Вектор проекцын координат гэж юу вэ? Координатын тэнхлэг дээрх векторуудын проекц

Хоёр векторыг орон зайд өгье. Дурын цэгээс хойшлуулъя Овекторууд ба . Өнцөгвекторуудын хоорондох өнцгийн хамгийн бага нь гэж нэрлэгддэг. Томилогдсон .

Тэнхлэгийг анхаарч үзээрэй лба үүн дээр нэгж векторыг (өөрөөр хэлбэл урт нь нэгтэй тэнцүү вектор) зур.

Вектор ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөгт лба векторуудын хоорондох өнцгийг ойлгох.

За тэгье лнь зарим тэнхлэг бөгөөд вектор юм.

-ээр тэмдэглэе А 1Тэгээд Б 1тэнхлэг дээрх проекцууд лтус тус оноо АТэгээд Б. Ингэж жүжиглэе А 1координаттай x 1, А Б 1- зохицуулах x 2тэнхлэг дээр л.

Дараа нь проекцнэг тэнхлэгт вектор лялгаа гэж нэрлэдэг x 1 – x 2Энэ тэнхлэг дээрх векторын төгсгөл ба эхлэлийн проекцуудын координатуудын хооронд.

Векторын тэнхлэг дээрх проекц лбид тэмдэглэх болно.

Хэрэв вектор ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөг нь тодорхой байна лдараа нь халуун ногоотой x 2> x 1, болон проекц x 2 – x 1> 0; хэрэв энэ өнцөг мохоо байвал x 2< x 1болон проекц x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси л, Тэр x 2= x 1Тэгээд x 2– x 1=0.

Тиймээс тэнхлэг дээрх векторын проекц лсегментийн урт юм A 1 B 1, тодорхой тэмдгээр авсан. Тиймээс векторын тэнхлэг дээрх проекц нь тоо эсвэл скаляр байна.

Нэг векторын нөгөө вектор руу проекцийг ижил аргаар тодорхойлно. Энэ тохиолдолд энэ векторын төгсгөлүүдийн 2-р вектор байрлах шугам дээрх проекцууд олддог.

Зарим үндсэн зүйлийг харцгаая проекцуудын шинж чанарууд.

Шугаман хараат, шугаман хараат бус ВЕКТОР СИСТЕМ

Хэд хэдэн векторыг авч үзье.

Шугаман хослолЭдгээр векторуудын хэлбэр нь ямар ч вектор бөгөөд энд зарим тоо байна. Тоонуудыг шугаман хослолын коэффициент гэж нэрлэдэг. Тэд мөн энэ тохиолдолд эдгээр векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг гэж хэлдэг, i.e. Тэдгээрээс шугаман үйлдлүүдийг ашиглан олж авдаг.

Жишээлбэл, хэрэв гурван вектор өгөгдсөн бол векторуудыг тэдгээрийн шугаман хослол гэж үзэж болно.

Хэрэв векторыг зарим векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлсэн бол түүнийг байна гэж үзнэ тавьсанЭдгээр векторуудын дагуу.

Векторуудыг дууддаг шугаман хамааралтай, тоо байгаа бол бүгд тэгтэй тэнцүү биш, ийм . Хэрэв эдгээр векторуудын аль нэг нь бусадтай нь шугаман байдлаар илэрхийлэгдсэн бол өгөгдсөн векторууд шугаман хамааралтай байх нь ойлгомжтой.

Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. харьцаа хэзээ үед л гүйцэтгэнэ , эдгээр векторуудыг гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан.

Теорем 1.Аль ч хоёр вектор нь зөвхөн коллинеар байвал шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа:

Дараах теоремыг мөн адил баталж болно.

Теорем 2.Гурван вектор нь хоорондоо уялдаа холбоотой байвал шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа.

ҮНДЭСЛЭЛ

Суурьтэг биш шугаман бие даасан векторуудын цуглуулга юм. Бид суурийн элементүүдийг -ээр тэмдэглэнэ.

Өмнөх догол мөрөнд бид нэг хавтгай дээрх хоёр коллинеар бус вектор шугаман бие даасан байдгийг харсан. Иймд өмнөх догол мөрийн 1-р теоремын дагуу хавтгай дээрх суурь нь энэ хавтгай дээрх дурын хоёр коллинеар бус вектор юм.

