Талбайн шугамын тоог тодорхойлдог физик скаляр хэмжигдэхүүн. Вектор ба скаляр хэмжигдэхүүн - тэд хэрхэн ялгаатай

Физикт хэмжигдэхүүнүүдийн хэд хэдэн ангилал байдаг: вектор ба скаляр.

Вектор хэмжигдэхүүн гэж юу вэ?

Вектор хэмжигдэхүүн нь хоёр үндсэн шинж чанартай байдаг. чиглэл ба модуль. Хоёр вектор нь үнэмлэхүй утга ба чиглэл ижил байвал ижил байна. Вектор хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэхийн тулд тэдгээрийн дээр сумтай үсгүүдийг ихэвчлэн ашигладаг. Вектор хэмжигдэхүүний жишээ бол хүч, хурд, хурдатгал юм.

Вектор хэмжигдэхүүний мөн чанарыг ойлгохын тулд үүнийг геометрийн үүднээс авч үзэх хэрэгтэй. Вектор нь чиглэлтэй сегмент юм. Ийм сегментийн урт нь түүний модулийн утгатай хамааралтай. Вектор хэмжигдэхүүний физик жишээ бол орон зайд хөдөлж буй материаллаг цэгийн шилжилт юм. Энэ цэгийн хурдатгал, түүн дээр үйлчлэх хурд ба хүч, цахилгаан соронзон орон зэрэг параметрүүдийг вектор хэмжигдэхүүн хэлбэрээр харуулах болно.

Хэрэв бид чиглэлээс үл хамааран вектор хэмжигдэхүүнийг авч үзвэл ийм сегментийг хэмжиж болно. Гэхдээ үр дүн нь зөвхөн тоо хэмжээний хэсэгчилсэн шинж чанарыг тусгах болно. Үүнийг бүрэн хэмжихийн тулд утгыг чиглэлийн сегментийн бусад параметрүүдээр нэмэх шаардлагатай.

Вектор алгебрт нэг ойлголт байдаг тэг вектор. Энэ ойлголт нь цэг гэсэн утгатай. Тэг векторын чиглэлийн хувьд энэ нь тодорхойгүй гэж тооцогддог. Тэг векторыг тэмдэглэхийн тулд тод үсгээр бичсэн арифметик тэгийг ашиглана.

Хэрэв бид дээр дурдсан бүх зүйлийг задлан шинжилж үзвэл бүх чиглэсэн сегментүүд векторуудыг тодорхойлдог гэж дүгнэж болно. Хоёр сегмент нь зөвхөн тэнцүү бол нэг векторыг тодорхойлно. Векторуудыг харьцуулахдаа скаляр хэмжигдэхүүнүүдийг харьцуулахтай ижил дүрэм үйлчилнэ. Тэгш байдал гэдэг нь бүх талаар бүрэн тохиролцохыг хэлнэ.

Скаляр хэмжигдэхүүн гэж юу вэ?

Вектороос ялгаатай нь скаляр хэмжигдэхүүн нь зөвхөн нэг параметртэй байдаг - энэ түүний тоон утга. Шинжилгээнд хамрагдсан утга нь эерэг тоон утгатай ба сөрөг утгатай байж болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Жишээ нь: масс, хүчдэл, давтамж эсвэл температур. Ийм хэмжигдэхүүнээр та янз бүрийн арифметик үйлдлүүдийг хийж болно: нэмэх, хуваах, хасах, үржүүлэх. Скаляр хэмжигдэхүүн нь чиглэл гэх мэт шинж чанартай байдаггүй.

Скаляр хэмжигдэхүүнийг тоон утгаар хэмждэг тул координатын тэнхлэгт харуулах боломжтой. Жишээлбэл, туулсан зай, температур эсвэл цаг хугацааны тэнхлэгийг ихэвчлэн байгуулдаг.

Скаляр ба вектор хэмжигдэхүүнүүдийн үндсэн ялгаа

Дээр өгөгдсөн тайлбараас харахад вектор хэмжигдэхүүн ба скаляр хэмжигдэхүүний гол ялгаа нь тэднийх нь тодорхой байна шинж чанарууд. Вектор хэмжигдэхүүн нь чиглэл, хэмжээтэй байдаг бол скаляр хэмжигдэхүүн нь зөвхөн тоон утгатай байдаг. Мэдээжийн хэрэг, скаляр хэмжигдэхүүн шиг вектор хэмжигдэхүүнийг хэмжиж болох боловч чиглэл байхгүй тул ийм шинж чанар бүрэн биш байх болно.

