektorus sauc par ortogonāliem

Piemērs . Doti vektori
,
.Tad

.

Piemērs. Ja vektora sākums
atrodas punktā
, un beigas ir punktā
, tad vektors
ir koordinātes:

PAR apņēmība Leņķis starp diviem vektoriem Un sauc par mazāko leņķi
(2.13. att.) starp šiem vektoriem, kas reducēti līdz kopējai izcelsmei .

Leņķis starp vektoriem Un simboliski rakstīts šādi: .

No definīcijas izriet, ka leņķis starp vektoriem var atšķirties robežās
.

Ja
, tad vektorus sauc par ortogonāliem.

.

Definīcija. Vektora leņķu kosinusus ar koordinātu asīm sauc par vektora virziena kosinusiem. Ja vektors
veido leņķus ar koordinātu asīm

.

Konverģējošu spēku līdzsvara problēmu risināšana, konstruējot slēgtus spēka daudzstūrus, ir saistīta ar apgrūtinošām konstrukcijām. Universāla metode šādu problēmu risināšanai ir pāriet uz doto spēku projekciju noteikšanu uz koordinātu asīm un darbību ar šīm projekcijām. Ass ir taisna līnija, kurai ir piešķirts noteikts virziens.

Vektora projekcija uz asi ir skalārs lielums, ko nosaka ass segments, kas nogriezts ar perpendikulu, kas uz to nomests no vektora sākuma un beigām.

Vektora projekciju uzskata par pozitīvu, ja virziens no projekcijas sākuma līdz beigām sakrīt ar ass pozitīvo virzienu. Vektora projekciju uzskata par negatīvu, ja virziens no projekcijas sākuma līdz beigām ir pretējs ass pozitīvajam virzienam.

Tādējādi spēka projekcija uz koordinātu asi ir vienāda ar spēka moduļa reizinājumu un leņķa kosinusu starp spēka vektoru un ass pozitīvo virzienu.

Apskatīsim vairākus gadījumus, kad spēki tiek projicēti uz asi:

Spēka vektors F(15. att.) izveido asu leņķi ar x ass pozitīvo virzienu.

Lai atrastu projekciju, no spēka vektora sākuma un beigām nolaižam perpendikulus pret asi ak; mēs saņemam

1. Fx = F cos α

Vektora projekcija šajā gadījumā ir pozitīva

Spēks F(16. att.) ir ar pozitīvo ass virzienu X strups leņķis α.

Tad F x = F cos α, bet tā kā α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Spēka projekcija F uz asi akšajā gadījumā tas ir negatīvs.

Spēks F(17. att.) perpendikulāri asij ak.

Spēka F projekcija uz asi X vienāds ar nulli

F x = F cos 90° = 0.

Spēks atrodas lidmašīnā kā(18. att.), var projicēt uz divām koordinātu asīm Ak Un OU.

Spēks F var sadalīt komponentos: F x un F y. Vektoru modulis F x ir vienāds ar vektora projekciju F uz asi vērsis, un vektora modulis F y ir vienāds ar vektora projekciju F uz asi ak.

No Δ OAV: F x = F cos α, F x = F grēks α.

No Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F grēks φ.

Spēka lielumu var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu:

Vektoru summas vai rezultāta projekcija uz jebkuru asi ir vienāda ar vektoru summas projekciju algebrisko summu uz to pašu asi.

Apsveriet saplūstošos spēkus F 1 , F 2 , F 3, un F 4, (19. att., a). Šo spēku ģeometriskā summa vai rezultāts F ko nosaka spēka daudzstūra noslēdzošā puse

Atkritīsim no spēka daudzstūra virsotnēm uz asi x perpendikulāri.

Ņemot vērā iegūtās spēku projekcijas tieši no pabeigtās konstrukcijas, mums ir

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

kur n ir vektora terminu skaits. Viņu projekcijas ievada iepriekšminēto vienādojumu ar atbilstošo zīmi.

Plaknē spēku ģeometrisko summu var projicēt uz divām koordinātu asīm, bet telpā attiecīgi uz trim.

Ass ir virziens. Tas nozīmē, ka projekcija uz asi vai uz virzītu līniju tiek uzskatīta par vienādu. Projekcija var būt algebriska vai ģeometriska. Ģeometriskā izteiksmē vektora projekciju uz asi saprot kā vektoru, un algebriskā izteiksmē to saprot kā skaitli. Tas ir, tiek izmantoti jēdzieni vektora projekcija uz asi un vektora skaitliskā projekcija uz asi.

Ja mums ir L ass un nulles vektors A B →, tad varam konstruēt vektoru A 1 B 1 ⇀, apzīmējot tā punktu A 1 un B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 būs vektora A B → projekcija uz L.