Үүний нэгэн адил дурын гурван хосгүй вектор орон зайд шугаман бие даасан байдаг. Иймээс бид гурван хосгүй векторыг огторгуйн суурь гэж нэрлэдэг.

Дараах мэдэгдэл үнэн юм.

Теорем.Орон зайд суурь өгөгдье. Дараа нь дурын векторыг шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно , Хаана x, y, z- зарим тоо. Энэ бол цорын ганц задрал юм.

Баталгаа.

Тиймээс суурь нь вектор бүрийг гурвалсан тоогоор өвөрмөц байдлаар холбох боломжийг олгодог - энэ векторыг суурь вектор болгон өргөтгөх коэффициентүүд: . Гурван тоо бүрт эсрэгээр нь бас үнэн x, y, zүндсийг ашиглан шугаман хослол хийвэл векторыг харьцуулж болно .

Хэрэв суурь ба , дараа нь тоонууд x, y, zгэж нэрлэдэг координатуудөгөгдсөн суурь дахь вектор. Векторын координатыг .

КАРТЕЗИЙН КОРДИНАТЫН СИСТЕМ

Сансарт нэг цэг өгье Оба гурван хосгүй вектор.

Декартын координатын системорон зайд (хавтгай дээр) цэг ба суурийн цуглуулга, i.e. цэгийн цуглуулга ба энэ цэгээс гарч буй гурван давхцаагүй вектор (2 коллинеар бус вектор).

Цэг Огарал үүсэл гэж нэрлэдэг; Суурийн векторуудын чиглэлд координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамуудыг координатын тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг - абсцисса, ординат ба хэрэглээний тэнхлэг. Координатын тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцыг координатын хавтгай гэж нэрлэдэг.

Сонгосон координатын систем дэх дурын цэгийг авч үзье М. Цэгийн координатын тухай ойлголтыг танилцуулъя М. Эхлэлийг цэгтэй холбосон вектор М. дуудсан радиус вектороноо М.

Сонгосон суурь дахь векторыг гурвалсан тоотой холбож болно - координат: .

Цэгийн радиус векторын координатууд М. гэж нэрлэдэг М цэгийн координат. авч үзэж буй координатын системд. М(x,y,z). Эхний координатыг абсцисса, хоёр дахь координатыг ординат, гурав дахь координатыг хэрэглүүр гэж нэрлэдэг.

Хавтгай дээрх декарт координатууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Энд цэг нь зөвхөн хоёр координаттай - абсцисса ба ордината.

Өгөгдсөн координатын системийн хувьд цэг бүр тодорхой координаттай байгааг харахад хялбар байдаг. Нөгөө талаас, гурвалсан тоо бүрт эдгээр тоонуудыг координат болгон агуулсан өвөрмөц цэг байдаг.

Сонгосон координатын системд суурь болгон авсан векторууд нь нэгж урттай бөгөөд хос перпендикуляр байвал координатын системийг гэнэ. Декарт тэгш өнцөгт.

Үүнийг харуулахад амархан.

Векторын чиглэлийн косинусууд нь түүний чиглэлийг бүрэн тодорхойлдог боловч уртын талаар юу ч хэлдэггүй.

§ 3. Векторын координатын тэнхлэг дээрх проекцууд

1. Проекцуудыг геометрийн аргаар олох.

Вектор
- тэнхлэг дээрх векторын проекц ҮХЭР
- тэнхлэг дээрх векторын проекц Өө

Тодорхойлолт 1. Вектор проекц координатын аль ч тэнхлэг дээр векторын эхэн ба төгсгөлөөс координатын тэнхлэг хүртэл буулгасан перпендикуляруудын суурийн хооронд байрлах сегментийн урттай тохирох нэмэх эсвэл хасах тэмдгээр авсан тоо байна.

Проекцийн тэмдгийг дараах байдлаар тодорхойлно. Хэрэв координатын тэнхлэгийн дагуу хөдөлж байх үед векторын эхлэлийн проекцын цэгээс тэнхлэгийн эерэг чиглэлд векторын төгсгөлийн проекцын цэг хүртэл хөдөлгөөн хийгдэж байвал векторын проекцийг эерэг гэж үзнэ. . Хэрэв энэ нь тэнхлэгийн эсрэг байвал проекцийг сөрөг гэж үзнэ.