Скаляр хэмжигдэхүүн ба вектор хэмжигдэхүүний ялгааг илүү тодорхой төсөөлөхийн тулд жишээ өгөх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд ийм мэдлэгийн талбарыг авч үзье уур амьсгал судлал. Салхи секундэд 8 метрийн хурдтай байна гэвэл скаляр хэмжигдэхүүн гарч ирнэ. Харин хойд салхи секундэд 8 метрийн хурдтай үлээж байна гэвэл вектор утгын тухай ярьж байна.

Векторууд орчин үеийн математик, түүнчлэн механик, физикийн олон салбарт асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Ихэнх физик хэмжигдэхүүнийг вектор хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь ашигласан томъёо, үр дүнг ерөнхийд нь нэгтгэж, ихээхэн хялбаршуулах боломжийг бидэнд олгодог. Ихэнхдээ вектор утгууд ба векторууд хоорондоо тодорхойлогддог. Жишээлбэл, физикийн хувьд хурд эсвэл хүч нь вектор гэдгийг сонсож болно.

Сургуулийн хүүхдүүдийг айлгадаг вектор ба скаляр гэсэн хоёр үг үнэндээ аймшигтай биш юм. Хэрэв та энэ сэдэвт сонирхолтой хандвал бүх зүйлийг ойлгох боломжтой. Энэ өгүүллээр бид аль хэмжигдэхүүн нь вектор, аль нь скаляр болохыг авч үзэх болно. Илүү нарийвчлалтай, бид жишээ өгөх болно. Физикийн хичээлд зарим хэмжигдэхүүнийг зөвхөн тэмдгээр төдийгүй дээрээс нь сумаар тэмдэглэдэг болохыг оюутан бүр анзаарсан байх. Тэд юу гэсэн үг вэ? Үүнийг доор хэлэлцэх болно. Энэ нь скаляраас юугаараа ялгаатай болохыг олж мэдэхийг хичээцгээе.

Векторуудын жишээ. Тэд хэрхэн томилогдсон бэ?

Вектор гэж юу гэсэн үг вэ? Хөдөлгөөнийг тодорхойлдог зүйл. Сансарт байна уу, онгоцонд байна уу хамаагүй. Ерөнхийдөө вектор хэмжигдэхүүн гэж юу вэ? Жишээлбэл, онгоц тодорхой өндөрт тодорхой хурдтай нисч, тодорхой масстай, шаардлагатай хурдатгалтайгаар нисэх онгоцны буудлаас хөдөлж эхлэв. Онгоц ямар хөдөлгөөнтэй вэ? Түүнийг юу нисэхэд хүргэсэн бэ? Мэдээжийн хэрэг, хурдатгал, хурд. Физикийн хичээлийн вектор хэмжигдэхүүнүүд нь тод жишээ юм. Шулуухан хэлэхэд вектор хэмжигдэхүүн нь хөдөлгөөн, шилжилт хөдөлгөөнтэй холбоотой байдаг.

Ус мөн уулын өндрөөс тодорхой хурдтай хөдөлдөг. Харж байна уу? Хөдөлгөөнийг эзэлхүүн эсвэл массаар бус харин хурдаар гүйцэтгэдэг. Теннис тоглогч бөмбөгийг цохиурын тусламжтайгаар хөдөлгөх боломжийг олгодог. Энэ нь хурдатгалыг тохируулдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ тохиолдолд хэрэглэх хүч нь мөн вектор хэмжигдэхүүн юм. Учир нь өгөгдсөн хурд, хурдатгалын үр дүнд олж авдаг. Эрх мэдэл нь мөн өөрчлөгдөж, тодорхой үйлдлүүдийг хийж болно. Модны навчийг хөдөлгөдөг салхи нь бас жишээ гэж үзэж болно. Учир нь хурд байдаг.

