Тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Бутархай ба квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэх вэ? Бүхэл ба бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Интервалын арга– бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх энгийн арга. Энэ нь хувьсагчаас хамаарах рационал (эсвэл бутархай-рационал) илэрхийлэл агуулсан тэгш бус байдлын нэр юм.

1. Жишээлбэл, дараах тэгш бус байдлыг авч үзье

Интервалын арга нь үүнийг хэдхэн минутын дотор шийдэх боломжийг олгодог.

Энэ тэгш бус байдлын зүүн талд бутархай рационал функц байна. Үндэс, синус, логарифм агуулаагүй учраас рациональ - зөвхөн оновчтой илэрхийлэл. Баруун талд нь тэг байна.

Интервалын арга нь бутархай рационал функцийн дараах шинж чанарт суурилдаг.

Бутархай рационал функц нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдэд тэмдгийг өөрчилж болно.

Квадрат гурвалсан гишүүнийг яаж хүчин зүйлд хуваадаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн илэрхийлэл гэдгийг эргэн санацгаая.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс хаана ба байна.

Бид тэнхлэгийг зурж, тоологч ба хуваагчийг тэглэх цэгүүдийг байрлуулна.

Хуваагчийн тэг ба цоорсон цэгүүд, учир нь эдгээр цэгүүдэд тэгш бус байдлын зүүн талын функц тодорхойлогдоогүй (та тэгээр хувааж болохгүй). Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул тоологчийн тэг ба - сүүдэртэй байна. Хэзээ ба бидний тэгш бус байдал хангагдана, учир нь түүний хоёр тал нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эдгээр цэгүүд нь тэнхлэгийг интервал болгон хуваадаг.

Эдгээр интервал тус бүрийн тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа бутархай рационал функцийн тэмдгийг тодорхойлъё. Бутархай рационал функц нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдэд тэмдгийг өөрчлөх боломжтой гэдгийг бид санаж байна. Энэ нь тоологч эсвэл хуваагч тэг болох цэгүүдийн хоорондох интервал бүрт тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдэг тогтмол байх болно - "нэмэх" эсвэл "хасах".

Тиймээс ийм интервал тус бүрийн функцийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд бид энэ интервалд хамаарах дурын цэгийг авна. Бидний хувьд тохиромжтой зүйл.
. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу. "Хаалт" бүр сөрөг байна. Зүүн тал нь тэмдэгтэй.

Дараагийн интервал: . -д байгаа тэмдгийг шалгацгаая. Зүүн тал нь тэмдэгээ өөрчилсөн болохыг бид олж мэдэв.

Үүнийг авч үзье. Илэрхийлэл эерэг байх үед - тиймээс энэ нь бүхэл бүтэн интервалд эерэг байна.

Тэгш бус байдлын зүүн тал сөрөг байх үед.

Эцэст нь class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ямар давтамжтайгаар илэрхийлэл эерэг болохыг бид олж мэдсэн. Хариултаа бичих л үлдлээ:

Хариулт: .

Анхаарна уу: тэмдгүүд нь интервалуудын хооронд ээлжлэн солигддог. Учир нь ийм зүйл болсон цэг бүрээр дамжин өнгөрөхөд шугаман хүчин зүйлсийн яг нэг нь тэмдэг өөрчлөгдсөн бол үлдсэн хэсэг нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Интервалын арга нь маш энгийн гэдгийг бид харж байна. Бутархай-рациональ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэхийн тулд бид үүнийг дараах хэлбэрт оруулав.

Эсвэл class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \баруун))(\displaystyle Q\left(x \баруун)) > 0"> !}, эсвэл .

(зүүн талд нь бутархай оновчтой функц, баруун талд нь тэг).

Дараа нь бид тоон мөрөнд тоологч эсвэл хуваагч тэг рүү орох цэгүүдийг тэмдэглэнэ.
Эдгээр цэгүүд нь бүх тооны шугамыг интервалд хуваадаг бөгөөд тус бүр дээр бутархай-рационал функц тэмдэгээ хадгалдаг.
Үлдсэн зүйл бол интервал бүрт түүний тэмдгийг олж мэдэх явдал юм.
Өгөгдсөн интервалд хамаарах дурын цэг дээрх илэрхийллийн тэмдгийг шалгах замаар бид үүнийг хийдэг. Үүний дараа бид хариултаа бичнэ. Тэгээд л болоо.

Гэхдээ асуулт гарч ирдэг: тэмдгүүд нь үргэлж ээлжлэн солигддог уу? Үгүй ээ, үргэлж биш! Та болгоомжтой байх ёстой бөгөөд тэмдгүүдийг механикаар, бодолгүйгээр байрлуулж болохгүй.

2. Өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \баруун) \ зүүн(x-3 \right))>0"> !}

Тэнхлэг дээрх цэгүүдийг дахин байрлуул. Цэгүүд болон цэгүүд нь хуваагчийн тэг учраас цоорсон байна. Тэгш бус байдал хатуу байгаа тул энэ санааг бас хассан.

Тоолуур эерэг байвал хуваагч дахь хүчин зүйлүүд хоёулаа сөрөг байна. Үүнийг өгөгдсөн интервалаас дурын тоог авах замаар хялбархан шалгаж болно, жишээлбэл, . Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

Тоолуур эерэг байвал; Хугацааны эхний хүчин зүйл эерэг, хоёр дахь хүчин зүйл нь сөрөг байна. Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

Нөхцөл байдал ижил байна! Тоолуур нь эерэг, хуваарийн эхний хүчин зүйл эерэг, хоёр дахь нь сөрөг байна. Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

Эцэст нь class="tex" alt="x>3)."> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Хариулт: .

Тэмдгийн ээлж яагаад тасалдсан бэ? Учир нь цэгээр дамжин өнгөрөхөд үржүүлэгч нь үүнийг "хариуцдаг" тэмдэг өөрчлөгдөөгүй. Тиймээс бидний тэгш бус байдлын зүүн тал бүхэлдээ тэмдэг өөрчлөгдөөгүй.

Дүгнэлт: хэрэв шугаман үржүүлэгч нь тэгш хүч (жишээлбэл, квадрат) байвал цэгээр дамжин өнгөрөх үед зүүн талын илэрхийллийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.. Сонирхолтой зэрэгтэй тохиолдолд тэмдэг нь мэдээж өөрчлөгддөг.

3. Илүү төвөгтэй тохиолдлыг авч үзье. Энэ нь өмнөхөөсөө ялгаатай нь тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

Зүүн тал нь өмнөх асуудалтай ижил байна. Тэмдгийн зураг ижил байх болно:

Магадгүй хариулт нь адилхан байх болов уу? Үгүй! Шийдэл нэмж байна Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн ба баруун тал хоёулаа тэгтэй тэнцүү байдаг тул энэ цэг нь шийдэл юм.

Хариулт: .

Энэ нөхцөл байдал нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалд ихэвчлэн тохиолддог. Эндээс өргөдөл гаргагчид урхинд орж, оноогоо алддаг. Болгоомжтой байгаарай!

4. Тоолуур эсвэл хуваагчийг шугаман хүчин зүйлд тооцох боломжгүй бол яах вэ? Энэ тэгш бус байдлыг авч үзье:

Квадрат гурвалсан тоог хүчин зүйлээр ангилах боломжгүй: ялгаварлагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Гэхдээ энэ сайн байна! Энэ нь бүгдэд зориулсан илэрхийллийн тэмдэг нь ижил, ялангуяа эерэг гэсэн үг юм. Та энэ талаар илүү ихийг квадрат функцүүдийн шинж чанаруудын талаархи нийтлэлээс уншиж болно.

Одоо бид тэгш бус байдлынхаа хоёр талыг бүгдэд нь эерэг утгаар хувааж болно. Үүнтэй ижил тэгш бус байдалд хүрье:

Үүнийг интервалын аргыг ашиглан амархан шийддэг.

Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг гэж баттай мэдэж байсан утгаараа хуваасан болохыг анхаарна уу. Мэдээжийн хэрэг, ерөнхийдөө тэгш бус байдлыг тэмдэг нь тодорхойгүй хувьсагчаар үржүүлж, хувааж болохгүй.

5 . Маш энгийн мэт санагдах өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье.

Зүгээр л үржүүлмээр байна. Гэхдээ бид аль хэдийн ухаантай, үүнийг хийхгүй. Эцсийн эцэст энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг сөрөг утгаар үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгддөгийг бид мэднэ.

Бид үүнийг өөрөөр хийх болно - бид бүгдийг нэг хэсэгт цуглуулж, нийтлэг хуваагч руу авчрах болно. Баруун тал нь тэг хэвээр байх болно:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Үүний дараа - өргөдөл гарга интервалын арга.

Математикийн тэгш бус байдлын тухай ойлголт эрт дээр үеэс үүссэн. Энэ нь анхдагч хүмүүс янз бүрийн объектыг тоолж, харьцахдаа тэдгээрийн хэмжээ, хэмжээг харьцуулах шаардлагатай болсон үед болсон. Эрт дээр үеэс Архимед, Евклид болон бусад алдартай эрдэмтэд: математикч, одон орон судлаачид, дизайнерууд, философичид тэгш бус байдлыг үндэслэлдээ ашигладаг байв.

Гэхдээ тэд дүрмээр бол бүтээлдээ аман нэр томъёог ашигладаг байв. "Илүү" ба "бага" гэсэн ойлголтыг илэрхийлэх орчин үеийн тэмдгүүдийг өнөөдөр сургуулийн сурагч бүр мэддэг хэлбэрээр анх удаа Англид зохион бүтээж, хэрэгжүүлжээ. Математикч Томас Харриот үр удамд нь ийм үйлчилгээ үзүүлжээ. Мөн энэ нь дөрвөн зууны өмнө болсон.

Мэдэгдэж байгаа тэгш бус байдлын олон төрөл байдаг. Тэдгээрийн дотор нэг, хоёр ба түүнээс дээш хувьсагч, квадрат, бутархай, нийлмэл харьцаа, тэр ч байтугай илэрхийллийн системээр илэрхийлэгдсэн энгийн хувьсагчдыг агуулдаг. Тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар ойлгох хамгийн сайн арга бол янз бүрийн жишээ ашиглах явдал юм.

Галт тэргийг бүү алдаарай

Эхлээд хөдөөгийн нэгэн оршин суугч тосгоноосоо 20 км-ийн зайд орших төмөр замын буудал руу яаран ирж байна гэж төсөөлье. 11 цагт явах галт тэргийг алдахгүйн тулд гэрээс цагтаа гарах ёстой. Хэрэв хурд нь 5 км/цаг бол үүнийг хэдэн цагт хийх вэ? Энэхүү практик асуудлын шийдэл нь илэрхийллийн нөхцлийг биелүүлэхэд ирдэг: 5 (11 - X) ≥ 20, X нь явах цаг юм.

Энэ нь ойлгомжтой, учир нь тосгоны оршин суугчид өртөө хүртэл туулах ёстой зай нь хөдөлгөөний хурдыг зам дээрх цагийн тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү юм. Хүн эрт ирж болно, гэхдээ хоцорч болохгүй. Тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэж, ур чадвараа практикт ашигласнаар та X ≤ 7 гэсэн хариултыг авах болно. Энэ нь тосгоны хүн төмөр замын буудал руу өглөөний долоон цагт эсвэл арай эрт очих ёстой гэсэн үг юм.

Координатын шугам дээрх тоон интервалууд

Одоо тайлбарласан харилцааг дээр дурдсан тэгш бус байдал дээр хэрхэн буулгахыг олж мэдье. Энэ нь хувьсагч нь 7-оос бага утгыг авч болно, эсвэл энэ тоотой тэнцүү байж болно гэсэн үг юм. Бусад жишээг хэлье. Үүнийг хийхийн тулд доор үзүүлсэн дөрвөн зургийг сайтар бодож үзээрэй.

Эхнийх нь дээр та интервалын график дүрслэлийг харж болно [-7; 7]. Энэ нь координатын шулуун дээр байрлуулсан, хил хязгаарыг оруулаад -7 ба 7-ын хооронд байрлах олон тооны тооноос бүрдэнэ. Энэ тохиолдолд график дээрх цэгүүдийг дүүргэсэн тойрог хэлбэрээр дүрсэлж, интервалыг ашиглан тэмдэглэнэ

Хоёр дахь зураг нь хатуу тэгш бус байдлын график дүрслэл юм. Энэ тохиолдолд цоорсон (бөглөөгүй) цэгээр харуулсан хилийн дугаар -7 ба 7 нь заасан багцад ороогүй болно. Мөн интервал нь өөрөө хаалтанд дараах байдлаар бичигдсэн байна: (-7; 7).

