График ба энгийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд. Хүчин чадлын функц, түүний шинж чанар, график Үзүүлэх материал Хичээл-лекц Функцийн тухай ойлголт

Энэхүү сургалтын материал нь зөвхөн лавлагаанд зориулагдсан бөгөөд өргөн хүрээний сэдэвтэй холбоотой. Нийтлэлд үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тоймыг өгч, хамгийн чухал асуудлыг авч үзсэн болно. графикийг хэрхэн зөв, ШУУРХАЙ бүтээх. Анхан шатны үндсэн функцүүдийн графикийг мэдэхгүй байж дээд математикийг судлах явцад энэ нь хэцүү байх тул парабол, гипербол, синус, косинус гэх мэтийн графикууд ямар байдгийг санаж, заримыг нь санах нь маш чухал юм. функцүүдийн утгын талаар. Бид мөн үндсэн функцүүдийн зарим шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Би материалын бүрэн бүтэн байдал, шинжлэх ухааны үндэслэлтэй байхыг шаарддаггүй; юуны түрүүнд практик дээр анхаарлаа хандуулах болно - эдгээр зүйлүүдэд. Дээд математикийн аль ч сэдвээр алхам тутамд тааралддаг. Дамми нарт зориулсан график уу? Нэг ингэж хэлж болно.

Уншигчдын олон хүсэлтийн дагуу товших боломжтой агуулгын хүснэгт:

Нэмж дурдахад, сэдвийн талаархи хэт богино тойм байдаг
- ЗУРГААН хуудсыг судалж 16 төрлийн графикийг эзэмшээрэй!

Үнэхээр зургаа, би хүртэл гайхсан. Энэхүү хураангуй нь сайжруулсан графикуудыг агуулсан бөгөөд нэрлэсэн төлбөртэй бөгөөд демо хувилбарыг үзэх боломжтой. Графикууд үргэлж бэлэн байхын тулд файлыг хэвлэх нь тохиромжтой. Төслийг дэмжсэнд баярлалаа!

Тэгээд шууд эхэлцгээе:

Координатын тэнхлэгүүдийг хэрхэн зөв барих вэ?

Практикт шалгалтыг оюутнууд бараг үргэлж дөрвөлжин доторлогоотой тусдаа дэвтэрт бөглөдөг. Яагаад танд алаг тэмдэглэгээ хэрэгтэй байна вэ? Эцсийн эцэст, ажлыг зарчмын хувьд А4 хуудсан дээр хийж болно. Мөн тор нь зөвхөн зургийн өндөр чанартай, үнэн зөв дизайн хийхэд шаардлагатай байдаг.

Функцийн графикийн аливаа зураг нь координатын тэнхлэгүүдээс эхэлдэг.

Зураг нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст байж болно.

Эхлээд хоёр хэмжээст тохиолдлыг авч үзье Декартын тэгш өнцөгт координатын систем:

1) Координатын тэнхлэгүүдийг зур. тэнхлэг гэж нэрлэдэг x тэнхлэг , мөн тэнхлэг нь байна у тэнхлэг . Бид тэднийг үргэлж зурахыг хичээдэг цэвэрхэн, муруй биш. Сумнууд нь Папа Карлогийн сахалтай төстэй байх ёсгүй.

2) Бид "X" ба "Y" гэсэн том үсгээр тэнхлэгт гарын үсэг зурдаг. Тэнхлэгүүдийг шошголохоо бүү мартаарай.

3) Тэнхлэгийн дагуу масштабыг тохируулна уу: тэг ба хоёрыг зур. Зураг зурахдаа хамгийн тохиромжтой, байнга хэрэглэгддэг масштаб нь: 1 нэгж = 2 нүд (зүүн талд зурах) - хэрэв боломжтой бол үүнийг наа. Гэсэн хэдий ч үе үе зураг нь дэвтэрийн хуудсан дээр таарахгүй байх тохиолдол гардаг - дараа нь бид масштабыг багасгадаг: 1 нэгж = 1 нүд (баруун талд зурах). Энэ нь ховор тохиолддог, гэхдээ зургийн хэмжээг багасгах (эсвэл нэмэгдүүлэх) шаардлагатай болдог.

…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … гэж “пулемёт” БУСАХ ШААРДЛАГАГҮЙ.Учир нь координатын хавтгай нь Декартын хөшөө биш, оюутан бол тагтаа биш юм. Бид тавих тэгТэгээд тэнхлэгийн дагуу хоёр нэгж. Заримдаа оронд ньнэгжийн хувьд бусад утгыг "тэмдэглэх" нь тохиромжтой, жишээлбэл, абсцисса тэнхлэг дээр "хоёр", ордны тэнхлэг дээр "гурав" - мөн энэ систем (0, 2, 3) нь координатын сүлжээг өвөрмөц байдлаар тодорхойлох болно.