Эерэг ба сөрөг хэмжигдэхүүнүүд

Вектор хэмжигдэхүүн нь хүрээлэн буй орон зайд чиглэлтэй, хэмжигдэхүүнтэй хэмжигдэхүүн юм. Аймшигтай үг дахин гарч ирэв, энэ удаад модуль. Та сөрөг хурдатгалын утгыг бүртгэх асуудлыг шийдэх хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Байгалийн хувьд сөрөг утга байхгүй юм шиг санагддаг. Хурд яаж сөрөг байж болох вэ?

Вектор ийм ойлголттой байдаг. Энэ нь жишээлбэл, биед үйлчлэх боловч өөр өөр чиглэлтэй хүчүүдэд хамаарна. Үйлдэл нь хариу үйлдэлтэй тэнцүү байдаг гурав дахь зүйлийг санаарай. Залуус олс таталтаар тоглож байна. Нэг баг нь цэнхэр, нөгөө баг нь шар өнгийн футболк өмсдөг. Сүүлийнх нь илүү хүчтэй болж хувирдаг. Тэдний хүчний вектор эерэг чиглэлтэй байна гэж үзье. Үүний зэрэгцээ эхнийх нь олс татаж чадахгүй, гэхдээ тэд хичээдэг. Эсрэг хүч гарч ирдэг.

Вектор эсвэл скаляр хэмжигдэхүүн үү?

Вектор хэмжигдэхүүн нь скаляр хэмжигдэхүүнээс хэрхэн ялгаатай болохыг ярилцъя. Аль параметр нь чиглэлгүй боловч өөрийн гэсэн утгатай вэ? Зарим скаляр хэмжигдэхүүнүүдийг доор жагсаацгаая.

Тэд бүгдээрээ чиглэлтэй юу? Үгүй Аль хэмжигдэхүүн нь вектор, аль нь скаляр болохыг зөвхөн харааны жишээн дээр харуулах боломжтой. Физикт ийм ойлголтууд зөвхөн "Механик, динамик ба кинематик" хэсэгт төдийгүй "Цахилгаан ба соронзон" хэсэгт байдаг. Лоренцын хүч нь мөн вектор хэмжигдэхүүн юм.

Томъёо дахь вектор ба скаляр

Физикийн сурах бичгүүдэд ихэвчлэн дээд талд нь сумтай томъёо байдаг. Ньютоны хоёр дахь хуулийг санаарай. Хүч (дээд талд нь сумтай "F") нь масс ("m") ба хурдатгалын (дээд талд нь сумтай "a") үржвэртэй тэнцүү байна. Дээр дурдсанчлан хүч ба хурдатгал нь вектор хэмжигдэхүүн боловч масс нь скаляр юм.

Харамсалтай нь, бүх хэвлэлд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тэмдэглэгээ байдаггүй. Сургуулийн хүүхдүүдийг төөрөгдүүлэхгүйн тулд аливаа зүйлийг хялбарчлахын тулд үүнийг хийсэн байх. Томьёон дахь векторуудыг харуулсан эдгээр ном, лавлах номыг худалдаж авах нь хамгийн сайн арга юм.

Зураг нь аль хэмжигдэхүүн нь вектор болохыг харуулах болно. Физикийн хичээл дээр зураг, диаграммд анхаарлаа хандуулахыг зөвлөж байна. Вектор хэмжигдэхүүн нь чиглэлтэй байдаг. Энэ нь хаашаа чиглэсэн вэ? Мэдээжийн хэрэг, доош. Энэ нь сумыг нэг чиглэлд харуулах болно гэсэн үг юм.

Техникийн их дээд сургуулиудад физикийг гүнзгийрүүлэн судалдаг. Олон хичээл дээр багш нар ямар хэмжигдэхүүнийг скаляр ба вектор гэж ярьдаг. Барилга, тээвэр, байгалийн шинжлэх ухаан зэрэг чиглэлээр ийм мэдлэг шаардлагатай.

Векторыг ихэвчлэн 2 үндсэн шинж чанартай хэмжигдэхүүн гэж ойлгодог.

1. модуль;
2. чиглэл.

Тиймээс модулиуд болон хоёулангийнх нь чиглэлүүд давхцаж байвал хоёр векторыг тэнцүү гэж үзнэ. Асуудалтай утгыг ихэвчлэн дээр нь сумтай үсэг хэлбэрээр бичдэг.