1. definīcija

Vektora projekcija uz asi ir vektors, kura sākums un beigas ir dotā vektora sākuma un beigu projekcijas. n p L A B → → ir ierasts apzīmēt projekciju A B → uz L. Lai izveidotu projekciju uz L, perpendikulus nomet uz L.

1. piemērs

Vektora projekcijas piemērs uz asi.

Koordinātu plaknē O x y ir norādīts punkts M 1 (x 1, y 1). Lai attēlotu punkta M 1 rādiusa vektoru, ir jākonstruē projekcijas uz O x un O y. Mēs iegūstam vektoru (x 1, 0) un (0, y 1) koordinātas.

Ja runājam par a → projekciju uz nulli b → vai a → projekciju virzienā b → , tad ar to domājam a → projekciju uz asi, ar kuru sakrīt virziens b →. A → projekcija uz taisni, ko nosaka b →, tiek apzīmēta ar n p b → a → → . Ir zināms, ka tad, kad leņķi starp a → un b → , n p b → a → → un b → var uzskatīt par līdzvirziena. Gadījumā, ja leņķis ir neass, n p b → a → → un b → ir pretējos virzienos. Perpendikulitātes situācijā a → un b →, un a → ir nulle, a → projekcija virzienā b → ir nulles vektors.

Vektora projekcijas uz asi skaitliskā pazīme ir vektora skaitliskā projekcija uz doto asi.

2. definīcija

Vektora skaitliskā projekcija uz asi ir skaitlis, kas ir vienāds ar dotā vektora garuma reizinājumu ar leņķa kosinusu starp doto vektoru un vektoru, kas nosaka ass virzienu.

A B → skaitliskā projekcija uz L ir apzīmēta ar n p L A B → , bet a → uz b → - n p b → a → .

Pamatojoties uz formulu, iegūstam n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , no kurienes a → ir vektora garums a → , a ⇀ , b → ^ ir leņķis starp vektoriem a → un b → .

Iegūstam skaitliskās projekcijas aprēķina formulu: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Tas ir piemērojams zināmiem garumiem a → un b → un leņķim starp tiem. Formula ir piemērojama zināmām koordinātām a → un b →, taču ir arī vienkāršota forma.

2. piemērs

Noskaidrojiet a → skaitlisko projekciju uz taisnes virzienā b →, kuras garums a → ir vienāds ar 8 un leņķis starp tām ir 60 grādi. Pēc nosacījuma mums ir a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Tas nozīmē, ka skaitliskās vērtības aizstājam formulā n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atbilde: 4.

Ja ir zināms cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mums ir a → , b → kā a → un b → skalārais reizinājums. Sekojot formulai n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , varam atrast skaitlisko projekciju a →, kas vērsta gar vektoru b → un iegūt n p b → a → = a → , b → b → . Formula ir līdzvērtīga rindkopas sākumā sniegtajai definīcijai.

3. definīcija

Vektora a → skaitliskā projekcija uz asi, kas sakrīt virzienā ar b → ir vektoru a → un b → skalārās reizinājuma attiecība pret garumu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → ir piemērojama, lai atrastu a → skaitlisko projekciju uz taisni, kas sakrīt virzienā ar b → , ar zināmām a → un b → koordinātām.

3. piemērs

Dots b → = (- 3 , 4) . Atrodiet skaitlisko projekciju a → = (1, 7) uz L.

Risinājums

Koordinātu plaknē n p b → a → = a → , b → b → ir forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , ar a → = (a x , a y ) un b → = b x , b y . Lai atrastu vektora a → skaitlisko projekciju uz L asi, nepieciešams: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atbilde: 5.

4. piemērs

Atrodiet a → projekciju uz L, kas sakrīt ar virzienu b →, kur ir a → = - 2, 3, 1 un b → = (3, - 2, 6). Trīsdimensiju telpa ir norādīta.

Risinājums

Doti a → = a x , a y , a z un b → = b x , b y , b z , mēs aprēķinām skalāro reizinājumu: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Garumu b → atrod, izmantojot formulu b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . No tā izriet, ka skaitliskās projekcijas a → noteikšanas formula būs šāda: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Aizvietojiet skaitliskās vērtības: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atbilde: - 67.