Зургийг бүтээхээс өмнө зургийн тооцоолсон хэмжээсийг тооцоолох нь дээр. Жишээлбэл, хэрэв даалгавар нь оройтой гурвалжин зурах шаардлагатай бол , , , 1 нэгж = 2 нүдтэй түгээмэл масштаб ажиллахгүй нь бүрэн тодорхой байна. Яагаад? Асуудлыг харцгаая - энд та арван таван сантиметрийг хэмжих хэрэгтэй бөгөөд зураг нь дэвтэрийн хуудсан дээр тохирохгүй (эсвэл бараг таарахгүй) нь ойлгомжтой. Тиймээс бид нэн даруй жижиг масштабыг сонгоно: 1 нэгж = 1 нүд.

Дашрамд хэлэхэд, ойролцоогоор сантиметр, дэвтэр эсүүд. 30 дэвтрийн эсэд 15 сантиметр байдаг гэдэг үнэн үү? Хөгжилтэй байхын тулд дэвтэртээ 15 сантиметрийг захирагчаар хэмжинэ. ЗХУ-д энэ нь үнэн байж магадгүй юм ... Хэрэв та эдгээр ижил сантиметрийг хэвтээ ба босоо байдлаар хэмжих юм бол үр дүн (нүдэнд) өөр байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй! Хатуухан хэлэхэд орчин үеийн дэвтэр нь алаг биш, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Энэ нь утгагүй мэт санагдаж болох ч, жишээлбэл, ийм нөхцөлд луужинтай тойрог зурах нь маш тохиромжгүй байдаг. Үнэнийг хэлэхэд, ийм мөчид та дотоодын автомашины үйлдвэр, унасан онгоц, дэлбэрч буй цахилгаан станцууд битгий хэл хуаранд хакерын ажилд илгээгдсэн нөхөр Сталины зөв байдлын талаар бодож эхэлдэг.

Чанарын тухай ярих юм уу эсвэл бичгийн хэрэгслийн талаархи товч зөвлөмж. Өнөөдөр худалдаанд гарсан нөүтбүүкүүдийн дийлэнх нь хамгийн багаар бодоход новш гэж хэлж болно. Учир нь тэд зөвхөн гель үзэгнээс төдийгүй баллон үзэгнээс чийгшдэг! Тэд цаасан дээр мөнгө хэмнэдэг. Туршилтыг дуусгахын тулд би илүү үнэтэй боловч Архангельскийн целлюлоз, цаасны үйлдвэр (18 хуудас, дөрвөлжин) эсвэл "Пятерочка" дэвтэр ашиглахыг зөвлөж байна. Гель үзэг сонгохыг зөвлөж байна, тэр ч байтугай хамгийн хямд хятад гель дүүргэгч нь цаасыг будаж, урж хаядаг баллон үзэгнээс хамаагүй дээр юм. Миний санаж байгаа цорын ганц "өрсөлдөх чадвартай" бал үзэг бол Эрих Краузе юм. Тэр бүрэн цөмтэй ч бай, бараг хоосон ч бай ойлгомжтой, сайхан, тууштай бичдэг.

Нэмж хэлэхэд: Тэгш өнцөгт координатын системийг аналитик геометрийн нүдээр харахыг нийтлэлд тусгасан болно. Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс, координатын хэсгүүдийн талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг хичээлийн хоёр дахь догол мөрөөс олж болно Шугаман тэгш бус байдал.

3D хэрэг

Энд бараг адилхан байна.

1) Координатын тэнхлэгүүдийг зур. Стандарт: тэнхлэг хэрэглэнэ – дээш чиглэсэн, тэнхлэг – баруун тийш, тэнхлэг – доошоо зүүн тийш чиглэсэн хатуу 45 градусын өнцгөөр.

2) Тэнхлэгүүдийг шошго.

3) Тэнхлэгийн дагуу хуваарийг тогтооно. Тэнхлэгийн дагуух масштаб нь бусад тэнхлэгийн дагуух масштабаас хоёр дахин бага байна. Мөн зөв зураг дээр би тэнхлэгийн дагуу стандарт бус "ховил" ашигласан гэдгийг анхаарна уу (энэ боломжийг дээр дурдсан). Миний бодлоор энэ нь илүү нарийвчлалтай, хурдан бөгөөд гоо зүйн хувьд илүү тааламжтай байдаг - микроскопоор эсийн дунд хэсгийг хайж, координатын гарал үүсэлтэй ойролцоо нэгжийг "баримлах" шаардлагагүй.

3D зураг зурахдаа дахин масштабыг чухалчил
1 нэгж = 2 нүд (зүүн талд зурах).

Энэ бүх дүрэм юунд зориулагдсан бэ? Дүрмүүдийг зөрчих гэж бүтээдэг. Үүнийг би одоо хийх болно. Баримт нь нийтлэлийн дараагийн зургийг би Excel дээр хийх бөгөөд координатын тэнхлэгүүд зөв дизайны үүднээс буруу харагдах болно. Би бүх графикийг гараар зурж болно, гэхдээ Excel тэдгээрийг илүү нарийвчлалтай зурахаас татгалздаг тул зурах нь үнэхээр аймшигтай юм.