Харгалзах төрлийн хамгийн түгээмэл хэмжигдэхүүнүүдийн дунд хурд, хүч, мөн жишээлбэл, хурдатгал орно.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл вектор нь чиглүүлсэн сегмент байж болох бөгөөд түүний урт нь түүний модультай хамааралтай байдаг.

Хэрэв бид вектор хэмжигдэхүүнийг чиглэлээс нь тусад нь авч үзвэл зарчмын хувьд хэмжиж болно. Үнэн, энэ нь нэг талаараа эсвэл өөр байдлаар харгалзах хэмжигдэхүүний хэсэгчилсэн шинж чанар байх болно. Бүрэн - зөвхөн чиглэлийн сегментийн параметрүүдээр нэмэгдүүлсэн тохиолдолд л хүрнэ.

Скаляр хэмжигдэхүүн гэж юу вэ?

Скаляр гэж бид ихэвчлэн зөвхөн нэг шинж чанартай, тухайлбал тоон утгатай хэмжигдэхүүнийг хэлнэ. Энэ тохиолдолд авч үзэж буй утга нь эерэг эсвэл сөрөг утгыг авч болно.

Нийтлэг скаляр хэмжигдэхүүнүүдэд масс, давтамж, хүчдэл, температур орно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийх боломжтой - нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах.

Чиглэл (шинж чанар) нь скаляр хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ердийн зүйл биш юм.

Харьцуулалт

Вектор хэмжигдэхүүн ба скаляр хэмжигдэхүүний хоорондох гол ялгаа нь эхнийх нь гол шинж чанарууд болох хэмжээ, чиглэлтэй байдаг бол хоёр дахь нь тоон утгатай байдаг. Скаляр хэмжигдэхүүн шиг вектор хэмжигдэхүүнийг зарчмын хувьд хэмжиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, гэхдээ энэ тохиолдолд түүний шинж чанарыг зөвхөн хэсэгчлэн тодорхойлох болно, учир нь чиглэл дутагдалтай байх болно.

Вектор ба скаляр хэмжигдэхүүний хооронд ямар ялгаа байгааг тодорхойлсны дараа бид дүгнэлтийг жижиг хүснэгтэд харуулах болно.

 Вектор- зөвхөн физик болон бусад хэрэглээний шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг, зарим нарийн төвөгтэй асуудлын шийдлийг хялбарчлах боломжийг олгодог цэвэр математикийн ойлголт.
 Вектор− чиглэсэн шулуун сегмент.
Анхан шатны физикийн хичээл дээр хэмжигдэхүүний хоёр ангиллаар ажиллах ёстой скаляр ба вектор.
 Скалярхэмжигдэхүүн (скаляр) нь тоон утга, тэмдгээр тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Скалярууд нь урт - л, масс - м, зам − с, цаг - т, температур − Т, цахилгаан цэнэг − q, эрчим хүч - В, координат гэх мэт.
Бүх алгебрийн үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт) скаляр хэмжигдэхүүнд хамаарна.

 Жишээ 1.
q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC бол түүнд орсон цэнэгүүдээс бүрдэх системийн нийт цэнэгийг тодорхойл.
Системийн бүрэн төлбөр
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

 Жишээ 2.
Маягтын квадрат тэгшитгэлийн хувьд
сүх 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 ВекторХэмжигдэхүүн (векторууд) нь тоон утгаас гадна чиглэлийг зааж өгөх шаардлагатайг тодорхойлох хэмжигдэхүүн юм. Векторууд - хурд v, хүч Ф, импульс х, цахилгаан орны хүч Э, соронзон индукц Бгэх мэт.
Векторын (модуль) тоон утгыг вектор тэмдэггүй үсгээр тэмдэглэсэн эсвэл вектор нь босоо зураасны хооронд хаагдсан байна. r = |r|.
Графикаар векторыг сумаар дүрсэлсэн (Зураг 1),

Өгөгдсөн масштабын урт нь түүний хэмжээтэй тэнцүү бөгөөд чиглэл нь векторын чиглэлтэй давхцдаг.
Хоёр вектор нь хэмжээ, чиглэл нь давхцаж байвал тэнцүү байна.
Вектор хэмжигдэхүүнийг геометрийн аргаар нэмдэг (вектор алгебрийн дүрмийн дагуу).
Өгөгдсөн бүрэлдэхүүн векторуудаас вектор нийлбэр олохыг вектор нэмэх гэнэ.
Хоёр векторыг нэмэх нь параллелограмм эсвэл гурвалжны дүрмийн дагуу явагдана. Нийлбэр вектор
c = a + b
векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональтай тэнцүү аТэгээд б. Үүнийг модуль болго
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Зураг 2).


α = 90°-д c = √(a 2 + b 2 ) нь Пифагорын теорем юм.

Хэрэв векторын төгсгөлөөс гурвалжингийн дүрмийг ашиглан ижил в векторыг авч болно авекторыг хойш тавь б. Арын вектор c (векторын эхлэлийг холбох аба векторын төгсгөл б) нь нэр томъёоны вектор нийлбэр (бүрэлдэхүүн векторууд аТэгээд б).
Үүссэн вектор нь холбоосууд нь бүрэлдэхүүн векторууд болох тасархай шугамын арын төгсгөл гэж олддог (Зураг 3).


 Жишээ 3.
F 1 = 3 N ба F 2 = 4 N гэсэн хоёр хүчийг нэмнэ үү, векторууд F 1Тэгээд F 2α 1 = 10 ° ба α 2 = 40 ° өнцгийг давхрагатай тус тус хийнэ.
 F = F 1 + F 2(Зураг 4).

Эдгээр хоёр хүчийг нэмсний үр дүнд үр дүн гэж нэрлэгддэг хүч үүсдэг. Вектор Фвекторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональ дагуу чиглэсэн F 1Тэгээд F 2, хоёр тал ба модуль нь түүний урттай тэнцүү байна.
Вектор модуль Фкосинусын теоремоор олно
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° - 10°)) ≈ 6.8 H.
Хэрэв
(α 2 - α 1) = 90°, дараа нь F = √(F 1 2 + F 2 2).

Вектор болох өнцөг Фнь Ox тэнхлэгтэй тэнцүү бол бид үүнийг томъёогоор олно
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = арктан((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = арктан0.51, α ≈ 0.47 рад.

a векторын Ox (Oy) тэнхлэг дээрх проекц нь векторын чиглэлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах скаляр хэмжигдэхүүн юм. аболон Ox (Oy) тэнхлэг. (Зураг 5)


Вектор төсөөлөл атэгш өнцөгт координатын системийн Ox болон Oy тэнхлэгүүд дээр. (Зураг 6)


Векторын тэнхлэг дээрх проекцын тэмдгийг тодорхойлохдоо алдаа гаргахаас зайлсхийхийн тулд дараах дүрмийг санах нь зүйтэй: хэрэв бүрэлдэхүүн хэсгийн чиглэл нь тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байвал векторын проекц нь тэнхлэгт байна. тэнхлэг эерэг, харин бүрэлдэхүүн хэсгийн чиглэл нь тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байвал векторын проекц сөрөг байна. (Зураг 7)


Векторыг хасах нь эхний вектор дээр эсрэг чиглэлд хоёр дахь вектортой тоогоор тэнцүү вектор нэмэхийг хэлнэ.
a − b = a + (−b) = d(Зураг 8).

Энэ нь вектороос шаардлагатай байг авекторыг хасах б, тэдгээрийн ялгаа - г. Хоёр векторын ялгааг олохын тулд вектор руу очих хэрэгтэй авектор нэмэх ( −б), өөрөөр хэлбэл вектор d = a - bвекторын эхнээс чиглэсэн вектор байх болно авекторын төгсгөл хүртэл ( −б) (Зураг 9).

Векторууд дээр баригдсан параллелограммд аТэгээд бхоёр тал, нэг диагональ внийлбэр гэсэн утгатай ба нөгөө г− векторын ялгаа аТэгээд б(Зураг 9).
Векторын бүтээгдэхүүн аскаляраар k тэнцүү вектор б= к а, модуль нь векторын модулиас k дахин их байна а, мөн чиглэл нь чиглэлтэй давхцдаг аэерэг k-ийн хувьд, сөрөг k-ийн эсрэг.

 Жишээ 4.
5 м/с хурдтай хөдөлж буй 2 кг жинтэй биеийн импульсийг тодорхойл. (Зураг 10)

Биеийн импульс х= м v; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с ба хурд руу чиглэсэн v.

 Жишээ 5.
E = 400 В/м хүч чадалтай цахилгаан талбарт q = -7.5 nC цэнэгийг байрлуулна. Цэнэгэнд үйлчлэх хүчний хэмжээ ба чиглэлийг ол.

Хүч нь Ф= q Э. Цэнэг нь сөрөг тул хүчний вектор нь векторын эсрэг чиглэлд чиглэнэ Э. (Зураг 11)


 Хэлтэсвектор аскаляр k нь үржүүлэхтэй тэнцэнэ а 1/k.
 Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд аТэгээд бЭдгээр векторуудын модулиудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү скаляр "c" гэж нэрлэдэг.
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Зураг 12)


 Жишээ 6.
Шилжилт S = 7.5 м, хүч ба шилжилтийн хоорондох α өнцөг α = 120 ° бол F = 20 Н тогтмол хүчээр хийсэн ажлыг ол.

Хүчний хийсэн ажил нь тодорхойлолтоор хүч ба шилжилтийн скаляр үржвэртэй тэнцүү байна
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 м × cos120° = -150 × 1/2 = -75 Ж.

 Вектор урлагийн бүтээлвекторууд аТэгээд бвектор гэж нэрлэдэг в, a ба b векторуудын үнэмлэхүй утгуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү тоогоор:
c = a × b =,
с = ab × sinα.
Вектор ввекторууд байрлах хавтгайд перпендикуляр аТэгээд б, түүний чиглэл нь векторуудын чиглэлтэй холбоотой аТэгээд ббаруун шурагны дүрэм (Зураг 13).


 Жишээ 7.
Хэрэв дамжуулагчийн гүйдлийн хүч нь 10 А бөгөөд энэ нь талбайн чиглэлтэй α = 30 ° өнцөг үүсгэсэн бол индукц нь 5 Т байх соронзон орон дотор байрлуулсан 0.2 м урттай дамжуулагч дээр үйлчлэх хүчийг тодорхойл. .

Амперын хүч
dF = I = Idl × B эсвэл F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 м × 1/2 = 5 Н.

 Асуудлыг шийдэх талаар бодож үзээрэй.
1. Модулиуд нь ижил бөгөөд а-тай тэнцүү хоёр векторыг хэрхэн чиглүүлэх вэ, хэрэв тэдгээрийн нийлбэрийн модуль нь: a) 0; б) 2а; в) а; d) a√(2); e) a√(3)?

 Шийдэл.
a) Хоёр вектор нэг шулуун шугамын дагуу эсрэг чиглэлд чиглэв. Эдгээр векторуудын нийлбэр нь тэг байна.

b) Хоёр векторыг нэг шулуун шугамын дагуу нэг чиглэлд чиглүүлсэн. Эдгээр векторуудын нийлбэр нь 2a байна.

в) Хоёр вектор бие биенээсээ 120° өнцгөөр чиглэнэ. Векторуудын нийлбэр нь a. Үүссэн векторыг косинусын теорем ашиглан олно.

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2,
cosα = -1/2 ба α = 120°.
d) Хоёр вектор бие биедээ 90° өнцгөөр чиглэнэ. Нийлбэрийн модуль нь тэнцүү байна
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 ба α = 90° байна.

e) Хоёр вектор бие биенээсээ 60° өнцгөөр чиглэнэ. Нийлбэрийн модуль нь тэнцүү байна
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 ба α = 60 °.
 Хариулт: Векторуудын хоорондох α өнцөг нь тэнцүү байна: a) 180°; б) 0; в) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Хэрэв a = a 1 + a 2векторуудын чиг баримжаа, векторуудын харилцан чиглэлийн талаар юу хэлж болох вэ a 1Тэгээд a 2, хэрэв: a) a = a 1 + a 2 ; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2; в) a 1 + a 2 = a 1 - a 2?

 Шийдэл.
a) Хэрэв векторуудын нийлбэр нь эдгээр векторуудын модулиудын нийлбэрээр олдвол векторууд хоорондоо параллель нэг шулуун шугамын дагуу чиглэнэ. a 1 ||a 2.
б) Хэрэв векторууд өөр хоорондоо өнцгөөр чиглэсэн байвал параллелограммын косинусын теоремыг ашиглан тэдгээрийн нийлбэрийг олно.
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 ба α = 90° байна.
векторууд бие биедээ перпендикуляр байна a 1 ⊥ a 2.
в) Нөхцөл байдал a 1 + a 2 = a 1 - a 2байвал гүйцэтгэж болно a 2− тэг вектор, дараа нь a 1 + a 2 = a 1 .
 Хариултууд. A) a 1 ||a 2; б) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− тэг вектор.

3. Биеийн нэг цэгт 60° өнцгөөр тус бүр нь 1.42 Н хоёр хүч үйлчилнэ. Биеийн нэг цэгт тус бүр нь 1.75 Н-тэй хоёр хүчийг ямар өнцгөөр үйлчлэх ёстой вэ, ингэснээр тэдгээрийн үйл ажиллагаа эхний хоёр хүчний үйлчлэлийг тэнцвэржүүлнэ?

Шийдэл.
Бодлогын нөхцлийн дагуу тус бүр нь 1.75 Н-тэй хоёр хүч тус бүр нь 1.42 Н-ийн хоёр хүчийг тэнцвэржүүлж байна.Хэрэв үүссэн хос хүчний векторуудын модулиуд тэнцүү бол энэ нь боломжтой юм. Бид параллелограммын косинусын теоремыг ашиглан үүссэн векторыг тодорхойлно. Эхний хос хүчний хувьд:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2,
хоёр дахь хос хүчний хувьд тус тус
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг тэгшитгэх
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Векторуудын хоорондох шаардлагатай β өнцгийг олъё
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Тооцооллын дараа,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90.7°.

 Хоёр дахь шийдэл.
OX координатын тэнхлэг дээрх векторуудын проекцийг авч үзье (Зураг).

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг ашиглан бид олж авна
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
хаана
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) ба β ≈ 90.7°.

4. Вектор a = 3i − 4j. |c-ийн скаляр хэмжигдэхүүн ямар байх ёстой вэ а| = 7,5?
 Шийдэл.
в а= c( 3i − 4j) = 7,5
Вектор модуль атэнцүү байх болно
a 2 = 3 2 + 4 2, мөн a = ±5,
дараа нь
в.(±5) = 7.5,
үүнийг олъё
c = ±1.5.

5. Векторууд a 1Тэгээд a 2гарал үүслээс гарах ба декартын төгсгөлийн координат (6, 0) ба (1, 4) тус тус байна. Векторыг ол a 3ийм: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Шийдэл.
Декартын координатын систем дэх векторуудыг дүрсэлцгээе (Зураг).

a) Үхрийн тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор нь байна
a x = 6 + 1 = 7.
Oy тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор нь
a y = 4 + 0 = 4.
Векторуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байхын тулд нөхцөлийг хангасан байх шаардлагатай
a 1 + a 2 = −a 3.
Вектор a 3модуль нь нийт вектортой тэнцүү байх болно a 1 + a 2, гэхдээ эсрэг чиглэлд чиглэсэн. Вектор төгсгөлийн координат a 3(−7, −4) ба модультай тэнцүү байна
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.

B) Ox тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор нь тэнцүү байна
a x = 6 - 1 = 5,
ба Oy тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор
a y = 4 − 0 = 4.
Нөхцөл хангагдсан үед
a 1 − a 2 = −a 3,
вектор a 3 a x = –5, a y = −4 векторын төгсгөлийн координаттай байх ба модуль нь тэнцүү байна.
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.

6. Элч хойд талаараа 30 м, зүүн тийш 25 м, урагшаа 12 м алхаж, дараа нь барилга дотор 36 м өндөрт лифтэнд суув.Түүний L явсан зай ба нүүлгэн шилжүүлэлт S вэ? ?

 Шийдэл.
Асуудалд тайлбарласан нөхцөл байдлыг дурын масштабаар хавтгай дээр дүрсэлж үзье (Зураг).

Векторын төгсгөл О.А.зүүн тийш 25 м, хойшоо 18 м, дээшээ 36 (25; 18; 36) солбицолтой. Хүний туулсан зам нь тэнцүү байна
L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.
Шилжилтийн векторын хэмжээг томъёог ашиглан олж болно
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
Энд x o = 0, y o = 0, z o = 0 байна.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (м).
 Хариулт: L = 103 м, S = 47.4 м.