Apskatīsim saikni starp a → uz L un projekcijas garumu a → uz L. Nozīmēsim asi L, pievienojot a → un b → no punkta uz L, pēc kura novelkam perpendikulāru līniju no gala a → uz L un uzvelkam projekciju uz L. Ir 5 attēla varianti:

Pirmkārt gadījums ar a → = n p b → a → → nozīmē a → = n p b → a → → , tātad n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Otrkārt gadījumā tiek izmantots n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , kas nozīmē n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trešais gadījums izskaidro, ka, ja n p b → a → → = 0 → mēs iegūstam n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tad n p b → a → → = 0 un n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ceturtais gadījums parāda n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seko n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Piektais gadījums parāda a ​​→ = n p b → a → → , kas nozīmē a → = n p b → a → → , tāpēc mums ir n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4. definīcija

Vektora a → skaitliskajai projekcijai uz L asi, kas ir vērsta tāpat kā b →, ir šāda vērtība:

• vektora a → projekcijas garums uz L, ar nosacījumu, ka leņķis starp a → un b → ir mazāks par 90 grādiem vai vienāds ar 0: n p b → a → = n p b → a → → ar nosacījumu 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulle ar nosacījumu, ka a → un b → ir perpendikulāri: n p b → a → = 0, kad (a → , b → ^) = 90 °;
• projekcijas a → garums uz L, reizināts ar -1, ja ir vektoru a → un b → strups vai taisns leņķis: n p b → a → = - n p b → a → → ar nosacījumu 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5. piemērs

Ņemot vērā projekcijas garumu a → uz L, vienāds ar 2. Atrodiet skaitlisko projekciju a → ar nosacījumu, ka leņķis ir 5 π 6 radiāni.

Risinājums

No nosacījuma ir skaidrs, ka šis leņķis ir neass: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atbilde: - 2.

6. piemērs

Dota plakne O x y z ar vektora garumu a → vienāds ar 6 3, b → (- 2, 1, 2) ar 30 grādu leņķi. Atrodiet projekcijas a → koordinātas uz L asi.

Risinājums

Pirmkārt, mēs aprēķinām vektora a → skaitlisko projekciju: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pēc nosacījuma leņķis ir akūts, tad skaitliskā projekcija a → = vektora a → projekcijas garums: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis gadījums parāda, ka vektori n p L a → → un b → ir vienā virzienā, kas nozīmē, ka ir skaitlis t, kuram ir patiesa vienādība: n p L a → → = t · b → . No šejienes mēs redzam, ka n p L a → → = t · b → , kas nozīmē, ka mēs varam atrast parametra t vērtību: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tad n p L a → → = 3 · b → ar vektora a → projekcijas koordinātām uz L asi, kas vienāda ar b → = (- 2 , 1 , 2) , kur vērtības jāreizina ar 3. Mums ir n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atbilde: (- 6, 3, 6).

Jāatkārto iepriekš apgūtā informācija par vektoru kolinearitātes nosacījumu.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

§ 3. Vektora projekcijas uz koordinātu asīm

1. Projekciju atrašana ģeometriski.

Vektors
- vektora projekcija uz asi VĒRSIS
- vektora projekcija uz asi OY

1. definīcija. Vektoru projekcija uz jebkuras koordinātu ass ir skaitlis, kas ņemts ar plusa vai mīnusa zīmi, kas atbilst segmenta garumam, kas atrodas starp perpendikulu pamatiem, kas nomesti no vektora sākuma un beigām uz koordinātu asi.

Projekcijas zīme ir definēta šādi. Ja, pārvietojoties pa koordinātu asi, notiek kustība no vektora sākuma projekcijas punkta uz vektora beigu projekcijas punktu ass pozitīvajā virzienā, tad vektora projekciju uzskata par pozitīvu . Ja tā ir pretēja asij, tad projekciju uzskata par negatīvu.

Attēlā redzams, ka, ja vektors ir orientēts kaut kā pretēji koordinātu asij, tad tā projekcija uz šo asi ir negatīva. Ja vektors ir kaut kādā veidā orientēts koordinātu ass pozitīvā virzienā, tad tā projekcija uz šo asi ir pozitīva.

Ja vektors ir perpendikulārs koordinātu asij, tad tā projekcija uz šo asi ir nulle.
Ja vektors ir vienā virzienā ar asi, tad tā projekcija uz šo asi ir vienāda ar vektora absolūto vērtību.
Ja vektors ir vērsts pretēji koordinātu asij, tad tā projekcija uz šo asi pēc absolūtās vērtības ir vienāda ar vektora absolūto vērtību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.

2. Vispārīgākā projekcijas definīcija.

No taisnleņķa trīsstūra ABD: .

2. definīcija. Vektoru projekcija uz jebkuras koordinātu ass ir skaitlis, kas vienāds ar vektora moduļa un vektora veidotā leņķa kosinusa reizinājumu ar koordinātu ass pozitīvo virzienu.

Projekcijas zīmi nosaka vektora ar pozitīvās ass virzienu veidotā leņķa kosinusa zīme.
Ja leņķis ir akūts, tad kosinusam ir pozitīva zīme un projekcijas ir pozitīvas. Strupiem leņķiem kosinusam ir negatīva zīme, tāpēc šādos gadījumos projekcijas uz asi ir negatīvas.
- tāpēc vektoriem, kas ir perpendikulāri asij, projekcija ir nulle.