Хэрэв вектор координатын тэнхлэгийн эсрэг ямар нэгэн байдлаар чиглэсэн байвал энэ тэнхлэг дээрх проекц нь сөрөг байна гэдгийг зураг харуулж байна. Хэрэв вектор координатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд ямар нэгэн байдлаар чиглэсэн байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц эерэг байна.

Хэрэв вектор координатын тэнхлэгт перпендикуляр байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц нь тэг болно.
Хэрэв вектор нь тэнхлэгтэй ижил чиглэлтэй байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц нь векторын абсолют утгатай тэнцүү байна.
Хэрэв вектор координатын тэнхлэгийн эсрэг чиглэсэн байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц нь хасах тэмдгээр авсан векторын абсолют утгатай тэнцүү байна.

2. Проекцийн хамгийн ерөнхий тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжнаас АНУ: .

Тодорхойлолт 2. Вектор проекц аль ч координатын тэнхлэг дээр координатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй векторын үүсгэсэн өнцгийн косинусын модуль ба векторын үржвэртэй тэнцүү тоо байна.

Проекцийн тэмдгийг эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй векторын үүсгэсэн өнцгийн косинусын тэмдгээр тодорхойлно.
Хэрэв өнцөг нь хурц байвал косинус эерэг тэмдэгтэй, төсөөлөл нь эерэг байна. Мохоо өнцгүүдийн хувьд косинус нь сөрөг тэмдэгтэй байдаг тул ийм тохиолдолд тэнхлэг дээрх проекцууд нь сөрөг байдаг.
- тиймээс тэнхлэгт перпендикуляр векторуудын хувьд проекц нь тэг байна.

Тэнхлэг нь чиглэл юм. Энэ нь тэнхлэгт эсвэл чиглэсэн шугам дээрх проекцийг ижил гэж үзнэ гэсэн үг юм. Төсөл нь алгебр эсвэл геометрийн байж болно. Геометрийн хэллэгээр векторын тэнхлэгт проекцийг вектор, алгебрийн хэллэгээр тоо гэж ойлгодог. Өөрөөр хэлбэл, векторыг тэнхлэгт проекцлох, тэнхлэг рүү векторыг тоон проекц хийх тухай ойлголтуудыг ашигладаг.

Хэрэв бид L тэнхлэг ба тэгээс ялгаатай A B → вектортой бол түүний A 1 ба B 1 цэгүүдийн проекцийг тэмдэглэсэн A 1 B 1 ⇀ векторыг байгуулж болно.

A 1 B → 1 нь A B → векторын L дээрх проекц болно.

Тодорхойлолт 1

Векторын тэнхлэг дээрх проекцнь өгөгдсөн векторын эхлэл ба төгсгөлийн проекцуудын эхлэл ба төгсгөл нь вектор юм. n p L A B → → L дээр A B → проекцийг тэмдэглэдэг заншилтай. L дээр проекц байгуулахын тулд перпендикуляруудыг L дээр буулгана.

Жишээ 1

Тэнхлэг дээрх вектор проекцын жишээ.

O x y координатын хавтгайд M 1 (x 1, y 1) цэгийг зааж өгсөн болно. М 1 цэгийн радиус векторыг дүрслэхийн тулд O x ба O y дээр проекц байгуулах шаардлагатай. Бид (x 1, 0) ба (0, y 1) векторуудын координатыг авна.

Хэрэв бид тэгээс өөр b → руу a → проекц эсвэл b → чиглэл рүү a → проекцын тухай ярьж байгаа бол b → чиглэл давхцах тэнхлэг рүү a → проекцийг хэлнэ. b →-ээр тодорхойлогдсон шулуун дээрх a → проекцийг n p b → a → → гэж тэмдэглэнэ. a → ба b →, n p b → a → → ба b → хоёрын хоорондох өнцгийг координаль гэж үзэж болох нь мэдэгдэж байна. Өнцөг нь мохоо байх тохиолдолд n p b → a → → ба b → эсрэг чиглэлд байна. a → ба b → перпендикуляр байдал, a → тэг байх нөхцөлд b → чиглэлд a → проекц нь тэг вектор болно.