7. Хоёр векторын хоорондох α өнцөг аТэгээд б 60°-тай тэнцүү байна. Векторын уртыг тодорхойл c = a + bба векторуудын хоорондох β өнцөг аТэгээд в. Векторуудын хэмжээ нь a = 3.0 ба b = 2.0 байна.

 Шийдэл.
Векторын урт нь векторуудын нийлбэртэй тэнцүү байна аТэгээд бПараллелограммын косинусын теоремыг ашиглан тодорхойлъё (Зураг).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Сэлгээний дараа
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
β өнцгийг тодорхойлохын тулд ABC гурвалжны синусын теоремыг ашиглана.
b/sinβ = a/sin(α − β).
Үүний зэрэгцээ та үүнийг мэдэж байх ёстой
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж, бид илэрхийлэлд хүрнэ
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
тиймээс,
β = арктан(bsinα/(a + bcosα)),
β = арктан(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Гурвалжны косинусын теоремыг ашиглан шалгацгаая.
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
хаана
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Тэгээд
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
 Хариулт: c ≈ 4.4; β ≈ 23°.

 Асуудлыг шийдэх.
8. Векторуудын хувьд аТэгээд бЖишээ 7-д тодорхойлсон векторын уртыг ол d = a - bбулан γ хооронд аТэгээд г.

9. Векторын проекцийг ол a = 4.0i + 7.0jчиглэл нь Ox тэнхлэгтэй α = 30° өнцөг үүсгэсэн шулуун шугам руу. Вектор ашулуун шугам нь xOy хавтгайд байна.

10. Вектор а AB шулуун шугамаар α = 30 ° өнцгийг үүсгэнэ, a = 3.0. Векторыг AB шулуун шугамаас β ямар өнцгөөр чиглүүлэх вэ? б(b = √(3)) тул вектор c = a + b AB-тай параллель байсан уу? Векторын уртыг ол в.

11. Гурван вектор өгөгдсөн. a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Олох) a+b; б) a+c; V) (а, б); G) (a, c)b − (a, b)c.

12. Векторуудын хоорондох өнцөг аТэгээд бα = 60°, a = 2.0, b = 1.0-тэй тэнцүү байна. Векторуудын уртыг ол c = (a, b)a + bТэгээд d = 2b − a/2.

13. Векторууд гэдгийг батал аТэгээд б a = (2, 1, −5) ба b = (5, −5, 1) бол перпендикуляр байна.

14. Векторуудын хоорондох α өнцгийг ол аТэгээд б, хэрэв a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Вектор а Ox тэнхлэгтэй α = 30 ° өнцгийг үүсгэдэг бөгөөд энэ векторын Oy тэнхлэг дээрх проекц нь y = 2.0-тэй тэнцүү байна. Вектор бвекторт перпендикуляр аба b = 3.0 (зураг харна уу).

Вектор c = a + b. Олно: a) векторын проекц бҮхэр ба Ой тэнхлэг дээр; b) c-ийн утга ба векторын хоорондох β өнцөг вба Үхрийн тэнхлэг; такси); г) (а, в).

 Хариултууд:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β = 300°; c = 3.5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2.6; d = 1.7.
14. α = 44.4°.
15. a) b x = −1.5; b y = 2.6; b) c = 5; β ≈ 67°; в) 0; d) 16.0.
Физикийн чиглэлээр суралцсанаар техникийн их сургуульд үргэлжлүүлэн суралцах сайхан боломжууд бий. Энэ нь математик, хими, хэл болон бусад хичээлүүдийн мэдлэгийг зэрэгцүүлэн гүнзгийрүүлэх шаардлагатай болно. Бүгд найрамдах улсын олимпиадын ялагч Савич Егор химийн чиглэлээр мэдлэгт өндөр шаардлага тавьдаг MIPT-ийн нэг факультетийг төгссөн. Хэрэв танд химийн чиглэлээр Улсын Шинжлэх Ухааны Академид тусламж хэрэгтэй бол мэргэжлийн хүмүүстэй холбоо бариарай, та мэргэшсэн, цаг алдалгүй тусламж авах болно.