Өөрөөр хэлбэл, энэ төрлийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг олж мэдээд ижил төстэй хариултыг авсны дараа энэ нь -7 ба 7-оос бусад хилийн хоорондох тооноос бүрддэг гэж дүгнэж болно. Дараагийн хоёр тохиолдлыг дараах байдлаар үнэлэх ёстой. ижил төстэй арга. Гурав дахь зураг нь интервалын зургуудыг харуулж байна (-∞; -7] U

Одоо асуудлыг бага зэрэг хүндрүүлж, зөвхөн олон гишүүнт биш, харин хэлбэрийн оновчтой бутархайг авч үзье.

$P\left(x \right)$ ба $Q\left(x \right)$ нь $((a)_(n))((x)^(n))+( хэлбэрийн ижил олон гишүүнтүүд юм. ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, эсвэл ийм олон гишүүнтүүдийн үржвэр.

Энэ нь оновчтой тэгш бус байдал байх болно. Үндсэн цэг бол хуваарьт $x$ хувьсагч байгаа явдал юм. Жишээлбэл, эдгээр нь оновчтой тэгш бус байдал юм:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \баруун)\left(11x+2 \баруун))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \баруун))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \баруун))\ge 0. \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Энэ бол оновчтой тэгш бус байдал биш, харин интервалын аргаар шийдэж болох хамгийн нийтлэг тэгш бус байдал юм.

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Урагшаа хараад би шууд хэлье: оновчтой тэгш бус байдлыг шийдэх дор хаяж хоёр арга бий, гэхдээ тэдгээр нь бүгд аль хэдийн бидэнд мэдэгдэж байсан интервалын аргад ордог. Тиймээс, эдгээр аргуудыг шинжлэхээсээ өмнө хуучин баримтуудыг санацгаая, эс тэгвээс шинэ материалаас ямар ч утгагүй болно.

Та аль хэдийн мэдэх ёстой зүйл

Хэт их чухал баримтууд хэзээ ч байдаггүй. Бидэнд ердөө дөрөв л хэрэгтэй.

Үржүүлэх товчилсон томъёо

Тийм ээ, тийм: тэд сургуулийн математикийн хичээлийн туршид биднийг зовоох болно. Мөн их сургуульд. Эдгээр томьёо цөөнгүй байгаа ч бидэнд дараах зүйлс л хэрэгтэй.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \баруун))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \баруун)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \баруун)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \баруун); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \баруун)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\баруун). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн хоёр томъёонд анхаарлаа хандуулаарай - эдгээр нь кубуудын нийлбэр ба зөрүү юм (мөн нийлбэр эсвэл зөрүүний шоо биш!). Хэрэв та эхний хаалтанд байгаа тэмдэг нь анхны илэрхийлэл дэх тэмдэгтэй давхцаж, хоёр дахь нь анхны илэрхийлэл дэх тэмдгийн эсрэг байгааг анзаарсан бол тэдгээрийг санахад хялбар болно.

Шугаман тэгшитгэл

Эдгээр нь $ax+b=0$ хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд бөгөөд $a$ ба $b$ нь энгийн тоо бөгөөд $a\ne 0$ байна. Энэ тэгшитгэлийг энгийнээр шийдэж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\ frac(b)(a). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$a\ne 0$ учраас бид $a$ коэффициентоор хуваах эрхтэй гэдгийг тэмдэглэе. Энэ шаардлага нь нэлээд логик юм, учир нь $a=0$-д бид дараахыг авна:

Нэгдүгээрт, энэ тэгшитгэлд $x$ хувьсагч байхгүй. Энэ нь ерөнхийдөө биднийг төөрөлдүүлэх ёсгүй (энэ нь геометрийн хувьд ихэвчлэн тохиолддог), гэхдээ энэ нь шугаман тэгшитгэл байхаа больсон.

Хоёрдугаарт, энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь зөвхөн $b$ коэффициентээс хамаарна. Хэрэв $b$ мөн тэг бол бидний тэгшитгэл $0=0$ хэлбэртэй байна. Энэ тэгш байдал үргэлж үнэн байдаг; энэ нь $x$ нь дурын тоо гэсэн үг (ихэвчлэн ингэж бичдэг: $x\in \mathbb(R)$). Хэрэв $b$ коэффициент тэгтэй тэнцүү биш бол $b=0$ тэгшитгэл хэзээ ч хангагдахгүй, өөрөөр хэлбэл. хариулт алга (\varnothing $-д $x\ гэж бичээд "шийдлийн багц хоосон" гэж уншина уу).

Эдгээр бүх бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд бид зүгээр л $a\ne 0$ гэж таамаглаж байгаа бөгөөд энэ нь бидний цаашдын сэтгэхүйг огтхон ч хязгаарладаггүй.

Квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийг ингэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя.

Энд зүүн талд 2-р зэргийн олон гишүүнт байгаа бөгөөд дахин $a\ne 0$ (эсвэл квадрат тэгшитгэлийн оронд шугаман тэгшитгэлийг авна). Дискриминантаар дараах тэгшитгэлийг шийднэ.

1. Хэрэв $D \gt 0$ бол бид хоёр өөр үндэс авна;
2. Хэрэв $D=0$ байвал нэг язгуур байх болно, гэхдээ хоёр дахь үржвэрийн (энэ нь ямар төрлийн үржвэр вэ, үүнийг хэрхэн тооцох вэ - дараа нь дэлгэрэнгүй). Эсвэл тэгшитгэл нь хоёр ижил үндэстэй гэж хэлж болно;
3. $D \lt 0$-ын хувьд язгуур огт байхгүй бөгөөд дурын $x$-ийн $a((x)^(2))+bx+c$ олон гишүүнтийн тэмдэг $a коэффициентийн тэмдэгтэй давхцаж байна. доллар. Дашрамд хэлэхэд энэ бол маш хэрэгтэй баримт бөгөөд яагаад ч юм тэд алгебрийн хичээл дээр ярихаа мартдаг.

Үндэсийг өөрсдөө сайн мэддэг томъёогоор тооцоолно.

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Тиймээс, дашрамд хэлэхэд, ялгаварлан гадуурхагчдад хязгаарлалт тавьдаг. Эцсийн эцэст сөрөг тооны квадрат язгуур байдаггүй. Олон оюутнуудын толгойд язгуурын талаар аймшигтай эмх замбараагүй байдаг тул би бүхэл бүтэн хичээлийг тусгайлан бичсэн: алгебрийн үндэс гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн тооцоолох талаар би уншихыг зөвлөж байна. :)

Рационал бутархайтай үйлдлүүд

Хэрэв та интервалын аргыг судалж үзсэн бол дээр бичсэн бүх зүйлийг аль хэдийн мэддэг болсон. Гэхдээ бидний одоо дүн шинжилгээ хийх зүйл урьд өмнө байгаагүй - энэ бол цоо шинэ баримт юм.

Тодорхойлолт. Рационал бутархай нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм

\[\frac(P\left(x \баруун))(Q\зүүн(x \баруун))\]

Энд $P\left(x \right)$ болон $Q\left(x \right)$ олон гишүүнт байна.

Мэдээжийн хэрэг, ийм бутархайгаас тэгш бус байдлыг гаргахад хялбар байдаг - та баруун талд "илүү" эсвэл "бага" тэмдгийг нэмэх хэрэгтэй. Цаашид ийм асуудлыг шийдэх нь таашаал, бүх зүйл маш энгийн гэдгийг бид олж мэдэх болно.

Нэг илэрхийлэлд хэд хэдэн ийм бутархай байх үед асуудал эхэлдэг. Тэднийг нийтлэг зүйлд хүргэх ёстой бөгөөд яг энэ мөчид олон тооны довтолгооны алдаа гарч байна.

Тиймээс оновчтой тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та хоёр ур чадварыг баттай эзэмших хэрэгтэй.

1. $P\left(x \right)$ олон гишүүнт хүчин зүйл хийх;
2. Үнэн хэрэгтээ бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах.

Олон гишүүнтийг хэрхэн хүчин зүйл болгох вэ? Маш энгийн. Маягтын олон гишүүнтийг авч үзье

Бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж байна. Бид $n$th зэргийн тэгшитгэлийг олж авна:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Бид энэ тэгшитгэлийг шийдэж, $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ үндсийг авсан гэж бодъё (санаа бүү зов: ихэнх тохиолдолд ийм байх болно. эдгээр үндэсийн хоёроос илүүгүй) . Энэ тохиолдолд бидний анхны олон гишүүнтийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & P\left(x \баруун)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \баруун)\cdot \left(x-((x)_(2)) \баруун)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \баруун) \төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Тэгээд л болоо! Анхаарна уу: $((a)_(n))$ тэргүүлэх коэффициент хаана ч алга болоогүй - энэ нь хаалтны өмнө тусдаа үржүүлэгч байх бөгөөд шаардлагатай бол эдгээр хаалтанд оруулж болно (дадлага харуулж байна). $((a)_ (n))\ne \pm 1$-тай язгууруудын дунд бараг үргэлж бутархай байдаг).

Даалгавар. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]

Шийдэл. Эхлээд хуваагчдыг харцгаая: тэдгээр нь бүгд шугаман биномууд бөгөөд энд хүчин зүйл тооцох зүйл байхгүй. Тиймээс тоологчдыг хүчинтэй болгоё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \баруун)\left(x-4 \баруун); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\зүүн(x-\frac(3)(2) \баруун)\зүүн(x-1 \баруун)=\зүүн(2х- 3 \баруун)\зүүн(x-1 \баруун); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\зүүн(x+2 \баруун)\зүүн(x-\frac(2)(5) \баруун)=\зүүн(x +2 \баруун)\зүүн(2-5x \баруун). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Анхаарна уу: хоёр дахь олон гишүүнт "2" тэргүүлэх коэффициент нь бидний схемийн дагуу эхлээд хаалтны өмнө гарч ирсэн бөгөөд дараа нь фракц гарч ирсэн тул эхний хаалтанд орсон болно.

Гурав дахь олон гишүүнтэд ижил зүйл тохиолдсон бөгөөд зөвхөн тэнд нэр томъёоны дараалал урвуу байна. Гэсэн хэдий ч "−5" коэффициентийг хоёр дахь хаалтанд оруулсан (сан: та хүчин зүйлийг зөвхөн нэг хаалтанд оруулж болно!) Энэ нь биднийг бутархай язгууртай холбоотой таагүй байдлаас аварсан.

Эхний олон гишүүнтийн хувьд бүх зүйл энгийн: үндсийг нь ялгаварлагчаар эсвэл Виетийн теоремоор хайдаг.

Анхны илэрхийлэл рүү буцаж, үүнийг тоологчдын хүчин зүйлээр дахин бичье.

\[\эхлэх(матриц) \frac(\зүүн(x+5 \баруун)\зүүн(x-4 \баруун))(x-4)-\frac(\зүүн(2х-3 \баруун)\зүүн( x-1 \баруун))(2х-3)-\frac(\зүүн(x+2 \баруун)\зүүн(2-5х \баруун))(x+2)= \\ =\зүүн(x+5) \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Хариулт: $5x+4$.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Жаахан 7-8-р ангийн математик, тэгээд л болоо. Бүх өөрчлөлтүүдийн гол зорилго нь төвөгтэй, аймшигтай илэрхийллээс энгийн бөгөөд ажиллахад хялбар зүйлийг олж авах явдал юм.

Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж тийм биш байх болно. Тиймээс одоо бид илүү ноцтой асуудлыг авч үзэх болно.

Гэхдээ эхлээд хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу хэрхэн авчрахыг олж мэдье. Алгоритм нь маш энгийн:

1. Хуваагчийг хоёуланг нь тооцох;
2. Эхний хуваагчийг авч үзээд эхний хуваарьт биш харин хоёр дахь хуваарьт байгаа хүчин зүйлсийг нэмнэ үү. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь нийтлэг зүйл байх болно;
3. Анхны бутархай бүрт ямар хүчин зүйл дутуу байгааг олж мэд, ингэснээр хуваагч нийтлэгтэй тэнцүү болно.

Энэ алгоритм нь танд "маш олон үсэгтэй" текст шиг санагдаж магадгүй. Тиймээс, бүх зүйлийг тодорхой жишээгээр харцгаая.

Даалгавар. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \баруун)\cdot \left(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \баруун)\]

Шийдэл. Ийм том асуудлыг хэсэг хэсгээр нь шийдэх нь дээр. Эхний хаалтанд юу байгааг бичье:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Өмнөх асуудлаас ялгаатай нь энд хуваагч нь тийм ч энгийн биш юм. Тэдгээрийг тус бүрээр нь авч үзье.

$((x)^(2))+2x+4=0$ тэгшитгэлд үндэс байхгүй тул $((x)^(2))+2x+4$ дөрвөлжин гурвалсан тоог үржүүлэх боломжгүй (дискриминант нь сөрөг байна) ). Бид үүнийг өөрчлөхгүй үлдээдэг.

Хоёрдахь хуваагч - куб олон гишүүнт $((x)^(3))-8$ - анхааралтай судалж үзэхэд шоо дөрвөлжингийн зөрүү бөгөөд үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан хялбархан өргөжүүлнэ.

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \баруун)\зүүн(((x)) ^(2))+2x+4 \баруун)\]

Эхний хаалтанд шугаман бином байгаа, хоёр дахь хаалтанд бидэнд аль хэдийн танил болсон, жинхэнэ үндэсгүй бүтэц байдаг тул өөр юуг ч хүчин зүйлээр ангилж болохгүй.

Эцэст нь гурав дахь хуваагч нь өргөтгөх боломжгүй шугаман бином юм. Тиймээс бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно.

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \баруун)\зүүн (((x)^(2))+2x+4 \баруун))-\frac(1)(x-2)\]

Нийтлэг хуваагч нь яг $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ байх нь ойлгомжтой бөгөөд түүнд бүх бутархайг багасгах Эхний бутархайг $\left(x-2 \right)$, сүүлчийнх нь $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ дээр үржүүлэх шаардлагатай. Дараа нь ижил төстэй зүйлийг өгөхөд л үлддэг.

\[\эхлэх(матриц) \frac(x\cdot \left(x-2 \баруун))(\left(x-2 \баруун)\left(((x)^(2))+2x+4 \ баруун))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \баруун)\left(((x)^(2))+2x+4 \баруун))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \баруун))(\left(x-2 \баруун)\left(((x)^(2))+2x +4 \баруун))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \баруун)-\зүүн(((x) )^(2))+2x+4 \баруун))(\зүүн(x-2 \баруун)\зүүн(((x)^(2))+2x+4 \баруун))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \баруун)\зүүн (((x)^(2))+2x+4 \баруун))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \баруун)\ зүүн(((x)^(2))+2x+4 \баруун)). \\ \төгсгөл(матриц)\]

Хоёр дахь мөрөнд анхаарлаа хандуулаарай: хуваагч аль хэдийн нийтлэг болсон үед, i.e. Гурван тусдаа бутархайн оронд бид нэг том хэсгийг бичсэн тул та хашилтаас шууд салж болохгүй. Нэмэлт мөр бичиж, гурав дахь бутархайгаас өмнө хасах тэмдэг байсан гэдгийг тэмдэглэх нь дээр бөгөөд энэ нь хаашаа ч явахгүй, харин хаалтны урд талын тоологч дээр "өлгөх" болно. Энэ нь таныг олон алдаанаас аврах болно.

За, сүүлийн мөрөнд тоологчийг тооцох нь ашигтай. Түүгээр ч барахгүй энэ бол яг дөрвөлжин бөгөөд товчилсон үржүүлэх томъёонууд бидэнд дахин туслах болно. Бидэнд байгаа:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \баруун)\left(((x)^(2))+2x+4 \баруун))= \frac(((\left(x-2 \баруун))^(2)))(\left(x-2 \баруун)\left(((x)^(2))+2x+4 \баруун) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Одоо хоёр дахь хаалттай яг адилхан байдлаар харьцъя. Энд би тэгш байдлын гинжин хэлхээг бичье:

\[\begin(матриц) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))))(\зүүн(x-2 \баруун)\зүүн(x+2 \баруун))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x)) ^(2)))(\зүүн(x-2 \баруун)\зүүн(x+2 \баруун))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\зүүн(x-2 \баруун)\зүүн(x+2 \баруун))+\frac(2\cdot \left(x+2 \баруун))(\зүүн(x-2 \баруун) )\cdot \left(x+2 \баруун))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \баруун))(\left(x-2) \баруун)\зүүн(x+2 \баруун))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \баруун)\зүүн(x+2 \баруун) ). \\ \төгсгөл(матриц)\]

Анхны асуудал руу буцаж очоод бүтээгдэхүүнийг харцгаая.

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \баруун)\зүүн(x+2 \баруун))=\frac(1)(x+2)\]

Хариулт: \[\frac(1)(x+2)\].

Энэ даалгаврын утга нь өмнөхтэй ижил байна: хэрэв та хувиргахад ухаалгаар хандах юм бол оновчтой илэрхийллийг хэрхэн хялбарчилж болохыг харуулах.

Одоо та энэ бүхнийг мэдэж байгаа тул өнөөдрийн хичээлийн гол сэдэв болох бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тухай ярилцъя. Түүнээс гадна ийм бэлтгэлийн дараа та тэгш бус байдлыг самар шиг хагалах болно. :)

Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга зам

Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх дор хаяж хоёр арга байдаг. Одоо бид тэдгээрийн аль нэгийг нь авч үзэх болно - сургуулийн математикийн курст нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн нэгийг.

Гэхдээ эхлээд нэг чухал зүйлийг тэмдэглэе. Бүх тэгш бус байдлыг хоёр төрөлд хуваадаг.

1. Хатуу: $f\left(x \right) \gt 0$ эсвэл $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Лакс: $f\left(x \right)\ge 0$ эсвэл $f\left(x \баруун)\le 0$.

Хоёрдахь төрлийн тэгш бус байдлыг эхнийх, мөн тэгшитгэл болгон хялбархан бууруулж болно.

Энэхүү жижиг "нэмэлт" $f\left(x \right)=0$ нь дүүргэсэн цэгүүд гэх мэт таагүй зүйлд хүргэдэг - бид тэдгээрийг интервалын аргаар мэддэг болсон. Үгүй бол хатуу ба хатуу бус тэгш бус байдлын хооронд ялгаа байхгүй тул бүх нийтийн алгоритмыг харцгаая.

1. Тэг биш бүх элементүүдийг тэгш бус тэмдгийн нэг талд цуглуул. Жишээлбэл, зүүн талд;
2. Бүх бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруул (хэрэв хэд хэдэн ийм бутархай байгаа бол), ижил төстэй зүйлийг авчир. Дараа нь боломжтой бол тоо болон хуваагчийг үржүүлээрэй. Ямар нэг байдлаар бид $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг авах бөгөөд энд "шалз" нь тэгш бус байдлын тэмдэг юм. .
3. Бид тоологчийг тэгтэй тэнцүүлж байна: $P\left(x \right)=0$. Бид энэ тэгшитгэлийг шийдэж, $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... язгууруудыг авна. Дараа нь бид шаардана. хуваагч нь тэгтэй тэнцүү биш байсан: $Q\left(x \right)\ne 0$. Мэдээжийн хэрэг, үндсэндээ бид $Q\left(x \right)=0$ тэгшитгэлийг шийдэх ёстой бөгөөд $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ язгууруудыг авна. , $x_(3 )^(*)$, ... (бодит асуудлуудад ийм язгуур гурваас илүү байх албагүй).
4. Бид эдгээр бүх үндсийг (одтой ба одгүй) нэг тооны мөрөнд тэмдэглэж, одгүй үндсийг будаж, одтой үндсийг цоолдог.
5. Бид "нэмэх" ба "хасах" тэмдгийг байрлуулж, шаардлагатай интервалыг сонгоно уу. Хэрэв тэгш бус байдал нь $f\left(x \right) \gt 0$ хэлбэртэй байвал хариулт нь "нэмэх" тэмдэглэгдсэн интервалууд байх болно. Хэрэв $f\left(x \right) \lt 0$ байвал бид "хасах"-тай интервалуудыг харна.

Дадлагаас харахад 2 ба 4-р цэгүүд - чадварлаг хувиргалт, тоонуудыг өсөх дарааллаар зөв байрлуулах зэргээс болж хамгийн их бэрхшээл гардаг. За, сүүлчийн алхам дээр маш болгоомжтой байгаарай: бид үргэлж тэмдгүүдийг үндэслэн байрлуулдаг тэгшитгэл рүү шилжихийн өмнө бичсэн хамгийн сүүлчийн тэгш бус байдал. Энэ бол интервалын аргаас удамшсан бүх нийтийн дүрэм юм.

Тэгэхээр нэг схем бий. Дасгал хийцгээе.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Шийдэл. Бидэнд $f\left(x \right) \lt 0$ хэлбэрийн хатуу тэгш бус байдал бий. Мэдээжийн хэрэг, бидний схемийн 1, 2-р цэгүүд аль хэдийн биелсэн: тэгш бус байдлын бүх элементүүдийг зүүн талд цуглуулсан тул нийтлэг хуваагч руу юу ч авчрах шаардлагагүй болно. Тиймээс гурав дахь цэг рүү шууд шилжье.

Бид тоологчийг тэгтэй тэнцүүлж байна:

\[\эхлэх(эгцлэх) & x-3=0; \\ & x=3. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Мөн хуваагч нь:

\[\эхлэх(эгцлэх) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энд олон хүн гацдаг, учир нь онолын хувьд та ODZ-ийн шаардлагын дагуу $x+7\ne 0$ гэж бичих хэрэгтэй (та тэгээр хувааж болохгүй, тэгээд л болоо). Гэхдээ ирээдүйд бид хуваагчаас ирсэн цэгүүдийг ялгах болно, тиймээс тооцооллыг дахин хүндрүүлэх шаардлагагүй - хаа сайгүй тэгш тэмдэг бичиж, санаа зовох хэрэггүй. Үүний төлөө хэн ч оноо хасахгүй. :)

Дөрөв дэх цэг. Бид үүссэн үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Тэгш бус байдал хатуу байгаа тул бүх цэгүүдийг тогтооно

Жич: Анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх цэгүүдийг тогтооно. Энд эдгээр цэгүүд тоологч эсвэл хуваагчаас ирсэн эсэх нь хамаагүй.

За, тэмдгүүдийг харцгаая. $((x)_(0)) \gt 3$ дурын тоог авъя. Жишээлбэл, $((x)_(0))=100$ (гэхдээ ижил амжилттайгаар $((x)_(0))=3.1$ эсвэл $((x)_(0)) = авч болно. 1\ 000\ 000$). Бид авах:

Тэгэхээр бүх язгуурын баруун талд эерэг бүс нутаг байна. Мөн үндэс бүрээр дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг (энэ нь үргэлж тийм биш байх болно, гэхдээ дараа нь илүү ихийг хэлнэ). Тиймээс, тав дахь цэг рүү шилжье: тэмдгүүдийг цэгцэлж, хэрэгтэйг нь сонго.

Тэгшитгэлийг шийдэхээс өмнөх сүүлчийн тэгш бус байдал руу буцъя. Үнэндээ энэ нь анхныхтай давхцаж байна, учир нь бид энэ даалгаварт ямар ч өөрчлөлт хийгээгүй.

Бид $f\left(x \right) \lt 0$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдэх шаардлагатай байгаа тул би $x\ интервалыг \left(-7;3 \right)$-д сүүдэрлэсэн - энэ нь цорын ганц тэмдэглэгдсэн байна. хасах тэмдэгтэй. Энэ бол хариулт юм.

Хариулт: $x\in \left(-7;3 \right)$

Тэгээд л болоо! Хэцүү байна уу? Үгүй ээ, хэцүү биш. Даалгавар амархан байсан нь үнэн. Одоо номлолыг бага зэрэг хүндрүүлж, илүү "нарийн" тэгш бус байдлыг авч үзье. Үүнийг шийдэхдээ би ийм нарийвчилсан тооцоо хийхээ болино - би зүгээр л гол санааг тоймлох болно. Ерөнхийдөө бид үүнийг бие даасан ажил эсвэл шалгалтын үеэр форматлаж байсан шиг форматлана. :)

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(\left(7x+1 \баруун)\left(11x+2 \баруун))(13x-4)\ge 0\]

Шийдэл. Энэ нь $f\left(x \right)\ge 0$ хэлбэрийн хатуу бус тэгш бус байдал юм. Бүх тэг бус элементүүдийг зүүн талд цуглуулсан, өөр хуваагч байхгүй. Тэгшитгэл рүү шилжье.

Тоологч:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(7x+1 \баруун)\left(11x+2 \баруун)=0 \\ & 7x+1=0\Баруун сум ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Баруун сум ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

хуваагч:

\[\эхлэх(эгцлэх) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ асуудлыг ямар гажуудлаар үүсгэснийг би мэдэхгүй, гэхдээ үндэс нь тийм ч сайн болоогүй: тэдгээрийг тооны шугам дээр байрлуулахад хэцүү байх болно. Хэрэв $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ үндэстэй бол бүх зүйл бага багаар тодорхой байвал (энэ бол цорын ганц эерэг тоо - баруун талд байх болно), $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ болон $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ нэмэлт судалгаа шаардлагатай: аль нь том уу?

Та үүнийг жишээлбэл, дараах байдлаар олж мэдэх боломжтой.

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Яагаад тоон бутархай $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Шаардлагатай бол бутархайтай үйлдлийг хэрхэн хийхийг санахыг зөвлөж байна.

Мөн бид бүх гурван үндэсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Тоолуурын цэгүүдийг бөглөж, хуваагчаас авсан цэгүүдийг цоолоно

Бид тэмдэг тавьж байна. Жишээлбэл, та $((x)_(0))=1$-г аваад энэ үед тэмдгийг олж мэдэх боломжтой.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(x \баруун)=\frac(\left(7x+1 \баруун)\left(11x+2 \баруун))(13x-4); \\ & f\left(1 \баруун)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \баруун)\left(11\cdot 1+2 \баруун))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгшитгэлийн өмнөх хамгийн сүүлийн тэгш бус байдал $f\left(x \right)\ge 0$ байсан тул бид нэмэх тэмдгийг сонирхож байна.

Бид хоёр багц авсан: нэг нь энгийн сегмент, нөгөө нь тооны шулуун дээрх нээлттэй туяа юм.

Хариулт: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Хамгийн баруун талын интервал дээрх тэмдгийг олж мэдэхийн тулд бидний орлуулах тоонуудын тухай чухал тэмдэглэл. Хамгийн баруун талын язгуурт хамгийн ойр байгаа тоог орлуулах шаардлагагүй. Та хэдэн тэрбум эсвэл бүр "нэмэх хязгааргүй" -ийг авч болно - энэ тохиолдолд хаалт, тоологч эсвэл хуваагч дахь олон гишүүнтийн тэмдгийг зөвхөн тэргүүлэх коэффициентийн тэмдгээр тодорхойлно.

Сүүлийн тэгш бус байдлаас $f\left(x \right)$ функцийг дахин харцгаая:

Түүний тэмдэглэгээ нь гурван олон гишүүнтээс бүрдэнэ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \баруун)=13x-4. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр нь бүгд шугаман бином бөгөөд тэдгээрийн тэргүүлэх коэффициентүүд (7, 11, 13 тоо) эерэг байна. Тиймээс маш их тоог орлуулах үед олон гишүүнтүүд нь эерэг байх болно. :)

Энэ дүрэм нь хэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж болох ч бид маш хялбар асуудлуудад дүн шинжилгээ хийхэд л эхэндээ. Ноцтой тэгш бус байдлын үед "нэмэх-хязгааргүй"-г орлуулснаар бид тэмдгүүдийг стандарт $((x)_(0))=100$-аас хамаагүй хурдан олох боломжтой болно.

Бид тун удахгүй ийм сорилтуудтай тулгарах болно. Гэхдээ эхлээд бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдэх өөр аргыг авч үзье.

Альтернатив арга

Энэ техникийг нэг шавь маань надад санал болгосон. Би өөрөө үүнийг хэзээ ч ашиглаж байгаагүй, гэхдээ олон оюутнууд тэгш бус байдлыг ийм аргаар шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой гэдгийг практикт харуулсан.

Тиймээс анхны өгөгдөл нь ижил байна. Бид бутархай оновчтой тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй:

\[\frac(P\left(x \баруун))(Q\left(x \баруун)) \gt 0\]

Ингээд бодоцгооё: яагаад $Q\left(x \right)$ олон гишүүнт $P\left(x \right)$ олон гишүүнээс "муу" байна вэ? Яагаад бид тусдаа бүлгүүдийг үндэс болгон авч үзэх ёстой вэ (одтой ба одгүй), цоорсон цэгийн талаар бодох гэх мэт? Энэ нь энгийн: бутархай нь тодорхойлолтын домэйнтэй байдаг бөгөөд үүний дагуу хуваагч нь тэгээс ялгаатай үед л бутархай нь утга учиртай болно.

Үгүй бол тоологч ба хуваагч хоёрын хооронд ямар ч ялгаа байхгүй: бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үндсийг хайж, дараа нь тоон мөрөнд тэмдэглэнэ. Тэгвэл яагаад бутархай шугамыг (үнэндээ хуваах тэмдэг) энгийн үржүүлэх замаар сольж, ODZ-ийн бүх шаардлагыг тусдаа тэгш бус байдлын хэлбэрээр бичиж болохгүй гэж? Жишээлбэл, иймэрхүү:

\[\frac(P\left(x \баруун))(Q\зүүн(x \баруун)) \gt 0\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & P\left(x \баруун)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \төгсгөл(эгц) \баруун.\]

Анхаарна уу: энэ арга нь асуудлыг интервалын аргаар багасгах боловч шийдлийг огт хүндрүүлэхгүй. Эцсийн эцэст бид $Q\left(x \right)$ олон гишүүнтийг тэгтэй тэнцүүлэх болно.

Энэ нь бодит асуудал дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Шийдэл. Ингээд интервалын арга руу шилжье:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(x+8 \баруун)\left(x-11 \баруун) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эхний тэгш бус байдлыг энгийн аргаар шийдэж болно. Бид зүгээр л хаалт бүрийг тэгтэй тэнцүүлнэ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+8=0\Баруун сум ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Баруун сум ((x)_(2))=11. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь бас энгийн:

Тооны шулуун дээрх $((x)_(1))$ ба $((x)_(2))$ цэгүүдийг тэмдэглэ. Тэгш бус байдал хатуу байгаа тул бүгдийг нь хассан.

Зөв цэгийг хоёр удаа цооллоо. Энэ зүгээр.

$x=11$ цэгт анхаарлаа хандуулаарай. Энэ нь "давхар цоорхой" болох нь харагдаж байна: нэг талаас, бид тэгш бус байдлын ноцтой байдлаас болж, нөгөө талаас DL-ийн нэмэлт шаардлагын улмаас үүнийг хасдаг.

Ямар ч тохиолдолд энэ нь зүгээр л цоорсон цэг байх болно. Тиймээс бид тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээс өмнө хамгийн сүүлд харсан $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг байрлуулна.

Бид эерэг бүсүүдийг сонирхож байна, учир нь бид $f\left(x \right) \gt 0$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул тэдгээрийг сүүдэрлэх болно. Хариултаа бичих л үлдлээ.

Хариулт. $x\in \left(-\infty;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Энэхүү шийдлийг жишээ болгон ашигласнаар би анхлан суралцаж буй оюутнуудын нийтлэг алдаанаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тухайлбал: тэгш бус байдалд хэзээ ч хаалт нээж болохгүй! Эсрэгээр нь бүх зүйлийг анхаарч үзээрэй - энэ нь шийдлийг хялбарчилж, таныг олон асуудлаас аврах болно.

Одоо илүү төвөгтэй зүйлийг туршиж үзье.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(\left(2x-13 \баруун)\left(12x-9 \баруун))(15x+33)\le 0\]

Шийдэл. Энэ нь $f\left(x \right)\le 0$ хэлбэрийн хатуу бус тэгш бус байдал тул энд сүүдэрлэсэн цэгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Интервалын арга руу шилжье:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(2x-13 \баруун)\left(12x-9 \баруун)\left(15x+33 \баруун)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]

Тэгшитгэл рүү явцгаая:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(2x-13 \баруун)\left(12x-9 \баруун)\left(15x+33 \баруун)=0 \\ & 2x-13=0\Баруун сум ((x) )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\Баруун сум ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Баруун сум ((x)_(3))=-2.2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид нэмэлт шаардлагыг харгалзан үздэг:

Бид үүссэн бүх үндэсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Хэрэв цэгийг цоолж, дүүргэсэн бол цоорсон гэж үзнэ

Дахин хэлэхэд хоёр цэг бие биенээ "давхцдаг" - энэ нь хэвийн зүйл, үргэлж ийм байх болно. Цоорсон, будсан гэж тэмдэглэсэн цэг нь үнэндээ цоорсон цэг гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Тэдгээр. "Хийх" нь "зурахаас" илүү хүчтэй үйлдэл юм.

Энэ нь туйлын логик юм, учир нь бид чимхэх замаар функцийн тэмдэгт нөлөөлөх цэгүүдийг тэмдэглэдэг боловч хариултанд өөрсдөө оролцдоггүй. Хэрэв хэзээ нэгэн цагт энэ тоо нь бидэнд тохирохгүй бол (жишээлбэл, энэ нь ODZ-д орохгүй) бид үүнийг даалгаврын төгсгөл хүртэл авч үзэхээс хасдаг.

Ер нь философи хийхээ боль. Бид тэмдгүүдийг байрлуулж, хасах тэмдгээр тэмдэглэсэн интервал дээр зурдаг.

Хариулт. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Би дахин энэ тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулахыг хүссэн:

\[\зүүн(2х-13 \баруун)\зүүн(12х-9 \баруун)\зүүн(15х+33 \баруун)=0\]

Дахин нэг удаа: ийм тэгшитгэлийн хаалт хэзээ ч бүү нээ! Та зөвхөн өөрийнхөө асуудлыг улам хүндрүүлнэ. Санаж байгаарай: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь өмнөх асуудалд шийдсэн хэд хэдэн жижиг тэгшитгэлүүд болж "унадаг".

Үндэсийн олон талт байдлыг харгалзан үзэх

Өмнөх асуудлуудаас харахад хамгийн хэцүү нь хатуу бус тэгш бус байдал гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг, учир нь тэдгээрийн дотор та сүүдэртэй цэгүүдийг хянах хэрэгтэй.

Гэхдээ дэлхий дээр үүнээс ч илүү муу зүйл байдаг - эдгээр нь тэгш бус байдлын олон үндэс юм. Энд та зарим нэг сүүдэртэй цэгүүдийг хянах шаардлагагүй болсон - энд тэгш бус байдлын тэмдэг нь эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөхөд гэнэт өөрчлөгдөхгүй байж магадгүй юм.

Бид энэ хичээл дээр үүнтэй төстэй зүйлийг хараахан авч үзээгүй байна (хэдийгээр үүнтэй төстэй асуудал интервалын аргад ихэвчлэн тулгардаг байсан). Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ тэгшитгэлийн үндэс нь $x=a$-тэй тэнцүү бөгөөд $n$-р үржвэрийн үндэс гэнэ.

Үнэндээ бид олон талт байдлын яг үнэ цэнийг төдийлөн сонирхдоггүй. Гагцхүү энэ $n$ тоо тэгш эсвэл сондгой эсэх нь чухал юм. Учир нь:

1. Хэрэв $x=a$ нь тэгш үржвэрийн язгуур бол түүгээр дамжин өнгөрөхөд функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй;
2. Мөн эсрэгээр, хэрэв $x=a$ нь сондгой үржвэрийн үндэс бол функцийн тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Энэ хичээлээр хэлэлцсэн өмнөх бүх асуудлууд сондгой үржвэрийн язгуурын онцгой тохиолдол юм: хаа сайгүй олон талт нэгтэй тэнцүү байна.

Тэгээд цааш нь. Асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө би туршлагатай оюутанд ойлгомжтой мэт санагдах боловч олон эхлэгчдийг тэнэг байдалд оруулдаг нэг нарийн зүйлд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Тухайлбал:

$n$ үржвэрийн үндэс нь илэрхийллийг бүхэлд нь ийм хэмжээнд өсгөсөн тохиолдолд л үүсдэг: $((\left(x-a \right))^(n))$, $\left(((x) биш) ^( n))-a \right)$.

Дахин нэг удаа: $((\left(x-a \right))^(n))$ хаалт нь $n$ үржвэрийн $x=a$ язгуурыг өгдөг, харин $\left(((x)^() хаалт n)) -a \right)$ эсвэл ихэвчлэн тохиолддог шиг $(a-((x)^(n)))$ нь эхний үржвэрийн язгуур (эсвэл $n$ тэгш бол хоёр үндэс) өгдөг. , $n$-тай тэнцэхээс үл хамааран.