Векторын тэнхлэгт проекцын тоон шинж чанар нь өгөгдсөн тэнхлэг дээрх векторын тоон проекц юм.

Тодорхойлолт 2

Векторын тэнхлэг дээрх тоон проекцөгөгдсөн векторын урт ба тэнхлэгийн чиглэлийг тодорхойлох вектор ба өгөгдсөн векторын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо юм.

A B → L дээр байрлах тоон проекцийг n p L A B →, a → дээр b → - n p b → a → гэж тэмдэглэнэ.

Томъёо дээр үндэслэн бид n p b → a → = a → · cos a →, b → ^ гэсэн утгыг олж авах бөгөөд эндээс a → нь векторын урт a → , a ⇀ , b → ^ векторуудын хоорондох өнцөг a →. ба b → .

Бид тоон төсөөллийг тооцоолох томъёог олж авна: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Энэ нь мэдэгдэж буй a → ба b → урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөгт хамаарна. Энэ томьёо нь мэдэгдэж буй a → ба b → координатуудад хамаарах боловч хялбаршуулсан хэлбэр байдаг.

Жишээ 2

a → урт a → 8-тай тэнцүү, тэдгээрийн хоорондох 60 градусын өнцөгтэй b → чиглэлийн шулуун шугам дээрх тоон проекцийг ол. Нөхцөлөөр бид ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° байна. Энэ нь бид n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 томъёонд тоон утгыг орлуулна гэсэн үг юм.

Хариулт: 4.

Мэдэгдэж байгаа cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → -тэй бол бид a → ба b → -ийн скаляр үржвэр болох a → , b → байна. n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ томьёоны дагуу b → векторын дагуу чиглэсэн a → тоон проекцийг олж n p b → a → = a → , b → b → болно. Томъёо нь догол мөрний эхэнд өгсөн тодорхойлолттой тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 3

a → векторын b → чиглэлтэй давхцаж буй тэнхлэг дээрх тоон проекц нь a → ба b → векторуудын скаляр үржвэрийг b → урттай харьцуулсан харьцаа юм. n p b → a → = a →, b → b → томьёо нь мэдэгдэж байгаа a → ба b → координаттай b → чиглэлтэй давхцаж буй шулуун дээрх a → тоон проекцийг олоход тохиромжтой.

Жишээ 3

Өгөгдсөн b → = (- 3 , 4) . L дээрх a → = (1, 7) тоон проекцийг ол.

Шийдэл

Координатын хавтгайд n p b → a → = a →, b → b → нь n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 хэлбэртэй, a → = (a x , a y ) ба b → = b x , b y . a → векторын L тэнхлэг дээрх тоон проекцийг олохын тулд: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Хариулт: 5.

Жишээ 4

a → = - 2, 3, 1 ба b → = (3, - 2, 6) байх b → чиглэлтэй давхцаж буй L дээрх a → проекцийг ол. Гурван хэмжээст орон зайг зааж өгсөн.

Шийдэл

a → = a x , a y , a z and b → = b x , b y , b z өгөгдсөн бол бид скаляр үржвэрийг тооцоолно: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 томъёог ашиглан b → уртыг олно. Үүнээс үзэхэд a → тоон проекцийг тодорхойлох томъёо нь: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 байх болно.

Тоон утгуудыг орлуулна уу: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Хариулт: - 6 7.

a → дээр L болон проекцын уртыг a → L дээр холбохыг харцгаая. L тэнхлэгийг L дээр байгаа цэгээс a → ба b → нэмээд дараа нь a → төгсгөлөөс L хүртэл перпендикуляр шугам татаад L дээр проекц зуръя. Зургийн 5 хувилбар байдаг:

Эхлээд a → = n p b → a → → гэсэн утгатай тохиолдол нь a → = n p b → a → → → n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Хоёрдугаарттохиолдол нь n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → -г ашиглахыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → гэсэн утгатай.

