Логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн хийх вэ. Логарифм тэгшитгэл

Логарифм тэгшитгэл. Бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсгийн асуудлуудыг үргэлжлүүлэн авч үздэг. Бид "", "" гэсэн нийтлэл дэх зарим тэгшитгэлийн шийдлийг аль хэдийн судалж үзсэн. Энэ нийтлэлд бид логарифмын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нарийн төвөгтэй өөрчлөлтүүд гарахгүй гэдгийг би шууд хэлье. Тэд энгийн.

Логарифмын үндсэн шинж чанарыг мэдэх, ойлгоход л хангалттай. Үүнийг шийдсэний дараа та шалгах ёстой гэдгийг анхаарна уу - үр дүнгийн утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулж, тооцоолж, эцэст нь та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тодорхойлолт:

b суурьтай тооны логарифм нь экспонент юм.a авахын тулд b-г өсгөх ёстой.

Жишээлбэл:

Бүртгэл 3 9 = 2, учир нь 3 2 = 9

Логарифмын шинж чанарууд:

Логарифмын онцгой тохиолдлууд:

Асуудлыг шийдье. Эхний жишээнд бид шалгалт хийх болно. Цаашид өөрөө шалгаарай.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 3 (4–x) = 4

Лог b a = x b x = a учраас

3 4 = 4 - x

x = 4 – 81

x = – 77

Шалгалт:

бүртгэл 3 (4–(–77)) = 4

бүртгэл 3 81 = 4

3 4 = 81 Зөв.

Хариулт: - 77

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 2 (4 – x) = 7

5-р тэгшитгэлийн язгуурыг ол(4 + x) = 2

Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг.

Лог a b = x b x = a учраас

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Шалгалт:

бүртгэл 5 (4 + 21) = 2

бүртгэл 5 25 = 2

5 2 = 25 Зөв.

Хариулт: 21

log 3 (14 – x) = log 3 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Дараах шинж чанар явагдана, түүний утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд ижил суурьтай логарифм байгаа бол бид логарифмын тэмдгийн дор илэрхийллийг тэнцүүлж болно.

14 – x = 5

x=9

Шалгах.

Хариулт: 9

Өөрийнхөө төлөө шийд:

log 5 (5 – x) = log 5 3 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

x + 3 = 4x – 15

3х = 18

x=6

Шалгах.

Хариулт: 6

log 1/8 (13 – x) = – 2 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 - x

x = 13 – 64

x = – 51

Шалгах.

Жижиг нэмэлт - эд хөрөнгийг энд ашигладаг

градус ().

Хариулт: - 51

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 1/7 (7 – x) = – 2

log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Баруун талыг нь өөрчилье. Эд хөрөнгийг ашиглацгаая:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Шалгах.

Хариулт: - 21

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв log c a = log c b бол a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4х = 11

x = 2.75

Шалгах.

Хариулт: 2.75

Өөрийнхөө төлөө шийд:

log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа хэлбэрийн илэрхийлэлийг авах шаардлагатай.

бүртгэл 2 (......)

Бид 1-ийг суурь 2 логарифм болгон төлөөлдөг:

1 = бүртгэл 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Бид авах:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Хэрэв log c a = log c b бол a = b, тэгвэл

2 – x = 4 – 6x

5х = 2

x = 0.4

Шалгах.

Хариулт: 0.4

Өөрийнхөө төлөө шийд: Дараа нь та квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дашрамд хэлэхэд,

үндэс нь 6 ба – 4 байна.

Үндэс "-4" нь шийдэл биш, учир нь логарифмын суурь нь тэгээс их байх ёстой ба "– 4" энэ нь "тэй тэнцүү байна – 5". Шийдэл нь root 6 юм.Шалгах.

Хариулт: 6.

Р өөрөө идэх:

Тэгшитгэлийн логийг шийдээрэй x –5 49 = 2. Хэрэв тэгшитгэл нэгээс олон язгууртай бол жижиг язгуураар хариулна уу.