Харьцуулах:

\[((\зүүн(x-3 \баруун))^(5))=0\Баруун сум x=3\зүүн(5к \баруун)\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна: бүхэл хаалт нь тав дахь зэрэглэлд өргөгдсөн тул бидний олж авсан гаралт нь тав дахь хүчний үндэс байв. Одоо:

\[\left(((x)^(2))-4 \баруун)=0\Баруун сум ((x)^(2))=4\Баруун сум x=\pm 2\]

Бид хоёр үндэстэй боловч хоёулаа эхний үржвэртэй. Эсвэл энд өөр нэг байна:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Баруун сум ((x)^(10))=1024\Баруун сум x=\pm 2\]

Мөн арав дахь зэрэг нь таныг зовоохыг бүү зөвшөөр. Хамгийн гол нь 10 бол тэгш тоо тул гаралт дээр бид хоёр үндэстэй бөгөөд хоёулаа дахин эхний үржвэртэй байна.

Ерөнхийдөө болгоомжтой байгаарай: олон талт байдал нь зөвхөн үед л тохиолддог зэрэг нь зөвхөн хувьсагчийг биш бүхэл хаалтанд хамаарна.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \баруун))^(3))\left(x+4 \баруун))(((\left(x+7) \баруун))^(5)))\ge 0\]

Шийдэл. Үүнийг өөр аргаар шийдэхийг хичээцгээе - коэффициентээс бүтээгдэхүүн рүү шилжих замаар:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))((\left(6-x \баруун))^(3))\left(x+4 \баруун)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) )\зөв.\]

Интервалын аргыг ашиглан эхний тэгш бус байдлыг авч үзье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))((\left(6-x \баруун))^(3))\left(x+4 \баруун)\cdot ((\left() x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Баруун сум x=0\зүүн(2к \баруун); \\ & ((\зүүн(6-х \баруун))^(3))=0\Баруун сум x=6\зүүн(3к \баруун); \\ & x+4=0\Баруун сум x=-4; \\ & ((\зүүн(x+7 \баруун))^(5))=0\Баруун сум x=-7\зүүн(5к \баруун). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Нэмж дурдахад бид хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийддэг. Үнэн хэрэгтээ бид үүнийг аль хэдийн шийдсэн боловч шүүмжлэгчид шийдэлд алдаа гаргахгүйн тулд дахин шийдэх нь дээр.

\[((\зүүн(x+7 \баруун))^(5))\ne 0\Баруун сум x\ne -7\]

Анхаарна уу: сүүлчийн тэгш бус байдалд олон тал байхгүй. Үнэн хэрэгтээ: тооны шулуун дээрх $x=-7$ цэгийг хэдэн удаа таслах нь ямар ялгаатай вэ? Наад зах нь нэг удаа, дор хаяж таван удаа үр дүн нь ижил байх болно: цоорсон цэг.

Тооны мөрөнд авсан бүх зүйлээ тэмдэглэцгээе:

Миний хэлсэнчлэн $x=-7$ цэг эцэстээ цоорох болно. Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд үндэслэн үржвэрийг зохион байгуулдаг.

Үлдсэн зүйл бол тэмдгүүдийг байрлуулах явдал юм:

$x=0$ цэг нь тэгш үржвэрийн үндэс учир түүгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Үлдсэн цэгүүд нь хачирхалтай олон талтай бөгөөд тэдэнтэй бүх зүйл энгийн байдаг.

Хариулт. $x\in \left(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Дахин нэг удаа $x=0$-д анхаарлаа хандуулаарай. Олон талт байдлын улмаас сонирхолтой эффект гарч ирдэг: зүүн талд байгаа бүх зүйл будсан, баруун талд байгаа бүх зүйл будсан, цэг нь өөрөө бүрэн будсан байна.

Үүний үр дүнд хариултыг бичихдээ тусгаарлах шаардлагагүй болно. Тэдгээр. $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ гэх мэт зүйлийг бичих шаардлагагүй (хэдийгээр албан ёсоор ийм хариулт бас зөв байх болно). Үүний оронд бид шууд $x\-д \left[ -4;6 \right]$ бичнэ.

Ийм үр нөлөө нь зөвхөн олон талт үндэстэй байж болно. Дараагийн асуудалд бид энэ нөлөөний урвуу "илэрхий"-тэй тулгарах болно. Бэлэн үү?

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(((\left(x-3 \баруун))^(4))\left(x-4 \баруун))(((\left(x-1 \баруун))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \баруун))\ge 0\]

Шийдэл. Энэ удаад бид стандарт схемийн дагуу ажиллана. Бид тоологчийг тэгтэй тэнцүүлж байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(x-3 \баруун))^(4))\left(x-4 \баруун)=0; \\ & ((\зүүн(x-3 \баруун))^(4))=0\Баруун сум ((x)_(1))=3\зүүн(4к \баруун); \\ & x-4=0\Баруун сум ((x)_(2))=4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Мөн хуваагч нь:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(x-1 \баруун))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \баруун)=0; \\ & ((\зүүн(x-1 \баруун))^(2))=0\Баруун сум x_(1)^(*)=1\зүүн(2к \баруун); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Баруун сум x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид $f\left(x \right)\ge 0$ хэлбэрийн хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул хуваагчаас (одтой) үндсийг гаргаж, тоологчийнх нь сүүдэрлэх болно.

Бид тэмдгүүдийг байрлуулж, "нэмэх" тэмдэгтэй газруудад сүүдэрлэдэг.

$x=3$ цэг тусгаарлагдсан байна. Энэ бол хариултын нэг хэсэг юм

Эцсийн хариултыг бичихээсээ өмнө зургийг сайтар харцгаая.

1. $x=1$ цэг нь тэгш олон талтай боловч өөрөө цоорсон байна. Тиймээс хариултдаа үүнийг тусгаарлах шаардлагатай болно: та $x\-д биш, харин \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ гэж бичих хэрэгтэй. \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. $x=3$ цэг нь мөн тэгш олон талтай бөгөөд сүүдэртэй байна. Тэмдгийн зохион байгуулалт нь тухайн цэг нь өөрөө бидэнд тохирсон, гэхдээ зүүн эсвэл баруун алхмаар байгааг харуулж байгаа бөгөөд бид өөрсдийгөө бидэнд тохирохгүй газар олж хардаг. Ийм цэгүүдийг тусгаарлагдсан гэж нэрлэдэг бөгөөд $x\in \left\( 3 \right\)$ хэлбэрээр бичдэг.

Бид хүлээн авсан бүх хэсгүүдийг нийтлэг багц болгон нэгтгэж, хариултыг бичнэ.

Хариулт: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \баруун\)\bigcup \left[ 4;5 \right) доллар

Тодорхойлолт. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь гэсэн үг түүний бүх шийдлийн багцыг ол, эсвэл энэ багц хоосон гэдгийг нотлох.

Энэ нь: энд ойлгомжгүй зүйл юу байж болох вэ? Тийм ээ, асуудлын гол нь багцыг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. Сүүлийн асуудлын хариултыг дахин бичье.

Бид бичсэн зүйлийг шууд утгаараа уншдаг. "X" хувьсагч нь тодорхой багцад хамаарах бөгөөд үүнийг дөрвөн тусдаа багц ("U" тэмдэг) нэгтгэх замаар олж авдаг.

• $\left(-\infty ;1 \right)$ интервал нь шууд утгаараа “нэгээс бага бүх тоо, гэхдээ нэгж өөрөө биш” гэсэн утгатай;
• Интервал $\left(1;2 \right)$, i.e. "1-ээс 2 хүртэлх бүх тоо, гэхдээ 1 ба 2-ын тоо биш";
• Нэг тооноос бүрдэх $\left\( 3 \right\)$ багц - гурван;
• $\left[ 4;5 \right)$ интервал нь 4-өөс 5 хүртэлх бүх тоо, мөн дөрвийг өөрөө агуулдаг боловч тав биш.

Гурав дахь цэг нь энд сонирхолтой юм. Хязгааргүй тооны олонлогийг тодорхойлж, зөвхөн эдгээр олонлогуудын хил хязгаарыг заадаг интервалуудаас ялгаатай нь $\left\( 3 \right\)$ багц нь зөвхөн нэг тоог тооллогоор зааж өгдөг.

Бид багцад багтсан тодорхой тоонуудыг жагсааж байгааг ойлгохын тулд (мөн хил хязгаар эсвэл бусад зүйлийг заагаагүй) буржгар хаалт ашигладаг. Жишээлбэл, $\left\( 1;2 \right\)$ гэсэн тэмдэглэгээ нь яг "1 ба 2 гэсэн хоёр тооноос бүрдэх олонлог" гэсэн утгатай боловч 1-ээс 2 хүртэлх сегмент биш. Ямар ч тохиолдолд эдгээр ойлголтыг андуурч болохгүй. .

Үржвэр нэмэх дүрэм

За, өнөөдрийн хичээлийн төгсгөлд Павел Бердовын бяцхан цагаан тугалга. :)

Анхааралтай оюутнууд аль хэдийн гайхаж байсан байх: хэрэв тоологч ба хуваагч ижил үндэстэй бол юу болох вэ? Тиймээс дараах дүрэм ажиллана.

Ижил язгуурын олон төрлийг нэмсэн. Үргэлж. Энэ язгуур тоо болон хуваарьт хоёуланд нь тохиолдсон ч гэсэн.

Заримдаа ярихаас илүүтэй шийдсэн нь дээр. Тиймээс бид дараах асуудлыг шийдэж байна.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \баруун)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \баруун))\ge 0\]

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоогоор онцгой зүйл алга. Бид хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлж байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(((x)^(2))-16 \баруун)\left(((x)^(2))+9x+14 \баруун)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Баруун сум x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Баруун сум x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((x)_(1))=-2$ ба $x_(4)^(*)=-2$ гэсэн хоёр ижил үндэс нээсэн. Аль аль нь эхний үржвэртэй. Тиймээс бид тэдгээрийг нэг язгуур $x_(4)^(*)=-2$, харин 1+1=2 үржвэрээр солино.

Үүнээс гадна ижил язгуурууд байдаг: $((x)_(2))=-4$ ба $x_(2)^(*)=-4$. Тэд мөн эхний үржвэрийнх тул зөвхөн $x_(2)^(*)=-4$ үржвэрийн 1+1=2 үлдэнэ.

Анхаарна уу: энэ хоёр тохиолдолд бид яг "цоорсон" үндсийг үлдээж, "будсан" үндсийг хассан. Учир нь хичээлийн эхэнд бид тохиролцсон: хэрэв цэгийг цоолж, будсан бол бид үүнийг цоорсон гэж үздэг.

Үүний үр дүнд бид дөрвөн үндэстэй бөгөөд бүгдийг нь таслав.

\[\эхлэх(эгцлэх) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \баруун); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\зүүн(2к \баруун). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид тэдгээрийг олон талт байдлыг харгалзан тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Бид сонирхож буй газруудад тэмдэг тавьж, буддаг.

Бүгд. Тусгаарлагдсан цэгүүд болон бусад гажуудал байхгүй. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Үржвэрийг үржүүлэх дүрэм

Заримдаа бүр илүү тааламжгүй нөхцөл байдал үүсдэг: олон үндэстэй тэгшитгэл нь өөрөө тодорхой хүчин чадалтай болдог. Энэ тохиолдолд бүх анхны язгуурын олон талт байдал өөрчлөгддөг.

Энэ нь ховор тохиолддог тул ихэнх оюутнууд ийм асуудлыг шийдвэрлэх туршлагагүй байдаг. Мөн энд дүрэм нь:

Тэгшитгэлийг $n$ зэрэгт хүргэхэд түүний бүх язгуурын үржвэрүүд мөн $n$ дахин нэмэгдэнэ.

Өөрөөр хэлбэл, хүчийг өсгөх нь үржвэрийг ижил хүчээр үржүүлэхэд хүргэдэг. Энэ дүрмийг жишээгээр харцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \баруун))^(2))((\left(x-4 \баруун))^(5)) )(((\left(2-x \баруун))^(3))((\left(x-1 \баруун))^(2)))\le 0\]

Шийдэл. Бид тоологчийг тэгтэй тэнцүүлж байна:

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Эхний хүчин зүйлээр бүх зүйл тодорхой байна: $x=0$. Гэхдээ дараа нь асуудлууд эхэлнэ:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \баруун))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \баруун); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \баруун)\left(2k \баруун) \ \& ((x)_(2))=3\зүүн(4к \баруун) \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бидний харж байгаагаар $((x)^(2))-6x+9=0$ тэгшитгэл нь хоёр дахь үржвэрийн нэг язгууртай: $x=3$. Дараа нь энэ тэгшитгэлийг бүхэлд нь квадрат болгоно. Тиймээс язгуурын үржвэр нь $2\cdot 2=4$ байх бөгөөд үүнийг бид эцэст нь бичсэн болно.

\[((\зүүн(x-4 \баруун))^(5))=0\Баруун сум x=4\зүүн(5к \баруун)\]

Хуваарийн хувьд ч асуудал байхгүй:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(2-x \баруун))^(3))((\left(x-1 \баруун))^(2))=0; \\ & ((\зүүн(2-х \баруун))^(3))=0\Баруун сум x_(1)^(*)=2\зүүн(3к \баруун); \\ & ((\зүүн(x-1 \баруун))^(2))=0\Баруун сум x_(2)^(*)=1\зүүн(2к \баруун). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Нийтдээ бид таван цэг авсан: хоёр цоорсон, гурван будсан. Тоолуур ба хуваарьт давхцах үндэс байхгүй тул бид тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Бид тэмдгүүдийг олон талт байдлыг харгалзан зохион байгуулж, бидний сонирхсон интервал дээр зурдаг.

Дахин нэг тусгаарлагдсан цэг, нэг цоорсон

Олон талт байдлын үндэсийн улмаас бид дахин хэд хэдэн "стандарт бус" элементүүдтэй болсон. Энэ нь $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ бөгөөд $x\in \left[ 0;2 \right)$ биш, мөн тусгаарлагдсан цэг юм. $ x\in \left\( 3 \баруун\)$.

Хариулт. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Таны харж байгаагаар бүх зүйл тийм ч төвөгтэй биш юм. Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм. Энэ хичээлийн сүүлчийн хэсэг нь бидний эхэнд ярьсан өөрчлөлтүүдэд зориулагдсан болно.

Урьдчилсан хөрвүүлэлтүүд

Энэ хэсэгт бидний авч үзэх тэгш бус байдлыг нарийн төвөгтэй гэж нэрлэж болохгүй. Гэсэн хэдий ч өмнөх ажлуудаас ялгаатай нь энд та оновчтой бутархайн онолын ур чадваруудыг ашиглах хэрэгтэй болно - хүчин зүйлчлэл, нийтлэг хуваагч руу багасгах.

Өнөөдрийн хичээлийн эхэнд бид энэ асуудлыг нарийвчлан авч үзсэн. Хэрэв та миний юу яриад байгааг ойлгосон гэдэгтээ итгэлгүй байгаа бол буцаж очоод давтахыг зөвлөж байна. Учир нь бутархайг хөрвүүлэхдээ "хөвөгч" байвал тэгш бус байдлыг шийдэх аргуудыг шахах нь утгагүй юм.

Дашрамд хэлэхэд гэрийн даалгаварт ижил төстэй олон даалгавар байх болно. Тэдгээрийг тусдаа дэд хэсэгт байрлуулсан болно. Тэнд та маш энгийн бус жишээг олох болно. Гэхдээ энэ нь гэрийн даалгаварт байх болно, одоо ийм тэгш бус байдлын хоёрыг харцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Шийдэл. Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлэх:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Бид нийтлэг хуваагч руу багасгаж, хаалтыг нээж, тоологч дахь ижил төстэй нэр томъёог оруулав.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \frac(x\cdot x)(\зүүн(x-1 \баруун)\cdot x)-\frac(\зүүн(x-2 \баруун)\зүүн(x-1 \ баруун))(x\cdot \left(x-1 \баруун))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \баруун)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \баруун))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \баруун))\le 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бидний өмнө сонгодог бутархай-рационал тэгш бус байдал байгаа бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх нь хэцүү биш юм. Би үүнийг өөр аргыг ашиглан - интервалын аргаар шийдэхийг санал болгож байна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(3x-2 \баруун)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хуваагчаас ирэх хязгаарлалтыг бүү мартаарай:

Бид тоон мөрөнд бүх тоо, хязгаарлалтыг тэмдэглэнэ.

Бүх үндэс нь анхны үржвэртэй байдаг. Асуудалгүй. Бид зүгээр л шаардлагатай газруудад тэмдэг тавьж, буддаг.

Энэ бүгд. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Мэдээжийн хэрэг, энэ бол маш энгийн жишээ байсан. Тиймээс одоо асуудлыг илүү нухацтай авч үзье. Дашрамд хэлэхэд, энэ даалгаврын түвшин нь 8-р ангид энэ сэдвээр бие даасан болон туршилтын ажилтай нэлээд нийцэж байна.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Шийдэл. Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлэх:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахын өмнө эдгээр хуваагчдыг үржвэр болгоё. Хэрэв ижил хаалтууд гарч ирвэл яах вэ? Эхний хуваарийн хувьд энэ нь амархан:

\[((x)^(2))+8x-9=\зүүн(x-1 \баруун)\зүүн(x+9 \баруун)\]

Хоёр дахь нь арай илүү хэцүү. Бутархай гарч ирэх хаалтанд тогтмол хүчин зүйл нэмж оруулаарай. Санаж байгаарай: анхны олон гишүүнт бүхэл тоон коэффициенттэй байсан тул хүчин зүйлчлэл нь бүхэл тооны коэффициенттэй байх магадлал өндөр байдаг (үнэндээ ялгаварлагч нь иррациональ биш л бол үргэлж байх болно).

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 3((x)^(2))-5x+2=3\зүүн(x-1 \баруун)\зүүн(x-\frac(2)(3) \баруун)= \\ & =\зүүн(x-1 \баруун)\зүүн(3x-2 \баруун) \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар нийтлэг хаалт байдаг: $\left(x-1 \right)$. Бид тэгш бус байдал руу буцаж, хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \frac(1)(\зүүн(x-1 \баруун)\зүүн(x+9 \баруун))-\frac(1)(\зүүн(x-1 \баруун)\ зүүн(3х-2 \баруун))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\зүүн(x-1 \баруун)\зүүн(x+9 \баруун)\зүүн(3x-2 \баруун))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\зүүн(x-1 \баруун)\зүүн(x+9 \баруун)\зүүн(3x-2 \баруун))\ge 0; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлж байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(x-1 \баруун)\left(x+9 \баруун)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( тэгшлэх)\]

Үржвэр болон давхцах үндэс байхгүй. Бид мөрөнд дөрвөн тоог тэмдэглэв.

Бид тэмдгүүдийг байрлуулж байна:

Бид хариултаа бичнэ.

Хариулт: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ баруун) доллар.

Бид нэг хувьсагчийг хамарсан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга замыг үргэлжлүүлэн хайж байна. Рационал тэгш бус байдлын онцгой тохиолдол болох шугаман болон квадрат тэгш бус байдлыг бид аль хэдийн судалсан. Энэ нийтлэлд бид ямар төрлийн тэгш бус байдлыг оновчтой гэж үзэхийг тодруулах бөгөөд тэдгээрийг ямар төрлүүдэд (бүхэл ба бутархай) хуваадаг болохыг танд хэлэх болно. Үүний дараа бид тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх, шаардлагатай алгоритмуудыг гаргаж, тодорхой асуудлуудад дүн шинжилгээ хийх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рационал тэгш байдлын тухай ойлголт

Тэд сургуульд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх сэдвийг судлахдаа оновчтой тэгш бус байдлыг шууд авдаг. Тэд энэ төрлийн илэрхийлэлтэй ажиллах ур чадварыг эзэмшиж, хөгжүүлдэг. Энэ ойлголтын тодорхойлолтыг томъёолъё:

Тодорхойлолт 1

Рациональ тэгш бус байдал нь хоёр хэсэгт оновчтой илэрхийлэл агуулсан хувьсагчтай тэгш бус байдлыг хэлнэ.

Тодорхойлолт нь хувьсагчийн тоо гэсэн асуултад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй гэдгийг анхаарна уу, энэ нь тэдний хүссэн хэмжээгээр байж болно гэсэн үг юм. Тиймээс 1, 2, 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай оновчтой тэгш бус байдал боломжтой. Ихэнх тохиолдолд та зөвхөн нэг хувьсагч агуулсан илэрхийлэлтэй, ихэвчлэн хоёр хувьсагчтай, олон тооны хувьсагчтай тэгш бус байдлыг ихэвчлэн сургуулийн хичээл дээр огт авч үздэггүй.

Тиймээс бид оновчтой тэгш бус байдлыг түүний бичээсийг хараад хүлээн зөвшөөрч чадна. Энэ нь баруун болон зүүн талдаа оновчтой илэрхийлэлтэй байх ёстой. Энд зарим жишээ байна:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Гэхдээ энд 5 + x + 1 хэлбэрийн тэгш бус байдал байна< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Бүх оновчтой тэгш бус байдлыг бүхэл ба бутархай гэж хуваадаг.

Тодорхойлолт 2

Бүхэл бүтэн оновчтой тэгш байдал нь бүхэл бүтэн оновчтой илэрхийллүүдээс бүрдэнэ (хоёр хэсэгт).

Тодорхойлолт 3

Бутархай оновчтой тэгш байдалнэг буюу хоёр хэсэгт бутархай илэрхийлэл агуулсан тэгшитгэл юм.

Жишээлбэл, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ба 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 хэлбэрийн тэгш бус байдал нь бутархай рационал ба 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y)Тэгээд 1: x + 3 > 0- бүхэлд нь.

Бид оновчтой тэгш бус байдал гэж юу болох талаар дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрийн үндсэн төрлүүдийг тодорхойлсон. Бид тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замуудын тойм руу шилжиж болно.

Бүхэл бүтэн оновчтой тэгш бус байдлын шийдлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё r(x)< s (x) , үүнд зөвхөн нэг x хувьсагч багтана. Хаана r(x)Тэгээд s(x)дурын рационал бүхэл тоо эсвэл илэрхийллийг илэрхийлэх ба тэгш бус байдлын тэмдэг өөр байж болно. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид үүнийг хувиргаж, ижил тэгш байдлыг олж авах хэрэгтэй.

Илэрхийлэлийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж эхэлцгээе. Бид дараахь зүйлийг авна.

r (x) − s (x) хэлбэрийн< 0 (≤ , > , ≥)

Бид үүнийг мэднэ r (x) − s (x)нь бүхэл тоо байх ба дурын бүхэл илэрхийллийг олон гишүүнт болгон хувиргаж болно. Өөрчилье r (x) − s (x) h(x) дотор. Энэ илэрхийлэл нь ижил олон гишүүнт байх болно. r (x) - s (x) ба h (x) нь x-ийн зөвшөөрөгдөх утгуудын ижил мужтай байгааг харгалзан бид h (x) тэгш бус байдал руу шилжиж болно.< 0 (≤ , >, ≥) нь анхныхтай тэнцэх болно.

Ихэнхдээ ийм энгийн хувиргалт нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байдаг, учир нь үр дүн нь шугаман эсвэл квадрат тэгш бус байдал байж болох бөгөөд утгыг нь тооцоолоход хялбар байдаг. Иймэрхүү асуудлуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ 1

Нөхцөл:бүхэл бүтэн оновчтой тэгш бус байдлыг шийднэ x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Шийдэл

Эсрэг тэмдэгтэй илэрхийллийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж эхэлье.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Одоо бид зүүн талын олон гишүүнтүүдтэй хийсэн бүх үйлдлүүдийг хийж дууссан тул шугаман тэгш бус байдал руу шилжиж болно. 3 x − 2 ≤ 0, нөхцөлд өгөгдсөнтэй тэнцэх. Үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Хариулт: x ≤ 2 3 .

Жишээ 2

Нөхцөл:тэгш бус байдлын шийдлийг ол (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).

Шийдэл

Бид илэрхийллийг зүүн талаас баруун тийш шилжүүлж, үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан цаашдын хувиргалтыг гүйцэтгэдэг.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Өөрчлөлтийн үр дүнд бид x-ийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш бус байдлыг хүлээн авсан тул анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь ямар ч бодит тоо байж болно.

Хариулт:үнэхээр ямар ч тоо.

Жишээ 3

Нөхцөл:тэгш бус байдлыг шийдэх x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Шийдэл

Тэнд 0 байгаа тул бид баруун талаас юу ч шилжүүлэхгүй. Зүүн талыг олон гишүүнт болгон хувиргах замаар шууд эхэлцгээе.

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0.

Бид анхныхтай тэнцэх квадрат тэгш бус байдлыг олж авсан бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. График аргыг ашиглая.

Гурвалсан квадратын язгуурыг тооцоолж эхэлье − 2 x 2 + 11 x + 6:

D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

Одоо диаграм дээр бид шаардлагатай бүх тэгийг тэмдэглэв. Тэргүүлэх коэффициент нь тэгээс бага тул график дээрх параболын салбарууд доошоо чиглэнэ.

Тэгш бус байдалд > тэмдэг байгаа тул х тэнхлэгийн дээгүүр байрлах параболын муж хэрэгтэй болно. Шаардлагатай интервал нь (− 0 , 5 , 6) Тиймээс энэхүү утгын хүрээ нь бидэнд хэрэгтэй шийдэл байх болно.

Хариулт: (− 0 , 5 , 6) .

Зүүн талд гурав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн олон гишүүнт авах үед илүү төвөгтэй тохиолдол байдаг. Ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг ашиглахыг зөвлөж байна. Эхлээд бид олон гишүүнтийн бүх язгуурыг тооцоолно h(x), энэ нь ихэвчлэн олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгах замаар хийгддэг.

Жишээ 4

Нөхцөл:тооцоолох (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

Шийдэл

Өмнөх шигээ илэрхийллийг зүүн тал руу шилжүүлж эхэлцгээе, үүний дараа бид хаалтуудыг өргөжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог авчрах шаардлагатай болно.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Өөрчлөлтийн үр дүнд бид анхныхтай тэнцэх тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд зүүн талд нь гурав дахь зэрэгтэй олон гишүүнт байдаг. Үүнийг шийдэхийн тулд интервалын аргыг ашиглая.

Эхлээд бид олон гишүүнтийн үндсийг тооцоолж, үүний тулд куб тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Энэ нь оновчтой үндэстэй юу? Тэд зөвхөн чөлөөт нэр томъёог хуваагчдын дунд байж болно, i.e. ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 тоонуудын дунд. Анхны тэгшитгэлд тэдгээрийг нэг нэгээр нь орлуулж, 1, 2, 3 тоо нь түүний үндэс болохыг олж мэдье.

Тиймээс олон гишүүнт x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6бүтээгдэхүүн гэж тодорхойлж болно (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), тэгш бус байдал x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 хэлбэрээр төлөөлж болно (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Энэ төрлийн тэгш бус байдлын үед бид интервал дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлоход хялбар байх болно.

Дараа нь бид интервалын аргын үлдсэн алхмуудыг гүйцэтгэнэ: тоон шугам зурж, 1, 2, 3 координатууд дээр цэг тавина. Тэд тэмдгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай шулуун шугамыг 4 интервалд хуваадаг. Анхны тэгш бус байдал нь тэмдэгтэй тул интервалуудыг хасахаар сүүдэрлэцгээе < .

Бид бэлэн хариултыг бичихэд л хангалттай: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Хариулт: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Зарим тохиолдолд r (x) - s (x) тэгш бус байдлаас эхэлнэ.< 0 (≤ , >, ≥)-аас h (x) хүртэл< 0 (≤ , >, ≥) , хаана h(x)– 2-оос дээш зэрэгтэй олон гишүүнт, тохиромжгүй. Энэ нь r(x) − s(x)-ийг шугаман хоёр болон квадрат гурвалсан тоонуудын үржвэр болгон илэрхийлэх нь h(x)-г тус тусад нь хүчин зүйл болгон хуваахаас илүү хялбар байдаг тохиолдлуудад хамаарна. Энэ асуудлыг авч үзье.

Жишээ 5

Нөхцөл:тэгш бус байдлын шийдлийг ол (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Шийдэл

Энэ тэгш бус байдал нь бүхэл тоонд хамаарна. Хэрэв бид илэрхийлэлийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, хаалтыг нээж, нэр томъёоны бууралтыг хийвэл бид үүнийг авна. x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0.

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг хайх хэрэгтэй тул ийм тэгш бус байдлыг шийдэх нь тийм ч хялбар биш юм. Үүнд нэг оновчтой үндэс байхгүй (жишээлбэл, 1, − 1, 19 эсвэл − 19 тохиромжгүй), бусад үндэс хайхад хэцүү байдаг. Энэ нь бид энэ аргыг ашиглах боломжгүй гэсэн үг юм.

Гэхдээ өөр шийдэл бий. Хэрэв бид анхны тэгш бус байдлын баруун талаас илэрхийллүүдийг зүүн тийш шилжүүлбэл нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулж болно x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Бид анхныхтай тэнцэх тэгш бус байдлыг олж авсан бөгөөд түүний шийдэл нь бидэнд хүссэн хариултыг өгөх болно. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэгийг олъё x 2 − 2 x − 1 = 0Тэгээд x 2 − 2 x − 19 = 0. Тэдний үндэс нь 1 ± 2, 1 ± 2 5 байна. Бид x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 тэгшитгэл рүү шилждэг бөгөөд үүнийг интервалын аргаар шийдэж болно.

Зургийн дагуу хариулт нь - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞ байх болно.

Хариулт: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Заримдаа олон гишүүнтийн бүх язгуурыг олох боломжгүй байдаг гэдгийг нэмж хэлье h(x), тиймээс бид үүнийг шугаман хоёр гишүүн ба квадрат гурвалсан тоонуудын үржвэр болгон төлөөлж чадахгүй. Дараа нь h (x) хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийд.< 0 (≤ , >, ≥) бид чадахгүй, энэ нь анхны оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх боломжгүй гэсэн үг юм.

Бид r (x) хэлбэрийн бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.< s (x) (≤ , >, ≥) , энд r (x) ба s(x)рационал илэрхийлэл, х нь хувьсагч. Заасан илэрхийллүүдийн дор хаяж нэг нь бутархай байх болно. Энэ тохиолдолд шийдлийн алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлно.
2. Бид илэрхийлэлийг тэгш бус байдлын баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, үр дүнгийн илэрхийлэл r (x) − s (x)бутархай хэлбэрээр илэрхийлнэ. Түүнээс гадна, хаана p(x)Тэгээд q(x)шугаман хоёр гишүүн, задрахгүй квадрат гурвалсан тоо, мөн натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн үржвэр болох бүхэл илэрхийллүүд байх болно.
3. Дараа нь бид үүссэн тэгш бус байдлыг интервалын аргыг ашиглан шийднэ.
4. Сүүлчийн алхам бол шийдлийн явцад олж авсан цэгүүдийг бидний эхэнд тодорхойлсон х хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээнээс хасах явдал юм.

Энэ бол бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм юм. Ихэнх нь тодорхой, зөвхөн 2-р догол мөрөнд бага зэргийн тайлбар хийх шаардлагатай. Бид илэрхийллийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, r (x) - s (x) -ийг авлаа.< 0 (≤ , >, ≥), дараа нь яаж p (x) q (x) хэлбэрт оруулах вэ?< 0 (≤ , > , ≥) ?

Эхлээд энэ хувиргалтыг үргэлж хийж болох эсэхийг тодорхойлъё. Онолын хувьд аливаа оновчтой илэрхийллийг оновчтой бутархай болгон хувиргах боломжтой тул ийм боломж үргэлж байдаг. Энд тоологч ба хуваагч дахь олон гишүүнт бүхий бутархай байна. Алгебрын үндсэн теорем болон Безутын теоремыг эргэн санаж, нэг хувьсагч агуулсан n зэрэгтэй олон гишүүнт шугаман хоёр гишүүний үржвэр болж хувирахыг тодорхойлъё. Тиймээс онолын хувьд бид илэрхийллийг үргэлж ингэж хувиргаж чадна.

Практикт олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгах нь ихэвчлэн хэцүү байдаг, ялангуяа зэрэг нь 4-өөс дээш байвал. Хэрэв бид өргөтгөлийг хийж чадахгүй бол бид энэ тэгш бус байдлыг шийдэж чадахгүй, гэхдээ ийм асуудлыг сургуулийн хичээл дээр ихэвчлэн судалдаггүй.

Дараа нь бид үүссэн тэгш бус байдал p (x) q (x) эсэхийг шийдэх хэрэгтэй.< 0 (≤ , >, ≥) r (x) − s (x) -тай харьцуулахад эквивалент< 0 (≤ , >, ≥) болон анхны хувилбар руу. Энэ нь тэгш бус болж хувирах магадлал бий.

Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээтэй байх үед тэгш бус байдлын тэнцүү байдал хангагдана p(x)q(x)илэрхийллийн мужид тохирох болно r (x) − s (x). Дараа нь бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх зааврын сүүлчийн цэгийг дагаж мөрдөх шаардлагагүй болно.

Гэхдээ утгын хүрээ p(x)q(x)-ээс өргөн байж болно r (x) − s (x)жишээлбэл, бутархайг багасгах замаар. Жишээ нь x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3-аас x · x - 1 x + 3 руу шилжих болно. Эсвэл энэ нь ижил төстэй нэр томъёог авчрах үед тохиолдож болно, жишээлбэл, энд:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 - 1 x + 3

Ийм тохиолдлын хувьд алгоритмын сүүлчийн алхамыг нэмсэн. Үүнийг хэрэгжүүлснээр та хүлээн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ өргөссөнөөс үүдэлтэй үл хамаарах хувьсагчийн утгуудаас салах болно. Юу яриад байгааг илүү ойлгомжтой болгохын тулд хэдэн жишээ татъя.

Жишээ 6

Нөхцөл: x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 оновчтой тэгш байдлын шийдийг ол.

Шийдэл

Бид дээр дурдсан алгоритмын дагуу ажилладаг. Эхлээд бид зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг тодорхойлно. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын системээр тодорхойлогддог x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , шийдэл нь олонлог (−) байх болно. ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Үүний дараа бид үүнийг интервалын аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой байхаар өөрчлөх хэрэгтэй. Юуны өмнө бид алгебрийн бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулна (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Бид нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан тоологч дахь илэрхийллийг нураана.

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Үр дүнгийн илэрхийллийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) байна. Энэ нь анхны тэгш байдлын хувьд тодорхойлсон зүйлтэй төстэй болохыг бид харж байна. Бид x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 тэгш бус байдал нь анхныхтай тэнцүү гэж дүгнэж байгаа бөгөөд энэ нь бидэнд алгоритмын сүүлчийн алхам хэрэггүй гэсэн үг юм.

Бид интервалын аргыг ашигладаг:

Бид ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) шийдлийг харж байна, энэ нь x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - анхны рационал тэгш бус байдлын шийдэл байх болно. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Хариулт: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Жишээ 7

Нөхцөл: x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 шийдлийг тооцоол.

Шийдэл

Бид зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг тодорхойлдог. Энэ тэгш бус байдлын хувьд энэ нь − 2, − 1, 0 ба-аас бусад бүх бодит тоотой тэнцүү байх болно. 1 .

Бид илэрхийллийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлнэ:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Үр дүнг харгалзан бид бичнэ:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

1 x - 1 илэрхийллийн хувьд хүчинтэй утгын хүрээ нь нэгээс бусад бүх бодит тоонуудын багц юм. Бид утгын хүрээ өргөжиж байгааг харж байна: − 2 , − 1 ба 0 . Энэ нь бид алгоритмын сүүлчийн алхамыг хийх хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Бид 1 x - 1 > 0 тэгш бус байдалд хүрсэн тул бид 1 x - 1-тэй тэнцүү гэж бичиж болно.< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Бид анхны тэгш байдлын хүлээн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээнд ороогүй цэгүүдийг оруулаагүй болно. Бид (− ∞ , 1) − 2 , − 1 болон тоонуудыг хасах хэрэгтэй. 0 . Тиймээс x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 оновчтой тэгш бус байдлын шийдэл (− ∞ , − 2) болно. ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Хариулт: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Дүгнэж хэлэхэд, эцсийн хариулт нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудын хүрээнээс хамаардаг асуудлын өөр нэг жишээг өгье.

Жишээ 8

Нөхцөл: 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 тэгш бус байдлын шийдийг ол.

Шийдэл

Нөхцөлд заасан тэгш бус байдлын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - системээр тодорхойлно. 1 x - 1 ≠ 0.

Энэ системд ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Энэ нь анхны тэгшитгэл 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 нь шийдэлгүй, учир нь хувьсагчийн хийх утга байхгүй байна гэсэн үг юм. мэдрэмж.

Хариулт:шийдэл байхгүй.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

>>Математик: Рационал тэгш бус байдал

Нэг x хувьсагчтай оновчтой тэгш бус байдал нь хэлбэрийн тэгш бус байдал юм - оновчтой илэрхийлэл, i.e. нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, өсгөх үйлдлүүдийг ашиглан тоо болон х хувьсагчаас бүтсэн алгебрийн илэрхийлэл. Мэдээжийн хэрэг, хувьсагчийг өөр ямар ч үсгээр тэмдэглэж болно, гэхдээ математикт x үсгийг илүүд үздэг.

Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ § 1-д дээр дурдсан гурван дүрмийг ашигладаг.Эдгээр дүрмийн тусламжтайгаар өгөгдсөн оновчтой тэгш бус байдлыг ихэвчлэн / (x) > 0 хэлбэрт шилжүүлдэг бөгөөд энд / (x) нь алгебрийн шинж чанартай байдаг. бутархай (эсвэл олон гишүүнт). Дараа нь f (x) фракцийн тоологч ба хуваагчийг x - a хэлбэрийн хүчин зүйл болгон задалж (хэрэв энэ нь мэдээжийн хэрэг боломжтой бол) дээр дурдсан интервалын аргыг хэрэглэнэ (өмнөх жишээ 3-ыг үзнэ үү). догол мөр).

Жишээ 1.(x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл. f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2) илэрхийллийг авч үзье.

1,-1,2 цэгүүдэд 0 болж хувирна; Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. Тоон шугамыг заасан цэгүүдээр дөрвөн интервалд хуваадаг (Зураг 6), тус бүрт f (x) илэрхийлэл нь тогтмол тэмдэгтэй хэвээр байна. Үүнийг шалгахын тулд дөрвөн аргументыг (заасан интервал тус бүрд тусад нь) хийцгээе.

(2) интервалаас дурын х цэгийг авъя. Энэ цэг нь тоон шулуун дээр -1 цэгийн баруун талд, 1 цэгийн баруун талд, 2 цэгийн баруун талд байрлана. Энэ нь x > -1, x гэсэн үг юм. > 1, x > 2 (Зураг 7). Харин дараа нь x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, тэгэхээр f (x) > 0 (гурвын рационал тэгш бус байдлын үржвэр хэлбэрээр) эерэг тоонууд).Тэгэхээр f (x ) > 0 тэгш бус байдал.

(1,2) интервалаас дурын х цэгийг авъя. Энэ цэг нь тооны шулуун дээр-1 цэгийн баруун талд, 1 цэгийн баруун талд, харин 2 цэгийн зүүн талд байрладаг. Энэ нь x > -1, x > 1, харин x гэсэн үг юм.< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

(-1,1) интервалаас дурын х цэгийг авъя. Энэ цэг нь тооны шулуун дээр -1 цэгийн баруун талд, 1 цэгийн зүүн талд, 2 цэгийн зүүн талд байрладаг. Энэ нь x > -1 гэсэн үг, харин x гэсэн үг юм.< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (хоёр сөрөг ба нэг эерэг тооны үржвэр). Тэгэхээр (-1,1) интервал дээр f (x)> 0 тэгш бус байдал биелнэ.

Эцэст нь задгай туяанаас дурын x цэгийг (-oo, -1) авна. Энэ цэг нь тооны шулуун дээр -1 цэгийн зүүн талд, 1 цэгийн зүүн талд, 2 цэгийн зүүн талд байрладаг. Энэ нь x гэсэн үг юм.<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Дүгнэж хэлье. Сонгосон интервал дахь f (x) илэрхийллийн тэмдгүүдийг Зураг дээр үзүүлэв. 11. Бид f (x) > 0 тэгш бус байдал ямар байхыг сонирхож байна.Зурагт үзүүлсэн геометрийн загварыг ашиглан. 11-д бид f (x) > 0 тэгш бус байдал (-1, 1) интервал дээр эсвэл задгай туяа дээр явагдана гэдгийг бид тогтоов.
Хариулт: -1 < х < 1; х > 2.

Жишээ 2.Тэгш бус байдлыг шийдэх
Шийдэл.Өмнөх жишээний нэгэн адил бид шаардлагатай мэдээллийг Зураг дээрээс авах болно. 11, гэхдээ жишээ 1-тэй харьцуулахад хоёр өөрчлөлттэй. Нэгдүгээрт, бид f (x) тэгш бус байдал x-ийн ямар утгыг агуулж байгааг сонирхож байна.< 0, нам придется выбрать промежутки Хоёрдугаарт, бид f (x) = 0 тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдэд сэтгэл хангалуун байна. Эдгээр нь -1, 1, 2 цэгүүд бөгөөд бид тэдгээрийг хар хүрээ бүхий зурган дээр тэмдэглэж, хариултанд оруулна. Зураг дээр. Зураг 12-т хариултын геометрийн загварыг харуулсан бөгөөд үүнээс аналитик тэмдэглэгээ рүү шилжихэд хялбар байдаг.
Хариулт:
Жишээ 3.Тэгш бус байдлыг шийдэх
Шийдэл. Тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа fx алгебрийн бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржвэр болгоё. Тоолуур дээр бид x 2 - x = x (x - 1) байна.

Бутархайн хуваарьт агуулагдах дөрвөлжин гурвалсан х 2 - bx ~ 6-г хүчинжүүлэхийн тулд бид түүний үндсийг олно. x 2 - 5x - 6 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = -1, x 2 = 6 гэсэн утгатай. (бид квадрат гурвалсан гишүүнийг хүчин зүйл болгох томъёог ашигласан: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Тиймээс бид өгөгдсөн тэгш бус байдлыг хэлбэрт шилжүүлэв

Илэрхийлэлийг авч үзье:

Энэ бутархайн тоологч нь 0 ба 1 цэгүүдэд 0 болж, -1 ба 6 цэгүүдэд 0 болж хувирна. Эдгээр цэгүүдийг тооны шулуун дээр тэмдэглэе (Зураг 13). Тоон шугамыг заасан цэгүүдээр таван интервалд хуваадаг бөгөөд интервал бүрт fх) илэрхийлэл нь тогтмол тэмдэгтэй хэвээр байна. Жишээ 1-тэй адил үндэслэлээр бид сонгосон интервал дахь fх) илэрхийллийн тэмдгүүд Зураг дээр үзүүлсэн шиг байна гэсэн дүгнэлтэд хүрэв. 13. f (x) тэгш бус байдал хаана байдгийг бид сонирхож байна< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 хариулт: -1

Жишээ 4.Тэгш бус байдлыг шийдэх

Шийдэл.Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ дүрмээр бол тэгш бус байдлын баруун талд зөвхөн 0-ийн тоог үлдээхийг илүүд үздэг.Тиймээс бид тэгш бус байдлыг хэлбэрт шилжүүлдэг.

Цаашид:

Туршлагаас харахад тэгш бус байдлын баруун тал нь зөвхөн 0-ийн тоог агуулж байвал зүүн талд нь тоологч ба хуваагч хоёулаа эерэг тэргүүлэх коэффициенттэй байх үед үндэслэл гаргах нь илүү тохиромжтой байдаг.Тэгээд бидэнд юу байна? хуваагч, энэ утгаараа бутархайнууд бүгд дараалалтай байна (тэргүүлэх коэффициент, өөрөөр хэлбэл х 2-ийн коэффициент нь 6-тай тэнцүү - эерэг тоо), гэхдээ тоологч дахь бүх зүйл эмх цэгцтэй байдаггүй - тэргүүлэх коэффициент (коэффициент) -ийн x) нь -4 (сөрөг тоо)-тэй тэнцүү байна.Тэгш бус байдлын хоёр талыг -1-ээр үржүүлж, тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилснөөр бид эквивалент тэгш бус байдлыг олж авна.

Алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлье. Тоолуур дээр бүх зүйл энгийн:
Бутархайн хуваарьт агуулагдах дөрвөлжин гурвалсан тоог хүчинжүүлэх

(бид квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгох томъёог дахин ашигласан).
Тиймээс бид өгөгдсөн тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулав

Илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй

Энэ бутархайн тоологч нь цэг дээр 0 болж, хуваагч нь - цэгүүдэд Бид эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэдэг (Зураг 14), заасан цэгүүдээр дөрвөн интервалд хуваагдаж, интервал бүрт илэрхийлэл. f (x) тогтмол тэмдгийг хадгалдаг (эдгээр тэмдгүүдийг 14-р зурагт заасан). Бид тэгш бус байдал үүсэх интервалуудыг сонирхож байна< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Бид авч үзсэн бүх жишээн дээр өгөгдсөн тэгш бус байдлыг f (x) > 0 эсвэл f (x) хэлбэрийн эквивалент тэгш бус байдал болгон хувиргасан.<0,где
Энэ тохиолдолд бутархайн хүртэгч ба хуваагч дахь хүчин зүйлийн тоо ямар ч байж болно. Дараа нь тоон шулуун дээр a, b, c, d цэгүүдийг тэмдэглэв. сонгогдсон интервал дээрх f (x) илэрхийллийн тэмдгүүдийг тодорхойлсон. Сонгосон интервалуудын хамгийн баруун талд f (x) > 0 тэгш бус байдал, дараа нь интервалын дагуу f (x) илэрхийллийн тэмдгүүд ээлжлэн байгааг бид анзаарсан (16а-р зургийг үз). Энэ ээлжийг баруунаас зүүн тийш, дээрээс доошоо зурсан долгионы муруйг ашиглан дүрслэх нь тохиромжтой (Зураг 166). Энэ муруйг (заримдаа тэмдгийн муруй гэж нэрлэдэг) x тэнхлэгээс дээш байрлах интервал дээр f (x) > 0 тэгш бус байдал хадгалагдана; Энэ муруй нь x тэнхлэгийн доор байрлах тохиолдолд f (x) тэгш бус байдал хангагдана< 0.

Жишээ 5.Тэгш бус байдлыг шийдэх

Шийдэл.Бидэнд байгаа

(өмнөх тэгш бус байдлын хоёр талыг 6-аар үржүүлсэн).
Интервалын аргыг ашиглахын тулд тооны шулуун дээрх цэгүүдийг тэмдэглэнэ (эдгээр цэгүүдэд тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа бутархайн хуваагч тэг болно) ба цэгүүд (эдгээр цэгүүдэд заасан бутархайн хуваагч тэг болно). Ихэвчлэн цэгүүдийг гарч ирэх дарааллыг харгалзан (баруун талд, зүүн талд) схемийн дагуу тэмдэглэж, масштабыг хүндэтгэхийг онцгой анхаарч үздэггүй. Энэ нь ойлгомжтой Тоонуудын нөхцөл байдал илүү төвөгтэй.Эхний тооцоолсноор эдгээр тоо хоёулаа 2.6-аас арай том бөгөөд үүнээс заасан тоонуудын аль нь их, аль нь бага байна гэж дүгнэх боломжгүй юм. Дараа нь (санамсаргүй байдлаар) гэж бодъё
Тэгш бус байдал зөв болсон нь бидний таамаглал батлагдсан гэсэн үг юм: үнэндээ
Тэгэхээр,

Заасан 5 цэгийг тоон мөрөнд заасан дарааллаар тэмдэглэцгээе (Зураг 17a). Илэрхийлэх тэмдгүүдийг цэгцэлье
үүссэн интервалууд дээр: баруун талд нь + тэмдэг, дараа нь тэмдгүүд ээлжлэн солигдоно (Зураг 176). Тэмдгийн муруй зурж, бидний сонирхож буй f (x) > 0 тэгш бус байдал биелэх интервалуудыг тодруулъя (зураг 17в). Эцэст нь хэлэхэд бид f (x) > 0 гэсэн хатуу бус тэгш бус байдлын тухай ярьж байгаа бөгөөд энэ нь f (x) илэрхийлэл тэг болох цэгүүдийг бас сонирхож байна гэсэн үг юм. Эдгээр нь f (x) бутархайн тоологчийн үндэс юм, i.e. оноо Зураг дээр тэдгээрийг тэмдэглэе. 17c хар хүрээтэй (мөн мэдээжийн хэрэг, хариултанд багтах болно). Одоо будаа байна. 17c нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдлийн геометрийн бүрэн загварыг өгдөг.