Гуравдугаарттохиолдолд n p b → a → → = 0 → бид n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, тэгвэл n p b → a → → = 0 болно гэдгийг тайлбарлав. ба n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Дөрөвдүгээрттохиолдолд n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , дараах n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Тавдугаарттохиолдол нь a → = n p b → a → → -г харуулж байгаа бөгөөд энэ нь a → = n p b → a → → гэсэн утгатай тул бидэнд n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - байна. a → = - n p b → a → .

Тодорхойлолт 4

a → векторын L тэнхлэг рүү b →-тэй ижил аргаар чиглэсэн тоон проекц нь дараах утгатай байна.

• a → ба b → хоорондох өнцөг нь 90 градусаас бага буюу 0-тэй тэнцүү байх нөхцөлд a → векторын L дээрх проекцын урт: n p b → a → = n p b → a → 0 ≤ нөхцөлтэй (a → , b →) ^< 90 ° ;
• a → ба b → перпендикуляр байх тохиолдолд тэг: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 ° байх үед;
• a → ба b → векторуудын мохоо буюу шулуун өнцөг байх үед a → L руу проекцын уртыг -1-ээр үржүүлнэ: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° -ийн нөхцөлтэй.< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Жишээ 5

L дээр a → проекцын урт нь 2-той тэнцүү. Өнцөг нь 5 π 6 радиан байх нөхцөлд a → тоон проекцийг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөс харахад энэ өнцөг нь мохоо байна: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Хариулт: - 2.

Жишээ 6

30 градусын өнцөгтэй a → 6 3-тай тэнцүү, b → (- 2, 1, 2) векторын урттай O x y z хавтгай өгөгдсөн. L тэнхлэг дээрх a → проекцын координатыг ол.

Шийдэл

Эхлээд a → векторын тоон проекцийг тооцоолно: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Нөхцөлөөр өнцөг нь хурц, дараа нь тоон проекц a → = векторын проекцын урт a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Энэ тохиолдол нь n p L a → → ба b → векторууд хамтран чиглүүлж байгааг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь тэгш байдал үнэн болох t тоо байна гэсэн үг: n p L a → → = t · b → . Эндээс харахад n p L a → → = t · b → t параметрийн утгыг олох боломжтой гэсэн үг: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Дараа нь n p L a → → = 3 · b → векторын проекцын координаттай a → L тэнхлэг рүү b → = (- 2 , 1 , 2) -тай тэнцүү байх ба энд утгуудыг үржүүлэх шаардлагатай. 3. Бидэнд n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) байна. Хариулт: (- 6, 3, 6).

Векторуудын коллинеар байдлын байдлын талаар өмнө нь олж мэдсэн мэдээллийг давтах шаардлагатай.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хариулт:

Проекцийн шинж чанарууд:

Вектор проекцын шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.

Нэг тэнхлэг дээрх хоёр векторын нийлбэрийн проекц нь ижил тэнхлэг дээрх векторуудын проекцын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ шинж чанар нь векторуудын нийлбэрийн проекцийг тэдгээрийн проекцын нийлбэрээр солих боломжийг олгодог.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Хэрэв векторыг λ тоогоор үржүүлбэл тэнхлэг дээрх проекцийг мөн энэ тоогоор үржүүлнэ.

Эд хөрөнгө 3.

l тэнхлэг дээрх векторын проекц нь векторын модуль ба вектор ба тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хойд тэнхлэг. Координатын нэгж векторууд дахь векторын задрал. Вектор координат. Координатын шинж чанарууд

Хариулт:

Тэнхлэгүүдийн нэгж векторууд.

Тэгш өнцөгт координатын системийг (ямар ч хэмжигдэхүүнтэй) координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцүүлсэн нэгж векторуудын багцаар дүрсэлсэн байдаг. Нэгж векторын тоо нь координатын системийн хэмжээстэй тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь бүгд бие биедээ перпендикуляр байна.

Гурван хэмжээст тохиолдолд нэгж векторуудыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг

Мөн Arrow тэмдэг, мөн ашиглаж болно.

Энэ тохиолдолд координатын зөв системийн хувьд нэгж векторуудын вектор үржвэртэй дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

Координатын нэгж векторууд дахь векторын задрал.