График ба энгийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд

Шугаман функцийг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Шугаман функцүүдийн график нь шууд. Шулуун шугам барихын тулд хоёр цэгийг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 1

Функцийн графикийг байгуул. Хоёр цэгийг олъё. Нэг оноогоор тэгийг сонгох нь давуу талтай.

Хэрэв бол

Өөр нэг зүйлийг авч үзье, жишээлбэл, 1.

Хэрэв бол

Даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ цэгүүдийн координатыг ихэвчлэн хүснэгтэд нэгтгэн харуулав.

Мөн утгыг өөрсдөө амаар эсвэл ноорог, тооны машин дээр тооцдог.

Хоёр цэг олдлоо, зураг зурцгаая:

Зургийг бэлтгэхдээ бид үргэлж график дээр гарын үсэг зурдаг.

Шугаман функцийн онцгой тохиолдлуудыг эргэн санах нь зүйтэй.

Би хэрхэн гарын үсэг зурсныг анзаараарай. Зургийг судлахдаа гарын үсэг нь зөрүүг зөвшөөрөх ёсгүй. Энэ тохиолдолд шугамын огтлолцлын цэгийн хажууд эсвэл графикуудын хооронд баруун доод талд гарын үсэг зурах нь туйлын зохисгүй байв.

1) () хэлбэрийн шугаман функцийг шууд пропорциональ гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, . Шууд пропорциональ график нь эх үүсвэрээр үргэлж дамждаг. Тиймээс шулуун шугам барих нь хялбаршуулсан - зөвхөн нэг цэгийг олоход хангалттай.

2) Маягтын тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгдөг, ялангуяа тэнхлэг нь өөрөө тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Функцийн графикийг ямар ч цэг ололгүйгээр шууд зурна. Өөрөөр хэлбэл, оруулгыг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: "х-ийн аль ч утгын хувьд y нь үргэлж -4-тэй тэнцүү байна."

3) Маягтын тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгдөг, ялангуяа тэнхлэг нь өөрөө тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Функцийн графикийг мөн нэн даруй зурна. Бичлэгийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: "x нь ямагт, y-ийн аль ч утгын хувьд 1-тэй тэнцүү байна."

Зарим нь яагаад 6-р ангиа санаж байна гэж асуух болно? Ийм л байна, магадгүй тийм байх, гэхдээ олон жилийн турш дадлага хийх явцад би эсвэл гэх мэт график бүтээх ажилд эргэлзсэн олон арван оюутнуудтай уулзсан.

Шулуун шугам барих нь зураг зурахад хамгийн түгээмэл үйлдэл юм.

Шулуун шугамыг аналитик геометрийн хичээлээр нарийвчлан авч үзэх бөгөөд сонирхсон хүмүүс нийтлэлээс лавлаж болно. Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Квадрат, куб функцийн график, олон гишүүнтийн график

Парабола. Квадрат функцийн график () нь параболыг илэрхийлнэ. Алдартай тохиолдлыг авч үзье:

Функцийн зарим шинж чанарыг эргэн санацгаая.

Тэгэхээр бидний тэгшитгэлийн шийдэл: – яг энэ үед параболын орой байрлаж байна. Яагаад ийм байдгийг деривативын тухай онолын нийтлэл, функцийн экстремумын тухай хичээлээс олж болно. Энэ хооронд харгалзах "Y" утгыг тооцоолъё:

Тиймээс орой нь цэг дээр байна

Одоо бид параболын тэгш хэмийг ашиглан бусад цэгүүдийг оллоо. Функц гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй – тэгш биш байна, гэхдээ хэн ч параболын тэгш хэмийг цуцалсангүй.

Үлдсэн оноог ямар дарааллаар олох нь эцсийн хүснэгтээс тодорхой болно гэж би бодож байна.

Энэхүү барилгын алгоритмыг Анфиса Чеховатай "шаттл" эсвэл "нааш цааш" зарчим гэж нэрлэж болно.

Зураг зурцгаая:

Шалгасан графикуудаас харахад өөр нэг ашигтай шинж чанар санаанд орж байна:

Квадрат функцийн хувьд () дараах үнэн байна:

Хэрэв бол параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн байна.

Хэрэв бол параболын мөчрүүд доош чиглэсэн байна.

Гипербола ба парабола хичээлээс муруйн талаарх гүнзгий мэдлэгийг олж авах боломжтой.

Куб параболыг функцээр өгөгдсөн. Энд сургуулиас танил зурсан зураг байна.

Функцийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсаая

Функцийн график

Энэ нь параболын нэг салбарыг төлөөлдөг. Зураг зурцгаая:

Функцийн үндсэн шинж чанарууд:

Энэ тохиолдолд тэнхлэг нь байна босоо асимптот үед гиперболын графикийн хувьд.

Хэрэв та зураг зурахдаа графикийг асимптоттой огтлолцоход хайхрамжгүй хандвал БҮХЭН алдаа болно.

Мөн нэг талт хязгаарлалтууд нь гиперболыг хэлдэг дээрээс хязгаарлагдахгүйТэгээд доороос хязгаарлагдахгүй.

Хязгааргүй функцийг авч үзье: өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид зүүн (эсвэл баруун) тэнхлэгийн дагуу хязгааргүй хүртэл хөдөлж эхэлбэл "тоглоомууд" эмх цэгцтэй байх болно. хязгааргүй ойрхонтэг рүү ойртох ба үүний дагуу гиперболын мөчрүүд хязгааргүй ойрхонтэнхлэгт ойртох.

Тиймээс тэнхлэг хэвтээ асимптот Функцийн графикийн хувьд хэрэв “x” нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай бол.

Функц нь хачин, тиймээс гипербол нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Энэ баримт нь зурагнаас тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд үүнээс гадна үүнийг аналитик байдлаар хялбархан шалгаж болно. .

() хэлбэрийн функцийн график нь гиперболын хоёр салбарыг илэрхийлнэ.

Хэрэв , тэгвэл гипербола нь координатын нэг ба гуравдугаар хэсэгт байрлана(дээрх зургийг үзнэ үү).

Хэрэв , тэгвэл гипербол нь координатын хоёр ба дөрөв дэх хэсэгт байрлана.

Гиперболын оршин суух заасан хэв маягийг графикийн геометрийн хувиргалтын үүднээс шинжлэхэд хялбар байдаг.

Жишээ 3

Гиперболын баруун салбарыг байгуул

Бид цэгэн барилгын аргыг ашигладаг бөгөөд утгуудыг бүхэлд нь хуваах байдлаар сонгох нь давуу талтай.

Зураг зурцгаая:

Гиперболын зүүн мөчрийг бүтээх нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд функцийн сондгой байдал нь энд туслах болно. Ойролцоогоор, цэгэн барилгын хүснэгтэд бид оюун ухаанаараа тоо бүрт хасах нэмж, харгалзах цэгүүдийг тавьж, хоёр дахь салбарыг зурдаг.

Үзэж буй шугамын талаархи дэлгэрэнгүй геометрийн мэдээллийг Гипербол ба параболын өгүүллээс олж болно.

Экспоненциал функцийн график

Энэ хэсэгт би нэн даруй экспоненциал функцийг авч үзэх болно, учир нь дээд математикийн асуудлуудад тохиолдлын 95% -д экспоненциал гарч ирдэг.

Энэ бол иррационал тоо гэдгийг танд сануулъя: , энэ нь график байгуулахад шаардагдах бөгөөд энэ нь үнэндээ би ёслолгүйгээр барих болно. Гурван оноо хангалттай байх магадлалтай:

Функцийн графикийг одоохондоо ганцааранг нь үлдээе, дараа дэлгэрэнгүй яръя.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд:

Функцийн график гэх мэт нь үндсэндээ адилхан харагддаг.

Хоёрдахь тохиолдол нь практикт бага тохиолддог гэж би хэлэх ёстой, гэхдээ энэ нь тохиолддог тул би үүнийг энэ нийтлэлд оруулах шаардлагатай гэж үзсэн.

Логарифм функцийн график

Натурал логарифм бүхий функцийг авч үзье.
Цэг бүрээр нь зуръя:

Хэрэв та логарифм гэж юу байдгийг мартсан бол сургуулийнхаа сурах бичигт хандана уу.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд:

Домэйн:

Утгын хүрээ: .

Функц нь дээрээс хязгаарлагдахгүй: , аажмаар боловч логарифмын салбар хязгааргүйд хүрдэг.
Баруун талд тэгтэй ойролцоо функцийн үйлдлийг авч үзье. . Тиймээс тэнхлэг босоо асимптот Функцийн графикийн хувьд “x” баруун талаас тэг рүү чиглэдэг.

Логарифмын ердийн утгыг мэдэж, санаж байх нь зайлшгүй юм: .

Зарчмын хувьд суурь хүртэлх логарифмын график ижил харагдаж байна: , , (10-р суурьтай аравтын логарифм) гэх мэт. Түүнээс гадна, суурь нь том байх тусам график нь хавтгай болно.

Бид энэ хэргийг авч үзэхгүй, би хамгийн сүүлд хэзээ ийм суурьтай график байгуулснаа санахгүй байна. Логарифм нь дээд математикийн асуудалд маш ховор зочин юм шиг санагддаг.

Энэ догол мөрний төгсгөлд би бас нэг баримт хэлье: Экспоненциал функц ба логарифм функц- Эдгээр нь хоёр бие биенээсээ урвуу функцууд юм. Хэрэв та логарифмын графикийг анхааралтай ажиглавал энэ нь ижил экспонент бөгөөд арай өөр байрлаж байгааг харж болно.

Тригонометрийн функцүүдийн графикууд

Сургуульд тригонометрийн тарчлал хаанаас эхэлдэг вэ? Зөв. Синусаас

Функцийн графикийг зурцгаая

Энэ мөрийг нэрлэдэг синусоид.

“Пи” бол иррационал тоо гэдгийг сануулъя: , тригонометрийн хувьд энэ нь таны нүдийг гялалзуулдаг.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд:

Энэ функц нь үе үехугацаатай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Сегментийг харцгаая. Үүний зүүн ба баруун талд яг ижил график хэсэг төгсгөлгүй давтагдана.

Домэйн: , өөрөөр хэлбэл “x”-ийн аль ч утгын хувьд синус утга байна.

Утгын хүрээ: . Функц нь хязгаарлагдмал: , өөрөөр хэлбэл бүх "тоглоомууд" сегментэд хатуу суудаг.
Энэ нь тохиолддоггүй: эсвэл, илүү нарийвчлалтай, тохиолддог, гэхдээ эдгээр тэгшитгэлд шийдэл байдаггүй.

"Эрчим хүчний функц. Шинж чанар. График" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага

Эрчим хүчний функцууд, тодорхойлолтын домэйн.

Залуус аа, сүүлийн хичээлээр бид рационал илтгэгчтэй тоонуудтай хэрхэн ажиллах талаар сурсан. Энэ хичээлээр бид чадлын функцуудыг авч үзээд илтгэгч нь оновчтой байх тохиолдлоор хязгаарлагдах болно.
Бид дараах хэлбэрийн функцуудыг авч үзэх болно: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Эхлээд $\frac(m)(n)>1$ илтгэгч функцүүдийг авч үзье.
$y=x^2*5$ тодорхой функц өгье.
Сүүлийн хичээл дээр бидний өгсөн тодорхойлолтын дагуу: хэрэв $x≥0$ бол бидний функцийг тодорхойлох муж нь $(x)$ туяа болно. Функцийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлцгээе.

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 функцийн шинж чанарууд 2. Энэ нь тэгш, сондгой ч биш.
3. $$-р өснө,
б) $(2,10)$,
в) $$ туяа дээр.
Шийдэл.
Залуус аа, бид 10-р ангид сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олсоноо санаж байна уу?
Энэ нь зөв, бид деривативыг ашигласан. Жишээгээ шийдэж, хамгийн бага, хамгийн том утгыг олох алгоритмыг давтъя.
1. Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол.
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Дериватив нь анхны функцийг тодорхойлох бүхэл бүтэн мужид байдаг, тэгвэл ямар ч чухал цэг байхгүй. Тогтмол цэгүүдийг олцгооё:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ба $x_2=\sqrt(64)=4$.
Өгөгдсөн сегмент нь зөвхөн нэг шийдлийг агуулна $x_2=4$.
Сегментийн төгсгөл ба экстремум цэг дээр функцийнхээ утгуудын хүснэгтийг байгуулъя.
Хариулт: $y_(нэр)=-862.65$ үед $x=9$; $y_(макс.)=38.4$, $x=4$.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Шийдэл. $y=x^(\frac(4)(3))$ функцийн график нэмэгдэж, $y=24-x$ функцийн график буурч байна. Залуус аа, та бид хоёр мэднэ: хэрэв нэг функц нэмэгдэж, нөгөө нь буурч байвал тэдгээр нь зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл бидэнд зөвхөн нэг шийдэл байна.
Жич:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Өөрөөр хэлбэл, $x=8$ байхад бид $16=16$ зөв тэгшитгэлийг авсан бөгөөд энэ нь бидний тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Хариулт: $x=8$.

Жишээ.
Функцийн график зур: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Шийдэл.
Манай функцын графикийг $y=x^(\frac(3)(4))$ функцийн графикаас 3 нэгж баруун тийш, 2 нэгж дээш шилжүүлж гаргав.

Жишээ. $x=1$ цэг дээрх $y=x^(-\frac(4)(5))$ шулууны шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Шүргэх тэгшитгэлийг бидний мэддэг томъёогоор тодорхойлно.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Манай тохиолдолд $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Деривативыг олцгооё:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Тооцоолъё:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Шүргэх тэгшитгэлийг олъё:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Хариулт: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: $y=x^\frac(4)(3)$ сегмент дээр:
a) $$.
б) $(4.50)$.
в) $$ туяа дээр.
3. Тэгшитгэлийг шийд: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Функцийн графикийг байгуул: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $x=1$ цэг дээрх $y=x^(-\frac(3)(7))$ шулуун шугамын шүргэгчийн тэгшитгэлийг үүсгэ.

Экспонентийн янз бүрийн утгуудын чадлын функцүүдийн шинж чанар, графикийг үзүүлэв. Үндсэн томьёо, тодорхойлолтын хүрээ ба утгын багц, паритет, монотон байдал, өсөх ба буурах, экстремум, гүдгэр, гулзайлт, координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг, хязгаар, тодорхой утгууд.

Эрчим хүчний функц бүхий томьёо

y = x p чадлын функцийн тодорхойлолтын мужид дараах томъёонууд байна.
; ;
;
; ;
; ;
; .

Хүчин чадлын функцүүдийн шинж чанарууд ба тэдгээрийн графикууд

Тэгтэй тэнцүү экспоненттай чадлын функц, p = 0

y = x p чадлын функцийн илтгэгч тэгтэй тэнцүү p = 0 бол чадлын функц нь бүх x ≠ 0-д тодорхойлогддог бөгөөд нэгтэй тэнцүү тогтмол байна.
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Байгалийн сондгой илтгэгчтэй чадлын функц, p = n = 1, 3, 5, ...

Байгалийн сондгой илтгэгч n = 1, 3, 5, ... y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Энэ үзүүлэлтийг мөн хэлбэрээр бичиж болно: n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, ... нь сөрөг бус бүхэл тоо юм. Ийм функцүүдийн шинж чанар, графикийг доор харуулав.

n = 1, 3, 5, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд байгалийн сондгой илтгэгчтэй у = x n чадлын функцийн график.

Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: -∞ < y < ∞
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
-∞ дээр< x < 0 выпукла вверх
0-д< x < ∞ выпукла вниз
Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1 үед,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 үед y(0) = 0 n = 0 байна
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = 1-ийн хувьд функц нь түүний урвуу: x = y
n ≠ 1-ийн хувьд урвуу функц нь n зэрэглэлийн үндэс болно.

Байгалийн тэгш илтгэгчтэй чадлын функц, p = n = 2, 4, 6, ...

Байгалийн тэгш илтгэгч n = 2, 4, 6, ... y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Энэ үзүүлэлтийг мөн хэлбэрээр бичиж болно: n = 2k, энд k = 1, 2, 3, ... - байгалийн. Ийм функцүүдийн шинж чанар, графикийг доор өгөв.

n = 2, 4, 6, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд натурал тэгш илтгэгчтэй y = x n чадлын функцийн график.

Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: 0 ≤ y< ∞
Паритет:тэгш, у(-х) = у(х)
Монотон:
x ≤ 0-ийн хувьд монотон буурна
x ≥ 0-ийн хувьд монотон нэмэгдэнэ
Хэт их:хамгийн бага, x = 0, y = 0
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1 үед, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0 үед y(0) = 0 n = 0 байна
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = 2-ын хувьд квадрат язгуур:
n ≠ 2-ийн хувьд n зэрэглэлийн үндэс:

Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц, p = n = -1, -2, -3, ...

Бүхэл сөрөг илтгэгч n = -1, -2, -3, ... y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Хэрэв k = 1, 2, 3, ... нь натурал тоо болох n = -k гэж тавьбал дараах байдлаар илэрхийлж болно.

n = -1, -2, -3, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын сөрөг бүхэл илтгэгчтэй y = x n чадлын функцийн график.

Сондгой илтгэгч, n = -1, -3, -5, ...

Сондгой сөрөг илтгэгч n = -1, -3, -5, ... y = x n функцийн шинж чанаруудыг доор харуулав.

Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y ≠ 0
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор буурдаг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
x дээр< 0 : выпукла вверх
x > 0-ийн хувьд: гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах:
x дээр< 0, y < 0
x > 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = -1 үед,
n< -2 ,

Тэгш илтгэгч, n = -2, -4, -6, ...

Тэгш сөрөг илтгэгч n = -2, -4, -6, ... y = x n функцийн шинж чанаруудыг доор харуулав.

Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y > 0
Паритет:тэгш, у(-х) = у(х)
Монотон:
x дээр< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ийн хувьд: монотон буурна
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах: y > 0
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = -2 үед,
n< -2 ,

Рационал (бутархай) илтгэгчтэй чадлын функц

Рационал (бутархай) илтгэгчтэй y = x p чадлын функцийг авч үзье, энд n нь бүхэл тоо, m > 1 нь натурал тоо юм. Түүнчлэн n, m-д нийтлэг хуваагч байдаггүй.

Бутархай үзүүлэлтийн хуваагч нь сондгой байна

Бутархай илтгэгчийн хуваагч сондгой байг: m = 3, 5, 7, ... . Энэ тохиолдолд x p аргументийн эерэг ба сөрөг утгуудын аль алиных нь хувьд чадлын функцийг тодорхойлно. р илтгэгч тодорхой хязгаарт байх үед ийм чадлын функцүүдийн шинж чанарыг авч үзье.

p-утга нь сөрөг, p< 0

Рационал илтгэгч (сондгой хуваарьтай m = 3, 5, 7, ...) тэгээс бага байг: .

m = 3, 5, 7, ... - сондгой гэсэн илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын оновчтой сөрөг үзүүлэлт бүхий чадлын функцын графикууд.

Сондгой тоологч, n = -1, -3, -5, ...

y = x p чадлын функцийн шинж чанаруудыг рационал сөрөг илтгэгчтэй танилцуулж байна. Энд n = -1, -3, -5, ... сондгой сөрөг бүхэл тоо, m = 3, 5, 7 ... сондгой натурал бүхэл тоо.

Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y ≠ 0
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор буурдаг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
x дээр< 0 : выпукла вверх
x > 0-ийн хувьд: гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах:
x дээр< 0, y < 0
x > 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
үед x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:

Тэгш тоологч, n = -2, -4, -6, ...

Рационал сөрөг илтгэгчтэй у = x p чадлын функцийн шинж чанарууд, энд n = -2, -4, -6, ... тэгш сөрөг бүхэл тоо, m = 3, 5, 7 ... сондгой натурал бүхэл тоо. .

Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y > 0
Паритет:тэгш, у(-х) = у(х)
Монотон:
x дээр< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ийн хувьд: монотон буурна
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах: y > 0
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
үед x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:

p-утга эерэг, нэгээс бага, 0< p < 1

Рационал илтгэгчтэй чадлын функцийн график (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Сондгой тоологч, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домэйн: -∞ < x < +∞
Олон утгатай: -∞ < y < +∞
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
x дээр< 0 : выпукла вниз
x > 0-ийн хувьд: дээшээ гүдгэр
Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Гарын үсэг зурах:
x дээр< 0, y < 0
x > 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = -1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:

Тэгш тоологч, n = 2, 4, 6, ...

0 дотор рационал илтгэгчтэй y = x p чадлын функцийн шинж чанаруудыг үзүүлэв< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домэйн: -∞ < x < +∞
Олон утгатай: 0 ≤ y< +∞
Паритет:тэгш, у(-х) = у(х)
Монотон:
x дээр< 0 : монотонно убывает
x > 0-ийн хувьд: монотон нэмэгдэнэ
Хэт их:хамгийн бага нь x = 0, y = 0
Гүдгэр: x ≠ 0-ийн хувьд дээшээ гүдгэр
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Гарын үсэг зурах: x ≠ 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = 1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:

p индекс нэгээс их, p > 1 байна

Рационал илтгэгчтэй чадлын функцийн график (p > 1) илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд m = 3, 5, 7, ... - сондгой.

Сондгой тоологч, n = 5, 7, 9, ...

Рационал илтгэгч нэгээс их y = x p чадлын функцийн шинж чанарууд: . Энд n = 5, 7, 9, ... - сондгой байгалийн, m = 3, 5, 7 ... - сондгой байгалийн.

Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: -∞ < y < ∞
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
-∞ дээр< x < 0 выпукла вверх
0-д< x < ∞ выпукла вниз
Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = -1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:

Тэгш тоологч, n = 4, 6, 8, ...

Рационал илтгэгч нэгээс их y = x p чадлын функцийн шинж чанарууд: . Энд n = 4, 6, 8, ... - тэгш байгалийн, m = 3, 5, 7 ... - сондгой байгалийн.

Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: 0 ≤ y< ∞
Паритет:тэгш, у(-х) = у(х)
Монотон:
x дээр< 0 монотонно убывает
x > 0-ийн хувьд монотон нэмэгдэнэ
Хэт их:хамгийн бага нь x = 0, y = 0
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = 1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:

Бутархай үзүүлэлтийн хуваагч тэгш байна

Бутархай илтгэгчийн хуваагч тэгш байг: m = 2, 4, 6, ... . Энэ тохиолдолд аргументийн сөрөг утгуудын хувьд x p чадлын функц тодорхойлогдоогүй болно. Түүний шинж чанарууд нь иррациональ илтгэгч бүхий чадлын функцийн шинж чанаруудтай давхцдаг (дараагийн хэсгийг үзнэ үү).

Иррационал илтгэгчтэй чадлын функц

Иррационал р илтгэгчтэй у = x p чадлын функцийг авч үзье. Ийм функцүүдийн шинж чанарууд нь дээр дурдсанаас ялгаатай бөгөөд тэдгээр нь аргумент x-ийн сөрөг утгуудад тодорхойлогдоогүй болно. Аргументийн эерэг утгуудын хувьд шинж чанарууд нь зөвхөн р илтгэгчийн утгаас хамаардаг бөгөөд p нь бүхэл тоо, оновчтой эсвэл иррациональ эсэхээс хамаардаггүй.

р илтгэгчийн өөр утгуудын хувьд y = x p.

Сөрөг илтгэгч p-тэй чадлын функц< 0

Домэйн: x > 0
Олон утгатай: y > 0
Монотон:монотоноор буурдаг
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Хязгаар: ;
Хувийн утга: x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 p = 1 байна

Эерэг илтгэгч p > 0-тэй чадлын функц

Нэг 0-ээс бага үзүүлэлт< p < 1

Домэйн: x ≥ 0
Олон утгатай: y ≥ 0
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Гүдгэр:дээшээ гүдгэр
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
Хувийн үнэт зүйлс: x = 0-ийн хувьд y(0) = 0 p = 0 байна.
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 p = 1 байна

Үзүүлэлт нь нэг p > 1-ээс их байна

Домэйн: x ≥ 0
Олон утгатай: y ≥ 0
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
Хувийн үнэт зүйлс: x = 0-ийн хувьд y(0) = 0 p = 0 байна.
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 p = 1 байна

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Үндэсний судалгааны их сургууль

Хэрэглээний геологийн тэнхим

Дээд математикийн тухай хураангуй

Сэдвийн талаар: "Үндсэн үндсэн функцууд,

тэдгээрийн шинж чанар ба графикууд"

Дууссан:

Шалгасан:

багш

Тодорхойлолт. y=a x (a>0, a≠1) томъёогоор өгөгдсөн функцийг a суурьтай экспоненциал функц гэнэ.

Экспоненциал функцийн үндсэн шинж чанарыг томъёолъё.

1. Тодорхойлолтын муж нь бүх бодит тоонуудын олонлог (R) юм.

2. Range - бүх эерэг бодит тоонуудын багц (R+).

3. a > 1-ийн хувьд функц нь бүх тооны шугамын дагуу нэмэгддэг; 0-д<а<1 функция убывает.

4. Ерөнхий хэлбэрийн функц юм.

, xО [-3;3] интервал дээр
, xО [-3;3] интервал дээр

n нь OR тоо болох y(x)=x n хэлбэрийн функцийг чадлын функц гэнэ. N тоо нь янз бүрийн утгыг авч болно: бүхэл ба бутархай, тэгш ба сондгой аль аль нь. Үүнээс хамаарч чадлын функц өөр хэлбэртэй байна. Хүчин чадлын функц болох тусгай тохиолдлуудыг авч үзье, энэ төрлийн муруйн үндсэн шинж чанарыг дараах дарааллаар авч үзье: чадлын функц y=x² (тэгш илтгэгчтэй функц - парабола), чадлын функц y=x³ (сондгой илтгэгчтэй функц) - куб парабол) ба y=√x функц (х-ийн ½-ийн зэрэгтэй) (бутархай илтгэгчтэй функц), сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй функц (гипербол).

Эрчим хүчний функц y=x²

1. D(x)=R – функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог;

2. E(y)= ба интервал дээр нэмэгдэнэ

Эрчим хүчний функц y=x³

1. y=x³ функцийн графикийг куб парабол гэнэ. y=x³ чадлын функц нь дараах шинж чанартай байна.

2. D(x)=R – функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог;

3. E(y)=(-∞;∞) – функц нь өөрийн тодорхойлолтын муж дахь бүх утгыг авдаг;

4. x=0 y=0 үед – функц нь О(0;0) координатын эхийг дайран өнгөрдөг.

5. Функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгддэг.

6. Функц нь сондгой (гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй).

, xО [-3;3] интервал дээр

x³-ийн өмнөх тоон хүчин зүйлээс хамааран функц нь эгц/хавтгай, нэмэгдэж/багасч болно.

Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц:

Хэрэв n илтгэгч сондгой байвал ийм чадлын функцийн графикийг гипербола гэнэ. Бүхэл сөрөг үзүүлэлттэй чадлын функц нь дараах шинж чанартай байна.

1. Дурын n-ийн хувьд D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. n нь сондгой тоо бол E(y)=(-∞;0)U(0;∞); E(y)=(0;∞), хэрэв n нь тэгш тоо бол;

3. Хэрэв n нь сондгой тоо бол функц нь тодорхойлолтын бүх мужид буурдаг; n нь тэгш тоо бол функц (-∞;0) интервалд нэмэгдэж, (0;∞) интервалд буурна.

4. Хэрэв n нь сондгой тоо бол функц нь сондгой (эх үүслийн хувьд тэгш хэмтэй); n нь тэгш тоо бол функц нь тэгш тоо юм.

5. Функц нь n нь сондгой тоо бол (1;1) ба (-1;-1) цэгүүдээр, n нь тэгш тоо бол (1;1) ба (-1;1) цэгүүдээр дамждаг.

, xО [-3;3] интервал дээр

Бутархай илтгэгчтэй чадлын функц

Бутархай илтгэгч (зураг) бүхий чадлын функц нь зурагт үзүүлсэн функцийн графиктай байна. Бутархай илтгэгчтэй чадлын функц нь дараах шинж чанартай байна: (зураг)

1. D(x) OR, хэрэв n нь сондгой тоо бөгөөд D(x)= бол
, xО интервал дээр
, xО [-3;3] интервал дээр

y = log a x логарифм функц нь дараах шинж чанартай байна.

1. Тодорхойлолтын муж D(x)О (0; + ∞).

2. Утгын муж E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функц нь тэгш, сондгой ч биш (ерөнхий хэлбэрийн).

4. Функц нь a > 1 үед (0; + ∞) интервал дээр нэмэгдэж, 0 үед (0; + ∞) буурна.< а < 1.

y = log a x функцийн графикийг y = a x функцийн графикаас y = x шулууны тэгш хэмийн хувиргалт ашиглан гаргаж болно. Зураг 9-д логарифм функцийн графикийг a > 1, Зураг 10-д 0-ийг харуулав.< a < 1.

; xО интервал дээр
; xО интервал дээр

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x функцуудыг тригонометрийн функц гэнэ.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x функцууд сондгой, у = cos x функц нь тэгш байна.

y = sin(x) функц.

1. Тодорхойлолтын бүс D(x) OR.

2. Утгын хүрээ E(y) О [ - 1; 1].

3. Функц нь үе үе; гол үе нь 2π.

4. Функц нь сондгой.

5. Функц [ -π/2 + 2πn интервалаар нэмэгддэг; π/2 + 2πn] ба [π/2 + 2πn] интервалд буурдаг; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y = sin (x) функцийн графикийг Зураг 11-д үзүүлэв.