Таны харж байгаагаар логарифмын тэгшитгэлээр ямар ч төвөгтэй хувиргалт байхгүйҮгүй Логарифмын шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байхад л хангалттай. Логарифмын илэрхийлэлийг хувиргахтай холбоотой USE-ийн асуудлуудад илүү ноцтой өөрчлөлтүүд хийгддэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү гүнзгий ур чадвар шаардагдана. Бид ийм жишээг үзэх болно, битгий алдаарай!Чамд амжилт хүсье!!!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

үндсэн шинж чанарууд.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

4. Хаана .

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын бутархай логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичигдээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслах үүднээс би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, логарифмыг нөхцлүүдийн нийлбэрээр нь бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Алгебр 11-р анги

Сэдэв: "Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга"

Хичээлийн зорилго:

боловсролын: логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудын талаархи мэдлэгийг бий болгох, тэдгээрийг тодорхой нөхцөл байдалд ашиглах, шийдвэрлэх ямар ч аргыг сонгох чадвар;

хөгжүүлэх: ажиглах, харьцуулах, шинэ нөхцөл байдалд мэдлэгийг хэрэгжүүлэх, хэв маягийг тодорхойлох, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх; харилцан хяналт, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх;

Боловсрол: боловсролын ажилд хариуцлагатай хандах, хичээлийн материалыг анхааралтай авч үзэх, анхааралтай тэмдэглэл хөтлөх.

Хичээлийн төрөл: шинэ материалыг нэвтрүүлэх хичээл.

"Логарифмийг зохион бүтээсэн нь одон орон судлаачийн ажлыг багасгахын зэрэгцээ түүний амьдралыг уртасгасан."
Францын математикч, одон орон судлаач П.С. Лаплас

Хичээлийн үеэр

I. Хичээлийн зорилгоо тодорхойлох

Логарифмын судлагдсан тодорхойлолт, логарифмын шинж чанар, логарифмын функц нь логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно. Бүх логарифмын тэгшитгэлийг хичнээн төвөгтэй байсан ч нэг төрлийн алгоритм ашиглан шийддэг. Бид өнөөдрийн хичээлээр эдгээр алгоритмуудыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь тийм ч олон биш юм. Хэрэв та тэдгээрийг эзэмшсэн бол логарифм бүхий ямар ч тэгшитгэл та нарын хувьд боломжтой байх болно.

Хичээлийн сэдвийг дэвтэртээ "Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд" гэж бич. Би хүн бүрийг хамтран ажиллахыг урьж байна.

II. Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх

Хичээлийн сэдвийг судлахад бэлдье. Та даалгавар бүрийг шийдэж, хариултаа бичнэ, нөхцөлийг бичих шаардлагагүй. Хоёр хоёроороо ажил.

1) Х-ийн ямар утгуудын хувьд функц нь утга учиртай вэ:

(Хариултуудыг слайд бүрээр шалгаж, алдааг эрэмбэлсэн)

2) Функцуудын графикууд давхцаж байна уу?

3) Тэнцвэрийг логарифмын тэнцүү гэж дахин бичнэ үү.

4) Тоонуудыг 2 суурьтай логарифм хэлбэрээр бичнэ үү.

5) Тооцоолох:

6) Эдгээр тэгш байдлын дутуу элементүүдийг сэргээх эсвэл нөхөхийг хичээ.

III. Шинэ материалын танилцуулга

Дараах мэдэгдлийг дэлгэц дээр харуулав.

"Тэгшитгэл бол бүх математикийн гүнжийг нээж өгдөг алтан түлхүүр юм."
Польшийн орчин үеийн математикч С.Коваль

Логарифм тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг томъёолж үзээрэй. (Логарифмын тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэл).

Ингээд авч үзье Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл:бүртгэлАx = b(энд a>0, a ≠ 1). Логарифмын функц нь эерэг тооны олонлог дээр нэмэгдэж (эсвэл буурч) бүх бодит утгыг авдаг тул язгуур теоремоор энэ тэгшитгэл нь аль ч b-ийн хувьд зөвхөн нэг шийдэлтэй, эерэг нэгтэй байна.

Логарифмын тодорхойлолтыг санаарай. (х тооны а суурийн логарифм нь х тоог гаргахын тулд а суурийг өсгөх шаардлагатай чадлын үзүүлэлт юм). Логарифмын тодорхойлолтоос харахад шууд гарч ирдэг АВийм шийдэл юм.

Гарчиг бичнэ үү: Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1. Логарифмын тодорхойлолтоор.

Хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг.

Ингээд авч үзье № 514(a)): Тэгшитгэлийг шийд

Та үүнийг хэрхэн шийдвэрлэхийг санал болгож байна вэ? (Логарифмын тодорхойлолтоор)

Шийдэл. , Тиймээс 2x - 4 = 4; x = 4.

Энэ даалгаварт 2x - 4 > 0, учир нь > 0 тул гадны үндэс гарч ирэхгүй, шалгах шаардлагагүй. Энэ даалгаварт 2x - 4 > 0 нөхцөлийг бичих шаардлагагүй.

2. Потенциаци(өгөгдсөн илэрхийллийн логарифмаас энэ илэрхийлэл рүү шилжих).

Ингээд авч үзье № 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Та ямар онцлогийг анзаарсан бэ? (Хоёр илэрхийллийн суурь нь ижил бөгөөд логарифм нь тэнцүү.) Юу хийж болох вэ? (Хүчтэй болгох).

Логарифмын илэрхийлэл эерэг байгаа бүх x-ийн дунд аливаа шийдэл агуулагддаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

Шийдэл: ODZ:

X2+8>0 нь шаардлагагүй тэгш бус байдал юм

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Анхны тэгшитгэлийг хүчирхэгжүүлье

бид x2+8= 8x+8 тэгшитгэлийг авна

Үүнийг шийдье: x2-8x=0

Хариулт: 0; 8

Ерөнхийдөө эквивалент системд шилжих:

Тэгшитгэл

(Систем нь илүүдэл нөхцөлийг агуулдаг - тэгш бус байдлын аль нэгийг тооцох шаардлагагүй).

Ангид зориулсан асуулт: Эдгээр гурван шийдлийн аль нь танд илүү таалагдсан бэ? (Аргын талаархи хэлэлцүүлэг).

Та ямар ч байдлаар шийдэх эрхтэй.

3. Шинэ хувьсагчийн танилцуулга.

Ингээд авч үзье дугаар 520(г). .

Та юу анзаарсан бэ? (Энэ бол log3x-ийн квадрат тэгшитгэл юм) Санал болгох уу? (Шинэ хувьсагч оруулах)

Шийдэл. ODZ: x > 0.

, тэгвэл тэгшитгэл нь: хэлбэрийг авна. Дискриминант D > 0. Вьетагийн теоремын дагуу үндэс:.

Орлуулах зүйл рүү буцъя: эсвэл.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт: 27;

4. Тэгшитгэлийн хоёр талын логарифм.

Тэгшитгэлийг шийд:.

Шийдэл: ODZ: x>0, тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг 10-р суурьт авна:

Хүчний логарифмын шинж чанарыг ашиглая:

(logx + 3) logx = 4

logx = y, тэгвэл (y + 3)y = 4 болно

, (D > 0) Виетийн теоремын дагуу үндэс: y1 = -4 ба y2 = 1.

Орлуулах руу буцаж орцгооё: lgx = -4,; lgx = 1, .

Хариулт: 0.0001; 10.

5. Нэг суурь болгон бууруулах.

№ 523(c). Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл: ODZ: x>0. 3-р суурь руу шилжье.

6. Функционал-график арга.

№ 509(d).Тэгшитгэлийг графикаар шийд: = 3 - x.

Та хэрхэн шийдвэрлэхийг санал болгож байна вэ? (Цэгүүдийг ашиглан y = log2x ба y = 3 - x гэсэн хоёр функцийн графикийг байгуулж, графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг олоорой).

Слайд дээрх шийдлээ харна уу.

График хийхээс зайлсхийх арга бий . Энэ нь дараах байдалтай байна : функцүүдийн аль нэг нь болу = f(x) нэмэгддэг, нөгөө ньу = g(x) X интервал дээр буурна, дараа нь тэгшитгэл f(x)= g(x) X интервал дээр хамгийн ихдээ нэг үндэстэй.

Хэрэв үндэс байгаа бол үүнийг тааж болно.

Манай тохиолдолд функц нь x>0-ийн хувьд нэмэгдэж, y = 3 - x функц нь x-ийн бүх утгууд, түүний дотор x>0-ийн хувьд буурдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нэгээс илүү язгуургүй гэсэн үг юм. x = 2 үед тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг тул .

“Арга зүйг зөв хэрэглэхэд суралцаж болно
зөвхөн тэдгээрийг янз бүрийн жишээн дээр ашиглах замаар."
Данийн математикийн түүхч Г.Г. Зейтен

IV. Гэрийн даалгавар

P. 39 3-р жишээг авч үз, №514(b), No529(b), No520(b), No523(b)-ыг шийд.

V. Хичээлийг дүгнэж байна

Бид ангид логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ямар аргуудыг үзсэн бэ?

Дараагийн хичээлүүдэд бид илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд судалсан аргууд нь ашигтай байх болно.

Сүүлд үзүүлсэн слайд:

“Дэлхий дээрх юу юунаас илүү вэ?
Орон зай.
Хамгийн ухаалаг нь юу вэ?
Цаг хугацаа.
Хамгийн сайхан нь юу вэ?
Хүссэн зүйлдээ хүр."
Талес

Хүн бүр хүссэн зүйлдээ хүрэхийг хүсч байна. Хамтран ажилласан, ойлголцсонд баярлалаа.

Зааварчилгаа

Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоотой бол дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – натурал логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.

Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Хэрэв нарийн төвөгтэй функц өгөгдсөн бол дотоод функцийн дериватив ба гадаад функцийн деривативыг үржүүлэх шаардлагатай. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.

Дээрх үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Өгөгдсөн y"(1)=8*e^0=8 цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол.

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Эх сурвалжууд:

• тогтмолын дериватив

Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэл ба оновчтой тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч квадрат язгуур тэмдгийн доор байвал тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.

Зааварчилгаа

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун, зүүн тал нь утгагүй илэрхийллүүдийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны язгуур тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гаднах үндсийг таслах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэл, квадрат язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм. Түүний үндсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд эхнийхээс бид x=1 болохыг олж мэднэ. Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.

Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс энгийн арифметик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар тавьсан асуудлыг шийдэх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг.

Зааварчилгаа

Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна олон тооны тригонометрийн томъёо байдаг бөгөөд тэдгээр нь үндсэндээ ижил төстэй шинж чанартай байдаг.

Үнэн хэрэгтээ хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийхийн квадрат дээр нэмэх нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийн үржвэр, хоёр дахьын квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Хоёуланг нь хялбарчил

Шийдлийн ерөнхий зарчим

Тодорхой интеграл гэж юу болохыг математик анализ эсвэл дээд математикийн сурах бичгээс давт. Мэдэгдэж байгаагаар тодорхой интегралын шийдэл нь дериватив нь интеграл өгөх функц юм. Энэ функцийг антидериватив гэж нэрлэдэг. Энэ зарчимд үндэслэн үндсэн интегралуудыг байгуулна.
Энэ тохиолдолд хүснэгтийн интегралуудын аль нь тохирохыг интегралын төрлөөр тодорхойлно. Үүнийг нэн даруй тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгт хэлбэр нь мэдэгдэхүйц болдог.

Хувьсагчийг солих арга

Хэрэв интеграл нь аргумент нь олон гишүүнт тригонометрийн функц бол хувьсагчдыг өөрчлөх аргыг ашиглаж үзнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчдын хоорондын хамаарал дээр үндэслэн интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойлно. Энэ илэрхийлэлийг ялгаснаар шинэ дифференциалыг . Тиймээс та өмнөх интегралын шинэ хэлбэрийг авах болно, ойрын эсвэл бүр хүснэгтэн хэлбэртэй харгалзах болно.

Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх

Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Ийм дүрмийн нэг бол Остроградский-Гаусын харилцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн векторын талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг бидэнд олгодог.

Интеграцийн хязгаарыг орлуулах

Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг эсрэг деривативын илэрхийлэлд орлуулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас олж авсан өөр тоог эсрэг дериватив болгон хасна. Хэрэв интеграцийн хязгаарын нэг нь хязгааргүй бол түүнийг эсрэг дериватив функцэд орлуулахдаа хязгаарт очиж, илэрхийлэл юунд чиглэж байгааг олох шаардлагатай.
Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст бол интегралыг хэрхэн үнэлэхийг ойлгохын тулд та интегралын хязгаарыг геометрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь нэгтгэж буй эзлэхүүнийг хязгаарладаг бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.

Оршил

Тооцооллыг хурдасгах, хялбаршуулах зорилгоор логарифмуудыг зохион бүтээсэн. Логарифмын санаа, өөрөөр хэлбэл тоог ижил суурийн хүч болгон илэрхийлэх санаа нь Михаил Штифелийнх юм. Гэвч Стифелийн үед математик тийм ч хөгжөөгүй, логарифмын санаа ч хөгжөөгүй байв. Логарифмыг хожим Шотландын эрдэмтэн Жон Напиер (1550-1617), Швейцарийн Жобст Бурги (1552-1632) нар нэгэн зэрэг, бие биенээсээ хамааралгүйгээр зохион бүтээсэн бөгөөд Напиер уг бүтээлийг 1614 онд анх хэвлүүлсэн юм. "Гайхамшигт логарифмын хүснэгтийн тайлбар" гэсэн гарчигтай Напиерын логарифмын онолыг нэлээд бүрэн хэмжээгээр өгсөн бөгөөд логарифмыг тооцоолох аргыг хамгийн энгийнээр нь өгсөн тул логарифм зохион бүтээхэд Непиерийн гавьяа Бургигийнхаас илүү байв. Бурги Напиертэй нэгэн зэрэг ширээн дээр ажиллаж байсан боловч удаан хугацаанд нууцалж, зөвхөн 1620 онд нийтлэв. Напиер 1594 онд логарифмын санааг эзэмшсэн. хэдийгээр хүснэгтүүдийг 20 жилийн дараа нийтэлсэн. Эхлээд тэрээр логарифмуудаа "хиймэл тоо" гэж нэрлэсэн бөгөөд зөвхөн дараа нь эдгээр "хиймэл тоо" -ыг Грек хэлнээс "харилцан хамааралтай тоо" гэсэн утгатай "логарифм" гэж нэрлэхийг санал болгов. түүнд тусгайлан сонгосон геометр прогресс. прогресс. Орос хэл дээрх анхны хүснэгтүүд 1703 онд хэвлэгджээ. 18-р зууны гайхамшигт багшийн оролцоотойгоор. Л.Ф.Магнитский. Логарифмын онолыг хөгжүүлэхэд Санкт-Петербургийн академич Леонхард Эйлерийн бүтээлүүд ихээхэн ач холбогдолтой байв. Тэрээр анх удаа логарифмыг хүчирхэгжүүлэхийн урвуу хүчин зүйл гэж үзэж, "логарифмын суурь", "мантисса" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. Бриггс 10 суурьтай логарифмын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Аравтын тооны хүснэгтийг практикт ашиглахад илүү тохиромжтой, тэдгээрийн онол нь Напиерийн логарифмуудаас илүү энгийн. Тиймээс аравтын логарифмыг заримдаа Бригс логарифм гэж нэрлэдэг. Бриггс "шинж чанар" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн.

Мэргэдүүд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан тэгш байдлын талаар анх бодож эхэлсэн тэр алс үед зоос, хэтэвч байгаагүй байх. Гэхдээ тэнд овоолго, түүнчлэн сав, сагс байсан бөгөөд тэдгээр нь тодорхойгүй тооны эд зүйлсийг хадгалах боломжтой хадгалах кэшийн үүрэг гүйцэтгэхэд тохиромжтой байв. Месопотами, Энэтхэг, Хятад, Грекийн эртний математикийн асуудлуудад үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд нь цэцэрлэгт тогос шувууны тоо, сүрэг дэх бухын тоо, өмч хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлдэг. Нууц мэдлэгт автсан, нягтлан бодох бүртгэлийн шинжлэх ухаанд сайн сургагдсан бичээч, түшмэд, санваартнууд ийм ажлыг амжилттай даван туулж байв.

Эртний эрдэмтэд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга техниктэй байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна. Гэсэн хэдий ч нэг ч папирус эсвэл шавар шахмалд эдгээр аргуудын тайлбар байдаггүй. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Та зөвийг олсон байна" гэх мэт бүдүүлэг тайлбаруудыг зөвхөн хааяа өгдөг. Энэ утгаараа үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрийн Диофантус (III зуун) -ын "Арифметик" бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүдийг системтэй танилцуулсан тэгшитгэл зохиох асуудлын цуглуулга юм.

Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага бол 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл юм. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Энэ зохиолын араб нэрнээс гаралтай "аль-жабр" гэдэг үг нь "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Сэргээн босголт ба эсэргүүцлийн ном") нь цаг хугацааны явцад алдартай "алгебр" гэсэн үг болж хувирав. Хорезмигийн бүтээл өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжлийн эхлэл болсон.

Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

1. Логарифм тэгшитгэл

Логарифмын тэмдгийн дор эсвэл суурь дээр үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг логарифмын тэгшитгэл гэнэ.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

бүртгэл а x = б . (1)

Мэдэгдэл 1. Хэрэв а > 0, а≠ 1, ямар ч бодит тэгшитгэл (1). бөвөрмөц шийдэлтэй x = a b .

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд:

a) бүртгэл 2 x= 3, б) бүртгэл 3 x= -1, в)

Шийдэл. 1-р мэдэгдлийг ашиглан бид a) олж авна. x= 2 3 эсвэл x= 8; б) x= 3 -1 эсвэл x= 1/3; в)

эсвэл x = 1.

Логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг танилцуулъя.

P1. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:

Хаана а > 0, а≠ 1 ба б > 0.

P2. Эерэг хүчин зүйлийн үржвэрийн логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

бүртгэл а Н 1 · Н 2 = бүртгэл а Н 1 + бүртгэл а Н 2 (а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрэв Н 1 · Н 2 > 0, дараа нь P2 шинж чанар хэлбэрийг авна

бүртгэл а Н 1 · Н 2 = бүртгэл а |Н 1 | + бүртгэл а |Н 2 | (а > 0, а ≠ 1, Н 1 · Н 2 > 0).

P3. Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.

(а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрэв

, (энэ нь тэнцүү байна Н 1 Н 2 > 0) дараа нь P3 шинж чанар хэлбэрийг авна (а > 0, а ≠ 1, Н 1 Н 2 > 0).

P4. Эерэг тооны чадлын логарифм нь экспонент ба энэ тооны логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна.

бүртгэл а Н к = кбүртгэл а Н (а > 0, а ≠ 1, Н > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрэв к- тэгш тоо ( к = 2с), Тэр

бүртгэл а Н 2с = 2сбүртгэл а |Н | (а > 0, а ≠ 1, Н ≠ 0).

P5. Өөр суурь руу шилжих томъёо:

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1, Н > 0),

ялангуяа хэрэв Н = б, бид авдаг

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1). (2)

P4 ба P5 шинж чанаруудыг ашигласнаар дараах шинж чанаруудыг олж авахад хялбар байдаг

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (3) (а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (4) (а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (5)

ба (5)-д байгаа бол в- тэгш тоо ( в = 2n), тохиолддог

(б > 0, а ≠ 0, |а | ≠ 1). (6)

Логарифмын функцийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсаацгаая е (x) = бүртгэл а x :

1. Логарифм функцийг тодорхойлох муж нь эерэг тооны олонлог юм.

2. Логарифм функцийн утгын муж нь бодит тооны олонлог юм.

3. Хэзээ а> 1 логарифм функц хатуу нэмэгдэж байна (0< x 1 < x 2лог а x 1 < logа x 2) ба 0-д< а < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2лог а x 1 > бүртгэл а x 2).

4.лог а 1 = 0 ба бүртгэл а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Хэрэв а> 1 бол логарифм функц сөрөг байх үед x(0;1) ба эерэг үед x(1;+∞), хэрэв 0 бол< а < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ба сөрөг үед x (1;+∞).

6. Хэрэв а> 1 бол логарифмын функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв а(0;1) - доошоо гүдгэр.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараах мэдэгдлийг (жишээлбэл, үзнэ үү) ашигладаг.