Координатын тэнхлэгийн нэгж векторыг , тэнхлэгийг , тэнхлэгийг (Зураг 1) гэж тэмдэглэнэ.

Хавтгайд байрлах аливаа векторын хувьд дараах тэлэлт явагдана.

Хэрэв вектор орон зайд байрласан бол координатын тэнхлэгүүдийн нэгж векторуудын тэлэлт дараах хэлбэртэй байна.

Вектор координатууд:

Векторын координатыг тооцоолохын тулд түүний A эхлэлийн координат (x1; y1) ба В төгсгөлийн координатыг (x2; y2) мэдэж байхын тулд төгсгөлийн координатаас эхлэлийн координатыг хасах хэрэгтэй: ( x2 – x1; y2 – y1).

Координатын шинж чанарууд.

О цэг дээрх эх ба нэгж вектор i-тэй координатын шугамыг авч үзье. Тэгвэл энэ шулуун дээрх дурын а векторын хувьд: a = тэнхлэг.

Сүх тоог координатын тэнхлэг дээрх а векторын координат гэнэ.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тэнхлэг дээрх векторуудыг нэмэхэд тэдгээрийн координатыг нэмнэ.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Векторыг тоогоор үржүүлэхэд координат нь тухайн тоогоор үрждэг.

Векторуудын цэгийн үржвэр. Үл хөдлөх хөрөнгө.

Хариулт:

Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо юм

эдгээр векторуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

1. Скаляр үржвэр нь солих шинж чанартай: ab=ba

Координатын нэгж векторуудын скаляр үржвэр. Координатаар нь тодорхойлсон векторуудын скаляр үржвэрийг тодорхойлох.

Хариулт:

Нэгж векторуудын цэгийн үржвэр (×).

(X)	I	Ж	К
I
Ж
К

Координатаар нь тодорхойлсон векторуудын скаляр үржвэрийг тодорхойлох.

Хоёр векторын координатаар өгөгдсөн скаляр үржвэрийг томъёогоор тооцоолж болно

Хоёр векторын хөндлөн үржвэр. Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд.

Хариулт:

Гурав дахь векторын төгсгөлөөс эхний вектороос хоёр дахь вектор хүртэлх эргэлтийг цагийн зүүний эсрэг хийсэн бол гурван хосгүй вектор нь баруун гарын гурвалсан гурвалыг үүсгэдэг. Хэрэв цагийн зүүний дагуу, дараа нь зүүн, үгүй ​​бол эсрэг чиглэлд (. тэр "бариул" -аар хэрхэн харуулсаныг харуул)

Векторын хөндлөн үржвэр Авектор руу бвектор гэж нэрлэдэг үүнээс:

1. Векторуудад перпендикуляр АТэгээд б

2. Үүссэн параллелограммын талбайтай тоогоор тэнцүү урттай аТэгээд бвекторууд

3. Векторууд, а,б, Мөн вБаруун талын гурвалсан векторыг үүсгэнэ

Үл хөдлөх хөрөнгө:

1.

3.

4.

Координатын нэгж векторуудын вектор үржвэр. Координатаар нь тодорхойлсон векторуудын вектор үржвэрийг тодорхойлох.

Хариулт:

Координатын нэгж векторуудын вектор үржвэр.

Координатаар нь тодорхойлсон векторуудын вектор үржвэрийг тодорхойлох.

a = (x1; y1; z1) ба b = (x2; y2; z2) векторуудыг тэгш өнцөгт декартын координатын О, i, j, k систем дэх координатаар нь өгье, i, j, k гурвалсан бол. баруун гартай.

a ба b-г суурь вектор болгон өргөжүүлье:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид олж авна

[А; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

Вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоор бид олдог

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Эдгээр тэгш байдлыг харгалзан томъёо (1)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.

[А; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[А; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) нь координатаар нь тодорхойлсон хоёр векторын вектор үржвэрийн илэрхийлэлийг өгдөг.

Үүссэн томъёо нь төвөгтэй юм. Тодорхойлогчдын тэмдэглэгээг ашиглан та үүнийг цээжлэхэд илүү тохиромжтой өөр хэлбэрээр бичиж болно.

Ихэвчлэн томьёо (3) бүр ч богино бичдэг: